2020高考数学二轮复习专题突破练24直线与圆及圆锥曲线理

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2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用直线和圆典型习题提数学素养(7页)

一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( ) A ．1 B ．－13 C ．－23D ．－2解析：选D.直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B.由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1，2)，半径为r ＝2.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±2C ．±2 2D ．±2 3解析：选B.通解：由题意知，点C 和圆心O 在直线AB 的同侧，且圆心O 在线段AB 的垂直平分线上，设线段AB 的中点为D ，圆O 的半径r ＝22，则|CD |＝|OD |＋r ＝32|AB |.因为|OD |＝|m |2，|AB |＝28－m 22，所以|m |2＋22＝32×28－m 22，解得m ＝±2.优解：设圆O 的半径为r ，则r ＝22，由圆周角∠ACB ＝60°，得圆心角∠AOB＝120°，则圆心O 到直线x ＋y －m ＝0的距离d ＝12r ＝2，所以|m |2＝2，解得m＝±2.6．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形P ACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.由题意知，圆C 的圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形P ACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形P ACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |＝1，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2.二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m 2，解得m ＝±52.答案：±528．(2019·广州市调研测试)若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______．解析：由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3，0)，又P (1，1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.由弦MN 所在的直线经过点P (1，1)，得所求直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝09．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为______．解析：依题意知，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2.圆心C 到直线l 1：y ＝3x 的距离为232＝3，所以直线l 1被圆C 所截得的弦长为2×4－3＝2.圆心C 到直线l 2：y ＝kx －1的距离d ＝|2k －1|1＋k2，所以直线l 2被圆C 所截得的弦长为24－d 2，由题意知2∶(24－d 2)＝1∶2，解得d ＝0，故直线l 2过圆心C .所以2k －1＝0，解得k ＝12.答案：12 三、解答题10．已知点P (0，5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程即(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2，6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2，6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式为|－2k －6＋5|k 2＋（－1）2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 12．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．因为圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5，所以|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25.因为m 为整数，所以m ＝1. 所以圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5，并将其代入圆的方程，消去y 并整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a <0或a >512.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在．由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a .所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0. 因为直线l 垂直平分弦AB ，所以圆心M (1，0)必在直线l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。

通用版高考数学大二轮复习专题突破练24直线与圆及圆锥曲线(理科)

专题突破练24 直线与圆及圆锥曲线1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考一模)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程;(2)已知P为直角坐标平面内一定点,动直线l:y=x+t与椭圆交于A,B两点,当直线PA与直线PB的斜率均存在时,若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数,求出所有满足条件的定点P的坐标.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=23.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±则k OB=±,k AB=,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--从而--,得t=-所以l的方程为y=x-(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=故|AB|=5.解(1)设椭圆的半焦距为c,则c2=a2-b2,且e=由题意得解得y=±依题意,=3,结合a2=b2+c2,解得c=1,a=2,b=于是椭圆的方程为=1.(2)设A x1,x1+t,B x2,x2+t,P(m,n).将l:y=x+t代入椭圆方程得x2+tx+t2-3=0.则Δ=t2-4(t2-3)>0,t2<4,则有x1+x2=-t,x1x2=t2-3.直线PA,PB的斜率之和k PA+k PB=------=--------=---,当n=m,2mn=3时斜率的和恒为0,解得或--综上所述,所有满足条件的定点P的坐标为1,或-1,-.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(,1)在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----所以AB=|x1-x2|=所以△MAB的面积为所以即|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±。

高考数学专项突破圆锥曲线专题

高考数学专项突破：圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解 (2)第一部分了解基本题型 (3)第二部分掌握基本知识 (6)第三部分掌握基本方法 (8)二、知识考点深入透析 (15)三、圆锥曲线之高考链接 (18)四、基础知识专项训练 (22)五、解答题专项训练 (30)附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 (35)附录：基础知识专项训练参考答案 (39)附录：解答题专项训练参考答案 (41)一、知识考点讲解一、圆锥曲线的考查重点：高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线及曲线、曲线及曲线的位置关系，讨论及其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线及曲线、曲线及曲线的关系；或考查圆锥曲线及其它知识的综合（如及函数、数列、不等式、向量、导数等）等。

