图形的平移和旋转
图形的平移和旋转(经典)
DCFE CBA第四讲 图形的平移与旋转【基础知识精讲】一、平移：1.平移的定义——在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫图形的平移。
说明：（1）平移是图形的一种运动（变换）（2）平移的要素：①平移方向；②平移距离。
2.平移的性质:①平移前后图形的大小、形状都不改变。
即：平移前后的图形全等形。
②平移前后对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等。
二、旋转1.旋转的定义——在平面内，把一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫图形的旋转。
说明：（1）旋转是图形的一种运动（变换）（2）旋转的要素： ①旋转中心 ②旋转方向 ③旋转角2.旋转的性质①旋转前后图形的大小、形状都不改变。
即：旋转前后的图形全等形。
②图形上任意点都绕中心沿相同方向转动相同的角度（旋转角）； ③对应点到旋转中心的距离相等。
【重难点高效突破】例1.如图，经过平移△ABC 的边AB 移到了EF ，作出平移后的三角形．例2.如图，△ABC 绕C 点旋转后，B 转到了D 处，作出旋转后的三角形。
例3.如图，在长32m 宽20m 的土地上要修筑同样宽的两条“之”字路，路宽2m ，则剩余耕地的面积为 . 例4、如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3,BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值是_________.例5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BC=12，CF=5，则△DEF 的面积为______________。
例6、如图，在△ABC 中，AB 2=32，∠BAC=45°, ∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，求BM+MN 的最小值。
例7、如图，设P 为等边△ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，能否确定∠APB 的大小？请说明理由。
平移与旋转的性质
平移与旋转的性质在数学中，平移和旋转是常见的几何变换操作。
它们分别意味着通过移动对象的位置或者旋转对象的方向来改变它们的形状或者位置。
本文将介绍平移和旋转的性质，并探讨它们在实际生活中的应用。
一、平移的性质平移是指在平面或者空间中按照规定的方向和距离，将图形的每个点都沿着相同的路径移动。
以下是平移的一些性质：1. 平移不改变图形的大小和形状，只改变了图形的位置。
例如，一张纸条平移到桌子上的另一边，纸条的形状和长度都没有发生改变。
2. 平移是保持图形内部的相对位置不变的变换。
也就是说，图形中的每一对点之间的距离和角度关系在平移前后保持不变。
3. 平移可以自由进行组合。
即使将多个图形进行平移操作，它们之间的相对位置关系仍然保持不变。
平移在日常生活中有广泛的应用。
例如，在矿山中，把挖掘出来的矿石通过平移方式运输到生产线的下一个环节，可以提高工作效率并减少人力成本。
此外，在城市规划中，规划师可以通过平移建筑物或者道路来优化城市的布局。
二、旋转的性质旋转是指围绕着一个中心点，按照一定的角度将图形沿着一个圆周或者轴线进行转动。
以下是旋转的一些性质：1. 旋转同样不改变图形的大小和形状，只改变了图形的方向。
如果我们旋转一个正方形，它仍然是正方形，只是方向改变了。
2. 旋转可以改变图形中点与点之间的距离和角度关系。
例如，旋转一个矩形，原先垂直的边可能会变为斜边。
3. 旋转也可以进行组合操作。
多个图形进行旋转后，它们的相对位置关系可能发生变化。
旋转在现实生活中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师可以通过旋转建筑物的平面图，探索不同的视角和光线照射下的外观效果，以便于更好地优化设计。
此外，在工业生产中，机械加工时的旋转切削操作可以使得切削工具更均匀地削减工件，提高加工质量。
总结起来，平移和旋转是常见的几何变换操作，它们在数学中具有一些共同的性质。
平移只改变图形的位置而不改变形状，而旋转不仅改变位置，还改变方向。
数学中的平移与旋转变换
数学中的平移与旋转变换平移变换和旋转变换是数学中常见的两种几何变换方式。
它们在几何学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍平移变换和旋转变换的基本概念、数学表示和实际应用。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。
平移变换是一种刚体变换，即变换之后的图形与原始图形相似但不重合。
平移变换的数学表示是一个二维向量，表示平移的横向和纵向的距离。
如果一个平面上的点P(x, y)进行平移变换，假设平移向量为v，则变换后的点P'的坐标为P'(x + v1, y + v2)。
其中，v1和v2分别表示平移向量在x轴和y轴上的分量。
平移变换可以用来描述物体的位移、运动和位置变化。
在计算机图形学中，平移变换被广泛应用于图像处理、动画制作等领域。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定角度，保持图形的形状和大小不变。
旋转变换同样是一种刚体变换，变换后的图形与原始图形相似但不重合。
旋转变换的数学表示是一个旋转矩阵，通过矩阵相乘的方式实现旋转。
设点P(x, y)绕一个点O旋转θ角度，变换后的点P'的坐标可表示为：```P' = |cosθ -sinθ | * P|sinθ cosθ |```其中，cosθ和sinθ分别表示角度θ的余弦和正弦值。
旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中有着广泛的应用。
它可以用来描述物体的旋转、变形和方向的变化。
三、平移与旋转的组合变换平移变换和旋转变换可以通过组合运算，实现更加复杂的图形变换。
在组合变换中，先进行平移变换，然后再进行旋转变换。
设点P(x, y)先进行平移变换，假设平移向量为v，则平移后的点为P'(x + v1, y + v2)。
再将平移后的点P'绕一个点O旋转θ角度，变换后的点为P''。
