数学分析续论模拟试题

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数学分析模拟试题

数学分析模拟试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 设函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$上连续，若对任意$x\in(a,b)$，恒有$f(x)\geq 0$，则函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的增减性为（）。

A. 递增B. 递减C. 非递增D. 非递减2. 函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x+\frac{1}{2}$在区间$(-\infty ,0)$上的单调性为（）。

A. 递增B. 递减C. 上升D. 下降3. 函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$上连续，当$x\in(a,b)$时，$y=f(x)$一直在$x$轴上方，则对于$y=f(x)$在区间$(a,b)$上任意二点$(x_1 ,f(x_1 ) )$和$(x_2 ,f(x_2 ) )$来说，（）。

A. $f(x_1 ) +f(x_2 ) <0$B. $f(x_1 ) +f(x_2 ) \geq 0$C. $f(x_1 ) \cdot f(x_2 ) <0$D. $f(x_1 ) \cdot f(x_2 ) \geq 0$4. 设函数$f(x)$可导，当$x>0$时，$f(x)$单调递减且$f(x)>0$，则$f'(x)$(）。

A. $>0$B. $=0$C. $<0$D. $\geq 0$5. 函数$y=f(x)$在区间$(0,1)$内连续，在$(0,1)$内单调递减，则有（）。

A. $f(0)<f(1)$B. $f(0)\geq f(1)$C. $f(0)>f(1)$D. $f(0)\leq f(1)$6. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则在区间$(a,b)$内必存在两点$a_1, b_1 \in (a,b)$，使得（）。

A. $f(a_1 ) =f(b_1 )$B. $f(a_1 ) =f(b_1 ) +a_1 -b_1$C. $f(a_1 ) =-f(b_1 )$D. $f(a_1 ) +f(b_1 ) =0$7. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则必存在$c\in [a,b]$，使得对任意$x\in [a,b]$，恒有（）。

数学分析续论模拟试题

《数学分析续论》模拟试题（二）一、单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为一数列，对它有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若存在收敛子列，则{}n a 必收敛；Ｂ．虽存在发散子列，但{}n a 仍可收敛；Ｃ．若所有子列都收敛，则{}n a 必收敛；Ｄ．所有子列都收敛，但它们可有不同极限．（２）设)(x f 在),(∞+-∞上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．值域)),((b a f 必为一开区间；Ｂ．值域)],[(b a f 必为一闭区间；Ｃ．)(I f 为闭区间时，I 亦必为闭区间；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（３）若0)(>'+a f ，则0>δ∃，使得当),(δ+∈a a x 时，必有．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(x f 单调递増；Ｂ．)()(a f x f >；Ｃ．若)(x f '存在，则Ａ成立；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可导，则)(x f 在],[b a 上必定为．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．既存在最大值，又存在最小值；Ｂ．不能同时存在最大值和最小值；Ｃ．在0)(='x f 的点处必取极值；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（５）已知0)(>⎰ba x x f d ，这时必有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．在0)(],[≥x f b a 上；Ｂ．不能有无穷多个)(x f 取负值； C ．)(x f 取正值的x 要比取负值的x 多得多；Ｄ．不能只有有限多个)(x f 取正值．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛--+++∞→n n n n 4242lim ； ②322sin lim x t t x x ⎰∞+→0d ．（２）设⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-yx y u f u y x u e )x ln()(,12,220．试求)()(0u f u f ''与．（３）试求由曲线 x y ln =，直线e e 1,==x x ，及x 轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）求内接于椭圆 12222=+by ax 的长方形的最大面积．三、证明题（301⨯'）（１）设)(x f 在],[b a 上连续．试证：],[)],[(M m b a f =，其中M m 与分别是)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．（２）利用凸函数方法（詹森不等式）证明：)(3133333c b a c b a ++≤⎪⎭⎫⎝⎛++,其中 c b a ,,为任意正数；并讨论当c b a ,,为任意负数时，上述不等式应作怎样改变？（３）证明：34ln3)1()1(01∑∞=+=+-n n nn ．提示：把上式中的级数看作=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31S 31011)1(=∞=+∑+-x n n n n x ．解答一、（１）Ｃ；（２）Ｂ；（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ．二、（１）[ 解 ] ① 545lim 4242lim =-=⎪⎭⎫⎝⎛--+++∞→∞→n n n n n n n ；②.03sin 2limsin 2limsin lim44322===∞+→∞+→∞+→⎰xxx x xt t x x x x 23x d（２）［解］⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++='--2202222225254)(,122)(e ee e uf y x y y x y y x x u f y x y x ．（３）［解］所围曲边梯形如右图所示，其面积为1)ln (11)ln (ln )ln (111eed d eex x x x x x xx x x S -+-=+-=⎰⎰e 22-=．（４）［解］由题意，所求长方形的面积为y x S 4=)0,0(>>y x ，其中),(y x 需满足12222=+by ax ，故此为一条件极大值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)1(2222-+λ+=by ax y x L ，并令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.01,02,02222222=-+==λ+==λ+=λby ax L b y x L a x y L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）容易解出：2,22222b y a x by ax ==⇒=．据题意，内接长方形的最小面积为零；故最大面积为b a y x S 24==．三、（１）［证］由闭区间上连续函数的最大、小值定理，],[,21b a x x ∈∃，使得M x f m x f ==)(,)(21．若)(,,21x f M m x x 于是则==恒为一常数，结论成立；现不妨设21x x <．再由连续函数的介值性定理，y x f b a x x x M m y =⊂∈∃∈∀)(],,[),(,),(21使得，这说明值域)],[(b a f 充满了整个闭区间],[M m ．（２）［证］设3)(x x f =．由于),0(,06)(,13)(2∞+∈>=''+='x x x f x x f ，所以)(x f 在),0(∞+上为一凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有)(3133333c b a c b a ++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++．而当)0,(-∞∈x 时，)(x f 为一凹函数，故对任何负数c b a ,,，恒有)(3133333c b a c b a ++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++．（３）［证］由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-011)1(n n n n x在31=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1(-，经逐项求导得到]1,1(,)1()(0-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1(,11)()(0-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰+=+='=-xx x t tt t S S x S 0,)1(ln 11)()0()(d d 由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=+=+==+-0134ln )311(ln )31(3)1()1(n n n S n ．。

