线面垂直与面面垂直的判定与性质

立体几何之垂直关系

【知识要点】

空间中的垂直关系

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．

题型1 平移证明线线垂直 例1 如图，在四棱锥ABCD P -中，N M AD BC AB AD BC BC AB ,.2,1,,===⊥分别为DC PD ,的中点，求证：AC MN ⊥

例2 底面ABCD 是正方形，Q G BE PD PD BE ,,2,=‖分别为AP AB ,的中点，求证：CG QE ⊥

例3 如图，在正方形1111D C B A ABCD -中，M 为1CC 的中点，F E ,分别为11,D A CD 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：OM EF ⊥

题型2 线面垂直判定

例1 如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆是等边三角形。

①若ABC ∆是等边三角形，证明：PC AB ⊥

②若 90=∠=∠PBC PAC ，证明：PC AB ⊥

例 2 已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面边长分别是2和4的正方形，

41=AA 且

ABCD AA 底面⊥1，点P 为1DD 的中点，求证：PBC AB 面⊥1

例3 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB BAC ==∠,90

，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11C B 的中点。证明：⊥D A 1平面BC A 1

题型3 线面垂直性质证明线线垂直

例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，D AA AC ACB ,2

1,901=

=∠ 是棱1AA 的中点，求证：BD DC ⊥1

例2 已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且FN AM =。求证：AB MN ⊥

例3 如图，四棱锥ABCD P -中，

PAB AD BC BAD ABC ∆==∠=∠,2,90

与PAD ∆都是等边三角形。证明：CD PB ⊥

题型4 面面垂直的证明

例1 如图ABC ∆为正三角形，ABC EC 平面⊥，CE BD ‖，且BD CA CE 2==，M 是EA 的中点。求证：平面⊥DEA 平面ECA

例 2 如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，

60=∠BAD ，N 是PB 的中点，过N D A 、、三点的平面交PC 于M ，求证：平面ADMN PBC 平面⊥

例3 如图，四边形ABCD 为菱形，F E ABC ,,120

=∠是平面ABCD 同一侧的两点，⊥BE 平面ABCD ， ⊥DF 平面ABCD ，EC AE DF BE ⊥=,2.证明：平面⊥AEC 平面AFC .

题型5 面面垂直性质的运用

例 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，平面⊥PCD 平面ABCD ，,,AD PD CD PC =⊥E 为PA 的中点，求证：⊥DE 平面PAC

例2 如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PAB 底面ABCD ，且,,90BC AD ABC PAB ‖

=∠=∠ E AD BC AB PA ,2===是PC 的中点，求证：平面PBC PCD 平面⊥

例3 如图，在三棱台DEF ABC -中，平面⊥BCFE 平面ABC ，

90=∠ACB ， .2,1====BC FC EF BE 求证：ACFD BF 平面⊥

题型6 垂直中的存在性问题

例1 底面ABCD 是正方形，⊥PD 平面ABCD ，,22,===BE PD AB PD BE ‖线段PE 上是否存在一点N ，使⊥PE 平面NAC ?若存在，求PN 的长；若不存在，说明理由。

例2 在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，AC DB DC DB ⊥=,，点M 是棱1BB 上一点，是否存在点M ，使得平面⊥1DMC 平面D D CC 11？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由。

例3 如图，111C B A ABC -是底面边长为2，高为2

3的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ，设()10111<<=λλA C P C .是否存在λ，使得平面⊥CPQ 截面APQB ？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由。

作业

如图所示，已知正三棱锥ABC P -的侧面是直角三角形，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E .连接PE 并延长交AB 于点G .求证：G 是AB 的中点。