综合除法与余数定理含答案
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
余数定理
定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
（1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.（2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。
【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。
A.29个B.33个C.36个D.38个解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。
因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。
用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
（1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.（2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。
第六节：整式的除法及余数定理
整式的除法及余数定理【教学目标】1.综合除法：多项式除法时，我们有带余除法：)()()()(x r x q x g x f +⋅= 其中)(x f 表示被除式，)(x g 表示除式，)(x q 表示商式，)(x r 表示余式，且余式)(x r 的次数小于除式)(x g 的次数．2．余数定理和因式定理：余数定理：多项式)(x f 除以)(a x -所得的余数等于)(a f 因数定理：若多项式)(x f 能被a x -整除，亦即)(x f 有一个因式a x -，则0)(=a f ；反之，如果,0)(=a f 那么a x -必为多项式)(x f 的一个因式．【经典例题】例1．求6532234++--x x x x 除以)1(+x 所得的商式和余数．例2．求多项式)(x f 除以,1-x 2-x 所得的余数分别为3和5，求)(x f 除以)2)(1(--x x 所得的余式．例3．证明：当b a ,是不相等的常数进，若关于x 的整式)(x f 被a x -和b x -整除，则)(x f 也被))((b x a x --整除．例4．试确定a 和b 的值，使b x ax x x x f +++-=532)(234被)2)(1(-+x x 整除．例5. 已知关于x 的整式)(x f 除以3+x 时余数为-5；所得的商再除以12-x 时余数为4，求)(x f 除以12-x 时的余数、除以3522-+x x 时的余式．整式的除法及余数定理练习一、选择题1．化简3422222++⋅⋅-n nn ，得（ ） A 、8121-+n B 、87 C 、12+-n D 、47 2．如果822+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +=（ ）A 、7B 、8C 、15D 、213．如果b a ,是整式，且12--x x 是123++bx ax 的因式，那么b 的值是（ ）A 、-2B 、-1C 、0D 、2 二、填空题：1．已知k 是整数，并且k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则=k ；另一个二次因式，它是 ．2．已知62-+x x 是12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，=b ．3．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值是 ．三、解答题1．计算6533+-x x 除以)2(-x 所得的商式及余数．2．用综合除法计算)23()2527(23-=-+-x x px x3．设1183)(234+-++=kx x x x x f 被3+x 整除，求k 的值．4．设2)(24+--=bx ax x x f 被())2(1++x x 整除，求b a ,的值．5．若b ax x x x f ++-=2332)(除以1+x 所得的余数为7，除以1-x 所得的余数为5，试求b a ,的值．6．多项式)(x f 除以)2(),1(--x x 和)3(-x 所得的余数分别为1，2，3求)(x f 除以)3)(2)(1(---x x x 所得的余式．7．已知多项式128)(23--+=x bx ax x f 被2-x 和3-x 整除，试求b a ,的值，并求)(x f 除以)3)(2(--x x 后所得的商式．8．若r px x 455+-被2)2(-x 整除，求q 与r 的值．9．若164-x 除以14-x 得256，求x 的值．10．若0132=--x x ，求200257623+-++x x x 的值．11．当m p ,为何值时，多项式23-+px x 能被12-+mx x 整除？整式的除法及余数定理作业1．设n mx x x f ++=2)(（n m ,都是整数）既是多项式25624++x x 的因式，又是多项式5284324+++x x x 的因式，求)(x f2．求一个关于x 的二次三项式)(x f ，它被1-x 除余2，被)2(-x 除余8，并且它被1+x 整除．3．用综合除法求商式和余式)4()181496(345+÷+-++x x x x x4．当2=x 或3=x 时，多项式6632)(234++++=bx x ax x x f 的值都为0，试求多项式)(x f 除以652+-x x 的商式和余式．。
余数性质及同余定理答案
知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。
