概率论和数理统计考试试题和答案解析
概率论和数理统计考试试题和答案解析
一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ，2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。
8、设2),(125===Y X Cov Y D X D，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。
解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。
概率论和数理统计练习题与答案解析
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标〞，则事件“三次中至多击中目标一次〞的正确表示为〔 〕〔A 〕321A A A ++ 〔B 〕323121A A A A A A ++ 〔C 〕321321321A A A A A A A A A ++ 〔D 〕321A A A2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为〔 〕 〔A 〕365 〔B 〕364 〔C 〕363 〔D 〕3623．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则〔 〕〔A 〕)(1)(B P A P -= 〔B 〕)()()(B P A P AB P = 〔C 〕1)(=+B A P 〔D 〕1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(2x x ce x f x ，则=EX 〔 〕〔A 〕21〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕41 5．以下各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是〔 〕〔A 〕+∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 〔B 〕⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x F 〔C 〕+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 〔D〕+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为〔 〕〔A 〕)2(2y f X - 〔B 〕)2(y f X - 〔C 〕)2(21yf X --〔D 〕)2(21y f X -7．二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hgp fe d x c b a x p y y y XY Y jX i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h 〔 〕〔A 〕81 〔B 〕83 〔C 〕41 〔D 〕31 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E 〔 〕〔A 〕3 〔B 〕6 〔C 〕10 〔D 〕129．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，假设EYEX EXY ⋅=，则以下结论不正确的选项是〔 〕〔A 〕X 与Y 相互独立 〔B 〕X 与Y 不相关 〔C 〕0),cov(=Y X 〔D 〕DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A3.D4.A5.B6. D7. D8. C9. A1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标〞，则事件“三次中恰好击中目标一次〞的正确表示为〔 C 〕 〔A 〕321A A A ++ 〔B 〕323121A A A A A A ++ 〔C 〕321321321A A A A A A A A A ++ 〔D 〕321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为〔 A 〕〔A 〕2242 〔B 〕2412C C 〔C 〕24!2A 〔D 〕!4!23．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则〔 D 〕 〔A 〕)()|(A P B A P = 〔B 〕)()()(B P A P AB P = 〔C 〕)()()|(B P A P B A P = 〔D 〕0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ，则=EX 〔 A 〕 〔A 〕32〔B 〕1 〔C 〕38 〔D 〕316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x，则=A 〔 B 〕 〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 6．随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 3-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为〔 D 〕〔A 〕)3(3y f X - 〔B 〕)3(yf X - 〔C 〕)3(31y f X -- 〔D 〕)3(31y f X - 7．二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hgp fe d x c b a x p y y y XY Y jX i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=e 〔 B 〕〔A 〕81〔B 〕41 〔C 〕83 〔D 〕31 8．设随机变量Y X ,相互独立，且)5.0,16(~b X ，Y 服从参数为9的泊松分布，则=+-)12(Y X D 〔 C 〕〔A 〕-14 〔B 〕13 〔C 〕40 〔D 〕41 9．