(完整版)轨迹方程练习题
专题20 轨迹方程的求法(含参考答案)
【例 2】一动圆与圆 x2 y2 6x 5 0 外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，求动圆圆心 M 的轨
迹方程，并说明它是什么样的曲线。
【例 3】已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线 l 于点 A，又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.
y
BQ
R
A
o
P
x
【五】交轨法
交轨法： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交
点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去 参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 1.例题
【例 1】抛物线 y 2 4 px( p 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的
【练习 2】过点 A（－1，0），斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C：y2=4x 交于 P，Q 两点.若曲线 C 的焦点 F 与 P，Q，R 三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR，求点 R 的轨迹方程。
【四】代入法（相关点法）
代入法（相关点法）：
如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某 已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入已 知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 1.例题
F1 是抛物线
y
1 4
(x
1)2
1的焦点，两点
A（-3，2）、B
（1，2）都在该双曲线上．
高考动点轨迹方程的常用求法含练习题及答案
轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，那么有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，那么点P 的轨迹是〔 〕 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---，，(3)PB x y =--，，由2PA PB x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+，P ∴点轨迹为抛物线．应选D ．三、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状时，一般可用待定系数法解决.例5：A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =，1()2AE AB AD =+．〔1〕求E 点轨迹方程；〔2〕过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：〔1〕设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =，那么22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； 〔2〕设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211k k =+∴，解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量〔参数〕，把x ，y 联系起来 例4：线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OPOP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 那么由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1.椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0)6.解：设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++① A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y --② ①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：2、已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;3、线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
4、已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线5、高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.二、椭圆类型：1、点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x为21，求点M 的轨迹方程. 2、一个动圆与圆05622=+++x y x 外切，同091622=--+x y x 切，求动圆的圆心轨迹方程。
3、点M(00,y x )圆1F 9)1(22=++y x 上的一个动点, 点2F （1,0）为定点。
线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;4、设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM 相交于点M ，且他们的斜率的乘积为94-，求点M 的轨迹方程5、已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。
（1）求动点M 的轨迹C 的方程三、双曲线类型：1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；2、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y x D.14922=-x y3、△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4、点M(x ,y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线516=x 的距离之比为45，求点M 的轨迹方程四、抛物线类型1、已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. 求动圆圆心的轨迹C 的方程；一、抛物线类型：1、点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等，求点M 的轨迹方程。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1：点P－3,0是圆x2+y2－6x－55=0内的定点,动圆M与已知圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程;例2、如图所示,已知P 4,0是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足∠APB =90°,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ,坐标为x ,y ,则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理：在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－x 2+y 2 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有x －42+y 2=36－x 2+y 2,即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Qx ,y ,Rx 1,y 1,因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 若∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 错误!, |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点;依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点;设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ,其中x A,x B 分别为A ,B 的横坐标,P=|MN|;)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22=+-=++==-A