福州中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合

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中考数学压轴题----《反比例函数综合》例题讲解

中考数学压轴题----《反比例函数综合》例题讲解【例1】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图像上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式1-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图像上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图像于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，∴S△AOB＝S△APB，∵S△APB＝2，∴S△AOB＝2，由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式2-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图像上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式1-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k ＞0）的图像经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式1-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式1-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图像上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P （x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D 和E，连接OA、OP．当S△OAD＜S△OPE时，x的取值范围是．【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图像上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．同理：S△OCG＝2．从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＞S△OBF，即当点P在线段BC上时，满足S△OAD＜S△OPE．∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式1-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A 的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图像上，若在y＝的图像上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图像上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图像上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式1-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图像恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图像恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．a11。

中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合题型4：动态问题、新定义综合题型5：定值问题题型6：取值范围问题题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积，设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△，解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形．理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+，当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式；（2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ，由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式；【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−，可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠，又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+：令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)，当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可．（3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）；故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−；当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=，方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解．【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−，故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩，解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+，函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案；（2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①；（2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=；当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=，解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0，设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜，解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭；当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”；综上，“强基函数”为21122y x x =+−．【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______．【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=，解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中，得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '，得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤，即62421x x −+≤−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >，即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△，即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+，把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键．题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=，设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下：如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=，解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3）解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间，根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”，故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+；（3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+，解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______；（2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由；【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，；（2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习附答案解析

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。

中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案

中考数学《反比例函数》专项复习综合练习题-附含答案一、单选题1．已知反比例函数y=- 12x,则（）A．y随x的增大而增大B．当x>-3且x≠0时，y>4C．图象位于一、三象限D．当y<-3时，0<x<42．甲、乙、丙三位同学分别正确指出了某一个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：每第一个象限内 y值随x值的增大而减小．根据他们的描述这个函数表达式可能是（）A．y=2x B．y= 2x C．y=﹣1xD．y=2x23．反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点 MP垂直x轴于点P 如果△MOP 的面积为1 那么k的值是( )A．1 B．2 C．4 D．√24．如图，反比例函数y=kx(x<0)交边长为10的等边△ OAB的两边于C、D两点，OC＝3BD，则k的值（）A．−9√3B．9√3C．－10√3D．10√35．抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y= a+b+cx在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．√3 6．如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√3∠BDC=120°S△BCD=92 (x<0)的图象经过C、D两点，则k的值是（）若反比例函数y=kxA．−6√3B．-6 C．−12√3D．-127．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=1（x＜0）图象上一点，AO的延长x（x＞0 k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x 线交函数y=k2x轴的对称点为C′，交于x轴于点B 连结AB AA′、 A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC CC′C′A′ A′A所围成的图形的面积等于（）A．8 B．10 C．3√10D．4√68．如图，反比例函数y=kx与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象相交于A B两点其中A（﹣1 3）直线y=kx﹣k+2与坐标轴分别交于C D两点下列说法：①k＜0；②点B的坐标为（3 ﹣1）；③当x＜﹣1时kx ＜kx﹣k+2；④tan∠OCD=﹣1k其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题9．已知反比例函数y=﹣2x若y≤1，则自变量x的取值范围是．10．在平面直角坐标系中若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=﹣6x 和y= 2x于A B两点 P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于11．如图，在平面直角坐标系中正方形ABCD的面积为20 顶点A在y轴上顶点C在x轴上顶点D在双曲线y=kx(x>0)的图象上边CD交y轴于点E 若CE=ED，则k的值为.12．如图，点 P 是反比例函数图象上的一点过点 P 向 x 轴作垂线垂足为 M 连结 PO 若阴影部分面积为 6 ，则这个反比例函数的关系式是．13．如图，已知A （ 12 y 1） B （2 y 2）为反比例函数y ＝ 1x 图象上的两点动点P （x 0）在x 轴正半轴上运动当线段AP 与线段BP 之差达到最大时点P 的坐标是 .三、解答题14．如图，反比例函数y =kx (x >0)的图像分别交正方形OABC 的边AB 、BC 于点D 、E 若A 点坐标为(1，0) 若△ODE 是等边三角形求k 的值.15．某水果生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后大棚内的温度y(℃)与时间x(ℎ)之间的函数关系其中线段AB 、BC 表示恒温系统开启后阶段双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．．．．．．．．．．．请根据图中信息解答下列问题：（1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃；（2）求全天的温度y(℃)与时间x(ℎ)之间的函数表达式；（3）若大棚内的温度低于10℃时蔬菜会受到伤害．问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时才能避免水果生长受到影响？16．如图，已知点A在反比函数y=kx(k<0)的图象上点B在直线y=x−3的图象上点B的纵坐标为－1 AB⊥x轴且S△OAB=4．（1）求点A的坐标和k的值；（2）若点P在反比例函数y=kx(k<0)的图象上点Q在直线y=x−3的图象上P、Q两点关于y轴对称设点P的坐标为(m，n)求nm +mn的值．17．如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上AB⊥x轴于点B AB的垂直平分线PD交双曲线与点P．（1）若点A的坐标为(1 8)，则点P的坐标为．（2）若AP⊥BP点A的横坐标为m．①求k与m之间的关系式；②连接OA OP若△AOP的面积为6 求k的值．18．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝k2x的图象交于A（2 m） B（n ﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴垂足为C 且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件请直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集；（3）若P（p y1） Q（﹣2 y2）是函数y＝k2x 图象上的两点且y1≥y2求实数p的取值范围．答案1．D 2．B 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C9．x ≤﹣2或x ＞0 10．4 11．4 12．y =−12x 13．(52, 0)14．解：由题意可得△OAD ≅△OCE 设AD =x ，则：DB =EB =1−x 因为OD 2=x 2+1 且△ODE 是等边三角形所以 x 2+1=(1−x)2+(1−x)2 x 1=2+√3 x 2=2−√3 2+√3>1舍去所以x =2−√3则K =1∗(2−√3)=2−√315．（1）解：设线段AB 表达式为y =kx +b(k ≠0) ∵线段AB 过点(0，10) (2，14)∴{b =102k +b =14解得{b =10k =2∴线段AB 的表达式为：y =2x +10(0≤x ≤5) 当x =5时 y =2×5+10=20 ∴恒定温度为：20℃；（2）解：由（1）可知：线段AB 的表达式为：y =2x +10(0≤x ≤5) B 坐标为(5，20) ∴根据图象可知线段BC 的表达式为：y =20(5<x ≤10)设双曲线CD 解析式为：y =m x(m ≠0)∵C(10，20)∴可得：m10=20 解得：m =200∴双曲线CD 的解析式为：y =200x(10<x ≤24)∴y 关于x 的函数表达式为：y ={2x +10(0≤x ≤5)20(5<x ≤10)200x (10<x ≤24)；（3）解：把y =10代入y =200x中得10=200x解得：x =20∴20−10=10（小时）∴恒温系统最多可以关闭10小时． 16．（1）解：由题意B(2，−1)∵12×2×AB =4 ∴AB =4∵AB//y 轴∴A(2，−5)∵A(2，−5)在y =kx 的图象上 ∴k =−10.（2）解：设P(m ，−10m )，则Q(−m ，−10m ) ∵点Q 在y =x −3上∴−10m=−m −3 整理得：m 2+3m −10=0 解得m =−5或2 当m =−5 n =2时 n m +m n =−2910 当m =2 n =−5时 nm +m n=−2910故n m +m n=−2910.17．（1）（2 4）（2）解：①由题意得点A 的纵坐标为km 即AB ＝km ∵PD 垂直平分AB ∴PA ＝PB ∵AP ⊥BP∴△PAB 是等腰直角三角形 ∴∠PAB ＝∠PBA ＝45° ∵PD ⊥AB∴△DAP 和△DBP 是等腰直角三角形 ∴DA ＝DB ＝DP ＝k2m ∴P （m +k2m ，k 2m ）将P （m +k2m ，k2m ）代入y =kx 可得：(m +k2m )⋅k2m =k 整理得：k =2m 2；②过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则四边形PABC 是梯形∵S △AOB ＝S △POC ＝k2 ∴S △AOE ＝S 四边形PEBC ∴S △AOP ＝S 梯形PABC ＝6 ∴(k 2m +k m )⋅k2m2=6 整理得：k 2=16m 2∵k =2m 2 ∴k 2=8k解得：k =8或k =0（舍去） ∴k =8．18．（1）把 A(2，m) B(n ，−2) 代入 y =k 2x得： k 2=2m =−2n即m=−n则A(2，−n)过A作AE⊥x轴于E过B作BF⊥y轴于F延长AE、BF交于D ∵A(2，−n)B(n，−2)∴BD=2−n AD=−n+2BC=|−2|=2∵SΔABC=12·BC·BD∴12×2×(2−n)=5解得：n=−3即A(2，3)B(−3，−2)把A(2，3)代入y=k2x得：k2=6即反比例函数的解析式是y=6x；把A(2，3)B(−3，−2)代入y=k1x+b得：{3=2k1+b−2=−3k1+b解得：k1=1b=1即一次函数的解析式是y=x+1；（2）∵A(2，3)B(−3，−2)∴不等式k1x+b>k2x的解集是−3<x<0或x>2；（3）分为两种情况：当点P在第三象限时要使y1⩾y2实数p的取值范围是p⩽−2当点P在第一象限时要使y1⩾y2实数p的取值范围是p>0即P的取值范围是p⩽−2或p>0。