设),(Y X 为二维随机向量，则X 与Y 不相关的充分必要条件是〔 D 〕〔A 〕X 与Y 相互独立 〔B 〕EY EX Y X E +=+)( 〔C 〕DY DX DXY ⋅= 〔D 〕EY EX EXY ⋅= 一、填空题A ,B 是两个随机事件，5.0)(=A P ，8.0)(=+B A P ，)1(假设A 与B 互不相容，则)(B P = ；)2(假设A 与B 相互独立，则)(B P = .2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球〔不放回〕.第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 .X 的概率分布为}{k a k X P 3==， ,2,1=k ，则常数=a . X 的分布函数为 则常数=a ，}31{<<X P = .X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布，且3)(=X E ，34)(=X D ，则a = ，b = .X ，Y 相互独立，且都服从参数为6.0的10-分布，则}{Y X P == .X ，Y 是两个随机变量，2)(=X E ，20)(2=X E ， 3)(=Y E ，34)(2=Y E ，5.0=XY ρ，则)(Y X D - = .答案：1. 3.0，6.0 2. 313. 414.41，435. 5.46. 1，57. 8. 21A ,B 是两个随机事件，3.0)(=A P ，)()(B A P AB P =，则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为 .X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ，则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布，则X1的数学期望为 .21,X X 相互独立，其概率分布分别为 则}{21X X P == .7.设X ，Y 是两个随机变量，)3,0(~2N X ，)4,1(~2N Y ，X 与Y 相互独立，则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0，=)(X E 0)(=Y E ，=)(2X E 2)(2=Y E ，则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72. 0.9763. 314. 0.55. 3ln 216.95 7. )5,1(2N 8. 659. 6二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.〔1〕求取到的是白球的概率；〔2〕假设取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ，事件B 表示取到白球.三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中，假设三部机器均无故障，则该厂可猎取利润2万元；假设只有一部机器发生故障，则该厂仍可猎取利润1万元；假设有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可猎取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润〔万元〕，则X 可能取5.0,1,2-，且512.08.0}2{3===X P ，384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ，104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 〔万元〕 四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度，并推断X 与Y 的独立性.解： (1)5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；(2)由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ，求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ，两边对y 求导，得解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数，所以 注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数。
(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc
一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。
3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为：0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。
8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
概率论与数理统计试题及答案(自考)
概率论与数理统计试题及答案（自考）一、单选题1.如果D(X)=3,令Y=2X+5,则D(Y)为A、12B、18C、7D、11【正确答案】：A解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(2X+5)=D(2X)=4D(X)=4×3=12,因此选A。
2.设总体X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),σ12=σ22未知,关于两个正态总体均值的假设检验为H0:μ1≤μ2,H1:μ1 > μ2,则在显著水平α下,H0的拒绝域为A、B、C、D、【正确答案】：B解析：无3.设总体为来自X的样本,为样本值,s为样本标准差,则的无偏估计量为( )。
A、sB、C、D、【正确答案】：C解析：样本均值是总体均值的无偏估计量。
