数学分析续论模拟试题
数学分析模拟试题
数学分析模拟试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 设函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$上连续，若对任意$x\in(a,b)$，恒有$f(x)\geq 0$，则函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的增减性为（）。
A. 递增B. 递减C. 非递增D. 非递减2. 函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x+\frac{1}{2}$在区间$(-\infty ,0)$上的单调性为（）。
A. 递增B. 递减C. 上升D. 下降3. 函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$上连续，当$x\in(a,b)$时，$y=f(x)$一直在$x$轴上方，则对于$y=f(x)$在区间$(a,b)$上任意二点$(x_1 ,f(x_1 ) )$和$(x_2 ,f(x_2 ) )$来说，（）。
A. $f(x_1 ) +f(x_2 ) <0$B. $f(x_1 ) +f(x_2 ) \geq 0$C. $f(x_1 ) \cdot f(x_2 ) <0$D. $f(x_1 ) \cdot f(x_2 ) \geq 0$4. 设函数$f(x)$可导，当$x>0$时，$f(x)$单调递减且$f(x)>0$，则$f'(x)$(）。
A. $>0$B. $=0$C. $<0$D. $\geq 0$5. 函数$y=f(x)$在区间$(0,1)$内连续，在$(0,1)$内单调递减，则有（）。
A. $f(0)<f(1)$B. $f(0)\geq f(1)$C. $f(0)>f(1)$D. $f(0)\leq f(1)$6. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则在区间$(a,b)$内必存在两点$a_1, b_1 \in (a,b)$，使得（）。
A. $f(a_1 ) =f(b_1 )$B. $f(a_1 ) =f(b_1 ) +a_1 -b_1$C. $f(a_1 ) =-f(b_1 )$D. $f(a_1 ) +f(b_1 ) =0$7. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则必存在$c\in [a,b]$，使得对任意$x\in [a,b]$，恒有（）。
数学分析续论模拟试题
《 数学分析续论 》模拟试题（二）一、 单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为一数列，对它有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若存在收敛子列，则{}n a 必收敛； Ｂ．虽存在发散子列，但{}n a 仍可收敛； Ｃ．若所有子列都收敛，则{}n a 必收敛；Ｄ．所有子列都收敛，但它们可有不同极限．（２）设)(x f 在),(∞+-∞上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．值域)),((b a f 必为一开区间； Ｂ．值域)],[(b a f 必为一闭区间； Ｃ．)(I f 为闭区间时，I 亦必为闭区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）若0)(>'+a f ，则0>δ∃，使得当),(δ+∈a a x 时，必有．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(x f 单调递増； Ｂ．)()(a f x f >； Ｃ．若)(x f '存在，则 Ａ 成立； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可导，则)(x f 在],[b a 上必定为．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．既存在最大值，又存在最小值； Ｂ．不能同时存在最大值和最小值； Ｃ．在0)(='x f 的点处必取极值； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（５）已知0)(>⎰ba x x f d ，这时必有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．在0)(],[≥x f b a 上； Ｂ．不能有无穷多个)(x f 取负值； C ．)(x f 取正值的x 要比取负值的x 多得多； Ｄ．不能只有有限多个)(x f 取正值．二、计算题（401⨯'）（１） 试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛--+++∞→n n n n 4242lim ； ②322sin lim x t t x x ⎰∞+→0d ．（２）设⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-yx y u f u y x u e )x ln()(,12,220． 试求)()(0u f u f ''与．（３）试求由曲线 x y ln =，直线e e 1,==x x ，及x 轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）求内接于椭圆 12222=+by ax 的长方形的最大面积．三、证明题（301⨯'）（１） 设)(x f 在],[b a 上连续．试证：],[)],[(M m b a f =，其中M m 与分别是)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．