《数学分析续论》模拟试题复习辅导课件模板

2019-5-11
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设 f (x) x7 x5 x，显然它在 ( , ) 上连续．
因
lim
x
f (x) lim x7 ( 1
x
1 x2

1 x6
)
，故由无穷大
量的定义，对于任意的 c 0 ， X 0 ，使得 x X 时，
y a 时 x 3 a ，这时所求三角形的面积为最大：
2
2
S max

3
3 4
a
2．
［注］用 a2 x2 y2 代入 S Smax , 将得到一个不等式
x
x2 y2

y

33 4
x2 y2
．
［思考题］当把题中的圆改为椭圆 x2 y2 1 时，得
n 1
1 n
却为发散．
2019-5-11
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22
至多只有有限个项 ” ．
an
再有, 因Ｃ中未假设
的极限相等；
a2k1 与 a2k
而Ｄ中所说的 “无穷多个子列 ”并不等同于“ 所有子
列 ”，
所以这些都是错误的．
2019-5-11
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5
（３）设 f (x) 在 R 上为一连续函数．这时下面正确
的
是 ·······································[
的项都落在邻域
之内；
a2k1 , a2k
Ｃ．
都收敛；
an
a
Ｄ．中有无穷多个子列都收敛于．

数学分析专题研究试题及参考答案

数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2），则称β是数集E 的下确界。

3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。

4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。

5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是函数。

6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。

二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （）))((1A f f-A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（）。

A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（）。

A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=xtt f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（）。

A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（）。

数学分析下考试题及答案

数学分析下考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4答案：B4. 函数f(x)=x^3在x=0处是否可导？A. 是B. 否答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2的导数是_________。

答案：2x2. 函数f(x)=x^3的不定积分是_________。

答案：(1/4)x^4 + C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。

答案：04. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。

答案：-cos(x) + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。

答案：42. 求函数f(x)=e^x的不定积分。

答案：e^x + C3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

答案：1/3四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在x=0处连续。

答案：由于f(x)=x^3是一个多项式函数，而多项式函数在其定义域内处处连续，因此f(x)=x^3在x=0处连续。

2. 证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。

答案：对于任意的0≤x1<x2≤1，我们有f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2)。

由于x1<x2，所以x1-x2<0，而x1+x2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，这说明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。

数学分析(下)_习题集(含答案)(1)