最新初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四.因式分解（试根法）【例22】分解因式：354-+.x x【例23】分解因式：32x x x+++.6116【例24】分解因式：432x x x x+--+.2928【例25】分解因式：432-+--.93732x x x x【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b --+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.中考文言文阅读精选100题（附答案）（一）阅读下列文言文语段，完成1－ 5题。
dd05-春-07s-p07综合除法与余数定理
综合除法与余数定理例题讲解例1、计算()()4323521061x x x x x -+++÷+。
例2、求多项式24332511x x x +--除以2x -的商式和余数。
例3、用综合除法计算()()432652221x x x x -++÷+。
例4、试证明3333a b c abc ++-中含有因式a b c ++。
例5、（1）求1x -除()5427435f x x x x =+-+所得的余数。
（2）求22x -除()5427435f x x x x =+-+所得的余数。
例6、证明：当,a b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被,x a x b --整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除。
例7、多项式()f x 除以1,2x x ++所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x ++所得的余式。
例8、已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式。
课堂练习1、若()3223f x x x ax b =-++除以()1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求,a b 的值。
2、设()2f x x m x n =++（,m n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x 。
3、多项式()f x 除以1,2,3x x x ---所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式。
4、多项式()32812f x ax bx x =+--被2x -和3x -整除，试求,a b 的值，并求()f x 除以()()23x x --后所得的商式。
5、若554x qx r -+被()22x -整除，求q 与r 的值。
6、一个整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整式123,,,a a a 使()()()1231f a f a f a ===。
7.综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除 法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x), (g(x) =0)得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f (x) =g(x) q(x) r(x)。
其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x) =0。
当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算一一综合 除法。
例1、用综合除法求2x 4 +14x+4-7x 3除以x-2所得的商和余式。
2-7 0 +14 +4 24 —6 -12 +4 丄 +8^^^^2 余式商的各项的系数 /、• •• (2x 4 14x • 4 —7x 3)“(x -2)的商是 2x 3 -3x 2 -6x 2，余式是 &上述综合除法的步骤是：(1) 把被除式按降幕排好，缺项补零。
(2) 把除式的第二项-2变成2,写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
(3) 把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
(4) 用2乘商的第一项的系数2,得4,写在被除式的第二项的系数-7的 下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
(5) 用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数 0 的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
(6) 用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14 的下面，第七节综合除法与余数定理解:同14相加，得到商的第三项系数2。
(7) 用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项4的下面，同4相 加，得到余式&前面讨论了除式都是一次项系数为 1的一次式的情形。
如果除式是一次式， 但一次项系数不是1,能不能利用综合除法计算呢？ 例 2、求(3x 3 10x 2 一 23x 16) (3x 一2)的商式 Q 和余式 R 。
余数定理
定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
（1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.（2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。
【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。
