《从非线性动力学到复杂系统》
数学中的复杂系统和非线性动力学
数学中的复杂系统和非线性动力学随着科学技术的不断发展，人们对于复杂系统的研究越来越感兴趣。
复杂系统是由许多相互联系和作用的元素组成，这些元素之间的关系可能会随时间变化而产生变化。
但是，这些系统往往比较难以理解，因为它们的行为具有不可预测性和不可确定性。
在数学中，复杂系统的研究和分析是一门重要的学科，而这门学科的一个核心内容就是非线性动力学。
在数学中，动力学是一门研究物体运动规律和光、电、热能的传递规律的学科。
线性动力学研究的是线性系统，这些系统中的元素之间的关系是可以通过线性方程来描述的。
然而，非线性动力学研究的是非线性系统，这些系统中的元素之间的关系无法通过线性方程来描述。
非线性系统往往具有复杂的行为和不可预测性。
例如，天气系统就是一个典型的非线性系统。
虽然我们可以通过观测气温、湿度、气压等指标来预测未来的天气趋势，但是由于天气系统是一个非线性系统，即使是微小的扰动也可能导致非常不同寻常的天气现象的出现。
这也是为什么我们在气象预报中经常听到关于概率和范围的预测，而不是绝对准确的预测。
其他的非线性系统包括心脏病理系统、人口系统和经济系统等。
非线性动力学的研究很大程度上集中在混沌理论的探究上。
混沌理论研究的是一种决定论的系统，这种系统虽然是确定性的，但是由于初始条件的微小差异，也可能会产生完全不同的演化结果。
换句话说，混沌系统可能会在看似随机的行为模式之间不断跳跃，这就是所谓的混沌现象。
混沌现象可以用一种叫做“迭代函数系统”的方式来描述。
迭代函数系统使用一系列非线性方程来描述非线性系统，这些方程通常是相互联系的，并且会随着时间变化而产生变化。
在迭代函数系统中，我们可以通过输入初始条件并反复应用这些方程来计算系统的演化。
因此，迭代函数系统和计算机模拟合作是研究非线性系统和混沌现象的重要工具。
虽然非线性动力学和混沌理论可能听起来很复杂，但是它们也具有实际的应用。
例如，在金融市场中，非线性动力学可以用来预测市场趋势和风险。
物理学中的复杂系统与动力学
物理学中的复杂系统与动力学在我们所生活的这个世界中，物理学无疑是一门揭示自然规律和奥秘的重要学科。
而在物理学的广袤领域里，复杂系统与动力学则像是一座神秘而迷人的迷宫，吸引着无数科学家去探索和求解。
复杂系统，顾名思义，是由大量相互作用的成分组成的系统。
这些成分之间的相互作用并非简单的线性叠加，而是呈现出复杂的非线性关系。
这种非线性使得系统的行为难以预测，充满了不确定性和多样性。
比如生态系统，其中包含了无数的生物物种，它们之间相互依存、竞争、共生，形成了一个复杂的网络。
再比如社会系统，由众多的个体和组织构成，个体之间的交流、合作与冲突，共同塑造了社会的发展和变迁。
动力学则关注的是系统随时间的变化和演化。
在复杂系统中，动力学的表现形式更是丰富多样。
有些系统可能会在一段时间内保持相对稳定的状态，但在某些条件的触发下，会突然发生剧烈的变化，进入一个全新的状态。
这种从一种稳定态到另一种稳定态的转变，被称为相变。
想象一下，水在不同的温度和压力条件下，会从固态的冰转变为液态的水，再转变为气态的水蒸气。
这就是一个典型的相变过程。
在这个过程中，温度和压力等条件的微小变化，都可能导致系统状态的巨大改变。
而在复杂系统中，类似的相变现象更是屡见不鲜。
复杂系统的动力学行为往往具有自组织的特点。
也就是说，系统在没有外部指令的情况下，能够通过内部成分之间的相互作用，自发地形成某种有序的结构或模式。
比如鸟群在空中飞行时，没有一个统一的指挥者，但它们却能自发地形成整齐的队列；再比如大脑中的神经元网络，通过相互之间的电信号传递和连接，能够产生复杂的思维和认知活动。
那么，研究复杂系统与动力学对于我们有什么意义呢？首先，它有助于我们更好地理解自然界中的各种现象。
从气候变化到生物进化，从地震的发生到星系的形成，几乎所有的自然现象都可以看作是复杂系统的动力学过程。
通过研究这些过程，我们能够更深入地认识自然规律，为预测和应对自然灾害提供理论依据。
复杂系统的非线性动力学分析
复杂系统的非线性动力学分析复杂系统是指由许多相互作用的要素构成的系统，在很多领域都有广泛的应用，例如生物、天气、社会和经济等。
复杂系统具有许多特点，其中一个重要的特点就是非线性。
在非线性系统中，当系统受到外部扰动或内部变化时，系统的响应是不可预测的，因此非线性动力学的研究受到越来越多的关注。
非线性动力学研究的重点是在非线性系统中探索混沌、周期和奇异吸引子等动力学现象。
为了更好地理解这些现象，我们需要掌握一些基本的概念和数学工具。
1. 相空间和相轨道相空间是指由系统的所有可能状态组成的空间，在非线性系统中，相空间通常是高维的。
在相空间中，一个状态可以用一个点来表示。
