北师大版高中数学必修一对数与对数函数同步练习题及答案.docx

合集下载

2021-2022学年北师大版数学必修第一册单元测试附答案第四章对数运算与对数函数.docx

第四章对数运算与对数函数考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1. 若对数logu-1)(4A —5)有意义，则x 的取值范围是()A.B. §>x>2C. ^>.v>2 或 x>2D. 2S S A <32. 已知 log7 [log3 (log 2X )] =0,那么『2 等于( )A. |B.平3 6 C 也 D 吏 s 4"9 3. 若 y=logs6 • log6? • log 78 • log 89 • log 910,贝!J () A.汽(0, 1) B.汽(1,2) C. ye (2, 3)D. 03, 4) 4. 设函数/(x) =10g2%,若六。

+1)>2,则"的取值范围为()A. (—1,3) B. (—8, 3) C. (一8, 1)D. (-1, 1) ］（3。

一1）尤+4。

，x>L5.已知/（x ） =1 是R 上的减函数，那么"的取值范围是（）〔log* x^l6.在同一直角坐标系中，函数y=^,y=log«^r+£）, （o>0且o#0）的图象可能是（1-3 1-7 一︓(O A.A 23A.-百C J-19D- 24八廿In 2 T In 3 In 5)z8.右u—2，b—3 , c—5，贝！J (A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.若10"=4, 10*=25,贝!]( )A. a+/?=2B. b—0=1C. cib>8 (1g 2)2D. Z?—«>lg 610.若0>a>l,则下列四个不等式中成立的是()A. log。

(常考题)北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(包含答案解析)(5)

一、选择题1．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．112．已知函数()()3,<1log ,1aa x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4D ．()4,64．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.35．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （） A ．是偶函数，且在11(,)33-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11(,)33-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3-∞-单调递减6．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144697．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +<8．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数 D ．奇函数，且在(0,10)是减函数10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．11．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（）． A ．b a c <>D ．a c b <<12．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.14．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =______. 15．关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.16．223332()a b ba b-⨯=________（其中0a >，0b >）17．7log 31lg 25lg 272++=________. 18．设函数()122,12log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩，若()()04f f x =则0x ______.19．若函数1log 12a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有最小值-2，则实数a =_______.20．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题21．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22t h x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围. 22．已知函数122()log 2xf x x-=+．（1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 23．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.25．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. （1）当2a =时，求(2)f ；（2）求解关于x 的不等式()0f x >；（3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数()2()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．（1）当2m =时，求A B 、()R A B ⋂；（2）若AB A =，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=.2．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤，故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 3．D解析：D 【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x=+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.4．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=，所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =，所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路：（1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.5．D解析：D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论．【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±，()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，()f x 是奇函数，排除AB ，312()lnln 13131x f x x x +==+--，11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2310x -<-<，2231x <--，即21031x +<-，而131u x =-是减函数，∴2131v x =+-是增函数，∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，排除C ．只有D 可选．故选：D ．【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．()y f x =与()y f x =-的单调性相反，在()f x 恒为正或恒为负时，()y f x =与1()y f x =的单调性相反，若()0f x <，则()y f x =与()y f x =的单调性相反．0a >时，()y af x =与()y f x =的单调性相同．6．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x=-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x x xx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立，则有0c <且0a >，故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<．故选：D ．【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．【详解】由恬24a =，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增．故选：C ．【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．9．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．A解析：A 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.12．B解析：B 【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >，当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象，又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数，且图象关于y 轴对称，故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力解析：21(0,][log (2),)a a a ++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可. 【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log xa g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=，当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a<≤，故答案为：21(0,][log (2),)a a a++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.14．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题解析：36【分析】根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得. 【详解】解：43m n k ==4log m k ∴=，3log =n k20m n mn +=≠211n m ∴+=，1log 4k m =，1log 3k n = 2log 3log 41k k ∴+= 2log 3log 41k k ∴+=()log 941k ∴⨯=36k ∴=故答案为：36 【点睛】本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.15．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析：(,1-∞-. 【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解. 【详解】由()()222log 1log 2x x ->-，得21220x xx ⎧->-⎨->⎩，解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为：(,1-∞-. 【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题.16．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.17．4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解：故答案为：4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析：4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】解：7log 3211lg 25lg 27lg5lg 23lg5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.18．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算解析：1-或2 【分析】已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1tt t +≤==，若010001,()21,1x x f x x +≤===-，若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===，当2211,()2log 4,log 2,4t f t t t t >=-==-=（舍去）故答案为：1-或2. 【点睛】本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.19．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复合函数单调性对数方程的解法难度一般解析：12或2 【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a 的值. 【详解】当1a >时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数,min 33log 1-224a y f ⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得-214a =,即=2a ; 当01a <<时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数,()()min 6log 31-2a y f ==+=,求得-24a =,即1=2a . 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.20．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析：①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.三、解答题21．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解；（2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意；当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意；当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0，故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解，即1<2tk 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于：（1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断；（2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化.22．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数. 【详解】（1）由函数有意义得202xx->+，解得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭，所以函数为奇函数. （2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明：设1222x x -<<<，则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++，因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数，【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路： ①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.23．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足；当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有00a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有00a >⎧⎨∆≥⎩. 24．（1）()2,2-．（2）见解析;(3)18,211⎛⎫⎪⎝⎭．【详解】试题分析：(1)根据对数函数的定义,列出关于自变量x 的不等式组,求出()f x 的定义域; (2)由函数奇偶性的定义,判定()f x 在定义域上的奇偶性;(3)化简()f x ,根据对数函数的单调性以及定义域,求出不等式()f x >1的解集. 试题（1）要使函数()f x 有意义．则20{20x x +>->，解得22x -<<.故所求函数()f x 的定义域为()2,2-．（2）由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-．且()()()()lg 2lg 2f x x x f x -=-+-+=-，故()f x 为奇函数．（3）因为()f x 在定义域()2,2-内是增函数，因为()1f x >，所以2102x x+>-，解得1811x >．所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫⎪⎝⎭． 25．（1）2-；（2）当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当01a <<时；()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）(3,11,22⎫⎤⎪⎢⎦⎪⎣⎭.【分析】（1）将2a =直接代入解析式计算即可.（2）将()2()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解.【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,aa ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42log a a a -∴≤-=或3log23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log43log a a a ≥=，解得：12a ≤< 综上所述：a 的取值范围为(3,11,22⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.26．(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，(){|21}RA B x x =-<<；(2)()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B 的值，由补集定义可得{|1RA x x =<或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R AB ⋂，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，则{|27}B x x A -<≤⋃=，又{|1RA x x =<或7}x >，则(){|21}R AB x x =-<<；（2）根据题意，若A B A =，则A B ⊆，分2种情况讨论：①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，若有A B ⊆，必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解可得112m -<<，综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（）. A ． B ．C ．D ．2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：35]4[--．＝，[]2.12＝，已知函数21()12x xe f x e =++，()[()]g x f x =，则下列叙述正确的是（） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 在R 上是增函数 C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{1,0,1}-3．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38B ．40C ．45D ．474．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=，则（） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．已知函数()()2ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（）A ．1-B ．1C ．5-D ．56．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．()1+∞， B ．()01， C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 11．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．12．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的（） A ．32倍 B ．3210倍C ．100倍D ．3lg2倍二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是___________． ①函数()13x f x a-=+()1a > 在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③已知()f x =538x ax bx ++-，且()28f -=，则(2)8f =-； ④11()122xf x =--为奇函数． 14．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.15．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.16．已知()f x 是定义在[0,)+∞的函数，满足(1)()f x f x +=-，当[0,1)x ∈时，()3x f x =，则3(log 30)f =________.17．已知函数()32log f x x =+，[]1,3x ∈，则函数()()221y f x f x =++的值域为____________.18．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 19．下列五个命题中：①函数log (21)2015(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象过定点()1,2015； ②若定义域为R 函数()f x 满足：对任意互不相等的1x 、2x 都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则()f x 是减函数；③2(1)1f x x +=-，则2()2f x x x =-；④若函数22()21x xa a f x ⋅+-=+是奇函数，则实数1a =-； ⑤若log 8(0,1)log 2c c a c c =>≠，则实数3a =. 其中正确的命题是________.（填上相应的序号）. 20．已知12512.51000x y ==，则11x y＝_____.三、解答题21．已知函数1()log 1a mxf x x -=-（0a >且1a ≠）是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程2()6(1)50f x kx x a -+--=对(1,)x ∈+∞恒有解，求k 的取值范围．22．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22th x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围. 23．若函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数（1）求k ，b 的值；（2）求解不等式()()2743f x f x ->-24．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________. 25．已知函数()f x ()()4log 41xkx k R =++∈的图象关于y 轴对称．（1）求实数k 的值（2）设函数()g x 12421f x xx m +=+⋅-（），[]20log 3x ∈，，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值，若不存在说明理由． 26．已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值；（2）求()f x 的定义域，并证明()f x 在定义域上恒正.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断．【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．B解析：B 【分析】计算(2),(2)g g -得出()()22g g ≠-判断选项A 不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出()f x 在R 上是增函数，判断选项B 正确；由xy e =的范围，利用不等式的关系，可求出15()22f x <<，进而判断选项CD 不正确，即可求得结果. 【详解】对于A ，根据题意知，2152()1221x x xe f x e e=+=-++. ∵252(2)[(2)]221g f e ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦， 2222121(2)[(2)]01212e g f e e --⎡⎤⎡⎤-=-=+=+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， (2)(2)g g ∴≠-，∴函数()g x 不是偶函数，故A 错误；对于B ，1x y e =+在R 上是增函数，则21xy e =+在R 上是减函数，则52()21xf x e =-+在R 上是增函数，故B 正确；对于C ，0xe >，11x e ∴+>，2202,20,11x x e e <<-<-<++ 15()22f x ∴<<，即()f x 的值域是15,22⎛⎫⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，()f x 的值域是15,22⎛⎫⎪⎝⎭，则()g x 的值域是{0,1,2}，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.3．B解析：B 【分析】根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.4．B解析：B 【分析】a ､b ､c 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断a ，b ，c 大小关系.【详解】因为21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=，所以a ､b ､c 为2log y x =与1()2x y =，1()3xy =，y x =-的交点的横坐标，如图所示：由图象知： c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属中挡题.5．D解析：D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.【详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4，又(1)0f =，68ln()0ba c a abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.6．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．【详解】由恬24a =，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增．故选：C ．【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．8．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .9．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.10．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围．【详解】解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ．【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．A解析：A 【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣，因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．12．C解析：C 【分析】先根据010lg II η=得10010I I η=，再将60dB 和40dB 代入得计算12I I 即可得答案.【详解】解：因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lg II η=，所以10010I I η=，所以606101001010I I I ==，404102001010I I I ==，所以6014201010010I I I I ==，故选：C.【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.二、填空题13．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成解析：①④ 【分析】根据指数的运算性质01(0a a =>且1)a ≠恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出()2f ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④ 【详解】解：当1x =时，101(0x a a a -==>且1)a ≠恒成立，故f （1）4=恒成立，故函数1()3(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象一定过定点(1,4)P ，故①正确；函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(0,2)，故②错误；已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则()224f =-，故③错误；11()122xf x =--的定义域为{|0}x x ≠，且112111()()122212212x x x xf x f x ---=-=-=-=----，故()f x 为奇函数，故④正确；故答案为：①④ 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．14．【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：【点睛】本题解析：52【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f m m==又01m <<，所以12m =，再结合()()f m f n =，可得2n =，所以21522m n +=+=. 故答案为：52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.15．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.16．【分析】利用对数的运算性质得出结合周期性即可得出的值【详解】且则则函数的周期为2故答案为：【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值涉及了对数的运算属于中档题解析：109-【分析】利用对数的运算性质得出3310log 303log 9=+，结合周期性，即可得出3(log 30)f 的值. 【详解】33333101010log 30log 27log 27log 3log 999⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，且333100log log log 9131=<<= (1)()f x f x +=-，(11)(1)()f x f x f x ∴++=-+=，则(2)()f x f x +=，则函数()f x 的周期为2310log 3333310101010(log 30)21log 1log log 39999f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：109- 【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值，涉及了对数的运算，属于中档题.17．【分析】计算定义域为设代入化简得到计算值域得到答案【详解】函数的定义域满足：解得设故函数在上单调递增当时；当时故答案为：【点睛】本题考查了函数的值域忽略定义域是容易发生的错误解析：417,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】计算定义域为⎡⎣，设()5,2,2f x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，代入化简得到()212y t =+-，计算值域得到答案. 【详解】函数()()221y f x f x =++的定义域满足：21313x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得1x ≤≤设()5,2,2f x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()()()2222122112y f x f x t t t =++=+-+=+-.函数在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当2t =时，min 7y =；当52t =时，max 414y =. 故答案为：417,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的值域，忽略定义域是容易发生的错误.18．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >，且320a -≥，∴312a <≤．故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．19．①③⑤【分析】对①由对数函数恒过即可判断；对②由函数单调性的定义即可判断函数的单调性；对③利用换元法即可求得函数的解析式；对④由奇函数的定义即可判断；对⑤由换底公式即可求得的值【详解】解：对①令解得解析：①③⑤ 【分析】对①，由对数函数恒过(1,0)，即可判断；对②，由函数单调性的定义即可判断函数的单调性；对③，利用换元法即可求得函数()f x 的解析式；对④，由奇函数的定义即可判断；对⑤，由换底公式即可求得a 的值. 【详解】解：对①，令211x -=，解得：1x =，则(1)2015f =，()f x ∴的图象过定点()1,2015，故①正确；对②，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，当12x x <时，()()12f x f x <；当12x x >时，()()12f x f x >；()f x ∴是R 上的增函数，故②错误；对③，令1t x =+，则1x t =-；2()2f t t t ∴=-，即2()2f x x x =-，故③正确；对④，由题意知()f x 的定义域为R ，又()f x 为奇函数，(0)0f ∴=，解得：1a =，故④不正确；对⑤，log 8lg83lg 2=3log 2lg 2lg 2c c a ===，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 【点睛】方法点睛：求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．20．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析：13【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,x y ,利用对数的换底公式,即可求得答案. 【详解】∵12512.51000x y ==， ∴12512.51000100011log 1000,log 1000log 125log 12.5x y ====，∴1000100011log 125,log 12.5x y ==， ∴1000111log 103x y -==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:log log log c a c bb a=是解本题的关键.属于基础题.三、解答题21．（1）1m =-；（2）(0,7)．【分析】（1）由函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，可得()2210m x -=，从而求出m 的值.(2)由（1）即将原问题化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，即216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解，从而得出答案. 【详解】解：（1）因为函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即11log log 11a a mx mxx x +-=---- 化简得()2210m x-=，所以1m =±，当1m =时1101mx x +=-<--不成立，当1m =-时1111mx x x x +-=--+，经验证成立所以1m =-．（2）由（1）知函数1()log 1ax f x x +=-，则方程可化为： 216(1)501x kx x x +-+--=-，即2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解所以分离参数得216k x x=+，令1t x =，则26k t t =+，(0,1)t ∈有解而2067t t <+<，故k 的取值范围为(0,7)．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数为奇函数求参数和不等式有解求参数的范围，解答本题的关键是将问题转化为2610kx x --=对(1,)x ∈+∞恒有解，分离参数即216k x x=+在(1,)x ∈+∞恒有解，属于中档题.22．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解；（2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意；当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意；当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0，故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解，即1<2tk 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于：（1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断；（2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化. 23．（1）2,3k b =-=；（2）{}2x x <-. 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可；（2）根据指数函数的单调性解不等式即可；【详解】解：（1）∵函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数∴31,30k b +=-= ∴2,3k b =-= （2）由（1）得()()1xf x aa =>，则函数()f x 在R 上单调递增()()2743f x f x ->-2743x x ∴->-，解得2x <- 即不等式解集为{}2x x <-；【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.24．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．下列等式成立的是（）A ．222log (35)log 3log 5+=+B ．2221log 3log 32-=C ．222log 3log 5log (35)⋅=+D ．231log 3log 2= 2．形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（）位数(参考数据：lg2≈0.3010).A ．8B ．9C ．10D ．113．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围是（） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3] 4．函数()f x =的定义域是（） A ．(0,2) B ．[2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．已知函数)()ln f x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（）A ．a b c <> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．b c a >> 9．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（）A ．2aB ．2C ．154D ．174 10．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（）．A ．b a c <>D ．a c b <<11．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（） A ． B ． C ． D ． 12．函数32ln ||()x x f x x -=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______. 14．72log 2338log 272lg 5lg 47-+++=______.15．已知函数()4sin 22x x f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 16．已知11225x x -+=22165x x x x --+-=+-______.17．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01x y a a a =>≠,经过点E ，B ，则函数()a f x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.18．函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为_______.19．设正数,x y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，则x y +的取值范围是_____. 20．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．计算下列各式的值：（1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+. 22．已知函数()3lg 3x f x x+=-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由．23．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）.24．计算下列各式：（1）)()()03235232ππ--；（2）92log 2663log 4log 3.2++ 25．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．26．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)．(1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对数的运算法则和换底公式判断．【详解】22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；22221log 32log 3log 32-=-≠，B 错误； 222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误；3233log 31log 3log 2log 2==，D 正确．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，log log n a a b n b =，一般log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1log log n a a b b n ≠． 2．C解析：C【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=. 3．D解析：D【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解.【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且()116416f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()10f =，结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.4．A解析：A【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域.【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x << 所以函数的定义域是()0,2.故选：A .【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.5．D解析：D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021，2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】 210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()ln ln f x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减， 102021202020120>=，202020201log log 102021<=， 2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()lnf x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较. 6．B解析：B【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答 7．B解析：B【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3x f x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：()3x f x -为定值故设()3xf x m -=，即()3x f x m =+ 又[()3]4xf f x -=，所以()341m f m m m =+=⇒=则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133x x =时，取等号所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题. 8．A解析：A【分析】根据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>．故选：A ．【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．9．C解析：C【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x x f x g x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+x x g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .②+①②，得()24g x =，()2g x ∴=.(),2g b a a =∴=.()22﹣-∴=x x f x .22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．A解析：A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>> 所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>=所以b a c <<故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.11．D解析：D【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案.【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.12．A解析：A【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣，因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x -----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x x f x x x x-==-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．二、填空题13．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果.【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.14．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得.【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++ 34222=-+++ 32= 故答案为：32 【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值. 15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题. 16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12- 【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】 1122x x -+=125x x -++=，所以13x x -+= 对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+= 则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12-【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系. 17．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，由题意得22t t a a =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值．【详解】解：设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==，又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x =-在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-，故答案为：3-．【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题． 18．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【分析】先由22530x x -->，求得函数的定义域，然后令2253t x x =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由22530x x -->，解得 12x <-或 3x >，所以函数()213log 253y x x =--的定义域为{1|2x x <-或 }3x >，因为2253t x x =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，13log y t =在()0,∞+递减，所以函数()213log 253y x x =--的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数y ＝f [g (x )]，先求定义域，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．19．【分析】由题设知再由得到所以设由此可求出的取值范围【详解】解：正数满足又所以左右加上得到所以由得到设即解得或即或根据定义域均大于零所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查对数的运算法则基本不等式的应解析：[)6,+∞由题设知3x y xy ++=，再由2220x xy y -+，得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，设x y a +=，由此可求出x y +的取值范围．【详解】解：正数x ，y 满足222log (3)log log x y x y ++=+，22log (3)log x y xy ∴++=，3x y xy ∴++=，又2220x xy y -+，所以左右加上4xy 得到2224x xy y xy ++，所以2()4x y xy +，由3x y xy ++=得到2()34x y x y +++，设x y a +=即2412a a +，解得6a ≥或2a ≤-即(],2a ∈-∞-或[)6,+∞．根据定义域x ，y 均大于零，所以x y +取值范围是[)6,+∞．故答案为：[)6,+∞．【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．20．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可.【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥，所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解；（2）利用对数的运算法则化简求解.【详解】（1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明见解析.【分析】（1）利用对数式的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；（2）先判断定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析()(),f x f x -之间的关系，由此判断出()f x 的奇偶性.【详解】（1）因为303x x+>-，所以()()330x x -+<，所以{}33x x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）()f x 为奇函数，证明：因为()f x 的定义域为()3,3-关于原点对称，且()()1333lg lg lg 333x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.【点睛】思路点睛：判断函数()f x 的奇偶性的步骤如下：（1）先分析()f x 的定义域，若()f x 定义域不关于原点对称，则()f x 为非奇非偶函数，若()f x 的定义域关于原点对称，则转至（2）；（2）若()()f x f x =-，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. 23．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3)【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<，解得13x，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-，因为13x ，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3).【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 24．（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解；（2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解.【详解】（1）)02 ()13|2|ππ=+-+-42ππ=-+-=2（2）92log 2663log 4log 32++ 232log 26662log 2log 3log 23=+-+3log 266log 2log 33=++=6log (23)2123⨯+=+=.【点睛】(a n =是奇数||(a n =是偶数).使用上面的公式时，一定要注意n 的奇偶性，再化简.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【分析】（1）令0m n ==，代入等式，可求得()00=f ；（2）令n m =-，代入等式，结合()00=f ，可得到()()f m f m -=-，从而可知()y f x =是奇函数，然后用定义法可证明()f x 在(),-∞+∞上为增函数；（3）原不等式可化为()()422x x f f -<，结合函数()f x 的单调性，可得出422x x -<，解不等式即可.【详解】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f . （2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <， ∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-， ∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.26．（1）2a =；（2）2m n m n++【分析】（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值.【详解】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m n m n ++===++ 【点睛】本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.。