故选C.4.设随机变量X的方差D(X)=2,则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为( )。
A、B、C、D、【正确答案】：B解析：5.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A、2B、18C、3D、4【正确答案】：B解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。
6.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A、P{拒绝H0| H0为真}B、P {接受H0| H0为真}C、P {接受H0| H0不真}D、P {拒绝H0| H0不真}【正确答案】：A解析：本题考察假设检验“两类错误”内容。
选择A。
7.则k=A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4【正确答案】：D解析：本题考察一维离散型随机变量分布律的性质:。
计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1=1,k=0.4故选择D。
8.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A、1/2B、1/4C、3/16D、1/3【正确答案】：B解析：样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。
全国概率论与数理统计答案详解
2022年4月高等教育自学考试（概率论与数理统计）〔经管类〕答案解析一、单项选择题〔本大题共10小题，每题2分，共20分〕1.甲，乙两人向同一目标射击，A表示“甲命中目标〞，B表示“乙命中目标〞，C表示“命中目标〞，则C=〔〕A.AB.BC.ABD.A∪B（答案）D（解析）“命中目标〞=“甲命中目标〞或“乙命中目标〞或“甲、乙同时命中目标〞，所以可表示为“A∪B〞，应选择D.（提示）注意事件运算的实际意义及性质：〔1〕事件的和：称事件“A，B至少有一个发生〞为事件A与B的和事件，也称为A 与B的并A∪B或A+B.性质：①,；②假设，则A∪B=B.〔2〕事件的积：称事件“A，B同时发生〞为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=A∩B或F=AB.性质：①，；② 假设，则AB=A.〔3〕事件的差：称事件“A发生而事件B不发生〞为事件A与B的差事件，记做A－B.性质：①；②假设，则；③.〔4〕事件运算的性质〔i〕交换律：A∪B=B∪A, AB=BA；〔ii〕结合律：〔A∪B〕∪C=A∪〔B∪C〕, 〔AB〕C=A〔BC〕；〔iii〕分配律：〔A∪B〕∩C=〔A∩C〕∪〔B∩C〕〔A∩B〕∪C=〔A∪C〕∩〔B∪C〕.〔iv〕摩根律〔对偶律〕,2.设A，B是随机事件，，P〔AB〕=0.2，则P〔A－B〕=〔〕A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4（答案）A（解析），，应选择A.（提示）见1题（提示）〔3〕.3.设随机变量X的分布函数为F〔X〕则〔〕A.F〔b－0〕－F〔a－0〕B.F〔b－0〕－F〔a〕C.F〔b〕－F〔a－0〕D.F〔b〕－F〔a〕（答案）D（解析）依据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见（提示）.（提示）1.分布函数定义：设X为随机变量，称函数，为的分布函数.2.分布函数的性质：①0≤F〔x〕≤1；②对任意x1，x2〔x1< x2〕，都有；③F〔x〕是单调非减函数；④，；⑤F〔x〕右连续；⑥设x为f〔x〕的连续点，则f′〔x〕存在，且F′〔x〕=f〔x〕.3.已知X的分布函数F〔x〕，可以求出以下三个常用事件的概率：①；②，其中a<b；③.4.设二维随机变量〔X，Y〕的分布律为0 1 20 1 0 0.1 0.2 0.4 0.3 0则〔〕A.0B.0.1C.0.2D.0.3（答案）D（解析）因为事件，所以，= 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3应选择D（提示）1.此题考察二维离散型随机变量的边缘分布律的求法；2.要清楚此题的三个事件的概率为什么相加：因为三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率为各事件概率之和.5.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则〔〕A.0.25B.0.5C.0.75D.1（答案）A（解析）积分地域D：0＜X≤0.5，0＜Y≤1，所以应选择A.（提示）1.二维连续型随机变量的概率密度f〔x，y〕性质：①f〔x，y〕≥0；②；③假设f〔x，y〕在〔x，y〕处连续，则有，因而在f〔x，y〕的连续点〔x，y〕处，可由分布函数F〔x，y〕求出概率密度f〔x，y〕；④〔X，Y〕在平面地域D内取值的概率为.2.二重积分的计算：此题的二重积分的被积函数为常数，依据二重积分的几何意义可用简单方法计算：积分值=被积函数0.5×积分地域面积0.5.6.设随机变量X的分布律为X﹣2 0 2P 0.4 0.3 0.3则E〔X〕=〔〕A.﹣0.8B.﹣0.2C.0D.0.4（答案）B（解析）E〔X〕=〔﹣2〕×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2应选择B.（提示）1.离散型一维随机变量数学期望的定义：设随机变量的分布律为，1，2，….假设级数绝对收敛，则定义的数学期望为.2.数学期望的性质：①E〔c〕=c，c为常数；②E〔aX〕=aE〔x〕，a为常数；③E〔X+b〕=E〔X+b〕=E〔X〕+b，b为常数；④E〔aX+b〕=aE〔X〕+b，a，b为常数.7.设随机变量X的分布函数为，则E〔X〕=〔〕A. B. C. D.（答案）C（解析）依据连续型一维随机变量分布函数与概率密度的关系得，所以，=，应选择C.（提示）1.连续型一维随机变量概率密度的性质①;②;③;④；⑤设x为的连续点，则存在，且.2.