当系统的初始状态确定后，系统将按照一定的动力学规律在相空间中运动，这条轨道就是相轨道。
2. 相平面和自由度相平面是相空间的一个子空间，它只包含与某个变量有关的状态。
在非线性系统中，自由度指的是系统中独立的有意义的变量的个数。
3. 动力学方程动力学方程是描述系统运动规律的数学公式。
在非线性系统中，由于存在相互作用和非线性效应，动力学方程通常是高阶的、非线性的微分方程组。
4. 混沌吸引子混沌吸引子是非线性系统中的一种特殊的吸引子，指的是在相空间中具有分维的奇异吸引子。
混沌吸引子的出现是混沌现象的重要特征，它是一种长期的、不可预测的振荡行为。
5. 可控性和可观测性可控性和可观测性是非线性动力学研究中的重要概念。
可控性指的是系统是否能被外部控制，可观测性指的是系统是否能被观测。
这两个概念对于控制和预测非线性系统的行为至关重要。
6. 分岔理论分岔理论是非线性动力学的重要分支之一，它研究的是系统在参数变化时的运动规律。
在分岔理论中，分岔点是一个重要的概念，指的是当系统的参数变化到一定程度时，系统的运动规律发生突然变化。
总之，非线性动力学是一门重要而复杂的学科，它涉及到数学、物理、化学、生物和工程等多个领域。
随着科技的不断发展，非线性动力学的研究将在许多领域发挥重要的作用。
复杂性科学理论综述
复杂性科学理论综述在当代科学领域中，复杂性科学逐渐成为一门独立的学科。
复杂性科学研究的是那些由大量相互作用的个体组成的系统，这些系统表现出非线性、自组织和难以预测的特征。
它的研究对象包括自然界中的生态系统、大脑、气候系统，以及社会经济系统等。
本文将综述复杂性科学的理论发展、应用领域以及未来的研究方向。
复杂性科学的理论发展可以追溯到20世纪40年代的系统论研究。
系统论强调整体性思维，将系统看作一个整体，由各个子系统相互作用而成。
然而，系统论的主要局限是对复杂系统的刻画过于简单，缺乏对系统内部的动力学和复杂性的深入理解。
为了克服这一限制，复杂性科学成为了一个新兴的领域。
复杂性科学的核心理论之一是复杂网络理论。
复杂网络理论从网络的结构、性质和动态演化等方面研究网络系统的特点。
网络由节点和连接边组成，可以用来描述身份关系网络、社交网络以及脑神经网络等。
复杂网络理论通过度分布、聚集系数和小世界结构等指标来研究网络的特性，揭示了网络系统的规模自相似性和无标度特性。
另一个重要的理论是非线性动力学，它研究的是复杂系统中的非线性行为。
复杂系统常常表现出非线性响应，这意味着系统的行为是非线性的，并且可能出现周期性、混沌和自组织等特征。
通过非线性动力学的方法，可以揭示系统内在的关联和相互作用，预测系统的行为，并解释系统中的复杂现象。
另外，复杂性科学还借鉴了信息论和统计物理学的方法。
信息论提供了熵、互信息和复杂度等指标，用于度量和量化系统的复杂性。
统计物理学则将统计学的方法引入到复杂系统的研究中，通过模拟和建模来解析系统的行为。
这些方法使得研究人员可以通过收集和分析大量数据来揭示系统的内在规律和特征。
复杂性科学的应用领域广泛。
在生态学领域，复杂性科学被应用于生态系统的保护和管理中。
研究人员通过对生物群落结构、物种相互作用和食物网等复杂网络的研究，揭示了物种灭绝的模式和传染病的传播机制。
在社会科学领域，复杂性科学可以帮助我们理解城市的增长与发展、社交网络的形成和演化。
非线性动力学系统深度研究
非线性动力学系统深度研究深度研究非线性动力学系统引言：非线性动力学系统是一类常见的复杂系统，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
与线性系统相比，非线性系统具有更为复杂的行为和动力学特性。
本文将对非线性动力学系统进行深度研究，探讨其定义、模型、稳定性和混沌等关键概念。
一、非线性动力学系统的定义和基本概念非线性动力学系统是指系统中的状态变量和控制参数之间的关系是非线性的系统。
其基本概念主要包括状态变量、动力学方程和相空间等。
1. 状态变量：状态变量是系统的内部变量，它们描述了系统在不同时间的状态。
通常采用向量形式表示，例如(x1, x2, ..., xn)。
2. 动力学方程：动力学方程是描述系统演化规律的数学方程。
对于非线性动力学系统，动力学方程通常是一组非线性微分方程或差分方程。
3. 相空间：相空间描述了非线性动力学系统的所有可能状态的集合。
在相空间中，每个状态被表示为一个点，而系统的演化则对应于在相空间中的运动轨迹。
二、非线性动力学系统的模型与常见例子非线性动力学系统的模型通常采用一组微分方程或差分方程来描述。
下面给出两个常见的非线性动力学系统模型。
1. Lorenz系统：Lorenz系统是一个三维非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹发展而来，主要用于描述大气环流的运动。