组合变换的数学表示为：```P'' = R * P'= R * (P + v)```其中，R表示旋转矩阵，P表示原始点的坐标，v表示平移向量。
图形的平移和旋转通过图形的平移和旋转帮助学生理解图形的平移和旋转的概念和方法
图形的平移和旋转通过图形的平移和旋转帮助学生理解图形的平移和旋转的概念和方法图形的平移和旋转图形的平移和旋转是空间几何中非常重要的概念，它们帮助学生更好地理解图形的变换和运动。
本文将详细介绍图形的平移和旋转的概念和方法，并通过实例加深读者对这些概念的理解。
一、图形的平移平移是指将图形在平面上沿着指定的方向移动一段距离，而保持图形的形状和大小不变。
在平面坐标系中，平移可以通过改变图形的坐标来实现。
对于二维平面中的图形，平移涉及两个要素：平移的向量和平移的距离。
以坐标平面上的一个点P(x, y)为例，如果向量V(a, b)表示平移向量，则平移后的新点P'(x', y')的坐标可表示为：x' = x + ay' = y + b这样，对于平面上的其他点也可以进行同样的平移操作。
通过改变平移向量V的值，可以实现不同的平移方向和距离。
二、图形的旋转旋转是指将图形绕着某个固定点旋转一定角度，而保持图形的形状和大小不变。
在平面几何中，旋转可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
旋转涉及三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向。
假设旋转中心为点O(x0, y0)，旋转角度为θ，旋转方向为顺时针。
对于平面上的任一点P(x, y)，其旋转后的新点P'的坐标可表示为：x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * sinθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0类似地，通过改变旋转角度和旋转中心的值，可以实现不同的旋转效果。
需要注意的是，对于逆时针旋转，只需将旋转角度取负。
三、图形的平移和旋转实例为了更好地理解图形的平移和旋转，下面举例说明。
例一：平移操作考虑一个正方形，其中心点为O(0, 0)，边长为2。
要将这个正方形向右平移4个单位，可将平移向量设为V(4, 0)。
根据平移公式，正方形的每个顶点的新坐标可计算如下：A(0, 0) 平移 4 个单位后的新坐标：A'(4, 0)B(2, 0) 平移 4 个单位后的新坐标：B'(6, 0)C(2, 2) 平移 4 个单位后的新坐标：C'(6, 2)D(0, 2) 平移 4 个单位后的新坐标：D'(4, 2)如此，正方形向右平移4个单位后，每个顶点的新坐标确定，从而实现了整个图形的平移操作。
图形的平移与旋转
我喜欢的艺术形式在我的生命中，艺术一直是我的灵魂之一。
它们给予我灵感，帮助我看到其他方面未曾看到的东西，深化了我的思考方式。
我的喜欢的艺术形式包括音乐、书法和雕塑。
音乐是我最喜欢的艺术形式之一。
它可以带你进入一个崭新的世界，让你在充满情感的旋律中沉浸。
对我而言，音乐是一种信仰，它让我进入一个完全与外界隔离的领域。
听音乐时，我可以独自思考、反省和放松。
对这个世界形形色色的音乐，我都有所了解和欣赏，但我最喜欢的还是爵士。
爵士曲风包含了丰富的文化、历史和音乐元素，是音乐中的瑰宝。
它的旋律富有情感、节奏感强烈、变化多端，每一首都带有与别不同的灵魂和风韵。
每次听爵士音乐时，我都会感受到其中复杂的调和和深层的意义，同时在欣赏中不断找寻着自我。
我也非常喜欢书法。
书法艺术是东方文化的瑰宝，随着时间的推移，逐渐成为了具有独特形式的艺术。
用毛笔和墨水写字，书法艺术呈现出的充满个性和灵气，可以表达出动人心魄的视觉冲击力，同时涵盖丰富的思想和意涵。
对我而言，书法是一种美丽的表达方式，是一种能够帮我表达自己想法的方式。
当我坐下来，拿起笔、墨水和纸时，我进入了一个完全不同的世界，并沉浸在其中。
我能够用笔的用心制作出独特的笔划和彩墨，而且在用毛笔写字的那段时间，我可以把所有的愤怒和烦恼都表达出来。
在那一瞬间，我只有墨、纸和我的心思，而它们成为了我的思想积累。
最后，我非常喜欢雕塑。
在每件雕塑作品里，雕塑家都融入了他们的灵魂和观点，这对我来说是令人震撼的。
每一个雕塑作品都可以让我感受到雕塑家灵魂对这个世界的见解，同时也给我提供了一个新的观点来看待这个世界。
我欣赏那些流畅、精致和内涵丰富的作品，更喜欢那些把现实与虚幻结合在一起的作品，同时欣赏那些充满奇异与幻想的作品。
总的来说，音乐、书法、雕塑三种艺术形式均具有自己的独特之处，它们各自呈现出来的灵感和意味让人们无限想象。
在我看来，艺术不仅是为了娱乐，更为了能够帮我们了解自己、世界和生命的真谛。
图形的旋转与平移
图形的旋转与平移图形的旋转与平移在几何学中起着重要的作用，它们能够帮助我们理解和描述物体在平面上的位置和形态的变化。
本文将介绍图形的旋转和平移的概念、特性及其应用。
一、图形的旋转旋转是指围绕某一点或某一轴线进行转动，使图形按一定角度沿轴旋转后得到的新图形。
图形的旋转有以下几个重要特性：1. 旋转角度：指图形旋转的角度，可以是逆时针方向的正角度或顺时针方向的负角度。
2. 旋转中心：指图形旋转的中心点，可以是图形内部的某个点，也可以是图形外部的某个点。
3. 旋转方向：旋转可以按逆时针方向或顺时针方向进行。
图形的旋转可以应用于许多领域，如计算机图形学、工程制图等。
在计算机图形学中，旋转可用于实现图像的变换和动画效果。
二、图形的平移平移是指沿着平行于某一方向的轴线移动图形，使图形在平面上平行地移动到另一个位置，但形状和大小保持不变。
图形的平移有以下几个重要特性：1. 平移向量：指平移移动的方向和距离，可以用向量表示。
2. 平移方向：平移可以沿着任意方向进行，只要是平行于轴线即可。
3. 平移距离：指图形平移的具体距离。
平移常用于地图上的位置标记、机械设计、建筑设计等领域。
在计算机图形学中，平移可用于实现图像的拖动和位置调整。
三、旋转与平移的组合应用旋转和平移常常需要组合应用，以实现更加复杂的变换效果。
例如，在游戏开发中，我们可以利用旋转和平移将一个平面上的二维图形转换为在三维空间中的位置和姿态，以实现更真实的游戏画面。
旋转和平移的组合应用还可用于机器人控制、航天器轨道设计等领域。
通过将图形围绕不同的方向旋转和平移，可以控制机器人或航天器在空间中的位置和方向。
总结：图形的旋转与平移是几何学中的基本概念，它们能够帮助我们描述和理解物体的位置和形态变化。
通过旋转和平移，我们可以实现图像的变换、位置调整和动画效果等。
无论是在计算机图形学还是实际应用中，旋转与平移都具有重要的意义。
