高考数学 第九章第二节 用样本估计总体新人教A版
人教A版数学必修第二册第九章《9.2 用样本估计总体》同步讲义
人教A 版数学必修第二册第九章《统计》同步讲义9.2 用样本估计总体一.总体取值规律的估计（一）作频率分布直方图的步骤1.求极差：2.决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.3.将数据分组4.列频率分布表：各小组的频率＝5.画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝ ＝频率.（二）频率分布直方图的性质1.因为小矩形的面积＝ ＝ ，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3.频数相应的频率＝样本容量.二．常见统计图表的特点与区别1.扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小2.条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据。
3.直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，直方图适用于描述连续型数据.4.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.三．总体百分位数的估计1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p )%的数据大于或等于这个值.2.常用的百分位数(1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数.(2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.3.计算一组n 个数据的第p百分位数的一般步骤如下：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i ＝n ×p %；第3步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数.四．总体集中趋势的估计（一）众数、中位数、平均数1.众数：一组数据中出现次数最多的数.2.中位数：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数．3.平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.（二）频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x 轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 五．总体离散程度的估计1.假设一组数据为x 1，x 2，…x n ，则这组数据的平均数＝ ，方差为标准差2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，总体平均数为，则称为总体方差，S ＝S 2为总体标准差.3.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.4.分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x 1，x 2，…，x n ，方差分别为s 21，s 2，…，s 2n ，相应的权重分别为w 1，w 2，…，w n，则这个样本的方差为x s =Y n22i i 11S (Y Y)N ==-∑n222ii i i 1S w [S(x x)]==+-∑题型一 总体取值规律的估计【例1-1】（2023·全国·高一专题练习）在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：（单位：万元）.统计后制成的频率分布直方图如图所示.在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（ ）A ．800B ．600C ．700D ．750【例1-2】（2023天津）从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为（ ）A ．45B ．46C ．54D ．70【例1-3】（2023·江苏）党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）[)[)[)[)[)5,1010,1515,2020,2525,30，，，，[)10,2050350kW h ⋅:[100,200)A ．16B ．30C ．32D ．62【例1-4】（2023云南）下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：‰），根据下图，则（ ）A ．这10年的人口出生率逐年下降B ．这10年的人口出生率超过12‰的年数所占比例等于45%C ．这10年的人口出生率的80%分位数为13.57‰D ．这10年的人口出生率的平均数小于12‰题型二 总体百位分数的估计【例2-1】（2023·辽宁）某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（ ）A ．290B ．295C ．300D ．330【例2-2】（2023·全国·高一专题练习）《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（）[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]A ．55B ．57.25C ．58.75D ．60题型三 总体集中趋势的估计【例3-1】（2023上海徐汇）军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图（成绩的十位数为“茎”，个位数为“叶”），并给出下列三个结论：①甲的成绩的极差是29；②乙的成绩的中位数是18；③乙的成绩的众数是22．则三个结论中，正确结论个数为（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0【例3-2】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（ ）A ．B ．C ．D ．【例3-3】（2023春·浙江温州）（多选）《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质a b c <<b a c <<a c b <<b<c<a量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，．则下列说法正确的是（ ）A ．估计该样本的众数是B ．估计该样本的均值是C ．估计该样本的中位数是D ．若测试成绩达到分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为人题型四 总体离散程度的估计【例4-1】（2023·高一课时练习）两名运动员在某次测试的6次成绩如图所示，则两人平均数与方差的关系是（ ）A ．甲的平均数大，方差小B ．平均数相等，甲方差大C ．平均数相等，甲方差小D ．平均数和方差都相等【例4-2】（2023 浙江湖州 ）（多选）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车､自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（）4000[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)87.58086852200A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟C ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值D ．坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值【例4-3】（2023内蒙古赤峰·）甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高B ．甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低C ．乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高D ．乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低【例4-4】（2023 北京·高一校考期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）A ．若数据，方差，则所有的数据都为0B ．若数据，的平均数为，则的平均数为6C ．若数据，的方差为，则的方差为12D ．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于9012,,,n x x x 12,,,n x x x x 2s 12,,,n x x x 20s =()1,2,,i x i n = 12,,,n x x x 3x =()211,2,,i i y x i n =+= 12,,,n x x x 23s =()211,2,,i i y x i n =+= 12,,,n x x x 25%75%答案解析一.总体取值规律的估计（一）作频率分布直方图的步骤1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.2.决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.3.将数据分组4.列频率分布表：各小组的频率＝小组频数样本容量.5.画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.（二）频率分布直方图的性质1.因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.3.频数相应的频率＝样本容量.二．常见统计图表的特点与区别1.扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小2.条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据。
必修2数学新教材人教A版第九章92用样本估计总体ppt_22
平均数、中位数、众数的联系 众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最 为重要，其应用也最为广泛。
二 .平均数、中位数和众数
平均数、中位数和众数的意义 1.平均数 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。 2.中位数 将一组数据从小到大(或从大到小)排列，中间的数称为这组数据的 中位数。如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的中位数，如果是偶数 个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中位数。 3.众数 一组数据中出现次数最多的数值叫众数，有时在一组数中有几个。
解决与频率分布直方图有关问题的关系式
（1）频率/组距×组距＝频率. （2）频数/样本容量＝频率，此关系式的变形为
频数/频率＝样本量， 样本量×频率＝频数.