Lorenz系统的动力学方程如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = ρx - y - xzdz/dt = xy - βz其中，x、y、z分别表示系统的三个状态变量，σ、ρ、β分别为控制参数。
2. Van der Pol振荡器：Van der Pol振荡器是一个二阶非线性动力学系统，广泛应用于电子工程和生物学中。
其动力学方程如下：d²x/dt² - μ(1 - x²)dx/dt + x = 0其中，x表示系统的状态变量，μ为控制参数。
三、非线性动力学系统的稳定性分析在研究非线性动力学系统时，稳定性是一个关键问题。
数学中的复杂系统理论及应用
数学中的复杂系统理论及应用复杂系统是由许多相互作用的个体组成的系统。
复杂系统理论是一种描述这种系统行为的方法，它研究的系统可以是物理、生物、社会、经济等各种领域中的系统。
在数学中，复杂系统理论主要包括混沌理论、非线性动力学、网络科学等分支。
本文将阐述复杂系统理论的基本概念及其应用。
基本概念1. 混沌理论混沌理论是研究非线性动力学系统中的混沌现象及其规律性的数学理论。
混沌现象指的是系统的初始条件对其演化过程的影响非常敏感，而这种敏感依赖于系统的非线性特性。
混沌理论主要研究混沌系统的性质及其应用，以及如何在混沌系统中产生随机性。
2. 非线性动力学非线性动力学是研究非线性系统中的动力学规律的数学理论。
与线性系统不同，非线性系统的响应不是线性的。
非线性动力学可以描述复杂系统中的许多现象，例如自我组织、模式形成、波动、周期等。
3. 网络科学网络科学是研究复杂网络结构及其动力学行为的交叉学科领域。
网络科学的主要研究对象是由节点和边组成的复杂网络，例如社交网络、物流网络、脑网络等。
网络科学可用于研究网络的基本结构及其演化、网络中的信息传递及其动力学机制、网络中的复杂性分析及其应用等。
应用案例1. 天气预报天气系统是一种复杂系统，混沌理论可用于描述天气系统中的复杂性。
现在的天气预报模型包括大气科学、数学、物理等多个领域，其中非线性动力学是一个重要的工具。
利用非线性动力学的方法，天气预报模型可以更准确地预测大气中的运动，从而提高预报的准确性。
2. 金融市场金融市场是一个典型的复杂系统，其中包括许多机构和个体之间的相互作用。
混沌理论可以用于揭示金融市场中的非线性动力学现象，例如金融市场中的价格波动和泡沫产生。
网络科学可用于揭示金融市场的结构及其动力学行为，例如金融市场中不同机构之间的关系及其演化。
3. 生物多样性生物多样性是世界上不同生物种类的多样性。
混沌理论可用于研究生物多样性中的非线性规律性，例如生态系统中的群落演变。
复杂系统中的非线性动力学
复杂系统中的非线性动力学我们身处的世界是一个充满复杂性的系统，无论是自然界还是人类社会，都存在着众多相互作用的要素。
在这个复杂系统中，非线性动力学起着至关重要的作用。
本文将从理论和实践的角度探讨复杂系统中的非线性动力学，并分析其对我们理解和应对现实世界的意义。
非线性动力学是研究系统行为的一门学科，它关注的是复杂系统中各个要素之间的相互作用及其对整体系统行为的影响。
与线性系统不同，非线性系统的响应不能简单地通过线性关系来描述。
相反，非线性系统的行为是由其内部相互作用及外部环境的影响所决定的。
在自然界中，非线性动力学能够帮助我们更好地理解各种自然现象。
例如，气象学中的天气系统往往是非线性的，气象变量之间互相影响，因此我们无法准确预测天气的未来发展。
地球上的生态系统也是一个复杂而非线性的系统，各种物种之间的相互关系以及环境因素的变化都会对整个生态系统产生深远的影响。
非线性动力学的应用可以帮助我们更好地理解这些自然现象，并且为环境保护和资源管理提供指导。
在人类社会中，非线性动力学同样发挥着重要的作用。
社会系统是一个巨大而复杂的网络，各种社会要素之间的相互作用导致了社会的演化和变化。
研究社会系统中的非线性动力学可以帮助我们更好地理解经济、人口、文化等方面的问题。
例如，经济学中的经济波动往往具有非线性的特点，各种经济变量之间的相互作用导致了经济的不稳定性和突发性的变化。
非线性动力学的方法可以帮助我们对经济现象进行建模和预测，从而更好地应对经济风险。
实际上，非线性动力学的应用还延伸到了许多其他领域。
生物学、化学、物理学等学科都在研究非线性系统中的动力学行为。
例如，神经科学领域中的脑电波和神经网络的研究都需要考虑非线性动力学的影响。
此外，还有许多工程领域使用非线性动力学的理论和方法来研究各种工程系统的行为，包括航空航天、能源、交通运输等。
然而，非线性动力学也带来了挑战和困难。
非线性系统的行为往往复杂且难以预测，需要借助数学模型和计算方法来进行研究。
复杂系统的非线性动力学模型