理解和掌握图形的旋转与平移，对于几何学的学习和应用都具有重要的帮助。
什么是平移 什么是旋转
很多同学学习几何时对于一些概念都不是很了解。
那么什么是平移？什么是旋转呢？
平移简介
平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
平移不改变图形的形状和大小。
图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。
它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。
它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。
即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。
旋转的定义
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，如果一个图形上的点A经过旋转变为点A'，那么这两个点叫做旋转的对应点。
平移和旋转的区别与联系
1、区别：旋转不改变物体在空间上的位置不发生位移，平移将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动发生了位移。
2、联系：旋转和平移都是物体运动现象，在运动中都没有改变本身的形状、大小与自身性质特征。
以上就是一些有关于平移和旋转的相关信息，供大家参考。
图形的变换平移,旋转,位似
平移旋转位似【知识要点】一、平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离2..性质：平移不改变图形的大小与形状（方向）。
经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等。
3.简单作图平移的作图主要关注要点：①方向②距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．二、旋转1.定义：在平面内，将一个图形绕某个定点沿某个方向转动一定的角度。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
2..性质：旋转不改变图形的大小与形状。
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
3.简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．三．位似1.定义：对应点的连线交于一点的相似图像叫做位似，该点叫做位似中心2.性质：①这两个图形相似②对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比【典型例题】1. 1、下列说法正确的是（）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D、在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行2、如图1，△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（）A、线段BE的长度；B、线段EC的长度C、线段BC的长度；D、线段EF的长度3、如图2，△ABC与△A＇B＇C＇关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A、点A与点A＇是对称点；B、 BO=B＇O；C、AB∥A＇B＇；D、∠ACB= ∠C＇A＇B＇(1)FED CB AOC'B'A'(2)CBA4、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A、平行四边形B、等边三角形C、正方形D、直角三角形5、将一图形绕着点O顺时针方向旋转700后，再绕着点O逆时针方向旋转1200，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度？（）A 、顺时针方向500；B 、逆时针方向 500；C 、顺时针方向1900；D 、逆时针方向19006、下列说法不正确的是（ ）A ．中心对称图形一定是旋转对称图形；B 、轴对称图形一定是中心对称图形C 、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分D 、在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上7、如图3，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )A 、300B 、600C 、900D 、12008、如图4，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、无法确定9、如图5，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转900得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EFD 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、250(3)(4)FE DCB A(5)FEDC BA10、（2010 广西玉林、防城港）如图2，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是： （ ） A ．（―4，―3） B ．（―3，―3） C ．（―4，―4） D ．（―3，―4）11、（2010宁夏回族自治区）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 ．（只填序号）3.相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；4.位似图形一定有位似中心；5.如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；6.位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．二、填空题：(每空3分，共27分)1、等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
图形的平移和旋转知识点