3. ［2019·湖北孝感联考协作体高三检测］
中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，
某市有关部门从全市6万名高一学生中随机
抽取了400名，对他们的视力状况进行一
1. 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩（单位：分）分组及各组 的频数如下：
［40，50），2；［50， 60），3；［60， 70）， 10；［70， 80）， 15； ［80，90），12；［90，100］，8. （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例.
重点：用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.计算样本数据 的方差与标准差.
数学课件(新教材人教A版强基版)第九章统计与成对数据的统计分析92用样本估计总体
∵(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0＋a＋0.008 0＋0.002 0)×10＝1， ∴a＝0.025 0，众数为185＋2 195＝190， 设中位数为x，∵(0.001 5＋0.011 0 ＋0.022 5)×10＝， (0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0) ×10＝， 则185<x<195， ＋0.030 0×(x－185)＝，
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
x 甲＝18×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
x 乙＝18×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s2甲＝18×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88 －85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝，
把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179, 180,180， 则178＋2 179＝178.5，所以所求中位数为 178.5.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
√
数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经 按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝，取第三个数，所以第25 百分位数是88.
思维升华
频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对 应频率之积的和.
新教材高中数学第九章统计9-2-2总体百分位数的估计课件新人教A版必修第二册
57 57 57 58 58 59 59 59 60 62
(1)由25%×30=7.5,75%×30=22.5,可知它们的25%,75%分位
数分别是第8,23项数据,分别为53,57.
(2)由80%×30=24,可知第80百分位数为第24项与第25项数据
成绩在60分以下的学生所占比例为30%>25%,
所以25%分位数一定位于[50,60)内.
可以估计参赛学生的成绩的25%分位数为58.3;
成绩在80分以下的学生所占比例为
30%+40%+15%=85%<90%,
成绩在90分以下的学生所占比例为
30%+40%+15%+10%=95%>90%,
3.75,80%×15=12,可知数据的第25百分位数为第4项数据为
125,第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数,即
(128+129)=128.5.
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
(1)一组数据有80个,按从小到大排序,第80百分位数为第64项
样一个值,它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这
个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算第p百分位数的步骤:第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i= n×p% .第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数
为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为
第i项与第(i+1)项数据的平均数.
(3)四分位数:常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第九章 统计、成对数据的统计分析第2节 用样本估计总体
6
10
9
8
7
则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是
8.5
.
解析:(2)40×40%=16,故第40百分位数是第16个数和第17个数的平
均数, 即
+
=8.5.
考点二
总体集中趋势的估计
[例3] (多选题)某学校共有2 000名男生,为了了解这部分学生的身
体发育情况,学校抽查了100名男生的体重情况.根据所得数据绘制
=0.01.
(2)根据频率分布直方图,估计样本数据的15%和85%分位数.
解 :(2)由 图 可 知 ,[20,40)内 的 比 例 为 10%,[40,60)内 的 比 例 为
20%,[60,80)内的比例为40%,[80,100]内的比例为30%.
因此,15%分位数一定位于[40,60),85%分位数一定位于[80,100],
直方图如图所示:
得分 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数
6
a
24
18
(1)求a,b的值;
解:(1)由频率分布直方图可知,
得分在[20,40)的频率为0.005×20=0.1,
故抽取的学生答卷数为6÷0.1=60,由6+a+24+18=60,得a=12.