一维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量X的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则随机变量的数学期望为.8.设总体X服从区间,]上的均匀分布〔〕，x1，x2，…，x n为来自X的样本，为样本均值，则A. B. C. D.（答案）C（解析），，而均匀分布的期望为，应选择C.（提示）1.常用的六种分布〔1〕常用离散型随机变量的分布〔三种〕：X0 1概率q pA.两点分布①分布列②数学期望：E〔X〕=P③方差：D〔X〕=pq.B.二项分布：X～B〔n，p〕①分布列：，k=0，1，2，…，n；②数学期望： E〔X〕=nP③方差： D〔X〕=npq.C.泊松分布：X～①分布列：，0，1，2，…②数学期望：③方差：＝〔2〕常用连续型随机变量的分布〔三种〕：A.均匀分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｂ.指数分布：X～①密度函数：,②分布函数：，③数学期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｃ.正态分布〔A〕正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：③数学期望：＝,④方差：＝，⑤标准化代换：假设X～，，则～.〔B〕标准正态分布：X～①密度函数：，－∞＋∞②分布函数：，－∞＋∞③数学期望：E〔X〕＝0,④方差：D〔X〕＝1.2.注意：“样本〞指“简单随机样本〞，具有性质：“独立〞、“同分布〞.9.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，且，记，，，，则的无偏估量是〔〕A. B. C. D.（答案）A（解析）易知，，应选择A.（提示）点估量的评价标准：〔1〕相合性〔一致性〕：设为未知参数，是的一个估量量，是样本容量，假设对于任意，有，则称为的相合〔一致性〕估量.〔2〕无偏性：设是的一个估量，假设对任意，有则称为的无偏估量量；否则称为有偏估量.〔3〕有效性设，是未知参数的两个无偏估量量，假设对任意有样本方差，则称为比有效的估量量.假设的一切无偏估量量中，的方差最小，则称为的有效估量量.10.设总体～，参数未知，已知.来自总体的一个样本的容量为，其样本均值为，样本方差为，，则的置信度为的置信区间是〔〕A.，B.，C.，D.（答案）A（解析）查表得答案.（提示）关于“课本p162，表7-1：正态总体参数的区间估量表〞记忆的建议：①表格共5行，前3行是“单正态总体〞，后2行是“双正态总体〞；②对均值的估量，分“方差已知〞和“方差未知〞两种情况，对方差的估量“均值未知〞；③统计量顺序：, t, x2, t, F.二、填空题〔本大题共15小题，每题2分，共30分〕11.设A，B是随机事件，P 〔A〕=0.4，P 〔B〕=0.2，P 〔A∪B〕=0.5，则P 〔AB〕= _____.（答案）0.1（解析）由加法公式P 〔A∪B〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔AB〕，则P 〔AB〕= P 〔A〕+ P 〔B〕－P 〔A∪B〕=0.1故填写0.1.12.从0，1，2，3，4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为________.（答案）（解析）设第三次取到0的概率为，则故填写.（提示）古典概型：〔1〕特点：①样本空间是有限的；②根本领件发生是等可能的；〔2〕计算公式.13.设随机事件A与B相互独立，且，则________.（答案）0.8（解析）因为随机事件A与B相互独立，所以P 〔AB〕=P 〔A〕P 〔B〕再由条件概率公式有=所以，故填写0.8.（提示）二随机事件的关系〔1〕包含关系：如果事件A发生必定导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有，且；〔2〕相等关系：假设且，则事件A与B相等，记做A=B，且P 〔A〕=P 〔B〕；〔3〕互不相容关系：假设事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为＝，且P 〔AB〕=0；〔4〕对立事件：称事件“A不发生〞为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且.显然：①；②，.〔5〕二事件的相互独立性：假设, 则称事件A, B相互独立；性质1：四对事件A与B，与B，A与，与其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：假设A, B相互独立，且P 〔A〕＞0, 则.14.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则________.（答案）（解析）参数为泊松分布的分布律为，0，1，2，3，…因为，所以，0，1，2，3，…，所以=，故填写.15.设随机变量X的概率密度为，用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则________.（答案）（解析）因为，则～，所以，故填写.（提示）注意审题，X判定概率分布的类型.16.设二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D： x2+ y2≤1上的均匀分布，为其概率密度，则=_________.（答案）（解析）因为二维随机变量〔X，Y〕服从圆域D：上的均匀分布，则，所以故填写.（提示）课本介绍了两种重要的二维连续型随机变量的分布：〔1〕均匀分布：设D为平面上的有界地域，其面积为S且S>0，如果二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为，则称〔X，Y〕服从地域D上的均匀分布，记为〔X，Y〕～.〔2〕正态分布：假设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔，〕，其中，，，，都是常数，且，，，则称〔X，Y〕服从二维正态分布，记为〔X，Y〕～.17.设C为常数，则C的方差D 〔C〕=_________.（答案）0（解析）依据方差的性质，常数的方差为0.（提示）1.