图形的平移和旋转【图形的平移】(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．1， 【典型例题】例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D ，试确定顶点 B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即∠BCB′=ACD， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定 B′的位置，如图所示．解：（1）连结 CD（2） 以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3） 在射线 CE 上截取 CB′=CB则 B′即为所求的 B 的对应点．（4） 连结 DB′则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形．例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 ，4△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1） 旋转中心是哪一点？（2） 旋转了多少度？（3） AF 的长度是多少？（4） 如果连结 EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是 A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是 D 的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE= 1412 (1)2 4∴AE= = 4∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点∴AF= 174（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1） 旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
平移与旋转的概念与性质
平移与旋转的概念与性质平移和旋转是数学中常见的几何变换方式，它们在几何学、计算机图形学、物理学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍平移和旋转的概念以及它们的性质。
一、平移的概念与性质平移是指将一个图形按照指定的方向和距离在平面上移动，移动后的图形形状与原图形完全相同。
平移可以用向量表示，通过将图形的每个点都按照同样的位移量进行平移。
1. 平移的概念平移可以视为一种刚体运动，它保持图形的形状和大小不变，只是位置发生了改变。
平移可以沿任意方向进行，它不改变图形的内部结构和角度关系。
2. 平移的性质（1）平移不改变图形的面积、周长和角度大小。
（2）平移具有可逆性，即平移后再进行逆向平移可以回到原来的位置。
（3）平移可以用向量运算表示，例如一个点P(x, y)经过向量v(a, b)的平移后的新位置为P'(x+a, y+b)。
二、旋转的概念与性质旋转是指将一个图形围绕某个点或某条线进行旋转，使得图形绕旋转中心旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似但位置不同。
旋转也可以用向量表示，通过将图形的每个点都绕旋转中心旋转同样的角度。
1. 旋转的概念旋转是一种刚体变换，它改变了物体的方向和位置，但保持了物体的形状和大小。
旋转可以绕任意点或任意直线进行，旋转中心可以在图形内部，也可以在图形外部。
2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的面积和周长，但可能改变图形的角度大小。
（2）旋转具有可逆性，即旋转后再进行逆向旋转可以回到原来的位置。
（3）旋转可以用矩阵运算表示，例如一个点P(x, y)绕原点逆时针旋转角度θ后的新位置为P'(x', y')，其中x' = x*cosθ - y*sinθ，y' =x*sinθ + y*cosθ。
三、平移与旋转的关系平移和旋转都是刚体变换中的一种，它们可以通过复合运算相互转化。
1. 平移与旋转的复合如果一个图形先进行平移，再进行旋转，那么得到的结果与先进行旋转，再进行平移得到的结果是一样的。
初中数学知识点总结：图形的平移与旋转
初中数学知识点总结：图形的平移与旋转 知识点总结 【一】平移变换： 1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.性质：(1)平移前后图形全等; (2)对应点连线平行或在同一直线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法： (1)分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离;(2)分析所作的图形，找出构成图形的关健点;(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点;(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母;(5)写出结论。
【二】旋转变换： 1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转过程中旋转的方向是相同的.(4)旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状. 2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等. 3.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形. 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角. 常见考法 (1)把平移旋转结合起来证明三角形全等;(2)利用平移变换与旋转变换的性质,设计一些题目。
误区提醒 (1)弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律;(2)平移与旋转的性质没有掌握。
平移和旋转
平移和旋转平移和旋转是几何学中常见的两种基本变换，它们在日常生活和工程设计中都有着重要的应用。