个个个个解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。
因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。
用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
（1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.（2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
七年级超素班第七讲 综合除法 余式定理
七年级超素班第七讲综合除法余式定理7 综合除法综合除法与余式定理代数式3 1.掌握一元多项式的除法2.理解并掌握余氏定理并会应用★★☆综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例1.求多项式f(x)=7-5x 3x 2+除以（x+2）所得的商式和余数。
练习：用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
例2.用综合除法计算()）（12x 8x -7x -6x 234+÷+练习：求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
例3.（1）求x-1除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数 （2）求2x-2除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数例4.多项式f （x ）除以x-1，x-2，所得的余数分别为3和5，求f （x ）除以（x-1）（x-2）所得的余式。
例5. 一个关于x 的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
例6.a ，b 是不相等的常数，若关于x 的整式f （x ）被x-a 和x-b 整除，求证：f （x ）也被（x-a ）（x-b ）整除。
综合除法与余数定理(含答案)-
综合除法与余数定理数学运算既要求正确，还要求迅速。
简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。
例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。
同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。
本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。
1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。
由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。
例1 计算（）分析把除式变成形式用综合除法，解：，∴商式为，余式为-38说明用综合除法计算时要注意：（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；（2）除式要变成的形式（b可以是负数）例2用综合除法计算（1）；（2）解：（1）∴商式为，余式为-3（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。
说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。
2、余数定理若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。
余数定理多项式除以()所得的余数等于。
特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。
由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。
余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。
例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
解：设由题意得解得 a=3,b=1,c=2。
∴说明因能被整除，所以是的因式，于是可设，再由，，列出a,b的方程求解。
【七年级奥数】第15讲 综合除法和余数定理（例题练习）
第15讲综合除法和余数定理——例题一、第15讲综合除法和余数定理（例题部分）1.求多项式除以x+2，所得的商和余式．【答案】解:先用一般的竖式除法计算所以，商式为3x-1，余数为-5．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．商式为3x-1．，余数为-5．【解析】【分析】在除式为一次式x-a时，可以采用这种简便的除法，称为综合除法．演算过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．x的代数式常用记号f(x)或g(x)等表示，例如，用f(x)表示代数式，可记为f(x)=这时，f(1)就表示x=1时，代数式的值，即f(1)=同样地，有,等等．f(x)可以代表x的任一个代数式．但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的记号表示，如f(x)、g(x)、q(x)、(rx)等.采用上述记号，在除法中，我们有①其中，f(x)表示被除式，g(x)表示除式，q(x)表示商式，r(x)表示余式，余式r(x)的次数小于除式g(z)的次数．如果g(x)是一次式x-a，那么r(x)的次数小于1，因此，r(x)只能为常数(0或非零常数).这时．余式也叫余数，记为r，即有②在②中令x=a得f(a)=r因此，我们有以下重要定理：如除以x+2的余数为这与我们前面用综合除法求得的余数相同.又由②式．如果能被x-a整除，那么必有r=0．反之，如果r=0，那么能被x-a整除．因此，我们有：因式定理：如果多项式能被x-a整除，亦即有一个因式x-a，那么，反之，如果，那么x-a必为如果多项式的一个因式。