所以 b=
[针对训练] (2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率
的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产
品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡
胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第九章 9.2.2 总体百分位数的估计 9.2.3 总体集中趋势
1 N
k i1
fi (Yi Y )2 .
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 y ，则称
s2
1 n
n i1
( yi
y)2 为样本方差，s＝
s2 为样本标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；
标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准
要领会好百分位数是类似于中位数，中位数是特殊的百分位数，首先它是这组 数据中的一个数或者是相邻两个数的平均数。具体是哪个要看计算i=n×p%的结果。 i是整数就要求平均数，i不是整数，就把i这个数的小数部分去掉再把这个数加1 令其等于j，这组数据由小到大排列的第j个数为所求。
1.某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的
me，众数为m0，平均数为 x ，则 （ ）
A.me＝m0＝ x B.m0< x <me
C.me<m0< x
D.m0<me< x
【解析】 由图知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得 5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分，中位数为 第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即me＝5.5，5出现的次数最多，故众数为m0
平均数、中位数、众数的特征 1.平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任何数据的变动都会 相应引起平均数的变动。2.总数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只 与这组数据的部分数据有关。3.中位数仅与数据的排列有关，部分数据的变 动对中位数可能没有影响。
平均数、中位数、众数的联系 众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最 为重要，其应用也最为广泛。
高考(理)总复习资料：第9章 第2讲 用样本估计总体
• ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中 位数；
• ②甲同学的平均分比乙同学高； • ③甲同学的平均分比乙同学低； • ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方
差． • 上解析面：说甲法的中正位确数的81，是乙_的__中_位__数_8_7．.5，故①错， x 甲＝ 81•，答x 案乙＝：85③，故④②错，③对，由茎叶图知甲成绩比较稳定，
D. x 甲> x 乙，m甲<m乙
• [审题视点] 仔细观察茎叶图．中位数为一列
数中最中间的那个，当数有偶数个时，中位
数[解为析]中甲间数两据个集中数于的前平半段均，数而．乙数es据集中于后半段，
所以
x
甲<
x
乙；m甲＝
18＋22 2
＝20，m乙＝
27＋31 2
＝29，所以m甲
<m乙，所以选B.
• [答案] B
• [答案] C
32
1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简 明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方 差和标准差描述波动大小．
2. 平均数、方差公式的推广 若数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2，则数据 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m x ＋a，方差为 m2s2.
33
• [变式探究] [2013·西安质检]某校甲、乙两 个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投 篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6
7
7
8
7
乙班 6
7
6
7
9
34
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝( )
人教A版高中数学必修第二册教学课件-第九章 -9-2-2总体百分位数的估计
D.8.3
A解析 因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.
高中数学 必修第二册 RJ·A
3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是
A.14
B.17
C.19
D.23
D解析 因为8×70%＝5.6，故第70百分位数是第六项数据23.
高中数学 必修第二册 RJ·A
9.2 第九章
用样本估计总体
9.2.2 总体百分位数的估计
高中数学 必修第二册 RJ·A
学习目标
1.了解百分位数的概念. 2.能用样本估计百分位数. 3.理解百分位数的统计意义. 核心素养：数据分析、数学运算
高中数学 必修第二册 RJ·A
新知学习
知识点一 百分位数
1.第p百分位数的定义： 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或 等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 2.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按 从小到大 排列原始数据. 第2步，计算i＝ n×p% . 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为__第__j_项 数据；若i是整数，则
评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高. 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
由频率分布直方图求百分位数的方法 (1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率. (2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.