无论是建筑设计、机械制造还是计算机图形学，都离不开平移和旋转的操作。
在本文中，我们将详细介绍平移和旋转的定义、性质、应用以及在实际工程中的应用。
一、平移的定义和性质1. 平移的定义平移是指在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变它的形状和大小。
通俗地说，平移就是将一个图形整体沿着某个方向平行移动，移动的距离和方向是确定的。
如图1所示，将图形A通过平移变换得到图形A'，图形A'与图形A相比没有发生变形，只是位置发生了改变。
平移变换可以保持图形的形状和大小不变，只是改变了位置。
在平移变换下，图形的各个点之间的位置关系保持不变。
即对于平面上的两点A和B，假设A经过平移变换得到A'，B经过平移变换得到B'，那么线段AB和线段A'B'的长度相等，并且它们的方向是相同的。
2. 旋转的性质旋转变换可以保持图形的形状和大小不变，只是改变了方向。
在旋转变换下，图形的每个点都以固定点为中心按照一定的角度旋转。
对于一个图形来说，它的每个点到固定点的距离在旋转变换后保持不变，而且每个点的旋转角度也是相同的。
三、平移和旋转的应用平移在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。
在建筑设计领域，平移可以用于设计楼层的布局和空间的规划，实现空间的合理利用。
在机械制造领域，平移可以用于设计机械零件的运动轨迹，实现机械装置的运动控制。
在计算机图形学领域，平移可以用于设计图形界面和动画效果，实现图形的移动和变换。
1. 平移和旋转在建筑设计中的应用在建筑设计中，平移和旋转是常见的设计手段。
平移可以用于设计建筑的平面布局和空间分隔，实现建筑的功能和美观。
设计师可以通过平移将不同功能的区域进行合理的布局，使建筑空间更加通透和舒适。
而旋转可以用于设计建筑的外观和结构，实现建筑的立面和空间形态。
图像的平移与旋转 知识点
第三章图像的平移与旋转第一节图形的平移1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个图形能与原图形相互重合，只是位置发生了变化。
我们把能够相互重合的点称为对应点，能够相互重合的角称为对应角，能够相互重合的线段称为对应线段。
3.平移的条件：确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要一一对应的点的位置或平移的方向和距离，平移的方向为原图上的点指向它的对应点的方向，这一对对应点连接的线段的长是平移的距离。
注：（1）图形的平移有两个基本的条件：方向（任意方向）；距离（2）平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。
4.平移的性质：（1）平移后的图形与原图形对应点所连线段平行或在一条直线上且相等；（2）平移后的图形与原图形对应线段平行（或在一条直线上）且相等；（3）平移后的图形与原图形对应角相等。
5.平移作图常见形式及作法：第二节图形的旋转1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点被称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形的形状和大小。
注：旋转是在平面内，而不是在空间内；旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定可以通过旋转得到；旋转的角度一般小于360度。
2.旋转的三要素：图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。
3.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
4.简单的旋转作图：旋转、平移、轴对称的异同：（1）三者的相同点：都是在平面内的图形变换不涉及立体图形的变换；三中变换都是只改变图形的位置，不改变形状和大小，其对应边相等，对应角相等。
（2）不同点：旋转、平移及轴对称的运动方式不同，旋转的运动方式是将一个图形旋转一定角度；而平移的运动方式则是将一个图形沿一条直线对折；旋转、平移及轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同。
五年级第二讲图形的平移和旋转
图形的平移和旋转知识点讲解：平移的概念：平移;是指在平面内;将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动;这样的图形运动叫做图形的平移运动;简称平移..平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离..平移特征：1、平移前后图形的形状、大小不变;只是位置发生改变..2、新图形与原图形的对应点所连的线段平行且相等或在同一直线上..3、新图形与原图形的对应线段平行且相等;对应角相等..旋转的概念：在平面内;把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度;这样的图形运动称为旋转..在画旋转图形时;点O叫做旋转中心;旋转的角叫做旋转角;如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ;那么这两个点叫做这个旋转的对应点..旋转的特征：1、对应点到旋转中心的距离相等..2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角..3、旋转前、后的图形全等..旋转三要素：①旋转中心②旋转方向③旋转角度课堂练一练一．涂色12、把图形向左平移5格后得到的图形涂上颜色..3、把图形向右平移4格后得到的图形涂上颜色..二、利用平移知识画图或填空１．画出小船向右平移6格后的图形２.、画出向右平移6格后的图形３、1小汽车向平移了格..2小船向平移了格..3小飞机向平移了格..４、1绕O点顺时针旋转 90度.. 2 向右平移5格５、画出花瓶向上平移 6、1画出三角形绕O点逆时针旋转90度4格后的图形;再的图形..画出它继续向左平 2画出梯形绕O点顺时针旋转90度移7格后的图形.. 的图形OO7、1画出小旗向右平移 2分别画出将图形向上平3格再绕O点顺时针旋转移3格绕O点逆时针旋转90度90度后的图形..OO8、A图向平移格到B图B图向平移格到C图..A BC平移和旋转练习题一一、连一连..升旗时国旗的运动时针的运动在算盘上拨珠平移电梯的运动风扇叶片的运动火车的运动光盘在电脑里的运动旋转把握汽车的方向盘二、操作..1、向平移了格..2、把上面的小船图向上平移5格3、把上图中的三角形绕垂足顺时针旋转180°小学数学平移和旋转练习题二一、看图填一填..1、长方形向平移了格..2、六边形向平移了格..3、五角星向平移了格..二、从镜子中看到的左边图形的样子是什么画“√”镜子三、按要求操作..1、把图中长方形向上平移2格；2、把图中三角形向右平移3格；3、把图中平行四边形向左平移5格..四、按要求填图五、分别画出下面图形向下平移2格后再向右平移8格后得到的图形六、画出拖拉机先向左平移4格;再向下平移3格后的图形..平移和旋转练习题三一、接着往下画..二、在各图形中填上合适的数..三、下图是按照一定规律排列起来的;请按这一规律在空格处画出适当的图形..四、在下图空格内画出合适的图形..。