方差的性质①D 〔c〕=0，c为常数；②D 〔aX〕=a2D 〔X〕，a为常数；③D 〔X+b〕=D 〔X〕，b为常数；④D 〔aX+b〕= a2D 〔X〕，a，b为常数.2.方差的计算公式：D 〔X〕=E 〔X2〕－E2〔X〕.18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E 〔e-2x〕= ________.（答案）（解析）因为随机变量X服从参数1的指数分布，则，则故填写.（提示）连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为，又随机变量，则当收敛时，有19.设随机变量X～B 〔100，0.5〕，则由切比雪夫不等式估量概率________.（答案）（解析）由已知得，，所以.（提示）切比雪夫不等式：随机变量具有有限期望和，则对任意给定的，总有或.故填写.20.设总体X～N 〔0，4〕，且x1，x2，x3为来自总体X的样本，假设～，则常数C=________.（答案）1（解析）依据x2定义得C=1，故填写1.（提示）1.应用于“小样本〞的三种分布：①x2－分布：设随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且均服从标准正态分布，则服从自由度为n的x2－分布，记为x2～x2〔n〕.②F－分布：设X，Y相互独立，分别服从自由度为m和n的x2分布，则服从自由度为m与n的F－分布，记为F～F〔m，n〕，其中称m为分子自由度，n为分母自由度.③t－分布：设X～N 〔0，1〕，Y～x2〔n〕，且X，Y相互独立，则服从自由度为n的t－分布，记为t～t 〔n〕.2.对于“大样本〞，课本p134,定理6-1：设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，为样本均值，〔1〕假设总体分布为，则的X分布为；〔2〕假设总体X的分布未知或非正态分布，但，，则的渐近分布为.21.设x1，x2，…，x n为来自总体X的样本，且，为样本均值，则________.（答案）（解析）课本P153，例7-14给出结论：，而，所以，故填写.（说明）此题是依据例7-14改编.因为的证明过程比拟复杂，在2022年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本〔也是学员朋友们使用的课本〕中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本（高等数学〔二〕第二分册概率统计）P164,例5.8.22.设总体x服从参数为的泊松分布，为未知参数，为样本均值，则的矩估量________.（答案）（解析）由矩估量方法，依据：在参数为的泊松分布中，，且的无偏估量为样本均值，所以填写.（提示）点估量的两种方法〔1〕矩法〔数字特征法〕估量：A.根本思想：①用样本矩作为总体矩的估量值；②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估量值.B.估量方法：同A.〔2〕极大似然估量法A.根本思想：把一次试验所出现的结果视为全部可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估量值.B.定义：设总体的概率函数为，，其中为未知参数或未知参数向量，为可能取值的空间，x1，x2，…，x n是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；假设某统计量满足，则称为的极大似然估量.C.估量方法①利用偏导数求极大值i〕对似然函数求对数ii〕对求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii〕解方程或方程组得即为的极大似然估量.②对于似然方程〔组〕无解时，利用定义：见教材p150例7－10；〔3〕间接估量：①理论依据：假设是的极大似然估量，则即为的极大似然估量；②方法：用矩法或极大似然估量方法得到的估量，从而求出的估量值.23.设总体X服从参数为的指数分布，x1，x2，…，x n为来自该总体的样本.在对进行极大似然估量时，记…，x n〕为似然函数，则当x1，x2，…，x n都大于0时，…，x n=________.（答案）（解析）已知总体服从参数为的指数分布，所以，从而…，=，故填写.24.设x1，x2，…，x n为来自总体的样本，为样本方差.检验假设：，：，选取检验统计量，则H0成立时，x2～________.（答案）（解析）课本p176，8.3.1.25.在一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，n，且，，…，相互独立.令，则________.（答案）（解析）由一元线性回归模型中，其中～，1，2，…，，且，，…，相互独立，得一元线性回归方程，所以，，则～由20题（提示）〔3〕得，故填写.（说明）课本p186，关于此题内容的局部讲述的不够清楚，请朋友们注意.三、计算题〔本大题共2小题，每题8分，共16分〕26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求〔1〕甲取到黑球的概率；〔2〕乙取到的都是黑球的概率.（分析）此题考察“古典概型〞的概率.（解析）〔1〕设甲取到黑球的概率为p，则.〔2〕设乙取到的都是黑球的概率为p，则.27.某种零件直径X～〔单位：mm〕，未知.现用一种新工艺生产此种零件，随机取出16个零件、测其直径，算得样本均值，样本标准差s=0.8，问用新工艺生产的零件平均直径与以往有无显著差异？〔〕〔附：〕（分析）此题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验〞类型.（解析）设欲检验假设H0：，H1：，选择检验统计量，依据显著水平=0.05及n=16，查t分布表，得临界值t0.025〔15〕=2.1315，从而得到拒绝域，依据已知数据得统计量的观察值因为，拒绝，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异.（提示）1.假设检验的根本步骤：〔1〕提出统计假设：依据理论或经验对所要检验的量作出原假设〔零假设〕H0和备择假设H1，要求只有其一为真.如对总体均值检验，原假设为H0：，备择假设为以下三种情况之一：：，其中i〕为双侧检验，ii〕，iii〕为单侧检验.