A A A px px px px AN AM p N p M 得由所以 由①,②两式联立解得p x A 4=;再将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====2214A A x p x p 或 因为△AMN 是锐角三角形,所以Ax p >2,故舍去⎩⎨⎧==22A x p∴p=4,x A =1由点B 在曲线段C 上,得42||=-=pBN x B ;综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y解法二：如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2垂足分别为E 、D 、F 设Ax A , y A 、Bx B , y B 、Nx N , 0 依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222>≤≤-=>≤≤=+-====++=+=∆=+======y x x y C y x x x x y x x y x P C y x P NB BE x AE AM ME EN ME x AMN DA AM DM y AN DA ME x B A N B N A A 的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于例4、已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y =x ,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点Mx ,y 随A 、B 的移动而变化,故可设)1,1(),,(++t t B t t A , 则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ,得.082222=+-+-y x y x当t =－2,或t =－1时,PA 与QB 的交点坐标也满足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x例5、设点A 和B 为抛物线 y 2=4pxp ＞0上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一：设Mx ,y ,直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ,得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ,消去y ,得k 2x 2+2kb －4px +b 2=0 所以x 1x 2=22kb , y 1y 2=kpb 4,由OA ⊥OB ,得y 1y 2=－x 1x 2所以k pk4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =kx －4p , 得x 2+y 2－4px =0x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0,它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.解法二：设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,Mx ,y依题意,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x yx y px y px y①－②得y 1－y 2y 1+y 2=4px 1－x 2 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥ ①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2⑦⑥代入④,得yxy y p -=+214 ⑧ ⑥代入⑤,得py x y y x x y y y y p442111121--=--=+所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=yy 1+y 2－y 12－y 1y 2 ⑦、⑧代入上式,得x 2+y 2－4px =0x ≠0 当x 1=x 2时,AB ⊥x 轴,易得M 4p ,0仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0x ≠0它表示以2p ,0为圆心,以2p 为半径的圆,去掉坐标原点.① ②③ ④ ⑤|轨 迹 方 程练习11．08、山东文22已知曲线1C ：||||1(0)x y a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为 45,曲线1C 的内切圆半径为253,记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．1求椭圆2C 的标准方程； 2设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦,L 是线段AB 的 垂直平分线,M 是L 上异于椭圆中心的点．①若||MO ＝λ||OA O 为坐标原点,当点A 在椭圆2C 上运动时,求点M 的轨迹方程；②若M 是L 与椭圆2C 的交点,求AMB ∆的面积的最小值．解：1由题意得22245253ab ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩⇒4522==b a ，⇒椭圆方程：2254x y +＝1．2若AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为y ＝kxk≠0,A A A y x ，．①由22154,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩⇒2222220204545A A k x y k k ==++， ⇒2222220(1)||45AAk OA x y k+=+=+． 设Mx,y,由|MO|＝λ|OA|λ≠0⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒2222220(1)45k x y k λ++=+．因为L 是AB 的垂直平分线,所以直线L 的方程为y ＝1x k -⇒k ＝x y-,代入上式有：22222222222220(1)20()4545x x y y x y x y x yλλ+++==++⨯,由022≠+y x ⇒2225420x y λ+=, 当k ＝0或不存时,上式仍然成立.,综上所述,M 的轨迹方程为22245x y λ+=,λ≠0．②当k 存在且k ≠0时,2222220204545AA k x y k k ==++，⇒|OA|2＝222220(1)45A A k x y k ++=+． 由221541x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⇒2222220205454M M k x y k k ==++，⇒22220(1)||54k OM k +=+． ⇒222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++＝209． 222119||||20OA OB OA OM≤+=⨯⇒||||OB OA ⨯≥940．||||21OB OA S AMB ⨯⨯⨯=∆＝||||OB OA ⨯≥40,当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时,即k ＝±1时等号成立．当1400229AMB k S ∆==⨯=>，； 当k 不存在时,140429AMB S ∆==>．综上所述,AMB ∆的面积的最小值为409．2．07、江西理21设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ,2APB θ∠=,且存在常数(01)λλ<<,使得212sin d d θλ=．1证明：动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程；2过点B 作直线与双曲线C 的右支于M N ，两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．解：1在PAB △中,2AB =,即222121222cos 2d d d d θ=+-, 2212124()4sin d d d d θ=-+,即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<常数,点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点,实轴长221a λ=-的双曲线,方程为：2211x y λλ-=-． 2设11()M x y ，,22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为1x =,(11)M ，,(11)N -，在双曲线上．