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =2．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（） A ．[]3,2-- B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-3．函数()f x =的定义域是（） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞4．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<5．函数()213log 23y x x =-++的单调递增区间是（）A ．(]1,1-B ．(1)∞－，C ．[) 1,3D ．(1)∞，＋ 6．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.37．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞11．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题13．已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．14．函数()f x =的定义域为______.15．函数()22log 617y x x =-+的值域是__．16．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则13log 19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 17．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________. 18．32a b-=________（其中0a >，0b >）19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________. 三、解答题21．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围．22．化简下列各式：（1）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 23．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的“有上界函数”，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数11()139x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）当12a =-时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为“有上界函数”，请说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a 的取值范围．24．（1）求函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）求函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）求函数223y x x =--的单调递增区间.25．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明.26．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()2log g x x =. （1）若()22g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）当[]1,1x ∈-时，函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1，求实数a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立，因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥，令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+，因为t m >，所以0m ≤，所以0m =，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.2．A解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数，内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数，同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.3．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.4．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.5．C解析：C 【分析】由不等式2230x x -++>，求得函数的定义域()1,3-，令()223g x x x =-++，得到()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数213()log 23y x x =-++有意义，则满足2230x x -++>，即223(3)(1)0x x x x --=-+<，解得13x，即函数的定义域为()1,3-，令()223g x x x =-++，则函数()g x 表示开口向下，对称轴方程为1x =的抛物线，所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，又由函数13log y x =在定义上是递减函数，结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数213()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3). 故选：C. 【点睛】函数单调性的判定方法与策略：定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；图象法：如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；复合函数法：先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.6．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=，所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =，所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路：（1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.7．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增，又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．9．A解析：A 【解析】x y z ，，为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k k x y z---=>=>=>，．即10k -> 因为函数1kf x x -=（）单调递增，∴235x y z<<. 故选A.10．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解．【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数，所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数，由对数函数性质知230a ->，即23<a ，综上023a <<．故选：C ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．11．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=．所以0.20.20.620.40.4>>．故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．二、填空题13．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可．【详解】解：若01a <<，当1≥x 时，log 0a x ≤，当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；若1a >，当1≥x 时，log 0a x ≥，当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，312a ∴<≤，综上所述，312a <≤，故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.14．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.15．【分析】设转化为函数根据在上单调递增可求解【详解】设函数则函数∵在上单调递增∴当时最小值为故答案为：【点睛】本题考察了二次函数对数函数性质综合解决问题解析：[)3,+∞【分析】设()2261738t x x x =-+=-+，转化为函数2log y t =，[)8,t ∈+∞，根据2log y t =在[)8,t ∈+∞上单调递增，可求解．【详解】设()2261738t x x x =-+=-+函数()22log 617y x x =-+，则函数2log y t =，[)8,t ∈+∞， ∵2log y t =，在[)8,t ∈+∞上单调递增， ∴当8t =时，最小值为2log 83=，故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题考察了二次函数，对数函数性质，综合解决问题．16．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解解析：2719-【分析】由()fx 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-.故答案为：2719- 【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.17．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象，易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f aa ==又01a <<，所以12a =，再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题18．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >，综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)，将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-，所以()21xf x =-，则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.三、解答题21．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-．【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间；（Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=，所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；（Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤，所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-，所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<，所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立，所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->，所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意，综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 22．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 23．（1）值域为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）(,2]-∞ 【分析】（1）把12a =-代入函数的表达式，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1t >，可求出2112y t t =-+的值域，即为()f x 在(,0)-∞的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得(0,1]t ∈，整理得3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，只需min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）当12a =-时，111()1239x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x <，1t ∴>，2112y t t =-+， 2112y t t =-+在(1,)+∞上单调递增，111232y -∴>+=，即()f x 在(,0)-∞的值域为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立． ∴函数()f x 在(,0)-∞上不是“有上界函数” （2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x ≥，(0,1]t ∴∈，214at t ∴++≤对(0,1]t ∈恒成立，即3a t t ⎛⎫≤-⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，设3()g t t t=-，易知()g t 在(0,1]t ∈上递减， ()g t ∴在(0,1]t ∈上的最小值为(1)2g =．∴min ()2a g t ≤=，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞ 【点睛】本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[)3,+∞. 【分析】（1）解不等式2320x x -+>可求得函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）利用二次函数的基本性质可求得函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）将函数223y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间. 【详解】（1）对于函数()22log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()22log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞；（2）当[]2,2x ∈-时，()[]222119,0y x x x =-+-=--∈-，因此，函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-；（3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >，所以，222223,12323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩.二次函数223y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =. 当1x <-时，函数223y x x =--单调递减；当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；当3x >时，函数223y x x =--单调递增.综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[)3,+∞.【点睛】本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. 【分析】（1）由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩，解之即可；（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证. 【详解】（1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，∴函数()()f x g x -是奇函数.（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下：当(1,1)x ∈-时，1()()log 1a x f x g x x+-=-，设1211x x -<<<，则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a ax x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-，1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->，∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01ax x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题. 26．（1）()1,+∞；（2）a =【分析】（1）由220mx x m ++>恒成立，得关于m 的不等式组，求解得答案；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()223y t a a =-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a 的值. 【详解】（1）()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++， ∵()22g mx x m ++的定义域为R ，∴220mx x m ++>恒成立，当0m =时，不符合，当0m ≠时，满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m ， ∴实数m 的取值范围为()1,+∞；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]1,1x ∈-时，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时，可得当2t =时y 取最小值，且min 741y a =-=，解得32a =（舍去）； ②当122a ≤≤时，可得当t a =时y 取最小值，且2min 31y a =-=，解得a =a =③12a <时，可得当12t=时y取最小值，且min1314y a=-=，解得94a=（舍去），综上，a=【点睛】本题考查对数函数的定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题.。