高中数学 必修第二册 RJ·A
易错辨析
1.若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.( √ ) 2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.( × ) 3.若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.( √ ) 4.某次数学测试成绩的第70百分位数是85分，则有70%的同学测试成绩小于或等于85分.( √ )
高中数学第九章统计9.2.1总体取值规律的估计9.2.2总体百分位数的估计人教A版必修第二册
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布
折线图．
【解】 以 4 为组距，列表如下：
分组
频率累计
[41.5，45.5)
[45.5，49.5)
[49.5，53.5)
[53.5，57.5)
[57.5，61.5)
[61.5，65.5)
[65.5，69.5)
频数 2 7 8 16 5 4 2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直方图的高表示取某数的频率．( × ) (2)直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率．( × )
(3)直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的
比值．( × )
(4)直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的
比值．( √ ) 解析：要注意频率分布直方图的特点．在直方图中，纵轴(矩形的高) 表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形 的面积．
频率 0.045 5 0.159 1 0.181 8 0.363 6 0.113 6 0.090 9 0.045 5
频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
(1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
极差
极差
①若组距为整数，则组距＝组数；
极差
极差
②若组距不为整数，则组距的整数部分＋1＝组数．
解析：由图可知，时速在区间[80，90)，[110，120)的频率为(0.01 ＋0.02)×10＝0.3， 所以时速在区间[90，110)的频率为 1－0.3＝0.7. 所以时速在区间[90，110)的车辆数为 400×0.7＝280. 答案：280
频率分布表、频率分布直方 图、频率分布折线图的绘制 角度一 频率分布表、频率分布直方图的绘制 为考查某校高二男生的体重，随机抽取 44 名高二男生， 实测体重数据(单位：kg)如下： 57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48， 65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56， 55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46， 54，48
2020-2021学年高中数学新人教A版必修第二册 9
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第九章 统计
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．
()
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数
据．
()
(3)若改变一组数据中一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改
变，方差不变．
()
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【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√ 【解析】(1)该数据中的众数应为4和5. (3)二者单位不一致． (4)平均数也应减去该常数，方差不变．
(2)标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的 离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．显然，在刻画数据 的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多 采用标准差．
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第九章 统计
众数、中位数、平均数之间的关系 (1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端 值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我 们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策． (2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特 征，它是各个数据的重心．
9.2.3总体集中趋势的估计【新教材高中数学人教A版】
0.0773 (1.2 4.2) 0.1073 ( 4.2 7.2) 0.0073 ( 25.2 28.2) 8.96
2
2
2
这个结果与根据原始
数据计算的样本平均
数8.79相差不大.
8.96
引入新知 (2)如何估计中位数？
根据中位数的意义，在样本中，有50％的个体小于或等 于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.因此，在 频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等.
水量在区间
的居民用户最多.这个信息具有实际意
义。
5.7
引入新知
从频率分布直方图中找众数、中位数、平均数
众数： 最高矩形的中点 优点：反映样本数据的最大集合点 缺点：忽视了其他数据，无法客观的反映总体特征
中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 优点：不受少数几个极端值的影响 缺点：不受少数几个极端值的影响
课堂典例
例4、利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量
的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据 此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
假设通过简单随机抽样,获得了100户居民用户的月均用水量数 据(单位:t):
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 61.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.0 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
9.2用样本估计总体-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(机构适用)
随堂练习
如图是某公司202X年1月到10月的销售额(单位：万元)的折线图，销 售额在35万元以下为亏损，超过35万元为盈利，则下列说法错误的是 （B ）
A．这10个月中销售额最低的是1月份 B．从1月到6月销售额逐渐增加 C．这10个月中有3个月是亏损的 D．这10个月销售额的中位数是43万元
为27 32 2 29.5 ，平均数为 1 (17+23+25 26 27 32 34 34 49 53) 32 10
，视察选项可知， 故选：C.
随堂练习
1.为了解学生课外阅读的情况，随机统计n了名 学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150] 中， 其频率散布直方图如图所示．已知在 [50,75) 中的频数为100，则n的值是（ B ）
经典例题
例2
“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月 内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如下所示，下列关于该组数据的说法错误 的是（ ）
A．极差为36 C．中位数为27
B．众数为24 D．平均数为32
经典例题
解析
【详解】 该组数据的极差为23-17=36，众数为34，中位数
03
s2 1 N n i1
2
yi y
y 为样本方差，s= s2 为样本标准差.