即2111511012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-, 因为01λ<<,所以512λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得： 2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦,由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦ ⇒21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--,2122(1)()(1)k x x kλλλλ--+=-- ⇒22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 由OM ·ON ＝0,且M N ，在双曲线右支上,所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>-⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩． 由①②知32215<≤-λ．3．09、海南已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．1求椭圆C 的方程；2若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,2OP e OMe 为椭圆C 的离心率,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．解：Ⅰ设椭圆长半轴长及分别为a,c ．由已知得⎩⎨⎧=+=-71c a c a ⇒a ＝4,c ＝3⇒椭圆C 的方程为221167x y +=． 2设Mx,y,P 0x ,0y ． 其中0x ∈－4,4,0x ＝x ．有22001167x y +=……① 由OP e OM=得：2240022x y e x y +=+＝169． 故22220016()9()x y x y +=+下面是寻找关系式0x ＝fx,y,0y ＝gx,y 的过程又⎪⎩⎪⎨⎧-==167112220220x y x x ……………………………………②②式代入①：22001167x y +=并整理得：47(44)3y x =±-≤≤,所以点M 的轨迹是两条平行于x 轴的线段．轨 迹 方 程练习24．09、重庆理已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =,离心率32e =,M 是椭圆上的动点． 1若C 、D 的坐标分别是0,√3、0,－√3,求||MC ·||MD 的最大值；2如图,点A 的坐标为1,0,点B 是圆221x y +=上的点,点N 是点M 椭圆上的点在x 轴上的射影,点Q 满足条件：OQ ＝OM ＋ON ,QA ·BA ＝0．求线段QB 的中点P 的轨迹方程．解：1设椭圆方程为：22221x y a b +=a ＞b ＞0．准线方程3y =＝c a 2,2e =＝ac ⇒2=a ,32=c 1=⇒b ⇒椭圆方程为：2214y x +=．所以：C 、D 是椭圆2214y x +=的两个焦点⇒||MC ＋||MD ＝4．||MC ·||MD ≤4)2||||(2=+MD MC ,当且仅当||MC ＝||MD ,即点M 的坐标为(1,0)±时上式取等号⇒||MC ·||MD 的最大值为4．2设M(,),(,)m m B B x y B x y ,(,)Q Q Q x y ,N 0，m x ⇒4422=+m m y x ,122=+B B y x ． 由OQ ＝OM ＋ON⇒m Q x x 2=,m Q y y =⇒4)2(2222=+=+m m Q Qy x y x ………①由QA ·BA ＝0 ⇒Q Q y x --，1·B B y x --，1＝Q x -1B x -1＋B Q y y ＝0 ⇒=+B Q B Q y y x x 1-+B Q x x …………②记P 点的坐标为P x ,P y ,因为P 是BQ 的中点⇒B Q P x x x +=2,B Q P y y y +=2⇒2222)2()2(BQ B Q P P y y x x y x +++=+＝)22(412222B Q B Q B Q B Q y y x x y y x x +++++ ＝)]1(25[41-++B Q x x ＝)245(41-+P x ⇒P P P x y x +=+4322 ⇒动点P 的方程为：1)21(22=+-y x ．5．09、安徽已知椭圆22a x ＋22by ＝1a ＞b ＞0的离心率为33．以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．1求a 与b 的值；2设该椭圆的左,右焦点分别为1F 和2F ,直线1L 过2F 且与x 轴垂直,动直线2L 与y 轴垂直,2L 交1L 于点p.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程,并指明曲线类型解：1e ＝33⇒22a b ＝32．又圆心0,0到直线y ＝x ＋2的距离d ＝半径b ＝22112+, ∴2b ＝2,2a ＝3．12322=+y x 21F －1,0、2F 1,0,由题意可设P 1,tt ≠0.那么线段1PF 的中点为N0,2t ． 2L 的方程为：y ＝t,设M M M y x ,是所求轨迹上的任意点.下面求直线MN 的方程,然后与直线2L 的方程联立,求交点M 的轨迹方程直线1PF 的斜率k ＝2t ,∴线段1PF 的中垂线MN 的斜率＝－t2． 所以：直线MN 的方程为：y －2t ＝－t 2x ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==22t x t y t y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x MM 42, 消去参数t 得：M M x y 42-=,即： x y 42-=,其轨迹为抛物线除原点．又解：由于MN ＝－x,2t －y,1PF ＝－x,2t －y ．∵MN ·1PF ＝0, ∴⎪⎩⎪⎨⎧==---ty y t x t x 0)2(·)2,(，,消参数t 得：x y 42-=x ≠0,其轨迹为抛物线除原点．6．07湖南理20已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．直接法求轨迹1若动点M 满足1111F M F A F B FO =++其中O 为坐标原点,求点M 的轨迹方程；2在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数 若存在,求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1由条件知1(20)F -，,2(20)F ，,设11()A x y ，,22()B x y ，．设()M x y ，,则1(2)F M x y =+，,111(2)F A x y =+，,1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，, 由1111F M F A F B FO =++⇒121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩ ⇒12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩⇒AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时,1212024822y y y y x x x x --==----, 即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ，,也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=． 2假设在x 轴上存在定点(0)C m ，,使CA ·CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-,于是CA ·CB 22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA ·CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA ·CB ＝－1．当AB 与x 轴垂直时,点A B ，的坐标可分别设为(2,(2,此时CA ·CB ＝1,√2·1,－√2＝－1．故在x 轴上存在定点(10)C ，,使CA ·CB 为常数．。
专题01 解析几何中的轨迹方程问题(原卷版)