中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题含详细答案

∴
，得 t=
∴ t= 或 t=
③∵ 点 P 的坐标为（﹣1，5t﹣ ）
∴ yP=5t﹣ 当 1≤t≤6 时，yP 随 t 的增大而增大此时，点 P 在直线 x=﹣1 上向上运动
∵ 点 F 的坐标为（0，﹣
）
∴ yF=﹣ ∴ 当 1≤t≤4 时，随者 yF 随 t 的增大而增大此时，随着 t 的增大，点 F 在 y 轴上向上运动 ∴ 1≤t≤4 当 t=1 时，直线 MN：y=x+3 与 x 轴交于点 G（﹣3，0），与 y 轴交于点 H（0，3）
（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当 0＜x＜3 时，反比例函数值大于正比例函数值；
（3）解：∵ 点 D（m，n）是 OB 的中点，又在反比例函数 y= 上， ∴ OE= OA= ，点 D（，2）， ∴ 点 B（3，4），又∵ 点 F 在正比例函数 y= x 图象上， ∴ F（，）， ∴ DF= 、BC=3、EA= ， ∴ 四边形 DFCB 的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把 C 坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与 y 轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出 DF、 BC、EA，代入梯形面积公式即可.
所以 DE 最小值为 8，此时 S 四边形 ADFE=
（4+3）=28.
【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。
（2）根据直角三角形的性质得出 CO=a+b，CD= 立时的条件。
，再由（1）中的结论即可得出等号成
（3）过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H，根据 S 四边形 ADFE=S△ ADE+S△ FDE ，可知当 DH=EH 时 DE 最小，由此可证得结论。

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ，即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值．解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3，当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)，设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173，令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1，得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)，代入一次函数y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。

中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)

中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。

②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。

这个三角形的面积等于2k 。

2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。

3. 反比例函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。

反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。

练习题1、（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图像交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图像交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（）A ．3B ．﹣3C ．23 D ．﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵y 1、y 2的图像均在第一象限， ∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3， ∴k 2﹣k 1＝3， ∴k 1﹣k 2＝﹣3，故选：B ．2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像的一支经过点A ，则k 的值是（）A ．233 B ．23C ．433 D ．43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是正三角形， ∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0， ∴k ＝4，故选：D ．3、（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图像于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（）A ．3B ．5C ．6D ．10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图像上， ∴S △BOC ＝×8＝4， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4 ＝5，故选：B ．4、（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图像上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图像上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【分析】设B （a ，），根据四边形OBAD 是平行四边形，推出AB ∥DO ，表示出A 点的坐标，求出AB ＝a ﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B （a ，）， ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB ∥DO ， ∴A （，），∴AB ＝a ﹣，∵平行四边形OBAD 的面积是5， ∴（a ﹣）＝5，解得k ＝﹣2，故选：D ．5、（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk 2（k 2＞0）的图像上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（）A ．36B ．18C ．12D ．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE ＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B ．6、（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图像，点A （x ，y ）是反比例函数图像上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（）A ．1B ．C ．2D ．【分析】由反比例函数的几何意义可知，k ＝1，也就是△AOB 的面积的2倍是1，求出△AOB 的面积是．【解答】解：∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，∵A 为反比例函数y ＝图像上一点， ∴xy ＝1，∴S △ABO ＝AB •OB ＝xy ＝1＝，故选：B ．7、（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图像交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可．【解答】解：∵直线l ∥y 轴， ∴∠OMP ＝∠OMQ ＝90°，∴S △OMP ＝×8＝4，S △OMQ ＝﹣k ．又S △POQ ＝15， ∴4﹣k ＝15，即k ＝11，∴k ＝﹣22．故选：D ．8、（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图像上，则经过点A 的函数图像表达式为．【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，根据△OAB 是等腰直角三角形，可证明△BOC ≌△OAD ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC ＝，则S △OAD ＝，所以|k |＝，然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式．【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ， ∴∠ADO ＝∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOC ＝90°， ∴∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOC ＝∠DAO ， ∵OB ＝OA ，∴△BOC ≌△OAD （AAS ），∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △OBC ＝， ∴S △OAD ＝， ∴k ＝﹣1，∴经过点A 的反比例函数解析式为y ＝﹣．故答案为：y ＝﹣．9、（2022•盐城）已知反比例函数的图像经过点（2，3），则该函数表达式为．【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．【解答】解：令反比例函数为y ＝（k ≠0）， ∵反比例函数的图像经过点（2，3）， ∴3＝， k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝．故答案为：y ＝．10、（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为．【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，可得k ＝±4，由反比例函y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解得k ＞1，则k ＝4，即可得反比例函数的解析式．【解答】解：∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，∴k ＝±4， ∵反比例函数y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，∴k ﹣1＞0，解得k ＞1， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝．故答案为：y ＝．35．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图像上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图像上，则这个反比例函数的表达式为．【分析】根据轴对称的性质得出点A '（2，m ），代入y ＝x 求得m ＝1，由点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上，从而求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵点A '与点A 关于y 轴对称，点A （﹣2，m ）， ∴点A '（2，m ），∵点A '在正比例函数y ＝x 的图像上， ∴m ＝＝1，∴A （﹣2，1），∵点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上， ∴反比例函数的表达式为y ＝﹣，故答案为：y ＝﹣．11、（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图像交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标，然后根据图像即可求得．【解答】解：∵正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图像交于A （1，m ）、B 两点，∴B （﹣1，﹣m ），由图像可知，当k 1x ≤时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜0或x ≥1，故选：A ．37．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk 2的图像相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k 1x +b ＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图像可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像在反比例函数y 2＝的图像的下方，∴不等式k 1x +b ＜的解集为：﹣1＜x ＜0或x ＞2，故选：A ．12、（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B （2，﹣m ），然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点， ∴B （2，﹣m ），∴不等式ax ＞的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜2，故选：D ．13、（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图像与反比例函数y ＝xm的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（） A ．3B ．413C ．27D ．415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ，进而求出点A 、B 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A （﹣，﹣2m ）在反比例函数y ＝上， ∴﹣2m ＝，解得：m ＝2，∴点A 的坐标为：（﹣，﹣4），点B 的坐标为（2，1）， ∴S △OAB ＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D ．14、（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图像．观察图像可得不等式2x ＞x2的解集为（）A ．﹣1＜x ＜1B ．x ＜﹣1或x ＞1C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【分析】结合图像，数形结合分析判断．【解答】解：由图像，函数y 1＝2x 和y 2＝的交点横坐标为﹣1，1， ∴当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即2x ＞，故选：D ．15、（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．16、（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．17、（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．18、（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．19、（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝U，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．20、（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图像如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图像经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．。