《数学分析（下）》课程习题集一、计算题 1. 设f xyz z yxf u),,(222++=具有二阶连续偏导数，求xz u ∂∂∂2.2. 设f z yxf u ),(222++=具有二阶连续偏导数，求22xu ∂∂，.2yz u ∂∂∂3. 0)cos(=--+xyz z y x ，求yz xz ∂∂∂∂,.4. 已知),(yx x f z=，求yz xz ∂∂∂∂,．5. 已知),(),,(v u f xy y x f z+=可微，求yx z ∂∂∂2．6. 设.,dz yx y x z 求-+=7. 设),(z x f u =,而),(y x z 是由方程)(z y x z ϕ+=所确的函数,求du ．8. 设)1,0(≠>=x x x zy，证明它满足方程z yzx xz y x 2ln 1=∂∂+∂∂．9. 设yxez=，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz yxz x．10. 已知zyxu= ，求yx u ∂∂∂2．11. 求曲面22yxz+=包含在圆柱x yx 222=+内部的那部分面积．12. 计算二重积分Dx d y ⎰⎰,其中积分区域为22{(,)|14}D x y x y=≤+≤．13. ⎰⎰-Dydxdy e2，其中D 是以点) 0 , 0 (、) 1 , 1 (和) 1 , 0 (为顶点的三角形域．14. 计算二重积分⎰⎰Ω+=dxdyy xI )(22，其中Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形．15. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：⎰⎰-+a xax dyy xdx2020222)(．16. 求级数11(1)nn n xn∞-=-∑的和函数．17. 求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的和函数．18. 求级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数，并求∑∞=+021n nn 的和．19. 讨论∑∞=--11ln )1(n n nn 的收敛性．20. 判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的收敛性．21.求幂级数11(1))2nnnn x ∞=--∑的收敛区间．22. 求幂级数∑∞=122n nnxn 的收敛区间.23. 计算nn nx n)1(21-∑∞=的收敛半径和收敛域．24. 求幂级数nn nx n∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域．25. 求下列幂级数的收敛区间:+⋅++⋅+⋅+⋅nn n xxxx 33332313322．二、填空题26. 幂级数nn x n∑∞=11的收敛半径为（）.27. 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（）.28. 设级数∑∞==14n n u ，则级数=-∑∞=1)2121(n nn u （）．29. 当1<x 时，幂级数∑∞=+-013)1(n n n x的和函数为（）．30. 若∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim （）．31. 几何级数)0(11>∑∞=+a aqn n 当（）时收敛．32. 幂级数∑∞=+0!1n nxn n 的和函数为（）．33. 幂级数∑∞=12n n nx 的收敛域为（）．34. 幂级数∑∞=-12)1(n nn nn x的收敛域为（）．35.=)(x f x sin 的幂级数展开式为（）． 36. 级数∑∞=1n n u 发散的充分条件是（）．37. 设级数∑∞=+111n p n收敛，则p 的取值范围是（）．38. =∞→nnn nn ！2lim（）．39.2xe-的幂级数展开式为（）．40. =>∞→nk n an lim1a 时，当（）．41. =→→yxy y x sin lim0（）．42. 二元函数1122-+=y xz的定义域为（）．43.=++→→22220)sin(limyxy x y x （）．44.11lim22220-+++→→yx yx y x =（）．45.xyxy y x 11lim0-+→→=（）．46. 设22ln yxxy arctgz ++=，则=∂∂)1,1(xz （）． 47. 设='+=)0,1(),32ln(),(y f xy x y x f 则（）．48. 设=++=)1,1(,1ln ),(22df y xy x f 则（）． 49. 设),(y x z z=是由方程yz x ln =确定的隐函数，则xz ∂∂=（）．50. 设xu yx euy∂∂=-则,sin在点（2，π1）处的值为（）．51. 函数xy yxz333-+=的极小值为（）．52. 若函数y xyax x y x f 22),(22+++=在点（1，-1）处取得极值，则常数=a （）．53. 函数33812),(y xy xy x f +-=的极小值点为（）．54. 函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值为（）． 55. 函数y x yxy xy x f --++=2),(22的极值为（）．56. 设,),arctan(xe y xy z ==则=dxdz （）．57. 设==dz ez xy则,sin （）．58. 设=∂∂+∂∂+=yz yxz xy x z 则),ln(（）．59. 设='=)0,0(,),(x f xy y x f 则（）． 60.222zy x u ++=在（1，1，1）点的全微分为（）．61. 设)1ln(32z yx u+++=，则=∂∂+∂∂+∂∂)1,1,1()(zu yu xu （）．62. 二重积分=+⎰⎰σd y xD)6(2（）, 其中D 是由1,,222===x x y x y 所围成的区域； 63. 若函数,)()(),()(1∑-=+-∞=n nn a x a x f r r a r a x f 为收敛半径），内能展开成幂级数（在则=k a （），且内任意可导；在),()(r a r a x f +-64. 设023=+-y xz z ，则)1,1,1(xz ∂∂＝（）．65. =∞→2)!(limn nn n （）． 66. 积分=⎰⎰-yydx edy022（）．67. 改变积分⎰⎰xedy y x f dxln 01),(的次序后所得积分为（）．68. =⎰⎰1210xyxdy edx （）．69. 二重积分⎰⎰=+Dyx d eσ（），其中D 是由x y ln =,x 轴，2=x 所围成的区域． 70. 已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且1)(=⎰⎰Ddxdy x yf ，则⎰badx x f )( ＝（）．71. ,1,≤≤y x D π：设则⎰⎰-Ddxdy y x )sin (=（）． 72. 设D ：,1,3≤≤y x 则=+⎰⎰Dd y x x σ)(（）． 73. 设D ：,20,0ππ≤≤≤≤y x 则=⎰⎰Dydxdyx cos sin （）． 74. 设D 是由1,1,1,1=-==-=y y x x围成的矩形区域，则=⎰⎰Ddxdy （）． 75. 设f 是连续函数而D ：⎰⎰=+>≤+Ddxdy yxf y yx )(,0,12222则且（）．三、单选题（略）……答案一、计算题 1. 解：zu ∂∂=212xyf z f +，)2()2(22221212112yzfxfxy yfyzfxf z xz u ++++=∂∂∂.2. 