专题01 解析几何中的轨迹方程问题常见考点考点一 直接法典例1．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .变式1-1．在直角坐标系xOy 中，已知动点P 与平面上两定点(1,0)M -，(1,0)N 连线的斜率的积为定值4-，设点P 的轨迹为C ．(1)求出曲线C 的方程；(2)设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，求k 的值．变式1-2．若点(),M x y 到直线40x +=的距离比它到点()1,0N 的距离大3． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过点N 的直线1l 与点M 的轨迹曲线交于A ，B 两点，过点N 的直线2l 与点M 的轨迹曲线交于C ，D 两点，若12l l ⊥，求11AB CD +的值．变式1-3．在平面直角坐标系中，动点P 到点()2,0F 的距离和它到直线9:2l x =的距离之比为23.动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么图形；(2)已知曲线C 与x 轴的交点分别为,A B ，点M 是曲线C 上异于,A B 的一点，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.考点二 相关点法典例2．已知圆()222:0O x y r r +=>与直线y x =+(1)求圆O 的标准方程；(2)若线段AB 的端点A 在圆O 上运动，端点B 的坐标是()6,0，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．变式2-1．已知圆M 经过原点和点()3,1-，且它的圆心M 在直线250x y +-=上. (1)求圆M 的方程；(2)若点D 为圆M 上的动点，定点()2,0C ，求线段CD 的中点P 的轨迹方程.变式2-2．已知抛物线24C y x =： 的焦点为F . 点A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程.变式2-3．已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足()2222OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C ，求动点M 的轨迹曲线C 的方程.考点三 定义法典例3．设圆222150x y x ++-=的圆心为1C ﹐直线l 过点()21,0C 且与x 轴不重合，直线l 交圆1C 于A ，B 两点.过2C 作1AC 的平行线交1BC 于点P . (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为曲线E ，直线l 交E 于M ，N 两点，C 在线段MN 上运动，原点O 关于C 的对称点为Q ，求四边形OMQN 面积的取值范围；变式3-1．已知在平面直角坐标系中，圆A ：22570x y ++-=的圆心为A ，过点B ，0)任作直线l 交圆A 于点C 、D ，过点B 作与AD 平行的直线交AC 于点E . (1)求动点E 的轨迹方程；(2)设动点E 的轨迹与y 轴正半轴交于点P ，过点P 且斜率为k 1，k 2的两直线交动点E 的轨迹于M 、N 两点(异于点P )，若126k k +=，证明：直线MN 过定点.变式3-2．已知P 为圆22:2150M x y x +--=上一动点，点()1,0N -，线段PN 的垂直平分线交线段PM 于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点Q 的轨迹为曲线C ，过点N 作曲线C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为E ，F ，过点N 作直线EF 的垂线，垂足为点H ，是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，说明理由.变式3-3．在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹方程E ；(2)若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由.考点四 消参法与交轨法典例4．如图所示，过双曲线C ：2213y x -=的左焦点F 作直线l 与双曲线交于P 、Q ，以OP 、OQ为邻边作平行四边形OPMQ ，求点M 的轨迹方程.变式4-1．已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左、右顶点，一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，求直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程．变式4-2．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --= (1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．变式4-3．已知A （ -3，0），B （3，0），四边形AMBN 的对角线交于点D （1，0），kMA 与kMB 的等比中项为13，直线AM ，NB 相交于点P . (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若点N 也在C 上，点P 是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.巩固练习练习一 直接法1．在平面直角坐标系xOy 中，A (2，0)，B (－2，0)． (1)若|P A |＝|PB |，求点P 的轨迹方程；(2)若2|P A |＝|PB |，且对于任意的点P ，Q ，均有OQ ＝λOP ，记点Q 的轨迹方程为C ，若C 与x 轴有一个交点为A ，求λ的值．2．已知动点P 到点（0，1）的距离与到直线y ＝2的距离的比值为2，动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx +1与曲线C 交于A ，B 两点，点M （0，2），证明：直线MA ，MB 的斜率之和为0．3．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是34-，求点M 的轨迹方程．4．设动点M 到定点(3,0)F 的距离与它到直线4:3l x =的距离之比为32，求点M 的轨迹方程．练习二 相关点法5．已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上. (1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.6．已知Rt ABC 的斜边为AB ，且(1,0),(3,0)A B -.求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.7．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足2PD MD =，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．8．圆O ：x 2+y 2＝9上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是P 1，P 2，点M 满足122133OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）点A （0，1），B （0，﹣3），过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率k AS ，k AN 存在，求证：k AS •k AN 为常数．练习三 定义法9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆1F ：22(16x y +=上的动点，定点2F ，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于Q ，记Q 点的轨迹为E . （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅰ）若动直线l ：(0)y kx m k =+≠与轨迹E 交于不同的两点M 、N ，点A 在轨迹E 上，且四边形OMAN 为平行四边形.证明：四边形OMAN 的面积为定值.10．已知圆A ：（x +1）2+y 2＝16，圆C 过点B （1，0）且与圆A 相切，设圆心C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅰ）过点B 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与E 交于M ，N 两点，直线l 2与圆A 交于P ，Q 两点，求MN PQ的取值范围．11．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程．12．在直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆Q ：22(2)1x y -+=外切，且圆P 与直线1x =-相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的轨迹方程.练习四 消参法与交轨法13．设椭圆方程为2214y x +=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点A ，B ，O 是坐标原点，点P 满足()12OP OA OB =+，点N 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最小值与最大值.14．已知椭圆C ：2222x y a b +＝1(a >b >0)经过点1)，且离心率为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为12-.若动点P 满足2OP OM ON =+，求点P 的轨迹方程.15．已知抛物线C ：212y x =，过点()1,1Q 的动直线与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，分别以A 、B 为切点作抛物线的切线1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点P . (1)求动点P 的轨迹方程；(2)求PAB △面积的最小值，并求出此时直线AB 的方程.16．设M 是椭圆C ：221124x y +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⅠMQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程.。