〔2〕选择适当的检验统计量，满足：① 必须与假设检验中待检验的“量〞有关；② 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.〔3〕求拒绝域：按问题的要求，依据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W.〔4〕求统计量的样本值观察值并决策：依据样本值计算统计量的值，假设该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0.2.关于课本p181，表8-4的记忆的建议：与区间估量对比分类记忆.四、综合题〔本大题共2小题，每题12分，共24分〕28.设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为〔1〕求〔X，Y〕关于X，Y的边缘概率密度；〔2〕记Z=2X+1，求Z的概率密度.（分析）此题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度.（解析）〔1〕由已知条件及边缘密度的定义得=，〔〕所以；同理可得.〔2〕使用“直接变换法〞求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx〔x〕、Fz〔Z〕，则，由分布函数Fz〔Z〕与概率密度的关系有由〔1〕知，所以=.（提示）求随机变量函数的概率密度的“直接变换法〞根本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为，求Y=g〔X〕的概率密度解题步骤：1.；2..29.设随机变量X与Y相互独立，X～N〔0,3〕，Y～N〔1,4〕.记Z=2X+Y，求〔1〕E〔Z〕，D〔Z〕；〔2〕E〔XZ〕；〔3〕P XZ.（分析）此题考察随机变量的数字特征.（解析）〔1〕因为X～N〔0,3〕，Y～N〔1，4〕，Z=2X+Y，所以E〔Z〕=E〔2X+Y〕=2E〔X〕+E〔Y〕=1D〔Z〕=D〔2X+Y〕=4D〔X〕+D〔Y〕=16〔2〕而随机变量与相互独立，所以 E〔XZ〕=6.〔3〕因为，所以.五、应用题〔10分〕30.某次考试成绩X服从正态分布〔单位：分〕，〔1〕求此次考试的及格率和优秀率；〔2〕考试分数至少高于多少分能排名前50%？〔附：〕（分析）此题考察正态分布的概率问题.（解析）已知X～N〔75，152〕，设Z～N〔0，1〕，为其分布函数，〔1〕==即本次考试的及格率为84.13%，优秀率为15.87%.〔2〕设考试分数至少为x分可排名前50%，即，则=，所以，即，x=75，因此，考试分数至少75分可排名前50%.。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。
做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。
解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。
解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
《概率论与数理统计》期末试题一、填空题(每小题3分，共15分)1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0。
3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.9解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==-因为~(0,2)X U，所以(0X F =,即()Y X F y F =故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调,反函数为()h y所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________.答案：2λ=,-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==，故2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>41e-=-.5．设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析
《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析一．单项选择题（每小题2 分，共 20 分）1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ）B A ．A 1A 2 B ．21A A C ．21A A D ．21A A 2．则（ ）DA ．121=a B ．61=a C ．121=a D ．41=a 3．设事件A 与B 相互独立，则有（ ）CA ．0)(=AB P B ．)()()(B P A P B A P +=C ．)()()(B P A P AB P =D ．)()(A P A B P =4．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则其概率密度函数的最大值为（ ）D A ．0 B ．1 C ．π21 D ．212)2(-πσ5． 设随机变量X 与Y 互相独立, 且X ～),,(211σa N Y ～),,(222σa N 则Y X Z +=仍服从正态分布,且( ) DA . Z ～),(22211σσ+a N B . Z ～),(2121σσa a N +C . Z ～),(222121σσa a N + D . Z ～),(222121σσ++a a N6．设随机变量X 服从[-1，2]上的均匀分布，则X 的概率密度)(x f 为（ ）AA ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x f B ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x fD ． ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f7．