复杂系统的非线性动力学模型引言复杂系统是由大量相互作用的组件构成的系统，其行为可能表现出非线性特征。
非线性动力学模型是描述复杂系统中非线性行为的数学工具。
本文将介绍复杂系统的特点、非线性动力学模型的基本原理以及其在实际应用中的重要性。
复杂系统的特点复杂系统具有以下几个特点：1.由多个相互作用的组件组成：复杂系统由许多相互作用的组件构成，例如生态系统中的物种、社交网络中的个体等。
2.非线性关系：复杂系统中的组件之间存在非线性关系，即系统的整体行为不能简单由各个组件的线性叠加得到。
3.自组织性：复杂系统具有自组织的能力，即系统中的组件可以通过相互作用形成新的结构和行为。
4.非平衡状态：复杂系统处于非平衡状态，其内部和外部的能量和物质交换使得系统的状态不断变化。
非线性动力学模型的基本原理非线性动力学模型是描述复杂系统中非线性行为的数学模型。
它基于以下几个基本原理：1.状态变量和演化规律：非线性动力学模型使用状态变量来描述系统的状态，并通过演化规律描述状态变量随时间的演化过程。
2.非线性关系：非线性动力学模型中的演化规律包含非线性关系，即状态变量之间的相互作用具有非线性特征。
3.启动条件和边界条件：非线性动力学模型需要指定适当的启动条件和边界条件来确定系统的起始状态和外部约束。
非线性动力学模型可以使用不同的数学方法来描述，包括微分方程、差分方程、离散映射等。
其中，常用的非线性动力学模型包括洛伦兹系统、范德波尔系统、Logistic映射等。
非线性动力学模型的应用非线性动力学模型在各个领域的应用非常广泛，包括自然科学、社会科学、工程技术等。
以下是一些应用实例：1. 生态系统建模非线性动力学模型在生态学中被广泛应用于描述物种的动态演化过程。
例如Lotka-Volterra模型描述了捕食者和猎物之间的相互作用，通过非线性关系描述了食物链中的生态系统行为。
2. 经济系统建模非线性动力学模型在经济学中被用于描述市场的波动和不确定性。
非线性动力学理论及其预测复杂系统演化规律
非线性动力学理论及其预测复杂系统演化规律非线性动力学理论是研究非线性系统行为的数学分析方法，并且被广泛应用于各个科学领域，如物理学、化学、生物学、经济学等。
非线性系统具有复杂的演化规律，这使得其行为难以预测和理解。
然而，非线性动力学理论在揭示这些复杂系统演化规律方面发挥着重要的作用。
非线性动力学理论的核心概念之一是混沌现象。
混沌是一种看似无序却具有确定性的动力学行为。
混沌系统对初始条件极其敏感，微小的变化可能导致系统的完全不同演化。
这使得预测混沌系统的未来行为非常困难，但非线性动力学理论可以帮助我们了解和描述混沌系统中的规律。
在非线性动力学中，还存在着很多其他重要的现象，如周期运动、分岔现象和吸引子等。
周期运动是指系统在某个轨道上周期性地运动，而分岔现象则指系统参数或初始条件微小改变时系统行为突变的现象。
而吸引子是指系统演化过程中的某些稳定状态，吸引子可以是点、线、面甚至是复杂的分形结构。
非线性动力学理论的研究方法包括数学模型的建立、动力学方程的求解和稳定性分析等。
数学模型是描述系统行为的基础，可以是连续的或离散的。
动力学方程是描述系统演化的数学表达式，可以是常微分方程、偏微分方程或差分方程等。
通过求解动力学方程，我们可以获得系统的轨道和稳定性信息，从而了解系统的演化规律。
利用非线性动力学理论，我们可以预测和理解复杂系统的演化行为。
复杂系统是由多个相互作用的元素组成，其整体行为难以通过简单的线性关系推导。
非线性动力学理论为我们提供了一种分析和预测复杂系统行为的框架。
例如，在生物学中，非线性动力学可以帮助我们理解生物系统中的自组织行为和生物钟的运作机制。
在物理学中，非线性动力学理论被应用于研究混沌系统和相变现象，如液滴的形成和磁性材料的相变。
在经济学中，非线性动力学理论可以帮助我们理解市场波动和金融危机的爆发机制。
尽管非线性动力学理论在理论和实践中发挥了重要作用，但仍存在一些挑战和限制。
首先，非线性动力学的数学工具较为复杂，需要较高的数学背景和计算能力。
非线性动力学及其复杂系统理论引介
非线性动力学及其复杂系统理论引介现代科学的发展使我们能够更好地理解和解释周围的现象和系统。
而非线性动力学及其复杂系统理论则成为了一种解释和研究复杂系统行为的有力工具。
本文将为您引介非线性动力学及其复杂系统理论，帮助您更好地理解这一领域的基本概念和原理。
一、非线性动力学的基本概念非线性动力学是研究非线性系统的行为和演化规律的学科。
与线性动力学不同的是，非线性动力学更适用于描述和分析复杂系统中非线性关系和相互作用的影响。
在非线性动力学中，系统的演化不再是简单的线性关系，而是存在着非线性项的影响，这使得系统的行为变得更加多样和复杂。
非线性动力学的一个重要概念是混沌现象。