（２） 利用凸函数方法（詹森不等式）证明：)(3133333c b a c b a ++≤⎪⎭⎫⎝⎛++,其中 c b a ,,为任意正数；并讨论当c b a ,,为任意负数时，上述不等式应作怎样改变？（３） 证明：34ln3)1()1(01∑∞=+=+-n n nn ． 提示：把上式中的级数看作=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31S 31011)1(=∞=+∑+-x n n n n x ．解 答一、（１）Ｃ； （２）Ｂ； （３）Ｂ； （４）Ａ； （５）Ｄ． 二、（１）[ 解 ] ① 545lim 4242lim =-=⎪⎭⎫⎝⎛--+++∞→∞→n n n n n n n ；②.03sin 2limsin 2limsin lim44322===∞+→∞+→∞+→⎰xxx x xt t x x x x 23x d（２）［ 解 ］⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++='--2202222225254)(,122)(e ee e uf y x y y x y y x x u f y x y x ．（３）［ 解 ］所围曲边梯形如右图所示，其面积为1)ln (11)ln (ln )ln (111eed d eex x x x x x xx x x S -+-=+-=⎰⎰e 22-=．（４）［ 解 ］由题意，所求长方形的面积为y x S 4=)0,0(>>y x ，其中),(y x 需满足12222=+by ax ，故此为一条件极大值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)1(2222-+λ+=by ax y x L ，并令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.01,02,02222222=-+==λ+==λ+=λby ax L b y x L a x y L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）容易解出：2,22222b y a x by ax ==⇒=．据题意，内接长方形的最小面积为零；故最大面积为b a y x S 24==．三、（１）［ 证 ］由闭区间上连续函数的最大、小值定理，],[,21b a x x ∈∃，使得M x f m x f ==)(,)(21．若)(,,21x f M m x x 于是则==恒为一常数，结论成立；现不妨设21x x <．再由连续 函数的介值性定理，y x f b a x x x M m y =⊂∈∃∈∀)(],,[),(,),(21使得，这说明值 域)],[(b a f 充满了整个闭区间],[M m ．（２）［ 证 ］设3)(x x f =．由于),0(,06)(,13)(2∞+∈>=''+='x x x f x x f ，所以)(x f 在),0(∞+上为一凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有)(3133333c b a c b a ++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++．而当)0,(-∞∈x 时，)(x f 为一凹函数，故对任何负数c b a ,,，恒有)(3133333c b a c b a ++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++．（３）［ 证 ］由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把所求级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-011)1(n n n n x在31=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1(-，经逐项求导得到]1,1(,)1()(0-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1(,11)()(0-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰+=+='=-xx x t tt t S S x S 0,)1(ln 11)()0()(d d 由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=+=+==+-0134ln )311(ln )31(3)1()1(n n n S n ．。
《 数学分析续论 》模拟试题复习辅导课件模板
2019-5-11
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18
设 f (x) x7 x5 x，显然它在 ( , ) 上连续．
因
lim
x
f (x) lim x7 ( 1
x
1 x2
1 x6
)
，故由无穷大
量的定义，对于任意的 c 0 ， X 0 ，使得 x X 时 ，
y a 时 x 3 a ，这时所求三角形的面积为最大：
2
2
S max
3
3 4
a
2．
［注］ 用 a2 x2 y2 代入 S Smax , 将得到一个不等式
x
x2 y2
y
33 4
x2 y2
．
［思考题］ 当把题中的圆改为椭圆 x2 y2 1 时，得
n 1
1 n
却为发散．
2019-5-11
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21
2019-5-11
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22
至多只有有限个项 ” ．
an
再有, 因 Ｃ 中未假设
的极限相等；
a2k1 与 a2k
而Ｄ中所说的 “无穷多个子列 ”并不等同于“ 所有子
列 ”，
所以这些都是错误的．
2019-5-11
