2020年内蒙古通辽市中考数学试题卷附答案解析

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2020年内蒙古通辽市中考数学试卷

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A ．50.310⨯B ．4310⨯C ．33010⨯D ．3万2．（3分）下列说法不正确的是( )A ．2a 是2个数a 的和B ．2a 是2和数a 的积C ．2a 是单项式D ．2a 是偶数3．（3分）下列事件中是不可能事件的是( )A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是() A ．B ．C ．D ．5．（3分）关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是( )A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k 且0k ≠D ．1k6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A ．B ．C ．D ．7．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，72P ∠=︒，则(C ∠= )A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒8．（3分）如图，AD 是ABC ∆的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )A ．90BAC ∠=︒B ．90DAE ∠=︒C ．AB AC =D ．AB AE =9．（3分）如图，OC 交双曲线k y x=于点A ，且:5:3OC OA =，若矩形ABCD 的面积是8，且//AB x 轴，则k 的值是( )A ．18B ．50C ．12D ．2009 10．（3分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解2(1)(1)ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）计算：（1）0(3.14)π-= ；（2）2cos45︒= ；（3）21-= ．12．（3分）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a 的值是；（3）方差是．13．（3分）如图，点O 在直线AB 上，581728AOC ∠=︒'''．则BOC ∠的度数是．14．（3分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n +个正方形比第n 个正方形多个小正方形．15．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．（3分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则2PA ，2PB ，2PC 三者之间的数量关系是．17．（3分）如图①，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC x =，PA PE y +=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a b +的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：232x x=-． 19．（6分）从A 处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A 处与楼的水平距离AD 为90m ．若tan 0.27α=，tan 2.73β=，求这栋楼高．20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※23=--，如：n m n mn m1※2=⨯-⨯-⨯=-．21212326（1）求(2)-※3；m-，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．（2）若3※621．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）如图，O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且2=，求证：PC PB PA ⊥．AB CD23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）某服装专卖店计划购进A ，B 两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元．（1）求A ，B 型服装的单价；（2）专卖店要购进A ，B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半轻为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1/cm s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为()t s ．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称，点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A ．50.310⨯B ．4310⨯C ．33010⨯D ．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：4310⨯．故选：B ．2．（3分）下列说法不正确的是( )A ．2a 是2个数a 的和B ．2a 是2和数a 的积C ．2a 是单项式D ．2a 是偶数【解答】解：.2A a a a =+，即2a 是2个数a 的和，说法正确；.2B a 是2和数a 的积，说法正确；.2C a 是单项式，说法正确；.2D a 不一定是偶数，故原说法错误．故选：D ．3．（3分）下列事件中是不可能事件的是( )A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨【解答】解：A 、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B 、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C 、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D 、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C ．4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是() A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．α∠与β∠互余，故本选项正确；B ．αβ∠=∠，故本选项错误；C ．αβ∠=∠，故本选项错误；D ．α∠与β∠互补，故本选项错误，故选：A ．5．（3分）关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是( )A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k 且0k ≠D ．1k【解答】解：0k =时，是一元一次方程，有实数根；k 不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△0，∴△224(6)490b ac k =-=--⨯，解得1k ，故选：D ．6．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B 中作了两个交的平分线．故选：B ．7．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，72P ∠=︒，则(C ∠= )A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒【解答】解：连接OA 、OB ， PA ，PB 分别为O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，90PAO ∴∠=︒，90PBO ∠=︒，360360909072108AOB PAO PBO P ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得，1542C AOB ∠=∠=︒，故选：C ．8．（3分）如图，AD 是ABC ∆的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．2．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．3．（3分）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A．折线图B．条形图C．直方图D．扇形图4．（3分）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．（3分）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（）A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.46．（3分）近似数5.0×102精确到（）A．十分位B．个位C．十位D．百位7．（3分）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元8．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（3分）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△PAB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）不等式组的整数解是．12．（3分）如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=．13．（3分）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是．14．（3分）若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是．15．（3分）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=．16．（3分）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为．17．（3分）如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，共69分）18．（5分）计算：（π﹣2020）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2．19．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．20．（6分）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．21．（6分）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．22．（8分）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B 高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．（8分）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．24．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．25．（10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E 在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE 是菱形．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣2，0），B （2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•通辽）﹣5的相反数是（）A．5 B．﹣5 C．D．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）（2020•通辽）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．（3分）（2020•通辽）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A．折线图B．条形图C．直方图D．扇形图【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．【解答】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选D．【点评】本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，理解各自的特点是解题的关键．4．（3分）（2020•通辽）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义等知识点，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键．5．（3分）（2020•通辽）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（）A．1 B．1.2 C．0.9 D．1.4【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：∵数据10，9，a，12，9的平均数是10，∴（10+9+a+12+9）÷5=10，解得：a=10，∴这组数据的方差是[（10﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（9﹣10）2]=1.2．故选B．【点评】本题考查方差和平均数：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（3分）（2020•通辽）近似数5.0×102精确到（）A．十分位B．个位C．十位D．百位【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：近似数5.0×102精确到十位．故选C．【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．7．（3分）（2020•通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．【解答】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元故选（C）【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型．8．（3分）（2020•通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，∴，解得：k＞﹣1．故选A．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．9．（3分）（2020•通辽）下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据线段的性质公理判断①；根据角平分线的性质判断②；根据垂线的性质、平行公理的推论判断③④；连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论．依此判断⑤．【解答】解：①两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；⑤如图，连接AC、BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴=，∴PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．故选：C．【点评】本题考查了线段的性质公理，角平分线的性质，垂线的性质，平行公理的推论，点相交弦定理，是基础知识，需熟练掌握．10．（3分）（2020•通辽）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△PAB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件推出△APC∽△PBC，根据相似三角形的性质得到PC=，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，∴∠ACP=∠BCP=90°，∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，∴∠PAC=∠BPC，∴△APC∽△PBC，∴，∵AB=6，AC=x，∴BC=6﹣x，∴PC2=x（6﹣x），∴PC=，∴y=AB•PC=3=3，故选D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的判定函数的图象是解题的关键．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）（2020•通辽）不等式组的整数解是0，1，2．【分析】根据不等式组的解法得出不等式组的解集，再求得整数解即可．【解答】解：解不等式一得，x＞﹣1，解不等式二得，x≤2，不等式组的解集为﹣1＜x≤2，不等式组的整数解为0，1，2，故答案为0，1，2．【点评】本题考查了不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．12．（3分）（2020•通辽）如图，CD平分∠ECB，且CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=36°．【分析】先根据平行线的性质，得出∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，再根据角平分线的定义，即可得到∠ECD=∠BCD，进而得出∠B=∠A．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠A=∠ECD，∠B=∠BCD，又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠B=∠A=36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．13．（3分）（2020•通辽）毛泽东在《沁园春•雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗，小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是．【分析】先找出唐朝以后出生的人物，然后依据概率公式计算即可．【解答】解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5五人中，唐朝以后出生的有2人．∴在上述5人中随机抽取一张，所有抽到的人物为唐朝以后出生的概率=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是概率公式，在上述5人中，确定出唐朝以后出生的人数是解题的关键．14．（3分）（2020•通辽）若关于x的二次三项式x2+ax+是完全平方式，则a的值是±1．【分析】这里首末两项是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和积的2倍，故﹣a=±1，求解即可【解答】解：中间一项为加上或减去x和积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．【点评】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．15．（3分）（2020•通辽）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=8或3．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，∴AB=8；②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB的长为8或3．故答案为：8或3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB=BE=CF=CD．16．（3分）（2020•通辽）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣．【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是4，∴三角形ABO面积是5，∴OB•AB=5，∴AB=，∴OC=，由此可知直线l经过（3，），设直线方程为y=kx，则=3k，k=，∴直线l解析式为y=x，∴将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为y=x﹣；故答案为：y=x﹣．【点评】此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．17．（3分）（2020•通辽）如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为（﹣3，2）．【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD=，AC=，于是得到C（﹣3+，﹣），列方程即可得到结论．【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，∵直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣3，0），B（0，﹣），∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∴∠CAE=30°，设D（﹣3，），∵AD⊥x轴，∴AD=，∵AD=AC，∴AC=，∴CE=，AE=，∴C（﹣3+，﹣），∵C在反比例函数y=的图象上，∴（﹣3+）•（﹣）=k，∴k=﹣6，∴D（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的点A、B、C的坐标解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共69分）18．（5分）（2020•通辽）计算：（π﹣2020）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2．【分析】根据零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质化简即可解决问题．【解答】解：原式=1+6×﹣3+5﹣4=2．【点评】本题考查零指数幂的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负指数幂的性质等知识，熟练掌握基本概念是解题关键．19．（5分）（2020•通辽）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x从0，1，2，3四个数中适当选取．【分析】首先化简（1﹣）÷，然后根据x的取值范围，从0，1，2，3四个数中适当选取，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1﹣）÷=×=∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0，∴x≠1，2，3，当x=0时，原式==﹣【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．20．（6分）（2020•通辽）一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．【解答】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：=1++，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关键．21．（6分）（2020•通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．【解答】解：这个游戏对双方是公平的．如图，∴一共有6种情况，和大于4的有3种，∴P（和大于4）==，∴这个游戏对双方是公平的．【点评】本题考查的是游戏的公平性，熟记概率公式是解答此题的关键．22．（8分）（2020•通辽）如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC ⊥EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．【分析】（1）作AP⊥OC、BQ⊥OC，由题意得∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，根据三角函数得OP=OAcos∠AOP=x、OQ=OBcos∠BOQ=x，由PQ=OQ﹣OP可得关于x的方程，解之可得；（2）由（1）知∠AOB=90°、OA=OB=7+7，利用弧长公式求解可得．【解答】解：（1）如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，设OA=OB=x，则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=x，由PQ=OQ﹣OP可得x﹣x=7，解得：x=7+7≈18.9（cm），答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB=7+7，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意构建直角三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度及掌握弧长公式是解题的关键．23．（8分）（2020•通辽）某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．（1）求出下列成绩统计分析表中a，b的值：（2）小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．【分析】（1）由折线图中数据，根据中位数和甲权平均数的定义求解可得；（2）根据中位数的意义求解可得；（3）可从平均数和方差两方面阐述即可．【解答】解：（1）由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a=6，乙组学生成绩的平均分b==7.2；（2）∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于全班中上游，∴小英属于甲组学生；（3）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．【点评】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．24．（9分）（2020•通辽）如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．=S△CFD，推出S四边形ACDE=S△ODE，求出△（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFOODE的面积即可．【解答】（1）证明：∵D为的中点，∴OD⊥AC，∵AC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接DC，∵D为的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∵AC∥DE，且OA=AE，∴F为OD的中点，即OF=FD，在△AFO和△CFD中，∴△AFO≌△CFD（SAS），=S△CFD，∴S△AFO=S△ODE∴S四边形ACDE在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，∴OE=8，∴DE==4，=S△ODE=×OD×DE=×4×4=8．∴S四边形ACDE【点评】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）（2020•通辽）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出▱ABCD是12阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E 在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE 是菱形．【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：故答案为：3，12（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，以及平行四边形的准菱形的理解和应用，解（1）的关键是理解准菱形的意义，解（2）的关键是掌握判断菱形的方法，是一道中考常考题．26．（12分）（2020•通辽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A （﹣2，0），B（2，2），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ACD的周长的最小值；（3）在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线函数表达式为：y=﹣x2+x+2；（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；∴对称轴是：直线x=1，如图1，过B作BE⊥x轴于E，∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，∴C与B关于x=1对称，∴CD=BD，连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，∴AB==2，AC==2，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；答：△ACD的周长的最小值是2+2，（3）存在，分两种情况：①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，过P作PD⊥y轴于D，设P（1，y），则△CGP∽△AOC，∴，∴，∴CG=1，∴OG=2﹣1=1，∴P（1，1）；②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，。

2020年内蒙古通辽市中考数学试题(解析版)

