第五章 线性系统的频域分析法-5-3——【南航 自动控制原理】
自动控制原理课件 第五章线性系统的频域分析
P() jQ()
() 90 arctgT1 arctgT2 arctgT3
G( j) K (T1 T2 T3 ) 3T1T2T3 (1 T12 2 )(1 T2 2 2 )(1 T32 2 ) j K 1 2 (T1T2 T2T3 T3T1 ) (1 T12 2 )(1 T2 2 2 )(1 T32 2 )
P( x
)
K (T1 T2 T3 ) x 2T1T2T3 (1 T12 x 2 )(1 T2 2 x 2 )(1 T3 2 x 2 )
2型系统包含两个积分环节，例如
G(s)
K
s 2 (T1s 1)(T2 s 1)
G( j)
K
K
e j ( )
( j) 2 ( jT1 1)( jT2 1) 2 1 T12 2 1 T2 2 2
T
OP
1 2T 2 AP
G( j) arc tg T
2
T
例2 某零型反馈控制系统，系统开环传递函数
G(s)
K
(T1s 1)(T2 s 1)
试概略绘制系统( j) e j() P() jQ()
( jT1 1)( jT2 1)
G( j )
K
(T1 ) 2 1 (T2 ) 2 1
第五章 线性系统的频域分析
本章主要内容与重点 频率特性的基本概念 极坐标图 对数坐标图 奈奎斯特稳定判据 稳定裕度 闭环系统频率特性 系统时域指标估算
本章主要内容
本章介绍了控制系统频率分 析法的相关概念和原理。包 括频率特性的基本概念和定 义、开环频率特性的极坐标 图表示法、波特图表示法、 控制系统稳定性的频率特性 分析法及其应用、控制系统 闭环频率特性、闭环频率特 性与时域性能的关系等。
自动控制原理第5章频域分析法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制原理-第5章新系统频域分析
第5章 控制系统的频域分析时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。
如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。
然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。
而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。
本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。
频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。
利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。
频率分析的优点较多。
首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。
其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。
因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。
此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。
这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。
因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。
控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。
频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。
频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。
当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。
这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。
5.1频率特性概述5.1.1频率特性的基本概念1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。
第5章线性系统的频域分析法
0
5.2
典型环节频率特性曲线的绘制
5.1.1
频率特性的基本概念与定义
先考查图 5.1 所示的 RC 滤波网络为例，说明频率特性的基本概念．
R
ui
C
uo
图 5.1 RC 滤波网络
设 RC 网络的输入信号是幅值为 A 的正弦信号 ui A sin t ，当输出 uo 呈稳态时,记录
ui 、 uo 的曲线如图 5.2 所示．由图可见, RC 网络的稳态输出信号仍为正弦信号，频率与
5.8 为 RC 网络 T 0.5 时的尼科尔斯图．后面我们会进一步学习如何利用对数幅相曲线和 系统开环和闭环传递函数的关系，绘制关于闭环幅频特性的等 M 图和闭环相频特性的等 图．
0
5
2 3 4 7
1
L( ) / dB
10
15
20
10
100 80
图 5.8
60 40 20 ( ) /
输入信号的频率相同，只是幅值有所衰减，相位存在一定延迟．
ui
A
2
0
uo
t
0
2
t
图 5.2 RC 网络的输入和稳态输出信号
RC 网络的微分方程如下:
T
duo uo ui dt
(5.1)
式中, T RC 为时间常数．将式(5.1)取拉普拉斯变换，并代入初始条件 uo (0) uo0 ,得：
uo ( s )
1 1 A Tuo0 ui ( s) Tuo0 2 2 Ts 1 Ts 1 s
(5.2)
再将式(5.2)取拉普拉斯反变换得：
自动控制原理(第五章)
L(ω)
0.1ωn
ωn
10ωn -40 db/dec
ω
-40
() G( j)
n 0 90 n 180 n
φ( ω )
ω
-90o -180o
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
7) 二阶微分环节
G( s) ( s
-30
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
3) 微分环节
G( s) s G( j ) j
20
L( )(dB)
0 0.01 0.1 1 10
20dB / dec
G ( j )
j
40
G ( j ) j 90
0
( )()
90 60 30 0 0.01 0.1 1 10
0
0 .1 1 T
1 T
10
1 T
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
2 n 6) 振荡环节 G(s) 2 2 s 2n s n 2 n G( j) 2 j ( j)2 2n ( j) n
பைடு நூலகம்
G( j )
2 2 2 (1 2 ) (2 ) 0 n n
G ( j )
1
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
L( )(dB)
0 .1 1 T
L( ) 20lg G ( j0)
-20 20lg 1 T 1 时，L( ) 20lg 1 0 T ( )() 1 1 时，L( ) 200 lg .1 T T T ( ) G ( j ) 0 arctanT
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
自动控制原理--第5章 频域分析法
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
自动控制原理第五章线性系统的频域分析
AT 2
a
Ts 1 s2
2
(Ts 1)
s 1
T
1 T 2 2
U0 (t)
e a
t
T
T
d1e jt
d 2e jt
lim
t
U
0
(t
)
d1e jt
d 2e jt
A sin( t arctgT)
1T2 2
这里应用欧拉公式 sin e j e j
2j
说明:
1.网络的稳态输出仍是正弦电压, 其频率与输入电压相同,
(1,j0)
8.延时环节
G(S) e-s
G(j) e-j cos - jsin
=0
u() cos v() -sin
| G(j) | 1 G(j) -
u 2 () v2 () 1
极坐标图为一 9.不稳定环节
单位圆, 端点在单
位圆上无
限循环
Im
G(S)
1 TS -1
G(j
) 1 jT-1
G(s)
(1) 向量作图法
C( j ) G( j ) A( )e j () R( j) 1 G( j)
在开环频率响应G( j)Nyquist图中
G( j1 ) (1 )
QA 1 G( j1 ) [1 G( j1 )] (1 )
Im
A(1 )
G( j1 ) 1 G( j1 )
OA QA
幅值是输入电压的1 1T 22 (幅频特性), 相角比输入电压
滞后- arctgT (相频特性).