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5
（３）设 f (x) 在 R 上为一连续函数．这时下面正确
的
是 ·······································[
的项都落在邻域
之内；
a2k1 , a2k
Ｃ．
都收敛；
an
a
Ｄ． 中有无穷多个子列都收敛于 ．
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1A f f-A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=xtt f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
数学分析下考试题及答案
数学分析下考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4答案：B4. 函数f(x)=x^3在x=0处是否可导？A. 是B. 否答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2的导数是_________。
答案：2x2. 函数f(x)=x^3的不定积分是_________。
答案：(1/4)x^4 + C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。
答案：04. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。
答案：-cos(x) + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。
答案：42. 求函数f(x)=e^x的不定积分。
答案：e^x + C3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/3四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在x=0处连续。
答案：由于f(x)=x^3是一个多项式函数，而多项式函数在其定义域内处处连续，因此f(x)=x^3在x=0处连续。
2. 证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。
答案：对于任意的0≤x1<x2≤1，我们有f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2)。
由于x1<x2，所以x1-x2<0，而x1+x2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，这说明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。
数学分析(下)_习题集(含答案)(1)
《数学分析（下）》课程习题集一、计算题 1. 设f xyz z yxf u),,(222++=具有二阶连续偏导数，求xz u ∂∂∂2.2. 设f z yxf u ),(222++=具有二阶连续偏导数，求22xu ∂∂，.2yz u ∂∂∂3. 0)cos(=--+xyz z y x ，求yz xz ∂∂∂∂,.4. 已知),(yx x f z=，求yz xz ∂∂∂∂,．5. 已知),(),,(v u f xy y x f z+=可微，求yx z ∂∂∂2．6. 设.,dz yx y x z 求-+=7. 设),(z x f u =,而),(y x z 是由方程)(z y x z ϕ+=所确的函数,求du ．8. 设)1,0(≠>=x x x zy，证明它满足方程z yzx xz y x 2ln 1=∂∂+∂∂．9. 设yxez=，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz yxz x．10. 已知zyxu= ，求yx u ∂∂∂2．11. 求曲面22yxz+=包含在圆柱x yx 222=+内部的那部分面积．12. 计算二重积分Dx d y ⎰⎰,其中积分区域为22{(,)|14}D x y x y=≤+≤．13. ⎰⎰-Dydxdy e2，其中D 是以点) 0 , 0 (、) 1 , 1 (和) 1 , 0 (为顶点的三角形域．14. 计算二重积分⎰⎰Ω+=dxdyy xI )(22，其中Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形．15. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：⎰⎰-+a xax dyy xdx2020222)(．16. 求级数11(1)nn n xn∞-=-∑的和函数．17. 求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的和函数．18. 求级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数，并求∑∞=+021n nn 的和．19. 讨论∑∞=--11ln )1(n n nn 的收敛性．20. 判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的收敛性．21.求幂级数11(1))2nnnn x ∞=--∑的收敛区间．22. 求幂级数∑∞=122n nnxn 的收敛区间.23. 计算nn nx n)1(21-∑∞=的收敛半径和收敛域．24. 求幂级数nn nx n∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域．25. 求下列幂级数的收敛区间:+⋅++⋅+⋅+⋅nn n xxxx 33332313322．二、 填空题26. 幂级数nn x n∑∞=11的收敛半径为（ ）.27. 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）.28. 