2023-2024学年北京市高中数学北师大必修一对数运算和对数函数专项提升-2-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市高中数学北师大必修一对数运算和对数函数专项提升(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）函数的最大值为已知函数 (a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2)已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，与同向单位向量为，则向量在方向上的投影向量为已知向量 =(-1，2)与 =(m ，1)的夹角为锐角，则m<21. 给出下列结论，其中不正确的结论是（）A.B.C.D.2. 已知，则（）A.B. C.D.（0，1）（1，0）（0，0）（2，0）3. 函数y=log2（x+1）的图象经过（）A. B. C. D.4. 已，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5. 已知，，，则的大小为（）A. B. C. D.1.56. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 .2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）A. B. C. D.7. 已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（）A. B. C. D.8. 若a ， b ， c 满足，，，则（）A. B. C. D.9. 若则（）.A. B. C. D.(1，+∞)(-∞，1)[1，+∞)(-∞，1]10. 函数y=log 2(x-1)的定义域为（）A. B. C. D. 11. 函数f(x)＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( )A. B. C. D.321012.（）A. B. C. D. 13. 若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 .14. 为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付元（为整数），则的值为 .15. 计算：，．16. 已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有7个不同实数根，则 .17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，为铅垂线（在桥梁AB上）．以O 为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为，右侧山体曲线BO的方程为，其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，其中C在线段上，E 在线段上，且m，．(1) 求CE的长；(2) 为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据：）18.(1) 计算；(2) 解关于的方程 .19. 计算下列各式的值：(1) ；(2) .20. 计算下列各式的值：(1) ；(2) ．21. 已知，，(1) 用，表示；(2) 求答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页共 11 页。

2023-2024学年辽宁省阜新市高中数学北师大必修一对数运算和对数函数章节测试-1-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年辽宁省阜新市高中数学北师大必修一对数运算和对数函数章节测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 若，则等于（）A. B. C.D.2.已知，，，则（）A. B. C. D. 3. 设，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. B. C. D.4. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得的能量，则需提供的能量为（）A. B. C. D.5. 若，则（）A. B. C. D.6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）1010.110.1lg10.1A. B. C. D.(－1，1)(－1，＋)7. 设函数,若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是（）（）A. B. C. D.8. 复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制､具有完全自主知识产权､达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(单位：)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级(单位：)与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（）A. B. C. D.9. 若，当时，的大小关系为（）A. B. C. D.秒秒秒28秒10. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据，）A. B. C. D. 12108611. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A. B. C. D. 12. 设，，，则（）A. B. C. D.13. 黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种，全球数量只有2万只左右.据温州网2022年11月26日的报道，今年越冬候鸟黑嘴鸥已到达温州湾，人们可以在密集的芦苇丛中进行观赏.研究发现黑嘴鸥的飞行速度（单位：m/s ）可以表示为函数，其中x 表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往温州湾的过程中，最低飞行速度为10m/s ，最高飞行速度为30m/s ，则黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是 .14. 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A，B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品．已知A文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日中，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，A文件每份的利润为60元，B文件每份的利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是元．15. 已知函数，则关于的不等式的解集为．16. 函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是17. 已知（，且）.(1) 当（其中，且t为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；(2) 当时，求满足不等式的实数x的取值范围.18. 计算下列各式的值：(1) 已知5x=3y=45，求 + 的值；(2) （log38+log94）（log427+log89）．19. 中国“一带一路”倡议提出后，某大型企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，根据以往的生产销售经验规律：每生产设备台，其总成本为 (千万元)，其中固定成本为2.8千万元，并且每生产1台的生产成本为1千万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入 (千万元)满足：，假定该企业产销平衡(即生产的设备都能卖掉)，请根据上述规律，完成下列问题：(1) 写出利润函数的解析式；(2) 该企业生产多少台设备时，可使盈利最多？20. 某商品进货单价为60元，若销售价为90元，可卖出40个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？21. 已知函数f（x）=3﹣2log2x，g（x）=log2x(1) 如果x∈[1，2]，求函数h（x）=[f（x）+1]g（x）的值域；(2) 求函数M（x）= 的最大值．(3) 如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)(3)第 11 页共 11 页。

高中数学对数与对数函数综合练习北师大版必修1

高中数学对数与对数函数综合练习北师大版必修1一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a aa x m n x+==-则等于（） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()12m n -4、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（） A 、lg5lg 7 B 、lg 35 C 、35 D 、351 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13B 23C 22D 336、函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（）A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称 7、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是（）A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<<10、2log 13a <，则a 的取值范围是（）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（） A 、12log (1)y x =+ B 、22log 1y x =-C 、21log y x = D 、22log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（） A 、在(),0-∞上是增加的 B 、在(),0-∞上是减少的 C 、在(),1-∞-上是增加的 D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

北师大版数学必修一【对数函数】同步精练卷及解析

数学必修一【对数函数同步】精练卷一、选择题1.已知对数函数y＝logax当a取不同值时对应的图像如图所示，已知a的值分别为，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次是()A. 431,,3510B.413,,3105C.431,3510D.413,31052.若f(x)＝121log(21)x+，则f(x)的定义域为()A.1(,0)2-B.1(,)2-+?C.1(,0)2-∪(0，＋∞) D.1(,2)2-3.已知0＜a＜1，b＞1，且ab＞1，则下列不等式中成立的是()A. logb 1b＜logab＜loga1b B. logab＜logb1b＜loga1bC. logab＜loga 1b＜logb1b D. logb1b＜loga1b＜logab4.若点(a,b)在lgy x=图像上，1a¹,则下列点也在此图像上的是A. （1a，b） B. (10a,1-b) C. (10a,b+1) D. (a2,2b)二、填空题5.若函数y＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值为______．6.设f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则当x＜0时，f(x)的表达式为_________________．7.若11log log44a a=，且|logba|＝－logba，则a，b满足的条件是________________．三、解答题8.求下列函数的定义域：(1)f(x)＝log(5－x)(2x －3)； (2)f(x)＝log2(3x －1)．9.画出函数y ＝log3x 的图像，并归纳出它的单调性及奇偶性．解析北师大版数学必修一【对数函数同步】精练卷一、选择题1.已知对数函数y ＝logax 当a 取不同值时对应的图像如图所示，已知a 的值分别为，则相应于C1，C2，C3，C4的a 值依次是( )A. 431,,3510B. 413,,3105C. 431,3510D. 413,3105【答案】A【解析】【分析】由题意结合对数函数的性质确定C1，C2，C3，C4的a 值即可.【详解】令1y =，如图所示，所得交点的横坐标即为4321,,,C C C C 的a 值，结合题意可知：4321a a a a <<<，则C1，C2，C3，C4的a431,,3510. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查对数函数图像的识别，属于基础题.2.若f(x)＝121log (21)x + ，则f(x)的定义域为( ) A. 1(,0)2-B. 1(,)2-+?C. 1(,0)2-∪(0，＋∞)D. 1(,2)2-【答案】C【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域. 【详解】函数有意义，则：()12log 210210x x ì+?ïíï+>î，求解不等式可得f(x)的定义域为1,02骣琪-琪桫∪(0，＋∞).本题选择C 选项.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3.已知0＜a ＜1，b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是( ) A. logb 1b ＜logab ＜loga 1b B. logab ＜logb 1b ＜loga 1b C. logab ＜loga 1b ＜logb 1b D. logb 1b ＜loga 1b ＜logab【答案】 B【解析】【分析】由题意结合对数函数的单调性确定所给的对数的大小即可.【详解】由1b >可知101b <<，由于101,0a ba ，函数()log a f x x =单调递减，故11log log log 1a ab b a b <==-，且11log 0log a b b b >>，综上可得：11log log log a b a b b b <<. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，对数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.若点(a,b)在lg y x =图像上，1a ¹,则下列点也在此图像上的是A. （1a ，b ）B. (10a,1-b)C. (10a ,b+1) D. (a2,2b)【答案】D【解析】此题考查函数的方程知识因为(a,b)在lg y x =图像上，所以lg b a =。