二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。

直线及圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线及圆锥曲线的位置关系仍然是重点。

2、注重数学思想及方法的考查。

3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线及平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。

三、命题重点趋势：直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线，直线及圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。

2、热点主要体现在：直线及圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围及位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；及平面向量或导数相结合的问题。

3、直线及圆锥曲线的题型涉及函数的及方程，数形结合，分类讨论，化归及转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型1、直线及圆锥曲线结合的题型（1）求圆锥曲线的轨迹方程：这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。

新课标2020届高考数学二轮复习专题六直线圆圆锥曲线6.1直线与圆课件理20201204214-

B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0
关闭
设与C.直2x线-y+25x=+0y+或1=20x-平y-5行=的0 直线方程为 2x+y+m=0(m≠1), D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0
因为直线 2x+y+m=0 与圆 x2+y2=5 相切,即点(0,0)到直线 2x+y+m=0
题型命题规律
从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关选择的轨迹方程、直题线与圆的位置关填空系、弦长问题、题切线问题、圆与解答圆的位置关系,圆题与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.
复习策略
抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.
11--
22, ,1+ 2
1+ 52
5
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关闭
解析答案
-12-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
题后反思1.判定直线与圆的位置关系的两种方法: (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况),Δ>0⇔相交,Δ<0⇔相离,Δ=0⇔相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小),设圆心到直线的距离为d,则d<r⇔相交,d>r⇔相离,d=r⇔相切.判定圆与圆的位置关系与判定直线与圆的位置关系类似. 2.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.

2020高考数学(文)一轮复习专题突破训练《24 直线与圆及圆锥曲线》

专题突破练24 直线与圆及圆锥曲线1.(节选)已知圆M :x 2+y 2=r 2(r>0)与直线l 1:x-√3y+4=0相切,设点A 为圆上一动点,AB ⊥x 轴于B ,且动点N 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设动点N 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C 1:x 2+y 2-2x-6y-1=0和C 2:x 2+y 2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C 1和圆C 2相交;(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 3.已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)过点P (2,1),且短轴长为2√2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 作x 轴的垂线l ,设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上),点A 关于l 的对称点为A',直线A'P 与椭圆C 交于另一点B.设O 为坐标原点,判断直线AB 与直线OP 的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,F 2的坐标满足圆Q 方程(x-√2)2+(y-1)2=1,且圆心Q 满足|QF 1|+|QF 2|=2a. (1)求椭圆C 1的方程;(2)过点P (0,1)的直线l 1:y=kx+1交椭圆C 1于A ,B 两点,过P 与l 1垂直的直线l 2交圆Q 于C ,D 两点,M 为线段CD 中点,若△MAB 的面积为6√2,求k 的值.参考答案专题突破练24 直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)设动点N (x ,y ),A (x 0,y 0),因为AB ⊥x 轴于B ,所以B (x 0,0). 已知圆M 的方程为x 2+y 2=r 2,由题意得r=√1+3=2,所以圆M 的方程为x 2+y 2=4.由题意,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(0,-y 0)=2(x 0-x ,-y ),即{x 0=x ,y 0=2y .将A (x ,2y )代入圆M :x 2+y 2=4,得动点N 的轨迹方程为x 24+y 2=1. (2)略.2.(1)证明圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1=√11,圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2=4, 两圆圆心距d=|C 1C 2|=5,r 1+r 2=√11+4,|r 1-r 2|=4-√11, 所以|r 1-r 2|<d<r 1+r 2. 所以圆C 1和C 2相交.(2)解将圆C 1和圆C 2的方程相减,得4x+3y-23=0, 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 因为圆心C 2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d=√16+9=3,故两圆的公共弦长为2√16-9=2√7.3.解 (1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4. 所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+y 02=0.又x 024+y 02=1,解得x 0=√3,y 0=±√2√3.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0. 4.解设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52. 由{y =32x +t ,y 2=3x可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{y =32x +t ,y 2=3x可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13. 故|AB|=4√133.5.解 (1)由题意得{4a2+1b2=1,2b=2√2,解得{a=2√2, b=√2.∴椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由{x28+y22=1,y=k(x-2)+1,消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0,∴2x1=16k2-16k-44k2+1.∴x1=8k2-8k-24k2+1.同理,x2=8k 2+8k-24k2+1.∴x1-x2=-16k4k2+1.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-8k4k2+1.∵A在第四象限,∴k≠0,且A不在直线OP上,∴k AB=y1-y2x1-x2=12.又k OP=12,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解 (1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-√2)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=√2,即F2(√2,0),故c=√2.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(√2,1)在椭圆上,故有2a2+1b2=1.联立方程组{2a2+1b2=1,a2=b2+2,解得{a=2,b=√2,所以椭圆方程为x24+y22=1.(2)因为直线l 2交圆Q 于C ,D 两点,M 为线段CD 的中点,所以QM 与直线l 2垂直. 又因为直线l 1与直线l 2垂直,所以QM 与直线l 1平行. 所以点M 到直线AB 的距离即为点Q 到直线AB 的距离. 即点M 到直线AB 的距离为d=√2k √2.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 联立方程组{x 24+y 22=1,y =kx +1,解得(1+2k 2)x 2+4kx-2=0,Δ=b 2-4ac=16k 2+8(2k 2+1)=32k 2+8>0, 由韦达定理可得{x 1+x 2=-4k1+2k 2,x 1x 2=-21+2k 2,则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-4k 1+2k 2) 2-4·-21+2k 2=√32k 2+8(1+2k 2)2. 所以AB=21-x 2|=2·√32k 2+8(1+2k 2)2. 所以△MAB 的面积为12·√1+k 2·√32k 2+8(1+2k 2)2·√2k √2.所以12·√1+k 2·√32k 2+8(1+2k 2)2·√2k √2=6√25. 即√8k 2+2(1+2k 2)2·|k|=65,两边同时平方,化简得,28k 4-47k 2-18=0,解得k 2=2或k 2=-928(舍). 故k=±√2. 此时l 2:y=±√22x+1. 圆心Q 到l 2的距离h=|±√22×√2-1+1|√12+1=√23<1成立.综上所述,k=±√2.。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版课件：7.3 直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练