2020年中考数学压轴题专项训练：反比例函数的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：反比例函数的综合1．已知一次函数y＝kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝﹣的图象分别交于C、D两点．（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．解：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣，∵点P在线段AB上∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，∴PN＝a，PM＝3﹣a，∵矩形OMPN的面积为2，∴a×（3﹣a）＝2，∴a＝1或2，∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，∴点A（3，0），点B（0，﹣3）∴OA＝3＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3，∵x﹣3＝﹣∴x＝1或2，∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1）∴BC＝＝，设点E（x，0），∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°，∴，或，∴，或＝，∴x＝1，或x＝﹣6，∴点E（1，0）或（﹣6，0）（3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），∴x＝1，x＝，∴两个函数图象的交点横坐标分别为1，，∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，∴1＝，或5＝∴k＝2．如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？（3）点P是y＝（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ ＝S时，求点P的坐标．△CAO解：（1）把A （1，4）代入y ＝（x ＞0），得m ＝1×4＝4，∴反比例函数为y ＝；把A （1，4）和B （4，1）代入y ＝kx +b 得，解得：， ∴一次函数为y ＝﹣x +5．（2）根据图象得：当1＜x ＜4时，一次函数值大于反比例函数值；（3）设P （m ，），由一次函数y ＝﹣x +5可知C （5，0），∴S △CAO ＝＝10，∵S △CPQ ＝S △CAO ，∴S △CPQ ＝5， ∴|5﹣m |•＝5，解得m ＝或m ＝﹣（舍去）， ∴P （，）．3．如图，直线y ＝kx +b （b ＞0）与抛物线y ＝x 2相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴正半轴相交于点D ，于y 轴相交于点C ，设△OCD 的面积为S ，且kS +8＝0．（1）求b 的值．（2）求证：点（y 1，y 2）在反比例函数y ＝的图象上．（1）解：∵直线y＝kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，∴D（0，b），C（﹣，0）∴由题意得OD＝b，OC＝﹣，∴S＝∴k•（）+8＝0，∴b＝4（b＞0）；（2）证明：∵，∴，∴x1•x2＝﹣16∴，∴点（y1，y2）在反比例函数y＝的图象上．4．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数k （k ＞0），给出如下定义：当ka +b ＞0时，将以点P 为圆心，ka +b 为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P （1，1）的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1（2，1），P 2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是 P 1 ，该点的1倍相关圆半径为 3 ．（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的（0，3），B （1，m ），反比例函数y ＝的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 3 ．②点D 在直线AB 上，点D 的倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数y ＝的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值．解：（1）由题意知，k＝1，（2，1），a＝2，b＝1，针对于P1∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点P（2，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，3为半径的圆，1（1，﹣3），a＝1，b＝﹣3，针对于P2∴ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点P（1，﹣3）不存在1倍相关圆2；3；故答案为：P1（2）如图2中，结论：直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切．理由：设点M的坐标为（n，0），过M点作MP⊥ON于点P，∴点M的倍相关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠OPM＝90°，∵∠MON＝30°，∴MP＝OM＝n，∴点M的倍相关圆的半径为MP，∴直线ON与点M的倍相关圆相切；（3）①如图3中，记直线AB与x轴的交点为E，直线l与x轴的交点为F，∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵A（0，3），∴直线AB的解析式为y＝3x+3，令y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线l是直线AB关于y轴对称，∴点F与点E关于y轴对称，∴F（1，0），∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3，∵点C在直线l上，∴设C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3，∴3c+（﹣3c+3）＝3，∴点C的3倍相关圆的半径是3，故答案为：3；②∵点D在直线AB上，设D（d，3d+3），由题意知，k＝，∴R＝d+（3d+3）＝d+3＞0，∴d＞﹣．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象交于点M，且B为AM的中点．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）过B做x轴的平行线，交反比例函数y＝图象于点C，连接MC，AC．求△AMC的面积．解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H．∵AB＝MB，∠MHB＝∠AOB，∠MBH＝∠ABO，∴△ABO≌△MBH（AAS），∴BH＝BO，MH＝AO，∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴当y＝0时，x＝﹣1．当x＝0时，y＝2．∴A（﹣1，0），B（0，2）．∴BH＝BO＝2，MH＝AO＝1．∴M（1，4）．把M（1，4）代入中，得k＝4．∴反比例函数的解析式为．（2）∵AB＝BM，∴S△ABC ＝S△BCM．∵点C在反比例函数图象上，且BC∥x轴，∴点C纵坐标为2．把y＝2代入，得x＝2．∴点C坐标为（2，2），∴，∴S△AMC＝4．7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），正方形OABC的顶点B在函数y ＝（k≠0，x＜0）的图象上，直线l：y＝﹣x+b与函数y＝（k≠0，x＜0）的图象交于点D，与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．解：（1）依题意知：B（﹣2，2），∴反比例函数解析式为y＝﹣．∴k的值为﹣4；（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，解得，，，∴D（1﹣，1+），E（2，0），∴△DCE内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）；②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，∴b的取值范围是2＜b≤3．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求k的值；（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．解：（1）∵函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．∴k＝﹣1×6＝﹣6．（2）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2）．∵直线y＝﹣2x﹣2，反比例函数的解析式为y＝﹣，PN∥x轴，∴把y＝2代入y＝﹣2x﹣2，求得x＝﹣2，代入y＝﹣求得x＝﹣3，∴M（﹣2，2），N（﹣3，2），∴PM＝1，PN＝2．②∵当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝2PM，∴根据图象PN≥2PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜0．9．如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．（1）求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）连结AD，求∠DAC的正弦值．解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3），∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．∵点D（﹣2，3）在反比例函数的图象上，∴a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的表达式为．将A（5，0）、C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数的表达式为．（2）∵OA＝BC＝5，OC＝BD＝2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△BDC≌△OCA（SAS），∴∠DCB＝∠OAC，DC＝CA，∴∠DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∴．10．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，＝×3×2＝3；∴S△ABC②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．11．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+1的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．（3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围．解：（1）把A（2，3）代入得，∴k＝6．∴反比例函数的解析式为．联立解得或，∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）．（2）设直线AB与y轴交于点C．可知C点的坐标为（0，1），∴OC＝1．∴．（3）当﹣3＜x＜0或x＞2时，反比例函数值小于一次函数值．12．如图1，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，根据中心对称性可以得知OA＝OB．（1）如图2，直线y＝2x+1与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试证明：AC＝BD；（2）如图3，直线y＝ax+b与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，试问：AC＝BD还成立吗？（3）如果直线y＝x+3与双曲线y＝交于A，B两点，与坐标轴交点C，D两点，若DB+DC ≤5，求出k的取值范围．解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE ＝S△AEF＝，∵BF∥x轴，∴S△BEF ＝S△OBF＝，∴S△AEF ＝S△BEF，∴AB∥EF，∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．（2）如图1中，如图1中，作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，连接EF，AF，BE．∵AE∥y轴，∴S△AOE ＝S△AEF＝，∵BF∥x轴，∴S△BEF ＝S△OBF＝，∴S△AEF ＝S△BEF，∴AB∥EF，∴四边形ACFE，四边形BDEF都是平行四边形，∴AC＝EF，BD＝EF，∴AC＝BD．（3）如图2中，∵直线y＝x+3与坐标轴交于C，D，∴C（0，3），D（3，0），∴OC＝OD＝3，CD＝3，∵CD+BD≤5，∴BD≤2，当BD＝2时，∵∠CDO＝45°，∴B（1，2），此时k＝2，观察图象可知，当k≤2时，CD+BD≤5，13．综合与探究如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y ＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）．（1）求k的值；（2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标；（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N．请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择①组题．A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标；②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标；②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由已知可得A（﹣2，0），B（0，4），E（1，6），∴k＝6；（2）∵AB⊥BC，∴BC的解析式为y＝﹣x+4，联立，∴C（2，3），∵CD＝AB＝2，∴D（0，﹣1），∴CD的解析式为y＝2x﹣1，∴G（，0）；（3）A①设P（m，），∵MN∥x轴，∴M（﹣2，），N（+，），∴MN＝，∵四边形AGNM的面积为5，∴×＝5，∴m＝3，∴P（3，2）；②Q（3，1）、Q（﹣3，1）、Q（﹣3，2）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．B①∵四边形AGNM成为菱形，MN＝AM，∴＝∴m＝，∴P（，）；②Q（﹣，）、Q（，3﹣）、Q（﹣，3﹣）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等．14．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B（0，﹣2），点C是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2），求△ABC的面积；（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），∴k＝xy＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，则BE∥CD，∴＝＝，∵点A的坐标为（3，4），∴EF＝1，FA＝2，∴点F的横坐标为1，∴点C的坐标为（1，12），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得，，∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，则点D的坐标为：（1，0），即CD＝12，∴△ABC的面积＝×12×1+×12×2＝18；（3）不存在，理由如下：设点C的坐标为（m，），∵BC＝AC，∴m2+（+2）2＝（3﹣m）2+（﹣4）2，整理得，6m2﹣21m+144＝0，△＝212﹣4×6×144＜0，则此方程无解，∴点C不存在．15．如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD 中点M，连接BE、EF、EM、FM．（1）当t＝1时，求点F的坐标．（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？解：（1）当t＝1时， EG＝1×1＝1＝AB∴点E（1，2）设双曲线解析式：y＝∴k＝1×2＝2∴双曲线解析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴当x＝2时，y＝1，∴点F（2，1）（2）∵EG＝AB＝t，∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）设双曲线解析式：y＝∴m＝1+t∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1∴点F（1+t，1）∵BE平分∠AEF∴∠AEB＝∠BEF，∵AD∥BC∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF∴EF＝BF＝1∴＝t＝1∴t＝（3）延长EM，BC交于点N，∵EG＝AB＝t，∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，设双曲线解析式：y＝∴n＝1+t∴双曲线解析式：y＝当x＝1+t时，y＝1∴点F（1+t，1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，∴△DEM≌△CNM（AAS）∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，∵CF＝BC﹣BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，∵∠EMF为直角，∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，∴△EMF≌△NMF（SAS），∴EF＝NF，∴t＝4﹣t∴t＝4﹣4。