2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第四章对数运算与对数函数第2节对数的运算

第四章 §2A 组·素养自测一、选择题1．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12等于( B ) A ．a 2＋b B ．b ＋2a C ．a ＋2bD ．a ＋b 2[解析] lg 12＝lg 4＋lg 3＝2 lg 2＋lg 3＝2a ＋b . 2．若10a ＝5，10b ＝2，则a ＋b 等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 由已知得a ＝lg 5，b ＝lg 2，故a ＋b ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故选C ．3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝⎛⎭⎫y 102的值等于( D ) A ．12m －2n －2B ．12m －2n －1 C ．12m －2n ＋1D ．12m －2n ＋2 [解析] lg x －lg (y 10)2＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.4．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( D ) A ．2a ＋b1＋a ＋bB ．2a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 2－a ＋bD ．2a ＋b 1－a ＋b[解析]lg 12lg 15＝lg 3＋2lg 2lg 3＋(1－lg 2)＝2a ＋b 1－a ＋b. 二、填空题5．计算：2713＋lg 4＋2lg 5－e ln3＝__2__． [解析] 2713＋lg 4＋2lg 5－e ln 3＝(33)13＋(lg 4＋lg 25)－e ln3＝3＋2－3＝2.6．方程log 2(x 2－8)＝1＋log 2x 的解是__x ＝4__． [解析] ∵log 2(x 2－8)＝1＋log 2x ， ∴x 2－8－2x ＝0，∴x ＝4或－2(舍去)．三、解答题7．计算下列各式的值： (1)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2；(2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.[解析] (1)原式＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.B 组·素养提升一、选择题1．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( B ) A ．83B ．103C ．2D ．1[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103，故选B ．2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A ． 3．(多选题)下列等式不成立的是( CD ) A ．ln e ＝1 B ．13a 2＝a －23C ．lg (MN )＝lg M ＋lg ND ．log 2(－5)2＝2log 2(－5)[解析] 根据对数式的运算，可得ln e ＝1，故A 成立；由根式与指数式的互化可得13a 2＝a －23，故B 成立；取M ＝－2，N ＝－1，发现C 不成立；log 2(－5)2＝log 252＝2log 25，故D 不成立，故选CD ．4．(多选题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( AD ) A ．ab ＋bc ＝2ac B ．ab ＋bc ＝ac C ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a[解析] 由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac ，故选AD ．二、填空题5．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log (abc )x ＝__1__．[解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log (abc )x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.6．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则lg (ab )·⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝__4__． [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴lg (ab )·⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )2 ＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ] ＝2⎝⎛⎭⎫4－4×12＝4. 三、解答题7．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a ＞0，且a ≠1)，求log 8y x 的值．[解析] 由对数的运算法则，可将等式化为log a [(x 2＋4)·(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]，∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)．整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0，配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12.∴log 8y x ＝log 812＝log 232－1＝－13log 22＝－13.。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-2．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（） A ．[]3,2--B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-3．已知函数()2()ln1f x x x =+-，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减 9．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalga lgbabc+++⨯⨯的值为_____14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______． 15．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 18．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．已知3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数()2()log 41xf x kx =++是偶函数. （1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图像与直线y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()221f x xx g x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；否则，说明理由.22．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域；（2）判断()F x 奇偶性并证明；（3）若()0F x >成立，求x 的取值范围. 23．（1）解不等式()()22log 2log 36x x -≤+；（2）在（1）的条件下，求函数1114242x xy -=-⎛⎫⎛⎫⎪⎝⋅⎪⎝⎭+⎭的最大值和最小值及相应的x 的值.24．计算1132113321(4()40.1()ab a b ----⋅（其中0a >，0b >）25．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 26．化简计算：（1）0160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---，故选：C ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.2．A解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数，内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数，同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.3．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.4．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤，故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 6．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得：c a b>>，故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7．A解析：A【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．【详解】由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则1112aa-≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选A．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xxe e e >∴>解得0;x > 所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.9．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．【详解】由恬24a=，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增．故选：C ．【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．10．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．11．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<. 因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法．【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减，又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数，函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．二、填空题13．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．【详解】由0lga lgb lgc ++=，可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯=故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析：（5，+∞）【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论．【详解】由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为（5，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题15．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解. 【详解】因为()()()2442sin sin 222222x xf x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．18．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围.【详解】函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()22202111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++，设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >，综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．【分析】由在R 上单调减确定a3a-1的范围再根据单调减确定在分界点x=1处两个值的大小从而解决问题【详解】因为是上的减函数所以解得故答案为：【点睛】本题考查分段函数单调性问题关键根据单调性确定在分段解析：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由()f x 在R 上单调减，确定a ， 3a -1的范围，再根据单调减确定在分界点x =1处两个值的大小，从而解决问题. 【详解】因为3(1)4,1()1,1a a x a x f x og x x -+<⎧=⎨≥⎩是R 上的减函数，所以10013(1)4log 10a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥=⎩，解得317a ≤<，故答案为：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小，属于中档题.三、解答题21．（1）1-；（2）0a ≤；（3）存在，1m =-. 【分析】（1）由(1)(1)f f -=得1k =-，再验证此时()f x 为偶函数；（2）化简()g x ，换元，令2x t =化为关于t 的二次函数，分类讨论对称轴，求出最小值，结合已知最小值可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2()log 41xf x kx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=，即()()122log 41log 41k k -+-=++，即2252log log 54k =-2=-，解得1k =-；当1k =-时，()2()log 41xf x x =+-，()2()log 41xf x x --=++，()()22()()log 41log 412xxf x f x x ---=+-+-241log 241x x x -+=-+2log 42xx=-220x x =-=，所以()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以1k =-符合题题.（2）因为函数()y f x =的图像与直线y x a =+没有交点，所以()2241()()log 412log 4x xxf x x a x a a ⎛⎫+-+=+--=- ⎪⎝⎭21log 104x a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭无解，而21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，故0a ≤. （3）()()221f x x x g x m +=+⋅-2log (41)221xx xx m +-+=+⋅-()241214222xxxxx xm m m =++⋅-=+⋅=+⋅22(2)24xm m =+-，令2x t =，因为[]20,log 3x ∈，所以[1,3]t ∈，令22()24m m y t =+-，[1,3]t ∈，当12m -≤，即2m ≥-时，22()24m m y t =+-单调递增，所以y 的最小值为10m +=，解得1m =-；当32m -≥，即6m ≤-时，22()24m m y t =+-单调递减，所以y 的最小值为2330m +=，解得3m =-（舍）；当132m <-<，即62m -<<-时，y 的最小值为204m-=，解得0m =（舍）.综上所述：1m =-. 【点睛】关键点点睛：化简()g x ，换元，令2x t =化为关于t 的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键. 22．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确；（3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，即ln(32)ln(32)x x +>-，由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 23．（1）[)1,2-；（2）当1x =时，函数y 取最小值为1；当1x =-时，函数y 取最大值为10. 【分析】（1）由题意结合对数函数的性质可得20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解不等式组即可得解；（2）由题意令11,224x t ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则21412y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）()()22log 2log 36x x -≤+，∴20360236x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩，解得12x -≤<， ∴不等式的解集为[)1,2-；（2）当[)1,2x ∈-时，设11,224xt ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则函数222112411114244424241222x x x x t t t y -⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+ ⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，∴当12t =即1x =时，函数y 取最小值为1；当2t =即1x =-时，函数y 取最大值为21421102⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了对数函数单调性的应用及对数不等式的求解，考查了指数函数的性质、二次函数的性质及换元法的应用，属于中档题.24．85【分析】将小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，利用指数幂的运算性质化简求值. 【详解】1113132211133133221(4)1(4)()=()4410.1()()()10ab ab a b a b --------⋅⋅ 原式13113322211()()(4)()410ab a b ----=原式33333002222211848555a b a b a b --=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查指数幂的运算，要熟练掌握基本的运算法则和运算性质，小数转化为分数，根式转化为分数幂的形式，更有利于运算. 25．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算；（2）由对数运算法则计算．【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．26．（1）110；（2）-1 【分析】（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】（1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-【点睛】本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.。

2024_2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数单元整合一课一练含解析北师大版必修第一册

第四章对数运算与对数函数单元整合1.☉%￥￥￥291#1%☉(2024·安阳一中高一段考)已知集合A ={y |y =log 2x ,x >1},B ={y |y =(12)x,x >1},则A ∩B =( )。

A.{y |0<y <12} B.{y |0<y <1} C.{y |12<y <1} D.⌀答案：A 解析：由题意,依据对数函数的性质,可得集合A ={y |y =log 2x ,x >1}={y |y >0},依据指数函数的性质,可得集合B ={y |y =(12)x,x >1}={y |0<y <12}, 所以A ∩B ={y |0<y <12}。

故选A 。

2.☉%5*678##@%☉(2024·宜宾高三诊断)若函数f (x )=2a x +m-n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),则m +n 等于( )。

A.3 B.1 C.-1 D.-2 答案：C解析：由题意,函数f (x )=2a x +m -n (a >0且a ≠1)的图像恒过点(-1,4),∴m -1=0且2·a m -1-n =4,解得m =1,n =-2,∴m +n =-1。

故选C 。

3.☉%**91￥3#5%☉(2024·成都七中高一期中)函数f (x )=√x (x -1)-ln x 的定义域为( )。

A.{x |x >0} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x <0}D.{x |0<x ≤1} 答案：B解析：∵f (x )有意义,∴{x (x -1)≥0,x >0,解得x ≥1,∴f (x )的定义域为{x |x ≥1}。

故选B 。

4.☉%#9@￥8￥46%☉(2024·成都七中高一期中)已知幂函数f (x )=x a(a 是常数),则( )。

北师大版数学高一必修1同步习题 3.5对数函数

主动成长夯基达标1.函数y=)12(log 21 x 的定义域为( )A.(21,+∞)B.［1,+∞)C.(21,1］ D.(-∞,1) 思路解析：要注意到对数与被开方数均有意义,即解0＜2x-1≤1.答案：C2.已知函数y=21log (ax 2+2x+1)的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.a ＞1B.0≤a ＜1C.0＜a ＜1D.0≤a≤1思路解析：注意到是值域为R ,所以真数要能取遍所有大于零的数,此外还要注意到对a 的讨论.本题也可以使用选项中的特殊值验证的方法.答案：D3.若f(x)=log a x(a ＞0且a≠1)且a 2＜1,则f(x)的图像是( )思路解析：因为f -1(x)=a x ,又有a 2＜1,可知0＜a ＜1.答案：B4.若a=22ln ,b=33ln ,c=55ln ,则( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.c ＜a ＜b D.b ＜a ＜c思路解析：比较大小的方法有很多种,结合题目特征——对数函数,因此选用作差法,然后根据对数函数性质一一判断各差值符号.也可以使用对数的换底公式用作商法比较大小. 解法一：(作差法)∵22ln -33ln =ln 2-ln 33=ln 332=61ln(332)6=61ln 98＜0, ∴22ln ＜33ln ,即a ＜b. 又∵22ln -55ln =ln 2-ln 55=ln 552=101ln(552)10=101ln 2532＞0, ∴22ln ＞55ln ,即c ＜a.∴c ＜a ＜b.因此,选C.解法二：(作商法)依题意可知,a 、b 、c 都为正数, ∵b a =22ln ·3ln 3=9ln 8ln =log 98＜1, ∴a ＜b.又∵c a =22ln ·25ln 32ln 5ln 5==log 2532＞1, ∴c ＜a.∴c ＜a ＜b.因此,选C.答案：C5.对于函数f(x)定义域中任意的x 1、x 2(x 1≠x 2),有如下结论：①f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2)；②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2);③2121)()(x x x f x f --＞0；④f(221x x +)＜2)()(21x f x f +.当f(x)=lgx 时,上述结论中正确结论的序号是_______________________.思路解析：根据对数的运算法则和对数函数的相关性质分别计算各个式子两端的值,然后比较式子中的等号和不等号是否成立.对于选项④用数形结合法画出图像更容易判断. 解：∵f(x)=lgx,且x 1≠x 2,∴f(x 1+x 2)=lg(x 1+x 2)≠lgx 1+lgx 2,∴①不正确；f(x 1·x 2)=lg(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2),因此,②正确；∵函数f(x)=lgx 是增函数,∴f(x 1)-f(x 2)与x 1-x 2同号.∴2121)()(x x x f x f --＞0. 因此③正确；如图所示,f(221x x +)＞2)()(21x f x f +.因此④是不正确的.综上,填②③. 答案：②③6.已知函数f(x)=log a (a-a x )且a ＞1,(1)求函数的定义域和值域；(2)讨论f(x)在其定义域上的单调性.思路解析：注意到a 的取值范围.答案：(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1).(2)设1＞x 2＞x 1,∵a ＞1,∴2x a ＞1x a .于是a-2x a ＜a-1x a ,则log a (a-2x a )＜log a (a-1xa ),即f(x 2)＜f(x 1).∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数.7.设0＜x ＜1,a ＞0且a≠1,试比较|log a (1-x)|与|log a (1+x)|的大小.思路解析：有关绝对值的表达式的处理方法有平方和分类讨论.答案：解法一：平方后比较大小.∵|log a (1-x)|2-|log a (1+x)|2=[log a (1-x)+log a (1+x)][log a (1-x)-log a (1+x)]=log a (1-x 2)·log a x x +-11=|lg |12a ·lg(1-x 2)·lg xx +-11, ∵0＜x ＜1,∴0＜1-x 2＜1,0＜x x +-11＜1. ∴lg(1-x 2)＜0,lg xx +-11＜0. ∴log a 2(1-x)＞log a 2(1+x),即|log a (1-x)|＞|log a (1+x)|.解法二：分类讨论去掉绝对值.(1)当a ＞1时,|log a (1-x)|-|log a (1+x)|=-log a (1-x)-log a (1+x)=-log a (1-x 2).∵0＜1-x ＜1＜1+x,∴0＜1-x 2＜1.∴log a (1-x 2)＜0.∴-log a (1-x 2)＞0.(2)当0＜a ＜1时,由0＜x ＜1,则有log a (1-x)＞0,log a (1+x)＜0,∴|log a (1-x)|-|log a (1+x)|=|log a (1-x)+log a (1+x)|=log a (1-x 2)＞0.∴当a ＞0且a≠1时,总有|log a (1-x)|＞|log a (1+x)|.8.已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图像交于A 、B 两点,过点A 、B 作x 轴的垂线,垂足分别为E 、F,过点B 作y 轴的垂线,交EA 于C 点,若点C 恰好在函数y=log 2x 的图像上(如图3-5-6),求A 、B 、C 三点的坐标.图3-5-6思路解析：本题考查画对数函数图像的能力和几何作图能力.作出对数函数y=log 8x 和y=log 2x 的图像,正确设A 、B 、C 三点的坐标,转化为方程(组)求解.答案：如题图,设A(x 1,log 8x 1),B(x 2,log 8x 2),则C(x 1,log 8x 2).∵点C 在函数y=log 2x 的图像上,∴log 8x 2=log 2x 1,即31log 2x 2=log 2x 1.∴x 2=x 13. 又EA OE =FBOF ,∴282181log log x x x x =,即x 1log 8x 13=x 13log 8x 1,3x 1log 8x 1=x 13log 8x 1. ∵x 1＞1,∴log 8x 1≠0.∴3x 1=x 13,x 1=3,从而x 2=33.∴A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,log 83),B(33,log 833),C(3,log 83).走近高考9.(经典回放)若函数f(x)=log a x(0＜a ＜1)在区间［a,2a ］上的最大值是最小值的3倍,则a 等于( )A.42B.22C.41D.21 思路解析：根据对数函数的单调性,两个最值分别在区间的两个端点处取得.答案：A10.(经典回放)已知函数f(x)=lgxx +-11,若f(a)=b,则f(-a)等于( ) A.b B.-b C.b 1 D.-b 1 思路解析：本题考查函数的奇偶性.因为f(-x)=lgx x -+11=-lg x x +-11=-f(x),所以此函数为奇函数. 答案：B11.设函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数g(x)=121--x 的定义域为集合N.求： (1)集合M,N ；(2)集合M∩N,M ∪N.思路解析：本题考查对数函数的性质以及集合之间的运算.答案：(1)M={x|2x-3＞0}={x|x ＞23}, N={x|1-12-x ≥0}={x|13--x x ≥0}={x|x≥3或x ＜1}. (2)M∩N={x|x≥3};M ∪N={x|x ＜1或x ＞23}. 12.函数f(x)=)34(log 122-+-x x 的定义域为( ) A.(1,2)∪(2,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(1,3) D.［1,3］思路解析：对数函数在高考中很容易出现,而且多以选择的形式出现,所以对这个函数的性质的掌握是非常关键的.本题要注意到对数的真数和分数的分母都要有意义.要使函数有意义,则-x 2+4x-3＞0且-x 2+4x-3≠1,解此二次不等式可得答案A.答案:A13.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题：若函数f(x)=3+log 2x 的图像与g(x)的图像关于___________对称,则函数g(x)=__________(注：填上你认为可以成为真命题的一个情形即可,不必考虑所有可能的情形).思路解析：本题是一道开放性试题,现在的高考对此类型的题目很是推崇,对学生的开放性思维,以及知识的灵活掌握的能力提出了很高的要求.可以借助我们最了解的对称轴,以及对称中心入手.答案：如①x 轴 -3-log 2x;②y 轴 3+log 2(-x);③原点 -3-log 2(x);④直线y=x 2x-3.14.函数y=|log 2x|的图像是( )思路解析：有关函数图像的变换,是高考的一个考点,本题目的图像变换是翻折变换.可知这个函数是由y=log 2x 经上折而得到的.答案：A15.方程lgx 2-lg(x+2)=0的解集是_________________.思路解析：解有关指数、对数方程是一个重点也是一个难点,关键是先求定义域,保证方程的存在,但这一点是很容易忽略的,也可以在最后验根.∵x 2=x+2可解得x=2或-1,经检验均满足,∴{-1,2}. 答案：{-1,2}16.设函数f(x)=532+x +lg xx 2323+-, (1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明. 思路解析：(1)由3x+5≠0且xx 2323+-＞0, 解得x≠-35且-23＜x ＜23. 取交集得-23＜x ＜23. (2)令u(x)=3x+5,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数；x x 2323+-=-1+x236+随着x 增大,函数值减小, 所以在定义域内是减函数.又y=lgx 在定义域内是增函数,根据复合函数单调性可知,y=lgx x 2323+-是减函数, 所以f(x)= 532+x +lg xx 2323+-是减函数. 答案：(1){x|-23＜x ＜23}; (2)减函数.17.已知函数f(x)=log 2(1+x)+alog 2(1-x)(a ∈R ),若函数f(x)的图像关于原点对称,求a 的值. 思路解析：∵函数f(x)的图像关于原点对称,∴f(-x)+f(x)=0,即log2(1-x)+alog2(1+x)+log2(1+x)+alog2(1-x)=0,化简得(a+1)［log2(1-x)+log2(1+x)］=0.又∵log2(1+x)+log2(1-x)不恒为0,∴a=-1.答案：a=-1.。

