3.2辅助角公式 课件-人教版高中数学必修四
新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.3.2三角函数的诱导公式
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
第三十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题.
化简:
cos (1) 2 sin( 2 ) cos(2 );
sin 5
2
(2) cos2( ) tan(360o ) . sin( )
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
思考下列问题一： (1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
角的三 或三
角函数
角的三 二或四
角函数
角的三角 函数
0o~90o间 角的三角 函数
第三十二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负
角的三 角函数
公式一 或三
任意正 公式一或
角的三 二或四
角函数
0o~360o间 角的三角
函数
0o~90o间
角的三角 函数
查表
求值
第三十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角函数
角函数
第三十页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三
角函数
公式一 或三
任意正 公式一或 角的三 二或四 角函数
0o~360o间 角的三角 函数
(完整版)必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。
记a a b 22+=cos θ，ba b 22+=sinθ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*cos ,θ=sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin 2αα+； （2cos αα+；（3）sin cos αα- （4）sin()cos()6363ππαα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 53.若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ( )A ．1B ．2C 1D 24.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________．7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r , (sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==）。
高中数学必修四-二倍角公式及辅助角公式
二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中，，，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式，从而解决许多相关问题，比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等．二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2、正弦、余弦和正切的二倍角公式（1）；（2）；（3）.3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．例2.已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）=-4，则|x1-x2|的最小值为（）A．B．C．4D．例3.函数f（x）=sin2x+cos2x的对称中心坐标为（）A．（+，0）（k∈Z）B．（+，0）（k∈Z）C．（+kπ，0）（k∈Z）D．（+kπ，0）（k∈Z）利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、余弦二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：,又∵，，∴，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、正切二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作.二倍角公式的注意事项：1、在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等.例如：.3、在一般情况下，，如.当且仅当时，才成立.同样，一般情况下，，.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m，则cos12°=（）A．B．C．D．例2.（sin15°+cos15°）2的值为（）A．B．C．D．例3.已知，则=（）A．B．1C．2D．利用二倍角公式进行化简知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若，α是第二象限的角，则的值为（）A．B．2C．4D．-4例2.cos15°∙cos75°=（）A．B．C．D．例3.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0（0<α<π），则sin2α=（）A．B．C．D．例2.已知，则tan2θ=（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，若，则sin2A的值为（）A．B．C．D．利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得．2、余弦半角公式由二倍角公式得．3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得，∴，∴．综上：．半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求．要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等．2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用表示、和．可以将半角公式看作倍角公式的变形．3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=，α∈（），则cos等于（）A．B．-C．D．-例2.如果|cosθ|=，<θ<4π，那么cos的值等于（）A．B．-C．D．-例3.已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2B．C．-2D．-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得．2、降幂升角公式由得；由得．例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5例2.cos475°-sin475°的值为（）A．-B．C．-D．例3.已知tanα=3，则=（）A．2B．-2C．3D．-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。
或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。
辅助角公式
公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。
在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.教师引导：P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设OP=r=22a b +由三角函数定义可知： 辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角φ由2222cos sin a a b b a b φφ=+=+ 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
其中φ的大小可以由sin φ、cos φ的符P号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=ba教师指导题目4将下列各式化为一个角的正弦形式教师总结，批阅。
学案一、知识回顾：两角和与差的正余弦公式：二、新课探究：1、利用和差角公式计算下列各式的值：练习：2、求证：cos2sin()6πααα=+3、将sin cosa xb x+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P，设由三角函数定义可知：b=a=辅助角公式•推导对于一般形式ααcossin ba+（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？其中辅助角φ由cos__________sin___________φφ==确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。
必修四第三章辅助角公式
作业：
必修四教材 第137页 第13题 (1) (2) (3) (4)
a2 b2
a2 b2
(其中 tan = b ) 一般地，0
a
2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 asin x bcosx 的
式子 ，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面 求三角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间 等。
课堂练习： 化简：（1） 2sin 2 cos （2） 2sinx - 6 cos x
（ 2 sin cos cos sin ）
3
3
2sin
3
思考：2 b cos x 如何化简呢
辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )
其中 cos a ,sin b .