2021年福建省中考数学反比例函数压轴试题(30题原卷版和答案版)

福建中考反比例函数压轴题（30题原卷版）1.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 为y 轴上的一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，若点C 恰好落在反比例函数xy 3=的图象上，则点B 的坐标为 .2.已知矩形ABCD 的四个顶点在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且AB =4，AD =2，则k 的值为．3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，双曲线)0(>=x x k y 经过C ，D 两点，双曲线)0(8>=x x y 经过点B ，则平行四边形OABC 的面积为．4.如图1，点P 在双曲线y =k 1x(x >0)上，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA ，PB 分别与双曲线y =k 2x (0<k 2<k 1,x >0)交于点C ，D ，DN ⊥x 轴于点N. 若PB=3PD ，S 四边形PDNC =2，则k 1=___________.5.如图，在平面直角坐标系中，O 为□ABCD 的对称中心，点A 的坐标为（－2，－2），AB =5，AB ∥x 轴，反比例函数y =kx 的图象经过点D ，将□ABCD 沿y 轴向下平移，使点C 的对应点C ′落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为___________.6.如图，矩形OABC 的面积为10，双曲线(0)k y x x=>与AB 、BC 分别交于点D 、E ，若2AD BD =，则k 的值为_____．7.如图，点A 为双曲线2y x=-在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足:3:2AB BC =，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为(,)m n ，则m ，n 满足的关系式为_____．8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴的负半轴上，C ，D 在反比例函数ky x =（x ＞0）的图象上，AD 与y 轴交于点E ，且AE =23AD ，若△ABE 的面积是3，则k 的值是．．9.如图，四边形OABC 是矩形，对角线OB 在y 轴正半轴上，点A 在反比例函数y ＝xk1的图象上，点C 在反比例函数y ＝xk 2的图象上，且点A 在第一象限．过点A 、C 分别作x 轴的垂线段，垂足分别为点E 、F ，则以下说法：①k 1k 2＝－1，②CFAE ＝│21k k │，③阴影部分面积是21(k 1＋k 2)，④若四边形OABC 是正方形，则k 1＋k 2＝0，正确的是．（填序号）xyBCD E A O10.如图，点AOA ，作OB ⊥OA．11.设函数1y x=与1y x =+的图象的交点坐标为（m ，n ），则（m +1)(n +1)的值为_______．12.如图所示，反比例函数y ＝（＞0）与过点M （﹣2，0）的直线l ：y ＝kx +b的图象交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为，则直线l 的解析式为．14.如图，等边三角形ABC 的顶点A ，B 分别在反比例函数ky x=()0k >图象的两个分支上，点C 在反比例函数y x=-的图象上，//BC x 轴．当ABC ∆的面积最小时，k 的值为_______．15.已知双曲线4y x=与O 在第一象限内交于A B ，两点，45AOB ∠=，则扇形OAB 的面积是．16.如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，顶点A 在x 轴正半轴上，双曲线()30y x x=>经过C ，D 两点，双曲线()0ky x x =>经过点B ，则k 的值为______．18.如图，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上，点B 在反比例函数y ＝3x的图象上，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为______．19.已知等边三角形ABC 是边长为4，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 的长的最小值是_____．20.如图，以点O 为圆心，半径为2的圆与ky x=的图象交于点,A B ，若60AOB ∠=︒，则k 的值为________．21.在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则12k k +的值为_______. 20.如图,A E 为反比例函数()20=>y x x上的两点，B 、D 为反比例函数()0ky x x=>上的两点，////AB DE y 轴，连结DA 并延长交y 轴于点C 且CD x轴，若19ABC ADE S S ∆∆-=，则k =__________．22.如图，已知双曲线ky x=与直线y =﹣x +6相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的垂线与过点B 作y 轴的垂线相交于点C ，若△ABC 的面积为8，则k 的值为______．23.已知点M 为双曲线0)y x x=>上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线(0)y x m m =-+>于点D 、C 两点（点D 在点M 下方.若直线(0)y x m m =-+>与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD BC ⋅的值为________.24.如图，在平面直角坐标系，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数ky x=的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当BD x ⊥轴时，k ．25.如图，点A 是反比例函数y ＝（x ＞0）图象上一点，直线y ＝kx +b 过点A 并且与两坐标轴分别交于点B ，C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接DC ，若△BOC 的面积是4，则△DOC 的面积是．26.如图，反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过等边△ABC 的顶点A ，B ，且原点O 刚好落在AB 上，已知点C 的坐标是（3，3），则k 的值为．27.如图，曲线是由函数4y x=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转30得到的，过点(4,A -，()2B 的直线与曲线l 相交于点M 、N ，则OMN 的面积为．28.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数ky x=的图象交于点C ，以C 为圆心、以2OC 为半径作弧交图象于点D ．分别过点C 和D 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点E ，连接OE 得到∠EOB ，则∠EOB ＝13∠AOB ．过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，交OE 于点G ，连接GD ，若6OC =5OF =30，则k 的值为．29.反比例函数y＝6x与y＝3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）30.已知点A是双曲线y=－3x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长另一分支于点B，以AB为底作等腰三角形ABC，点C在第一象限，且∠ACB=120∘，点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲线y=kx上，则k的值为．福建中考反比例函数压轴题（30题答案版）1.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 为y 轴上的一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，若点C 恰好落在反比例函数xy 3=的图象上，则点B 的坐标为 . 答案：（0，1）或（0，3）2.已知矩形ABCD 的四个顶点在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且AB =4，AD =2，则k 的值为．答案：323.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，双曲线)0(>=x x k y 经过C ，D 两点，双曲线)0(8>=x x y 经过点B ，则平行四边形OABC 的面积为．答案：64.如图1，点P 在双曲线y =k 1x(x >0)上，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA ，PB 分别与双曲线y =k 2x (0<k 2<k 1,x >0)交于点C ，D ，DN ⊥x 轴于点N. 若PB=3PD ，S 四边形PDNC =2，则k 1=___________.答案：95.如图，在平面直角坐标系中，O 为□ABCD 的对称中心，点A 的坐标为（－2，－2），AB =5，AB ∥x 轴，反比例函数y =kx 的图象经过点D ，将□ABCD 沿y 轴向下平移，使点C 的对应点C ′落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为___________.答案：206.如图，矩形OABC 的面积为10，双曲线(0)k y x x=>与AB 、BC 分别交于点D 、E ，若2AD BD =，则k 的值为_____．答案：2037.如图，点A 为双曲线2y x=-在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足:3:2AB BC =，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为(,)m n ，则m ，n 满足的关系式为_____．答案：mn=898.如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴的负半轴上，C ，D 在反比例函数k y x=（x ＞0）的图象上，AD 与y 轴交于点E ，且AE =23AD ，若△ABE 的面积是3，则k 的值是．答案：949.如图，四边形OABC 是矩形，对角线OB 在y 轴正半轴上，点A 在反比例函数y ＝xk 1的图象上，点C 在反比例函数y ＝xk 2的图象上，且点A 在第一象限．过点A 、C 分别xyBCD EAO作x 轴的垂线段，垂足分别为点E 、F ，则以下说法：①k 1k 2＝－1，②CFAE＝│21k k │，③阴影部分面积是21(k 1＋k 2)，④若四边形OABC 是正方形，则k 1＋k 2＝0，正确的是．（填序号）答案：②④10.如图，点AOA ，作 OB ⊥OA ，交双曲线8y x=于点B ，则OA OB的值为______．答案：1211.设函数1y x=与1y x =+的图象的交点坐标为（m ，n ），则（m +1)(n +1)的值为_______．答案：2+√5或2-√5（注：系统原因，根号的书写有点问题）12.如图所示，反比例函数y ＝（＞0）与过点M （﹣2，0）的直线l ：y ＝kx +b的图象交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为，则直线l 的解析式为．答案：y=43x+83【分析】解方程组，即可得出B （﹣3，﹣k ），A （1，3k ），再根据△ABO 的面积为，即可得到k ＝，进而得出直线l 的解析式为y ＝x +．【解答】解：把M （﹣2，0）代入y ＝kx +b ，可得b ＝2k ， ∴y ＝kx +2k ，由消去y 得到x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣3或1，∴B （﹣3，﹣k ），A （1，3k ）， ∵△ABO 的面积为， ∴•2•3k +•2•k ＝，解得k ＝，∴直线l 的解析式为y ＝x +．故答案为：y ＝x +．13.如图，等边三角形ABC 的顶点A ，B 分别在反比例函数ky x=()0k >图象的两个分支上，点C 在反比例函数y x=-的图象上，//BC x 轴．当ABC ∆的面积最小时，k 的值为_______．答案：－314.已知双曲线4y x=与O 在第一象限内交于A B ，两点，45AOB ∠=，则扇形OAB 的面积是．答案：√2π15.如图，点A是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．答案：y=－8x【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，8a），得出OD=AE=8a，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．