综合除法与余数定理修订版

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初中数学竞赛——余数定理和综合除法

第1讲余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。

这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。

设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。

四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。

典型例题一. 多项式的除法【例1】已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】（1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】分解因式：354x x -+.【例23】分解因式：326116x x x +++.【例24】分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】分解因式：32511133x x x ---【例29】分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。

第六节：整式的除法及余数定理

整式的除法及余数定理【教学目标】1.综合除法：多项式除法时，我们有带余除法：)()()()(x r x q x g x f +⋅= 其中)(x f 表示被除式，)(x g 表示除式，)(x q 表示商式，)(x r 表示余式，且余式)(x r 的次数小于除式)(x g 的次数．2．余数定理和因式定理：余数定理：多项式)(x f 除以)(a x -所得的余数等于)(a f 因数定理：若多项式)(x f 能被a x -整除，亦即)(x f 有一个因式a x -，则0)(=a f ；反之，如果,0)(=a f 那么a x -必为多项式)(x f 的一个因式．【经典例题】例1．求6532234++--x x x x 除以)1(+x 所得的商式和余数．例2．求多项式)(x f 除以,1-x 2-x 所得的余数分别为3和5，求)(x f 除以)2)(1(--x x 所得的余式．例3．证明：当b a ,是不相等的常数进，若关于x 的整式)(x f 被a x -和b x -整除，则)(x f 也被))((b x a x --整除．例4．试确定a 和b 的值，使b x ax x x x f +++-=532)(234被)2)(1(-+x x 整除．例5. 已知关于x 的整式)(x f 除以3+x 时余数为-5；所得的商再除以12-x 时余数为4，求)(x f 除以12-x 时的余数、除以3522-+x x 时的余式．整式的除法及余数定理练习一、选择题1．化简3422222++⋅⋅-n nn ，得（） A 、8121-+n B 、87 C 、12+-n D 、47 2．如果822+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +=（）A 、7B 、8C 、15D 、213．如果b a ,是整式，且12--x x 是123++bx ax 的因式，那么b 的值是（）A 、-2B 、-1C 、0D 、2 二、填空题：1．已知k 是整数，并且k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则=k ；另一个二次因式，它是．2．已知62-+x x 是12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，=b ．3．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值是．三、解答题1．计算6533+-x x 除以)2(-x 所得的商式及余数．2．用综合除法计算)23()2527(23-=-+-x x px x3．设1183)(234+-++=kx x x x x f 被3+x 整除，求k 的值．4．设2)(24+--=bx ax x x f 被())2(1++x x 整除，求b a ,的值．5．若b ax x x x f ++-=2332)(除以1+x 所得的余数为7，除以1-x 所得的余数为5，试求b a ,的值．6．多项式)(x f 除以)2(),1(--x x 和)3(-x 所得的余数分别为1，2，3求)(x f 除以)3)(2)(1(---x x x 所得的余式．7．已知多项式128)(23--+=x bx ax x f 被2-x 和3-x 整除，试求b a ,的值，并求)(x f 除以)3)(2(--x x 后所得的商式．8．若r px x 455+-被2)2(-x 整除，求q 与r 的值．9．若164-x 除以14-x 得256，求x 的值．10．若0132=--x x ，求200257623+-++x x x 的值．11．当m p ,为何值时，多项式23-+px x 能被12-+mx x 整除？整式的除法及余数定理作业1．设n mx x x f ++=2)(（n m ,都是整数）既是多项式25624++x x 的因式，又是多项式5284324+++x x x 的因式，求)(x f2．求一个关于x 的二次三项式)(x f ，它被1-x 除余2，被)2(-x 除余8，并且它被1+x 整除．3．用综合除法求商式和余式)4()181496(345+÷+-++x x x x x4．当2=x 或3=x 时，多项式6632)(234++++=bx x ax x x f 的值都为0，试求多项式)(x f 除以652+-x x 的商式和余式．。

dd05-春-07s-p07综合除法与余数定理

综合除法与余数定理例题讲解例1、计算()()4323521061x x x x x -+++÷+。

例2、求多项式24332511x x x +--除以2x -的商式和余数。

例3、用综合除法计算()()432652221x x x x -++÷+。

例4、试证明3333a b c abc ++-中含有因式a b c ++。

例5、（1）求1x -除()5427435f x x x x =+-+所得的余数。

（2）求22x -除()5427435f x x x x =+-+所得的余数。

例6、证明：当,a b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被,x a x b --整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除。

例7、多项式()f x 除以1,2x x ++所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x ++所得的余式。

例8、已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式。

课堂练习1、若()3223f x x x ax b =-++除以()1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求,a b 的值。

2、设()2f x x m x n =++（,m n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x 。

3、多项式()f x 除以1,2,3x x x ---所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式。