探究：
1.公式的逆用
sin cos
12 4
cos sin
12 4
sin(
12
)
4
sin
3
3 2
sincos cos sin
4
4
sin( )
4
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos
2
2
sin( )
（3）sin 2x cos2x
延伸拓展：
化简： 2 3 sin x cos x 2 cos2 x 1
解：原式 3 sin 2x cos 2x
（ 2 3 sin 2x 1 cos 2x）
2
2
（ 2 sin2x cos cos2x sin ）
6
人教B版高中数学必修四课件高一：3-2-1倍角公式.pptx
＝1cos22x ＝2cos2x. 2cos2x
∴(1)f－1172π＝2cos176π＝2cos56π＝－ 3. (2)g(x)＝12f(x)＋sin2x＝cos2x＋sin2x ＝ 2sin2x＋4π. ∵x∈0，2π，∴4π≤2x＋4π≤54π， ∴g(x)max＝ 2，g(x)min＝－1.
∴等式成立．
• [例3] 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，
怎样截取能使这个矩形的面积最大？
• [解析] 如图，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，
半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD 必内接于半圆O，且两边长分别为
• |AB|＝Rsinθ，
• |DA|＝2|OA|＝2Rcosθ. • 这个矩形的面积为S矩形ABCD＝|AB|·|DA| • ＝Rsinθ·2Rcosθ＝R2sin2θ.
[解析] 解法一：因为 sin4π＋α·sinπ4－α ＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，
所以 sinπ2＋2α＝13，即 cos2α＝13.
因为 α∈2π，π，则 2α∈(π，2π)，
所以 sin2α＝－ 1－cos22α＝－23 2，
＝
1－sin2α＝
17 3.
cos2α＝
1－sin22α＝
17 9.
[辨析]
由
sinα
＋
cosα
＝
1 3
及
0<α<π
知
π 2
<α<π
，
且
|sinα|>|cosα|，故应讨论 sinα－cosα 与 cos2α 的符号得 sinα－
cosα>0，cos2α<0.
[正解] 将 sinα＋cosα＝13两边平方得
高中数学人教B版必修四3.2.1《倍角公式》ppt课件
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
倍角公式与三角函数性质的综合应用
这类问题是求函数的值域、单调区间、周期、对 称轴、对称中心等．求解时先将式子化简为y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．
例3 已知函数 f(x)＝－4cos2x＋4 3sinxcosx＋5，x ∈R. (1)求 f(x)的最大值及取最大值时 x 的集合； (2)求 f(x)的单调递增区间．
－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．
【点评】 我们在研究三角函数的性质时，一般 需要将函数表达式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k或 f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，利用f(x)＝sinx或 f(x)＝tanx的性质进行研究，在变换过程中倍角 公式和两角和与差的三角公式很重要．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
变式训练 3 已知函数 f(x)＝1－2sin2(x＋π8)＋2sin(x＋ π8)cos(x＋π8)． 求：(1)函数 f(x)的最小正周期； (2)函数 f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝cos(2x＋π4)＋sin(2x＋π4) ＝ 2sin(2x＋π4＋π4)＝ 2sin(2x＋π2) ＝ 2cos2x， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
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变式训练 2 已知 sinα＋cosα＝13，且 0＜α＜π，求 sin2α，cos2α，tan2α 的值．
解：∵sinα＋cosα＝13，
∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19，
∴sin2α＝－89 且 sinαcosα＝－49＜0， ∵0＜α＜π，sinα＞0，∴cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
辅助角公式总结
辅助角公式总结辅助角公式在三角函数的学习中可是个相当重要的家伙！它能帮我们把形如 $a\sin x + b\cos x$ 的式子化简成一个单一的三角函数形式，让解题变得轻松不少。