【详解】解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=8x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，CDO OEADCO EOACO OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，8a），则OD=AE=8a，CD=OE=a，∴C点坐标为（﹣8a，a），∵﹣8aa•=﹣8，∴点C在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8x．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，顶点A 在x 轴正半轴上，双曲线()30y x x=>经过C ，D 两点，双曲线()0ky x x =>经过点B ，则k 的值为______．答案：12【分析】根据平行四边形的性质得到OD BD =，设D 的坐标是3(,)m m，得到B 的坐标是6(2,)m m即可．【详解】解：平行四边形OABC 的对角线交于点D ，OD BD ∴=，OB=2OD ，设D 的坐标是3(,)m m， B ∴的坐标是6(2,)m m，k=2m ×6m =12，故答案为：12．【点睛】本题考查了平形四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，根据D 点的坐标表示出点B坐标是解题的关键．17.如图，点A在反比例函数y＝1x的图象上，点B在反比例函数y＝3x的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为______．答案：2【分析】首先延长BA交x轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A在反比例函数y＝1x的图象上，点B在反比例函数y＝3x的图象上，即可得S矩形ADOE=1，S矩形BCOE=3，继而求得答案．【详解】延长BA交x轴于点E，∵四边形ABCD为矩形，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，∴AE⊥x轴，∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，∵点A在反比例函数y＝1 x的图象上，点B在反比例函数y＝3x的图象上，∴S矩形ADOE =1，S矩形BCOE=3，∴S矩形ABCD=S矩形BCOE-S矩形ADOE=3-1=2．故答案为2．18.已知等边三角形ABC是边长为4，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC的长的最小值是_____．答案：2√3－2【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，∵△ABC是等边三角形，∴CE过点O，E为AB中点，则此时EO＝12AB＝2，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝BC sin60°－12AB＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，垂线的性质，锐角三角函数，得出当点C，O，E在一条直线19.如图，以点O为圆心，半径为2的圆与kyx=的图象交于点,A B，若60AOB∠=︒，则k的值为________．答案：1【分析】分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用对称性，可得∠AOM=∠BON=15°．再作点B关于x轴的对称点C，连接BC，OC，作BD⊥OC于点D，根据S△OBN=12S△OBC得出△OBN的面积，从而可求出k的值．详解】解：分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，由圆、反比例函数图象的对称性可知，图形关于一、三象限角平分线对称，即关于直线y=x 对称，可得△AOM ≌△BON ，∴∠AOM=∠BON=12×（90°-60°）=15°．作点B 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，OC ，作BD ⊥OC 于点D ，则∠BOC=2∠BON=30°，OB=OC=2，∴BD=12OB=1， ∴S △OBN =12S △OBC =12×OC ×BD=1， ∴k=S △OBN =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，圆与反比例函数的对称性，含30°的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．20.在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为_______. 答案：0【解析】关于x 轴对称的点的坐标特点、双曲线ky x =上点的坐标与k 的关系.∵A 、B 两点关于x 轴对称，∴B 点的坐标为(),a b -.又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =和2k y x=上； ∴12,ab k ab k =-=.∴120k k +=；故填0.21.如图,A E 为反比例函数()20=>y x x 上的两点，B 、D 为反比例函数()0k y x x=>上的两点，////AB DE y 轴，连结DA 并延长交y 轴于点C 且CD x 轴，若19ABC ADE S S ∆∆-=，则k =__________．答案：9422.如图，已知双曲线k y x=与直线y =﹣x +6相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的垂线与过点B 作y 轴的垂线相交于点C ，若△ABC 的面积为8，则k 的值为______．答案：523.已知点M 为双曲线0)y x =>上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线(0)y x m m =-+>于点D 、C 两点（点D 在点M 下方.若直线(0)y x m m =-+>与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD BC ⋅的值为________.答案：2√3【分析】作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，由直线的解析式为y=-x+m ，易得A （0，m ），B （m ，0），得到△OAB 等腰直角三角形，则△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，设M 的坐标为（a ，b ），则CE=b ，DF=a ，则a ，，b ，于是得到【详解】作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，如图，对于y=-x+m ，令x=0，则y=m ；令y=0，-x+m=0，解得x=m ，∴A （0，m ），B （m ，0），∴△OAB 等腰直角三角形，∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，设M 的坐标为（a ，b ），则CE=b ，DF=a ，∴a ，，∴b ⨯故答案为【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．24.如图，在平面直角坐标系，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数k y x=的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当BD x ⊥轴时，k ．答案：－12√3【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC∥OB，则AE⊥y 轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE＝OE＝3，OC＝2CE＝6，接着根据菱形的性质得OB＝OC ＝6，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝OB＝2，所以D点坐标为（﹣6，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．【解答】解：延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC∥OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，而顶点C的坐标为（m，3），∴OE＝3，∴CE＝OE＝3，∴OC＝2CE＝6，∵四边形ABOC为菱形，∴OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，在Rt△BDO中，∵BD＝OB＝2，∴D点坐标为（﹣6，2），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣6×2＝﹣12．故答案为﹣12．25.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，直线y＝kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是．答案：2√3－2【分析】方法1、先用三角形BOC的面积得出k＝①，再判断出△BOC∽△BDA，得出a2k+ab＝4②，联立①②求出ab，即可得出结论．方法2、先利用△BOC的面积得出k＝，表示出A（m，），进而得出m+b＝，即（mb）2+mb﹣4＝0，即可得出结论．【解答】解法1：设A（a，）（a＞0），∴AD＝，OD＝a，∵直线y＝kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，∴C（0，b），B（﹣，0），∵△BOC的面积是4，∴S＝OB×OC＝××b＝4，△BOC∴b2＝8k，∴k＝①∵AD⊥x轴，∴OC∥AD，∴△BOC∽△BDA，∴，∴，∴a2k+ab＝4②，联立①②得，ab＝﹣4﹣4（舍）或ab＝4﹣4，∴S＝OD•OC＝ab＝2﹣2△DOC故答案为2﹣2．解法2、∵直线y＝kx+b与两坐标轴分别交于点B，C，∴B（﹣，0），C（0，b），∴OB＝，OC＝b，∵△BOC的面积是4，∴××b＝4，∴＝8，∴k＝设OD＝m，∵AD⊥x轴，∴A（m，），∵点A在直线y＝kx+b上，∴km+b＝，∴m+b＝，∴（mb）2+mb﹣4＝0，∴mb＝﹣4﹣4（舍）或mb＝4﹣4，＝OC×OD＝b×m＝2﹣2∴S△COD26.如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C的坐标是（3，3），则k的值为．答案：－3【分析】由对称性可知：OA＝OB，△ABC是等边三角形，推出OC⊥AB，由C（3，3），推出OC＝3，推出OB＝OC＝，推出B（，﹣），由此即可解决问题；【解答】解：由对称性可知：OA＝OB，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵C（3，3），∴OC＝3，∴OB＝OC＝，∴B（，﹣），把B点坐标代入y＝，得到k＝﹣3，故答案为﹣3．27.如图，曲线是由函数4y x=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转30得到的，过点(4,A -，()2B 的直线与曲线l 相交于点M 、N ，则OMN 的面积为．答案：8√228.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数k y x=的图象交于点C ，以C 为圆心、以2OC 为半径作弧交图象于点D ．分别过点C 和D 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点E ，连接OE 得到∠EOB ，则∠EOB ＝13∠AOB ．过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，交OE 于点G ，连接GD ，若6OC =5OF =30，则k 的值为．答案：22529.反比例函数y＝6x与y＝3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．答案：32【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC ＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝32，再利用面积相减的关系求出答案.【详解】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC ＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝32，∴S△AOB＝S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC＝6﹣3﹣32＝32．故选：32．【点睛】此题考查反比例函数的系数k的几何意义，根据函数图象作出对应的三角形或矩形，利用系数k求出对应图象的面积是解题的关键.在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长另一30.已知点A是双曲线y=－3x分支于点B，以AB为底作等腰三角形ABC，点C在第一象限，且∠ACB=120∘，上，则k的值点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲线y=kx为．答案：1。