2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第四章对数运算与对数函数第1节对数的概念

第四章 §1A 组·素养自测一、选择题1．如果N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，则有( D ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log a 2＝ND ．log a N ＝2[解析] ∵N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，∴2＝log a N .2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C ) A ．32＝9与log 39＝2 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．(－2)5＝－32与log (－2)(－32)＝5D ．100＝1与lg 1＝0[解析] 对数的底数和真数都不能为负数． 3.⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72 C ．8 D ．37[解析] ⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 124＝2×4＝8.4．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln 3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln 3，∴f (3)＝ln 3，故选B . 6．设函数f (x )＝错误!则满足f (x )＝错误!的x 值为( C ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14得x ＝3. 二、填空题 7．log (2－1)(3－22)＝__2__．[解析] 原式＝log (2－1)(2－1)2＝2.8．log 4[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝__8__．[解析] 由log 4[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1，得log 2x ＝3，得x ＝23＝8. 9．若log 31－2x9＝1，则x ＝__－13__．[解析] 因为log 31－2x 9＝1，所以1－2x9＝3，所以x ＝－13.三、解答题10．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋1)(x －1)2.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＞－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，故x 的取值范围是{x |x ＞1且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1，x －1≠0，得⎩⎨⎧x ＞－1，x ≠0，x ≠1.故x 的取值范围是{x |x ＞－1且x ≠0，x ≠1}． 11．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log 32；(2)3log 34－lg 10＋2ln1.[解析] (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1＝43＋1＝73.B 组·素养提升一、选择题1．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝30＝1，∴a ＝3，故选B .2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ACD ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD . 3．(多选题)下列等式中正确的是( AB ) A ．lg (lg 10)＝0B ．lg (ln e )＝0C ．若lg x ＝10，则x ＝10D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2[解析] 对于A ，lg (lg 10)＝lg1＝0；对于B ，lg (ln e )＝lg1＝0；对于C ，若lg x ＝10，则x ＝1010；对于D ，若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故选AB .4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A .1100B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110.二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__．[解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 6．log333＝__3__．[解析] 令log 333＝x ，∴(3)x ＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.7．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12＝4． [解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x －12＝8－12＝18＝122＝24.三、解答题8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4， ∴2－x2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝⎝⎛⎭⎫124＝116. 9．设x ＝log 23，求23x －2－3x 2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.。

北师大版高中数学必修1同步训练对数

（12）对数1、已知()0,0,1,log M ab M a b M b x =>>≠=,则log M a 的值为( )A.1xB. 1x +C. 1x -D. 1x -2、已知)()ln 3f x x =,则()()1lg lg 22f f += ( )A. 2-B.1C.0D. 1?-3、设π2log ,log log a b c === ） A ． b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>4、下列正确的是 ( )A ．log ()log log a a a x y x y ⋅=⋅B ．log ()log log a a a x y x y +=+C ．log ()log log a a a x y x y ÷=÷D ．1log log log ()a a a x y x y --=⋅5、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A.2a -B.52a -C.23(1)a a -+D.23a a -6、方程2lg(21)lg(9)x x --=-的根为（） A.2 或-4 B. -4 C.2 D.-2或47、函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠对任意正实数,x y 都有( ) A. ()()()f xy f x f y =B. ()()()f xy f x f y =+C. ()()()f x y f x f y +=D. ()()()f x y f x f y +=+8、计算235log 25log log 9⋅的结果为( ) A.3 B.4 C.5 D.69、设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则( ) A. c b a << B. b c a <<C. a c b <<D. a b c <<10、若023log 3log 4,lg 2lg5,,ln1P Q M e N =⋅=+==,则下列正确的是( )A. P Q =B. Q M =C. M N =D. N P =11、已知函数()21log ,1x f x x -=+若()1,2f a =则()f a -=_____________. 12、若4log 3a =,则22a a -+= ． 13、已知2510,m n ==则22m n += .14、计算：122231(log log8)4log 3log 4125--÷+⋅=______15、化简21log 32.5log 6.25lg0.012+++= .答案以及解析1答案及解析：答案：C 解析：∵ab M = ∴()log log 1M M ab m == 又∵()log log log M M M ab a b =+, ∴log 1log 1M M a b x =-=-.2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：C4答案及解析：答案：D 解析：5答案及解析：答案：A 解析：6答案及解析：答案：B解析：由已知，得2219x x --=-,即2280x x +-=,解得4x =-或2,经检验当2x =时,221950x x --=-=-<，舍去，所以原方程的根为4x =-,故选B.7答案及解析：答案：B解析：()log log log ()()a a a f xy xy x y f x f y ==+=+8答案及解析：答案：D解析：原式3lg 2lg 25lg lg92lg52lg326lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5=⋅⋅=⋅⋅=.9答案及解析：答案：D 解析：10答案及解析：解析：∵22323log 3log 4log 3log 22P =⋅=⋅= lg2lg5lg101Q =+==, 01,ln10M e N ====∴Q M =.11答案及解析：答案：12- 解析：12答案及解析：解析：13答案及解析：答案：2 解析：14答案及解析：答案：20 解析：15答案及解析：答案：112- 解析：。

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(答案解析)