设级数∑∞==14n n u ，则级数=-∑∞=1)2121(n nn u （ ）．29. 当1<x 时，幂级数∑∞=+-013)1(n n n x的和函数为（ ）．30. 若∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim （ ）．31. 几何级数)0(11>∑∞=+a aqn n 当（ ）时收敛．32. 幂级数∑∞=+0!1n nxn n 的和函数为（ ）．33. 幂级数∑∞=12n n nx 的收敛域为（ ）．34. 幂级数∑∞=-12)1(n nn nn x的收敛域为（ ）．35.=)(x f x sin 的幂级数展开式为（ ）． 36. 级数∑∞=1n n u 发散的充分条件是（ ）．37. 设级数∑∞=+111n p n收敛，则p 的取值范围是（ ）．38. =∞→nnn nn ！2lim（ ）．39.2xe-的幂级数展开式为（ ）．40. =>∞→nk n an lim1a 时，当（ ）．41. =→→yxy y x sin lim0（ ）．42. 二元函数1122-+=y xz的定义域为（ ）．43.=++→→22220)sin(limyxy x y x （ ）．44.11lim22220-+++→→yx yx y x =（ ）．45.xyxy y x 11lim0-+→→=（ ）．46. 设22ln yxxy arctgz ++=，则=∂∂)1,1(xz （ ）． 47. 设='+=)0,1(),32ln(),(y f xy x y x f 则（ ）．48. 设=++=)1,1(,1ln ),(22df y xy x f 则（ ）． 49. 设),(y x z z=是由方程yz x ln =确定的隐函数，则xz ∂∂=（ ）．50. 设xu yx euy∂∂=-则,sin在点（2，π1）处的值为（ ）．51. 函数xy yxz333-+=的极小值为（ ）．52. 若函数y xyax x y x f 22),(22+++=在点（1，-1）处取得极值，则常数=a （ ）．53. 函数33812),(y xy xy x f +-=的极小值点为（ ）．54. 函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值为（ ）． 55. 函数y x yxy xy x f --++=2),(22的极值为（ ）．56. 设,),arctan(xe y xy z ==则=dxdz （ ）．57. 设==dz ez xy则,sin （ ）．58. 设=∂∂+∂∂+=yz yxz xy x z 则),ln(（ ）．59. 设='=)0,0(,),(x f xy y x f 则（ ）． 60.222zy x u ++=在（1，1，1）点的全微分为（ ）．61. 设)1ln(32z yx u+++=，则=∂∂+∂∂+∂∂)1,1,1()(zu yu xu （ ）．62. 二重积分=+⎰⎰σd y xD)6(2（ ）, 其中D 是由1,,222===x x y x y 所围成的区域； 63. 若函数,)()(),()(1∑-=+-∞=n nn a x a x f r r a r a x f 为收敛半径），内能展开成幂级数（在则=k a （ ），且内任意可导；在),()(r a r a x f +-64. 设023=+-y xz z ，则)1,1,1(xz ∂∂＝（ ）．65. =∞→2)!(limn nn n （ ）． 66. 积分=⎰⎰-yydx edy022（ ）．67. 改变积分⎰⎰xedy y x f dxln 01),(的次序后所得积分为（ ）．68. =⎰⎰1210xyxdy edx （ ）．69. 二重积分⎰⎰=+Dyx d eσ（ ），其中D 是由x y ln =,x 轴，2=x 所围成的区域． 70. 已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且1)(=⎰⎰Ddxdy x yf ，则⎰badx x f )( ＝（ ）．71. ,1,≤≤y x D π：设则⎰⎰-Ddxdy y x )sin (=（ ）． 72. 设D ：,1,3≤≤y x 则=+⎰⎰Dd y x x σ)(（ ）． 73. 设D ：,20,0ππ≤≤≤≤y x 则=⎰⎰Dydxdyx cos sin （ ）． 74. 设D 是由1,1,1,1=-==-=y y x x围成的矩形区域，则=⎰⎰Ddxdy （ ）． 75. 设f 是连续函数而D ：⎰⎰=+>≤+Ddxdy yxf y yx )(,0,12222则且（ ）． 三、单选题 （略）……答案一、计算题 1. 解：zu ∂∂=212xyf z f +，)2()2(22221212112yzfxfxy yfyzfxf z xz u ++++=∂∂∂.2. 解：令222z yx t++=，则)(t f u =，xu ∂∂=)(2t f x '，zu ∂∂=)(2t f z '.)(4)(2222t f xt f xu ''+'=∂∂，)(42t f yz yz u ''=∂∂∂.3. 解：1s in ()1s in (),.1s in ()1s in ()z y z x y z z x z x y z xx y x y z y x y x y z ∂+∂+==∂-∂-4. 解：x z ∂∂=yf f 121+，yz ∂∂=22yx f -.5. 解：xz ∂∂=yf f 21+yz ∂∂=x f f 21+,22122112)(xyff y x f f yx z ++++=∂∂∂.6. 解：2()()()()()x y x y d x y x y d x y d zd x y x y ⎛⎫+-+-+-== ⎪--⎝⎭2()()()()()x y d x d y x y d x d y x y -+-+-=-222()y d x x d yx y -+=-2222.()()y x d x d y x y x y =-+--7. 