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【分析】根据科学记数法定义：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示．【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．[科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：添加∠BAC ＝90°时，∵AD 是△ABC 的中线，∴AD =12BC ＝CD ，∴四边形ADCE 是菱形，选项A 正确；添加∠DAE ＝90°，∵四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形，选项B 错误；添加AB ＝AC ，可得到AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCE 是平行四边形是矩形，选项C 错误；添加AB ＝AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ＝CD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ＝AE ，∴AB ＝BD ，故不能选项D 不能判定四边形ADCE 是菱形；故选：A ．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．9．（3分）（2020•通辽）如图，OC 交双曲线y =k x 于点A ，且OC ：OA ＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x 轴，则k 的值是（）A ．18B ．50C ．12D ．2009【分析】延长DA 、CB ，交x 轴于E 、F ，通过证得三角形相似求得△AOE 的面积＝9，根据反比例函数系数k 的几何意义，即可求得k 的值．【解答】解：延长DA 、CB ，交x 轴于E 、F ，∵四边形ABCD 矩形，且AB ∥x 轴，∴DE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，∴AE ∥CF ，∴△AOE ∽△COF ，∴S △OFC S △AOE =（OC OA ）2=259，∵矩形ABCD 的面积是8，∴△ABC 的面积为4，∵AB ∥x 轴，∴△ABC ∽△OFC ，∴S △OFC S △ABC =（OC AC ）2， ∵OC ：OA ＝5：3，∴OC AC =52，∴S △OFC 4=254，∴S △OFC ＝25，∴S △OFC S △AOE =259，∴S △AOE ＝9，∵双曲线y =k x 经过点A ，∴S △AOE =12|k |＝9，∵k ＞0，∴k ＝18，故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm 是真命题；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm ，圆心角为：180°×20π24π=150°，故弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是34，故选：C ．【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；（2）2cos45°＝ √2 ；（3）﹣12＝ ﹣1 ．【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°=2×√22=√2；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）√2；（3）﹣1．【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 3 ；（2）a 的值是 1 ；（3）方差是 85 ．【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）不论a 取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a +5）＝3×5，解得，a ＝1，（3）S 2=15[（1﹣3）2+（5﹣3）2]=85，故答案为：3，1，85．【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是 121°42′32″ ．【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【分析】根据增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为3+2√3．【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．【解答】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×AC sin∠OAC＝4m×sin60°＝2√3m，从图②看，BC＝3√3=2√3m，解得：m=3 2；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，则a＝PC=A′Ccos∠BCA′=2mcos30°=4√33m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+4√33m＝3+2√3．故答案为3+2√3．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．【解答】解：（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3−（﹣2）×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率=5 12；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率=212=16．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC•PD＝P A•PB，利用PC2＝PB•P A得到PC＝PD，然后根据垂径定理得到结论．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【分析】（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【分析】（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，根据购进A 型件数不少于B 型件数的2倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，设该专卖店需要准备w 元的货款，根据总价＝单价×数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设A 型服装的单价为x 元，B 型服装的单价为y 元，依题意，得：{2x +3y =4600x +2y =2800，解得：{x =800y =1000．答：A 型服装的单价为800元，B 型服装的单价为1000元．（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，依题意，得：60﹣m ≥2m ，解得：m ≤20．设该专卖店需要准备w 元的货款，则w ＝800（60﹣m ）+1000×0.75m ＝﹣50m +48000， ∵k ＝﹣50，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝20时，w 取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（9分）（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半轻为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【分析】（1）证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP ＝EQ ，同理PE ＝BQ ，由此即可证明；（2）求出t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{AB =DE∠A =∠D AP =DQ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示：则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE 是矩形，即四边形PBQE 是矩形．当t ＝6时，点P 与F 重合，Q 与C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE ，如图2所示：同法可知∠BPE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，t ＝0s 或6s 时，四边形PBQE 是矩形，∴AE=√122−62=6√3，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×14矩形ABDE的面积＝6×14×36√3=54√3，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=2 3．【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B 、D 的坐标，再由对称求得C 点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB 的面积关于m 的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m 的值，进而得P 点的坐标；（3）分三种情况：M 为直角顶点；N 为直角顶点；Q 为直角顶点．分别得出Q 点的坐标．【解答】解：（1）令y ＝0，得y ＝x ﹣6＝0，解得x ＝6，∴B （6，0），令x ＝0，得y ＝x ﹣6＝﹣6，∴D （0，﹣6），∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），把B 、C 点坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得{−36+6b +c =0c =6，解得，{b =5c =6， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+5x +6；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），则MN ＝﹣m 2+4m +12，∴△MDB 的面积=12MN ⋅OB =−3m 2+12m +36═﹣3（m ﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±√55，∴Q（0，4+√55）或（0，4−√55）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+√55）或（0，4−√55）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．第21页（共21页）。

内蒙古通辽市2020年中考数学试卷

内蒙古通辽市2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A. B. C. D. 3万2.下列说法错误的．．．是( )A. 是2个数a的和B. 是2和数a的积C. 是单项式D. 是偶数3.下列事件中是不可能事件．．．．．的是( )A. 守株待兔B. 瓮中捉鳖C. 水中捞月D. 百步穿杨4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是( )A. B. C. D.5.若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k＜1B. k≤1C. k＜1且k≠0D. k≤1且k≠06.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A. B. C. D.7.如图，分别与相切于两点，，则( )A. B. C. D.8.如图，是的中线，四边形是平行四边形，增加下列条件，能判断是菱形的是( )A. B. C. D.9.如图，交双曲线于点A，且，若矩形的面积是8，且轴，则k的值是( )A. 18B. 50C. 12D.10.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )⑴无理数都是无限小数；⑵因式分解；⑶棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；⑷弧长是，面积是的扇形的圆心角是．A. B. C. D. 1二、填空题（共7题；共7分）11.计算：________；________；________．12.若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据众数是________；a的值是________；方差是________．13.如图，点O在直线上，，则的度数是________．14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第n个正方形多________个小正方形．15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．16.如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是________．17.如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为________．三、解答题（共9题；共85分）18.解方程：.19.从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．20.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．（1）求；（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21.甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22.如图，的直径交弦(不是直径) 于点P，且．求证：．23.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24.某服装专卖店计划购进两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求型服装的单价；（2）专卖店要购进两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25.中心为O的正六边形的半径为．点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，连接，设运动时间为．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求矩形的面积与正六边形的面积之比．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故答案为：B．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．2.【解析】【解答】解：A、=a+a，是2个数a的和，不符合题意；B、=2×a，是2和数a的积，不符合题意；C、是单项式，不符合题意；D、当a为无理数时，是无理数，不是偶数，符合题意；故答案为：D.【分析】根据2a的意义，分别判断各项即可.3.【解析】【解答】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，不符合；故答案为：C.【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．4.【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；故答案为：A.【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．5.【解析】【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，∴△=（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．故选B．【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．6.【解析】【解答】解：三角形内心为三个角的角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．故答案为：B．【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．7.【解析】【解答】解：连接OA、OB，∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C是⊙O上一点，∴∠ACB=54°．故答案为：C．【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．8.【解析】【解答】解：A、若，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；B 、若，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；C、若，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；D、若，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.故答案为：A.【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.9.【解析】【解答】解：过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，∴AE∥CF，∴△OAE∽△OCF，∵OC：OA=5：3，∴OF：OE=CF：AE=5：3，设点A（m，n），则mn=k，∴OE=m，AE=n，∴OF= ，CF= ，∴AB=OF-OE= ，BC=CF-AE= ，∵矩形ABCD的面积为8，∴AB·BC= × =8，∴mn=18=k，故答案为：A.【分析】过点A和点C分别作x轴的垂线，垂足为E和F，得到△OAE∽△OCF，设点A（m，n），求出AB和BC，利用矩形ABCD的面积为8求出mn，即k值.10.【解析】【解答】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，⑵因式分解，是真命题，⑶棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，⑷设扇形半径为r，圆心角为n，∵弧长是，则= ，则，∵面积是，则= ，则360×240，则，则n=3600÷24=150°，故扇形的圆心角是，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是，故答案为：C.【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.二、填空题11.【解析】【解答】解：1，2× = ，-1，故答案为：1，，-1.【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.12.【解析】【解答】解：根据题意得，3+a+3+5+3=3×5，解得：a=1，则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，方差为：= =1.6，故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6【分析】根据平均数的定义先求出a的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．13.【解析】【解答】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，∵，∴∠BOC=180°- = ，故答案为：.【分析】根据补角的定义，进行计算即可.14.【解析】【解答】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，第二个图形有32=9个正方形组成，第三个图形有42=16个正方形组成，∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成∴（n+2）2-（n+1）2=2n+3故答案为：2n+3．【分析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．15.【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解16.【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴2PC2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2，故答案为PA2+PB2=PQ2.【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系；17.【解析】【解答】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，∴PA+PE=PD+PE，当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE= ，∵点E是AB中点，∴BE+BD=3BE= ，∴BE= ，AB=BD= ，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，即点H的纵坐标为a=3，当点P为DE和BC交点时，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴BC=2× =6，∴，解得：PC=4，即点H的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【分析】过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，交于点D ，证明四边形ABCD 为菱形，得到点A 和点D 关于BC 对称，从而得到PA+PE=PD+PE ，推出当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE 的最小值为3，PC 的长，即可得到结果.三、解答题18.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．19.【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD 、DC 的长，求和即可.20.【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x 的不等式，解不等式即可得．21.【解析】【分析】（1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案； 22.【解析】【分析】连接AC 和BD ，证明△PAC ∽△PDB ，得到，再根据得到，从而得到PC=PD ，根据垂径定理得出结果. 23.【解析】【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．24.【解析】【分析】（1）设A 型女装的单价是x 元，B 型女装的单价是y 元．根据“2件A 型女装和3件B 型女装共需4600元；1件A 型女装和2件B 型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A 型女装m 件，则购进B 型女装（60-m ）件，依据“A 型的件数不少于B 型件数的2倍”求得m 的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．25.【解析】【分析】（1）只要证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP=EQ ，同理PE=BQ ，由此即可证明；（2）过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD 分别求出矩形的面积和正六边形的面积，从而得到结果.26.【解析】【分析】（1）根据直线求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD = ，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷(含详细解析)

○………………○…………学校:___________姓○………………○…………保密★启用前2020年内蒙古通辽市中考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( ) A ．50.310⨯B ．4310⨯C ．33010⨯D ．3万2．下列说法不正确．．．的是( ) A ．2a 是2个数a 的和 B ．2a 是2和数a 的积 C ．2a 是单项式D ．2a 是偶数3．下列事件中是不可能事件．．．．．的是( ) A ．守株待兔B ．瓮中捉鳖C ．水中捞月D ．百步穿杨4．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A ．B ．C ．D ．5．若关于x 的方程kx 2﹣6x+9=0有实数根，则k 的取值范围是（） A ．k ＜1B ．k≤1C ．k ＜1且k ≠0D ．k≤1且k ≠06．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A ．B ．……○…………装…………订…○…………线…………○……※※请※※不※※要※订※※线※※内※※※……○…………装…………订…○…………线…………○……C ． D ．7．如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，72P ∠=︒，则C ∠=( )A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒8．如图，AD 是ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )A ．90BAC ∠=︒B ．90DAE ∠=︒C ．AB AC =D ．AB AE =9．如图，OC 交双曲线ky x=于点A ，且:5:3OC OA =，若矩形ABCD 的面积是8，且//AB x 轴，则k 的值是( )A ．18B ．50C ．12D ．200910．从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；…○…………装○…………订学校:___________姓名__班级：___________考…○…………装○…………订（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒． A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题11．计算：（1）0(3.14)π-= ______；（2）2cos45︒=______；（3）21-= ______．12．若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是______；（2）a 的值是______；（3）方差是______．13．如图，点O 在直线AB 上，531728AOC ︒'''∠=，则BOC ∠的度数是______．14．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第()1n +个正方形比第n 个正方形多_____个小正方形．15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．16．如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．……外…………○……………订…………○线…………○……※※请※订※※线※※内※※答※※题※※……内…………○……………订…………○线…………○……17．如图①，在ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设,PC x PA PE y =+=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．．那么+a b 的值为_______．三、解答题18．解方程：32x x=-. 19．从A 处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A 处与楼的水平距离AD 为90m ，若tan 0.27,tan 2.73αβ==，求这栋楼高．20．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定23m n m n mn n =--※，如：2121212326=⨯-⨯-⨯=-※．……○…………装…○…………订……○……学校:___________姓名：班级：___________考号：___……○…………装…○…………订……○……（1）求()2-（2）若36m ≥-※，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率． 22．如图，O 的直径AB 交弦(不是直径)CD 于点P ，且2·PC PB PA =．求证：AB CD ⊥．23．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．某服装专卖店计划购进,A B 两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元．（1）求,A B 型服装的单价；外…………○…………装……订…………○………※※请※※不※※要※※※※答※※题※※内…………○…………装……订…………○………（2）专卖店要购进,A B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ．点,P Q 同时分别从,A D 两点出发，以1cm/s 的速度沿,AF DC 向终点,F C 运动，连接,,,PB PE QB QE ，设运动时间为()t s ．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故选：B．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．D【解析】【分析】根据2a的意义，分别判断各项即可.【详解】解：A、2a=a+a，是2个数a的和，故选项正确；B、2a=2×a，是2和数a的积，故选项正确；C、2a是单项式，故选项正确；D、当a为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误；故选D.【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键.3．C【解析】【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．A【解析】【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．【详解】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；故选A.【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．5．B【解析】【详解】解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=32；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．故选B．6．C【解析】【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．7．C【解析】【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．【详解】解：连接OA、OB，∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C是⊙O上一点，∴∠ACB=54°．故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果． 8．A 【解析】【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：A 、若90BAC ∠=︒，则AD=BD=CD=AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，则此时四边形ADCE 为菱形，故选项正确；B 、若90DAE ∠=︒，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；C 、若AB AC =，则∠ADC=90°，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；D 、若AB AE =，而AB ＞AD ，则AE≠AD ，无法判断四边形ADCE 为菱形，故选项错误. 故选A. 【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握判定定理. 9．A 【解析】【分析】过点A 和点C 分别作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，得到△OAE ∽△OCF ，设点A （m ，n ），求出AB 和BC ，利用矩形ABCD 的面积为8求出mn ，即k 值. 【详解】解：过点A 和点C 分别作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，∴AE ∥CF ，∴△OAE ∽△OCF ，∵OC ：OA=5：3，∴OF ：OE=CF ：AE=5：3，设点A （m ，n ），则mn=k ，∴OE=m ，AE=n ，∴OF=53m ，CF=53n ， ∴AB=OF-OE=23m ，BC=CF-AE=23n ， ∵矩形ABCD 的面积为8，∴AB·BC=23m ×23n =8， ∴mn=18=k ，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出线段的长.10．C【解析】【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题，（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240，则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°，故扇形的圆心角是150︒，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是34，故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.11．1-1【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.【详解】解：0(3.14)π-=1，2cos45︒=， 21-=-1，故答案为：1，-1.【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键.12．3 1 1.6【解析】【分析】根据平均数的定义先求出a 的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得，3+a +3+5+3=3×5，解得：a=1，则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，方差为：()()()()()22222113333333535⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=85=1.6，故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6【点睛】此题考查了众数、平均数和方差，用到的知识点是众数、平均数和方差的求法，注意计算不要出错.13．1264232'''︒【解析】【分析】根据补角的定义，进行计算即可.【详解】解：由图可知：∠AOC 和∠BOC 互补，∵531728AOC '''∠=︒，∴∠BOC=180°-531728'''︒=1264232'''︒，故答案为：1264232'''︒.【点睛】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.14．2n+3【解析】【分析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．【详解】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，第二个图形有32=9个正方形组成，第三个图形有42=16个正方形组成，∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成∴（n+2）2-（n+1）2=2n+3故答案为：2n+3．【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键．15．12【解析】【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解【详解】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．16．PA2+PB2=PQ2【解析】【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∴PA2+PB2=2PC2，∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴2PC2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2，故答案为PA2+PB2=PQ2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.17．7【解析】【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=PA+PE 的最小值为3，PC的长，即可得到结果.【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，∴PA+PE=PD+PE，当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE= ∵点E 是AB 中点，∴BE+BD=3BE=∴AB=BD=∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD 为等边三角形，∴DE ⊥AB ，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE 的最小值为3，即点H 的纵坐标为a=3，当点P 为DE 和BC 交点时，∵AB ∥CD ，∴△PBE ∽△PCD ， ∴PB BE PC CD=， ∵菱形ABCD 中，AD ⊥BC ，∴=6，∴6PC PC -=，解得：PC=4，即点H 的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．6x =.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】去分母，得()232x x =-，去括号，得236x x =-，移项，合并同类项，得6x -=-，化x 的系数为1，得6x =，经检验，6x =是原方程的根，∴原方程的解为6x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．19．270米【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD 、DC 的长，求和即可.【详解】解：在Rt △ABD 中，tanα=BD AD，则BD=AD•tanα=90×0.27=24.3，在Rt △ACD 中，tanβ=CD AD，则CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7，∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，答：这栋楼高约为270米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．(1)(2)2m ≥-，图见解析【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x 的不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）()2-()()2223--=+=（2）∵36m ≥-※，∴23336m m m --≥-解得：2m ≥-将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤21．（1）512；（2）16【解析】【分析】（1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；【详解】解：画树状图得：（1）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有1个偶数数字的有5种情况，∴取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是5 12：（2）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况，∴取出的3个小球上全是奇数数字的概率是21 126=.【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．见解析【解析】【分析】连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到PA PCPD PB=，再根据2·PC PB PA=得到PA PCPC PB=，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果. 【详解】解：连接AC和BD，在△PAC和△PBD中，∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB，∴PA PC PD PB=，∴PA PD PC PB=，∵2·PC PB PA=，∴PA PC PC PB=，∴PC=PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD.【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解题的关键是证明△PAC∽△PDB，得到PA PC PD PB=.23．（1）100；（2）见解析；（3）2000【解析】【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．【详解】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100-40-20-10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，∴该校共有学生大约有：800÷40%=2000人；【点睛】本题考查统计，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．24．（1）A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）47000【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．【详解】解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，依题意得：23460022800 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：8001000 xy=⎧⎨=⎩答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，根据题意，得m≥2（60-m），∴m≥40，设购买A 、B 两种型号的女装的总费用为w 元，w=800m+1000×0.75×（60-m ）=50m+45000，∴w 随m 的增大而增大，∴当m=40时，w 最小=50×40+45000=47000．答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．25．（1）见解析；（2）2：3【解析】【分析】（1）只要证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP=EQ ，同理PE=BQ ，由此即可证明；（2）过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD 分别求出矩形PBQE 的面积和正六边形ABCDEF 的面积，从而得到结果.【详解】解：（1）证明：∵中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA ，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm/s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP=DQ=t ，PF=QC=6-t ，在△ABP 和△DEQ 中，AB DE A D AP DQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP=EQ ，同理可证PE=QB ，∴四边形PEQB 是平行四边形；（2）由（1）可知四边形PEQB 是平行四边形∴当∠BQE=90°时，四边形PEQB 是矩形过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD∴∠BNQ=∠QME=90°，∴∠BQN+∠NBQ=90°，∠BQN+∠EQM=90°∴∠NBQ=∠EQM∴△NBQ ∽△MQE ∴BN QM NQ EM又∵正六边形ABCDEF 的半径为6，∴正六边形ABCDEF 的各边为6，∠BCQ=∠EDQ=120°∴在Rt △BNC 和Rt △EDM 中，∠NBC=∠DEM=30°∴NC=DM=132BC =，BN=EM=3x 33，解得： 1260x x ==，（舍去）即当P 与F 重合，Q 与C 重合时，四边形PEQB 是矩形此时矩形PEQB 的面积为BC CE 663363∵在正六边形ABCDEF 中，∠COD=60°，OC=OD∴△OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH=S 六边形ABCDEF =162CD OH ⨯⨯⨯=1662⨯⨯=∴S 矩形PBQE ：S 六边形ABCDEF =：3【点睛】本题考查正多边形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质与判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+或（0，4-.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯ =231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，即Q（0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴ME EQQF FN=，即21242nn-=+，解得：n=4+4-∴点Q（0，4+0，4-，综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+0，4-.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷及答案