经典例题
例1
某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测 试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分 不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比散布图如图所示，则 下列说法正确的是（ ）
（1）平均数：如果给定的一组数是x1 ，x2，…xn ，则这组数的平均
2024秋季人教A版高中数学必修第二册第九章统计《用样本估计总体：总体百分位数的估计》
教学设计：2024秋季人教A版高中数学必修第二册第九章统计《用样本估计总体：总体百分位数的估计》一、教学目标（核心素养）1.数据分析：学生能够理解总体百分位数的概念，掌握通过样本数据估计总体百分位数的方法，具备处理和分析统计数据的能力。
2.数学建模：能够将实际问题中的总体百分位数估计问题转化为数学模型，选择合适的统计方法进行求解。
3.逻辑推理：在样本百分位数与总体百分位数之间的关系推导中，培养学生的逻辑推理能力。
4.实践应用：能够将所学统计知识应用于实际问题解决中，增强学生的实践能力和应用能力。
二、教学重点•总体百分位数的概念及其重要性。
•通过样本数据估计总体百分位数的具体方法，包括排序、定位等步骤。
三、教学难点•理解样本百分位数与总体百分位数之间的近似关系及其误差控制。
•在实际问题中灵活运用统计方法估计总体百分位数。
四、教学资源•教材《人教A版高中数学必修第二册》第九章相关内容。
•多媒体课件，包含总体百分位数概念解释、样本估计方法的动画演示等。
•实际案例数据，用于课堂演示和学生练习。
•统计软件（如Excel、SPSS等）简介，帮助学生掌握数据处理工具。
五、教学方法•讲授法：结合多媒体课件，系统讲解总体百分位数的概念和估计方法。
•演示法：通过实际案例数据，演示如何利用样本数据估计总体百分位数的过程。
•讨论法：组织学生分组讨论，分享各自的理解和困惑，促进思维碰撞。
•练习法：布置相关练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入新课•情境引入：展示一个与总体百分位数相关的实际情境（如某公司员工的工资水平分析），引导学生思考如何通过有限的信息（样本数据）了解整体情况（总体百分位数）。
•提出问题：引导学生明确本节课的学习目标——掌握用样本估计总体百分位数的方法。
2. 新课教学•概念讲解：•定义总体百分位数：介绍总体百分位数的概念，强调其在数据分析中的重要性。
•引出样本百分位数：说明由于总体数据往往难以全面获取，因此常通过样本数据来估计总体百分位数。
2024届新高考一轮总复习人教版 第九章 第2节 用样本估计总体 课件(49张)
2．(必修第二册 P202 例 2 改编)某机构调查了解 10 种食品的卡路里含量，结果如下：
107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第 25 百分位数和
中位数分别是( )
A．138，160.5
B．138，146
C．138，175
D．135，160.5
[必记结论] 1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面 积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．简单随机抽样样本平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为－x ，则 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a 的平均数是 m－x ＋a. (2)数据 x1，x2，…，xn 与数据 x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等， 即数据经过平移后方差不变； (3)若数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2，则数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差 为 a2s2.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( ) (2)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( ) (3)方差与标准差具有相同的单位．( ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不 变．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
情况下是优点，但它对极端值的不敏 数据的平均数)
感有时也会成为缺点
数字特征
202新数学复习第九章统计统计案例9.2用样本估计总体学案含解析
第二节用样本估计总体课标要求考情分析1。
了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差），并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体的分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本1。
本节是用样本估计总体,是统计学的基础，以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解．2．本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于中低档题目。
方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
知识点一用样本的频率分布估计总体分布1．作频率分布直方图的步骤(1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）．（2)决定组距与组数．(3）将数据分组．（4）列频率分布表．（5）画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．频率分布直方图中的常见结论(1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．知识点二用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数、中位数、平均数平均数如果有n个数据x1，x2,…，x n，那么这n个数的平均数错误!＝错误!平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低2.标准差和方差（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．（2)标准差:s＝错误!。
【优创课件】9.2.1总体取值规律的估计(人教A版2019 必修第二册)
（二）总体取值规律的估计
知识点二 其它统计图表 统计图表
扇形图
主要应用
直观描述各类数据占总数的比 例
条形图和直方图
直观描述不同类别或分组数据 的频数和频率
折线图
描述数据随时间的变化趋势
【问题】你能很容易地看出这些数据有什么规律吗？若不能，对这 些数据如何处理才可以？
【提示】不能.应对这些数据进行整理，用统计图表表示出来才容易看出其规律.
（二）总体取值规律的估计
知识点一 画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差是一组数据中 最大值 与 最小值 的差；
(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12
【解析】(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组
内的频率大小的，因此第二小组的频率为
4
＝0.08.
2+4+17+15++3
又因为第二小组的频率＝样频本数容量，
所以样本容量＝01.028＝150. (2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为
2+147++1175++195++39+3×100%＝88%.
解 次数在130以上(含130次)的学生人数为：2+4+197++315+9+3×150＝36.