4、多项式()32812f x ax bx x =+--被2x -和3x -整除，试求,a b 的值，并求()f x 除以()()23x x --后所得的商式。

5、若554x qx r -+被()22x -整除，求q 与r 的值。

6、一个整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整式123,,,a a a 使()()()1231f a f a f a ===。

综合除法、余数定理

综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0•”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

20.第十三讲整式除法－综合除法－余数定理

第十三讲整式除法－综合除法－余数定理姓名：班别：使用日期：自主评价：一基础训练1、填空：（1）当x 时，式子0(2)1x +=；（2）1m n m n x x ++-÷= ；（3）4365______a b a b ⨯=；（4）1321()_____n n n x y xy ++÷=；（5）523353[()]()y y y -÷-⋅= ；（6）若332232()()m n x y x y x y ÷=，则m = ，n = .2、条件求值：（1）已知2m a =，6n a =. 则22m n a -= ；（2）已知103m =，102n =. 则2100m n -= ；（3）已知23m a =，9n b =. 则m = ，n = ；（4）若1232252716(23)288m m n n -++-⨯÷⨯=. 则m = ，n = .3、计算：（1）35246323(1596)(3)a x a x a x a x +-÷-= ；（2）222211(639)(3)m n m n m n m n a b a b a b a b ++++-+÷-= ；（3）2222[5(2)(2)](2)xy x y y x x y ---÷-= ；二拓展提高【例1】已知311(1)14n n ---=，求n 的值.【例2】已知多项式5432615331x x x x x -+-++除以23x 的余式为1x +，求商式.◆ 被除式＝除式×商式＋余式 ⇒ 商式＝（被除式－余式）÷除式◆ 设被除式为()f x ，除以为()g x ，商式为()q x ，余式为()r x ，则上式可以表示为： ()()()(f x g x q x r x=⨯+；当余式()r x 为常数时，有()()()f x g x q x r =⨯+ 1、当除式()g x x a =-（除式为一次式）时，显然有()()()f x x a q x r =-⨯+；当x a =时，有()f a r =；我们把这个性质叫做余数定理2、反之当()0f a =，说明()()()0f a x a q x =-=，所以()x a -是()f x 的一个因式，或者()f x 被x a -整除，我们把这个性质，叫做因式定理【例3】已知32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -的余数为5，求,a b 的值.解：由余数定理，得：(1)7f -=；(1)5f =，即237235a b a b ---+=⎧⎨-++=⎩ ，解得3,9a b =-=. 【例4】已知多项式432()3811f x x x x kx =++-+被3x +整除，求k 的值解：由因式定理，得：(3)0f -=，即432(3)3(3)8(3)(3)110k -+⨯-+⨯--⨯-+=解得，833k =-. ◆ 综合除法——多项式除以多项式【例5】计算：23(521)(12)x x x +-÷+.◆ 两个多项式相除，先将两个多项式按同一字母降幂排列（若有缺项，可用0补足）.【例6】求543(691418)(4)x x x x x ++-+÷+的商式和余式.◆ 此题可以用余数定理求余数，再求商式；但直接利用综合除法求解更方便！【例7】已知25x =-，求式子4328161x x x x -+-+的值.◆ 此题仍然可以转化为多项式除以多项式来完成！三竞赛训练1、已知除式为221x x -+，商式为221x x +-，余式为4x ，求被除式.2、已知331x x -=，求代数式4329672999x x x x -+-+的值.3、如果多项式543(3811)(2)x x x x m x ++++÷+所得余式为m -，求实数m 的值.4、已知多项式432235x x ax x b -+++既能被1x +整除，也能被2x -整除，求实数,a b 的值.5、已知多项式422x mx nx --+被(1)(2)x x ++整除，求,m n 的值.6、已知多项式()f x 除以(1),(2),(3)x x x ---所得的余数分别为1,2,3.求这个多项式()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余数.。

综合除法

第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。

七年级超素班第七讲综合除法余式定理

七年级超素班第七讲综合除法余式定理7 综合除法综合除法与余式定理代数式3 1.掌握一元多项式的除法2.理解并掌握余氏定理并会应用★★☆综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例1.求多项式f(x)=7-5x 3x 2+除以（x+2）所得的商式和余数。

练习：用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。

例2.用综合除法计算()）（12x 8x -7x -6x 234+÷+练习：求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。

例3.（1）求x-1除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数（2）求2x-2除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数例4.多项式f （x ）除以x-1，x-2，所得的余数分别为3和5，求f （x ）除以（x-1）（x-2）所得的余式。