解：令222z yx t++=，则)(t f u =，xu ∂∂=)(2t f x '，zu ∂∂=)(2t f z '.)(4)(2222t f xt f xu ''+'=∂∂，)(42t f yz yz u ''=∂∂∂.3. 解：1s in ()1s in (),.1s in ()1s in ()z y z x y z z x z x y z xx y x y z y x y x y z ∂+∂+==∂-∂-4. 解：x z ∂∂=yf f 121+，yz ∂∂=22yx f -.5. 解：xz ∂∂=yf f 21+yz ∂∂=x f f 21+,22122112)(xyff y x f f yx z ++++=∂∂∂.6. 解：2()()()()()x y x y d x y x y d x y d zd x y x y ⎛⎫+-+-+-== ⎪--⎝⎭2()()()()()x y d x d y x y d x d y x y -+-+-=-222()y d x x d yx y -+=-2222.()()y x d x d y x y x y =-+--7. 解：u u d u d x d y xy∂∂=+∂∂,()z x y z ϕ=+ （1）方程（1）两边对x 求导：1()z z y z x xϕ∂∂'=+∂∂，1.()1z xy z ϕ∂-∴='∂-方程（1）两边对y 求导：()(),z z z y z yyϕϕ∂∂'=+∂∂ ().()1z z yy z ϕϕ∂-∴='∂-而;()1zx f u f f z f x x zxy z ϕ∂∂∂∂=+⋅=-'∂∂∂∂-()();()1()1z z f z u f z z f yzyy z y z ϕϕϕϕ⋅∂∂∂-=⋅=⋅=-''∂∂∂--()().()1()1zz x f f z u u d u d x d y f d x d y xyy z y z ϕϕϕ⋅∂∂∴=+=--''∂∂--8. 解:1-=∂∂y yxxu ，x xyu yln =∂∂,z x xxyxyx yzx xz y x yy 2ln ln 1ln 11=+=∂∂+∂∂-.9. 解:yex z yx1=∂∂，2yx eyz yx-=∂∂，则012=-=∂∂+∂∂y x yeyxey z yxz xyxyx.10. 解：xu ∂∂=1-zyxzy ，=∂∂∂yx u 2121ln 1--+zyzyxzx y xz.11.解：由222z x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩ 消去z 得投影柱面：222x y x+=，在xoy 面上的投影区域为 22:2xy D x y x+≤2x y z z ==21122222222=++++=++∴yxy yxx zzyx所求面积为：2c o s 2002x yD Ax d yd d r πθθ==⎰⎰⎰⎰220c o s .d πθθ==12.解：由对称性，可只考虑第一象限部分，14DD =，Dx d y ⎰⎰=41D x d y ⎰⎰2201s in 44r d r d r rππθ==-⎰⎰.13. 解：dx edydxdy eyyDy⎰⎰⎰⎰--=10022ee eydy eyy210121221-=-==--⎰.14. 解：⎰⎰⎰⎰Ω-=+=+a ayay adx y xdydxdy y x34222214)()(.15. 解：在极坐标系下，半圆22xax y-=的方程变为⎰⎰==≤≤=2cos 204343,20,cos 2πθπθπθθa adr r d a r 原式.16. 解：11()(1)nn n xs x n∞-==-∑，显然(0)0s =.21()1,(11)1s x x x x x'=-+-=-<<+两边积分得0()ln (1)xs t d t x '=+⎰即()(0)ln (1)()ln (1),s x s x s x x -=+∴=+又1x =时，111(1)n n n∞-=-∑收敛,11(1)ln (1)(11)nn n xx x n∞-=-=+-<<∑.17. 解：令111()(1)1n n n n n n xxxS x n n nn ∞∞∞=====-++∑∑∑11111nn n n xxnxn +∞∞===-+∑∑,设11(),nn xS x n∞==∑121(),1n n xS x n +∞==+∑则1111(),1n n S x xx ∞-='==-∑101()ln (1).1xS x d x x x∴==---⎰21(),1nn xS x xx∞='==-∑20()l n (1).1x x S x d x x x x∴==----⎰1211()()()ln (1)[ln (1)]S x S x S x x x x xx∴=-=--++-11(1)ln (1).x x=+-- (1,0)(0,1x ∈- 即 11(1)ln (1),(1,0)(0,1)()0,0x x S x xx ⎧+--∈-⎪=⎨⎪=⎩.18. 解：令)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ，则)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ∑∞=+'=1)(n n x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=+01n n x .)1(112x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1<x 当1±=x 时，级数∑+±)1()1(n n发散，所以级数的收敛域)1,1(-，令1-=x ，得4)21(211==+∑∞=f n n n.19. 解：∑∞=-1ln )1(n nnn 发散，令xx x f ln )(=，则当2e x >时，02ln 2)(<-='xxx x f ，从而)(x f 在),(2+∞e 上单减，故当9>n 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 单调减少，又0ln lim =∞→n n n ，故∑∞=--11ln )1(n n n n 为 leibniz 级数，所以它条件收敛.20. 解:12)1(2lim !2)1()!1(2limlim111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→en n n nn n u u nn nnn n n nn n ，所以级数∑∞=⋅1!2n nnnn 收敛.21.解：11limlim22n n n na R a ρ+→∞→∞===∴=,即1122x -<收敛，(0,1)x ∈收敛 .当0x =时，级数为1n ∞=∑,当1x =时，级数为1nn ∞=∑(0,1).22. 解：级数缺奇次幂的项，而 2(1)112(1)2limlim2n n n n nn n nu n xu n x+++→∞→∞+=⋅2211lim.22n n xxn→∞+==当211,2x <即x <时,级数收敛; 当211,2x>即x >,级数发散.收敛半径为R =又当x =±时,级数为1n n ∞=∑发散,故收敛区间为(23. 解：21212lim1=++∞→nn nn n ，∴收敛半径21=R ，当21=x 时，∑∞=-1)1(n nn收敛，当23=x时，∑∞=11n n发散，故收敛域为)23,21[.24. 解：由于en n nn nn nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e1，当ex 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e nnn n，所以收敛域为)1,1(ee -. 25. 解：313)1(3limlim11=+=+∞→+∞→n nn nn n n n a a ，R=3。