2. e e 1
- jarctgT
1T2 2
1
j 1(1 jT )
1 jT
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控制系统一般总是由若干环节组成的, 设其开环 传递函数为 ：
G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)
系统的开环频率特性为：
G ( j) G 1 ( j) G 2 ( j) G n ( j)
或
A ( ) e j( ) A 1 ( ) e j 1 ( ) A 2 ( ) e j2 ( ) A n ( ) e jn ( )
在图中 T=0.5, 1/T=2 (rad/sec)
La() 0 2l0o gT
1/T 1/T
惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线 相交，交点处频率 1/T ，称为转折频率。
两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为 对数幅频特性渐近线。
用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折 频率处，即 1/T 处。
➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）
以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐 标为幅值，单位采用分贝。
Bode图的优点
幅值的乘除简化为加减； 可以用叠加方法绘制Bode图； 可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围； 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。
对数幅频特性：
L ( ) 2 0 lg A ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 lo g 10 ，纵坐标采用线性分度用分贝数
(dB)表示。
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
自动控制原理课件第五章
1 幅相频率特性
• • •
曲线或极坐标图。 在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是 幅相曲线或极坐标图。 它是以 为参变量，以复平面上的矢量 G ( j ) 表示的一 种方法。 例 惯性环节幅相频率特性
G ( j ) k 1 jT k 1 T
2 2
•幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）
模从- 相角从-/2-3/2
-1
Im
ω
∞
Re
ω ω
0
系统开环对数频率特性例题2
系统开环对数频率特性
系统开环对数频率特性例题3
系统开环传函：
G (s)
-1 -1 0.05 0.1 1 2 10 100 -2 -90°
20 lg 40 20 lg 1 0 . 05 20 lg
L( )
为横坐标，
为纵坐标。
5-3 典型环节及开环频率特性 一、典型环节的频率特性p177
•要求掌握以下各环节幅相频率特性及对数频率 特性。
比例环节、微分环节、 积分环节、 惯性环 节、 振荡环节、 一阶微分环节、 二阶微分 环节、 延时环节。 非最小相位环节 开环传函中包含右半平 面 的零点或极点。
比例 G( s ) k , G( j ) k , 积分 ( s ) , G ( j ) G , s j 微分
1 1
k, 0
1
, 90
G( s ) s, G( j ) j ,
, 90
惯性环节（对比一阶微分环节）
G( s) 1 Ts 1 1 1 T
s
G ( j ) e
j
cos j sin
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
自动控制原理第五章线性电路的频域分析法
A()
1
(1
2 n2
)2
4
2
2 n2
2
( ) arctan
n 2
1 n2
绘制极坐标图
Im
1
0
=0
值大
n
值小
G(j0)=10
G(jn )=1/2 90
G(j)=0180 Re
G(
j)
(
j ) 2
n2 j2 n
n2
2
(
)
arctan
1
n 2 n2
A()
1
(1
2 n2
)2
4
2
（2）伯德图
0 =0+
Re
L() = 20lgA() = 20lg
L()/dB
() = 90
20
0
由于微分环节与积
1
20dB/dec
10
分环节的传递函数互为
()/(°)
倒数， L()和 () 仅
相差一个符号。因此，
90°
伯德图是对称于轴的。 0°
• 4 惯性环节
频率特性为 G( j ) 1 1 jT
20dB/dec
90
相频特性为：() = arctanT = 0 () = 0°
= 1/T () = 45° () = 90°
• 5 一阶微分环节