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作轴于点F ,过点B 作轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。

初中数学中考二轮复习重难突破专题06 反比例函数的综合(含答案)

专题06 反比例函数的综合重点分析在中考中，反比例函数的图象与性质常以选择题和填空形式考查；反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。

难点解读难点一：反比例函数的概念一般地，形如，叫做反比例函数，自变量范围是≠0的一切实数难点二：反比例函数的图象与性质一、三二、四难点三：反比例函数系数k的几何意义在反比例函数上任取一点轴的垂线PM、P=难点四：反比例函数解析式的确定设所求反比例函数解析式为：得几何意义，由面积得真题演练1.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点A(3,m).（1）求k、m的值；（2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数的图象于点N.①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3.【解析】【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2，∴m=3-2=1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y=，∴k=3×1=3，m的值为1.（2）①当n=1时，P（1，1），令y=1，代入y=x-2，x-2=1，∴x=3，∴M（3，1），∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N（1，3），∴PN=2∴PM=PN，②P（n，n），点P在直线y=x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M，M（n+2，n），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(2，a)．（1）求a，k的值；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P(m，n)为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）3，6；（2）①5个；②或．【解析】（1）先根据直线的解析式可求a的值，从而可得点A的坐标，再将将点A坐标代入反比例函数的解析式可得k的值；（2）①先求出点P坐标，再根据反比例函数的解析式求出点B，C坐标，然后结合函数图象、整点的定义即可得；②分点P在点A下方和点P在点A上方两种情况讨论，结合函数图象列出不等式组求解即可．【详解】（1）∵直线与反比例函数的图象交于点∴∴将代入反比例函数得解得；（2）①∵点P为射线OA上一点，且∴A为OP中点∵，解得∴点P的坐标为将代入得将代入得，解得∵如图，PB，PC分别垂直于x轴和y轴∴结合函数图象可知，区域W内有5个整点；②在射线OA上由题意，分以下两种情况：如图，当点P在点A下方时结合函数图象得：，即解得如图，当点P在点A上方时结合函数图象得：，即解得综上，当或时，区域W内恰有5个整点．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质是解题关键．3.如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象在第一象限交于A，B两点，点B的坐标为（4，2），连接OA，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于点C，且OC＝CA．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集为．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y=-x+6；（2）0＜x＜2或x＞4．【解析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，交BD于点E，∵点B（4，2）在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数的表达式为，∵B（4，2），∴EN=2，∵BD⊥y轴，OC=CA，∴AE=EN=AN，∴AN=4，∴点A的纵坐标为4，∵点A在反比例函数图象上，∴A（2，4），∵一次函数的表达式为，∴4a+b=2，2a+b=4，∴a=-1，b=6，∴一次函数的表达式为y=-x+6；（2）观察函数图象知，不等式的解集为：0＜x＜2或x＞4，故答案为：0＜x＜2或x＞4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．4.如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣2x+4；（2）点P的坐标是（﹣2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）．【解析】（1）先把A点坐标代入y＝可求出k2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m的值，可确定点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先根据一次函数的解析式确定M和N的坐标，根据以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP＝NM；②MP＝MN；③PN＝PM；前两种直接根据线段的长得出点P的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．【详解】解：（1）把，代入反比例函数得：，，，∴反比例函数解析式为，且，把，代入得：，解得，∴一次函数解析式为；（2），当时，，当时，，，，，，，①当时，如图1，，，；②当时，如图2，由勾股定理得：，，或，；③当时，如图3，是轴上一动点，设，，，，，综上，点的坐标是或，或，或．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．5.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数的解析式和的值；（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；（3）求的面积．【答案】（1），2；（2）或；（3）8【解析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．【详解】解：（1）在的图象上，，反比例函数的解析式是．又∵在的图象上，；（2）由图象可知：当或时，；（3），在函数的图象上，，解得：，则一次函数的解析式是，设直线与轴相交于点，则的坐标是．∴．【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决本题的关键．6.如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．（1）求k的值；（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．【答案】（1）k＝3；（2）4．【解析】（1）将x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入反比例函数表达式，即可求解；（2）一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得A.B的坐标，然后根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，∴交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入y＝，解得：k＝1×3＝3；（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，由，解得：或，∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），∴AB＝＝4．7.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求m的值；（2）若，求k的值．【答案】（1）4；（2）或【解析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m；（2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图象，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值．【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点，∴代入得，∴．（2）令，即，∴，，令，∴，∵．由图象得，可分为以下两种情况，①B在y轴正半轴时，，∵，过P作轴交x轴于点H，又，，∴∴，,即,∴，∴，∴．②B在y轴负半轴时，，过P作轴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，代入∴，综上，或．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数的图象与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）6【解析】（1）因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；（2）因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点A的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．【详解】解：（1）∵点是直线与反比例函数交点，∴点坐标满足一次函数解析式，∴，∴，∴，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）∵轴，∴，轴，∴，令，则，∴，∴，∴，∴的面积为6【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【答案】（1）y；（2）15°．（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD ＝15°．【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOE＝45°，∴∠EOD＝15°．10.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A（1，2）.（1）求的值；（2）过点作轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点，与轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求的值；②当时，直接写出的取值范围.【答案】（1）m=2；（2）①b=-3, ②b>3.【解析】（1）把A点坐标代入中即可得出m的值；（2）①求出C点坐标为（2，1）代入直线即可得出b的值；②根据图象可得结论.【详解】（1）把A（1，2）代入函数中，∴.∴.（2）①过点C作轴的垂线，交直线l于点E，交轴于点F.当点C是线段BD的中点时，.∴点C的纵坐标为1，把代入函数中，得.∴点C的坐标为（2，1）.把C（2，1）代入函数中，得.②由图象可知，当时，。

中考数学反比例函数综合经典题及答案

中考数学反比例函数综合经典题及答案一、反比例函数1．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.4．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∴PB=PB′．∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．5．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，∵直线l经过点C（1，0），∴0＝＋b，∴b＝，∴直线l的解析式为y＝x−（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝−1，∴A（0，），B（−1，0），∵C（1，0），∴AC＝，②如图1中，作CE∥OA，∴∠ACE＝∠OAC，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACE＝30°，∴α＝30°（3）解：①如图2中，当α＝15°时，∵CE∥OD，∴∠ODC＝15°，∵∠OAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝15°，∴AD＝AC＝AB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△DBC是等腰三角形；②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴DA＝DC＝DB，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，∴AB＝BD＝DC＝AC，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.8．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。

中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合含答案解析

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。

中考数学复习---《反比例函数综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《反比例函数综合》压轴题练习（含答案解析）一．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）1．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图像上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．2．（2022•通辽）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C，D两点，则k的值是（）A．﹣6B．﹣6C．﹣12D．﹣12【答案】C【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴∠COE＝∠1，∵BD与y轴平行，∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°，∴∠COE＝∠ABD，在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE＝BD＝，∵S△BDC＝BD•CF＝，∴CF＝9，∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°，∴DF＝3，点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+9，4），∵反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C，D两点，∴k＝m＝4（m+9），∴m＝﹣12，∴k＝﹣12，故选：C．3．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x ＞0）的图像与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB ⊥OM于点B，则k的值为．【答案】9【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．4．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝（k ＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k＝．【答案】3【解答】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE＝，∴k＝3，故答案为：3．二．反比例函数图像上点的坐标特征（共4小题）5．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∵≥0，两边同时开平方得：a﹣＝0，∴当a＝时，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A点坐标为（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB＝OA＝2．故选：C．6．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣3D．3【答案】C【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．7．（2022•江西）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，点B在x 轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为．【答案】5或2或【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；综上所述，AB的长为5或2或．故答案为：5或2或．8．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图像上，BE⊥x 轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为．【答案】，（，0）．【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，∴•（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直线OB的解析式为：y＝2x，∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD＝，∵S△BOE＝|k|＝3，∴＝＝，设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案为：，（，0）．三．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）9．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图像经过点D的反比例函数的解析式是．【答案】y＝﹣【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO＝＝3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC（AAS），∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT﹣OB＝2a，∴C（a，2a），∵点C在y＝上，∴2a2＝1，同法可证△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D（﹣2a，3a），设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，∴k＝﹣6a2＝﹣3，∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）10．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a 的值为（）A．8B．9C．10D．11【答案】D【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．11．（2022•巴中）将双曲线y＝向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3， (1011)相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为．【答案】4044【解答】解：直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）可由直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，∴直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）到直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的平移方式与双曲线双曲线的相同，∴新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也可以由双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点以同样的方式平移得到，设双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为x i，x'i，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），则新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为x i+2，x'i+2（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），根据双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）图像都关于原点对称，可知双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也关于原点对称，∴x i+x'i＝0，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），∴（x i+2）+（x'i+2）＝4（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），即新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标之和都是4，∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011＝4044．故答案是：4044．。