解：u u d u d x d y xy∂∂=+∂∂,()z x y z ϕ=+ （1）方程（1）两边对x 求导：1()z z y z x xϕ∂∂'=+∂∂，1.()1z xy z ϕ∂-∴='∂-方程（1）两边对y 求导：()(),z z z y z yyϕϕ∂∂'=+∂∂ ().()1z z yy z ϕϕ∂-∴='∂-而;()1zx f u f f z f x x zxy z ϕ∂∂∂∂=+⋅=-'∂∂∂∂-()();()1()1z z f z u f z z f yzyy z y z ϕϕϕϕ⋅∂∂∂-=⋅=⋅=-''∂∂∂--()().()1()1zz x f f z u u d u d x d y f d x d y xyy z y z ϕϕϕ⋅∂∂∴=+=--''∂∂--8. 解:1-=∂∂y yxxu ，x xyu yln =∂∂,z x xxyxyx yzx xz y x yy 2ln ln 1ln 11=+=∂∂+∂∂-.9. 解:yex z yx1=∂∂，2yx eyz yx-=∂∂，则012=-=∂∂+∂∂y x yeyxey z yxz xyxyx.10. 解：xu ∂∂=1-zyxzy ，=∂∂∂yx u 2121ln 1--+zyzyxzx y xz.11.解：由222z x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩ 消去z 得投影柱面：222x y x+=，在xoy 面上的投影区域为 22:2xy D x y x+≤2x y z z ==21122222222=++++=++∴yxy yxx zzyx所求面积为：2c o s 2002x yD Ax d yd d r πθθ==⎰⎰⎰⎰220c o s .d πθθ==12.解：由对称性，可只考虑第一象限部分，14DD =，Dx d y ⎰⎰=41D x d y ⎰⎰2201s in 44r d r d r rππθ==-⎰⎰.13. 解：dx edydxdy eyyDy⎰⎰⎰⎰--=10022ee eydy eyy210121221-=-==--⎰.14. 解：⎰⎰⎰⎰Ω-=+=+a ayay adx y xdydxdy y x34222214)()(.15. 解：在极坐标系下，半圆22xax y-=的方程变为⎰⎰==≤≤=2cos 204343,20,cos 2πθπθπθθa adr r d a r 原式.16. 解：11()(1)nn n xs x n∞-==-∑，显然(0)0s =.21()1,(11)1s x x x x x'=-+-=-<<+两边积分得0()ln (1)xs t d t x '=+⎰即()(0)ln (1)()ln (1),s x s x s x x -=+∴=+又1x =时，111(1)n n n∞-=-∑收敛,11(1)ln (1)(11)nn n xx x n∞-=-=+-<<∑.17. 解：令111()(1)1n n n n n n xxxS x n n nn ∞∞∞=====-++∑∑∑11111nn n n xxnxn +∞∞===-+∑∑,设11(),nn xS x n∞==∑121(),1n n xS x n +∞==+∑则1111(),1n n S x xx ∞-='==-∑101()ln (1).1xS x d x x x∴==---⎰21(),1nn xS x xx∞='==-∑20()l n (1).1x x S x d x x x x∴==----⎰1211()()()ln (1)[ln (1)]S x S x S x x x x xx∴=-=--++-11(1)ln (1).x x=+-- (1,0)(0,1x ∈- 即 11(1)ln (1),(1,0)(0,1)()0,0x x S x xx ⎧+--∈-⎪=⎨⎪=⎩.18. 解：令)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ，则)(x f =∑∞=+0)1(n nxn ∑∞=+'=1)(n n x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=+01n n x .)1(112x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1<x 当1±=x 时，级数∑+±)1()1(n n发散，所以级数的收敛域)1,1(-， 令1-=x ，得4)21(211==+∑∞=f n n n.19. 解：∑∞=-1ln )1(n nnn 发散，令xx x f ln )(=，则当2e x >时，02ln 2)(<-='xxx x f ，从而)(x f 在),(2+∞e 上单减，故当9>n 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 单调减少，又0ln lim =∞→n n n ，故∑∞=--11ln )1(n n n n 为 leibniz 级数，所以它条件收敛.20. 解:12)1(2lim !2)1()!1(2limlim111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→en n n nn n u u nn nnn n n nn n ，所以级数∑∞=⋅1!2n nnnn 收敛.21.解：11limlim22n n n na R a ρ+→∞→∞===∴=,即1122x -<收敛，(0,1)x ∈收敛 .当0x =时，级数为1n ∞=∑,当1x =时，级数为1nn ∞=∑(0,1).22. 解： 级数缺奇次幂的项，而 2(1)112(1)2limlim2n n n n nn n nu n xu n x+++→∞→∞+=⋅2211lim.22n n xxn→∞+==当211,2x <即x <时,级数收敛; 当211,2x>即x >,级数发散.收敛半径为R =又当x =±时,级数为1n n ∞=∑发散,故收敛区间为(23. 解：21212lim1=++∞→nn nn n ，∴收敛半径21=R ，当21=x 时，∑∞=-1)1(n nn收敛，当23=x时，∑∞=11n n发散，故收敛域为)23,21[.24. 解：由于en n nn nn nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e1，当ex 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e nnn n，所以收敛域为)1,1(ee -. 25. 解：313)1(3limlim11=+=+∞→+∞→n nn nn n n n a a ，R=3。