混沌是指系统演化过程中出现的不可预测、高度敏感和长时间无规则的行为。
混沌现象使得我们无法精确预测一个系统的未来状态，因为微小的扰动可能会导致系统演化出完全不同的结果。
二、复杂系统与复杂性科学复杂系统是由许多相互作用的元素组成，它们之间存在多样的关系和非线性的相互作用。
复杂系统的行为通常呈现出自组织、适应性、多样性和时空演化等特点。
复杂性科学是研究和描述这些复杂系统行为的学科。
由于非线性动力学的发展，复杂性科学得以兴起。
复杂性科学包括对复杂系统的建模、仿真和分析，通过对系统各个层次的研究，可以揭示系统的内在规律和机制。
三、复杂系统的特征与建模复杂系统具有许多特征，包括多样性、耦合性、异质性、自组织性和适应性等。
这些特征使得系统的行为变得多样而复杂。
建立合适的模型是理解和预测复杂系统行为的关键。
建立复杂系统模型可以采用多种方法，如基于网络的模型、基于代理的模型以及基于方程的模型等。
网络模型通过研究系统中各个元素之间的连接和相互作用来描述系统行为。
代理模型则将系统中的元素简化为代理，通过对代理的行为规则进行建模来研究系统行为。
方程模型则通过建立动力学方程来描述系统的演化规律。
四、复杂系统的演化和过程复杂系统的演化是一个动态的过程，它受到系统内外部影响的相互作用和调整。
复杂系统的动力学理论
复杂系统的动力学理论引言复杂系统的研究已经成为现代科学领域中的热点之一。
复杂系统包含许多相互作用的组成部分，其整体行为往往不容易通过简单的规律进行描述。
在过去几十年中，动力学理论被广泛应用于复杂系统的研究，帮助揭示其内在的规律和行为模式。
本文将介绍复杂系统的动力学理论，并深入探讨其在各个领域中的应用。
1. 复杂系统的定义和特征复杂系统是由许多相互作用的组成部分组成的系统。
这些组成部分可以是物体、人类、生物、社会群体等等。
复杂系统的特征包括以下几个方面：•非线性性：复杂系统的行为通常不是线性的，其响应不随输入的改变而呈线性变化。
•自适应性：复杂系统能够根据外部环境的变化主动调整自身的行为。
•自组织性：复杂系统具有自组织的能力，可以通过自身内部的相互作用形成具有特定结构和功能的组织。
•耦合性：复杂系统中的组成部分之间存在相互作用和依赖关系，相互之间的变化会相互影响。
2. 动力学理论的基本概念动力学理论是研究物体或系统在时间和空间中运动和变化规律的科学。
它通过建立数学模型描述系统的演化和变化过程，以揭示系统的内在机制和行为模式。
在复杂系统的研究中，动力学理论起到了重要的作用。
2.1 状态和相空间在动力学理论中，状态是指描述系统特定时刻下的性质和特征的量。
对于复杂系统而言，状态往往需要多个变量来描述。
相空间是由所有可能的状态组成的空间，在相空间中，系统的演化可以被看作是在状态空间中的轨迹运动。
2.2 相图和相流相图是在相空间中描述系统行为的图形化表示，其中每个点代表一个状态。
相流是描述系统在相空间中的演化和运动的一组微分方程。
通过研究相图和相流，可以揭示系统不同状态之间的转变规律和演化轨迹。
2.3 动力学方程和吸引子动力学方程是描述系统演化的微分方程。
通过求解动力学方程，可以得到系统在不同时刻的状态。
吸引子是相空间中吸引系统轨迹的稳定点或稳定集合。
通过研究吸引子，可以揭示系统的稳定性和演化轨迹。
2.4 非线性动力学和混沌非线性动力学是研究非线性系统演化行为的科学。
高维复杂系统的非线性动力学问题研究进展
高维复杂系统的非线性动力学问题研究进展摘要：随着社会经济和科学技术的发展，人们越来越重视非线性科学和技术，而非线性力学则是其中的一个重要方面。
本文主要对于高维复杂系统的非线性动力学问题相关研究内容进行分析，对于提高相关技术应用具有一定帮助。
关键词：高维复杂系统，非线性动力学，振动问题目前，非线性动力学已从以经典的摄动和渐近分析方法为基础对低维、弱非线性、弱耦合进行研究的阶段，进入到用近代的动力系统方法对高维、复杂系统开展深入研究的阶段[1]。
根据上面所提及的对非线性的国内外研究现状和发展趋势，下面从三个方面展望非线性动力学在本世纪的动向，探讨一下在理论和应用研究中面临的一些新的重大问题。
1、高维非线性系统的组合振动和全局分析几十年来，对单自由度简单振动和低维映射系统的非线性动力学的研究已取得一系列重要成果，研究的中心问题是分岔和混沌。
人们通过对一些典型的非线性范例(例如Lorenz奇怪吸引子、Henon奇怪吸引子、Feigenbaum普适分岔序列、K崩环面和Arnold扩散等)的深入分析，发现了极其丰富的非线性现象，提出和发展了多种研究分岔和混沌的理论和方法，如奇异理论、Poincare—Birkhoff范式、Melnikov法和Shilnikov 法、Smale马蹄理论KAM定理等，数值计算方法和模拟手段有了很大的提高，这些突破性的成就为2l世纪的非线性动力学蓬勃发展奠定了雄厚的基础，并对其它学科和技术领域产生了十分深刻的影响。