一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--4．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac > C ．1ac =D ．01ac <<5．已知函数()2()ln1f x x x =+-，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)7．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<8．已知函数()()2ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（）A ．1-B ．1C ．5-D ．59．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减11．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．14．函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若1()y f x -=是()y f x =的反函数，则12(2)y f x x -=-的单调递增区间是__________. 15．函数()22log 617y x x =-+的值域是__．16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R 上为增函数则1log2log 2lg5lg4mm m+-=_____．18．有以下结论：①将函数xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象； ②函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称③对于函数()xf x a =(a >0,且1a ≠)，一定有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭④函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方.其中正确结论的序号为_________.19．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.20．若函数1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有最小值-2，则实数a =_______.三、解答题21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）用定义法证明()f x 在定义域上是增函数；（3）求不等式()()2520f x f x -+-<的解集.22．已知函数()log [(1)(1)]a f x x x =+-（其中0a >且1a ≠） (1)求函数()f x 的定义域，并判断它的奇偶性；(2)若2a =，当12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 23．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值；（2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 24．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明. 25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+. （1）若2m =-，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ，则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==，同理1log 4k b =，1log 6k c=，而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b=+．故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 4．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.5．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.6．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-，故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.7．A解析：A 【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5，函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减，则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ．故选A ．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．8．D解析：D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.【详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4，又(1)0f =，68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.9．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.11．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==，则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故解析：6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++，整理得：22222222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq+++++++++=1，解得：2p+q =a 2pq ，由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36，由于a ＞0，故：a=6．故答案为6 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．14．（﹣∞0）【分析】函数的图象与的图象关于轴对称可得由于是的反函数可得再利用对数函数的定义域与单调性二次函数的单调性复合函数的单调性即可得出【详解】解：函数的图象与的图象关于轴对称是的反函数解得或当时解析：（﹣∞，0）【分析】函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，可得()2-=xf x ．由于1()y f x -=是()y f x =的反函数，可得112()f x log x -=．12221122(2)(2)[(1)1]y f x x log x x log x -=-=-=--，再利用对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性即可得出．【详解】解：函数()y f x =的图象与2xy =的图象关于y 轴对称，()2x f x -∴=．1()y f x -=是()y f x =的反函数， 112()f x log x -∴=．12221122(2)(2)[(1)1]y f x x log x x log x -=-=-=--，220x x ->，解得0x <或2x >．当(,0)x ∈-∞时，函数2()(1)1u x x =--单调递减，因此12(2)y f x x -=-单调递增．12(2)y f x x -∴=-的单调递增区间是(,0)-∞．故答案为：(,0)-∞．【点睛】本题考查了反函数的求法、对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.15．【分析】设转化为函数根据在上单调递增可求解【详解】设函数则函数∵在上单调递增∴当时最小值为故答案为：【点睛】本题考察了二次函数对数函数性质综合解决问题解析：[)3,+∞【分析】设()2261738t x x x =-+=-+，转化为函数2log y t =，[)8,t ∈+∞，根据2log y t =在[)8,t ∈+∞上单调递增，可求解．【详解】设()2261738t x x x =-+=-+函数()22log 617y x x =-+，则函数2log y t =，[)8,t ∈+∞， ∵2log y t =，在[)8,t ∈+∞上单调递增， ∴当8t =时，最小值为2log 83=，故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题考察了二次函数，对数函数性质，综合解决问题．16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log 2log 272lg 5lg 4mm m∴++-=31log 23l l og 273g1003+-=故答案为：3. 【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.18．②③④【分析】①根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③根据指数函数的图象特点判断选项；④先求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：②③④ 【分析】①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求22x x -+的范围，再和0比较大小. 【详解】①根据平移规律可知xy e =的图象向右平移1个单位得到1x y e -=的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数()xf x e =与()g x lnx =的图象关于直线y =x 对称，正确；③如下图，设1a >，122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的是曲线上横坐标为122x x +的点C 的纵坐标，()()122f x f x +是线段AB 的中点D 的纵坐标，由图象可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，同理，当01a <<时，结论一样，故③正确；④2217721244x x x ⎛⎫-+=-+≥> ⎪⎝⎭ 根据函数的单调性可知()222log 2log 10x x -+>=，所以函数()22log (2)f x x x =-+的图象恒在x 轴上方，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量x 来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭和()()122f x f x +的意义，再结合图象判断正误. 19．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.20．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复合函数单调性对数方程的解法难度一般解析：12或2 【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a 的值. 【详解】当1a >时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数,min 33log 1-224a y f ⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得-214a =,即=2a ; 当01a <<时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数,()()min 6log 31-2a y f ==+=,求得-24a =,即1=2a . 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）}{23x x <<. 【分析】（1）求出函数定义域，求出()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-即可得到奇偶性；（2）任取1211x x -<<<，则()()12f x f x -122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅⎪+-⎝⎭，得出与0的大小关系即可证明；（3）根据奇偶性解()()()2522f x f x f x -<--=-，结合单调性和定义域列不等式组即可得解. 【详解】（1）由对数函数的定义得1010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x x <⎧⎨>-⎩，即11x -<<所以函数()f x 的定义域为()1,1-.因为()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以()f x 是定义上的奇函数. （2）设1211x x -<<<，则()()()()()()121122ln 1ln 1ln 1ln 1f x f x x x x x -=+---++-122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝⎭因为1211x x -<<<，所以12011x x <+<+，21011x x <-<-，于是12211101,0111x x x x +-<<<<+-.则1221110111x x x x +-<⋅<+-，所以122111ln 011x x x x ⎛⎫+-⋅< ⎪+-⎝⎭ 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，即函数()f x 是()1,1-上的增函数. （3）因为()f x 在()1,1-上是增函数且为奇函数.所以不等式()()2520f x f x -+-<可转化为()()()2522f x f x f x -<--=-所以1251121252x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得23x <<.所以不等式的解集为}{23x x <<.【点睛】此题考查判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法，解不等式需要注意考虑定义域. 22．(1)(1,1)-，()f x 在(1,1)-内为偶函数；(2)[2,0]-. 【分析】（1）由对数真数大于0可得定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；（2）确定函数在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性可得最大值和最小值，从而得值域．【详解】(1)由题意知：(1)(1)0x x +->，解得11x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-由()log [(1)(1)]()a f x x x f x -=-+=，所以函数()f x 在(1,1)-内为偶函数. (2)由2a =，有()222()log [(1)(1)]log 1f x x x x=-+=-又因为122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x在2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以min 21()log 24f x f ⎛===- ⎝⎭，max 2()(0)log 10f x f ===，所以函数()f x在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内值域为[2,0]-. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，奇偶性，单调性，值域．掌握对数函数的性质是解题关键．本题还需掌握复合函数的单调性的判断：同增异减． 23．（1）1；（2）1010．【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=．（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值．【详解】（1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 24．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. 【分析】（1）由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩，解之即可；（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证. 【详解】（1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，∴函数()()f x g x -是奇函数.（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下：当(1,1)x ∈-时，1()()log 1a x f x g x x+-=-，设1211x x -<<<，则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a ax x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-，1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->， ∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01ax x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题. 25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案. （2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案. 【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤，故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆，当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥；当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤.综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-3．形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为F n 数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，请你估算F 5是（）位数(参考数据：lg2≈0.3010). A ．8B ．9C ．10D ．114．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<5．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（）.A ．2B ．4C ．8D ．126．函数1()1x f x a +=-恒过定点（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--7．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（）A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658028．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --9．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10．设()21,xf x c b a =-，且()()()f a f c f b >>，则下列说法正确的是（） A ．0,0,0a b c <<≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是___________． ①函数()13x f x a-=+()1a > 在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③已知()f x =538x ax bx ++-，且()28f -=，则(2)8f =-； ④11()122xf x =--为奇函数． 14．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩，则()1212lg x x y y =________.15．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.17．函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若1()y f x -=是()y f x =的反函数，则12(2)y f x x -=-的单调递增区间是__________. 18．已知2312a b ==，则21a b+=_______． 19．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________.20．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤ ②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题21．已知函数()lg(2)lg(2).f x x x =++-（1）记函数()()103,f x g x x =+求函数()g x 的值域；（2）若对任意()0,2m ∈，[]0,1x ∈，都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立，求实数a的取值范围.22．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围．23．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围．24．已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(0xy f a a =>且1)a ≠在[]1,1x ∈-上的最大值为8，求实数a 的值.25．计算下列各式的值：（1）1100.753270.064()160.258---++;（2）534log 4285log lg lg 4522++-. 26．已知函数210(),22,01xx ax a x f x a a x ⎧+--≤<=⎨-≤≤⎩，其中a >0且a ≠1. （1）当12a =时，求f (x )的值域；（2）函数y =f (x )能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a 的范围；如果不能，则给出理由；（3）()2f x -在其定义域上恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数，故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．C解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---，故选：C ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.3．C解析：C 【分析】根据所给定义表示出9.632951010F =⨯，进而即可判断出其位数．【详解】根据题意，53223232lg232lg2320.30109.6320.6329521212101010101010F ⨯=+=+≈==≈==⨯，因为0.63211010<<，所以5F 的位数是10．故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即3232lg 2210=.4．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx=时，取等号所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.6．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.8．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算9．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下，所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题10．D解析：D 【详解】分析：先画出函数()21xf x =-的图像，根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a ＜0，b ＞0，c ＞0,再找正确的选项. 详解：作出函数()21xf x =-的图像，因为c b a >>且()()()f a f c f b >>，所以a ＜0， c ＞0,因为()()f a f c >，所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a ＜0，b ＞0，c ＞0.11．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >，所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ；又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成解析：①④【分析】根据指数的运算性质01(0a a =>且1)a ≠恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出()2f ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④ 【详解】解：当1x =时，101(0x a a a -==>且1)a ≠恒成立，故f （1）4=恒成立，故函数1()3(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象一定过定点(1,4)P ，故①正确；函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(0,2)，故②错误；已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则()224f =-，故③错误；11()122xf x =--的定义域为{|0}x x ≠，且112111()()122212212x x x xf x f x ---=-=-=-=----，故()f x 为奇函数，故④正确；故答案为：①④ 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．14．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运解析：6【分析】利用换底公式得出5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】由换底公式得5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②，由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()288log 2log 40y y --=，由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==，()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，因此，()61212lg lg106x x y y ==.故答案为：6.【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．15．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >，且320a -≥，∴312a <≤．故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果. 【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >，所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈，故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17．（﹣∞0）【分析】函数的图象与的图象关于轴对称可得由于是的反函数可得再利用对数函数的定义域与单调性二次函数的单调性复合函数的单调性即可得出【详解】解：函数的图象与的图象关于轴对称是的反函数解得或当时解析：（﹣∞，0）【分析】函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，可得()2-=xf x ．由于1()y f x -=是()y f x =的反函数，可得112()f x log x -=． 12221122(2)(2)[(1)1]y f x x log x x log x -=-=-=--，再利用对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性即可得出．【详解】解：函数()y f x =的图象与2xy =的图象关于y 轴对称，()2x f x -∴=．1()y f x -=是()y f x =的反函数， 112()f x log x -∴=．12221122(2)(2)[(1)1]y f x x log x x log x -=-=-=--，220x x ->，解得0x <或2x >．当(,0)x ∈-∞时，函数2()(1)1u x x =--单调递减，因此12(2)y f x x -=-单调递增．12(2)y f x x -∴=-的单调递增区间是(,0)-∞．故答案为：(,0)-∞．【点睛】本题考查了反函数的求法、对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.18．【分析】根据指对互化先计算出的结果然后计算的结果由此即可计算出的结果【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将化为对数形式然后根据对数运算法则完成计算解析：1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果，然后计算11,a b 的结果，由此即可计算出21a b+的结果. 【详解】因为2312a b ==，所以23log 12,log 12a b ==，所以121211log 2,log 3a b==，所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b +=+=+==，故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式，然后根据对数运算法则完成计算.19．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2x f x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)，将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-，所以()21xf x =-，则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.20．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的;解析：①②④ 【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可. 【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确; ②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题.三、解答题21．（1）256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦；94a > 【分析】（1）由()()103f x g x x =+化简得()234g x x x =-++，再结合函数定义域和二次函数增减性即可求解；（2）2()lg 25<--+f x m m a 恒成立，即2max ()lg 25f x m m a <--+，求得max()f x 再分离参数a ，得22a m m >-++，即()2max 2a m m >-++恒成立，求得()2max 2m m -++即可求解a 的取值范围. 【详解】（1）()()()()2()lg 2lg 2lg 4,2,2f x x x x x =++-=-∈-，则()()2()10343,2,2f x g x x x x x =+=-+∈-，()g x 对称轴为32x =，当32,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()g x 单增，当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x 单减，故()max 32524g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2x =-时，代入243x x -+得4466--=-，故()g x 的值域为256,4⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）对任意()0,2m ∈，[]0,1x ∈，都有2()lg 25<--+f x m m a 恒成立，即2max ()lg 25f x m m a <--+恒成立，当[]0,1x ∈时，()2()lg 4f x x=-单调递减，()()max02lg 2f x f ==，即22lg 2lg 25m m a <--+，化简得22a m m >-++恒成立，即()2max 2a m m >-++恒成立，当12m =时，()2max 11922424m m -++=-++=，即94a >【点睛】关键点睛：本题考查求复合函数的值域，由函数在定区间恒成立求参数取值范围，解题关键在于：（1）求复合函数值域除了正确化简表达式之外，还必须在定义域的基础之上求解对应最值；（2）恒成立问题求参数取值范围常采用分离参数法求解，关键在于能正确理解全称命题与存在命题的等价转化.22．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足；当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有0a >⎧⎨∆<⎩；若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-．【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间；（Ⅲ）分段讨论可解出不等式.【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=，所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；（Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤，所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-，所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<，所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立，所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->，所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意，综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解.24．（1）2()361f x x x =--；（2）3a =或13a = 【分析】（1）由(0)(2)f f =，可知()f x 关于1x =对称，结合(1)4f =-、(0)1f =-，可求出函数()f x 的解析式；（2）分1a >和01a <<两种情况，分别讨论函数()xy f a =的最大值，令最大值等于8，可求出实数a 的值. 【详解】（1）∵(0)(2)1f f ==-，∴函数()f x 关于1x =对称，又(1)4f =-，故设2()(1)4f x b x =--，0b ≠，而(0)1f =-，41b ∴-=-，解得3b =，2()3(1)4f x x ∴=--，即2()361f x x x =--.（2）①当1a >时，101a <<，由11x -≤≤，则1x a a a≤≤，由二次函数的性质可知，()xf a 的最大值为1(),()f f a a中的较大者，若211()3(1)48f a a=--=，解得13a =或1a =-，都不符合题意，舍去；若()23(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，只有3a =符合题意. ②当01a <<时，11a >，由11x -≤≤，则1x a a a≤≤，由二次函数的性质可知，()xf a 的最大值为1(),()f f a a中的较大者，若211()3(1)48f a a=--=，解得13a =或1a =-，只有13a =符合题意；若()23(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，都不符合题意.综上所述，实数a 的值为3a =或13a =. 【点睛】易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项：（1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点；（2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小；（3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大.25．（1）10 （2）0 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；（2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】解:（1）1100.753270.064()160.258---++()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51182210=（2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算. 26．（1）()f x 的值域为9[16-，1]；（2）能，a 的取值集合为{2}；（3）232a -. 【分析】（1）由二次函数和指数函数的值域求法，可得()f x 的值域；（2）讨论1a >，01a <<，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求（3）讨论x 的范围和a 的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．【详解】（1）当10x -<时，21122y x x =+-，对称轴为1[14x =-∈-，0)，可得y 的最小值为916-，y 的最大值为0；当01x 时，12?()1[02xy =-∈，1]；综上()f x 的值域为9[16-，1]；（2）当1a >时，函数22xy a a =-在[0，1]递增，故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递增，1222aa a⎧--⎪⎨⎪--⎩，故只有2a =符合要求；当01a <<时，函数22xy a a =-在[0，1]递减，故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递减，0222aa a⎧-⎪⎨⎪--⎩，无解．综上，a 的取值集合为{2}；（3）①当[1x ∈-，0]时，22x ax a +--恒成立，即有2(1)2a x x ---，即221x a x+-，由221x y x+=-，令1t x =-，[1t ∈，2]，可得32232y t t=+--，当且仅当t =时，取得等号，可得232a -；②当[0x ∈，1]时，①当1a >时，22x y a a =-，222x a a --，即有222a -，求得2a ，故12a <； ②当01a <<时，成立，综上可得a 的范围为232a -．本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．。