频率特性 G(j) = 1 + jT
Im =
（1）极坐标图
0
1=Re
幅频特性为 A() 1 2T 2
0
相频特性为 ()=arctanT L()/dB
5 虚频特性： G(j) 的虚部，用Im[G ()]表示。
自动控制原理：第五章 线性系统的频域分析法
『例1』某系统结构图如图，求 rt作 用下的稳态输出 c;t
(1) rt 3cos 2t 30
(2) rt 3sin 8t 20
r(t)
6
c(t)
L 20lg 1 20lg
L
0.1
20
1
0
10
-20
每增加十倍时， L减少20dB
积分环节的对数幅频曲线是一条斜率为－20dB/dec的直 线，该直线与零分贝线相交于w=1的地方。
b) 微分环节
传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性 对数幅频特性
Gs s G j j
A
90
L 20 lg
二. 频率特性的几何表示方法
常用的频率特性图有极坐标图与伯德图。 1. 幅相频率特性曲线(极坐标图)
G(jw)为复数, 在坐标图中，它是一个矢量, 既可用模值和 幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:
G j A e j Re G j jI mG j
当输入正弦信号频率从0变到+∞,矢量 A 的e j终
G j 1
jRC 1
A G j 1
T 2 2 1
arctan RC
『注』幅频特性是w的偶函数，相频特性是w的奇函数，
故w从0到-∞的极坐标图与w从0到+∞的极坐标图对称 于实轴，因此通常只需绘制w从0到∞时的极坐标图。
Im
0 0 Re
2. 对数频率特性曲线 (伯德图)
rt A1 sin(t 时1)
系统稳态输出为同频率的正弦信号 ct A2 sin(t 2 ) 。
《自动控制原理》 胡寿松 第05#1章 线性系统的频域分析法
用，它也是经典控制理论中的重点内容。
本章主要学习内容如下： 5.1 频率特性
5.2 典型环节和开环系统频率特性
5.3 频域稳定判据
5.4频域稳定裕度
5.5 闭环系统的频域性能指标
5.1 频率特性的一般概念
1 频率特性的基本概念
首先我们以图示的RC滤波网络为例，建立频
率特性的基本概念。
R i(t) C
②实验方法
(原理后续介绍)
三种数学模型之间的关系
频率特性也是描述系统的一种动态数学模型。
与微分方程和传递函数一样，也表征了系统的运动
规律。
例1 已知系统传递函数 G ( s)
1 ，输入正弦信号 s 1 r (t ) 3sin(2t 30) ，求稳态输出响应 Css (t ) ?
G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) 指数形式：
G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) U ( ) jV ( ) 实部和虚部形式：
实频特性: 虚频特性:
U () A() cos () V () A( ) sin ( )
（1）频率特性的定义
频率特性：零初始条件下，输出信号与输入信 号的傅氏变换之比，用 G( j) 表示。
C ( j ) G ( j ) G ( s) |s j R( j )
A( ) G ( j ) C ( j ) R ( j )
—幅频特性 —相频特性
( ) G( j )
率的关系曲线；对数相频特性则是相角∠ G(j)
和频率的关系曲线。
伯德图是在半对数坐标纸上绘制出来的。横坐
标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。
在绘制伯德图时，为了作图和读数方便，常将
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(1)幅角原理 设有理分式函数
F (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
F(s) 的值域
则对于s平面上任意一点s，F(s)将其映射到F(s)平面。
G(s)H (s) G(s) H (s) G(s )H (s )
即开环系统闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称。 所选闭合曲线Γ关于实轴对称，则当s沿Γ分别在
IMs≤0 和 IMs≥0 的范围内运动时，G(s)H (s)沿 ΓGH 的相应运动亦关于实轴对称。
根据 ΓGH 的对称性，只需绘制 ΓGH 在 Ims 0，s 的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为 ΓGH 。
F(s) F(s)ds
m
(s zi )
n
(s
p j )
i1
j 1
由于 z1和p1被Γ包围，向量s-z1和s-p1顺时针运动一周
(s z1) (s p1) 2
zi
j °
Ss··1·A Γ°sz2×1p1×pj
0
s平面
设任一zi未被Γ包围，过zi作两条 直线分别与Γ相切于s1、s2点，则