数学分析续论A卷复习资料

数学分析续论A 卷复习资料一. 计算题1.求函数11(,)f x y y x=+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11(,)f x y y x ==，因此二重极限为0.因为011x y x →与011y y x→均不存在，故二次极限均不存在。

2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22y x y x yw ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x y z w w e μνμν+-====。

代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。

4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解：设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。

构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 22420,20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ 解得2h r =，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。

5. 设322()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分的求导公式332222322222()32y y x yx y x yxy x yx y y yyF y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰327522232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰375222751222y y y x y y y e ye e dx y ---=--⎰。

《数学分析续论》模拟试题(一) .doc

《数学分析续论》模拟试题（一）一、单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ；Ｂ．{}n a 不一定收敛；Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间；Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间；Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续；Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点；Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密；Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛；Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ； C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220．试求)()(0u f u f ''与．（３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３）证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解答一、［答］（１）Ａ；（２）Ｃ；（３）Ｂ；（４）Ｄ；（５）Ｄ．二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd e d e lim222222222020220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰x x x x x t x xxt x x xt xt x x t ttt ee ee e e e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(33102122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA Cy B x A y y x x d BA C yB x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法．三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ，所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。

数学分析下考试题及答案

数学分析下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上存在极大值和极小值C. f(x)在[a,b]上可导D. f(x)在[a,b]上可积答案：D2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：A4. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点为：A. x=1B. x=-1C. x=0D. 不存在答案：A5. 若函数f(x)在x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处可积C. f(x)在x=a处有界D. f(x)在x=a处有极值答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为______。

答案：2x+32. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+1)的值为______。

答案：03. 函数f(x)=sin x在x=π/2处的二阶导数为______。

答案：-14. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。

答案：e^x+C5. 函数f(x)=ln x的原函数为______。

答案：xln x-x+C三、解答题（每题15分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的极值。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。

检查二阶导数f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0，因此x=1为极大值点，x=3为极小值点。

计算f(1)=0，f(3)=0，所以极大值为0，极小值也为0。

数学分析专题研究模拟试题及参考答案

数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1.A ，B ,C 是三个集合,C B A ⊂，则有( )成立。

A 。

若A x ∈,则B x ∈ B 。

若A x ∈，则C x ∈C 。

若A x ∈，则C B x ∈ Ｄ．若C B x ∈，则A x ∈答案：Ｄ2．设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（）A. 双射B. 既非单射也非满射Ｃ。

单射而非满射 D ．满射而非单射答案:B3。

下列数集（）不是可列集。

Ａ．自然数集 B 。

整数集Ｃ．有理数集Ｄ．实数集答案：D4。

已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（）．A ．连续B ．间断C 。

有界D 。

无界答案：Ａ5。

有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（）达到.A ．内部B 。

外部C ．边界S ∂ D.可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==,则________________=⨯A B .答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2.设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是．答案：等价关系３。

若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射,则集合A 是 . 答案:无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos + 5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(,则ln(_____))(=x f 。

答案：x +1三、计算题１．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解:34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x 故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值．解令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(x x f ⋅='',,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ; ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。

数学分析续论模拟试题

《数学分析续论》模拟试题（三）一、实数完备性问题．（１５分）( 1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理； ( 2 ) 用区间套定理证明单调有界定理．［答（１）］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限．区间套定理：若{}],[n n b a 为一区间套，即满足：① ,2,1,],[],[11=⊂++n b a b a n n n n ； ②0)(lim =-∞→n n n a b ，则存在惟一的∈ξ],[n n b a ， ,2,1=n ．［证（２）］设{}n x 为递减且有下界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111x M b a =；记2111b a c +=，再令{}{}⎪⎩⎪⎨⎧=;,],[,,],[],[11111122的下界不是若的下界是若n n x c c a x c b c b a……，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套{}],[n n b a ，使得 ,2,1,=n a n 恒为{}n x 的下界，而 ,2,1,=n b n 不是{}n x 的下界．由区间套定理，∈ξ∃],[n n b a ，,2,1=n ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．根据区间套定理的推论，K k K ≥∈∃>ε∀+当使,,0Ν时，);(],[εξ⊂ U b a k k ．由于 ,2,1,=k a k 恒为{}n x 的下界，而 ,2,1,=k b k 不是{}n x 的下界，故对上述K ，必有K K b x <；且因{}n x 为递减数列，当K n >时满足K K n K b x x a <≤≤，于是{}n x );(εξ⊂U ，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明． □二、（１０分）( 1 ) 写出2R 中点集E 为开集的定义；( 2 ) 用定义证明：若E 、2R ⊂F 都为开集，则并集F E H ⋃=与交集F E G ⋂= 亦都为开集．［答（１）］所谓2R ⊂E 是开集，是指E 中所有点都是E 的内点．即p ∀E ∈，0>δ∃，满足E p U ⊂δ);(．［证（２）］设E 、2R ⊂F 都为开集，下面证明F E H ⋃=为开集．为此任取H p ∈，由F E H ⋃=，则E p ∈或F p ∈．根据开集定义，0>δ∃，使得E p U ⊂δ);(，或F p U ⊂δ);(，从而H p U ⊂δ);(．这就证得F E H ⋃=为2R 中的一个开集．类似地可证F E G ⋂=亦为开集，请读者自行写出它的证明． □三、（１０分）已知f 在区间I 上连续，且为一一映射．证明：f 在I 上必为严格单调函数．（提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性．）［证］倘若f 在I 上不是严格单调函数，则I x x x ∈∃321,,)(321x x x <<，使得[][]0)()()()(2312<--x f x f x f x f .，不失一般性，设)()()(132x f x f x f >>．现任取μ满足)()(32x f x f >μ>，则由连续函数的介值性，),(,),(3221x x x x ∈η∈ξ∃，使得μ=η=ξ)()(f f ．而这与f 在I 上为一一映射的假设相矛盾，所以f 在I 上必为严格单调函数． □注意在函数f 为连续的前提下，严格单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下，一一映射的f 不一定是严格单调的．例如右图所示的函数)(x f y =，它在],[b a 上是一一映射，但却不是严格单调的．四、（１０分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(ln )(,43,220y x y x u f u y x u ．试求)()(0u f u f ''与．［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂+∂∂='yxy x y y x x y x yy x x y x y y x xu f 11ln ln )(22222222， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='41315453)(0u f ． □五、（１５分）证明：在n 个正数的乘积为定值的条件a x x x n = 21之下，这n 个正数的和n x x x +++ 21的最小值为n a n ．并由此结果推出以下不等式：nx x x x x x nnn +++≤2121．［证］用 Lagrange 乘数法，设)(2121a x x x x x x L n n -λ++++= ，并令nn n n x n x a x x x a x x x L x x L x x L n ====⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-='=λ+='=λ+='λ- 2121112,0,01,011.............．由于n x x x +++ 21的最大值不存在)(+∞，最小值存在，因此()n n a n x x x =+++ 21min ；并有n n a n x x x ≥+++ 21．以 a x x x n = 21代入上式，则得所求之不等式nx x x x x x nnn +++≤2121． □六、积分问题．（２０分）（１）画出曲线 )2(||x x y -=；并求由该曲线和直线,1-=x 以及x 轴所围图形的面积S ；（２）设f 为连续函数，证明：⎰⎰πππ=)sin (2)sin (x x f x x f x d d ．［解（１）］为画出曲线，可先改写其方程为⎩⎨⎧<--≥--=.0,1)1(,0,)1(122x x x x y 此曲线和直线,1-=x 以及x 轴所围图形如右图所示．其面积计算如下：.383434)3()3(d )2(d )2(2032102322012=+=-+-=-+-=--⎰⎰x x x x x x x x x x S［证（２）］作变换x u -π=，把原积分化为.⎰⎰⎰⎰ππππ-π=--π-π=00d )sin (d )sin ()d ())sin(()(d )sin (u u f u u u f u u f u x x f x由此移项后即得 ⎰⎰πππ=00)sin (2)sin (x x f x x f x d d ． □七、级数问题．（２０分）（１）证明：0!3lim=∞→n n nnn ；y（２）证明：∑∞==+11!)1(n n n．提示：利用幂级数∑∞=++=11!)1()(n n n x n x S ，∑∑∞=∞=+=-='101!!)1()(n n n n n x n x x S ．［证（１）］考察级数∑∑∞=∞==113n n n n n n n a !．由于)(13e1313)1(3)1(111∞→<→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++n n n n n n n a a n n n n n n n .!.!，故此级数收敛．依据级数收敛的必要条件，便证得0!3lim=∞→n n nnn ．［证（２）］考察幂级数∑∞=++=11)1()(n n n x n x S !．由于x 01e )1()(x n x x n x x S n nn n ==-='∑∑∞=∞=!!，因此1e e 0d e )0()(0+-+=+=⎰x xx u x u u S x S ．从而求得1)1()1(1∑∞===+n S n n!． □。