平移和旋转
平移和旋转的区别是：在图形当中，将一个图形从一个地方变换到另一个地方，这种过程叫做平移。
一个图形围着一个定点旋转到一定的角度，这种过程叫做旋转。
在准确的平移过程中，无论哪个对应点，他们的前进方向均保持一种平行状态。
而旋转最主要的在于准确的旋转过程中，旋转只围绕着一个点或轴，进行圆周运动。
无论是旋转变化还是平移变化，他们双方的进行过程均不会导致图形的状态和大小产生变化，双方保持不变的还有各项对应点之间的距离。
“平移和旋转”是两个抽象的概念，但是平移与旋转现象在生活中却无处不在。
从数学的意义上讲，平移和旋转是两种基本的图形变换。
图形的平移和旋转对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用。
因此，我们在教学时应充分考虑学生的认知水平，寻找新知识与学生已有经验的联系，尽可能选取学生熟悉的、丰富有趣的生活实例，同时注意突出所选事例的本质属性，使学生能抓住特征并达到初步感知的效果。
本节课主要是让学生充分动手操作，仔细观察，让学生在“做中学”，体验“平移和旋转”的相关知识，从而培养学生的实践能力和创新意识，使之获得良好的情感体验，提高学习能力。
图形的平移与旋转知识点
图形的平移与旋转知识点第三章图形的平移与旋转复要点专点一：图形的平移1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移是由移动的方向和距离决定的。
2.平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后的三角形或多边形全等。
（2）平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
（3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。
专点二：图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
2.旋转的性质：（1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。
（2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。
（3）经过旋转，图形上的每点都绕着旋转中央沿相同的方向转动了相同的角度。
（4）任意一对对应点与旋转中央的间隔相称。
考点三、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中央对称的两个图形，对称点连线都经过对称中央，而且被对称中央中分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，而且被这一点中分，那末这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点四、坐标系中对称点的特征1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P’（x，-y）3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）专点五：利用轴对称、旋转和平移作图1.平移作图的一般步骤：（1）确定平移的方向和距离；（2）确定构成图形的枢纽点（线段两个端点，三角形三个极点，n边形n个顶点）；（3）按照平移的方向和距离平移各个关键点；（4）顺次连接各个枢纽点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。
(完整版)图形的平移与旋转--知识讲解
图形的平移与旋转--知识讲解【学习目标】1、理解平移的概念，掌握图形的平移所具有的对应点的连线的特征,理解平移前后对应边角的关系，能按要求作出简单的平面图形平移后的图形；2、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；3、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念，理解他们的区别和联系，并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形；４、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形．【要点梳理】要点一、平移的概念与性质平移的概念将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移．如图：平移三角形ABC 就可以得到三角形A′B′，C′点Ａ和点A′，点B 和B′，点C 和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC 和B′C，′AC 和A′C是′对应线段，∠Ａ与∠A′，∠Ｂ与∠Ｂ′∠Ｃ与∠Ｃ是对应角．平移的性质图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等．图形平移后，图形的大小、形状都不变．要点诠释：１、平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离．２、平移的两个要素：平移的方向和平移的距离．要点二、旋转的概念与性质旋转的概念在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心(如点O)，转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．