线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

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线面垂直、面面垂直的判定与性质

本周知识小结：

直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直

线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线

例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥

CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=

AB,PH为△PAD中

AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.

(2)若PH=1,AD= 2，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.

(3)证明:EF⊥平面PAB.

例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，

且二面角C AB F

--是直二面角，AF a

=，G是EF的中点．

（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；

（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；

例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111

ABCD A B C D

-中，AB CD

∥，

AB AD

==，12

D D CD

==，AB AD

⊥．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面

D DB；

（Ⅱ）求

D B与平面

D DCC所成角的大小．

例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC

角形，AB＝2，O是AB中点．

(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；

(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.

课后练习：

1、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系之青柳念文创作

1．线面垂直

直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直

于这个平面.

推理形式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一

个平面,那末这两条直线.

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面.

如果，那末这两个平面互相垂直.

推理形式：

若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面.

一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析

面垂

直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前

面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同

学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中，

高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说

明．

例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C

1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：

平面AEF ⊥平面PBC ．

5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC

＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面

A 1

B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质之欧阳家百创编

空间中的垂直关系

欧阳家百（2021.03.07）

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解

决，其关系为：线线垂直−−−→

←−−−

判定

性质线面垂直

−−−→

←−−−

判定

性质面面垂直．这三

者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA

⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

线面垂直面面垂直的性质与判定定理

A 辅助线（面）：
发展条件的使解题过程获得突破的
又⊥β，∩β=AB 所以b⊥β
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D，
∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -AB 角的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
α 作用：
符号语言：
β a
l A
面面垂直线面垂直
a
l
∴AD⊥BC
A
C
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴SA⊥BC
∵SA∩AD=A， ∴BC⊥平面SAB
B
“从已知想性质，从求证想判定”这是证明几何问题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC
∴AB⊥BC
课堂小结 1、证题原则：
注意辅助线的作用从已知想性质，从求证想判定
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
a
a l
垂直体系线线垂直
判定定义
线面垂直

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1.线面垂直

直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:

直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2.面面垂直

两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)

如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:

两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)

若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系

为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.

例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.

(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;

(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥

证明:平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;

线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关

系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

面面垂直→线线垂直判定定理

平面垂直的判定定理:

一个平面过另一平面的，则这两个平面相互垂直。

面面垂直性质定理：

定理1:如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

平面垂直的判定定理和性质如下:

平面垂直的判定定理:

一个平面过另一平面的，则这两个平面相互垂直。

推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

推论2:如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为垂直的平面互相垂直）

面面垂直性质定理1:

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）

推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系

为：线线垂直判定

性质线面垂直判定

性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，

可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同

学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中

蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．

例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B C

A B

证明：平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB=AD=1，AA

1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系之袁州冬雪创作

1．线面垂直

直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直

于这个平面.

推理形式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一

个平面,那末这两条直线.

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面.

如果，那末这两个平面互相垂直.

推理形式：

若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面.

一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析

面垂

直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前

面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同

学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中，

高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说

明．

例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C

1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：

平面AEF ⊥平面PBC ．

5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC

＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面

A 1

B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

−→−

判定

性质线面垂直（2

2、如图，棱柱

111

ABC A B C -的侧面

BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

证明：平面1AB C ⊥平面11A BC

4是PB

5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论

8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位

置，使平面EDB ⊥平面ABD .

求证：AB DE ⊥

9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、

AD 的中点

求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD

10SB ⊥，垂足为求证：（（2）

11、如图，在三棱锥ABC P -中，F E D ,,分别是棱AB AC PC ,,的中点，已知

5,8,6,===⊥DF BC PA AC PA .

求证：（1）直线//PA 平面DEF ; （2）平面⊥BDE 平面ABC

12AE 将

ADE ∆（1（2

13、如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB PA AB AC AB //,,⊥⊥,CD AB 2=,

线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系

1线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果 ___________________________ ，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式： _______________________

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 ________ 。

2. 面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成 ______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直)

如果 ____________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。推理模式： _______________________

两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直)

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ___________ 的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明.

例题：1.如图，AB 是圆0的直径，C 是圆周上一点，P 从平面ABC

(1) 求证：平面 PACL 平面PBC

(2) 若D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

2、如图，棱柱ABC A1BC 1的侧面BCC i B i 是菱形，BC AB