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤16．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C ＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y=kx于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A ．18B ．50C ．12D ．200910．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a 的值是；（3）方差是．13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C ＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【解答】解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD=12BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y=kx于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A ．18B ．50C ．12D ．2009【解答】解：延长DA 、交x 轴于E ， ∵四边形ABCD 矩形，且AB ∥x 轴， ∴∠CAB ＝∠AOE ， ∴DE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴， ∴∠AEO ＝∠ABC ∴△AOE ∽△CAB ， ∴S △ABC S △AOE=（ACOA）2，∵矩形ABCD 的面积是8，OC ：OA ＝5：3， ∴△ABC 的面积为4，AC ：OA ＝2：3， ∴S △ABC S △AOE=（ACOA）2=94，∴S △AOE ＝9，∵双曲线y =k x经过点A ， ∴S △AOE =12|k |＝9， ∵k ＞0， ∴k ＝18，故选：A ．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°． A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm 是真命题；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm ，圆心角为：180°×20π24π=150°，故弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是34，故选：C ．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；（2）2cos45°＝ √2 ；（3）﹣12＝ ﹣1 ．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°=2×√22=√2；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）√2；（3）﹣1．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 3 ；（2）a 的值是 1 ；（3）方差是85．【解答】解：（1）不论a 取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a +5）＝3×5，解得，a ＝1，（3）S 2=15[（1﹣3）2+（5﹣3）2]=85，故答案为：3，1，85．13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是 121°42′32″ ．【解答】解：∵点O 在直线AB 上，且∠AOC ＝58°17′28″， ∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n +1）个正方形比第n 个正方形多 2n +3 个小正方形．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC ＝CQ ，∠PCQ ＝90°＝∠ACB ，PQ 2＝2CP 2， ∴∠ACP ＝∠BCQ ，又∵AC ＝BC ，∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴∠CAP ＝∠CBQ ＝45°， ∴∠ABQ ＝90°， ∴PB 2+BQ 2＝PQ 2， ∴PB 2+AP 2＝2CP 2，故答案为：PB 2+AP 2＝2CP 2．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 7 ．【解答】解：如图，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ，则四边形ABA ′C 为菱形，菱形的对角线交于点O ，由图②知，当点P 与点B 重合时，y ＝P A +PE ＝AB +BE ＝AB +12AB ＝3√3，解得：AB ＝2√3，即：菱形的边长为2√3，则该菱形的高为√32AB ＝3，点A 关于BC 的对称点为点A ′，连接A ′E 交BC 于点P ，此时y 最小， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则∠BAA ′＝60°，故AA ′B 为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，A′C＝AB＝2√3，则PC=A′Ccos∠BCA′=2√3√32=4，此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），则a+b＝3+4＝7．故答案为7．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【解答】解：（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3−（﹣2）×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率=5 12；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率=212=16．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A ，B 两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元．（1）求A ，B 型服装的单价；（2）专卖店要购进A ，B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【解答】解：（1）设A 型服装的单价为x 元，B 型服装的单价为y 元，依题意，得：{2x +3y =4600x +2y =2800，解得：{x =800y =1000．答：A 型服装的单价为800元，B 型服装的单价为1000元．（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，依题意，得：60﹣m ≥2m ，解得：m ≤20．设该专卖店需要准备w 元的货款，则w ＝800（60﹣m ）+1000×0.75m ＝﹣50m +48000， ∵k ＝﹣50，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝20时，w 取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．（9分）（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{AB =DE∠A =∠D AP =DQ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°， ∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示：则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE=√122−62=6√3，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×14矩形ABDE的面积＝6×14×36√3=54√3，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=2 3．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令y ＝0，得y ＝x ﹣6＝0，解得x ＝6，∴B （6，0），令x ＝0，得y ＝x ﹣6＝﹣6，∴D （0，﹣6），∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），把B 、C 点坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得{−36+6b +c =0c =6，解得，{b =5c =6， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+5x +6；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），则MN ＝﹣m 2+4m +12，∴△MDB 的面积=12MN ⋅OB =−3m 2+12m +36═﹣3（m ﹣2）2+48，∴当m ＝2时，△MDB 的面积最大，此时，P 点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2√15，∴Q（0，4+2√15）或（0，4﹣2√15）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2√15）或（0，4﹣2√15）．。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷二四