先来说说辅助角公式的表达式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。
咱们拿个具体的例子来瞅瞅。
比如说，$3\sin x + 4\cos x$ ，这时候咱们就可以用辅助角公式啦。
先算出 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，然后$\tan\varphi = \frac{4}{3}$ ，所以 $\varphi$ 约等于 $53^{\circ}$ 。
于是，$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53^{\circ})$ 。
我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。
我就跟他说：“你就把这公式想象成一个魔法盒子，把两个三角函数扔进去，它就能给你变出一个更厉害的！” 那孩子听了之后，眼睛瞪得大大的，好像突然来了兴趣。
再说说辅助角公式的应用吧。
在求三角函数的最值、周期、单调区间等问题时，它可真是大显身手。
比如说，求函数 $y = 2\sin x +2\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。
用辅助角公式一化简，变成 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ ，一下子就能看出最大值是 4 啦。
还有啊，在解三角形的时候，辅助角公式也能帮上忙。
比如已知三角形的两边和夹角，要求第三边的长度。
通过正弦定理和余弦定理把式子变成含有三角函数的形式，再用辅助角公式化简，就能更方便地求出结果。
我曾经在课堂上出了一道题：已知函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ ，求它在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值。
有个学生很快就用辅助角公式算出了结果，还得意洋洋地跟旁边的同学炫耀。
辅助角公式PPT课件
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2020/1/16
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2
2
sin(30o x) 4
(3) 3 sin x cos x
我们发现，式中sinx和cosx的两个系数 和 3 和 1 不可以作为某个角的正余弦值
但同时我们发现，如果我们对式子提取2
后，sinx和cosx的系数变成了 3 和 1
就可以看做特殊角30o的正余弦值2
2
(3) 3 sin x cos x 2( 3 sin x 1 cos x)
已知化简sin2cos2cossinsincosmaxmin由图像知10巩固练习11一个人在无结果地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法那是极其令人高兴的
专题：辅助角公式的应用
1
学习目标
1、理解并记住辅助角公式；
2、会用辅助角公式进行化简（将asin x b cos x 化为 Asin(x ) 的形式
2
62
k x 2 k , k Z
6
3
f (x)的单调减区间为[ k , 2 k ], k Z
6
3
(3) x
4
3
2x 5
3
66
由图像知f (x)max 2
2 sin 2
2
2,
3
f (x)min 2
2
回顾练习
求值：(1)sin347 cos148 sin 77 cos 58 ； (2)sin164 sin 224 sin 254 sin 314 ;
(3)sin( ) cos( ) cos( ) sin( )
2023届高考数学复习微难点6 辅助角公式(共13张PPT)
＋
sin2
x＋π4
＝
1－cos2x＋6π 2
＋
1－cos2x＋2π 2
＝
1
－
1 2
23cos2x－32sin2x ＝ 1 －
3 2
cos
2x＋π3
.
因
此
，
该
函
数
的
值
域
是
1－ 23，1＋ 23.
与解三角形有关的辅助角公式 1
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosC－2c＝b. (1) 求角 A 的大小； 【解答】由 acosC－12c＝b 得 sinAcosC－12sinC＝sinB.又 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC，所以12sinC＝－cosAsinC.因为 sinC≠0，所以 cosA＝－12.又因为 0<A<π，所 以 A＝23π.
与三角变换有关的辅助角公式
π 已知 f(x)＝4tanxcosxcosx－3－ 3.
(1) 求 f(x)的定义域与最小正周期； 【 解 答 】 f(x) 的 定 义 域 为 x|x≠π2＋kπ，k∈Z .f(x) ＝ 4tanxcosxcos x－π3 － 3 ＝
4sinxcos
x－π 3
－
3＝4sinx 12cosx＋ 23sinx －
主题二 函数 第四章 三角函数与解三角形
微难点6 辅助角公式
与向量有关的辅助角公式
已知向量 a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数 f(x)＝a·b，且 y＝f(x)的图象
π
2π
过点12， 3和点 3 ，－2.