【高三数学试题精选】轨迹方程的求法复习测试题(附答案)
轨迹方程的求法复习测试题（附答案）
5 第七时轨迹方程的求法时作业
题号123456
答案
1(2018年北京卷)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
c．双曲线D．抛物线
2．一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是( )
A．双曲线B．双曲线的一分支
c．圆D．椭圆
3．已知|AB→|＝3，A、B分别在轴和x轴上运动，为原点，P→＝13A→＋23B→，则动点P的轨迹方程是( )
Ax24＋2＝1B．x2＋24＝1
cx29＋2＝1D．x2＋29＝1
4．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且12|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
c．抛物线D．线段
5．已知两定点A－2，0、B1，0，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．9πB．8π
c．4πD．π
6．一动圆与两圆⊙x2＋2＝1和⊙Nx2＋2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为__________．
7．过抛物线x2＝4的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则。
高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)资料
高考动点轨迹方程的用求法〔含练习题及答案〕轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2:在4ABC 中,BC 24, AC, AB 上的两条中线长度之和为 39,求4ABC 的重心的轨迹方 程.：P 点轨迹为抛物线.应选D.、代入法：此方法适用于动点随曲线上点的变化而变化的轨迹问题 例3:△ ABC 的顶点B( 3,0) C(1,0),顶点A 在抛物线y轨迹方程.3 1 X O,一 、一 一 x一； 一,x 3x 2,①解：设G(x, y) , A(x 0, y o ),由重心公式,得3:,y 弛,V .3y.②3又「 A(x .,y .)在抛物线y x 2上,「. y .x 2 .③将①,②代入③,得3y (3x 2)2(y .),即所求曲线方程是y 3x 2 4x -(y 0).3解：以线段BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图1, M 为重2 心,那么有 BM CM — 3926 . 3「.M 点的轨迹是以B, C 为焦点的椭圆, 其中 c 12, a 13 . b ,a 2 c 2 5.2:所求^ABC 的重心的轨迹方程为 — 169 2y—i(y 0) . 25、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例 1 :点 A( 2,0) B(3,0),动点 P(x,y)满足P A PBx 2 ,那么点P 的轨迹是(A.圆B.椭圆C,双曲线D.抛物线解析：由题知PA ( 2 x y) , PB(3x, y),由 PA PB x 2 ,得(2 x)(3x) y 2x 2,即x 2上运动,求 4ABC 的重心G 的6四、待定系数法：当曲线的形状时,一般可用待定系数法解决(1)求E 点轨迹方程;(2)过A 作直线交以A, B 为焦点的椭圆于M, N 两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为公,5且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程.解：(1)设 E(x, y),由 AE -(AB AD)知 E 为 BD 中点,易知 D(2x 2,2y). 2又 AD 2 ,那么(2x 2 2)2 (2 y)2 4.即 E 点轨迹方程为 x 2 y 2 1(y 0); (2)设 M(x, y i ), N(x 2, v2 ,中点(x 0, y (o ). 22由题意设椭圆方程为xr1 ,直线MN 方程为y k(x 2).a a 4••・直线MN 与E 点的轨迹相切,,/k L 1,解得k 眄.k 1 3将yX3(x 2)代入椭圆方程并整理,得4(a 2 3)x 2 4a 2x 16a 2 3a 4 0, 3 2x 〔 x 2a一 x o ------------------- -2——,2 2(a 3)222又由题意知x o4,即 T-解得a 2 8.故所求的椭圆方程为 上 £ 1.5 2(a 3) 58 4五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把例4:线段AA 2a ,直线l 垂直平分AA 于O ,在l 上取两点P, P ,使其满足解：如图2,以线段AA 所在直线为x 轴,以线段AA 的中垂线为y 轴建 立直角坐标系. 设点 P(0, t)(t 0), 那么由题意,得P 0彳.由点斜式得直线AP, A P 的方程分别为y -(x a), y —(x a).ata例5:A, B, D 三点不在一条直线上,且A( 2,0) , B(2,0) , A D 2, A E ^(A B A D).4,求直线AP 与AP 的交点M 的轨迹方程.两式相乘,消去t,得4x 2 a 2y 2 4a 2(y 0).这就是所求点M 的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程,关键有两点：一是选参,容易表示出动点；二是消参,消参的途 径灵活多变.配套练习、选择题1.椭圆的焦点是 F i 、F 2, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F i P 到Q,使得|PQ|二|PF 2|,那么动点 Q的轨迹是()二、填空题迹方程为4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(- 5,0)、B(5, 0),那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解做题5.A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,.0'切直线l 于点A,又过B 、C 作.O'异于l 的 两切线,设这两切线交于点P,求点P 的轨迹方程.A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2一 .一 X 2.设A 1、A 2是椭圆一 92匕=1 的长轴两个端点,P i 、P 2是垂直于 A 1A 2的弦的端点,那么直线A i P i 与A 2P 2交点的轨迹方程为22A.L 工9 42 B.—92 C.—92D.—93. △ ABC 中,A 为动点,B 、B(-2a 1,0),C (2,0),且满足条件 sinC —sinB=^sinA,那么动点 A 的轨的交点为Q,求Q点的轨迹方程.. ..x2=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,弓I A i QXA l P, A2QLA2P, A1Q与A2Q6.双曲线—ab22 2.「一 x y8.椭圆 - q=1(a>b>0),点P为其上一点,F i、F2为椭圆的焦点,/ F1PF2的外角平分线为1,点a bF2关于1的对称点为Q, F2Q交1于点R(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C,直线1: y=k(x+J2a)与曲线C相交于A、B两点,当^ AOB的面积取得最大值时,求k的值.参考答案配套练习一、1.解析：|PF i|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,,|PF i|+|PF2|=|PF i|+|PQ|=2a,即|F i Q|=2a,.••动点Q到定点F i的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆答案：A2.解析:设交点P(x,y) ,A i(—3,0),A2(3,0),P i(X0,y o),P2(X0, —y o)A i、P i、P 共线,-一应—y—A2、P2、P 共线,x x0 x 3y Vo yx x0x 3解得x o=9,y o 型,代入得冬- 久-i,即止亡 i x x 9 49 4仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢6答案：C二、3.