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷学校：班级：姓名：得分：一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）12019-的相反数是( ) A ．2020 B ．12019- C ．2019- D ．120192．（3分）（2020•通辽）16的平方根是( )A ．4±B ．4C ．2±D ．23．（3分）（2020•通辽）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2020年春运工作的意见》中预测，2020年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中7300万用科学记数法表示为( )A ．67310⨯B ．37.310⨯C ．77.310⨯D ．80.7310⨯4．（3分）（2020•通辽）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2020•通辽）如图，直线(0)y kx b k =+≠经过点(1,3)-，则不等式3kx b +的解集为( )A ．1x >-B ．1x <-C ．3xD ．1x -6．（3分）（2020•通辽）一个菱形的边长是方程28150x x -+=的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A ．48B ．24C ．24或40D ．48或807．（3分）（2020•通辽）如图，等边三角形ABC 内接于O ，若O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于( )A ．3πB ．23πC ．43πD ．2π8．（3分）（2020•通辽）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；③通常温度降到0C ︒以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（3分）（2020•通辽）关于x 、y 的二元一次方程组2234x y k x y k -=⎧⎨-=-⎩的解满足x y <，则直线1y kx k =--与双曲线k y x=在同一平面直角坐标系中大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．10．（3分）（2020•通辽）在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给以下结论：①0abc <；②20c a +<；③930a b c -+=；④()(a b m am b m -+为实数）；⑤240ac b -<．其中错误结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是 C ︒．12．（3分）（2020•通辽）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日次品数量（个) 1 0 2 a若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a 的方差等于．13．（3分）（2020•通辽）如图，在矩形ABCD 中，8AD =，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为点E ，且AE 平分BAC ∠，则AB 的长为．14．（3分）（2020•通辽）已知三个边长分别为2cm ，3cm ，5cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）（2020•通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．16．（3分）（2020•通辽）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m ，则数字m 使分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+无解的概率为． 17．（3分）（2020•通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边上的一点，且13AM AD =，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆沿MN 所在直线翻折得到△A MN '，连接A C '．则A C '长度的最小值是．三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）计算：4011131|(2 1.414)2sin 60()2----++︒-- 19．（6分）（2020•通辽）先化简，再求值．221211212x x x x x x +÷+--++，请从不等式组52130x x -⎧⎨+>⎩的整数解中选择一个你喜欢的求值． 20．（5分）（2020•通辽）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数据：3 1.7≈，2 1.4)≈21．（6分）（2020•通辽）有四张反面完全相同的纸牌A 、B 、C 、D ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是．（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A 、B 、C 、D 表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．22．（9分）（2020•通辽）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图)所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表项目排球篮球踢毽跳绳其他人数（人) 7 8 14 6 请根据以上统计表（图)解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少人？（2）补全统计表和统计图．（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．23．（8分）（2020•通辽）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，AC CE=，连接AE 交BC于点D，延长DC至F点，使CF CD=，连接AF．（1）判断直线AF与O的位置关系，并说明理由．（2）若10AC=，3tan4CAE∠=，求AE的长．24．（9分）（2020•通辽）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本)与销售单价x（元)之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a<元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．25．（9分）（2020•通辽）如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时旋转90︒，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图1，求证：BCP DCQ ∆≅∆；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ．①如图2，求证：BE DQ ⊥；②如图3，若BCP ∆为等边三角形，判断DEP ∆的形状，并说明理由．26．（12分）（2020•通辽）已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）12019-的相反数是()A．2020B．12019-C．2019-D．12019【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：12019-的相反数是：12019．故选：D．2．（3()A．4±B．4C．2±D．2【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．【解答】4，2=±，故选：C．3．（3分）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2020年春运工作的意见》中预测，2020年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中7300万用科学记数法表示为()A．67310⨯B．37.310⨯C．77.310⨯D．80.7310⨯【分析】科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中1||10a<，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n是正数；当原数的绝对值1<时，n是负数．【解答】解：其中7300万用科学记数法表示为77.310⨯．故选：C．4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．【解答】解：A 、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A 不符合题意；B 、左视图和俯视图相同，故B 符合题意；C 、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C 不符合题意；D 、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故D 不符合题意；故选：B ．5．（3分）如图，直线(0)y kx b k =+≠经过点(1,3)-，则不等式3kx b +的解集为( )A ．1x >-B ．1x <-C ．3xD ．1x -【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【解答】解：观察图象知：当1x -时，3kx b +，故选：D ．6．（3分）一个菱形的边长是方程28150x x -+=的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A ．48B ．24C ．24或40D ．48或80【分析】利用因式分解法解方程得到15x =，23x =，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积．【解答】解：(5)(3)0x x --=，所以15x =，23x =，菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∴菱形的另一条对角线为222546-=，∴菱形的面积168242=⨯⨯=．故选：B ．7．（3分）如图，等边三角形ABC 内接于O ，若O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于( )A ．3πB ．23πC ．43πD ．2π【分析】连接OC ，如图，利用等边三角形的性质得120AOC ∠=︒，AOB AOC S S ∆∆=，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积AOC S =扇形进行计算．【解答】解：连接OC ，如图，ABC ∆为等边三角形，120AOC ∴∠=︒，AOB AOC S S ∆∆=，∴图中阴影部分的面积2120243603AOC S ππ⋅⨯===扇形．故选：C ．8．（3分）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；③通常温度降到0C︒以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中真命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用全等三角形的性质、平移的性质、随机事件等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，错误，是假命题；③通常温度降到0C︒以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；真命题有2个，故选：B．9．（3分）关于x、y的二元一次方程组2234x y kx y k-=⎧⎨-=-⎩的解满足x y<，则直线1y kx k=--与双曲线kyx=在同一平面直角坐标系中大致图象是()A．B．C．D．【分析】关于x、y的二元一次方程组2234x y kx y k-=⎧⎨-=-⎩的解满足x y<确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定图象即可．【解答】解：元一次方程组2234x y k x y k -=⎧⎨-=-⎩中第二个方程减去第一个方程得：5x y k -=-，关于x 、y 的二元一次方程组2234x y k x y k-=⎧⎨-=-⎩的解满足x y <， 0x y ∴-<，50k ∴-<，即：0k >，1y kx k ∴=--经过一三四象限，双曲线k y x=的两个分支位于一三象限，B 选项符合，故选：B ．10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给以下结论：①0abc <；②20c a +<；③930a b c -+=；④()(a b m am b m -+为实数）；⑤240ac b -<．其中错误结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线可知：0a >，0c <，对称轴02b x a=-<， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；②由对称轴可知：12b a-=-， 2b a ∴=，1x =时，0y a b c =++=， 30c a ∴+=，2320c a a a a ∴+=-+=-<，故②正确；③(1,0)关于1x =-的对称点为(3,0)-，3x ∴=-时，930y a b c =-+=，故③正确；④当1x =-时，y 的最小值为a b c -+，x m ∴=时，2y am bm c =++，2am bm c a b c ∴++-+，即()a b m am b -+，故④错误；⑤抛物线与x 轴有两个交点，∴△0>，即240b ac ->，240ac b ∴-<，故⑤正确；故选：A ．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是27C︒．【分析】先找出这7天的最高气温，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：根据7天的最高气温折线统计图，将这7天的最高气温按大小排列为：24，25，26，27，28，28，29，故中位数为27C︒，故答案为27．12．（3分）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：日期6月6日6月7日6月8日6月9日次品数量（个)102a若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a的方差等于12．【分析】求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．【解答】解：出现次品数量的唯一众数为1，1a∴=，∴102114x+++==，22222(11)(01)(21)(11)142 S-+-+-+-∴==，故答案为12．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，8AD=，对角线AC与BD相交于点O，AE BD⊥，垂足为点E，且AE平分BAC∠，则AB的长为833．【分析】由矩形的性质可得AO CO BO DO===，可证ABE AOE∆≅∆，可得AO AB BO DO ===，由勾股定理可求AB 的长．【解答】解：四边形ABCD 是矩形AO CO BO DO ∴===， AE 平分BAO ∠BAE EAO ∴∠=∠，且AE AE =，AEB AEO ∠=∠，()ABE AOE ASA ∴∆≅∆AO AB ∴=，且AO OB =AO AB BO DO ∴===，2BD AB ∴=，222AD AB BD +=，22644AB AB ∴+=， 83AB ∴= 故答案为：83． 14．（3分）已知三个边长分别为2cm ，3cm ，5cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为 23.75cm ．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知5105x =，解得 2.5x =，即阴影梯形的上底就是3 2.50.5()cm -=．再根据相似的性质可知25 2.5y =，解得：1y =，所以梯形的下底就是312()cm -=，所以阴影梯形的面积是2(20.5)32 3.75()cm +⨯÷=．故答案为：23.75cm ．15．（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 6或25或45 ．【分析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．【解答】解：①如图1当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2．当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，2BD ∴=，222425BC ∴=+=，∴此时底边长为25；③如图3:当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，8BD ∴=，45BC ∴=，∴此时底边长为45．故答案为：6或25或45．16．（3分）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m ，则数字m 使分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+无解的概率为 15．【分析】由分式方程，得(2)(1)(2)1m x x x x x =+--+=或2-时，分式方程无解，1x =时，2m =，2x =-时，0m =，所以在1，2，3，4，5取一个数字m 使分式方程无解的概率为15．【解答】解：由分式方程，得(2)(1)(2)m x x x x =+--+1x =或2-时，分式方程无解，1x =时，2m =，2x =-时，0m =，所以在1，2，3，4，5取一个数字m 使分式方程无解的概率为15． 17．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边上的一点，且13AM AD =，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆沿MN 所在直线翻折得到△A MN '，连接A C '．则A C '长度的最小值是 191- ．【分析】过点M 作MH CD ⊥，由勾股定理可求MC 的长，由题意可得点A '在以M 为圆心，AM 为半径的圆上，则当点A '在线段MC 上时，A C '长度有最小值．【解答】解：过点M 作MH CD ⊥交CD 延长线于点H ，连接CM ，13AM AD =，3AD CD == 1AM ∴=，2MD =//CD AB ，60HDM A ∴∠=∠=︒112HD MD ∴==，33HM HD ==4CH ∴=2219MC MH CH ∴=+=将AMN ∆沿MN 所在直线翻折得到△A MN '，1AM A M '∴==，∴点A '在以M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴当点A '在线段MC 上时，A C '长度有最小值A C '∴长度的最小值191MC MA '=-= 191三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）计算：40111|31|(2 1.414)2sin 60()2---++︒-- 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式31(31)122=--+++ 131132=-+ 3=．19．（6分）先化简，再求值．221211212x x x x x x +÷+--++，请从不等式组52130x x -⎧⎨+>⎩的整数解中选择一个你喜欢的求值．【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后由不等式组52130x x -⎧⎨+>⎩，可以求得x 的取值范围，再从中选取一个使得原分式有意义的整数x 代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：221211212x x x x x x +÷+--++ 21(1)11(2)2x x x x x -=+-++ 11(2)2x x x x -=+++ 1(2)x x x x -+=+ 1(2)x x =+，由不等式组52130x x -⎧⎨+>⎩，得32x -<， ∴当2x =时，原式112(22)8==⨯+． 20．（5分）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数据：3 1.7≈，2 1.4)≈【分析】设太阳光线GB 交AC 于点F ，过F 作FH BD ⊥于H ，解Rt BFH ∆，求出17BH ≈，那么13FC HD BD BH ==-≈，由13 4.33≈，可得此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第5层．【解答】解：设太阳光线GB 交AC 于点F ，过F 作FH BD ⊥于H ，由题意知，31030AC BD m==⨯=，30FH CD m==，30BFHα∠=∠=︒，在Rt BFH∆中，3 tan30BH BHBFHFH∠===，33010310 1.717BH∴=⨯=≈⨯=，301713FC HD BD BH∴==-≈-=，134.33≈，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．21．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34．（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34；故答案为：34；（2）游戏不公平，理由如下：列表得：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A，)(C C，)AP∴（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）211 1262==≠，∴游戏不公平．修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．22．（9分）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图)所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表请根据以上统计表（图)解答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少人？（2）补全统计表和统计图．（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．【分析】（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分数，又知九年级最喜欢排球的人数为10人，所以求出九年级最喜欢运动的人数，再由七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生，得出本次调查共抽取的学生数；（2）先根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数，从而能求出八、九年级最喜欢跳绳的人数，然后求出最喜欢跳绳的学生数，补全统计表和统计图即可；（3）根据题意列式计算即可得到结论．【解答】解：（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分比为：130%16%24%10%20%----=，又知九年级最喜欢排球的人数为10人，∴九年级最喜欢运动的人数有1020%50÷=（人)，∴本次调查抽取的学生数为：503150⨯=（人)．（2）根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有507861415----=人，那么八年级最喜欢跳绳的人数有15510-=人，最喜欢踢毽的学生有50121010513----==人，九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比1020% 50==，补全统计表和统计图如图所示；七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表项目排球篮球踢毽跳绳其他人数（人)7814156（3）不够用，理由：14135030% 18004126150++⨯⨯÷=，126124>，∴不够用．故答案为：15．23．（8分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，AC CE=，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF CD=，连接AF．（1）判断直线AF与O的位置关系，并说明理由．（2）若10AC=，3tan4CAE∠=，求AE的长．【分析】（1）连接AC，根据圆周角定理得到90ACB∠=︒，根据等腰三角形的性质得到CAN EAC∠=∠，E EAC∠=∠，得到B FAC∠=∠，等量代换得到90FAC BAC∠+∠=︒，求得OA AF⊥，于是得到结论；（2）过点C作CM AE⊥，根据三角函数的定义得到34CMAM=，设3CM x=，则4AM x=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）直线AF是O的切线，理由是：连接AC，AB为O直径，90ACB ∴∠=︒， AC BC ∴⊥， CF CD =， CAN EAC ∴∠=∠， AC CE =， E EAC ∴∠=∠，B E ∠=∠，B FAC ∴∠=∠， 90B BAC ∠+∠=︒， 90FAC BAC ∴∠+∠=︒， OA AF ∴⊥，又点A 在O 上，∴直线AF 是O 的切线；（2）过点C 作CM AE ⊥， 3tan 4CAE ∠=， ∴34CM AM =， 10AC =，∴设3CM x =，则4AM x =，在Rt ACM ∆中，根据勾股定理，222CM AM AC +=，22(3)(4)100x x ∴+=，解得2x =， 8AM ∴=， AC CE =，22816AE AE ∴==⨯=．24．（9分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本)与销售单价x （元)之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到2(20)(10500)10(10700)50010000(3038)w x a x x a x a x =---+=-++--求得对称轴为1352x a =+，若06a <<，则130352a <+，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到12a =，258a =，于是得到2a =．【解答】解：（1）根据题意得，25010(25)10500(3038)y x x x =--=-+；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．2(20)(10500)10(10700)50010000(3038)w x a x x a x a x =---+=-++-- 对称轴为1352x a =+，且06a <，则13035382a <+，则当1352x a =+时，w 取得最大值，11(3520)[10(35)500]196022a a x a ∴+---++=12a ∴=，258a =（不合题意舍去）， 2a ∴=．25．（9分）如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时旋转90︒，得到线段CQ ，连接BP ，DQ ．（1）如图1，求证：BCP DCQ ∆≅∆；（2）如图，延长BP 交直线DQ 于点E ． ①如图2，求证：BE DQ ⊥；②如图3，若BCP ∆为等边三角形，判断DEP ∆的形状，并说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质证明BCP DCQ ∠=∠，得到BCP DCQ ∆≅∆；（2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出45EPD ∠=︒，45EDP ∠=︒，判断DEP ∆的形状．【解答】（1）证明：90BCD ∠=︒，90PCQ ∠=︒， BCP DCQ ∴∠=∠，在BCP ∆和DCQ ∆中， BC CD BCP DCQ PC QC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BCP DCQ SAS ∴∆≅∆；（2）①如图b ，BCP DCQ ∆≅∆， CBF EDF ∴∠=∠，又BFC DFE ∠=∠， 90DEF BCF ∴∠=∠=︒，BE DQ ∴⊥；②BCP ∆为等边三角形， 60BCP ∴∠=︒，30PCD ∴∠=︒，又CP CD =，75CPD CDP ∴∠=∠=︒，又60BPC ∠=︒，60CDQ ∠=︒，180180756045EPD CPD CPB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒，同理：45EDP ∠=︒，DEP ∴∆为等腰直角三角形．26．（12分）已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【分析】（1）二次函数表达式为：2(1)9y a x =-+，即可求解；（2）2DAC DCMS S ∆∆=，则2111()(2821)(13)(91)(1)2222DAC C A S DH x x x x x x ∆=-=-++-++=--⨯，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）二次函数表达式为：2(1)9y a x =-+，将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，故抛物线的表达式为：228y x x =-++⋯①，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点(1,1)C ，过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点2(,28)D x x x -++，点(,21)H x x -， 2DAC DCM S S ∆∆=，则2111()(2821)(13)(91)(1)2222DAC C A S DH x x x x x x ∆=-=-++-++=--⨯，解得：1x =-或5（舍去5)，故点(1,5)D -；（3）设点(,0)Q m 、点(,)P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(,0)Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为(4,16)m --，即为点P ，即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++，解得：6s =或4-，故点(6,16)P -或(4,16)--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，解得：1s =±故点(1P 2)或(1，2)；综上，点(6,16)P -或(4,16)--或(1，2)或(1，2)．7、《唯一的听众》通过记叙一个被称为音乐白痴的人在老人真诚地帮助下，成长为一位小提琴手的故事，告诉我们真诚、持久、热情的关怀和鼓励，会帮助一个人树立起信心，表达了我对老人的敬佩和感激之情。

2020年内蒙古通辽市中考数学试题及参考答案(word解析版)

