用样本估计总体分布

用样本的频率分布估计总体分布（第1课时）
教学目标：
1.通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法.
2.通过表示样本数据的过程，学会列频率分布表，画频率分布直方图，理解数形结合的数学思想.
3.通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学在实际生活中的作用，认识数学知识源于生活并指导生活的事实.
教学重点：
会列频率分布表，画频率分布直方图，了解样本频率分布与总体分布之间的关系
教学难点：
掌握频率分布直方图的正确画法，体会分布的意义与作用
教学方法：引导——探究教学法
教学过程：
一、创设情境，呈现问题
问题情境：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，武汉市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
二、操作讨论，构建新知
<知识探究1 改良频数分布表→频率分布表>
问题1：如果标准太低，会影响居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水.那么你认为，为了较合理地确定出这个标准，需要了解哪些相关信息，做哪些工作？
【学生活动1】探究讨论，得到结论：
①为了制定一个较为合理的标准a，需要知道每个家庭的用水量
②如何获得家庭用水量的有关信息？对家庭进行调查，采用抽样调查的方式
③抽样时，样本容量定为多少比较合适？武汉市1000万人口，抽样10000比较合适
课堂上为了处理数据的方便，我们理想化地抽取100个数据的样本，比如：
通过抽样调查，获得100户居民的月均用水量如下表（单位：t）
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6
4.1
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8
4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
问题2：从表中随意记录下的数据中很难直接看出规律，因此需要对统计数据进行整理分析. 回顾你看到全班的期末考试成绩单后是怎样分析的？
【学生活动2】探究讨论，得到结论：
①最高分，最低分
②自己得分名次，以及位于哪一个分数段
③及格率，优秀率
（类比考试成绩分析←→用水量分析，得到处理数据的方法之一——列表）
【学生活动3】动手操作，处理数据：
回顾初中学过的列频数分布表的步骤，并按照以上方法处理用水量问题中的数据.
①居民月均用水量的最大值为4.3，最小值为0.2，极差为4.1
②将上述100个数据按组距为0.5进行分组，共分9组
③各组数据的范围可设定为[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5].
④统计上述100个数据在各组中的频数，并用表格表示（频数分布表）
问题3：用频数分布表研究问题有没有不足？比如想回答引例中的问题（85%左右居民月用水量不超过标准）可以怎么改良？
【学生活动4】动手操作，在学案中改良频数分布表→频率分布表，得到：
上表称为样本数据的频率分布表，通过频率数值体现各组数据在样本容量中所占比例的大小.
三、回归现实，解决问题
如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布
表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？
88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3.
由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种用样本的频率分布估计总体分布的统计思想.
四、由表到图，升华直观
<知识探究2 改良频数分布直方图→频率分布直方图>
（类比线性规划等知识直观处理的方法，得到处理数据的方法之二——画图）
问题4：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的频率分布直方图表示. 类比频数分布表，也用频率表示小长方形的高好不好？可不可以改良，使之更直观？
【学生活动5】探究讨论，动手操作：
讨论结果：
①面积比高度更直观，故频率分布直方图中可以用面积表示频率
频率，小长方形的面积和=1
②小长方形的高=
组距
在学案中改良频数分布直方图→频率分布直方图，得到：
你能从图1中分析出样本的哪些信息？进而对武汉市用水量分布做出估计？
五、总结归纳，收获方法
问题5：你能概括出列频率分布表和画频率分布直方图的步骤吗？
频率分布表
Step1 求极差；
Step2 决定组距与组数；
Step3 确定分点，将数据分组；
Step4 列频率分布表.
频率分布直方图
Step1 画平面直角坐标系；
Step2 在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度；
Step3 以组距为底，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形. 六、理论迁徙，课堂小结
理论迁徙：下面数据是50位费尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31
37 32 38 36 31 39 32 38 37 34
29 34 38 32 35 36 33 29 32 35
36 37 39 38 40 38 37 39 38 34
33 40 36 36 37 40 31 38 38 40
（口答）你认为以下哪一种分组能更好地说明费尔兹奖得主获奖时的年龄分布（）
A.组距是1，各组是[28,29), [29,30), [30,31)……
B.组距是2，各组是[28,30), [30,32), [32,34)……
C.组距是5，各组是[25,30), [30,35), [35,40]
D.组距是10，各组是[20,30),[30,40]
（课堂练习）请完成频率分布表并估计年龄小于34岁得奖者占总人数的百分比.
（课后作业）绘制频率分布直方图并估计总体分布有怎样的特点.
（注：费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每4年评选一次，主要授予年轻的数学家. 美籍华人丘成桐（1949年出生）1982年获得费尔兹奖.）
解：样本频率分布表如下：
由样本频率分布表可知年龄小于34岁的获奖者出现的频率为0. 08+0. 08+0. 16=0. 32，所以我们估计年龄小于34岁的获奖者占总人数的32%.
课堂小结：
方法：列频率分布表，画频率分布直方图
思想：用样本估计总体的统计思想
附：（板书设计）。