(1) 求 m，n 的值； 【解答】 已知 f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为 y＝f(x)过点1π2， 3，23π，－2，所
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式，我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如， 利用正弦和差化积公式，我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$，从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的，因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度，因此当角度超出这个 范围时，公式可能不准确，导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题，如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如，利用正弦的倍角公式，我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$，从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用，可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ，从而得到新的三角函数图像。
例如，利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移，得到 余弦函数图像；也可以将正弦函数图像进行伸缩变换，得到 周期不同的三角函数图像。
辅助角公式通用课件
随着数学与其他学科的交叉融合 ，辅助角公式将会在更多领域发
挥其重要的作用。
未来研究的方向与展望
对于辅助角公式的深入研究，可以进一步探索其与其他数学知识的联系 和区别，促进数学知识的系统化。
可以尝试推广辅助角公式，将其应用于更广泛的数学问题中，以拓展数 学的应用领域。
可以结合现代数学技术和方法，研究辅助角公式的计算方法和算法，提 高其计算效率和精度。
角）的三角函数值。
辅助角公式在解决三角函数问题 时具有广泛的应用，可以简化计
算过程，提高解题效率。Fra bibliotek辅助角公式的推导过程涉及到三 角函数的诱导公式和和差公式等 基础知识，需要学生熟练掌握。
辅助角公式的应用前景展望
随着数学教育的普及和提高，辅 助角公式将会被更广泛地应用于
解决实际问题中。
在物理、工程、经济等领域，辅 助角公式也有着广泛的应用前景 ，可以用于解决各种涉及三角函
实际应用案例
通过实际应用案例，可以深入理解辅助角公式的应用场景和优势，如物理、工 程、经济等领域的问题解决。
05 辅助角公式的习题与解答
辅助角公式的常见习题
习题1
01
已知角α的终边在第二象限，求α的集合。
习题2
02
已知sinα=-√3/2，求α在哪个象限。
习题3
03
已知cosα=1/2，求α的值。
02 辅助角公式的推导与证明
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数 中非常重要的公式之一，它可以将两 个三角函数的和差形式转化为积的形 式，从而简化计算。
这个公式在解决三角函数问题时非常 有用，可以大大简化计算过程。
具体来说，对于任意两个角度α和β， 三角函数的和差化积公式为： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
2013年高一数学必修四全册课件3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式88张
＝5 3－2sin2x－2 3(1－cos2x)
＝3 3－2sin2x＋2 3cos2x
＝3
3－4(sin2x×12－cos2x×
3 2)
＝3 3－4(sin2xcosπ3－cos2xsinπ3)
＝3 3－4sin(2x－π3)，
因为π4≤x≤72π4，所以6π≤2x－3π≤π4.
所以sin(2x－3π)∈[12， 22]．所以当2x－3π＝π4，
若α为第一象限的角且cosα＝
3 5
，求sin2(α－
π 4
)及tan2α的
值．
[分析] 利用二倍角公式及诱导公式建立起已知和未知
的关系．
[解析] ∵cosα＝35且α为第一象限的角， ∴sinα＝ 1－cos2α＝45， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×45×35＝2245， cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(45)2＝－275，
24 ∴tan2α＝csoins22αα＝－25275＝－274，
∴sin2(α－4π)＝sin(2α－π2)＝－cos2α＝275.
命题方向 倍角公式的逆用
意向转换，逆用公式，应用时要对公式特点有一个整体
感知．主要逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；cosα＝s2isni2nαα；
cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；
函数y＝sin2x的最大正周期为( )
A．2π
B．π
C．3π
D．4π
[答案] B
[解析] y＝sin2x＝1－c2os2x＝12－12cos2x T＝22π＝π.