设,21X X ，3X 是总体~X ()2,σμN 的样本，则μ的无偏估计量是（ ）AA ．3212110351X X X ++ B ．321316131X X X ++ C ．3211274131X X X ++ D ．3211513151X X X ++8．某店有7台电视机，其中2台为次品，今从中随机地抽取3台，设X 为其中次品数，则数学期望EX =（ ）D A ．73 B ．74 C ．75 D ．76 9．设总体X ～N (2,σμ)，X 1，X 2，…，X 10为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则X ～（ ）CA ．)10(2σμ，N B ．)(2σμ，N C ．)10(2σμ，N D ．)10(2σμ，N 10．在假设检验中，H 0为原假设，H 1为备择假设，则第一类错误是（ ）BA. H 1成立，拒绝H 0B. H 0成立，拒绝H 0C. H 1成立，拒绝H 1D. H 0成立，拒绝H 1 二．填空题（每空 2 分，共 20 分）1．连续抛一枚均匀硬币4次，则正面至少出现一次的概率为___________.1615 2．设A ，B 为互不相容的两个随机事件，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则)(B A P ⋃）=________.0.73．设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.34．设随机变量X 是服从区间（μ，2）上的均匀分布，且1=EX ，则μ= . 1 5．设X 为连续随机变量，c 为一个常数，则P ｛X ＝c ｝＝____________.06．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且,44.1,4.2==DX EX 则二项分布的参数p = . 0.47．10X =E ，4=DX ，若{}04.010≤≥-c X P ，则常数c = . 108．已知E （X ）=1，E （Y ）=2，E （XY ）=3，则X ，Y 的协方差Cov （X ，Y ）=_____________．2 9．设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{XY=0}=___________。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。
解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
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一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ，2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。
8、设2),(125===Y X Cov Y D X D，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。
则：~X N（8 ， 8/13 ），~16252S )25(2χ，~52/8s X - )25(t 。
二、（6分）已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010 ,)(2x ax x f求：（1）常数a ， （2）)5.15.0(<<X p （3）X 的分布函数F （x ）。
解:(1)由⎰+∞∞-==3,1)(a dx x f 得 2’(2) )515.0(⋅<<X p =⎰⎰==5..15.015.02875.03)(dx x dx x f 2’(3) ⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x 0x x F 1 , 110 , 0)(3 2’三、（6分）设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它 , 010,10,2),(y x y y x f求：（1）X ，Y 的边缘密度，（2）讨论X 与Y 的独立性。
解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰⎰∞+∞-其他，，其他010 22)()(01012)(1010y y ydx dx y x f y f x ydy x f Y X 4’(2)由(1)可见）（）（），（y f x f y x f Y X ⋅=, 可知: X ，Y 相互独立 2’一. 填空题（每小题2分，共计60分）1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。
与其任何事件不相容的事件为 不可能事件， 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件；设E 为等可能型试验，且S 包含10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。
2．3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P 0。
28 ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 0.3，=)(B A P 1/3 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从中不放回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。
若有放回地回地任取2只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。
4、1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P 11--e；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 0 。