█ F(s)与G(s)H(s)相差常数1，当s沿s平面任意 闭合曲线 Γ 顺时针运动一周时，所产生的闭合曲线 ΓGH沿实轴正方向平移1，即得ΓF。
F (s)平面
j
ΓF
-2 -1 0 1 2 3 4
j
G(s)H (s)平面
ΓGH
-2 -1 0 1 2 3 4
F(s)建立了其极点、零点分别与开环系统极点、 闭环系统极点之间的直接联系。
j
节时，在 s j, (0 , 0 ) 处取
0+ e j
s e j 90 ,90
0 0-
e j
ε为正无穷小量。
j
n+ e j
n
0
n+
e j
n e j
ωo=ωn 即开环系统含有零阻尼振
荡环节时，在 s j, (n ,n )
处取
s jn e j 90 ,90
(4)闭合曲线ΓGH的绘制 由于开环系统传递函数为 实系数有理分式，因此
5.3 频率域稳定判据
控制系统的闭环稳定性是系统分析设计的首要问 题，奈奎斯特稳定判据(奈氏判据)得到广泛应用。
1. 奈氏判据的数学基础
奈奎斯特是著名的科学家，也是杰出的通信工程和 控制工程专家。1929年，提出关于信道传输和通信速 率的奈奎斯特定理；1933年，提出负反馈系统稳定性 的奈奎斯特判据，成为控制科学和工程领域发展的里 程牌。奈奎斯特在工程技术领域拥有138项发明专利。
(2)复变函数F(s)的选择
系统闭环稳定性的判定一般都利用已知的开环传递 函数，为此选择
F(s) 1 G(s)H (s)
F(s)具有3个特点： █ F(s)的零点为系统的闭环极点，F(s)的极点为 系统的开环极点。
█ 开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分母多项式的阶次，因此F(s)的零极点数相等。
在Γ的s2⌒s1段，s-zi的相角增 大；在Γ的s1⌒s2段，相角减小；
故有 (s zi ) 0 。设任一pj未
被Γ包围,同样可得 (s pj ) 0
分析结论：当s沿s平面任意闭合曲线Γ顺时针运动一 周，F(s)相角的变化取决于Γ所包围F(s)的零极点数。 设Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则
根据开环极点在虚轴上的分布，奈奎斯特曲线的 绘制分为三种情况：
j
0 j s e j
j
j
eeij
0+
e j ei
n+ e j
n 0
ei
:0 : 90 0
e0j-
s
j
e j
0 : 0 90 : 0 : 90 0
s
jn+
jn n eejj j
e j
: 0 n : 90 90
G(s)H
(s)
0 n m或v s0，sej,e:j9,0 :900 0 K n=m, v 0, s e j , : 90 0
n、m分别是开环传递函数分母多
0 j s e j
eeji
:0 : 90 0
项式、分子多项式的阶数，K* 是
是
开环根轨迹增益。开环幅相曲线即为奈奎斯特曲线
e j
j
0 ,90
0
nm
K =0j=e j源自F(s)m
(s
zi
)
n
(s
p
j
)
i1
j 1
(Z P) (2 )
幅角原理 设s平面上闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零 点和P个极点,则s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平 面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数
R PZ
R 0、R 0、R 0 分别表示ΓF顺时针包围、逆时 针包围、不包围F(s)平面的原点。
闭合曲线ΓF 包围原点的圈数等于ΓGH包围（-1，j0) 点的圈数。
(3)s平面闭合曲线Γ的选择 Γ的选择有两项要求： ① 包围s的右半平面—在已知s右半平面的开环极
点数时，可由幅值定理确定s右半平面的闭环极点数 ，进而判定系统的闭环稳定性。
② 不通过任一开环极点—开环极点也是F(s)的极
点，按照幅角定理还要求不通过任一闭环极点。
闭合曲线Γ的两种形式：
j
① 虚轴上无开环极点
Γ由两部分组成
s
j
e j
( ,) 90 ，90
虚轴 0
e j
Γ关于 实轴
对称
半径无 穷大的 右半圆
② 虚轴上有开环极点 开环虚轴极点有两种情况，
ωo=0,ωo=ωn≠0。为避开开环虚轴极点，Γ在开环
虚轴极点附近加以扩展。 ωo=0 即开环系统含有积分环
在s平面上任选一条封闭曲线Γ，Γ包围一个零点(z1)和 一个极点(p1)，但不穿过F(s)的任何极点和零点。s从 A点起，沿Γ顺时针运动一周，则相应地F(s)亦从F(A)
起运动一周，形成闭合曲线ΓF
j Γ °z×1p1
zi °
·
A
×pj
0
j F(A)
∠F(A) 0
s平面
F(s)平面
分析s沿Γ顺时针旋转一周，F(s)相角的变化
:n : 90 0
①G(s)H (s)无虚轴极点 ② G(s)H (s) 有0极点 ③G(s)H (s)有虚极点
含有积分环节 含有零阻尼振荡环节
s沿s沿s平s平面面半闭闭合合曲曲线线ΓΓ运运动动的的情情况况
① G(s)H (s)无虚轴上的极点
j
按Γ的半闭合曲线
G(j)H (j)
s j , : 0