解析：由 sinC —sinB=』sinA,得 c — b=- a, 2 2・•・应为双曲线一支,且实轴长为 a ,故方程为285x+100=0.答案：4x 2+4y 2—85x+1..=.三、5.解：设过 B 、C 异于l 的两切线分别切..’于D 、E |BA|=|BD|, |PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD |+|PD|+FC|=|BA|+|PE|+FC| 二|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+I2=I8>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以 B 、C 为两焦点的椭圆,以 l所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P 的轨迹方程为 6.解:设 P(x o ,y o) (xw ± a),Q(x,y).「A i (—a,0),A 2(a,0).22 b 2x .2—aVJa 为2,即 b 2(-x 2)-a 2(---)2=a 2b 2yQ 点坐标为(x i , —y i ),又有 A i ( — m,0),A 2(m,0),22 2 答案:竽崇i(xJ)4.解析：设 P(x,y),依题意有 5 ,(x 5)2 y 2(x 5)2=,化简彳导P 点轨迹方程为4x 2+4y 2 -yy一八 x a由条件yx a y . x . ax . y . x . ay .x(x . a)22x a那么A i P 的方程为:y= -y I (xx i mm)A 2Q 的方程为：y=-必/-------- (x x i mm)m 2)i6x 2 * 2~ a i6y ar i(x ).3a 2 4两点,两切线交于点 P.由切线的性质知:2 2x y一 一 二i(yw0)8i 72而点P(x o ,y o )在双曲线上,化简得Q 点的轨迹方程为:a 2x 2—b 2y 2=a 4(xw ± a).7.解:⑴设P 点的坐标为(x i ,y i ),那么2n 八,2 〜2、 2 (x 1 m ). m21=1.此即为M 的轨迹方程. n(2)当mwn 时,M 的轨迹方程是椭圆.2 m 一 一 2 2e =lm__.e= ----------- , m8.解：(1)二.点F 2关于l 的对称点为Q,连接PQ,,/F 2PR=/QPR, |F 2R|=|QR|, |PQ|=|PF 2|又由于l 为/ F 1PF 2外角的平分线,故点 F i 、P 、Q 在同一直线上,设存在R(X 0,y o) ,Q(x i ,y i ),F i(— c,0),F 2(c,0).|F 1Q|=|F 2P|+|PQ|=|F 1P|+|PF 2|=2a,那么(x 1+c)2+y 12=(2a)2x 〔 c 2y 1 2得 x 1二2x .一 c,y 1=2y o .(2x o )2+(2y o )2=(2a)2, •1- x o 2+y o 2=a 2 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(yw 0)(2)如右图,••• S AAOB =1|QA| |OB| - sinAOB= a- sinAOB , 一 , .... 1c 当/AOB=90 时,S AAOB 最大值为-a 2. 此时弦心距|OC|二 I"2ak|1 k2 ,在 RtAAOC 中,/ AOC=45° ,|OC | | . 2ak |2 1 .3cos45 ——,k ——.22,离心率m n(ii)当mvn 时,焦点坐标为(0, 土 Jm ―n 7,准线方程为y= ±2n 2,n —2 ,离心率 m 2 2n m e= ------------- n又因点P 在双曲线上,2代入③并整理得 Jm(i )当m>n 时,焦点坐标为(土 J m ―n 2 ,0),准线方程为x=±xo又V .|OA| a1 k2 2 32 2x y7.双曲线—今=1(m>0,n>0)的顶点为A i、A2,与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q. m n(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mwn时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率① X ②得：y2=_ 2yi2(x2x i m。
轨迹方程练习题
1.△ABC的三边的长|BC|、|AC|、|AB|成等差数列，且满足|BC|＞|AB|，A（-1，0），C（1，0）．求顶点B的轨迹方程．【13武汉二月调考】2.如图,长为m +1(m>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,点M 是线段AB 上一点,且MBAM=m(I)求点M的轨迹Γ的方程,并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；3．已知点A、B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣，（1）求M的轨迹C的方程．（2）若点F1（﹣，0），F2（，0），P为曲线C上的点，∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．4．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2=1相外切，又与定直线L：x=1相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．5．（2012•江西）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．（1）求曲线C的方程；6．如图，设P是圆x2+y2=2上的动点，PD⊥x轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|= |MD|，点A、F1的坐标分别为（0，），（﹣1，0）．（1）求点M的轨迹方程；（2）求|MA|+|MF1|的最大值，并求此时点M的坐标．4．已知点A（﹣1，O），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足．（I）求曲线C的方程；8．已知椭圆+=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R．（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．。
【直线与圆方程】05求轨迹方程训练题(含经典题型+答案0
求轨迹方程训练题1.圆关于22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程2．已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 .3.定长为4的线段AB 的两端点分别在x 、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程是4．求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________5.已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 .6.求到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程．7.已知BC 是圆x 2+y 2=25的弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是8.已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程（ ）.A ．22(1)(2)52x y ++-=B ．22(1)(2)52x y +++=C ．22(1)(2)52x y -+-=D ．22(1)(2)52x y -++=9.线段AB 长为3，其端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，则AB 的中点M 的轨迹方程是10.过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程 .11.过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为 .12.已知圆C ：(x -1)2+y 2=1，过坐标原点O 作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是 .13.若半径为1的动圆与圆x 2+y 2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程是14.长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴，y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为15.已知M （﹣2，0），N （4，0），则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 ．16.已知一个等腰三角形的顶点A （3，20），一底角顶点B （3，5），另一顶点C 的轨迹方程是17.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）.A. 30x y --=B. 230x y +-=C. 10x y +-=D. 250x y --=18.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程.19.设A （－c ，0），B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.20.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)