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
初中数学竞赛——余数定理和综合除法余数定理和综合除法，这两个知识点对于初中生来说非常重要，也是重点。
很多初中生都说余数定理好记，在解答题的时候会经常碰到困难。
今天就给大家讲讲这两个知识点：其中余数=1~7,是余数定理的重点。
我们来看一下关于这几种余数定理的解题步骤。
第一步：如果题目没有要求你把余数字除以3,那么就把它定义为1 (除3以外);如果题目没有说你需要把余数除以4,那么就把它定义为2 (除以3以外);如果没说需要把余数除以6,那么就把它定义为0 (余+1)。
第二步：我们来看一下这道题的题型结构：选择题和填空题，基本每一种题型都有一个相同的步骤。
第三步：在题目中求出这个余数是多少。
第四步：如果题目没有要求我们求出这个余值，那么可以直接写出；如果只是要求求一个余值的话就写一个等号之后再写出来吧。
一、余数定理是关于把一个整数或者一个函数做转化的，所以在解这些题目时时刻刻都要牢记这个结论。
下面给大家介绍一个很简单的解题方法：可以用自己的思维来思考。
也可以去分析一些更好的解题方法。
首先是，先将自己已知的这几种题目转化为余数，然后计算得到我们需要的结果。
对于余数这种题型来说，它的计算步骤是比较简单的。
如果直接来计算（不会思考就直接写),那肯定没有任何问题，所以大家要多去思考和记忆这几种题型。
最后再算一次，我们也可以得出自己所能得到的余数是多少。
所以说，如果我们不知道这个余数可以怎么来理解的话，那还是不要轻易尝试这种方法哦！还有一种更加简单一些、甚至没有用上计算算法或者更简单一些的方法——综合除法。
这个就很好理解了吧！二、余数定理在我们上面说到了余数定理是初中生的重点，很多初中生说这一点都很难，主要是因为没掌握它的知识。
其实只要掌握了它的知识，我们就是初中生了，只要掌握了它，我们也能很容易地解题。
所以如果你想让你的数学能力提高不少，那么掌握它就绝对不是难事了：它给你提供了一些非常简单、非常容易的公式和解题方法，让你可以更快地找到解题的思路和方法；它可以让你在解题中不断地学习新知识或新技能；它也能够让你在解题后对结果有一个更深层次地认识、理解和掌握。
2-2综合除法、大除法.讲义教师版
综合除法和余数定理；「 i歯例题精讲板块一综合除法、多项式除法记号f x关于x的代数式常用记号f x或g x等表示，例如，用f x表示代数式2X2• x—3，则可记为2f x =2x x-3 .・x-3的值，即f 1 =2 12 -1-3=0，同样地，有这时f 1就表示x=1时，代数式2x2f 0 ]=2 0 0 _3 - $ ; f -1 ]=2 -1 j 亠i 1 -3 - -2 等等.用f x可以代表关于x的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，女口f x , g x , q x , r x 等.综合除法在学习多项式除法时，我们有带余除法：f (x)=g(x)q(x)卄(x) (1)其中f x表示被除式，g x表示除式，q x表示商式，r x表示余式，且余式r x的次数小于除式g x 的次数.如果g x是一次式x -a，则r x的次数小于1，因此，r x只能为常数(0或非零常数).这时，余式也叫余数，记为r，即有f (x )=(x—a ) q(x )+r (2)当一个多项式除以一个形如x-a的一次式时，有一种简便的运算方法一一综合除法，我们用一个例子来说明，如求f x[=3x2・5x-7除以x 2所得的商式和余式.解析：先用一般的竖式除法计算3x —1x 2 3x2 5x -73x26x—x—7x 25所以，商式为3x -1，余数为乃.从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示.3 +5 -7-2—6 23 -1 |-5商式为3x _1,余数为-5 .这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：⑴被除式按x的降幕排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足.⑵把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开.⑶下移第一个系数作为第三行的第一个数；用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数；再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，，，依此进行运算，最后一个数即为余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数.【例1】⑴求2x4—3x2— x2 5x 6除以x 1所得的商式和余数.⑵求多项式f x =3x3・5x2—2X4-5除以x - 2所得的商式和余数. 【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】⑴用综合除法计算如下：2 —3 —1 +5 +6-1-2 5 -4 -12 -5 4 1 [5所以，商式为2x3 _5x2■ 4x 1，余数为5 .⑵先将f x按降幕排列，f x =3x3 5x2-2x4-5 - -2x4 3x3 5x2 0 x —5用综合除法，计算如下：-2 +3 +5 0 -52-4 -2 6 12-2 -1 3 6 [7所以，商式为-2x^x2 3x 6，余数为7 .【答案】⑴商式为2x3 -5x2 4x 1，余数为5⑵商式为-2x3 -x2 3x 6，余数为7【巩固】求多项式2x4 3x3 -2x2 -48除以x -2的商式和余数. 【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】商式q x =2x3亠7x2亠12x^24，余数r =0 .