思路方法技巧
命题方向 倍角公式的正用
从题设出发，顺着问题的线索，符合公式的特点，直接 应用倍角公式．
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（Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
20
3、已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). (1)求f( 5) 的值.
4
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增
区间.
4、已知函数f(x)= sin x cos x cos 2 x－1.
22
2
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区
a2
b2
a sin x a2 b2
b a2
b2
cos x
a2 b2 sin x cos cos x sin
a2 b2 sin(x ) 其中 cos a ,sin
a2 b2
b .
a2 b2
辅助角公式
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
1.利用公式展开
sin( ) 2 sin 2 cos
4
2
2
2.将下面式子化为只含正弦的形式：
2 sin 2 cos sin( )
2
2
4
试一试：
将下面式子化为只含正弦的形式：
(1) 3 sin 1 cos
2
2
(2)sin 3 cos
(3)sin cos
a sin x b cos x
（2）.1 sin 2x 3sin2 x 2
针对练习
1、求下列三角函数的最值及最小正周期
12sin x 2 3 cos x; 2 1 sin x 1 cos x; 3 6 cos 2x 2 sin 2x
2
2
2、 已知函数 f (x) sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x
另外，由
2cos2 1 cos 2
可得： 2cos2 1 cos 2
从而： cos2 1 cos 2
2
同样：
1 2sin2 cos 2
2sin2 1 cos 2
sin2 1cos 1 sin 2
2 cos2 1（1 cos 2）
其中 cos a ,sin b .
a2 b2
a2 b2
说明：利用辅助角公式可以把形如 y=asinɑ+bcosɑ的函数，转化为一个角 的一种三角函数形式，便于后面求三角函 数的最小正周期、最值、单调区间等。
例 已知函数 f (x) sin x cos x.
(1)求此函数的最值； (2)求此函数的值域； (3)求此函数的单调递增区间； (4)求此函数图象的对称轴； (5)求此函数图象的对称中心.
辅助角公式
正余弦和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
利用和差角公式计算下列各式的值：
(1)sin 72 cos 42 cos 72 sin 42
2sin10 cos 50 cos10 sin 50
探究：
2
sin2 1（1 cos 2）
2
例2.求下列各式的值
cos2 15 sin15 cos15 sin2 22.5
例3.求下列函数的最小正周期：
（1）.y cos2 x 2
（2）y 2sin2 x
二倍角公式与辅助角公式综合
例4.将下列各式化为 A sin(x ) b
的形式.
（1）.2sin x cos x 2cos2 x
间. (2)求函数f(x)在[ , 3]上的最小值.
42
5、(12分)(2013·陕西高考)已知向量a=（cos x, 1
2
）,
b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在[0, ] 上的最大值和最小值.
2
课堂小结
解 y Asin2 x Bsin xcos x C cos2 x D 类问题的步骤：
1.利用下列公式，将y化成y=asin2x+bcos2x+k的形式
sin cos 1 sin 2 sin2 1 cos 2
2
2
cos2 1 cos 2 2
2.再利用辅助角公式将y化成 y a2 b2 sin 2x 形c 式
3. 再利用 y Asin x k 的知识解决题中的问题，
如：周期性、单调性、 最值、奇偶性、对称性等
二倍角公式
二倍角的正弦
sin 2 2sin cos
二倍角的余弦
cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
利用二倍角公式求最值
例1：求下列各式的最大值及最小正周期：
(1) sin x cos x; (3)2 cos 2 x 1;
2
(2) cos2 x sin2 x ;
8
8
(4)1 2sin2 x.
5sin2 x cos2 x
16
16
11
sin 2 2sin cos
公式从右向左用即为：
2sin cos sin 2
两边同时除以2，即得
sin cos 1 sin 2
2
cos2 cos2 sin2
这个公式也要求会从右向左用，即
cos2 - sin2 cos2