数学分析期末考试模拟题2

数学分析期末考试模拟题2一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(x f 在 [a,b] 上可积，那么（） A ．)(x f 在[a,b]上有界 B ．)(x f 在[a,b]上连续C ．)(x f 在[a,b]上单调D ．)(x f 在[a,b]上只有一个间断点 2、函数)(x f 在 [a,b] 上连续，则在[a,b]上有（） A ．)()(x f dx x f dx d ba=⎰ B ．)()(x f dt t f dx d xa=⎰C ．)()(x f dt t f dxd bx-=⎰D ．)()(x f dt t f dxd bx=⎰3、在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（） A ．⎰+∞a dx x f )(收敛⎰+∞adx x g )(也收敛 B ．⎰+∞adx x g )(发散⎰+∞adx x f )(也发散C ．⎰+∞a dx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散 D ．无法判断4、级数∑∞=1n n a 收敛是（）对p =1,2…，0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a aA ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．无关条件5、若级数∑∞=+111n nα收敛，则必有（）A ．0≤αB ．0≥αC ．0<αD ．0>α6、)()(1x ax f n n∑∞==在[a ，b]一致收敛，且a n (x)可导（n =1,2…），那么（）A ． f （x ）在[a ，b]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB ． f （x ）在[a ，b]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n n x aC ．∑∞=1')(n n x a 点点收敛，但不一定一致收敛D ．∑∞=1')(n n x a 不一定点点收敛7、下列命题正确的是（）A ．)(1x a n n ∑∞=在[a ，b]绝对收敛必一致收敛B ．)(1x a n n ∑∞=在[a ，b] 一致收敛必绝对收敛C ．)(1x a n n ∑∞=在[a ，b] 条件收敛必收敛D ．若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x a n n ∑∞=在[a ，b]必绝对收敛8、∑∞=--1)11()1(n n n x n的收敛域为（）A ． (-1,1)B ．(-1,1]C ． [-1,1]D ． [-1,1）9、下列命题正确的是（） A ．重极限存在，累次极限也存在并相等 B ．累次极限存在，重极限也存在但不一定相等 C ．重极限不存在，累次极限也不存在 D ．重极限存在，累次极限也可能不存在 10、函数f(x,y)在（x 0,,y 0）可偏导，则（）A ． f(x,y)在（x 0,,y 0）可微B ．f(x,y)在（x 0,,y 0）连续C ． f(x,y)在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在D ．以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、)0(21lim1>++++∞→p nnp pppn2、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积3、求极限)1sin 11(lim2222)0,0(),(xy yx yx y x +-+++→4、已知),(yxx f z =，求yzx z ∂∂∂∂,5、计算nn nn xn ∑∞=--112)1(的收敛半径和收敛域．三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dxx xqp p⎰∞++--01|1|的敛散性2、判断∑∞=--+122)11(n n n 的敛散性3、判断∑∞=+-121sin )1(n nn nx 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f(x)是以T 为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(2、设级数∑∞=1n n nx α收敛，则当0αα>时，级数∑∞=1n n nx α也收敛．。