数学分析续论A卷复习资料
数学分析续论A 卷复习资料一. 计算题1.求函数11(,)f x y y x=+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11(,)f x y y x ==，因此二重极限为0.因为011x y x →与011y y x→均不存在，故二次极限均不存在。
2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22y x y x yw ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x y z w w e μνμν+-====。
代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。
4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。
构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
令 22420,20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ 解得2h r =，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。
5. 设322()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分的求导公式332222322222()32y y x yx y x yxy x yx y y yyF y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰327522232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰375222751222y y y x y y y e ye e dx y ---=--⎰。
《 数学分析续论 》模拟试题(一) .doc
《 数学分析续论 》模拟试题（一）一、 单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ； Ｂ．{}n a 不一定收敛； Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛； Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ； C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220． 试求)()(0u f u f ''与． （３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３） 证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解 答一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ． 二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd e d e lim222222222020220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰x x x x x t x xxt x x xt xt x x t ttt ee ee e e e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(33102122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA Cy B x A y y x x d BA C yB x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法． 三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ， 所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。
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Ａ．
当
；
0 , an
Ｂ．
在 中除有限个项以外，其余所有
U(a; )
的项都落在邻域
之内；
a2k1 , a2k
Ｃ．
都收敛；
an
a
Ｄ． 中有无穷多个子列都收敛于 ．
3
［理由］ Ｂ 与 lim a n a 的 " N " 定义显然是等
n
价的；它也可说成是：“ 0 , 在邻域 U ( a ; ) 外，
A]
I
f (I)
Ａ．当 f (为I 闭) 区间时， I 必为闭区间；
Ｂ．当 I 为闭区间时f，( I )必为闭区间；
Ｃ．当 为开区间时，
必为开区间；
Ｄ．以上 Ａ、Ｂ、Ｃ 都不一定成立．
5
［理由］ 依据连续函数在闭区间上的最大（小）值 定理与介值性定理，可知 A 是正确的．容易举出反例 , 说明 B 与 C 都是错的，例如：
y
( x, y )
O
ax
a
14
依据 Lagrange 乘数法，设
且令
L x( a y ) ( x2 y2 a2 ) ，
Lx a y 2 x 0 ,
Ly
x 2 y 0,
L
x2
y2 a2
0
.