用余数定理可知余数为f 2[=0 .【答案】商式q x =2x3 7x212x 24，余数r =0【例2】用综合除法计算6x4-7x3-x22x 1 .【考点】综合大除法【难度】3星【题型】计算【关键词】【解析】2x ^2 x 1，先用6x^7x3 -x2 8除以x -. I 2丿 21 6 一7 -1 0 +82 -3 5 -2 16 -10 4 - 2〔9所以，我们有6x4 -7x3 - x2 8 (1 Y 3 2 =r X 6x -10x 4x -2 9\2x2 ；6x3T0x2 *23 2=2x 1 3x 一5x 2x _1 ?：：；9因此，所求的商式为 3x -5x 2x -1，余数为9 . 【答案】商式为3x 3 -5x 2 2x -1，余数为9用综合除法计算: 综合大除法4星计算 【关键词】f x -f b=ax -b q x ,f x -f a 故 I bx 4-5x 3-3x 2-x 4 -19 - x -I4八2丿数相同，这就是该解法的来历. 商式 qx =3x -4x1x - 3，余数 r =19724 4【例 3】计算：x 4 - 2x 3 -9x 2 -2x • 9 - x 2 -1 . 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】看看此题，我们发现除式的次数不是1,我们还能用综合除法吗？显然是不能直接使用综合除法了，因为综合除法要求除式的次数为 1，那么我们可不可以依照上例的解题思路呢？反正， 余数是一定的,那么我 们可以先求 x 4 2x 3 -3x 2-2x • 9 ] >[x • 1的商式，然后再求x 4 - 2x 3 -9x 2 -2x • 9「ix • 1 ] ： j 「x T 的商式，不管可行不可行，先试试再说！综合除法求 x 4 2x 3 -9x 2 -2x 9 i ： ix 1的同式如下： 商式为x x 2 -10x 8，余数为1 再求 x 3 x 2 -10xFix-1的商式如下： 从而可知，x 4 2x 3 -9x^2xix 2-1的商式为x 2，2x-8，余数为1.此方法虽然可行，但我们发现比较复杂，那么有没有更好的更直接的办法呢？有！答案就是多项式 除法，我们在做前面的例题时，发现多项式除法不如综合除法那么简单，那是在除式的最高次数为 1的情况下，若除式的最高次不为 1，则多项式除法更【巩固】 【考点】【难度】 【题型】 6x 4「5x 3【解析】 先将原式变形，原式=6x 4 —5x 3 -3x 2 —x 4 +<■ 2，用综合除_x • 4 - x •1 的商式和余式，然后再求原式的商式和余式./ I 2丿 -X 4^ !x -如下：‘ V 2丿再把商式6x 3 -8x 2 *-|除以2得，商式q x =3x 6x 4 _5x 3 _3x 26x 4 — 5x 3 —3x 23_4X 2冷x#，余数点评：本例介绍的是除式的系数不为综合除法计算19 r41的综合除法，其1令x 1与2x 121的值为0 ,均有X 二--,由余数定理可知，2余数均为f 一11的商式为6x 4快，更准确！如果除式不可分解，则不可行，其实以上就是综合除法与多项式除法之间的异同！下面我们看看多项式除法解本题，如下：2x 2x -8「X 22x 3 _8x 2 -2x 2x 3-2x-8x 2 9 2$x8 1x 4 2x 3 — 9x 2 — 2x - 9 -■ x 2 -1 的商式为 x 2 • 2x _8，余数为 1 .点评：本题介绍的是除式为非1次的多项式或除法，可作为从综合除法到多项式除法的过渡.【答案】商式为x 22^—8，余数为1【例 4】计算：x 4 -x 3y -7x 2y 2 13xy 3 - 6y 4 1 ] ： i x - y . 【考点】综合大除法 【难度】5星 【题型】计算 【关键词】x 3-7y 2x +6y 343厂2 3 4【解析】 x —y x —yx -7y x 13yx-6y 1 ‘X 4 — yx 32 23-7y x 13y x -7y 2x 2 7y 3x6y 3x —6y 4 6y 3x -by 41故商式为x 3 -7xy 2亠6y 3，余数为1 .【答案】商式为x 3 -7xy 2亠6y 3，余数为1板块二余数定理和因式定理余数定理和因式定理由 f (x ) = (x _a )，q (x )+r 式，当 x=a 时，有 f (a )=(a _a ) q (x )+r =r , 因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式 f x 除以x-a 所得的余数等于f a ，有些时候余数定理作余式定理. 如求f x =3x 2 5x -7除以x 2的余数.2解析：由于x 2=*仝卫,f -2 =3 -2 5 -2 -7 = -5.所以，所求的余数为-5 .这与我们前面用综合除法求得的余数相同.再由(2)式知，如果f x 能被x-a 整除，那么必有r =0 ；反之，如果r =0，那么f x 能被x-a 整 除，由此，我们有：因式定理：若多项式f x 能被x -a 整除，亦即f x 有一个因式x -a ，则f a =0 ;反之，如果f a =0, 那么x-a 必为多项式f x 的一个因式.【例5】 求f x =3x 4「8x 3 ' 5x 5 —x ■ 8除以2x -4所得的余数. 【考点】综合大除法x 2 -1 x 4_2x^9x 2_2x 9x 4【难度】4星【题型】计算 【关键词】【解析】根据余数定理：多项式 f x 除以x_a 所得的余数等于f a ，也就是说令除式为零求出的x ，代入原多项式所得的值，就是两式相除的余数.从而可知，原式除以 2x 「4所得的余数为：f 2 =3x24 _823 5 25 _2 • 8 =150 .【答案】150【例6】 多项式f x 除以x_1, x_2所得的余数分别为3和5，求f x 除以x_1 x_2所得的余式. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】根据题意，由余数定理，知f 1 =3 , f 2 =5 .