2020年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷数学（满分为120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答答案）1．2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤16．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18 B．50 C．12 D．10．从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分）11．计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a的值是；（3）方差是．13．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．14．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．17．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b 的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：＝．19．（6分）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD 为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．答案与解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答答案）1．2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】根据科学记数法定义：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示．【解题过程】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．2．下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【知识考点】合并同类项；单项式．【思路分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．【解题过程】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．3．下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【知识考点】随机事件．【思路分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．【解题过程】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．【总结归纳】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【知识考点】余角和补角．【思路分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解题过程】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．【总结归纳】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．5．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1【知识考点】一元二次方程的定义；根的判别式．【思路分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解题过程】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．【总结归纳】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【知识考点】三角形的内切圆与内心；作图—基本作图．【思路分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．【解题过程】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．故选：B．【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【知识考点】圆周角定理；切线的性质．【思路分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．【解题过程】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝54°，故选：C．【总结归纳】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【知识考点】直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定．【思路分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．【解题过程】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．【总结归纳】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．9．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18 B．50 C．12 D．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【思路分析】延长DA，交x轴于E，通过证得三角形相似求得△AOE的面积＝9，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值．【解题过程】解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，∴S△AOE＝9，∵双曲线y＝经过点A，∴S△AOE＝|k|＝9，∵k＞0，∴k＝18，故选：A．【总结归纳】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．10．从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1【知识考点】命题与定理．【思路分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．【解题过程】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：＝150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是，故选：C．【总结归纳】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分）11．计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．【知识考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．【解题过程】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．【总结归纳】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．12．若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a的值是；（3）方差是．【知识考点】算术平均数；众数；方差．【思路分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解题过程】解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a+5）＝3×5，解得，a＝1，（3）S2＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2]＝，故答案为：3，1，．【总结归纳】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．13．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．【知识考点】角的概念；度分秒的换算．【思路分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．【解题过程】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．【总结归纳】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．14．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解题过程】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【总结归纳】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．【知识考点】一元二次方程的应用．【思路分析】根据增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．【解题过程】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【思路分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．【解题过程】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90°是本题的关键．17．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b 的值为．【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．【解题过程】解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，由图②知，当点P与点B重合时，y＝PA+PE＝AB+BE＝AB AB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，则该菱形的高为AB＝3，点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，A′C＝AB＝2，则PC＝＝＝4，此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），则a+b＝3+4＝7．故答案为7．【总结归纳】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：＝．【知识考点】解分式方程．【思路分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．【解题过程】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．【总结归纳】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（6分）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD 为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．【解题过程】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．【总结归纳】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【知识考点】实数的运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【思路分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．【解题过程】解：（1）（﹣2）※＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：【总结归纳】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．21．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．【解题过程】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率＝；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．22．（7分）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．【知识考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可判断△APC ∽△BPD，利用相似比得到PC•PD＝PA•PB，利用PC2＝PB•PA得到PC＝PD，然后根据垂径定理得到结论．【解题过程】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝PA：PD，∴PC•PD＝PA•PB，∵PC2＝PB•PA，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【知识考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名．【解题过程】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（9分）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，根据购进A型件数不少于B型件数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该专卖店需要准备w元的货款，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解题过程】解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，依题意，得：60﹣m≥2m，解得：m≤20．设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，∵k＝﹣50，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（9分）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．【知识考点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正多边形和圆．【思路分析】（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP＝EQ，同理PE＝BQ，由此即可证明；（2）求出t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．【总结归纳】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB。

2020年通辽市中考数学试题(及答案)

2020年通辽市中考数学试题(及答案)一、选择题1．下列计算正确的是（） A ．2a ＋3b ＝5abB ．( a －b )2＝a 2－b 2C ．( 2x 2 )3＝6x 6D ．x 8÷x 3＝x 5 2．如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+4．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：册数 0 1 2 3 4 人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（） A ．中位数是2B ．众数是17C ．平均数是2D ．方差是25．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -= B ．()11362x x += C ．()136x x -=D ．()136x x +=6．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 7．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤8．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A ．1B ．23C ．22D 5 10．如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1：2，5BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC 的高度为（）A ．5米B ．6米C ．8米D ．（3+5 ）米11．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°12．cos45°的值等于( ) A ．2B ．1C ．32D ．22二、填空题13．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____． 14．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.15．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．16．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y （米）表示甲、乙两人之间的距离，x （秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与x 函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．17．已知扇形AOB 的半径为4cm ，圆心角∠AOB 的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm18．关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是_____. 19．农科院新培育出A 、B 两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量100 200 500 1000 2000 A出芽种子数 96 165 491 984 1965 发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B出芽种子数 96 192 486 977 1946 发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A 种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率可能会高于B 种子．其中合理的是__________（只填序号）．20．如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，则AP ＝_____.三、解答题21．先化简，再求值：(2)(2)(4)a a a a +-+-，其中14a =． 22．如图，在Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ．（1）求线段AD 的长度；（2）点E 是线段AC 上的一点，试问：当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．23．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，AN 为ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当AD 与BC 满足什么数量关系时，四边形ADCE 是正方形？并给予证明24．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．25．某公司销售两种椅子，普通椅子价格是每把180元，实木椅子的价格是每把400元． (1)该公司在2019年第一月销售了两种椅子共900把，销售总金额达到了272000元，求两种椅了各销售了多少把？(2)第二月正好赶上市里开展家俱展销活动，公司决定将普通椅子每把降30元后销售，实木椅子每把降价2a %(a ＞0)后销售，在展销活动的第一周，该公司的普通椅子销售量比上一月全月普通椅子的销售量多了103a %：实木椅子的销售量比第一月全月实木椅子的销售量多了a %，这一周两种椅子的总销售金额达到了251000元，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】分析：A ．原式不能合并，错误；B ．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；C ．原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D ．原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．详解：A ．不是同类项，不能合并，故A 错误； B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab +b 2，故B 错误； C ．（ 2x 2 ）3＝8x 6，故C 错误； D ．x 8÷x 3＝x 5，故D 正确．故选D ．点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．2．B解析：B 【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形，故选：B ．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．3．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则0122a xb y++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ．考点：坐标与图形变化-旋转．4．A解析：A 【解析】试题解析：察表格，可知这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2，故选A ．考点：1.方差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．5．A解析：A 【解析】【分析】共有x 个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：12x （x ﹣1）＝36，故选：A ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.6．D解析：D 【解析】【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（，解得：k ≤54且k ≠1．故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键7．A解析：A 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0．【详解】①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a 、b 异号， ∴ab ＜0，故正确；②∵对称轴1,2bx a=-= ∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0， ∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于0．故错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．8．B解析：B 【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ，∴AD=DB=12在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)2 )2，解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键9．C解析：C【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵PAH GFH AH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12 PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=12×22PD DG+22，故选：C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．10．A解析：A 【解析】试题分析：根据CD ：AD=1:2，CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：米，则BC=BD －CD=8－3=5米.考点：直角三角形的勾股定理11．D解析：D 【解析】题解析：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACD =90°-∠DCB =90°-20°=70°，∴∠DBA =∠ACD =70°．故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．D解析：D 【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：cos45° 故选D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．二、填空题13．【解析】【分析】根据一次函数时图象经过第二三四象限可得即可求解；【详解】经过第二三四象限∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键解析：13k <<. 【解析】【分析】根据一次函数y kx b =+，k 0<，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解；【详解】()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限，∴220k -<，30k -<，∴1k >，3k <，∴13k <<，故答案为：13k <<.【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．14．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x 元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x 元由题意得(1+40)x×08＝2240解得：x ＝2000故答案为：2000解析：2000，【解析】【分析】设这种商品的进价是x 元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.【详解】设这种商品的进价是x 元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x ＝2000，故答案为：2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.15．12﹣4【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接ACBD 交于点E 连接DFFMMNDN ∵将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°180°270°后形成的图形∠BAD=60°AB=2解析：12﹣【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接AC ，BD 交于点E ，连接DF ，FM ，MN ，DN ，∵将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC ⊥BD ，四边形DNMF 是正方形，∠AOC=90°，BD=2， ∴∠AOE=45°，ED=1，∴﹣1，∴S正方形DNMF=2（3﹣1）×2（3﹣1）×12=8﹣43，S△ADF=12×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣43=12﹣43．故答案为12﹣43．考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．16．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3m/sV追＝90120-30＝1m/s 故V乙＝1+3＝4m/s由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300s则可以求得此时乙与甲的距离即可求出解析：30【解析】【分析】由图象可以V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，故V乙＝1+3＝4m/s，由此可求得乙走完全程所用的时间为：＝300s，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相遇的时间．【详解】由图象可得V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，∴V乙＝1+3＝4m/s，∴乙走完全程所用的时间为：＝300s，此时甲所走的路程为：（300+30）×3＝990m．此时甲乙相距：1200﹣990＝210m则最后相遇的时间为：＝30s故答案为：30【点睛】此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．17．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面解析：1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式，可设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr=904180π⨯，解得r=1．故答案为：1.点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根则根的判别式△=b2-4ac≥0建立关于a的不等式求出a的取值范围还要注意二次项系数不为0【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根解析：－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，解得a≤-23，且a≠-1，则a的最大整数值是-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．19．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确解析：②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A 种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A 种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A 种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B 种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A 种种子发芽率大于B 种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 20．6【解析】分析：根据BD=CDAB=CD 可得BD=BA 再根据AM ⊥BDDN ⊥AB 即可得到DN=AM=3依据∠ABD=∠MAP+∠PAB ∠ABD=∠P+∠BAP 即可得到△APM 是等腰直角三角形进而得到解析：6【解析】分析：根据BD=CD ，AB=CD ，可得BD=BA ，再根据AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，即可得到，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB ，∠ABD=∠P+∠BAP ，即可得到△APM 是等腰直角三角形，进而得到AM=6．详解：∵BD=CD ，AB=CD ，∴BD=BA ，又∵AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，∴，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB ，∠ABD=∠P+∠BAP ，∴∠P=∠PAM ，∴△APM 是等腰直角三角形，∴AM=6，故答案为6．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM 是等腰直角三角形．三、解答题21．44a -，3-．【解析】试题分析：根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将a=14代入化简后的式子，即可解答本题．试题解析：原式=2244a a a -+-=44a -；当a=14时，原式=1444⨯-=14-=3-．考点：整式的混合运算—化简求值．22．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE 即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.23．（1）见解析（2）12AD BC=，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE ⊥AN ，AD ⊥BC ，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE 为矩形．（2）由正方形ADCE 的性质逆推得AD DC =，结合等腰三角形的性质可以得到答案．【详解】（1）证明：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD=∠DAC ，∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE=∠CAE ，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°，又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE 为矩形．（2）当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形．理由：∵AB=AC ， AD ⊥BC ，BD DC ∴=12AD BC =，AD BD DC ∴== ， ∵四边形ADCE 为矩形， ∴矩形ADCE 是正方形． ∴当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查矩形的判定以及正方形的性质的应用，同时考查了等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是关键．24．（1）600（2）见解析（3）3200（4）【解析】（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）（2）如图；…（5分）（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D 粽的人有3200人．…（7分）（4）如图；（列表方法略，参照给分）．…（8分）P（C粽）==．答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．…（10分）25．（1）普通椅子销售了400把，实木椅子销售了500把；（2）a的值为15．【解析】【分析】（1）设普通椅子销售了x把，实木椅子销售了y把，根据总价＝单价×数量结合900把椅子的总销售金额为272000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据销售总价＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设普通椅子销售了x把，实木椅子销售了y把，依题意，得：900 180400272000 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：400500 xy=⎧⎨=⎩．答：普通椅子销售了400把，实木椅子销售了500把．（2）依题意，得：（180﹣30）×400（1+103a%）+400（1﹣2a%）×500（1+a%）＝251000，整理，得：a2﹣225＝0，解得：a1＝15，a2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：a的值为15．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题关键．。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷分享