如图：三角形A′B′是C′三角形ABC 绕点O 旋转所得，则点Ａ和点A′，点B 和B′，点C 和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC 和B′C，′AC 和A′C是′对应线段，∠AＯA ′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．旋转的性质(1) 对应点到旋转中心的距离相等( OA= OA′)；(2) 对应线段的长度相等(ＡＢ＝ＡB′)；(3) 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠ＡＯA′)；要点诠释：１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．要点三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1) 连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2) 把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)(3) 在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4) 连接所得到的各对应点．要点四、旋转对称图形与中心对称图形旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．（旋转角０°< <360°）．中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形，特殊在旋转角是180°，也就是说当旋转角是180°时的旋转对称图形就是中心对称图形．要点五、中心对称中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：１、中心对称是旋转角为180°的旋转对称；２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心；３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分．中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．类型一、平移的概念与性质【答案与解析】将图形中五边形的各关键点先向右平移4 格，再向上平移3 格，然后顺次连接各关键点，即可得到平移后的五边形，然后以A 为圆心，单位1 为半径作圆弧即可．旋转对称图形，这个定4 格，再向上平移3 格，画出平移后的图形．．如图，将方格上的图形向右平移【总结升华】 画平移图形的关键是找到图形中的各个关键点按要求平移，然后把平移后的各点连结起 来即可． 【变式】下面所说的 “平移 ”，是指只沿方格的格线（即上下或左右）运动，将图中的任一条线段平移1 格称为 “1步”．要通过平移，使图中的 3 条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动（ ） A ．7步 B ．8步 C ．9步D ．10 步答案】 Ａ解析】 其中移动方案为： AB 向下移动 2格， EF 向右 1格再向上 2格，CD 向左 2格，共应 7格．AOBC 绕点 O 旋转得到四边形 DOEF ． 在这个旋转过程中： 1）旋转中心是谁 ?2）旋转方向如何 ?3）经过旋转 ,点 A 、B 的对应点分别是谁？ 4）图中哪个角是旋转角？5）四边形 AOBC 与四边形 DOEF 的形状、大小有何关系？ 6）AO 与 DO 的长度有什么关系？ BO 与 EO 呢？ 7）∠ AOD 与∠BOE 的大小有什么关系？答案与解析】1）旋转中心是点 O ；（2）旋转方向是逆时针方向； （ 3）点 A 的对应点是点 D,点 B的对应点是点类型二：旋转的概念与性质２．如图，把四边形E;(4) ∠ AOD 和∠BOE;(5) 四边 形 AOBC 与 四边形 DOEF 形状 一致，大 小相等 ；( 6) AO=DO,BO=EO;(7) ∠AOD= ∠ BOE ．【总结升华】 通过具体实例认识旋转，了解旋转的概念和性质． 举一反三【变式】 如图所示： O 为正三角形 ABC 的中心．你能用旋转的方法将 △ABC 分成面积相等的三部 分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．答案】 下面给出几种解法：解法一：连接 OA 、OB 、 OC 即可．如图甲所示；解法二：在 AB 边上任取一点 D ，将 D 分别绕点 O 旋转 120°和 240°得到 D 1、D 2，连接 OD 、 OD 1、OD 2 即得，如图乙所示．解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD 、OD 1、 OD 2 即得如图丙所示类型三、旋转的作图个单位，得到 ，再把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，请你画出 和 (不要求写画法)如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位．将 向下平移 4总结升华】 注意平移和旋转中关键点移动规律的不同． 举一反三 变式】如图，画出 ABC 绕点 O 逆时针旋转 100 所得到的图形．(∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′ =100 °)类型四、旋转对称图形与中心对称图形图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形若一个图形绕着一个定点旋转一个角α（ 0°< α≤ 18）0°后能够与原来的图形重合，那么这个120°（如图），能够与原来的等边三角答案】不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（A ．１B ．２C．３ D ．４答案与解析】图1 绕中心旋转60°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形；图2中，无论怎么样旋转都无法重合，除非旋转360度，但超出条件范围，故图2 不是旋转对称图形；图 3 绕中心旋转 120°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形； 图 4 绕中心旋转 72°后能够与原来的图形重合，所以这个图形是旋转对称图形．