设f x 除以x -1 x_2后所得商式为q x ，余式为ax b ,（因为除式是二次的，所以余式至多 是一次的），贝U f -1 x 一2 qx ］亠［ax • b ,所以，有由⑴，⑵解得a =2 , b =1 . 因此，所求的余式为 2x 1 . 说明：余数定理讨论的是f x 除以一次式x -a 的余数问题，当除式超过一次时，余式的形式就变得复杂了，本题的方法具有普遍性，可看作是余数定理的一种推广.【答案】2x 1【例7】 多项式f x 除以x_1, x_2 , x -3所得的余数分别为1 , 2 , 3，试求f x 除以x _1 x_2 x_3 所得的余式. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】设f x = x -1 x -2 x -3 q x ax 2 bx c ，则有f 1 =a b c =1 , f 2 =4a 2b c =2 , f 3 =9a 3b c = 3解之得，a=0 , b=1 , c = 0 ,故 fx=x_1 x_2 x_3qx!、x , 从而可知f x 除以x-1 x-2 x-3所得的余式为x .【答案】x【例8】已知f x =x 3 2x 2 3x 2除以整数系数多项式 g x 所得的商式及余式均为 h x ，试求g x 和 h x ，其中h x 不是常数. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】【解析】设f x =g x h x i 亠h x ，则有f x = g xi 亠1 h x又 f x =x 3 2x 2 3x1 x2 • x • 2 = x 1i ［x 2 • x Ti 亠 1，根据余数定理可知， h x 的次数小于 g x ，故 g x = x 2 x 1 , h x =x 1 .【答案】g x =x 2 x 1 , h x =x1(1) (2)f 1 = a b =3,求一个关于x 的二次三项式f x ，它能被 综合大除法 4星 计算x_1除余2，被x_2除余8，并且它被x 1整除.【关键词】【解析】设f x =ax 2 bx c ，则由余数定理可知,f 1 =2 , f 2 =8 , f [ -1 = 0,故5 a 二一 3 a b c =2I 4a 2b c=8二 b =1 ，故a-b c =0 f x =5X 2 ‘ 3【答案】fx *2 —【解析】 因为f x 被x 1 x —2整除，所以f x 被x 1和x —2整除，根据因式定理，有 4 3 2 f -1 =2 -1 -^1-1 a -1 5 -1 b =a b =0,4 3 2f 2 ；=2 2 -3 2 a 2 5 2 b =4a b 18 =0 ,ra +b =o 即 4a +b +18 =0.解之得 a - ~6 , b =6 . 【答案】 a 二—6 , b 二 6 【例10】试确定a 和b 的值，使f x =2x 4 -3x 3 ax 2 5x b 被x 1 x - 2整除 【考点】因式定理 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】 【解析】 由题意知 f 七产0，亦即： 4 3 2 -3 3 -3 8 -3 - k -3 11 =0,即 3k • 83 - 0 ,从而 k =833【答案】 . 83 k = 3【例11】设f x ]=x 4，3x 3 8x 2 -kx 11被x 3整除，试求k 的值. 【考点】因式定理 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】【例12】已知关于x 的三次多项式f x 除以x 2-1时，余式是2x-5 ；除以x 2 -4时，余式是-3x • 4，求这个三次多项式. 【考点】综合大除法【难度】4星 【题型】计算 【关键词】 【解析】设f x =ax 3 bx 2 cx d ，则由余数定理可知【例9】 【考点】 【难度】 【题型】f |1 =2 -5 - -3,f _1 = 2 _5 - _7, f 2 = -6 4 = _2 ,f -2 =10 4 =14a b - c d - h 故有 8a +4b +2c +d =-2 -8a 4b -2c d =10d = —8故所求多项式为f x --5x 3 "3x 211x -8 .335 3211 c f x x 3x x —833【例13】若x 5 -5qx 4r 被x - 2 ?整除，求q 与r 的值. 【考点】综合大除法 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】2【解析】（解法一）设 x 5 -5qx ■ 4r = x - 2 ] [x 3 ■ ax 2 ■ bx ■ r ，则有55432x -5qx 4r =x 亠i a -4 x 亠i b -4a 4 x 亠 i5 -4b 4a x 亠 i4b - 4r x 4r对比各项系数可知， a -4 =0， b -4a 4 = 0 , r -4b 4a = 0 , 4b - 4r - -5q 解之得，a=4， b =12， r= 32， q=16故 q=16， r = 32 .（解法二）也可使用未知数系数含字母的多项式除法来求解本题，如下：x 3 +4x 2 +12x+322—5432x 4x 亠4 x 亠0x 亠0x 亠 0x 5qx 亠 4rx 5 -4x 4 亠4x 34x 4 -4x 3 0x 2 4x 4 -16x 316x 212x 3 -16x 2 -5qx 12x 3 -48x 248x232x —（5q 48）x 4r 32x 2 -128x 128故 5q 48 =128 , 4r =128= q =16 , r =32 .【答案】q =16,r =32【例14】证明：当a 、b 是不相等的常数时，若关于 x 的整式f x 被x-a 和x-b 整除，则f x 也被x -a x -b 整除.【考点】因式定理=3 11 -3 【答案】 —b【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】设fx被x -a x-b除时，商式为q x，余式为mx • n，其中m , n为待定常数，则f x = x -a x —b q x mx n .