中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合及答案

中考数学压轴题专题复习——反比例函数的综合及答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C，D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．【答案】（1）解：（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：正方形ABCD的边长为．（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：设正方形边长为a，易得3a= ，解得a= ，此时正方形的边长为．∴所求“伴侣正方形”的边长为或（2）解：如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，易证△ADE≌△BAO≌△CBF．∵点D的坐标为（2，m），m＜2，∴DE=OA=BF=m，∴OB=AE=CF=2﹣m．∴OF=BF+OB=2，∴点C的坐标为（2﹣m，2）．∴2m=2（2﹣m），解得m=1．∴反比例函数的解析式为y=（3）解：实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在，c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y= x2+ ；e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D 的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y= x2+ ；故二次函数的解析式分别为：y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到等腰直角三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，可求出m的值，即可得到反比例函数的解析式．（3）由抛物线开口既可能向上，也可能向下．当抛物线开口向上时，正方形的另一个顶点也是在抛物线上，这个点既可能在点（3，4）的左边，也可能在点（3，4）的右边，过点（3，4）向x轴作垂线，利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论，即可得到所求的结论．3．【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以≥0，所以≥2 ，只有当时，等号成立．【获得结论】在≥2 （a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2 ，只有当时，有最小值2 ．（1）根据上述内容，回答下列问题：若 >0，只有当 =________时，有最小值________．（2）【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．【答案】（1）1；2（2）解：设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD= +4，∴S四边形= CA×BD= （x+3）（ +4），化简得：S=2（x+ ）+12．∵x＞0，＞0，∴x+ ≥2 ABCD=6，只有当x= ，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24，∴四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．【解析】【解答】解：（1）根据题目所给信息可知m+ ≥2 ，且当m= 时等号，∴当m=1时，m+ ≥2，即当m=1时，m+ 有最小值2．故答案为：1，2；【分析】（1）此题是一道阅读题，根据题中所给的信息可知：，只有当m=时等号成立，一个正数只有1和它的倒数相等，从而得出答案；（2）根据双曲线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据垂直于坐标轴上的点的坐标特点表示出C,D两点的坐标，从而表示出AC,BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半建立出S与x的函数关系式，根据题干提供的信息得出得出,只有在，即x=3时，等号成立，从而得出S的最小值，从而得出P,C,D三点的坐标，进而算出AB=BC=CD=DA=5，根据四边相等的四边形是菱形得出结论。

2023年中考数学专题——反比例函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题——反比例函数与一次函数的综合一、综合题1．如图，已知直线y＝3x与双曲线y＝kx交于A、B两点，且点A的横坐标为.（1）求k的值；（2）若双曲线y＝kx上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝kx上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= nx（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD△x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤ nx的解集．3．如图，一次函数y mx b=+的图象与反比例函数kyx=的图象交于()3,1A，1(2B-，)n两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．4．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=kx（x＞0）的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．（1）求k，m，n的值；（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．5．已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝mx图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx ＋b － mx＜0的解集．6．如图，已知一次函数 ()1110y k x b k =+≠ 与反比例函数 ()2220k y k x=≠ 的图象交于 ()4,1A ， (),2B n - 两点.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出 12y y < 时 x 的取值范围.7．如图，一次函数 y 2x 8=-+ 与函数 ky (x 0)x=> 的图象交于 ()A m,6 ， ()B n,2 两点， AC y ⊥ 轴于C ， BD x ⊥ 轴于D（1）求k 的值；（2）根据图象直接写出 k2x 80x-+-< 的x 的取值范围；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若 PCA 和 PDB 面积相等，求点P 坐标.8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b （k≠0）与反比例函数y ＝mx（m≠0）的图象相交于A 、B 两点，过点A 作AD△x 轴于点D ，AO ＝5，OD ＝34AD ，B 点的坐标为（﹣6，n ）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）P 是y 轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．9．如图，A(3，m)是反比例函数y ＝kx 在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB△x 轴，连接OB ，交反比例函数y ＝kx的图象于点P(2 ，).（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）连接AP ，求△OAP 的面积.10．如图，一次函数 4y x =-+ 的图象与反比例函数 ky x=（k 为常数，且 0k ≠ ）的图象交于A （1，a ）、B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．11．如图，正比例函数y1=﹣3x的图象与反比例函数y2= kx的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．（1）求k的值；（2）根据图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．12．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= mx(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD△x轴于D，AD=4，sin△AOD= 45，且点B的坐标为(n,-2)．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．13．如图，直线y1=﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标.14．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx(k为常数且k≠o)的图象交于A(-1，a)，B两点，与x轴交于点C．（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且S△ACP=32S△BOC，求点P的坐标．15．如图在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点()0,7B，与反比例函数8yx=-在第二象限内的图象相交于点()1,A a-．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点,E与y轴交于点,D求ACD的面积．16．如图，已知一次函数y= 12x+b的图象与反比例函数kyx=（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当12kx bx+<时，请直接写出x的取值范围．17．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数2myx=的图象交于点A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y轴于点B，交x轴于点D.（1）求反比例函数2myx=和一次函数y1=kx+b的表达式；（2）连接OA，OC，求△AOC的面积；（3）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.18．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝mx(m≠0)分别交于点A(4，1)，B(﹣1，a)（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出kx+b＞mx的x的取值范围.19．如图，已知点A在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，过点A作AC△x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A 的坐标；（2）若四边形ABOC 的面积是3，求一次函数y=kx+b 的表达式．20．如图，一次函数 y kx b =+ 的图象与反比例函数 my x=的图象相交于 ()1,A a ， ()3,B c - 两点直线 y kx b =+ 分别交 x 轴、 y 轴于 C 、 D 两点.（1）直接写出不等式 0mkx b x+-> 的解集；（2）求ma c+ 的值；（3）求 C 点的坐标.答案解析部分1．【答案】（1）解：把x= 代入y x=，得y= 1，∴A（，1），把点)代入kyx=，解得：k=；（2）解：∵把y=3代入函数yx=，得x=3，∴C⎫⎪⎪⎝⎭，设过A，C两点的直线方程为：y kx b=+，把点)，⎫⎪⎪⎝⎭，代入得：133b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：4kb⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴4y=+，设4y=+与x轴交点为D，则D点坐标为,03⎛⎫⎪⎪⎝⎭，∴113123233AOC CODAODS S S=-=⨯-⨯=；（3）解：设P点坐标a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60，∵以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60的菱形，P在直线3y x=上，∴点M只能在y轴上，∴N点的横坐标为a，代入yx=，解得纵坐标为：a，根据OP NP=，即得：，解得：1a=±.故P点坐标为：⎛⎝⎭或1,⎛-⎝⎭.【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据AOC COD AODS S S=-求解即可；（3）设P点坐标,3a a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得OP NP=，求出a的值即可.2．【答案】（1）解：由已知，OA=6，OB=12，OD=4∵CD△x轴∴OB△CD∴△ABO△△ACD∴OA OBAD CD=∴61210CD=∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y= -80x把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：0612k bb=+⎧⎨=⎩解得： 212k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）解：当 80x- =﹣2x+12时，解得 x 1=10，x 2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E 坐标为（10，﹣8）∴S △CDE =S △CDA +S △EDA = 11201081014022⨯⨯+⨯⨯=（3）解：不等式kx+b≤nx，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x ＜0【解析】【分析】（1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．3．【答案】（1）解：∵反比例函数y kx=的图象经过A （3，1），∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y 3x=；（2）解：把B （ 12-，n ）代入反比例函数解析式，可得 12- n ＝3，解得n ＝﹣6，∴B （ 12- ，﹣6），把A （3，1），B （ 12- ，﹣6）代入一次函数y ＝mx+b ，可得13162m b m b =+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ ，解得 25m b =⎧⎨=-⎩ ，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣5 【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入反比例函数y kx=即可算出k 的值，从而求出反比例函数的解析式；（2）将 B （ 12-，n ）代入反比例函数解析式即可算出n 的值，从而求出B 点的坐标，将A,B 两点的坐标分别代入一次函数的解析式即可得出关于m,b 的二元一次方程组，求解得出m,b 的值，从而求出一次函数的解析式。