新教材北师大版高中数学必修第一册第四章对数运算和对数函数课后练习含解析

第四章对数运算和对数函数课后练习1、对数的概念................................................................................................................ - 1 -2、对数的运算................................................................................................................ - 5 -3、对数函数的概念...................................................................................................... - 10 -4、对数函数y=log2x的图象和性质............................................................................ - 13 -5、对数函数y=log a x的图象和性质 ............................................................................ - 18 -6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.......................................................... - 25 -1、对数的概念基础练习1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=8,所以=.【补偿训练】若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,需,解得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知a=log23,则2a= .【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:33.e0++= .【解析】原式=1+2+8=11.答案:114.把对数式log84=x化成指数式是;可求出x= . 【解析】因为log84=x,所以8x=4,所以23x=22,所以x=.答案:8x=45.(1)将log232=5化成指数式.(2)将3-3=化成对数式.(3)log4x=-,求x.(4)已知log2(log3x)=1,求x.【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.(2)因为3-3=,所以log3=-3.(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.提升练习一、单选题(每小题5分,共10分)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )A.128B.16C.8D.256【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,则f(log2x)=2x=24=16.2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x= ( )A.log 37-log32B.lo 4C.log34D.log37【解析】选C.2×9x-28=,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )A.a2+b2≥B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2D.+≤【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确.4.下列各式正确的有( )A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若10=lg x,则x=10D.若log25x=,则x=±5【解析】选AB.对于A,因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以A对;对于B,因为lg(ln e)=lg 1=0,所以B对;对于C,因为10=lg x,所以x=1010,C错;对于D,因为log25x=,所以x=2=5.所以只有AB正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若log a2=m,log a3=n,其中a>0,且a≠1,则a m+n= .【解析】log a2=m,可得a m=2.log a3=n,a n=3.a m+n=a m a n=2×3=6.答案:66.(2020·绍兴高一检测)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解x= .【解析】因为x=2是方程的解,所以log a(52-32)=2.所以a2=16,且a>0,所以a=4.当a=2时,log2(5x-3x)=x.所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.答案:4 1【补偿训练】方程log3(9x-4)=x+1的解x= .【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,所以(3x)2-3·3x-4=0,所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).答案:log34四、解答题7.(10分)若lo x=m,lo y=m+2,求的值.【解析】因为lo x=m,所以=x,x2=.因为lo y=m+2,所以=y,y=,所以====16.【补偿训练】已知log a b=log b a(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=. 【证明】令log a b=log b a=t,则a t=b,b t=a,所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.所以a=b或a=.2、对数的运算基础练习1.化简2lg 5+lg 4-的结果为( )A.0B.2C.4D.6【解析】选A.原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.2.+等于( )A.lg 3B.-lg 3C.D.-【解析】选C.原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.3.(2020·新乡高一检测)设a=lg 6,b=lg 20,则log23= ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=1+lg 2,所以log23==.4.计算:2-1+lg 100-ln= .【解析】原式=+2-=2.答案:25.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,所以=log c3,=log c5,所以+=log c15.由log c15=2得c2=15,即c=(负值舍去).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2·…·x2 020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.4B.8C.16D.2log48【解析】选B.因为函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),f(x1x2…x2 020)=4,所以f(x1x2…x2 020)=log a(x1x2…x2 020)=4,所以f()+f()+…+f()=log a(××…×)=log a(x1x2…x2 020)2=2log a(x1x2…x2 020)=2×4=8.2.(2020·全国卷Ⅰ)设alog34=2,则4-a= ( )A. B. C. D.【解题指南】首先根据题中所给的式子,结合对数的运算法则,得到log34a=2,即4a=9,进而求得4-a=,得到结果.【解析】选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=.3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,所以lg=10.1,则=1010.1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若log a b+log b a=,a b=b a,则可以取的值有( )A. B. C. D.2【解析】选AD.令t=log a b,则t+=,所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,所以log a b=或log a b=2.所以a=b2或a2=b.又因为a b=b a,所以2b=a=b2或b=2a=a2.所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以=2或=.三、填空题(每小题5分,共10分)5.(lg 5)2-(lg 2)2+lg 4= .【解析】原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+lg 4=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:16.已知lg a+b=3,a b=100,则a lg 2·b= .【解析】lg a+b=3,a=103-b,又因为a b=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,所以b=1或2,a=100或10,所以a lg 2·b=102lg 2·1=4或a lg 2·b=10lg 2·2=2×2=4.答案:4四、解答题7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:(1)(log32+log92)(log43+log83)+;(2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22.【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+=+5=···+5=×+5=. (2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22=2lg 5+lg 23+lg 5·lg(4×5)+lg22=2lg 5+2lg 2+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2(lg 5+lg 2)+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2+(lg 5+lg 2)2=2+1=3.【补偿训练】计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2)log2+log212-log242-1.【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5= log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.(2)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.3、对数函数的概念基础练习1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,则f(2)等于( )A.3B.C.-log36D.-log38【解析】选B.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,所以解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(2)=log2=.2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f=( )A. B.2 C. D.【解析】选C.由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f==.3.若函数y=f(x)是函数y=5x的反函数,则f(f(5))= .【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x.所以f(f(5))=f(log55)=f(1)=log51=0.答案:04.若对数函数f(x)=log a x的图象过点(2,1),则f(8)= .【解析】依题意知1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3. 答案:35.已知函数f(x)=log 3x+lo x,则f()= .【解析】f()=log3+lo=-=0.答案:06.写出下列函数的反函数:(1)y=lo x;(2)y=πx;(3)y=.【解析】(1)对数函数y=lo x,它的底数是,它的反函数是y=;(2)指数函数y=πx,它的底数是π,它的反函数为y=logπx;(3)指数函数y=,它的底数是,它的反函数是y=lo x.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=x,所以f()==-.2.若f(x3)=lg x,则f(2)= ( )A.lg 2B.3lg 2C.-3lg 2D.lg 2【解析】选D.由x3=2得x=,所以f(2)=f[()3]=lg =lg 2.3.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)= ( )A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)【解析】选D.设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列函数表达式中,是对数函数的有( )A.y=log a x(a∈R)B.y=log8xC.y=log x(x+2)D.y=logπx【解析】选BD.由于形如y=log a x(a>0,且a≠1)的函数即为对数函数,符合此形式的函数表达式有BD,其他的均不符合.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数,则a= .【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.答案:56.已知函数f(x)=log a(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)= ,f(30)= .【解析】代入(6,3),得3=log a(6+2)=log a8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232,令log232=m,所以2m=32,所以m=5. 答案:log2(x+2) 5三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=log a(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.【解析】因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,所以a<.又a>0且a≠1,所以0<a<1或1<a<,所以实数a的取值范围为(0,1)∪.4、对数函数y=log2x的图象和性质基础练习1.若f为y=2-x的反函数,则f的图象大致是( )【解析】选C.由题意,f(x)与y=2-x=的图象关于y=x对称,即f(x)=x,故f(x-1)=(x-1),所以f(x-1)的图象就是将f=x右移一个单位得到.【补偿训练】已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )【解析】选C.f(x)与y=log2x互为反函数,因此f(x)=2x,故y=f(1-x)=21-x=,该函数图象是由y=的图象向右平移1个单位得到的.2.设函数f(x)=则f(f(-1))= ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选D.因为-1<0,所以f(-1)=2-1=;因为>0,所以f=log2=log22-1=-1.故f(f(-1))=-1.3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R【解析】选C.结合f(x)=log2x的图象(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.4.已知m,n∈R,函数f(x)=m+log n x的图象如图,则m,n的取值范围分别是 ( )A.m>0,0<n<1B.m<0,0<n<1C.m>0,n>1D.m<0,n>1【解析】选C.由图象知函数为增函数,故n>1.又当x=1时,f(x)=m>0,故m>0.5.已知函数f(x)=log2(2x-a),若f(2)=0,则a= .【解析】由题意,f(2)=0,即log2(4-a)=0,可得4-a=1,则a=3.答案:36.已知f(x)=|log3x|.(1)画出这个函数的图象;(2)当0<a<2时,f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围.【解析】(1)如图.(2)令f(a)=f(2),即|log3a|=|log32|,解得a=或a=2.从图象可知,当0<a<时,满足f(a)>f(2),所以a的取值范围是.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.f(x)=①当x≤1时,21-x≤2⇒≤1,所以2x≥1,所以x≥0,又x≤1,所以0≤x≤1;②当x>1时,1-log2x≤2,所以log2x≥-1恒成立,所以x>1.综上所述x≥0.2.函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2x的图象的交点个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图,由图象可知f(x)与g(x)的交点个数为3.3.已知f(x)=|log2x|,若>a>b>1,则( )A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(a)>f(c)【解析】选C.先作出函数y=log2x的图象,再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,这样,我们便得到了y=|log2x|的图象,如图.由图可知,f(x)=|log2x|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是f>f(a)>f(b),又f=|log2|=|-log2c|=|log2c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).【补偿训练】设a,b,c均为正数,且2a=a,=b,=log2c,则 ( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.由函数y=2x,y=,y=log2x,y=x的图象可得出a<b<c.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知log2=log2,则x的值可以为( )A.2B.3C.-2D.-3【解析】选AB.由已知等式,得5x-2=x2+4,解得x1=2,x2=3.经验证均符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)5.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f= ,当x<0时,f(x)= .【解析】因为f(x)是奇函数,所以f=-f=-log2=;设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:-log2(-x)6.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 【解析】因为f(x)=log2x在区间[a,2a]上单调递增,所以f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:1四、解答题7.(10分)(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何变化得到的? (2)在给出的坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象;(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设M=x1x2-2(x1+x2)+4,请判断M的符号.【解析】(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象,如图所示.(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,所以M=x1x2-2(x1+x2)+4=(x1-2)(x2-2)<0.5、对数函数y=log a x的图象和性质基础练习1.若a=log67,b=log76,c=loπ,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】选C.log 67>log66=1,0=log71<log76<log77=1,loπ<lo1=0,所以c<b<a.2.已知x=ln π,y=log5,z=,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x【解析】选D.因为ln π>ln e=1,log5<log51=0,0<<1,所以y<z<x.3.若函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.4【解析】选B.当a>1时,a+log a2+1=a,log a2=-1,a=(舍去).当0<a<1时,1+a+log a2=a,所以log a2=-1,a=.4.(2020·北京高考)函数f(x)=+ln x的定义域是.【解析】由得x>0.答案:(0,+∞)5.已知函数f(x)=lg(2+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为.【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2),且满足不等式f(2x-1)<f(3),所以(2x-1)2<9,即-3<2x-1<3,解得-1<x<2.答案:(-1,2)6.已知函数f(x)=log a(x+2)+log a(3-x),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.【解析】(1)要使函数有意义,则解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2,3).(2)函数f(x)=log a[(x+2)(3-x)]=log a(-x2+x+6)=log a,因为-2<x<3,所以0<-+≤,因为0<a<1,所以log a≥log a,即f(x)min=log a,由log a=-4,得a-4=,所以a=.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为( )【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B.又x>0时,f(x)=ln(x+1),所以D项正确.2.(2020·天津高考)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【解题指南】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c的大小关系. 【解析】选D.因为a=30.7>1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.3.已知函数f(x)=2lo x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( )A. B.[-1,1]C. D.∪【解析】选A.因为已知函数的值域为[-1,1],所以-≤lo x≤,化简解得≤x≤,故函数f(x)的定义域为.4.函数y=f(x)=lg是( )A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解题指南】利用函数奇偶性的定义,结合对数的运算判断.【解析】选B.已知函数的定义域是R,因为f=lg=lg=-lg=-f.所以函数f(x)是奇函数.【误区警示】本题容易出现未能变形得出f与f的关系,从而错选D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知A={x|2≤x≤π},定义在A上的函数y=log a x(a>0,且a≠1)的最大值比最小值大1,则底数a的值为( )A. B. C.π-2 D.2-π【解析】选AB.当0<a<1时,函数f(x)在[2,π]上单调递减,故log a2-log aπ=1,故a=;当a>1时,函数f(x)在[2,π]上单调递增,故log aπ-log a2=1,故a=.6.若实数a,b满足log a2<log b2,则下列关系中成立的是( )A.0<b<a<1B.0<a<1<bC.a>b>1D.0<b<1<a【解析】选ABC.根据题意,实数a,b满足log a2<log b2,对于A,若a,b均大于0小于1,依题意,必有0<b<a<1,故A有可能成立;对于B,若log b2>0>log a2,则有0<a<1<b,故B有可能成立;对于C,若a,b均大于1,由log a2<log b2,知必有a>b>1,故C有可能成立;对于D,当0<b<1<a时,log a2>0,log b2<0,log a2<log b2不能成立.【光速解题】选ABC.可以分别取符合答案条件的a,b,验证log a2<log b2是否成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=log a(2x-3)+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为,若点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .【解析】因为log a1=0,所以当2x-3=1,即x=2时,y=4,所以点A的坐标是(2,4).设幂函数f(x)=x α,因为幂函数f(x)=xα的图象过点A(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以幂函数为f(x)=x2,则f(3)=9.答案:(2,4) 98.已知函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是.【解析】因为函数f(x)的图象恒过定点(m,n),令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=3,可得它的图象恒过定点(-1,3),所以m=-1,n=3.因为函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3 在[1,+∞)上单调递减,所以-b≤1,所以b≥-1.答案:[-1,+∞)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=log a(1-ax)(a>0且a≠1),(1)若a>1,解不等式f(x)<0;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a>1,log a(1-ax)<0,所以log a(1-ax)<0=log a1,所以0<1-ax<1,所以-1<-ax<0,解得0<x<.所以a>1时,不等式的解集为.(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,而t=1-ax在区间(0,2]上单调递减, 所以0<a<1,且t>0.再由解得0<a≤,则实数a的取值范围为.【补偿训练】设f(x)=log a(3+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.【解析】(1)f(0)=log a3+log a3=2log a3=2,所以a=3.所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以解得-3<x<3.所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2),且x∈(-3,3);所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,最小值为log33=1.10.已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.【解析】(1)要使函数g(x)的解析式有意义,则解得x∈[1,4],故函数g(x)的定义域为[1,4].(2)令t=log2x,x∈[1,4],则t∈[0,2],y=g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+2(3+log2x2)=(log2x+5)2-10=(t+5)2-10,由函数y=(t+5)2-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线,故函数y=(t+5)2-10在[0,2]上单调递增,故当t=0时,y=g(x)取最小值15,当t=2时,y=g(x)取最大值39.创新练习1.已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a),则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(1,3)【解析】选A.根据题意可得f(x)=所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;根据题意可知,⇒0<a<2;①当0<a<1,2-a>1时,因为f(a)>f(2-a),所以-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1;⇒0<a<1;②当a=1时,f(a)=f(2-a)不符合题意(舍);③当1<a<2,0<2-a<1时,因为f(a)>f(2-a),所以ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,解得a∈∅;综上,a的取值范围为(0,1).2.若定义运算f(a⊗b)=则函数y=f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是( )A.(-1,1)B.[0,1)C.[0,+∞)D.[0,1]【解析】选B.由题意得f(a b)=所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))=当0≤x<1时,函数为y=log2(1+x),因为y=log2(1+x)在[0,1)上单调递增,所以y∈[0,1),当-1<x<0时,函数为y=log2(1-x),因为y=log2(1-x)在(-1,0)上单调递减, 所以y∈(0,1),由以上可得y∈[0,1),所以函数f(log2(1+x)log2(1-x))的值域为[0,1).6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础练习1.以下四种说法中,正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0,x n>log a xC.对任意的x>0,a x>log a xD.不一定存在x0,当x>x0时,总有a x>x n>log a x【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有a x>x n>log a x,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( ) A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x 1.99 3 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16; ②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8; ④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选.【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.答案:④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下说法:①第4个月时,残留量就会低于;②每月减少的有害物质质量都相等;③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=<,故①正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.答案:①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=log a(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为米.t/年 1 2 3 4 5 6h/米0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】根据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=log a(t+1)中,得1=log a3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=log a(t+1) 2四、解答题(每小题10分,共20分)7.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).8.若不等式3x2<log a x在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<log a x,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x2<log a x在x∈内恒成立,当x∈时,若a>1,则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;当0<a<1时,y=log a x的图象必过点A或在这个点的上方,则log a≥, 所以a≥,所以≤a<1.综上,a的取值范围是.。