A.
6 3
B.
3 3
C.
2 3
D.13
关闭
以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x2+y2=a2.因为直线
bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a2 相切,所以圆心到该直线的距离
d=
2�� 2 +��
2=a,整理,得
a2=3b2,即
a2=3(a2-c2),所以��
7.已知 F2,F1 是双曲线��22 − ��22=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线
的离心率为( )
A.3
B. 3
C.2
D. 2
关闭
由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为 y=��x,则 F2 到渐近线的
-4-
一、选择题二、填空题
1.(2019 福建龙岩(漳州)高三 5 月月考)双曲线��5��2 − 1��02=1 的渐近线方程为( )
A.y=±12x C.y=± 2x
B.y=± 22x D.y=±2x
关闭
双曲线�� 2
5
−
�� 2 10
=1
的渐近线方程为�� 2
-2-
(3)已知抛物线 y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛物线上的点,F
为焦点.
①焦半径|CF|=x1+��2��; ②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.4.1 直线与圆及圆锥曲线

��-��
=
��+�� ,p-t=��+��,
所以 p-t=t,t=��2��,则 T 为原点 O.
-12-
4.圆锥曲线的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为yy0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a; (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,
∴��1-��2
��1-��2
=
2�� 1+��2
=
��0,即
kAB=��0.
-15-
6.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和另一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.
-18-
2.圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法
(1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最
值时与之相关的一些问题.
(2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条

高三数学二轮复习《直线圆圆锥曲线》专题讲义

高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。

高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。

其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。

本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。

热点题型范例一、动点轨迹方程问题例1．M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -= （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =，求PM d 的值。

1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？二、圆的综合问题例2、在直角坐标系中，A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设三角形ABC 的外接圆圆心为E 。

（1）若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点p 在圆E 上，使三角形PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在，请说明理由。