(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题

有界，由Dirichlet判别法，知二、解答题
收敛.
1．设，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
，的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列在有限闭区间上连续，在上等度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由在上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由时，有
，
；对于任意的
目录
第一部分名校考研真题第12章数项级数第13章函数列与函数项级数第14章幂级数第15章傅里叶级数第16章多元函数的极限与连续第17章多元函数微分学第18章隐函数定理及其应用第19章含参量积分
第20章曲线积分第21章重积分第22章曲面积分第23章向量函数微分学第二部分课后习题第12章数项级数第13章函数列与函数项级数第14章幂级数第15章傅里叶级数第16章多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即这里
，由比值判别法知
绝对收敛．

数学分析下模拟试题

《数学分析》（下）模拟试题一选择与填空（任选6题，每小题5分，共30分）1. 设函数(,)z f x y =在}1|),{(22≤+=y x y x D 上连续，且满足),(),(y x f y x f -=-，}0,0,1|),{(22≥≥≤+=+y x y x y x D ，则（）(A)⎰⎰⎰⎰+=D Ddxdy y x f dxdy y x f ),(2),(; (B)0),(=⎰⎰Ddxdy y x f ;(C)⎰⎰⎰⎰+=D Ddxdy y x f dxdy y x f ),(4),(; (D) 不能确定2. 函数(,)f x y 在无界零边界区域D 上可积是其绝对值函数|(,)|f x y 在D 上可积的（）; (,)f x y 在有界零边界闭区域D 上连续是其在D 上可积的（）. (A) 必要条件; (B)充分条件; (C) 充分必要条件; (D) 既非充分也非必要条件. 3．⎰⎰21sin x x ydy e dx =（） (A)⎰⎰yx ydx e dy 01sin ; (B)⎰⎰11sin yx ydx e dy ;(C)⎰⎰11sin ydx e dy x; (D)⎰⎰210sin y x ydx e dy4 函数 01() 2 10x x f x x <<⎧=⎨-≤≤⎩的Fourier 级数在点x=3处收敛于__________.5设函数(,)f x y 在}|),{(222a y x y x D ≤+=上连续，且满足⎰⎰-+=Ddxdy y x f y x y x f ),(),(22, 则⎰⎰Ddxdy y x f ),(=____________________.6 设n 是任意正整数，则2210n x x e dx +∞+-⎰=_____________________________.7 设∑为球面 2221x y z ++=，则222(23)x y z dS ∑++⎰⎰=_________________.二解答题（任选6题，每小题9分，共54分）1. 计算曲线积分Lydx zdy xdz ++⎰，其中 2222:0x y z a L x y z ⎧++=⎨++=⎩，从x 轴正向看去，L的方向为逆时针方向。

文鼎教育系统乐山师范学院数学分析续论所有答案

文鼎教育系统乐山师范学院数学分析续论所有答案13、设{an} 为单调数列,若存在一收敛子列 {a,f},这时有 Aliman=liman； B {an}不一定收敛； C {an}不一定有界；D当且仅当预先假设了 {an}为有界数列时,才有A成立答案是：参参考考答答案案：： A12、设 fX的一个原函数为 sin,则∫fXd=。

A0 Cπ/21 Dπ/2-1答案是：参参考考答答案案：： D11、设 fX在R上为一连续函数,则有 A当 i为开区间时 fl必为开区间；B当fl为闭区间时l 必为闭区间； C当fl为开区间时必为开区间； D以上ABC都不一定成立答案是：参参考考答答案案：： C10、 f 在0 点可导是 f 在0 , f 0点有切线的条件。

A充分 B必要 C充分必要 D非充分亦非必要答案是：参参考考答答案案：： A9、若ln/为f的一个原函数,则∫fd= 。

A ln/c B1ln/2c c c答案是：参参考考答答案案：： D8、设Σ为一正项级数这时有 A limua=0若 ,则Σun 收敛； B若Σun 收敛,则limun1/un<1 ； C若Σun收敛,则lim√un<1； D以上ABC都不一定成立答案是：参参考考答答案案：： D7、f=ln√12是（）函数。

A奇B偶C既奇又偶 D非奇非偶答案是：参参考考答答案案：： A6、幂级数Σ-1/2n的收敛域为。

A-2,3 B[-2,2 C [-1,3D -1,3答案是：参参考考答答案案：： C5、设f在上必定连续； BfX在上至多只有有限个间断点； C f的间断点不能处处稠密； D fX在上的连续点必定处处稠密答案是：参参考考答答案案：： D4、设∫ftdt=ln5-2 ,则f= 。

2 2 2答案是：参参考考答答案案：： C2、级数Σlnn1-lnn /ln2 为级数。

A收敛 B绝对收敛 C条件收敛 D发散答案是：参参考考答答案案：： B1、设f0 在某去心邻域u（0内可导这时有 A若 limf=A存在,则 f0=A；B若f 在0 连续,则A成立； C若 f=A存在,则 limf=A； D以上ABC 答案是：参参考考答答案案：： B。

数学分析续论

二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B .2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 .3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A是 .4．=ix e . 5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 三、计算题1、(1)dx x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．四、解答题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2．求函数xx x f 1)(+=的极值.五、证明题1．设)(x f y =是从]1,0[到]1,0[的连续函数，则存在点]1,0[0∈x ，使n x x f 00)(=，其中n 是一个非零自然数.2．设C B A ,,为三角形的三个内角，求证：812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A .《数学分析》二、填空题1．)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c 2.等价关系；3.无限集；4. x i x sin cos +； 5. x +1.三、计算题1、解2、解：由分部积分公式得： 111 (1)1x x x x=-++ 231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ 1 (1)dx x x ∴+⎰3311ln ln 33x x x d x =-⎰ 11()1dx x x=-+⎰ 33111ln 33x x x dx x=-⋅⎰ ln ln 1.x x C =-++3211ln 33x x x dx =-⎰3311ln 39x x x C =-+ 四、解答题 1．解 34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．解令 011)(2=-='xx f 解得 1±=x312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。