因为f x能被x -a和x _b整除，由因式定理得：fa = a_a a -b qa『：；ma n = 0 ,f b = b —a b -b q b ：.-mb n = 0,卄ma n =0 (1)即、mb n =0 (2)由(1) - (2)得a「b m =0 ,又因为a丰b，所以m =0 .把n =0代入(1),得n =0 .所以mx + n =0,因此，f x除以x-a x _b的余式为0,即f x被x-a x-b整除. 点评：本题的结论也非常有用.【答案】见解析【例15】整系数三次多项式f x，有三个不同的整数a1, a2, a3，使f印=f a2= f a3=1，又设b为不同于a1, a2, a3的任意整数，试证明： f b丰1 .【考点】因式定理【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】解法一：由 f a1 =fa2 =fa3 =1 可知，f a1 -1=fa2 -1 = fa3 -1=0 .由因式定理可知x-印,x-a?, x-a3是多项式f x：；-1的三个因式，故f x _1 -a x - a1 x - a2 I x - a3 ( a 为非零常数)故f b ]；—1 二a b「a t b —a2 -^3又b为不同于a1, a2, a3的任意整数，故f b工1 .解法二：由题意可知f(x)二a x-印x -a2 x-a3 1 ,其中，a为整数且a丰0 ,则f b = a b 1 a b 2][a 战 d(因为b不同于a1, a?, a3).点评：本题是经过变形的因式定理的应用，关键在于对 f x -1运用因式定理.【答案】见解析课后练习1. 计算：x6-5x45x3-5x 7 亠x31 .【考点】综合大除法【难度】5星【题型】计算【关键词】【解析】显然本题应该使用多项式除法来解，过程如下:3 2x +0x -5x+4 x 3 亠Ox 2 亠Ox 1 x 6 亠 Ox 5 5x 4 亠5x 3 亠 Ox 2 3 5x 亠 76 小 5 小 4 3 x Ox Ox x43 2 -5x 4x Ox -5x4 3 2 -5x —Ox —Ox -5x,32 4x Ox ,3 2 4x Ox故商式为x 3 -5x 4，余数为3 .【答案】商式为x 3 -5x 4，余数为3 5 4 3 22. 设 f x ]=3x 1Ox -15x -9x 8x 7 , 【考点】综合大除法【难度】4星【题型】计算【关键词】【解析】先用综合除法，计算 f x “ x .“ I 3丿求得f x x -的余数4,根据余数定理，' U 3丿V 3丿【答案】42 4 23. 设fx =x ・mx ・n ( m , n 都是整数)既是多项式x 6x 25的因子，又是多项式4 23x 4x 28x 5的因子，求f x .【考点】因式定理【难度】5星【题型】计算【关键词】【解析】经观察发现， x 4 6x 2 25 O ，故不可能根据因式定理找出一个一次式是它的因式，这样，我们就无法根据因式定理直接来求f(x)，但是根据因式定理可知， 若 fx 二qxgx , hx=px gx ，则有 f x ]-nh x ： — ||q x ：-np x ：| g x 我们可以利用这一点消去高次项，然后求出f x . 设 3x 4 4x 2 28x 5 = f xg x , x 4 6x 225 = f x h x ，则有 3 x 4 bx 2 25 - 3x 4 4x 2 28x 5 =3f x h x - f x g x即 14x 2 -28x 7O =f x f||3h x -g x即 14 x 2 -2x 5 = f x i[3h x -g x又 f (x )=x 2 +mx + n ，故 f (x )=x 2 -2x +5 .点评：本题是间接利用因式定理的一个典型的例题，解题思想值得反复回来.【答案】f x x 2 2x 5 Ox 7 Ox 4 f 1) 求 f 'a .。
余数问题（二）
余数问题（⼆）第⼗三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应⽤余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满⾜这些情况的被除数是多少。
例如：⼀个⾃然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满⾜条件的最⼩三位数？本类形题的解题⽅法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满⾜法。
⼀、公倍加余法例：求满⾜除以3余1，除以4余1的最⼩两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表⽰被除数除以除数时没有除尽，还多出来的⼀些数，所以满⾜除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满⾜除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满⾜，我们只需要找到3,4的最⼩公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最⼩的两位数即为[3,4]+1=12+1=13⼆、公倍减余法例：求满⾜除以3余2，除以4余3的最⼩两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就⼜是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满⾜除以4余3的数，也是还差1个就⼜是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满⾜，我们只需要找到3,4的最⼩公倍数再减去1就可以了。