三、圆锥曲线定义的应用例3. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =3.1已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程四、圆锥曲线性质问题例5．①已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96②已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2D．2 4.1．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+4.2．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6．设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。

2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习直线与圆专题强化练习题.docx

第一部分一14一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A. 2B.82 3C. 3D.83 3[答案] B[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a2≠18，求得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B.(理)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0[答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0.[方法点拨] 1.两直线的位置关系方程约束条件位置关系l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0 相交 k 1≠k 2特别地， l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0 重合 k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝02.与直线y ＝kx ＋b 平行的直线设为y ＝kx ＋b 1，垂直的直线设为y ＝－1k x ＋m(k ≠0)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线设为Bx －Ay ＋C 1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2015·安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12[答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1⇒b＝2或12，故选D.(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x －y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得|2a|2＝|2a－4|2，解得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r ⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与r的大小关系代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<03.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2014·安徽文，6)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. (0，π6] B．(0，π3]C. [0，π6] D．[0，π3][答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝π6，∠OPA＝π6，∴∠MPA＝π3，∵直线l倾斜角的范围是[0，π3]．[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P 点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ>0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2015·山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－53或－35B．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[答案] D[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0，∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，∴12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.4．(文)(2014·湖南文，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11[答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r 1＝1，r 2＝25－m ，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m ，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d 与r 1、r 2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝14x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为( )A．x＝1 B．x＝1 32C．y＝－132D．y＝－1[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2014·哈三中一模)直线x＋y＋2＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] D[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)(2014·福建理，6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l ：kx －y ＋10＝0的距离d ＝11＋k2，弦长为|AB|＝21－d 2＝2|k|1＋k2，∴S △OAB ＝12×|AB|·d ＝|k|k 2＋1＝12，∴k ＝±1，因此当“k ＝1”时，“S △OAB ＝12”，故充分性成立．“S △OAB ＝12”时，k 也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d ＝r ，而不使用Δ＝0.6．(2015·太原市一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[答案] D[解析] 圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆的最长弦AC 为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD ⊥ME ，∵ME ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，∴BD ＝2R 2－ME 2＝23，故S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×25×23＝215. 7．(2015·重庆理，8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210[答案] C[解析] 易知圆的标准方程C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l ：x ＋ay －1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a ＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB 与圆相切，则△OAB 为直角三角形，|OA|＝(2＋4)2＋(1＋1)2＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA 2－OB 2＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2014·江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )A.45π B.34πC．(6－25)π D.54π[答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝45，∴R＝25.S＝πR 2＝45π.选A.(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( )A ．a>7或a<－3B ．a>6或a<－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a －3[答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a|5<5|2(－1)＋a 2＋1|5<5得－6<a<6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a|5>5|2(－1)＋a 2＋1|5>5得a<－3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a 的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有： 1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d ＋r ，最小值d －r(d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d ＋r ，最小值r －d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d ＋r ，最小值d －r ；直线与圆相交，则最大值d ＋r ，最小值0.4．