求动点的轨迹方程〔例题，习题与答案〕在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容〔求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型〕。
求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法〞。
求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标〔*,y 〕满足的关系式。
1. 直接法〔1〕依题意，列出动点满足的几何等量关系；〔2〕将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题直角坐标平面上点Q 〔2，0〕和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(*,y)，直线MN 切圆C 于N 。
依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以(*-2)2+y 2=*2+y 2-1化简得：*=45。
动点M 的轨迹是一条直线。
2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆〔或椭圆、双曲线、抛物线〕的定义。
依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。
例题：动圆M 过定点P 〔－4，0〕，且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设M(*,y)，动圆Ｍ的半径为r 。
假设圆M 与圆C 相外切，则有 ∣MC ∣=r ＋4 假设圆M 与圆C 相内切，则有 ∣MC ∣=r-4 而∣MP ∣=r, 所以∣MC ∣-∣MP ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。
其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为：3. 相关点法假设动点P(*，y)随曲线上的点Q(*0，y 0)的变动而变动，且*0、y 0可用*、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入曲线方程，即得点P 的轨迹方程。
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
2023届二轮复习解答题专题练 轨迹与轨迹方程(含解析)
2023届二轮复习解答题专题练轨迹与轨迹方程一、解答题（共16小题）1. 已知A，B两点的坐标是(1,0)，(−1,0)，动点M满足MA⊥MB，求动点M的轨迹方程．2. 动点M到两坐标轴距离之积为常数k(k>0)的轨迹方程是xy=k吗?为什么?3. 已知△ABC中的两个顶点是B(0,6)，C(0,−6)，AB边与AC边所在直线的斜率之积是49，求顶点A的轨迹方程．4. 已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点A(a,0)(a≠0)的距离的比值为k，求此曲线的方程，并判定曲线的形状．5. △ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(−6,0)，(6,0)，AC，BC边所在直线的斜率之积等于−49，求顶点C的轨迹方程．6. 已知倾斜角为π4的直线交椭圆x24+y2=1于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7. 已知动点M与定点F(c,0)的距离和M到定直线l：x=a2c 的距离的比是定值ca（其中a>0，c>0）．（1）求动点M的轨迹方程；（2）当a，c变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．8. 已知等腰三角形底边的两个端点的坐标分别是B(4,2)，C(−2,0)，求第三个顶点A的轨迹方程．9. 已知P，Q为圆x2+y2=4上的动点，A(2,0)，B(1,1)为定点．（1）求线段AP的中点M的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90∘，求线段PQ的中点N的轨迹方程．10. 过点M(1,2)作直线交y轴于点B，过点N(−1,−1)作直线与直线MB垂直，且交x轴于点A，求线段AB的中点的轨迹方程．11. 回答下列问题．（1）连接极点O和曲线ρ=3cosθ−sinθ上的动点P，若点M分有向线段OP⃗⃗⃗⃗⃗ 为m:n，求点M的轨迹方程；（2）已知直角△ABO的直角顶点A在直线ρcosθ=9上移动（O为原点），又∠AOB=30∘，求顶点B的轨迹的极坐标方程；（3）A是定圆B外一定点（∣AB∣=a，⊙B半径为r），P是⊙B上的动点，以AP为一边作正三角形APQ（A，P，Q按逆时针方向排列），求点Q的轨迹方程；（4）已知M是圆13x2+13y2−15x−36y=0上的动点，N在射线OM上，且满足∣OM∣⋅∣ON∣=12（如图），求点N的轨迹方程．12. 已知二次方程 x 2−ax +b =0 的两根是 sinθ，cosθ(∣θ∣≤π4)．求点 P (a,b ) 的轨迹方程．13. 已知动点 P 到点 F (4,0) 的距离与它到点 F (−4,0) 的距离的比为 2，求点 P 的轨迹方程．14. 已知点 A (1,0)，B (4,0)，点 P (x,y ) 满足 ∣PB ∣=2∣PA ∣，记点 P 的轨迹为 Γ．（1）求 Γ 的方程；（2）设直线 x +2y −√5=0 与 Γ 交于 C ，D 两点，求 △OCD 的面积（O 为坐标原点）； （3）设 Q 是线段 AB 中垂线上的动点，过 Q 作 Γ 的两条切线 QM ，QN ，M ，N 分别为切点，判断是否存在定点 E ，直线 MN 始终经过点 E ，若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，说明理由．15. 已知中心在原点的双曲线 C 的渐近线方程为 y =±2x ，且该双曲线过点 (2,2)．（1）求双曲线 C 的标准方程；（2）点 A 为双曲线 C 上任一点，F 1，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F 1AF 2 的角平分线的垂线，垂足为点 P ，求点 P 的轨迹方程．16. 如图，已知 F (1,0)，直线 l:x =−1，P 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q ，且QP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求动点 P 的轨迹 C 的方程．答案1. x 2+y 2=1(x ≠±1)．2. 不是．设点 M 的坐标为 (x,y )，则由题意，得 ∣x∣∣∣y ∣=k ，即 xy =±k ． 所以动点 M 的轨迹方程是 xy =±k ，则方程 xy =k 不是满足题意的方程． 或者举反例如：点 M (−1,k )(k >0)，它满足到坐标轴距离之积为常数 k (k >0)， 但是它不是方程 xy =k 的解，所以方程 xy =k 不是满足题意的方程． 3. y 236−x 281=1(x ≠0)．4. 设点 M (x,y ) 是已知曲线上任意一点， 由题意得√x 2+y 2√(x−a )2+y 2=k (k >0)，化简得 (k 2−1)x 2+(k 2−1)y 2−2k 2ax +k 2a 2=0， 当 k ≠1，即 0<k <1 或 k >1 时，k 2−1≠0， 所以 x 2+y 2+−2k 2a k 2−1x +k 2a 2k 2−1=0．因为 4k 4a 2(k 2−1)2−4k 2a 2k 2−1=4k 2a 2(k 2−1)2>0，所以方程 x 2+y 2+−2k 2a k 2−1x +k 2a 2k 2−1=0 表示以 (k 2ak 2−1,0) 为圆心，以 ∣∣kak 2−1∣∣ 为半径的圆．当 k =1 时，原方程可化为 x =a 2，即表示线段 OA 的垂直平分线． 5.x 236+y 216=1（x ≠±6）．6. y =−x4(−4√55<x <4√55)． 7. （1） 设 M (x,y )，由已知，得 √(x−c )2+y 2∣∣∣x−a 2c ∣∣∣=ca ．