5、设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ2 ；=>}0{X P 0.8 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。
是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓）。
7、若随机变量X )5,1(~U ，则{}=40〈〈X p 0.75 ；=+)12(X E __7___， =+)13(X D 12 ．8、设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P 34.0，并简化计算=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑kk k k k 66026.04.062.7)4.06(6.04.062=⨯+⨯⨯。
9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y XE-4 ，=-)2(Y XD 6 。
10、设161,,X X 是总体)4,20(N 的容量为16的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。
则：~XN （20， 1/4 ），{}120>-X p = 0.0556 ， ~16152S )15(2χ，~51/20s X - t(15)。
此题中9772.0)2(=Φ。
11、随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-0 ,00 ,)(x x e x f x λλ ，则称X 服从指数分布，=)(X E λ1。
13、设二维随机向量),(Y X 的分布律是： 则X 的方差=)(X D 0.21 ；Y X 与的相关系数为:=XY ρ 3/7 。
二、 （7分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率．解：设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 有： %5)P(A 80%,)A (P %,15)p(A 321=== 2’B 表示取到次品，3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B321===， 2’由贝叶斯公式：)B A (p 1=24.0)()(/)()(3111=⋅⋅∑=k k k A B P A p A B P A p （ 4’三、（7分）已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 ,010,)(x ax x f 求：（1）常数a ， （2）)5.00(<<X p （3）X 的分布函数F （x ）。
解:(1)由⎰+∞∞-==2,1)(a dx x f 得 2’(2))51.0(⋅<<X p =⎰⎰==5.005.0025.02)(xdx dx x f 3’(3) ⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x 0x x F 1 , 110 , 0)(22’四、（7分）设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它 ,010,10,4),(y x xy y x f 求：（1）X ，Y 的边缘密度，（2）由（1）判断X ，Y 的独立性。
解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-+∞∞-其他，，其他，，010 24)()(010 24)()(1010y y xydx dx y x f y f x x ydy x dy y x f x f Y X 5’(2)由(1)可见）（）（），（y f x f y x f Y X ⋅=, 可知: X ，Y 相互独立 2’七、（5分）某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。
用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。
已知8413.0)1(=φ，9772.0)2(=φ。
解:设X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X ∽B(10000,0.0064)。
该保险公司的利润函数为：X L ⨯-=1000120000。
2‘所以}72{}480001000120000{}48000{≤=≥⨯-=≥X P X P L P}996.764729936.00064.01000064{-≤⨯⨯-=X P 用中心极限定理8413.0)1(=≅φ 3‘答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。
8413二. 填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a) 若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ; b) 若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ; c) 若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 .3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=XE 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。
5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。
其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ.6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 Y X 与的相关系数则=a _0.1_，X 的数学期望=)(X E ___0.4_______，=xy ρ___-0.25______。