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加上负载的 r操作机
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2020/7/31
N
r
M
m2
r1
m1
o
操作机的物理学模型
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第六章 机器人动力学
6.3.2 建立拉格朗日函数
N
r
M
m2
（1）求动能T
先对 m 1 求 T1
显然
x1 r1 cos y1 r1 sin
0 而 r1 0
方程，其基本形式为
ddtqTi qTi Qi i1,2,3.....s....
其中，
q1,q2,...q,s是所研究力学体系的广义坐标；
Q1,Q2,...Q,s是作用在此力学体系上的广义力；
T
是系统总动能。
分析力学注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的 能量，扩大了坐标的概念。
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数L可定义为
LTV
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
ddtLL
若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方 向r上的力应为
Fr ddtLrLr
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r1
o
m1
于是
x1 r1sin y1 r1cos
由于 v12 x12 y12
r122 sin2 r122 cos2 r122
根据动能的公式
T1
1 2
m1r122
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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第六章 机器人动力学
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体 系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
例 6.3 r 操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
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第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
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第六章 机器人动力学
6.1 机器人动力学研究概述
本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题； 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程； 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题
（1）正问题 （2）逆问题
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第六章 机器人动力学
动力学的两个相反问题
动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
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第六章 机器人动力学
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机 械系统，其Lagrange方程应为
d dt q T i q Ti q Vi q D i Fqi
其中，q i 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量； F q i 为作用在系统上的广义力；
第六章 机器人动力学
6.2.4 拉格朗日方程的特点
它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程 式的数目和系统的自由度数是一致的； 理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时 只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力； Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了 列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个 是表征系统运动的动力学量—系统的动能和势能，另一个 是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
《机器人原理与应用》
第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r 操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
T,V和D 是系统总的动能、势能和耗散能，分别为
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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第六章 机器人动力学
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
动力学方程f的(一,般形,式)： F g (r,r,r)
式中 ,F,,r分别表示力矩、力、角位移和线位移
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第六章 机器人动力学
牛顿－欧拉方程
牛顿方程……面向平动
f ma
• 欧拉方程……面向转动
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