福州市初中数学反比例函数知识点总复习

福州市初中数学反比例函数知识点总复习一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx (x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为()A．13B．1 C．2 D．3【答案】D 【解析】【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC=12S△OAB=32，再根据反比例函数系数k的几何意义得到12|k|=32，然后利用反比例函数的性质确定k的值．【详解】连接OC，如图，∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，∴S△AOC=12S△OAB=32，而S△AOC=12|k|，∴12|k|=32，而k＞0，∴k=3．故选：D．【点睛】此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于掌握在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y=(0)kk x<的大致图象是 A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】【详解】解：k<0时，y=(0)kk x<的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限，观察可知B 选项符合题意，故选B.3．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（） A ．y ＝x 2 B ．y ＝xC ．y ＝x+1D ．1y x=【答案】D 【解析】【分析】需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的函数．【详解】解：A 、y ＝x 2是二次函数，开口向上，对称轴是y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，错误；B 、y ＝x 是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而增大，错误；C 、y ＝x+1是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而减小，错误；D 、1y x=是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，正确；故选D ．【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．4．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32my x+=上，且12y y >，则m 的取值范围是（） A ．0m < B ．0m >C ．32m >-D ．32m <-【答案】D 【解析】【分析】根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32my x+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0，∴32m <-，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限．5．在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x=<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当4233b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．没有【答案】D 【解析】【分析】根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择. 【详解】∵()20y x x=<，过整点（-1，-2），（-2，-1），当b=43-时，如图：区域W 内没有整点，当b=23-时，区域W 内没有整点，∴4233b -≤≤-时图形W 增大过程中，图形内没有整点，故选：D. 【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.6．已知点()1,3M -在双曲线ky x=上，则下列各点一定在该双曲线上的是（） A ．()3,1- B ．()1,3--C ．()1,3D ．()3,1【答案】A 【解析】【分析】先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在. 【详解】∵点()1,3M -在双曲线ky x=上， ∴133k =-⨯=-，∵3(1)3⨯-=-， ∴点(3，-1)在该双曲线上， ∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，故选：A. 【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.7．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D 【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=22为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ，则△BEO ∽△OFA ， ∴BE OEOF AF=，设点B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），则OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，可代入比例式求得222a b =，即222a b =，根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b bb++==++=222214()24b b b b ++=2∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变. 故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．8．若函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（） A ．m ＞﹣2 B ．m ＜﹣2 C ．m ＞2 D ．m ＜2【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】∵函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0，解得m ＜-2．故选B ．9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线ky x =上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，则k 的值为:（）A ．6-B ．4-C ．3-D ．12-【答案】A 【解析】【分析】过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明,DCF ABO ∆≅∆利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ．【详解】解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，则,CF DF ⊥ABDC QY ，,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC = CDF BAO ∴∠=∠， 90,DFC BOA ∠=∠=︒Q ,DCF ABO ∴∆≅∆ ,,CF BO DF AO ∴==设(,),k C m m由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,3)kD m m++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，11()322BD BE DE CA h h BE ∴+=⨯⨯， ,,BD BE h h AC BD ==Q3DE AC BE ∴+=， 4,DE BD BE BE ∴++= 2,DB BE ∴=(1,3),(1,0),0,E kD m B x m++=Q ∴ 由中点坐标公式知：110,2m ++= 2m ∴=- ，(1,)1kD m m ++Q ，3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=- 故选A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y kx=（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为5k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】【分析】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值．【详解】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y kx=（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （4k，4），B （2k ，2），∴AE ＝2，BE 12=k 14-k 14=k ，∵菱形ABCD 的面积为5 ∴BC×AE ＝5BC 5=∴AB ＝BC 5=在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =-=1∴14k ＝1， ∴k ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．11．函数y =1-kx与y =2x 的图象没有交点,则k 的取值范围是( ) A ．k<0 B ．k<1C ．k>0D ．k>1【答案】D 【解析】【分析】由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k 的取值范围．【详解】令1-k x =2x ，化简得：x 2=1-2k ；由于两函数无交点，因此1-2k＜0，即k ＞1．故选D ．【点睛】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．12．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-和2ky x=的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为（）．A ．8-B ．8C ．2-D ．4-【答案】A 【解析】【分析】设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），将点A 、B 分别代入所在的双曲线解析式进行解答即可．【详解】解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数12yx=-的图象上，∴ab＝−2；∵B点在反比例函数2kyx=的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝−8．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．13．若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A． y1＞y2＞y3B． y3＞y1＞y2C． y3＞y2＞y1D． y2＞y1＞y3【答案】B【解析】【分析】反比例函数y=kx（k＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y随x的增大而减小，而A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上的点，可得y2＜y1＜0，C（1，y3）在第一象限双曲线上的点y3＞0，于是对y1、y2、y3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象在一、三象限，∴在每个象限内y随x的增大而减小，∵A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上，∴y2＜y1＜0，∵C（1，y3）在第一象限双曲线上，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2，故选：B．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k＞0，时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．14．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x=-<交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（）A ．6B ．5C ．3D ．1.5【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解.【详解】解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x =-<交于点(),1A m ∴21m=-则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得()122n =-⨯-+∴n=-3∴23y x =--则点B （0，-3）∴AOB V 的面积为132=32⨯⨯ 故应选：C【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想．15．当0x <时，反比例函数2y x=-的图象（） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小【答案】B【解析】【分析】反比例函数2y x=-中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可．【详解】解：Q 反比例函数2y x=-中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；又0x <Q ，∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k y k x=≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．16．在函数()0k y k x=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可．【详解】解：(0)k y k x=<Q 的图象上有1(1,)A y 、2(1,)B y -、3(2,)C y -三个点， 11y k ∴⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=， 1y k ∴=，2y k =-，312y k =-，而k 0<，132y y y ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．17．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数1yx=-的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.【详解】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数1yx=-的图象上，∴111 44y=-=-，21122y=-=-，312y=-，又∵﹣12＜14＜12，∴y3＜y1＜y2，故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.18．已知反比例函数y=﹣8x，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．19．如图，A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（）A ．12S S >B ．12S S <C ．12=S SD ．由A 、C 两点的位置确定【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12k|．【详解】由题意得：S 1=S 2=12|k|=12．故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝k x中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．20．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数k y x=(0)k ≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若CDE ∆的面积是1，则k 的值是（）A．4 B．3 C．25D．2【答案】A【解析】【分析】设E的坐标是（m，n），k=mn，则C的坐标是（m，2n），求得D的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn的值，即k的值．【详解】解：设E的坐标是（m，n），k=mn，则C的坐标是（m，2n），在y=mnx中，令y=2n，解得：x=2m，∵S△CDE=1，∴12|n|•|m-2m|=1，即12n×2m=1，∴mn=4．∴k=4．故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn表示出三角形的面积是关键．。

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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．3．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.4．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2，即可得出到NF=NB。

（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。

5．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．【答案】（1）y=；y=（2）解：如图1，∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，∴△AOB的面积为1（3）解：解法一：如图2，依题意可知双曲线的“半双曲线”为，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ．∴MN= ﹣ = ．同理PM=m﹣ = ．∴S△PMN= MN•PM=∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ ≤2．∴4≤k≤8，解法二：如图3，依题意可知双曲线的“半双曲线”为，设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．连接OM，∵，∴△PMN∽△OCM．∴．∵S△OCM=k，∴S△PMN= ．∵1≤S△PMN≤2，∴1≤ ≤2．∴4≤k≤8．【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．故答案为y= ，y= ；【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．8．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；已知OB=OC=3，则C（0，-3）；设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．（2）解：设AE交y轴于点F；易证得△FOA∽△FEC，有，设OF＝x，则EF＝3x，所以FA＝3x﹣1；在Rt△FOA中，由勾股定理得：（3x﹣1）2＝x2+1，解得x＝；即OF＝，F（0，）；求得直线AE为y＝﹣x+ ，联立抛物线的解析式得：，解得，；故点P（，）．（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC：y＝x﹣3；设点M（a，a﹣3），则：①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，则可证得△MOG≌△NOH，得：OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，故N（a﹣3，﹣a），将其代入抛物线的解析式中，得：﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，整理得：a2﹣11a+24＝0，a＝3（舍去），a＝8；故M（8，5），N（5，﹣8）．②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；由于点M在第三象限，所以a＜0，故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；故M（1，﹣2），N（2，1）；综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．9．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .设点E的坐标为（x, ）,∴ ,∴x=4m.∴为定值.（3）解：存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"由勾股定理得，GF= ，AD=∴ .由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.10．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°.（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M 的坐标.【答案】（1）解：如图1中，∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，∴∠CBE=60°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∠BCE=30°，∵C（0，- ），∴OC= ，OF=OC•tan30°= ，CF=2OF=3 ，由翻折可知：FO′=FO= ，∴CO′≥CF-O′F，∴CO′≥ ，∴线段O′C的最小值为（2）解：①如图2中，当B′D′=B′M=BD= 时，可得菱形MND′B′.在Rt△AMB′中，AM=2B′M=2 ，∴OM=AM-OA=2 -3 ，∴M（3 -2 ，0）.②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M=2OB=6，此时AM=12，OM=12-3，可得M（3 -12，0）.③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，由∠D′B′M=∠DBO可得，所以B′M=则在RT△AM B′中，AM=2B′M= ，所以OM=OA-AM=3 - ，所以M（3 - ，0）.④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，MB′=B′D′= ，可得AM=2 ，OM=OA+AM=3 +2 ，所以M（3 +2 ，0）.综上所述，满足条件的点M的坐标为（3 +2 ，0）或（3 -12，0）或（3 -，0）或（3 +2 ，0）【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠CBE的度数，由垂直的定义可求出∠BCE的度数，由点C的坐标求出OC的长，再在Rt△OCF中，利用解直角三角形求出OF的长；然后利用折叠的性质，可得到FO′的长，然后根据CO′≥CF-O′F，可求出线段O′C的最小值。