高一北师大版数学必修1同步练习3-5-3对数函数的图像和性质)

3-5-3 对数函数的图像和性质基础巩固一、选择题1．函数y ＝log 2(x －1)2－x 的定义域是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] B[解析] 函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>02－x >0，∴1<x <2.故选B.2．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43[答案] C[解析] 由对数函数知log 40.3<0，由指数函数知30.4>1，而0.43＝0.064∈(0,1)， ∴log 40.3<0.43<30.4.故选C.3．若0<a <1，且函数f (x )＝|log a x |，则下列各式中成立的是( )A ．f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f (2)[答案] D[解析] f (2)＝log a 12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log a 14. ∵y ＝log a x 有x ∈(0，＋∞)， ∵0<a <1，∴y ＝log a x 为减函数．∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，∴选D.4．y ＝log π3(x 2＋2x －3)的递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－3,1) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，－3)[答案] A[解析] 由x 2＋2x －3>0得x <－3或x >1，设μ＝x 2＋2x －3则y ＝log π3μ；μ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，当x ∈(－∞，－3)时，μ＝x 2＋2x －3是减函数，当x ∈(1，＋∞)时，μ＝x 2＋2x －3是增函数，又y ＝log π3μ在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝log π3(x 2＋2x －3)的递增区间为(1，＋∞)．5．与函数y ＝10lg(x －1)的图像相同的函数是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝|x －1|C ．y ＝x －1x ＋1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －12[答案] D[解析] y ＝10lg(x －1)的定义域为{x |x >1}．∴y ＝x －1(x >1)．在A ，B ，C ，D 中，只有D 是y ＝x －1且x >1.故选D.6．log 43、log 34、log43 34的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log43 34B ．log 34>log 43>log43 34C ．log 34>log43 34>log 43D ．log43 34>log 34>log 43[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵log 34>log 33＝1， log 43<log 44＝1，又0<34<1，43>1， ∴log4334<0.故有log43 34<log 43<log 34.所以选B.二、填空题7．(2012·福建模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 21x ＋2(x >0)3x (x ≤0)，则f [f (2)]的值为________．[答案] 19[解析] f (2)＝log 212＋2＝log 214＝log 22－2＝－2，∴f [f (2)]＝f (－2)＝3－2＝19.8．不等式log34(x ＋1)>log34(3－x )的解集是________．[答案] {x |－1<x <1}[解析]原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>03－x >0x ＋1<3－x，解得－1<x <1.三、解答题9．已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)， (1)求f (x )的定义域、值域和反函数； (2)判断f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式：f －1(x 2－2)>f (x )．[解析] (1)要使函数有意义，只须a －a x >0，即a x <a . 又∵a >1，∴x <1，定义域为(－∞，1)，又∵log a (a －a x )<log a a ＝1，∴值域为(－∞，1)，设y ＝log a (a －a x )，∴a y ＝a －a x ，∴a x ＝a －a y ， ∴x ＝log a (a －a y )，∴f (x )的反函数为f －1(x )＝log a (a －a x )(x ∈(－∞，1)) (2)设x 1<x 2<1，Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝log a (a －ax 2)－log a (a －ax 1) ＝log a a －ax 2a －ax 1<log a 1＝0，即f (x )为减函数．(3)由题意知log a (a －ax 2－2)>log a (a －a x )， ∴ax 2－2<a x .∴x 2－2<x ，解得－1<x <2.又∵f (x )定义域为(－ ∞，1)， ∴原不等式解集为{x |－1<x <1}.能力提升一、选择题1．函数y ＝lg(21＋x －1)的图像关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C[解析] ∵y ＝lg(21＋x －1)＝lg(2－1－x 1＋x )＝lg(1－x 1＋x )，∵1－x1＋x ＞0，∴－1＜x ＜1，令f (x )＝lg(1－x 1＋x)，∴f (－x )＝lg(1＋x 1－x )＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴函数为奇函数，其图像关于原点对称．2．(2011·重庆文)设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a log 13 23>log 13 34，即c 1，2a ＋1>0，2a ＋1<3a ，0<3a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a ＋1>3a ，3a >1.解得13<a <1.4．(2010·全国Ⅰ理)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则a ，b ，c大小关系为______．[答案] c <a <b[解析] a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln2＝1log 2e ，而log 23>log 2e >1，所以a 2＝log 24>log 23，所以c <a ，综上c <a 0的x 的取值范围．[解析] (1)要使函数有意义，应满足1＋x1－x >0，∴(x －1)(x ＋1)<0，∴－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)要使f (x )＝ln 1＋x 1－x >0，则有1＋x1－x >1，∴1＋x1－x－1>0， ∴2x 1－x >0，∴x (x －1)<0，∴0<x <1， ∴使f (x )>0的x 的取值范围为(0,1)．6．讨论函数f (x )＝log a [(3x ＋1)(x －1)]的单调性．[解析] 由(3x ＋1)(x －1)>0得函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <－13.则当a >1时，若x >1，∵u ＝(3x ＋1)(x －1)＝3x 2－2x －1 ＝3(x －13)2－43为增函数，∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数．若x <－13，∵u ＝3x 2－2x －1为减函数， ∴f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数．当0<a <1时，若x >1，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为减函数；若x <－13，则f (x )＝log a (3x 2－2x －1)为增函数．7．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，比较f (x )与g (x )的大小． [解析] 易知f (x )，g (x )的定义域均为(0,1)∪(1，＋∞)，f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4.(1)当x >1时，若3x 4>1，则x >43，这时f (x )>g (x )；若3x 4<1，则1<x <43，这时f (x )<g (x )；若3x 4＝1，则x ＝43，这时f (x )＝g (x )．(2)当0<x <1时，0<3x 4<1，log x 3x4>0，这时f (x )>g (x )．故由(1)(2)可知，当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )>g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )<g (x )．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

对数与对数函数同步练习
一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）
A 、2a -
B 、52a -
C 、2
3(1)a a -+ D 、 23a a -
2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N
M
的值为（） A 、
4
1
B 、4
C 、1
D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1
log (1),log ,log 1y a a a x m n x
+==-则等于（）
A 、m n +
B 、m n -
C 、()12m n +
D 、()1
2m n -
4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g
的两根是,αβ，则αβg 的值是（） A 、lg5lg 7
g
B 、lg35
C 、35
D 、35
1
5、已知732log [log (log )]0x =，那么12
x -
等于（）
A 、1
3 B C D
6、函数2lg 11y x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
的图像关于（） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称
7、函数(21)log x y -= ）
A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U
B 、()1,11,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭U
C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
8、函数212
log (617)y x x =-+的值域是（）
A 、R
B 、[)8,+∞
C 、(),3-∞-
D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）
A 、 1 m n >>
B 、1n m >>
C 、01n m <<<
D 、01m n <<<
10、2
log 13
a
<，则a 的取值范围是（） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）
A 、12
log (1)y x =+ B 、2log y =C 、2
1log y x = D 、2
log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（） A 、在(),0-∞上是增加的 B 、在(),0-∞上是减少的 C 、在(),1-∞-上是增加的 D 、在(),0-∞上是减少的
二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

14、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是。

15、2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=g 。

16、函数)
()lg
f x x =是（奇、偶）函数。

对数与对数函数同步练习答题卷
班级姓名学号成绩
13、 14、 15、 16、三、解答题：（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、已知函数1010()1010x x x x
f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。

18、已知函数2
2
2(3)lg 6
x f x x -=-，
(1)求()f x 的定义域； (2)判断()f x 的奇偶性。

19、已知函数232
8()log 1
mx x n
f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值。

对数与对数函数同步练习参考答案
13、12 14、{}132x x x <<≠且由301011x x x ->⎧⎪
->⎨⎪-≠⎩
解得132x x <<≠且 15、2
16、奇，
)(),()1lg(11lg )1lg()(222x f x f x x x
x x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且Θ为
奇函数。

三、解答题
17、（1）221010101(),1010101x x x x
x x f x x R ----==∈++，221010101
()(),1010101
x x x x x
x f x f x x R -----==-=-∈++ ∴()f x 是奇函数
（2）2122101
(),.,(,)101
x x f x x R x x -=∈∈-∞+∞+设，且12x x <，
则12121
212
22221222221011012(1010)
()()0101101(101)(101)
x x x x x x x x f x f x ----=-=<++++，1222(10 10)x x <Q ∴()f x 为增函数。

18、（1）∵()()222
2233(3)lg lg 633
x x f x x x -+-==---，∴3()lg 3x f x x +=-，又由062
2>-x x 得233x ->， ∴ ()f x 的定义域为()3,+∞。

（2）∵()f x 的定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数。

19、由2
32
8()log 1
mx x n f x x ++=+，得22831y
mx x n
x ++=
+，即()23830y y m x x n --+-=g ∵,644(3)(3)0y y x R m n ∈∴∆=---≥，即23()3160 y y m n mn -++-g
≤ 由02y ≤≤，得139y ≤≤，由根与系数的关系得19
1619m n mn +=+⎧⎨-=⎩g
，解得5m n ==。