2020年通辽市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年通辽市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤16．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C ＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y=kx于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A ．18B ．50C ．12D ．200910．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a 的值是；（3）方差是．13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB 的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A 型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）（2020•通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）（2020•通辽）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【解答】解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．（3分）（2020•通辽）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【解答】解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．3．（3分）（2020•通辽）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．4．（3分）（2020•通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．5．（3分）（2020•通辽）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【解答】解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．6．（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．7．（3分）（2020•通辽）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C ＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【解答】解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．8．（3分）（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD=12BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．（3分）（2020•通辽）如图，OC交双曲线y=kx于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A ．18B ．50C ．12D ．2009【解答】解：延长DA 、交x 轴于E ，∵四边形ABCD 矩形，且AB ∥x 轴，∴∠CAB ＝∠AOE ，∴DE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，∴∠AEO ＝∠ABC∴△AOE ∽△CAB ，∴S △ABCS △AOE =（AC OA ）2，∵矩形ABCD 的面积是8，OC ：OA ＝5：3，∴△ABC 的面积为4，AC ：OA ＝2：3，∴S △ABCS △AOE =（AC OA ）2=94，∴S △AOE ＝9，∵双曲线y =k x 经过点A ，∴S △AOE =12|k |＝9，∵k ＞0，∴k ＝18，故选：A ．10．（3分）（2020•通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax 2﹣a ＝a （x +1）（x ﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm 是真命题；（4）弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm ，圆心角为：180°×20π24π=150°，故弧长是20πcm ，面积是240πcm 2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是34，故选：C ．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）（2020•通辽）计算：（1）（3.14﹣π）0＝ 1 ；（2）2cos45°＝ √2 ；（3）﹣12＝ ﹣1 ．【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°=2×√22=√2；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）√2；（3）﹣1．12．（3分）（2020•通辽）若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是 3 ；（2）a 的值是 1 ；（3）方差是 85 ．【解答】解：（1）不论a 取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a +5）＝3×5，解得，a ＝1，（3）S 2=15[（1﹣3）2+（5﹣3）2]=85，故答案为：3，1，85． 13．（3分）（2020•通辽）如图，点O 在直线AB 上，∠AOC ＝58°17′28″．则∠BOC 的度数是 121°42′32″ ．【解答】解：∵点O 在直线AB 上，且∠AOC ＝58°17′28″，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．14．（3分）（2020•通辽）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n +1）个正方形比第n 个正方形多 2n +3 个小正方形．【解答】解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．（3分）（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．（3分）（2020•通辽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【解答】解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC ＝CQ ，∠PCQ ＝90°＝∠ACB ，PQ 2＝2CP 2，∴∠ACP ＝∠BCQ ，又∵AC ＝BC ，∴△ACP ≌△BCQ （SAS ），∴∠CAP ＝∠CBQ ＝45°，∴∠ABQ ＝90°，∴PB 2+BQ 2＝PQ 2，∴PB 2+AP 2＝2CP 2，故答案为：PB 2+AP 2＝2CP 2．17．（3分）（2020•通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 7 ．【解答】解：如图，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ，则四边形ABA ′C 为菱形，菱形的对角线交于点O ，由图②知，当点P 与点B 重合时，y ＝P A +PE ＝AB +BE ＝AB +12AB ＝3√3，解得：AB ＝2√3，即：菱形的边长为2√3，则该菱形的高为√32AB ＝3，点A 关于BC 的对称点为点A ′，连接A ′E 交BC 于点P ，此时y 最小，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则∠BAA ′＝60°，故AA ′B 为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，A′C＝AB＝2√3，则PC=A′Ccos∠BCA′=2√3√32=4，此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），则a+b＝3+4＝7．故答案为7．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．19．（6分）（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．20．（6分）（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※√3；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【解答】解：（1）（﹣2）※√3=（﹣2）2×√3−（﹣2）×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：21．（7分）（2020•通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率=5 12；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率=212=16．22．（7分）（2020•通辽）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB •P A，求证：AB⊥CD．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．23．（8分）（2020•通辽）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【解答】解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．24．（9分）（2020•通辽）某服装专卖店计划购进A ，B 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元．（1）求A ，B 型服装的单价；（2）专卖店要购进A ，B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【解答】解：（1）设A 型服装的单价为x 元，B 型服装的单价为y 元，依题意，得：{2x +3y =4600x +2y =2800，解得：{x =800y =1000．答：A 型服装的单价为800元，B 型服装的单价为1000元．（2）设购进B 型服装m 件，则购进A 型服装（60﹣m ）件，依题意，得：60﹣m ≥2m ，解得：m ≤20．设该专卖店需要准备w 元的货款，则w ＝800（60﹣m ）+1000×0.75m ＝﹣50m +48000， ∵k ＝﹣50，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝20时，w 取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．（9分）（2020•通辽）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 的速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为t （s ）．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝F A ，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠DEF ＝∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm /s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动， ∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝6﹣t ，在△ABP 和△DEQ 中，{AB =DE∠A =∠D AP =DQ，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP ＝EQ ，同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 为平行四边形．（2）解：连接BE 、OA ，则∠AOB =360°6=60°， ∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12，当t ＝0时，点P 与A 重合，Q 与D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，如图1所示：则∠EAF ＝∠AEF ＝30°，∴∠BAE ＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE=√122−62=6√3，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6√3=36√3；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×14矩形ABDE的面积＝6×14×36√3=54√3，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比=2 3．26．（12分）（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x 轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD 于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令y ＝0，得y ＝x ﹣6＝0，解得x ＝6，∴B （6，0），令x ＝0，得y ＝x ﹣6＝﹣6，∴D （0，﹣6），∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），把B 、C 点坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得{−36+6b +c =0c =6，解得，{b =5c =6， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+5x +6；（2）设P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+5m +6），N （m ，m ﹣6），则MN ＝﹣m 2+4m +12，∴△MDB 的面积=12MN ⋅OB =−3m 2+12m +36═﹣3（m ﹣2）2+48，∴当m ＝2时，△MDB 的面积最大，此时，P 点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2√15，∴Q（0，4+2√15）或（0，4﹣2√15）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2√15）或（0，4﹣2√15）．。

2020内蒙古通辽市中考数学试题(解析版)

内蒙古通辽市2020年中考数学试题注意事项：1．本试卷共6页，26小题，满分为120分，考试时间为120分钟．2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．3．考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交．一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑)1.2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A. 50.310⨯B. 4310⨯C. 33010⨯D. 3万【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故选：B ．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.下列说法不正确．．．的是( ) A. 2a 是2个数a 的和B. 2a 是2和数a 的积C. 2a 是单项式D. 2a 是偶数【答案】D【解析】【分析】根据2a 的意义，分别判断各项即可.【详解】解：A 、2a =a+a ，是2个数a 的和，故选项正确；B 、2a =2×a ，是2和数a 的积，故选项正确；C 、2a 是单项式，故选项正确；D 、当a 为无理数时，2a 是无理数，不是偶数，故选项错误；故选D.【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a 不一定为整数是解题的关键.3.下列事件中是不可能事件．．．．．的是( ) A. 守株待兔B. 瓮中捉鳖C. 水中捞月D. 百步穿杨【答案】C【解析】【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A 、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B 、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C 、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D 、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( ) A.B. C .D.【答案】A【解析】【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．【详解】解：A 、∠α与∠β互余，故本选项正确；B 、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；C 、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；故选A.【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．5.若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k＜1B. k≤1C. k＜1且k≠0D. k≤1且k≠0【答案】B【解析】【详解】解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=32；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．故选B．6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形内心的定义，三角形内心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．【详解】解：三角形内心为三个角的角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．故选：B．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的内心．7.如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，72P ∠=︒，则C ∠=( )A. 108︒B. 72︒C. 54︒D. 36︒【答案】C【解析】【分析】连接OA 、OB ，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP 的内角和为360°，即可推出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C 的度数．【详解】解：连接OA 、OB ，∵直线PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=54°．故选：C ．【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．8.如图，AD 是ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )A. 90BAC ∠=︒B. 90DAE ∠=︒C. AB AC =D. AB AE =【答案】A【解析】【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.【详解】解：A 、若90BAC ∠=︒，则AD=BD=CD=AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，则此时四边形ADCE 为菱形，故选项正确；B 、若90DAE ∠=︒，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；C 、若AB AC =，则∠ADC=90°，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；D 、若AB AE =，而AB ＞AD ，则AE≠AD ，无法判断四边形ADCE 为菱形，故选项错误.故选A.【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握判定定理.9.如图，OC 交双曲线k y x=于点A ，且:5:3OC OA =，若矩形ABCD 的面积是8，且//AB x 轴，则k 的值是( )A. 18B. 50C. 12D. 2009【答案】A【解析】【分析】过点A 和点C 分别作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，得到△OAE ∽△OCF ，设点A （m ，n ），求出AB 和BC ，利用矩形ABCD 的面积为8求出mn ，即k 值.【详解】解：过点A 和点C 分别作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，∴AE ∥CF ，∴△OAE ∽△OCF ，∵OC ：OA=5：3，∴OF ：OE=CF ：AE=5：3，设点A （m ，n ），则mn=k ，∴OE=m ，AE=n ，∴OF=53m ，CF=53n ， ∴AB=OF-OE=23m ，BC=CF-AE=23n ， ∵矩形ABCD 的面积为8，∴AB·BC=23m ×23n =8， ∴mn=18=k ，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出线段的长.10.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A. 14B. 12C. 34D. 1【答案】C【解析】【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题，（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240，则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°，故扇形的圆心角是150︒，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是34，故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 二、填空题(本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上) 11.计算：（1）0(3.14)π-= ______；（2）2cos45︒=______；（3）21-= ______．【答案】 (1). 1 (2).(3). -1【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.【详解】解：0(3.14)π-=1，2cos45︒=2×2， 21-=-1，故答案为：1，2，-1.【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键.12.若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是______；（2）a 的值是______；（3）方差是______．【答案】 (1). 3 (2). 1 (3). 1.6【解析】【分析】根据平均数的定义先求出a 的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得，3+a +3+5+3=3×5，解得：a=1，则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，方差为：()()()()()22222113333333535⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=85=1.6，故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6【点睛】此题考查了众数、平均数和方差，用到的知识点是众数、平均数和方差的求法，注意计算不要出错.13.如图，点O 在直线AB 上，531728AOC ︒'''∠=，则BOC ∠的度数是______．【答案】1264232'''︒【解析】【分析】根据补角的定义，进行计算即可.【详解】解：由图可知：∠AOC 和∠BOC 互补，∵531728AOC '''∠=︒，∴∠BOC=180°-531728'''︒=1264232'''︒，故答案为：1264232'''︒.【点睛】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9n+个正方形比第n个正方形多_____个小正方形．个小正方形……，按这样的方法拼成的第()1【答案】2n+3【解析】【分析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．【详解】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，第二个图形有32=9个正方形组成，第三个图形有42=16个正方形组成，∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成∴（n+2）2-（n+1）2=2n+3故答案为：2n+3．【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键．15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．【答案】12【解析】【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解【详解】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．16.如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=PQ 2【解析】【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt △PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD=AD=DB ，∵PA 2=（AD-PD ）2=（CD-PD ）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，PB 2=（BD+PD ）2=（CD+PD ）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，∴PA 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt △PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，∴PA 2+PB 2=2PC 2，∵△CPQ 为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴2PC 2=PQ 2，∴PA 2+PB 2=PQ 2，故答案为PA 2+PB 2=PQ 2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.17.如图①，在ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设,PC x PA PE y =+=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．．那么+a b 的值为_______．【答案】7【解析】【分析】过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，交于点D ，证明四边形ABCD 为菱形，得到点A 和点D 关于BC 对称，从而得到PA+PE=PD+PE ，推出当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=33PA+PE 的最小值为3，PC 的长，即可得到结果.【详解】解：如图，过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，交于点D ，可得四边形ABCD 为平行四边形，又AB=AC ，∴四边形ABCD 为菱形，点A 和点D 关于BC 对称，∴PA+PE=PD+PE ，当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=33∵点E 是AB 中点，∴BE+BD=3BE=33， ∴BE=3，AB=BD=23，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD 为等边三角形，∴DE ⊥AB ，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE 的最小值为3，即点H 的纵坐标为a=3，当点P 为DE 和BC 交点时，∵AB ∥CD ，∴△PBE ∽△PCD ，∴PB BE PC CD=， ∵菱形ABCD 中，AD ⊥BC ，∴BC=2×()()22233-=6，∴6323PC PC -=，解得：PC=4，即点H 的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题(本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)18.解方程：232x x=-. 【答案】6x =.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】去分母，得()232x x =-，去括号，得236x x =-，移项，合并同类项，得6x -=-，化x 的系数为1，得6x =，经检验，6x =是原方程的根，∴原方程的解为6x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．19.从A 处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A 处与楼的水平距离AD 为90m ，若tan 0.27,tan 2.73αβ==，求这栋楼高．【答案】270米【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD 、DC 的长，求和即可. 【详解】解：在Rt △ABD 中，tanα=BD AD，则BD=AD•tanα=90×0.27=24.3，在Rt △ACD 中，tanβ=CD AD ，则CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7， ∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，答：这栋楼高约为270米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定23m n m n mn n =--※，如：2121212326=⨯-⨯-⨯=-※．（1）求()23-※；（2）若36m ≥-※，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【答案】(1)33；(2)2m ≥-，图见解析【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x 的不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）()23-※=()()2232333-⨯--⨯-⨯=432333+-=33（2）∵36m ≥-※，∴23336m m m --≥-解得：2m ≥-将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤21.甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【答案】（1）512；（2）16【解析】【分析】（1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；【详解】解：画树状图得：（1）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有1个偶数数字的有5种情况，∴取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是5 12：（2）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况，∴取出的3个小球上全是奇数数字的概率是21 126=.【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．22.如图，O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且2·PC PB PA=．求证：AB CD⊥．【答案】见解析【解析】【分析】连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到PA PCPD PB=，再根据2·PC PB PA=得到PA PCPC PB=，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果. 【详解】解：连接AC和BD，在△PAC和△PBD中，∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB，∴PA PC PD PB=，∴PA PD PC PB=，∵2·PC PB PA=，∴PA PC PC PB=，∴PC=PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD.【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解题的关键是证明△PAC∽△PDB，得到PA PC PD PB=.23.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【答案】（1）100；（2）见解析；（3）2000【解析】【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．【详解】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100-40-20-10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，∴该校共有学生大约有：800÷40%=2000人；【点睛】本题考查统计，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．24.某服装专卖店计划购进,A B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求,A B型服装的单价；（2）专卖店要购进,A B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【答案】（1）A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）47000【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．【详解】解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，依题意得：23460022800 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：8001000 xy=⎧⎨=⎩答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，根据题意，得m≥2（60-m），∴m≥40，设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，∴w随m的增大而增大，∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．25.中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm．点,P Q同时分别从,A D两点出发，以1cm/s的速度沿,AF DC 向终点,F C 运动，连接,,,PB PE QB QE ，设运动时间为()t s ．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【答案】（1）见解析；（2）2：3【解析】【分析】（1）只要证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP=EQ ，同理PE=BQ ，由此即可证明；（2）过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD 分别求出矩形PBQE 的面积和正六边形ABCDEF 的面积，从而得到结果.【详解】解：（1）证明：∵中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA ，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm/s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，∴AP=DQ=t ，PF=QC=6-t ，在△ABP 和△DEQ 中，AB DE A D AP DQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP=EQ ，同理可证PE=QB ，∴四边形PEQB 是平行四边形；（2）由（1）可知四边形PEQB 是平行四边形∴当∠BQE=90°时，四边形PEQB 是矩形过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD∴∠BNQ=∠QME=90°，∴∠BQN+∠NBQ=90°，∠BQN+∠EQM=90°∴∠NBQ=∠EQM∴△NBQ ∽△MQE ∴BN QM NQ EM 又∵正六边形ABCDEF 的半径为6，∴正六边形ABCDEF 的各边为6，∠BCQ=∠EDQ=120°∴在Rt △BNC 和Rt △EDM 中，∠NBC=∠DEM=30°∴NC=DM=132BC =，BN=EM=33 ∴333x 33，解得： 1260x x ==，（舍去）即当P 与F 重合，Q 与C 重合时，四边形PEQB 是矩形此时矩形PEQB 的面积为BC CE 663363∵在正六边形ABCDEF 中，∠COD=60°，OC=OD∴△OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH=33 S 六边形ABCDEF =162CD OH ⨯⨯⨯ =163362⨯⨯⨯ =543，∴S 矩形PBQE ：S 六边形ABCDEF =363：543=2：3【点睛】本题考查正多边形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质与判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，415+0，415-.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯ =231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ ⊥NQ ，如图，分别过点M 和N 作y 轴的垂线，垂足为E 和F ，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME ，∴△MEQ ∽△QFN ， ∴ME EQ QF FN =，即21242n n -=+，解得：n=415+4215-∴点Q （0，4215+0，415-，综上：点Q 的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4215+0，415-.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷 (解析版)

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤16．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE 是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．10．从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a的值是；（3）方差是．13．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．14．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．17．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．解方程：＝．19．从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD 为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．20．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．23．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万【分析】根据科学记数法定义：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，即可表示．解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．3．下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．4．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．5．关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤1【分析】若一元二次方程有有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．故选：B．7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．解：连接OA、OB，∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝54°，故选：C．8．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE 是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论．解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．【分析】延长DA、CB，交x轴于E、F，通过证得三角形相似求得△AOE的面积＝9，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k的值．解：延长DA、CB，交x轴于E、F，∵四边形ABCD矩形，且AB∥x轴，∴DE⊥x轴，CF⊥x轴，∴AE∥CF，∴△AOE∽△COF，∴＝（）2＝，∵矩形ABCD的面积是8，∴△ABC的面积为4，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△OFC，∴＝（）2，∵OC：OA＝5：3，∴＝，∴＝，∴S△OFC＝25，∴＝，∴S△AOE＝9，∵双曲线y＝经过点A，∴S△AOE＝|k|＝9，∵k＞0，∴k＝18，故选：A．10．从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：＝150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是，故选：C．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．计算：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1．【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．12．若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是3；（2）a的值是1；（3）方差是．【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义和计算方法进行计算即可．解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a+5）＝3×5，解得，a＝1，（3）S2＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2]＝，故答案为：3，1，．13．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是121°42′32″．【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．14．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多2n+3个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【分析】根据增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是PB2+AP2＝2CP2．【分析】连接BQ，由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得∠CAP＝∠CBQ＝45°，可得∠ABQ＝90°，由勾股定理可得PB2+BQ2＝PQ2，即可求解．解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．17．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为3+2．【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×AC sin∠OAC＝4m×sin60°＝2m，从图②看，BC＝3＝2m，解得：m＝；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，则a＝PC＝＝＝m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+m＝3+2．故答案为3+2．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．解方程：＝．【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．19．从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD 为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出BD、CD的长，即可求楼高BC．解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．20．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3m，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．解：（1）（﹣2）※＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：21．甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率＝；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝＝．22．如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．【分析】连接AC、BC，如图，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可判断△APC∽△BPD，利用相似比得到PC•PD＝PA•PB，利用PC2＝PB•PA得到PC＝PD，然后根据垂径定理得到结论．【解答】证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝PA：PD，∴PC•PD＝PA•PB，∵PC2＝PB•PA，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．23．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【分析】（1）根据爱好运动的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以得到爱好阅读和上网的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据爱好运动的学生所占的百分比，可以计算出该校学生总数大约有多少名．解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．24．某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【分析】（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，根据“2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，根据购进A型件数不少于B型件数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该专卖店需要准备w元的货款，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，依题意，得：60﹣m≥2m，解得：m≤20．设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，∵k＝﹣50，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．【分析】（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP＝EQ，同理PE＝BQ，由此即可证明；（2）求出t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面积＝＝﹣3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4，∴Q（0，4+）或（0，4﹣）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+）或（0，4﹣）．。

内蒙古通辽市2020年中考数学试题【word精校精析版】

内蒙古通辽市2020年中考数学试题注意事项：1．本试卷共6页，26小题，满分为120分，考试时间为120分钟．2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效．3．考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交．一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑)1. 2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是( )A. 50.310⨯B. 4310⨯C. 33010⨯D. 3万【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将30000用科学记数法表示为3×104．故选：B ．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2. 下列说法不正确．．．的是( ) A. 2a 是2个数a 的和B. 2a 是2和数a 的积C. 2a 是单项式D. 2a 是偶数【答案】D【解析】【分析】根据2a 意义，分别判断各项即可.【详解】解：A 、2a =a+a ，是2个数a 的和，故选项正确；B 、2a =2×a ，是2和数a 的积，故选项正确；C 、2a 是单项式，故选项正确；D、当a为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误；故选D.【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键.3. 下列事件中是不可能事件．．．．．的是() A.守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨【答案】C 【解析】【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．∠和β∠互余的摆放方式是()4. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使αA. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．【详解】解：A、∠α与∠β互余，故本选项正确；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；故选A.【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．5. 若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k＜1B. k≤1C. k＜1且k≠0D. k≤1且k≠0【答案】B【解析】【详解】解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=32；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．故选B．6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．7. 如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，72P ∠=︒，则C ∠=( )A. 108︒B. 72︒C. 54︒D. 36︒【答案】C【解析】【分析】连接OA 、OB ，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP 的内角和为360°，即可推出∠AOB 的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C 的度数．【详解】解：连接OA 、OB ，∵直线PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∵∠P=72°，∴∠AOB=108°，∵C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=54°．故选：C ．【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．8. 如图，AD 是ABC中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是( )A. 90BAC ∠=︒B. 90DAE ∠=︒C. AB AC =D. AB AE =【答案】A【解析】【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.【详解】解：A 、若90BAC ∠=︒，则AD=BD=CD=AE ，∵四边形ADCE 是平行四边形，则此时四边形ADCE 为菱形，故选项正确；B 、若90DAE ∠=︒，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；C 、若AB AC =，则∠ADC=90°，则四边形ADCE 是矩形，故选项错误；D 、若AB AE =，而AB ＞AD ，则AE≠AD ，无法判断四边形ADCE 为菱形，故选项错误.故选A.【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握判定定理.9. 如图，OC 交双曲线k y x=于点A ，且:5:3OC OA =，若矩形ABCD 的面积是8，且//AB x 轴，则k 的值是( )A. 18B. 50C. 12D. 2009【答案】A【解析】【分析】过点A 和点C 分别作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，得到△OAE ∽△OCF ，设点A （m ，n ），求出AB 和BC ，利用矩形ABCD 的面积为8求出mn ，即k 值.【详解】解：过点A 和点C 分别作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，∴AE ∥CF ，∴△OAE ∽△OCF ，∵OC ：OA=5：3，∴OF ：OE=CF ：AE=5：3，设点A （m ，n ），则mn=k ，∴OE=m ，AE=n ，∴OF=53m ，CF=53n ， ∴AB=OF-OE=23m ，BC=CF-AE=23n ， ∵矩形ABCD 的面积为8，∴AB·BC=23m ×23n =8， ∴mn=18=k ，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数表达式，矩形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质表示出线段的长.10. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A. 14B. 12C. 34D. 1【答案】C【解析】【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题，（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240，则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°，故扇形的圆心角是150︒，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是34，故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 二、填空题(本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上)11. 计算：（1）0(3.14)π-= ______；（2）2cos45︒=______；（3）21-= ______．【答案】 (1). 1 (2).(3). -1【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.【详解】解：0(3.14)π-=1，2cos45︒=2×22=2， 21-=-1，故答案：1，2，-1.【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键.12. 若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是______；（2）a 的值是______；（3）方差是______．【答案】 (1). 3 (2). 1 (3). 1.6【解析】【分析】根据平均数的定义先求出a 的值，再根据众数的定义、以及方差公式进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得，3+a +3+5+3=3×5，解得：a=1，则一组数据1，3，3，3，5的众数为3，方差为：()()()()()22222113333333535⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=85=1.6，故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6【点睛】此题考查了众数、平均数和方差，用到的知识点是众数、平均数和方差的求法，注意计算不要出错.13. 如图，点O 在直线AB 上，531728AOC ︒'''∠=，则BOC ∠的度数是______．【答案】1264232'''︒【解析】【分析】根据补角的定义，进行计算即可.【详解】解：由图可知：∠AOC 和∠BOC 互补，∵531728AOC '''∠=︒，∴∠BOC=180°-531728'''︒=1264232'''︒，故答案为：1264232'''︒.【点睛】本题考查了补角的定义，和角的计算，关键是掌握角的运算方法.14. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第()1n +个正方形比第n 个正方形多_____个小正方形．【答案】2n+3【解析】【分析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．【详解】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，第二个图形有32=9个正方形组成，第三个图形有42=16个正方形组成，∴第n 个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成∴（n+2）2-（n+1）2=2n+3故答案为：2n+3．【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键．15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．【答案】12【解析】【分析】设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解【详解】解：设平均一人传染了x 人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）．∴平均一人传染12人．故答案为：12．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．16. 如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【解析】【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt △PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD=AD=DB ，∵PA 2=（AD-PD ）2=（CD-PD ）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，PB 2=（BD+PD ）2=（CD+PD ）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，∴PA 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt △PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，∴PA 2+PB 2=2PC 2，故答案为PA 2+PB 2=2PC 2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.17. 如图①，在ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设,PC x PA PE y =+=．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．．那么+a b 的值为_______．【答案】7【解析】【分析】过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，交于点D ，证明四边形ABCD 为菱形，得到点A 和点D 关于BC 对称，从而得到PA+PE=PD+PE ，推出当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=33PA+PE 的最小值为3，PC 的长，即可得到结果.【详解】解：如图，过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，交于点D ，可得四边形ABCD 为平行四边形，又AB=AC ，∴四边形ABCD 为菱形，点A 和点D 关于BC 对称，∴PA+PE=PD+PE ，当P ，D ，E 共线时，PA+PE 最小，即DE 的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=33∵点E 是AB 中点，∴BE+BD=3BE=33， ∴BE=3，AB=BD=23，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD 为等边三角形，∴DE ⊥AB ，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE 的最小值为3，即点H 的纵坐标为a=3，当点P 为DE 和BC 交点时，∵AB ∥CD ，∴△PBE ∽△PCD ，∴PB BE PC CD=， ∵菱形ABCD 中，AD ⊥BC ，∴BC=2×()()22233-=6，∴6323PC PC -=，解得：PC=4，即点H 的横坐标为b=4，∴a+b=3+4=7，故答案为：7.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题(本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)18. 解方程：232x x=-. 【答案】6x =.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】去分母，得()232x x =-，去括号，得236x x =-，移项，合并同类项，得6x -=-，化x 的系数为1，得6x =，经检验，6x =是原方程的根，∴原方程的解为6x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．19. 从A 处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A 处与楼的水平距离AD 为90m ，若tan 0.27,tan 2.73αβ==，求这栋楼高．【答案】270米【解析】【分析】根据正切的定义分别求出BD 、DC 的长，求和即可.【详解】解：在Rt △ABD 中，tanα=BD AD，则BD=AD•tanα=90×0.27=24.3，在Rt △ACD 中，tanβ=CD AD ，则CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7， ∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，答：这栋楼高约为270米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20. 用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定23m n m n mn n =--※，如：2121212326=⨯-⨯-⨯=-※．（1）求()23-※；（2）若36m ≥-※，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【答案】(1)33；(2)2m ≥-，图见解析【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x 的不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）()23-※=()()2232333-⨯--⨯-⨯=432333+-=33（2）∵36m ≥-※，∴23336m m m --≥-解得：2m ≥-将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤21. 甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．【答案】（1）512；（2）16【解析】【分析】（1）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案；【详解】解：画树状图得：（1）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有1个偶数数字的有5种情况，∴取出的3个小球上只有1个偶数数字的概率是5 12：（2）∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况，∴取出的3个小球上全是奇数数字的概率是21 126=.【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．22. 如图，O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且2·PC PB PA=．求证：AB CD⊥．【答案】见解析【解析】【分析】连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到PA PCPD PB=，再根据2·PC PB PA=得到PA PCPC PB=，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果. 【详解】解：连接AC和BD，在△PAC和△PBD中，∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB，∴PA PC PD PB=，∴PA PD PC PB=，∵2·PC PB PA=，∴PA PC PC PB=，∴PC=PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD.【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解题的关键是证明△PAC∽△PDB，得到PA PC PD PB=.23. 某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．【答案】（1）100；（2）见解析；（3）2000【解析】【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．【详解】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100-40-20-10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，∴该校共有学生大约有：800÷40%=2000人；【点睛】本题考查统计，解题关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．24. 某服装专卖店计划购进,A B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求,A B型服装的单价；（2）专卖店要购进,A B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？【答案】（1）A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）47000【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．【详解】解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，依题意得：23460022800 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：8001000 xy=⎧⎨=⎩答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，根据题意，得m≥2（60-m），∴m≥40，设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，∴w随m的增大而增大，∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．25. 中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm．点,P Q同时分别从,A D两点出发，以1cm/s的速度沿,AF DC 向终点,F C 运动，连接,,,PB PE QB QE ，设运动时间为()t s ．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比．【答案】（1）见解析；（2）2：3【解析】【分析】（1）只要证明△ABP ≌△DEQ （SAS ），可得BP=EQ ，同理PE=BQ ，由此即可证明；（2）过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD 分别求出矩形PBQE 的面积和正六边形ABCDEF 的面积，从而得到结果.【详解】解：（1）证明：∵中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA ，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F ，∵点P ，Q 同时分别从A ，D 两点出发，以1cm/s 速度沿AF ，DC 向终点F ，C 运动，∴AP=DQ=t ，PF=QC=6-t ，在△ABP 和△DEQ 中，AB DE A D AP DQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△DEQ （SAS ），∴BP=EQ ，同理可证PE=QB ，∴四边形PEQB 是平行四边形；（2）由（1）可知四边形PEQB 是平行四边形∴当∠BQE=90°时，四边形PEQB 是矩形过点B ，点E 作BN ⊥CD ，EM ⊥CD ，连接OC ，OD ，过点O 作OH ⊥CD∴∠BNQ=∠QME=90°，∴∠BQN+∠NBQ=90°，∠BQN+∠EQM=90°∴∠NBQ=∠EQM∴△NBQ ∽△MQE ∴BN QM NQ EM 又∵正六边形ABCDEF 的半径为6， ∴正六边形ABCDEF 的各边为6，∠BCQ=∠EDQ=120°∴在Rt △BNC 和Rt △EDM 中，∠NBC=∠DEM=30°∴NC=DM=132BC =，BN=EM=33 ∴333x 33，解得： 1260x x ==，（舍去）即当P 与F 重合，Q 与C 重合时，四边形PEQB 是矩形此时矩形PEQB 的面积为BC CE 663363∵在正六边形ABCDEF 中，∠COD=60°，OC=OD∴△OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6，OH=33 S 六边形ABCDEF =162CD OH ⨯⨯⨯ =163362⨯⨯⨯ =543，∴S 矩形PBQE ：S 六边形ABCDEF =363：543=2：3【点睛】本题考查正多边形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质与判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，415+0，415-.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯ =231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ ⊥NQ ，如图，分别过点M 和N 作y 轴的垂线，垂足为E 和F ，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME ，∴△MEQ ∽△QFN ， ∴ME EQ QF FN =，即21242n n -=+，解得：n=415+4215-∴点Q （0，4215+0，415-，综上：点Q 的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4215+0，415-.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.衡石量书整理。