P(x ，y)为⊙O 上一动点，求x 、y 的表达式(如x ＋2y ，x 2＋y 2等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦长为23，则m ＝________.[答案] 0[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d ＝|m ＋1|m 2＋1＝1，解得m ＝0.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B＝12sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 27[解析] 由正弦定理得a2＋b2＝12c2，∴圆心到直线距离d＝|c|a2＋b2＝c12c2＝2，∴弦长l＝2r2－d2＝29－2＝27.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c|122＋52<1，解|c|<13，∴－13<c<13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2＋y2＋2ax ＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，∴a＝－1或－2.当a＝－1时，x2＋y2－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2015·福建文，19)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p 2 .因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B(12，－2)．又G(－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．14．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A 、B 两个不同点，且满足关系OM →＝12OA →＋32OB →(O 为坐标原点)的点M 也在圆C 上，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)假设直线l 存在，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)． ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)＋1，x 2＋y 2－4＝0.消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k(k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k(k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k2－3，因为点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，由OM →＝12OA →＋32OB →得，x 0＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，则(x 1＋3x 22)2＋(y 1＋3y 22)2＝4，整理得x 21＋y 214＋3·x 22＋y 224＋32x 1x 2＋32y 1y 2＝4，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k 2－3)＝0，从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. ②若直线l 的斜率不存在，则A(－1，3)，B(－1，－3)，M(－1－32，3－32)(－1－32)2＋(3－32)2＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾，综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝0.(理)已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a＝2，e＝22，所以c＝1，则b＝1，即椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以k PF＝1 2，∴k OQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．∴k PQ＝－1，k OP＝1，∴k OP·k PQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y20＝2－x20，k PF＝y0x0＋1，k OQ＝－x0＋1y0，∴直线OQ的方程为y＝－x0＋1y0x，∴点Q(－2，2x0＋2y0)，∴k PQ＝y0－2x0＋2y0x0＋2＝y20－(2x0＋2)(x0＋2)y0＝－x20－2x0(x0＋2)y0＝－x0y0，又k OP＝y0x0.∴k OP·k PQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．15．(文)(2014·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x ，y)，根据题意得 x 2＋(y －2)2＝y 2＋4，化简得x 2＝4y.(2)解法一：设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx ＋b消去y 得x 2－4kx －4b ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝－4b，且Δ＝16k 2＋16b以点P 为切点的切线的斜率为y ′1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －14x 21.同理过点Q 的切线的方程为y ＝12x 2x －14x 22.两条切线的交点A(x A ，y B )在直线x －y －2＝0上，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝x 1＋x 22＝2ky A＝x 1x24＝－b ，即A(2k ，－b)．则：2k ＋b －2＝0，即b ＝2－2k ，代入Δ＝16k 2＋16b ＝16k 2＋32－32k ＝16(k －1)2＋16>0， |PQ|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝41＋k2k 2＋b ，A(2k ，－b)到直线PQ 的距离为d ＝|2k 2＋2b|k 2＋1， S △APQ ＝12|PD|·d ＝4|k 2＋b|·k 2＋b ＝4(k 2＋b)32＝4(k 2－2k ＋2)32＝4[(k －1)2＋1]32.当k ＝1时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．解法二：设A(x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在抛物线x 2＝4y 上，则以点P 为切点的切线的斜率为y 1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理以点Q 为切点的方程为y ＝12x 2x －y 2.设两条切线均过点A(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12x 1x 0－y 1，y 0＝12x 2x 0－y 2.点P ，Q 的坐标均满足方程y 0＝12xx 0－y ，即直线PQ 的方程为：y ＝12x 0x －y 0，代入抛物线方程x 2＝4y 消去y 可得： x 2－2x 0x ＋4y 0＝0 |PQ|＝1＋14x 20|x 1－x 2|＝1＋14x 204x 20－16y 0A(x 0，y 0)到直线PQ 的距离为d ＝|12x 20－2y 0|14x 20＋1，S △APQ ＝12|PQ|d ＝12|x 20－4y 0|·x 20－4y 0＝12(x 20－4y 0) 32 ＝12(x 20－4x 0＋8) 32 ＝12[(x 0－2)2＋4] 32 当x 0＝2时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA 与直线PB 斜率之积为－34，记点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)设M 、N 是曲线C 上任意两点，且|OM→－ON →|＝|OM →＋ON →|，是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x ，y)，则由直线PA 与直线PB 斜率之积为－34得，y x ＋2·y x －2＝－34(x ≠±2)，整理得曲线C 的方程为x 24＋y23＝1(x ≠±2)．(2)若|OM→－ON →|＝|OM →＋ON →|，则OM →⊥ON →. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．若直线MN 斜率不存在，则y 2＝－y 1，N(x 1，－y 1)．由OM →⊥ON →得y 1x 1·－y 1x 1＝－1，又x 214＋y 213＝1.解得直线MN 方程为x ＝±127.原点O 到直线MN 的距离d ＝127. 若直线MN 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3. (*)由OM →⊥ON →得y 1x 1·y 2x 2＝－1，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m2＝0.代入(*)式解得7m2＝12(k2＋1)．此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>0. 此时原点O到直线MN的距离d＝|m|k2＋1＝127.故原点O到直线MN的距离恒为d＝127.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2＋y2＝12 7 .。