例5. 一个关于x 的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。

例6.a ，b 是不相等的常数，若关于x 的整式f （x ）被x-a 和x-b 整除，求证：f （x ）也被（x-a ）（x-b ）整除。

综合除法与余数定理(含答案)-

综合除法与余数定理数学运算既要求正确，还要求迅速。

简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。

例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。

同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。

本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。

1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。

由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。

例1 计算（）分析把除式变成形式用综合除法，解：，∴商式为，余式为-38说明用综合除法计算时要注意：（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；（2）除式要变成的形式（b可以是负数）例2用综合除法计算（1）；（2）解：（1）∴商式为，余式为-3（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。

∴商式为，余式为。

说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。

2、余数定理若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。

余数定理多项式除以()所得的余数等于。

特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。

由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。

余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。

例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。

解：设由题意得解得 a=3,b=1,c=2。

∴说明因能被整除，所以是的因式，于是可设，再由，，列出a,b的方程求解。

综合除法与馀式定理讲义

評注：（1）如果多項式 f（x）中各項係數的和等於零，那麼 f（x）有一次因式（x-1）；
若奇次項的係數的和等於偶次項係數的和，則 f（x）有一次因式（x+1），記住這個結論很有用．（2）本題用分組分解也較簡單，請同學們自己求解．
二、餘式定理餘式定理又稱裴蜀定理。它是法國數學家裴蜀（1730~1783）發現的。餘式定理在研究多項式、討論方程方面有著重要的作用。餘式定理：多項式 f ( x ) 除以 x a 所得的餘式等於 f ( a ) 。略證：設 f ( x ) Q ( x ) ( x a ) R 將 x=a 代入得 f ( a ) R 。例 4、確定 m 的值使多項式 f ( x) x 5 3x 4 8 x 3 11x m 能夠被 x-1 整除。解：依題意 f ( x ) 含有因式 x-1，故 f (1) 0 。 ∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。求一個關於 x 的二次多項式，它的二次項係數為 1，它被 x-3 除餘 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的餘式相同。解：設 f ( x) x 2 ax b ∵ f ( x ) 被 x 3 除餘 1，∴ f (3) 9 3a b 1 ①
33 10 2 33 1 12 5 23 8 15 16 2 3 10 6
2 3
去除被除式，
4
∴Q= x 2 4 x 5 ，
R=6。
例 3、分解因式 x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有 x±1，x±2，x±4，x±8 因式，由於 f（1）=0，f（-1）=0，所以由因式定理，原多項式含有（x-1）（x+1）這兩個因式，然後用綜合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）這兩個因式．由綜合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）

【七年级奥数】第15讲综合除法和余数定理（例题练习）

第15讲综合除法和余数定理——例题一、第15讲综合除法和余数定理（例题部分）1.求多项式除以x+2，所得的商和余式．【答案】解:先用一般的竖式除法计算所以，商式为3x-1，余数为-5．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．商式为3x-1．，余数为-5．【解析】【分析】在除式为一次式x-a时，可以采用这种简便的除法，称为综合除法．演算过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．x的代数式常用记号f(x)或g(x)等表示，例如，用f(x)表示代数式，可记为f(x)=这时，f(1)就表示x=1时，代数式的值，即f(1)=同样地，有,等等．f(x)可以代表x的任一个代数式．但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的记号表示，如f(x)、g(x)、q(x)、(rx)等.采用上述记号，在除法中，我们有①其中，f(x)表示被除式，g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，余式r(x)的次数小于除式g(z)的次数．如果g(x)是一次式x-a，那么r(x)的次数小于1，因此，r(x)只能为常数(0或非零常数).这时．余式也叫余数，记为r，即有②在②中令x=a得f(a)=r因此，我们有以下重要定理：如除以x+2的余数为这与我们前面用综合除法求得的余数相同.又由②式．如果能被x-a整除，那么必有r=0．反之，如果r=0，那么能被x-a整除．因此，我们有：因式定理：如果多项式能被x-a整除，亦即有一个因式x-a，那么，反之，如果，那么x-a必为如果多项式的一个因式。

综合除法

综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。

再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ，又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。

初中数学竞赛——余数定理和综合除法

初中数学竞赛——余数定理和综合除法余数定理和综合除法，这两个知识点对于初中生来说非常重要，也是重点。

很多初中生都说余数定理好记，在解答题的时候会经常碰到困难。

今天就给大家讲讲这两个知识点：其中余数=1~7,是余数定理的重点。

我们来看一下关于这几种余数定理的解题步骤。

第一步：如果题目没有要求你把余数字除以3,那么就把它定义为1 (除3以外);如果题目没有说你需要把余数除以4,那么就把它定义为2 (除以3以外);如果没说需要把余数除以6,那么就把它定义为0 (余+1)。