2020年内蒙古通辽中考数学试卷

数学试卷第1页（共6页）数学试卷第2页（共6页）绝密★启用前2020年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试数学注意事项：1.本试卷共6页，26小题，满分为120分，考试时间为120分钟。

2.根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试题均按要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无效。

3.考试结束后，将本试卷与答题卡分别封装一并上交。

一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B 铅笔涂黑）.1.2020年我市初三毕业生超过30 000人，将30 000用科学记数法表示正确的是（） A .50.310⨯B .4310⨯C .33010⨯D .3万 2.下列说法不正确．．．的是（）A .2a 是2个数a 的和B .2a 是2和数a 的积C .2a 是单项式D .2a 是偶数3.下列事件中是不可能事件．．．．．的是（）A .守株待兔B .瓮中捉鳖C .水中捞月D .百步穿杨4.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使2a 和β∠互余的摆放方式是（）A B CD5.关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是（） A .1k ＜且k ≠0B .1k ＜C .1k ≤且k ≠0D .1k ≤ 6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）AB C D7.如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点，72P ∠=︒，则C ∠=（）A .108︒B .72︒C .54︒D .36︒ 8.如图，AD 是ABC △的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断ADCE 是菱形的是（）A .90BAC ∠=︒B .90DAE ∠=︒C .AB AC =D .AB AE =9.如图，OC 交双曲线ky x=于点A ，且:5:3OC OA =，若矩形ABCD 的面积是8，且AB x ∥轴，则k 的值是（）A .18B .50C .12D .200910.从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解2(1)(1)ax a a x x -=+-；（3）棱长是1 cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14 cm ；（4）弧长是20 cm π，面积是2240 cm π的扇形的圆心角是120︒.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________数学试卷第3页（共6页）数学试卷第4页（共6页）A .14B .12C .34D .1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11.计算：（1）0(3.14π)=-________；（2）2cos45︒=________；（3）21-=________.12.若数据3，a ，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是________；（2）a 的值是________；（3）方差是________.13.如图，点O 在直线AB 上，5817'28''AOC ∠=︒.则BOC ∠的度数是________.14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第()1n +个正方形比第n 个正方形多________个小正方形.15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人.16.如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则2PA ，2PB ，2PC 三者之间的数量关系是________.17.如图①，在ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC x =，PA PE y +=.图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点.那么a b +的值为________.三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18.（5分）解方程：232x x=-.19.（6分）从A 处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A 处与楼的水平距离AD 为90 m .若tan 0.27α=，tan 2.73β=，求这栋楼高.20.（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定23m n m n mn *=--，如：2121123262*-⨯-⨯⨯==. （1）求()2-（2）若36m *-≥，求m 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集.21.（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋各随机取出1个小球.用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率.数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）22.（7分）如图，O 的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且2PC PB PA =⋅，求证：AB CD ⊥.23.（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名.24.（9分）某服装专卖店计划购进,A B 两种型号的精品服装.已知2件A 型服装和3件B 型服装共需4600元；1件A 型服装和2件B 型服装共需2800元. （1）求,A B 型服装的单价；（2）专卖店要购进,A B 两种型号服装60件，其中A 型件数不少于B 型件数的2倍，如果B 型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25.（9分）中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6 cm ，点,P Q 同时分别从,A D 两点出发，以1 cm/s 的速度沿,AF DC 向终点F C ，运动，连接PB ，PE ，QB ，QE ，设运动时间为()t s .（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比.26.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C .且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称，点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N . （1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以Q M N ，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1. 2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A.3×104B.0.3×105C.3万D.30×1032. 下列说法不正确的是( )A.2a是2和a的积B.2a是2个数a的和C.2a是偶数D.2a是单项式3. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A.守株待兔B.瓮中捉鳖C.百步穿杨D.水中捞月4. 如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A. B.C. D.5. 关于x的方程kx2−6x+9=0有实数根，k的取值范围是( )A.k<1B.k<1且k≠0C.k≤1D.k≤1且k≠06. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A. B.C. D.7. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72∘，则∠C＝（）A.72∘B.108∘C.36∘D.54∘8. 如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A.∠DAE＝90∘B.∠BAC＝90∘C.AB＝AED.AB＝AC9. 如图，OC交双曲线y=kx于点A，且OC:OA＝5:3，若矩形ABCD的面积是8，且AB // x轴，则k的值是（）A.50B.18C.2009D.1210. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2−a＝a(x+1)(x−1)；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120∘．A.1 2B.14C.1D.34二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）计算：（1）(3.14−π)0＝________；（2）2cos45∘＝________；（3）−12＝________．若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是________；（2）a的值是________；（3）方差是________．如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58∘17′28″．则∠BOC的度数是________．如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第(n+1)个正方形比第n个正方形多________个小正方形．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90∘，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是________．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC=x，PA+PE=y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为________．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）解方程：2x−2=3x．从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．用▱定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m▱n＝m2n−mn−3m，如：1▱2＝12×2−1×2−3×2＝−6．（1）求(−2)▱√3；（2）若3▱m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB⋅PA，求证：AB⊥CD．某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．(1)求A，B型服装的单价；(2)专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？中心为O的正六边形ABCDEF的半轻为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC 向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1.【答案】此题暂无答案【考点】科学较盛法含-表项较大的数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，解决本题的关键是掌握科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n 的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．[科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数．2.【答案】此题暂无答案【考点】单项式来概念兴应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．3.【答案】此题暂无答案【考点】随验把件不于械事件必水明件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】此题暂无答案【考点】余因顿补角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．5.【答案】此题暂无答案【考点】根体判展式一元二较方程熔定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△＝0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．6.【答案】此题暂无答案【考点】三角形的于切圆深内心作图射子本作图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．7.【答案】此题暂无答案【考点】切表的木质圆明角研理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8.【答案】此题暂无答案【考点】菱都资性质菱因顿判定平行四表形型性质直使三碳形望边扩的中线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、熟练掌握菱形的判定是关键．9.【答案】此题暂无答案【考点】反比射函可铜象上误的坐标特征反比表函数弹数k蜡几何主义矩来兴性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．10.【答案】此题暂无答案【考点】命体与白理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）【答案】此题暂无答案【考点】零因优幂特殊角根三角函股值实因归运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．【答案】此题暂无答案【考点】众数方差算三平最数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的意义是正确计算的关键．【答案】此题暂无答案【考点】度分都注换算角水明念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180∘．【答案】【考点】规律型：三形的要化类规律型：点的坐较规律型：因字斯变化类【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．【答案】此题暂无答案【考点】一元二射方程的象多——爱长率问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．【答案】此题暂无答案【考点】勾体定展全根三烛形做给质与判定等腰于角三旋形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∠ABQ＝90∘是本题的关键．【答案】此题暂无答案【考点】动表问擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】解于姆方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【答案】此题暂无答案【考点】解直角明角念的应用备仰角俯城问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．【答案】此题暂无答案【考点】在数较溴表示总等线的解集解一元因次不丙式实因归运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．【答案】此题暂无答案【考点】列表法三树状图州【解析】【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【答案】此题暂无答案【考点】相验极角家的锰质与判定垂都着理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了圆周角定理和垂径定理．【答案】此题暂无答案【考点】条都连计图全面调表与弹样调查用样射子计总体扇表统病图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【答案】此题暂无答案【考点】二元一明方息组交应先——销售问题一元都次特等水的实常应用一次水根的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【答案】此题暂无答案【考点】平常四占形符性渐与判定正多验河和圆矩来兴性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．【答案】此题暂无答案【考点】二次使如综合题待定水体硫故二次函数解析式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．。

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷

2020年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．（3分）2020年我市初三毕业生超过30000人，将30000用科学记数法表示正确的是（）A．0.3×105B．3×104C．30×103D．3万2．（3分）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数3．（3分）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨4．（3分）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）A．B．C．D．5．（3分）关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k＜1C．k≤1且k≠0D．k≤16．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（）A．108°B．72°C．54°D．36°8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE9．（3分）如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．10．（3分）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（）（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．A．B．C．D．1二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．（3分）计算：（1）（3.14﹣π）0＝；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝．12．（3分）若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据中（1）众数是；（2）a的值是；（3）方差是．13．（3分）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″．则∠BOC的度数是．14．（3分）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n个正方形多个小正方形．15．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则P A2，PB2，PC2三者之间的数量关系是．17．（3分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，P A+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）解方程：＝．19．（6分）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．20．（6分）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．21．（7分）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．22．（7分）如图，⊙O的直径AB交弦（不是直径）CD于点P，且PC2＝PB•P A，求证：AB⊥CD．23．（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校爱好运动的学生共有800名，则该校学生总数大约有多少名．24．（9分）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．（1）求A，B型服装的单价；（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？25．（9分）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s 的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2020年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答齐案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．解：30000用科学记数法表示为：3×104．故选：B．2．解：A.2a＝a+a，即2a是2个数a的和，说法正确；B.2a是2和数a的积，说法正确；C.2a是单项式，说法正确；D.2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．3．解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．4．解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α＝∠β，故本选项错误；C．∠α＝∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．5．解：k＝0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△≥0，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，故选：D．6．解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．故选：B．7．解：连接OA、OB，∵P A，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，由圆周角定理得，∠C ＝∠AOB＝54°，故选：C．8．解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD ＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C 错误；添加AB＝AE，∵四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝AE，∴AB＝BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．9．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，∴S△AOE＝9，∵双曲线y ＝经过点A，∴S△AOE ＝|k|＝9，∵k＞0，∴k＝18，故选：A．10．解：（1）无理数都是无限小数是真命题，（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm ，圆心角为：＝150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；故随机抽取一个是真命题的概率是，故选：C．二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．解：（1）（3.14﹣π）0＝1；（2）2cos45°＝；（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．12．解：（1）不论a取何值，出现次数最多的是3，出现3次，因此众数是3；（2）（3×3+a+5）＝3×5，解得，a＝1，（3）S2＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2]＝，故答案为：3，1，．13．解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝58°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣58°17′28″＝121°42′32″，故答案为：121°42′32″．14．解：∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．15．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得（1+x）2＝1691+x＝±13x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．16．解：如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠ABQ＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴PB2+AP2＝2CP2，故答案为：PB2+AP2＝2CP2．17．解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，由图②知，当点P与点B重合时，y＝P A+PE＝AB+BE＝AB AB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，则该菱形的高为AB＝3，点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，A′C＝AB ＝2，则PC ＝＝＝4，此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），则a+b＝3+4＝7．故答案为7．三、解答题（包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，2x＝3x﹣6，解得x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，所以x＝6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是x＝6．19．解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC约为270米．20．解：（1）（﹣2）※＝（﹣2）2×﹣（﹣2）×﹣3＝4+2﹣3＝3；（2）3※m≥﹣6，则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，解得：m≥﹣2，将解集表示在数轴上如下：21．解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率＝；（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝＝．22．证明：连接AC、BC，如图，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝P A：PD，∴PC•PD＝P A•PB，∵PC2＝PB•P A，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．23．解：（1）40÷40%＝100（名），即在这次调查中，共调查了100名学生；（2）爱好上网的学生有：100×10%＝10（名），爱好阅读的学生有：100﹣40﹣20﹣10＝30（名），补全的条形统计图如右图所示；（3）800÷40%＝2000（名），答：该校学生总数大约有2000名．24．解：（1）设A型服装的单价为x元，B型服装的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A型服装的单价为800元，B型服装的单价为1000元．（2）设购进B型服装m件，则购进A型服装（60﹣m）件，依题意，得：60﹣m≥2m，解得：m≤20．设该专卖店需要准备w元的货款，则w＝800（60﹣m）+1000×0.75m＝﹣50m+48000，∵k＝﹣50，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣50×20+48000＝47000．答：该专卖店至少需要准备47000元货款．25．（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC ＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s 速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ 中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB ＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE 是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE ＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB ×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．26．解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB 的面积＝＝﹣3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2，∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．第11页（共11页）。

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