所以最⼩的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满⾜法例：求满⾜除以7余2，除以4余1，除以11余4的最⼩⾃然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种⽅法均不可⽤。
那么我们可以根据同余的性质逐级满⾜，最后求出同时满⾜三种情况的最⼩⾃然数。
过程如下：（1）满⾜除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数⼜要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满⾜前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最⼩数为：7×1+2=9则满⾜前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满⾜除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数⼜要除以11余4。
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综合除法与余数定理
数学运算既要求正确，还要求迅速。
简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。
例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。
同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。
本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。
1、综合除法
在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。
由多项式除法我们可
以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如
下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数
乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。
例1 计算（）
分析把除式变成形式用综合除法，
解：，
∴商式为，余式为-38
说明用综合除法计算时要注意：
（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；
（2）除式要变成的形式（b可以是负数）
例2用综合除法计算
（1）；
（2）
解：（1）
∴商式为，余式为-3
（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。
说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以
，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。
2、余数定理
若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则
当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。
余数定理多项式除以()所得的余数等于。
特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。
由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式
的值。
余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算
复杂时也可以用综合法求。
例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，
它还可被整除，求。
解：设由题意得
解得 a=3,b=1,c=2。
∴
说明因能被整除，所以是的因式，于是可设
，再由，，列出a,b的方程求解。
例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。
分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断
能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
解：令=
当a=b时，，故能被a-b整除；
当a=-b时，
故当n为偶数时，能被a+b整除，当n为奇数时，不能被a+b整
除，余式为.
例5 试确定a和b，使能被整除。
解：由于，因此，若设，
假如能被整除，则x+1和x+2必是的因式，因此，当x=-1，
，即
①
当x=-2时，即
②
由①，②联立，则得时，能被整除。
练习
A 级
1、当多项式除以多项式时，其余式为（）。
（A）2 （B）-2 （C）2x-2 （D）-2x-2
2、多项除以多项式x-3所得余数为（）。
（A）-71 （B）71 （C）-59 （C）59
3、若多项式含有因式x-1和x-2，则mn=_________。
4、求（除以的商式和余式。
B 级
5、设，以1991除x，所得余数是（）。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
6、已知，则值为（）。
（A）30 （B）-30 （C）32 （D）-32
7、如果，则_______。
8、已知是二元二次式的一个因式，则
a+b= 。
9、已知能被整除，试求a,b的值。
参考答案
【同步达纲练习】
A 级
1、（C）。
2、（D），提示：利用余数定理。
3、-100，提示：利用余数定理，得从而m=-5，n=20。
4、商式=，余式=
B 级
5、（B），提示：
6、（C），提示：含，得
即。
7、5，提示，
=。
8、-3，提示：含x=y=1，则原式为零，即。
9、含因能整除，因此由余数定理，当
时，即由此得
a=11，b=-6。