所以 √(x −c )2+y 2=ca ∣∣∣x −a 2c ∣∣∣，两边平方，得 (x −c )2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点 M 的轨迹方程为 (a 2−c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2−c 2)． （2） 因为 a >0，c >0，所以当 a =c >0 时，（1）中轨迹方程化为 y =0，它表示的曲线是直线 x 轴；当 a >c >0 时，（1）中轨迹方程化为 x 2a 2+y 2a 2−c 2=1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上，长半轴长为 a ，短半轴长为 √a 2−c 2 的椭圆； 当 c >a >0 时，（1）中轨迹方程化为 x 2a2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在 x 轴上，实半轴长为 a ，虚半轴长为 √c 2−a 2 的双曲线． 8. 3x +y −4=0(x ≠1)．9. （1） 设线段 AP 的中点为 M (x,y )，由中点坐标公式可知，点 P 的坐标为 (2x −2,2y )． 因为点 P 在圆 x 2+y 2=4 上， 所以 (2x −2)2+(2y )2=4，所以线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为 (x −1)2+y 2=1．（2） 设线段 PQ 的中点为 N (x,y )． 在 Rt △PBQ 中，∣PN ∣=∣BN ∣．设 O 为坐标原点，连接 ON ，则 ON ⊥PQ ， 所以 ∣OP ∣2=∣ON ∣2+∣PN ∣2=∣ON ∣2+∣BN ∣2， 即 x 2+y 2+(x −1)2+(y −1)2=4．所以线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程为 x 2+y 2−x −y −1=0． 10. 2x −2y +3=0． 11. （1） ρ=3m(m+n )(cosθ−sinθ)； （2） ρcos (θ±π6)=6√3；（3） ρ2−2aρcos (θ−π3)=r 2−a 2；（4） 先将圆方程化为极坐标方程：10ρ−15cosθ−36sinθ=0，于是可得 N 的轨迹为 5ρcosθ+12ρsinθ−52=0，所以轨迹的直角坐标方程为 5x +12y −52=0． 12. a 2=1+2b(0≤a ≤√2)． 13. 3x 2+3y 2+40x +48=0． 14. （1） 因为 ∣PB ∣=2∣PA ∣， 故 √(x −4)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，即 (x −4)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，化简可得 x 2+y 2=4． （2） O 到直线 x +2y −√5=0 的距离为 d =√5∣√12+22=1，所以 ∣CD ∣=2√4−1=2√3，从而 S △OCD =12⋅∣CD ∣⋅d =√3．（3） 设 Q (52,y 0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，其中 x 12+y 12=4，x 22+y 22=4， 由 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得 (x 1,y 1)⋅(52−x 1,y 0−y 1)=0，化简得 52x 1+y 0y 1=x 12+y 12=4，同理，有 52x 2+y 0y 2=4，将 (x 1,y 1)，(x 2,y 2) 看作方程 52x +y 0y =4 的两组不同的解，由方程思想，可知直线 MN 的方程即 52x +y 0y =4， y =0 时，x =85，所以所求定点 E 的坐标为 (85,0)．15. （1） 因为双曲线的渐近线方程为 y =±2x ，即 x ±y 2=0． 所以设双曲线方程为：x 2−y 24=λ(λ≠0)，又双曲线过点 (2,2)，所以 22−224=λ，所以 λ=3．所以双曲线方程为：x 23−y 212=1．（2） 如图，过点 F 2 作角平分线 AB 的垂线，垂足为 P ，且交 AF 1 于点 Q ，连接 OP ，则 OP ∥F 1Q 且 OP =12F 1Q ．由角平分线的性质定理可知 ∣AQ∣∣=∣AF 2∣， 所以 ∣F 1Q∣∣=∣AF 1∣−∣AQ∣∣=∣AF 1∣−∣AF 2∣=2a ，所以 ∣OP∣=a =√3． 所以由圆的定义可知，点 P 的轨迹是以点 O 为圆心，√3 为半径的圆． 所以点 P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3． 16. 法一：设点 P (x,y )，则 Q (−1,y )， 由 QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得 (x +1,0)⋅(2,−y )=(x −1,y )⋅(−2,y )， 化简得 C:y 2=4x ．法二：由 QP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 得 FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 ， 所以 (PQ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 所以 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0， 所以 |PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线， 由题意，轨迹 C 的方程为 y 2=4x ．。
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轨迹方程练习题
1.已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2
x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 2.P 是椭圆5
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2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为： （ ）
A 、159422=+y x
B 、154922=+y x
C 、12092
2=+y x D 、5
3622y x +=1 3.. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
4.. 设A 1、A 2是椭圆4
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2y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y x D.14
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2=-x y 5.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ ），如果M 是线段1F P 的中点，则动点M 的轨迹是( ).
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线
6.一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是： A ：抛物线B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支
7.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－
2a ,0),C (2
a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.
8.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______.
9.已知点F 为抛物线22y x =的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .
10.设A ，B 分别是直线y =和y =上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程.
11.已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
12 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线 2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
13.已知椭圆1C
的中心在坐标原点，一个焦点为，过点F 且垂直长轴的弦长为1，
(1) 求椭圆1C 的方程;
(2) 过椭圆1C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，
求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.。