线面、面面关系的判定与性质

线面、面面关系的判定与性质
一、线面关系的转换网络图
1﹒线线平行：
（1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒
（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒
（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行
→线线平行）﹒
（12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒
2﹒线线垂直：
（9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒
3﹒线面平行：
（2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行（线线平行→线面平行）﹒
（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线
面平行）﹒
4﹒线面垂直：
（7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线
垂直→线面垂直）﹒
（11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面﹒
（14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个
平面（面面垂直→则线面垂直）﹒
5﹒面面平行：
（4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面
平行→面面平行）﹒
（13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直：
（8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直
（面面垂直→则线面垂直）﹒
7.直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
这个角的范围为]90,0[0
.
（2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算.
注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题
例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0
90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义）
变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ∆满足0
90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点，
证明：DAB PC 平面⊥.
（判定定理、定义、等腰三角形的高）
C
B A
P
C
D
A
P B
P
A
B
α
变式2：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥，4===AB AC PA ，22=BD ，AB PC ⊥，D 是
边PC 的中点，证明：PAC BD 平面⊥. （判定定理、定义、勾股定理）
变式3：三棱锥ABC P -中， PA AC ⊥，满足24BC PC PB PA ====，D 是边PC 的中点，
ABD PAD 平面平面⊥.证明：PAC BD 平面⊥.
（判定定理、定义、面面垂直性质定理）
例2：【信宜市2015届高三10月统测】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱
ABCD PD 底面⊥,DC PD =,E 是PC 的中点，作PB EF ⊥,交PB 于点F .
（1）证明：EDB PA 平面//；（2）若2==DC PD ，求三棱锥BDE A -的体积； （3）证明：EFD PB 平面⊥.
C
B
A
P
D
C
D
A
P
B
P
A
B
C
D
E
F
三、巩固训练、能力提升
1.【2014高考北京卷 节选】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，
12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.求证：平面ABE ⊥平面11B BCC .
2.【2014高考江苏卷 节选】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知
,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.证明：平面BDE ⊥平面ABC .
3.【2013年高考北京 节选】如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面
PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:
（1）PA ⊥底面ABCD ；（2）平面BEF ⊥平面PCD .
4.【肇庆市2015届高中毕业班第一次统一检测】如图，已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF //平面ABC ；（2）求证：EF ⊥平面P AC ； （3）求三棱锥B —P AC 的体积.
5.【广东2015届高三第一次六校联考】直角梯形ABCD 中AB ∥ CD ,CD AB 2
1
=
，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面BCE ，BCE ∆为等边三角形，F M ,分别是BC BE ,的中点，DC DN 4
1
=
. （1）证明：EF ⊥AD ；（2）证明：MN ∥ 平面ADE ； （3）若1,2AB BC ==，求几何体ABCDE 的体积.
P
A
B
O E F
6.【广州六中2015届9月高三第二次月考】如图，在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，且
ABC ∆为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．
（1）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（2）求证：平面D BC 1⊥平面；
（3）求三棱锥D BC C 1-的体积．
7.【广州市荔湾区2015届高三11月调研测试】如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面， 点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且33,22BD PD AC AD ====. （1）求证：PA ⊥CD ；
（2）求点B 到平面PAC 的距离．
D
B 1
C 1
A
B
C
A 1
D 1
C 1
B 1
A 1
F E
D
C
B
A
8.【韶关市2015届高三模拟底考试】如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是正方形，1AB =，
12AA =，线段11B D 上有两个点E ，F .
（1）证明：11AC B D ⊥；（2）证明：EF ABCD 平面∥； （3）若E ,F 是线段11B D 上的点，且1
2
EF =，求三棱锥ABF E -的体积.
9.【2015届中山七校联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点,M 是PD 的中点,2,60AB BAD =∠=. （1）求证：//OM 平面PAB ； （2）平面PBD ⊥平面PAC ； （3）当四棱锥ABCD P -的体积等于3时,求PB 的长.
F E
乙
D
C
B
A
10.【2014高考浙江卷】如图，四棱锥BCDE A -中，平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=︒，
2AB CD ==，1DE BE ==，2AC =.
（1）证明：AC ⊥平面BCDE ；
（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.
11.【深圳市2015届高三年级第一次五校联考】如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知
45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=AB BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平
面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积．
A
D E
B
C
盛年不重来，一日难再晨。

及时宜自勉，岁月不待人。