2、非线性随机振动系统力学随机振动主要研究动力学系统在非确定性激励(包括外部激励和参数激励)作用下的相应特征。
在建模过程中，各种非确定因素由随即变量或随即处理过程表示，系统的动力学特性可用概率密度函数或统计特征量描述。
随机振动系统研究是在上个世纪五十年代初根据航空航天工程的需要而发展起来的，早期分析方法是从通讯和控制理论移植过来的，频域法成为线性随机振动分析的主要手段。
关于复杂系统研究的发展情况
关于复杂系统研究的发展情况
吴志伟;袁德成
【期刊名称】《控制工程》
【年(卷),期】2005(0)S2
【摘要】复杂系统涉及的范围非常广,20世纪80年代到21世纪初关于复杂系统的研究得到很大程度的发展,成为了当今科学界主要研究方向之一。
复杂系统虽然还没有统一的定义,但可以通过几个基本方面,在某种程度上进行描述。
研究复杂系统的相关理论和方法主要包括非线性动力学和混沌理论、Agent和基于Agent的建模、网络等。
复杂系统的研究目前还依然是探索性的,但随着科技工作者的努力,复杂系统在社会发展中必将起到十分重要的作用。
【总页数】5页(P14-17)
【关键词】复杂系统;非线性动力学;混沌;Agent;基于Agent的建模;网络
【作者】吴志伟;袁德成
【作者单位】沈阳化工学院信息工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】N941.4
【相关文献】
1.统计物理学与复杂系统研究最近发展趋势分析 [J], 汪秉宏;周涛;何大韧
2.关于城市交通、物流、生态综合发展的复杂系统研究方法 [J], 王飞跃;戴汝为;张嗣瀛;陈国良;汤淑明;杨东援;杨晓光;李平
3.新时代华侨华人与中国经济发展动力变革复杂系统研究 [J], 申慧云;张向前
4.福建绿色经济高质量发展“经济-社会-环境”复杂系统研究 [J], 申慧云;余杰;张向前;缑锦
5.关于复杂系统研究的学科发展情况——中国航天工业总公司于景元研究员访谈[J],
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复杂系统中的非线性动力学
复杂系统中的非线性动力学随着科学技术的发展，人们对复杂系统的研究日益深入。
复杂系统是由多个相互关联和相互作用的元素组成的系统，这些元素之间的关系和行为往往呈现出非线性特征。
非线性动力学是研究这些复杂系统中非线性行为的一门学科，它在物理学、生物学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
在复杂系统中，非线性动力学通过研究系统中的相互作用和反馈机制来揭示系统的演化规律和稳定性。
与线性系统不同，非线性系统的行为不仅仅受到输入的影响，还受到系统内部的非线性相互作用的影响。
非线性系统的特点在于不可预测性、不确定性和混沌性。
非线性动力学的研究方法主要包括数学模型和计算模拟。
数学模型是通过数学方程来描述复杂系统的行为，常见的方程包括非线性微分方程、差分方程和随机方程等。
计算模拟则是利用计算机模拟系统的演化过程，通过大规模的计算得到系统的状态和性质。
在物理学中，非线性动力学的应用广泛存在于许多领域。
例如，天体力学中的三体问题就是一个典型的非线性动力学问题，它研究三个物体之间的相互作用和运动规律。
另一个著名的物理学应用是混沌理论，它研究非线性系统中的混沌现象和确定性混沌运动。
混沌理论的重要性在于揭示了非线性系统的复杂性和不可预测性。
除了物理学，非线性动力学在生物学中也有重要的应用。
生物系统常常具有分层结构和复杂的相互作用关系，非线性动力学为我们理解生物系统的行为提供了一种新的角度。
例如，非线性动力学可以用来研究生物钟的功能和调控机制，揭示生物节律和同步现象的产生原理。
此外，非线性动力学还可以用于研究神经网络、生物进化和群体行为等生物学现象。
在经济学领域，非线性动力学的研究对于理解经济系统的波动和危机有着重要的意义。
经济系统往往呈现出复杂的非线性行为，例如经济周期的波动、金融市场的崩盘等。
非线性动力学可以通过构建经济模型和分析市场数据来研究这些现象，为经济政策的制定和风险管理提供科学依据。
总的来说，复杂系统中的非线性动力学是一门重要的跨学科研究领域。
非线性动力学和复杂系统的研究
非线性动力学和复杂系统的研究已经成为近年来科学研究领域的热点。
它涉及到很多领域，如物理学、数学、生物学、化学、信息科学等，具有广泛的应用。
随着科技的不断发展，越来越多的科学家开始深入研究这一领域，探索其中奥秘。
主要是研究系统在变化中的行为。
一般来说，线性系统的行为较为明确，相对容易预测。
而非线性系统则不同，它的行为很难直接预测，因为系统的响应会因初始状态的微小变化而出现巨大的差异。