2020高考数学课标二轮：专题能力训练直线与圆锥曲线含解析

=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5
=4m2-4m+1=0.
∴m= .∴k= =2.
11.(20xx北京,理18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程.
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
(2)解由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).
由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.
又点P在C上,所以m= ,
从而P ,| |= .
于是| |=
= =2- .
同理| |=2- .
综上,∠OMA=∠OMB.
7.如图,已知抛物线x2=y,点A ,B ,抛物线上的点P(x,y) - <x< .过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解:(1)设直线AP的斜率为k,则k= =x- .
因为- <x< ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).
A. B. C. D.
答案:A
解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.
设OE的中点为G,
由△OBG∽△FBM,得 ,
即 ,整理,得 ,
故椭圆的离心率e= ,故选A.
2.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是()

2020高考数学冲刺直线和圆

直线和圆的方程知识点总结精华考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。

理解圆的参数方程． §07. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800πααπποο≤≤.注：①当ο90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当ο90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当ο90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++=.注：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P-+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =定比分点坐标分式。

2020高考数学课标二轮：专题能力训练直线与圆含解析

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为 =2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
∴S△ABP= ·|AB|·d'= d',∴2≤S△ABP≤6.
4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是()
A.1B.2C. +1D.3
答案:B
解析:由题意知φ(a,b)= +1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1, 表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.
(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+ =t2+ ,化简,得x2-2tx+y2- y=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或 ,则B ,故S△AOB= |OA|·|OB|= |2t|· =4为定值.
(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
所以k的取值范围为 .
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练

60°=
3,即
3≥
��
3,解得 0<m≤1;当 m>3 时,椭圆 C 的焦点在 y 轴
上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°,则�� ≥tan 60°= 3,
即 �� ≥
3
3,解得 m≥9,综上 m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选 A.
2 2
.
∴0<e≤
6.故椭圆 C 的离心率的取值范围为
3
0, 6
3
.故选 A. 关闭
解-1析3-
答案
一、选择题二、填空题
11.(2019四川宜宾高三第三次诊断性考试)已知双曲线
��2 ��2
−
��3��2=1
因的好为与左双双、曲曲右线线焦��的点22 −两分��3条别2=渐为1 近的F1,左线F2、分,以右别它焦切的点于一分A个,别B焦两为点点F为,1则(-圆c四,0心边),F,半形2(c径F,01为A),F双a2的B曲的圆线面恰的关闭渐积近为线( 方程)为 y=± 3x,即其中一条渐近线方程为 3x-ay=0.以它的一 A.3 B.4 C.5�� D.6
D.6±2 3
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由∠MPN=π3,可得∠MCN=2∠MPN=23π.在△MCN 中,CM=CN=2, ∠CMN=∠CNM=π6,可得点 C(3,- 3)到直线 MN,即直线
l:x- 3y-a=0 的距离为 2sinπ6=1.所以|3- 3×1(+- 33)-��|=1,解得 a=4 或 8.
为(a,0)(a>0),所以
(��-0)2 + (0-2)2=4-a,解得 a=32,故圆心为

(新课标)2020版高考数学二轮复习直线与圆练习(理)新人教A版

第1讲直线与圆一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C ．直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A ．由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A ．3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B ．圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2019·皖南八校联考)圆C 与直线2x ＋y －11＝0相切，且圆心C 的坐标为(2，2)，设点P 的坐标为(－1，y 0)．若在圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则y 0的取值范围是( )A ．[－12，92]B ．[－1，5]C ．[2－11，2＋11]D ．[2－23，2＋23]解析：选C ．由点C (2，2)到直线2x ＋y －11＝0的距离为|4＋2－11|5＝5，可得圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，∠CPQ ≥30°，可得sin ∠CPQ ＝CQ CP＝5CP≥sin 30°，即CP ≤25，则9＋(y 0－2)2≤25，解得2－11≤y 0≤2＋11.故选C ．5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D ．6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C ．法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－(t －2)22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x 22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋(2a －4＋1)2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。