第二步：我们来看一下这道题的题型结构：选择题和填空题，基本每一种题型都有一个相同的步骤。

第三步：在题目中求出这个余数是多少。

第四步：如果题目没有要求我们求出这个余值，那么可以直接写出；如果只是要求求一个余值的话就写一个等号之后再写出来吧。

一、余数定理是关于把一个整数或者一个函数做转化的，所以在解这些题目时时刻刻都要牢记这个结论。

下面给大家介绍一个很简单的解题方法：可以用自己的思维来思考。

也可以去分析一些更好的解题方法。

首先是，先将自己已知的这几种题目转化为余数，然后计算得到我们需要的结果。

对于余数这种题型来说，它的计算步骤是比较简单的。

如果直接来计算（不会思考就直接写),那肯定没有任何问题，所以大家要多去思考和记忆这几种题型。

最后再算一次，我们也可以得出自己所能得到的余数是多少。

所以说，如果我们不知道这个余数可以怎么来理解的话，那还是不要轻易尝试这种方法哦！还有一种更加简单一些、甚至没有用上计算算法或者更简单一些的方法——综合除法。

这个就很好理解了吧！二、余数定理在我们上面说到了余数定理是初中生的重点，很多初中生说这一点都很难，主要是因为没掌握它的知识。

其实只要掌握了它的知识，我们就是初中生了，只要掌握了它，我们也能很容易地解题。

所以如果你想让你的数学能力提高不少，那么掌握它就绝对不是难事了：它给你提供了一些非常简单、非常容易的公式和解题方法，让你可以更快地找到解题的思路和方法；它可以让你在解题中不断地学习新知识或新技能；它也能够让你在解题后对结果有一个更深层次地认识、理解和掌握。

综合除法 (2)

综合除法与余数定理一、知识提要与典型例题综合除法与余数定理就是中学数学中十分重要的内容,它们就是研究多项式除法的有力工具。

综合除法与余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

(一)、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不就是总能整除。

当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时,就有下列等式:)()()()(x r x q x g x f +⋅=。

其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数,或者0)(=x r 。

当0)(=x r 时,就就是)(x f 能被)(x g 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商与余式。

解: 余式商的各项的系数82632241264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商就是263223+--x x x ,余式就是8。

上述综合除法的步骤就是:(１)把被除式按降幂排好,缺项补零。

(2)把除式的第二项-２变成２,写在被除式的右边,中间用一条竖线隔开。

(3)把被除式的第一项的系数2移到横线的下面,得到商的第一项的系数。

(4)用2乘商的第一项的系数2,得4,写在被除式的第二项的系数-7的下面,同-7相加,得到商的第二项系数-3。

(5)用2乘商的第二项的系数－3,得-6,写在被除式的第三项的系数0的下面,同0相加,得到商的第三项的系数－6。

(6)用２乘商的第三项的系数-6,得-１2,写在被除式的第四项的系数1４的下面,同1４相加,得到商的第三项系数2。

(7)用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项4的下面,同4相加,得到余式8。

前面讨论了除式都就是一次项系数为1的一次式的情形。

如果除式就是一次式,但一次项系数不就是1,能不能利用综合除法计算呢？例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 与余式R 。

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综合除法与余数定理修
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第七节综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。

本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。

当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +⋅=。

其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。

当0)(=x r 时，就是
)(x f 能被)(x g 整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。

例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。

解：余式商的各项的系数826322
4
1264414072++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。

上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。

（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。

（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。

如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。

解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。

因此先用3
2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。

541615
123332
10
8216231033-+++++-+++-+
∴Q=542-+x x ， R=6。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。

解：23123232
346694101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232+-x x ，
R=23-x 。

二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。

它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。

余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。

略证：设R a x x Q x f +-⋅=)()()(
将x=a 代入得R a f =)(。

例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。

解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。

∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。

可得ｍ＝－17。

求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

解：设b ax x x f +==2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，
∴139)3(=++=b a f ①
∵)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，
∴b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b
∴13)(2+-=x x x f 。

注：本例也可用待定系数法来解。

同学们不妨试一试。

即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m
再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。

∴13)(2+-=x x x f 。

练习：
1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。

（1）)2()76543(234-÷-+--x x x x x ；
（2）)4()81496(345+÷+-++x x x x x ；
（3）)())()((23a x abc x ca bc ab x c b a x -÷-+++++-；
（4）)23()188859(334224y x y x xy y y x x -÷+--+；
（5）)32()15151672(2234+-÷+-+-x X x x x x ；
（6）)253()712(23356-++÷--+x x x x x x x
2、一个关于x 的二次多项式)(x f ，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整除，求)(x f 。

3、一个整系数四次多项式)(x f ，有四个不同的整数4321,,,αααα，可使,1)(,1)(21==ααf f 1)(,1)(43==ααf f ，求证：任何整数β都不能使
1)(-=βf 。

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