在非线性动力学中，常常会涉及到混沌现象。
所谓混沌，是指起初所表现出来的系统行为很规律，但随着时间的推移，表现出来的行为变得非常复杂、无规律，且对于初始状态非常敏感。
混沌现象虽然看起来有些杂乱，但其中蕴含了很多有用的信息，科学家们通过对混沌现象的研究，得出了一些重要结论，如拉普拉斯变换和傅里叶变换。
非线性动力学与复杂系统的研究并不能像线性系统那样直观。
一些传统的数学方法和实验方法不再适用于非线性系统研究。
因此，在非线性系统研究中，深入研究探索新的数学工具和实验技术显得尤为重要。
近年来，科学家们在这方面做出了很多努力，提出了很多有用的方法，如多元时间序列分析、谱分析法、非线性回归法等等。
这些方法的出现为非线性系统的研究提供了强有力的数学工具和实验手段。
除此之外，还牵涉到许多实际应用。
如金融市场预测、气象预测、交通流量控制、网络优化等等。
在这些领域中，非线性系统的应用都十分广泛，科学家们通过对非线性系统的研究，尝试开发有效的预测模型、控制措施和决策策略，从而更好地服务于社会。
可以说，不仅仅是科学领域的一个学科，而更是对方方面面的全新挑战。
随着科学技术的不断进步，非线性系统的应用必将越来越广泛，我们有理由相信，这个领域的研究一定会取得更加深入、丰硕的成果。
复杂系统与非线性动力学在物理学中的应用
复杂系统与非线性动力学在物理学中的应用在物理学中，复杂系统和非线性动力学是两个重要的研究方向。
复杂系统研究的是由大量相互作用的元素组成的系统，这些元素之间存在非线性关系，导致系统呈现出不可预测的行为。
非线性动力学则研究动力学系统中的非线性现象，其中包括混沌现象和自组织行为等。
本文将介绍复杂系统和非线性动力学在物理学中的应用，并探讨其在科学研究和实际应用中的重要性。
1. 复杂系统的物理性质复杂系统是由许多相互作用的部分组成的整体，其物理性质常常无法通过单个组成部分的性质来解释。
复杂系统具有以下特点：多变性、非线性、适应性、高度耦合性和历史依赖性。
这些特征使得复杂系统具有自组织、自相似、尺度不变性等复杂行为，需要采用综合性的方法来研究和理解。
2. 复杂系统的建模与分析方法为了研究复杂系统，物理学家开发了各种建模与分析方法。
其中一个重要的方法是网络理论，它将系统的元素和它们之间的关系表示为图形结构，通过研究网络的拓扑结构和动态行为揭示系统的特性。
另外，统计物理学方法也被广泛应用于复杂系统的研究，如Monte Carlo模拟和分子动力学模拟等。
3. 复杂系统的应用领域复杂系统的研究不仅在物理学中有着重要的应用，还渗透到了生物学、经济学、社会学等其他学科。
在生物学中，复杂系统理论被用来研究生物分子的相互作用、化学反应网络和生物进化等问题。
在经济学中，复杂系统理论被应用于研究市场波动、经济周期和金融危机等经济现象。
4. 非线性动力学的基本概念非线性动力学是研究动力学系统中的非线性现象的学科。
在非线性动力学中，线性性质被破坏，系统的行为变得复杂多样。
其中一个重要的非线性现象是混沌现象，它表现为在微小的变化下系统的行为变得高度不确定和不可预测。
此外，自组织行为也是非线性动力学的一个重要研究领域，在自组织系统中，系统可以在无外界干扰的情况下自发产生有序结构。
5. 非线性动力学的应用非线性动力学的应用广泛涉及天文学、流体力学、生物学等领域。
复杂系统的研究方法及其应用
复杂系统的研究方法及其应用随着科技的发展，人们对复杂系统的研究越来越深入。
复杂系统是指在自然界和人造环境中，由多个组成部分相互作用形成的系统。
这些系统具有非线性、耗散、自适应、多层次、互动、不确定性等特征，给研究带来了巨大的挑战。
本文将介绍复杂系统的研究方法及其应用。
一、复杂系统的研究方法1.系统科学方法系统科学包括统计物理学、非线性动力学、信息论、模糊逻辑等多种方法。
这些方法都是基于贝叶斯原理，即在数据和模型之间找到最优解。
系统科学方法的特点是涉及大量的数据和模型，需要计算机的高速运算和处理能力。
2.网络科学方法网络科学是研究网络结构、演化和动态性质的学科。
网络科学方法主要应用于复杂系统中的网络结构分析、节点间关系分析和网络演化分析。
通过建立网络模型，分析网络结构和演化规律，可以对复杂系统的演化趋势进行预测和控制。
3.非线性动力学方法非线性动力学是研究非线性系统的动力学行为和复杂性质的学科。
非线性动力学方法主要应用于分析系统的混沌、复杂性和可控性等问题。
二、复杂系统的应用1.交通运输系统交通运输系统是一个典型的复杂系统，包括公路交通、城市公共交通、航空运输等多种模式。
交通运输系统的应用研究主要涉及系统建模、交通流分析、交通运输规划等方面。
2.金融系统金融系统是一个高度复杂的系统，包括交易市场、证券市场、银行体系等多个层次。
金融系统的应用研究主要涉及风险管理、金融市场监管、金融危机预测等方面。