总结升华】 根据旋转对称图形的定义：若一个图形绕着一个定点旋转一个角 够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．【答案与解析】这些图形中：图形 1，图形 3，图形 4，图形 5，图形 8 为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O ．【总结升华】 识别中心对称图形，就看这个图形绕着一个定点旋转 180°后，能否与初始图形重合，而对称中心往往是图形本身的内部的一点．变式】 如图，将图 (1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是 ( )【答案】 C ．【解析】 抓住图形特征，观察图中的每个小的图形绕中心点旋转180°后能否与自身重合．【总结升华】 在解题的过程中，可看出如果选取的基本图形不同，可得到不同的形成过程，甚至所 选取的基本图形相同，也有不同的形成过程，因此分析图案的形成过程旨在了解图形的变化规律， 而不必强求分析的一致性． 类型五、 中心对称6．画出四边形 ABCD 关于点 O 的中心对称图形．α( 0°< α≤ 180)°后能列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O 标出对称中心．总结升华】作中心对称图形关键是找到各点关于对称中心的对应点．变式】（1）如图（1）选择点O 为对称中心，画出线段AB 关于点O 的对称线段A′B．′（2）如图（2）选择△ABC 内一点P为对称中心，画出△ABC 关于点P的对称△A′B′．C′答案】。
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第十讲图形的平移与旋转前联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：(1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角．【例5】如图，等边△ABC的边长为3a，点P是△ABC的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，=1225+求PA、PB的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练 1．如图，P 是正方形ABCD 一点，现将△ABP 绕点B 顾时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ．2．如图，P 是等边△ABC 一点，PA ＝6，PB=8，PC ＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D 中，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，若AD=a ，AB=b ，则CD 的长为 ．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12B ．22 C ．l D ．21 (2002年荆州市中考题) 5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ． 当∠EPF 在△ABC 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2003年省市中考题)6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ， S 四边形ABCD d=8，则BE 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (2004年市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为22和2，对角线BD 、FH 都在直线l 上，O 1、O 2分别为正方形的中心，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化．(1)计算：O 1D= ，O 2F= ；(2)当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2= ；(3)随着中心O 2在直线l 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值围(不必写出计算过程)． (市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm 2．11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE 、BC 的延长线交于点F ，若AE=10，则S △ADE +S △CEF 的值是 ．(市中考题)12．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 一点，则PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系是( )A ．PA+PB+PC>AB+ACB ．PA+PB+PC<AD+ACC ． PA+PB+PC ＝AB+ACD ．无法确定13．如图，设P 到等边三角形ABC 两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为( )A ．5B ．13C ．5D ．6(2004年市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ．15．如图，P 为等边△ABC 一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC一点，点O到△ABC各边的距离都等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°，得△A1B l C1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．(1)证明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；(2)求△ABC与△A1B l C1公共部分的面积． (省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．(省市中考题)。