通过消去 , x，容易得到方程 2 y2 a y a2 0 ，由此解
出 y a , a ．
一、单项选择题
（１）设 an 为一数列，且存在一收敛子列 an j ．
这时下面正确的是 ·······················[ D
]
lim an
Ａ．n
Hale Waihona Puke limja
n
j
；
an
Ｂ． 可能收敛，但 A 不一定成立；
an
Ｃ． 必定不收敛；
an
Ｄ．当预先假设了 收敛时，才有Ａ成立．
1
［理由］ an 收敛的充要条件为： an 的所有
x2 y2 2x
( x2 y 2 )2
y
x2 y2 2y
,
( x2 y 2 )2
1
f
( u
0
)
10 1
50
3
10 3
．
50
12
（３）试求由曲线 y e2x，直线 x 2 , x 0 ，
以及 x 轴所围曲边梯形的面积 S ．
［解］ 由定积分的几何意义，如图所示的曲边
2
15
y a 显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当
y a 时 x 3 a ，这时所求三角形的面积为最大：
2
2
S max
3
3 4
a
2．
［注］ 用 a2 x2 y2 代入 S Smax , 将得到一个不等式
x
x2 y2
y
33 4
x2 y2
．
［思考题］ 当把题中的圆改为椭圆 x2 y2 1 时，得
梯形其面积为
y
S 0 e2 x dx
2
1 e2 x 0
2
2
1 (e4 1 ) . 2
y e2x
S
2
O
x
13
（４）用条件极值方法（Lagrange乘数法），求内
接于圆 x2 y2 a2 的等腰三角形的最大面积．
［解］ 如图所示，这个等腰三角形的顶点坐标为
(0, a )，底边一端为 ( x, y ) ( 设 x 0 ) ． 于是，三角形的面积 S x (a y ) ， 其中 ( x, y ) 满足条件 x2 y2 a2 ．
n
u
n
0
是一般级数 un 收敛的一个必要条件（不是充分
n1
条件），所以错误的结论只有 C ．
8
二、计算题
（１）试求下列极限：
①
lim 2 4 2n
n
n3
n
．
［解］
lim 2 4 2n n
n
n3
=
lim
n
n ( 2 2n ) 2(n 3)
n
lim
n
4n 4 n 3
17
设 f (x) x7 x5 x，显然它在 ( , ) 上连续．
至多只有有限个项 ” ．
an
再有, 因 Ｃ 中未假设
的极限相等；
a2k1 与 a2k
而Ｄ中所说的 “无穷多个子列 ”并不等同于“ 所有子
列 ”，
所以这些都是错误的．
4
（３）设 f (x) 在 R 上为一连续函数．这时下面正确
的
是 ·······································[
x I ( , ) , f (x) sin x , f ( I ) 1, 1 ．
［思考题］当把 Ａ 与 Ｂ 中的所有 “闭区间” 改 为 “开区间” 时，结论又将如何？
6
（４）设 un 为一正项级数．这时下面错误的
n1
是 ···································
．
9
②
x (
et
- 1)dt
求 lim 0
．
x 0
x2
［解］ 利用性质
dx
dx a f (t ) dt
f (x) （其中
f
为
连续函数），借助洛必达法则，有
lim
x 0
x
(
et
- 1)d
t
0
x2
ex -1
ex
lim
x 0
2x
lim
x 0
2
1 2
．
10
（２）设
x
1
u
y
,
u
0
3
,
试求 f (u ) 与 f (u 0 ) ．
f
(
u
)
ln
x2 y2
1
．
x2 y 2
［解］ 一般地，对于向量函数
x
u
y
,
f
(u
)
g( h(
x x
,y ,y
) )
，
其导数为一 2 × 2 矩阵，即
11
据此求得
f
(
u
)
gx ( x,y ) hx ( x , y )
gy ( x,y )
hy
(
x
,
y
)
．
x
f ( u )
a2 b2
出的结果将会怎样？请大家自己去算一算．
16
三、证明题
（１） 证明：方程 x 7 x5 x c 必有正根，
其中 c 为任意正数．
［证］证明需要用到连续函数的介值性定理， 即若 f (x) 在[ a, b ] 上为一连续函数，f ( a ) f (b) ， 则 f (x) 在 (a, b) 内必能取得 f (a) 与 f (b) 之间的 一切值．
子列 an j 都收敛，此时才有Ａ成立；而当只有一个
子列收敛时，原数列不一定收敛．
［思考题］ 当假设 an 为一特殊的数列（例如
单调数列）时，结论将有何改变？
2
（ ２ li）m a n a
于 ···········n ·[B ]
，它等价
N 0, 0, n N 时, | an a |
[C]
Ａ．若 Ｂ．若 C．若
un
n1 收敛，则
lim
n
u n1 un
1
，则
un
n1 收敛，则
lim
n
u
n
0
；
un
n1 收敛 ；
lim
n
u n1 un
1
；
Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ 中必有一个是错的．
7
［理由］
因为
lim
n
u n1 un
1
是正项级数
un
n1
收敛
的一个充分条件（不是必要条件）；而
lim