【类题通法】由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： (1)频组率距×组距＝频率. (2)样频本数容量＝频率，此关系式的变形为：样本容量×频率＝频数.
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标准差
s＝
n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]
精品课件
精品课件
考点一 频率分布直方图的绘制与应用
(2010·安徽高考)某市2010年4 月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要 污染物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95, 91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
中位 数
置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做 这组数据的中位数 ． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直
方图的面积应该相等 ．
精品课件
数字特征
定义
样本数据的算术平均数．即 平均数 x ＝ n1(x1＋x2＋…＋xn) ．
方差
s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]
精品课件
(ⅱ)轻微污染有 2 天，占当月天数的115.污染指数在 80 以上 的接近轻微污染的天数有 15 天，加上处于轻微污染的天 数，共有 17 天，占当月天数的1370，超过 50%.说明该市空 气质量有待进一步改善．
精品课件
对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
100～ 200～
寿命(h)
200
300
个数
20
30
(1)列出频率分布表；
300～ 400 80
精品课件
(1)完成频率分布表； 分组 频数
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
[71,81)
6
[81,91) 10
[91,101)
[101,111)
2
精品课件
频率 2 30 1 30
6 30
5 30 2 30
(2)作出频率分布直方图； (3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为 优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻 微污染；在151～200之间时，为轻度污染． 请你根据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一 个简短评价．
精品课件
4．已知一个样本容量为100的样本数
据的频率分布直方图如图所示，
样本数据落在[6,10)内的样本频数
为________，样本数据落在[2,10)
内的频率为________．
解析：样本数据落在[6,10)内的样本频数为
0.08×4×100＝32，样本数据落在[2,10)内的频率
为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
精品课件
[自主解答] 分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91)
[91,101) [101,111)
(1)频率分布表：
频数 2 1 4 6 10 5 2
频率
2
30 1
30 4
30 6
30 10
30 5
30 2
30精品课件
(2)频率分布直方图：
(3)答对下述两条中的一条即可： (ⅰ)该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月 天数的115；有 26 天处于良的水平，占当月天数的1135；处于优 或良的天数共有 28 天，占当月天数的1145.说明该市空气质量基 本良好．
上端的 中点
，就得到频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量
的增所加分，组作数
图时
组距
增加，
减小，相应的频率折线图会越来越
接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
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3.样本的数字特征
数字 特征
定义
在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组 众数
数据的众数．
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间 位
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解析：由图可知 A 组的 6 个数为 2.5,10,5,7.5，2.5，10， B 组的 6 个数为 15,10,12.5,10,12.5,10， 所以 x A＝2.5＋10＋5＋67.5＋2.5＋10＝376.5， x B＝15＋10＋12.5＋6 10＋12.5＋10＝760.显然 x A＜ x B， 又由图形可知，B 组的数据分布比 A 均匀，变化幅度不大，故 B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以 sA＞sB. 答案：B
答案：32 0.4
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5．(2010·江苏高考)某棉纺厂为了解一批棉花的质量， 从
中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度 是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40] 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根 中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
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3．(2010·陕西高考)如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总
体，它们的样本平均数分别为 x A 和 x B，样本标准差分别
为 sA 和 sB，则
()
A. x A＞ x B，sA＞sB C. x A＞ x B，sA＜sB
B. x A＜ x B，sA＞sB D. x A＜ x B，sA＜sB
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1．(2010·福建高考)若某校高一年级8个
班参加合唱比赛的得分如茎叶图所
示，则这组数据的中位数和平均数
分别是
()
A．91.5和91.5
B．91.5和92
C．91和91.5
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ห้องสมุดไป่ตู้
D．92和92
解析：中位数为12(91＋92)＝91.5；平均数为18(87＋89＋90＋91 ＋92＋93＋94＋96)＝91.5. 答案： A
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为 (0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3， 故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有 0.3×100＝30(根)． 答案：30
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1．作频率分布直方图的步骤
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2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形
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2．(2010·山东高考)在某项体育比赛中，七位裁判为一
选
手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值
和方差分别为
()
A．92,2
B．92,2.8
C．93,2
精品课件 D．93,2.8
解析：去掉一个最高分 95 与一个最低分 89 后，所得的 5 个数 分别为 90、90、93、94、93， 所以 x ＝90＋90＋953＋94＋93＝4650＝92， s2＝2×90－922＋2×593－922＋94－922＝154＝2.8. 答案：B