数学分析[2]模拟试题2_数学分析教学资料

数学分析[2]模拟试题2_数学分析《数学分析[2] 》模拟试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）A 连续B 有界C 无间断点D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在],[a a -上可积，则（） A ⎰⎰=-aaadxx f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aadx x fC ⎰⎰-=-aaa dxx f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa =⎰-3、下列广义积分中，收敛的积分是（）A ⎰101dx xB ⎰∞+11dx xC ⎰+∞0sin xdx D ⎰-1131dx x 4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（）A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛B ∑∞=1n na 和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C ∑∞=1n na 收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散D∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=1n nn ba 发散6、)(1x an n∑∞=在],[b a 收敛于)(x a ，且)(x a n 可导，则（）A )()('1'x a x an n=∑∞= B )(x a 可导C ⎰∑⎰=∞=b an b an dxx a dx x a )()(1 D ∑∞=1)(n nx a一致收敛，则)(x a 必连续7、下列命题正确的是（） A )(1x an n∑∞=在],[b a 绝对收敛必一致收敛 B )(1x an n∑∞=在],[b a 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在],[b a 必绝对收敛D )(1x an n∑∞=在],[b a 条件收敛必收敛 8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为（）A xe B x sin C x arctan D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（）A {}0,0|),(>>y x y xB {}x y y x ->|),(C {}0|),(>+y x y xD {}0|),(≠+y x y x 10、函数),(y x f 在),(00y x 可导与可微的关系（） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分）1、⎰=914)(dx x f ，求 ⎰+22)12(dxx xf2、计算 ⎰∞+++02221dx x x3、计算∑∞=11n nx n 的和函数，并求∑∞=-1)1(n n n4、设xy yx z -+=1arctan ，求 y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂22222,, 5、计算22200lim y x yx y x +→→三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(22y x y x y x xy y x f 在)0,0(点的可导性、连续性和可微性2、讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n n x 的敛散性四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设221)(x n xx S n +=，证明)}({x S n 在),(+∞-∞上一致收敛2、设yxe z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂y z y x z x3、设)(x f 在]1,0[连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dxx f dx x xf ，并求⎰+π02cos 1sin dx x xx参考答案一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C二、1、⎰⎰++=+2022202)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+912022)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞+++02221dx x x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→+∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n nx n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt t x -=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1=-∑∞=n nn4、解：两边对x 求导211x z x +=,211y z y +=（3分）0,)1(2,)1(2222222222=∂∂∂+-=∂∂+-=∂∂y x z y y y z x x x z （3分）5、解：x y x yx ≤+≤||0222（5分）0lim 2220=+→→y x yx y x （1分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、00lim )0,0()0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x x f x f f x x x ，同理0)0,0(=y f （4分），又但沿直线mx y =趋于（0，0），21),(lim m m y x f mx y x +==→，所以22)0,0(),(limy x xyy x +→不存在，也即函数在（0，0）点不连续，（4分），因而函数在（0，0）点也不可微（2分） 2、解：由于x n xn n n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为0)()(=→x S x S n （2分），因为n x n xx S x S n 211)()(22≤+=-，（4分），0>∀ε，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε21N ，当N n >时，ε<≤-n x S x S n 21)()(，对一切),(+∞-∞∈x 成立，所以)}({x S n 在),(+∞-∞上一致收敛（4分）2、y ex z yx1=∂∂，2y x e y z y x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂y x ye y xe y z y x z x y xy x （3分） a) 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ00)(sin )(sin ))(sin()()(sin dtt tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx x x dx xx x （3分）。

数学分析考试试题

数学分析考试试题数学分析考试试题数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微积分等基本概念和方法。

作为一门理论性较强的学科，数学分析的考试试题往往具有一定的难度和深度，需要学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。

下面我们来看一些典型的数学分析考试试题。

1. 极限计算题计算极限是数学分析中的基本内容之一，也是考试中常见的题型。

例如，给出一个函数序列$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}$，要求计算$\lim_{n\to\infty}f_n(x)$。

这类题目要求学生能够灵活运用极限的定义和性质，进行计算和推理。

2. 函数连续性题函数连续性是数学分析中的重要概念，也是考试中常见的考点。

例如，给出一个函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\1,&x=0\\e^x,&x>0\end{cases}$，要求判断函数在$x=0$处的连续性。

这类题目要求学生能够理解函数连续性的定义和性质，判断函数在给定点处的连续性。

3. 导数计算题导数是微积分的重要内容，也是考试中的重点考点。

例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+1$，要求计算$f'(x)$。

这类题目要求学生能够熟练掌握导数的定义和计算方法，进行函数的求导运算。

4. 函数极值和拐点题函数的极值和拐点是微积分中的重要概念，也是考试中的难点。

例如，给出一个函数$f(x)=x^3-3x^2+3x$，要求求出函数的极值和拐点。

这类题目要求学生能够掌握函数极值和拐点的定义和判定方法，进行函数的求解和分析。

5. 定积分计算题定积分是微积分中的重要内容，也是考试中的常见题型。

例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求计算$\int_1^e f(x)dx$。

这类题目要求学生能够熟练掌握定积分的定义和计算方法，进行积分的求解和计算。

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