3.自然生态系统自然生态系统是由生物、物理和化学成分相互作用形成的系统。
自然生态系统的应用研究主要涉及生态系统的模拟、演化规律及其影响等方面。
三、复杂系统研究的未来趋势复杂系统研究是一个前沿学科，未来趋势将继续发展。
下面介绍几个可能的发展方向。
1.再认知计算再认知计算是一种基于神经科学的计算方法，主要研究人工智能的发展和复杂系统的建模。
再认知计算的特点是能够模拟人类的认知过程，建立更加真实和可靠的模型。
2.多尺度建模多尺度建模是一种建立系统模型的方法，通过不同尺度的建模，可以更加准确地描述系统的行为和特征。
非线性动力学理论在复杂系统中的应用
非线性动力学理论在复杂系统中的应用非线性动力学理论是一种研究非线性系统行为的数学理论。
它通过建立数学模型来描述和解释复杂系统中的非线性现象，这些现象在线性系统理论中无法很好地解释和预测。
非线性动力学理论的应用范围非常广泛，涉及自然科学、社会科学、工程技术等多个领域。
本文将重点介绍非线性动力学理论在复杂系统中的应用。
复杂系统一般由多个相互作用的部分组成，这些部分之间存在着复杂的关联和非线性的相互作用。
传统的线性学科往往难以描述和解释复杂系统中出现的奇异行为和非线性现象。
而非线性动力学理论通过构建非线性数学模型，为复杂系统行为提供了更加准确的描述和解释。
在物理学中，非线性动力学理论被广泛应用于描述混沌现象。
混沌现象表现为系统的长期行为是不可预测和敏感依赖于初始条件的。
经典的洛伦兹吸引子是一个典型的混沌系统，它的数学模型描述了大气对流运动的复杂性。
非线性动力学理论的应用，使得我们能更好地理解大气运动的复杂行为，从而提高天气预报的准确性和可靠性。
在生物学领域，非线性动力学理论被用来解释生物系统中出现的多种现象。
例如，心脏的跳动、脑电图记录的神经活动、群体行为等。
非线性动力学模型被应用于研究心脏的节律性现象和突发的心动过速，从而推动了心脏病的治疗和预防方法的发展。
另外，非线性动力学理论对于探索生物体内各种分子间相互作用的复杂性和非线性性也起到了重要的作用。
非线性动力学理论的应用还涉及到社会科学领域。
社会系统是一种典型的复杂系统，由许多个体组成，彼此之间存在着复杂的相互作用。
非线性动力学理论被用来解决社会系统中的一些重要问题，如城市发展、交通流动、人口迁移等。
例如，在城市规划中，非线性动力学理论被应用于模拟交通流量和城市发展的变化趋势，为城市规划和交通管理提供决策依据。
工程技术领域也广泛应用了非线性动力学理论。
在控制工程中，非线性动力学模型被用来描述和控制复杂的动态系统。
在电力系统、化工过程和机械系统等领域，非线性动力学理论的应用有助于预测系统中的故障、优化系统性能并实现稳定控制。
动力学中的非线性力学非线性力学系统的分析
动力学中的非线性力学非线性力学系统的分析非线性力学是研究非线性物体行为的学科领域，它与传统的线性力学相对应。
在动力学中，非线性力学系统的分析具有重要的理论和实际意义。
本文将从理论和实践两个方面，对动力学中的非线性力学系统进行分析。
一、理论分析非线性力学系统的理论分析是建立在非线性动力学的基础上的。
在非线性动力学中，系统的运动方程不是简单的线性关系，而是包含了非线性项的微分方程。
为了深入理解非线性力学系统的特性，我们需要使用一些数学工具和方法，如微分方程、相空间、稳定性理论等。
对于一维系统，我们可以通过相图来研究非线性系统的行为。
相图展现了系统在不同状态下的演化轨迹，并能够判断系统的稳定性和周期性。
对于多维系统，我们可以使用数学工具和计算机模拟来研究系统的稳定性和演化。
通过理论分析，我们可以揭示非线性力学系统的某些特性，如吸引子的存在与性质、周期解和混沌现象等。
这些理论研究对于我们理解自然和工程界的复杂现象具有重要意义。
二、实践分析在实践中，非线性力学系统的分析经常涉及到实验和数值计算。
实验是通过实际操作来观察和测量系统的行为，从而得到实际数据。
数值计算则是通过计算机模拟来解决非线性力学系统的微分方程，得到系统的行为。
实践分析非线性力学系统的过程中，需要注意以下几个方面：1. 实验设计：合理的实验设计能够获取准确的数据，并且能够反映系统的真实行为。
在实验设计中，需要考虑系统参数的选择、测量仪器的准确性和可靠性，以及外界干扰因素的控制等。
2. 数据处理：在获得实验数据后，需要进行数据处理和分析。
常用的数据处理方法有滤波、平均等统计方法，以及预处理方法如去趋势、去噪声等。
在数据处理过程中，需要根据具体问题选择合适的方法，以得到可靠的结果。
3. 数值计算：对于非线性力学系统，由于系统的运动方程通常是复杂的非线性微分方程，很难通过解析求解得到准确解。
因此，数值计算成为研究非线性力学的重要手段之一。
数值计算方法如欧拉法、Runge-Kutta法等可以用来模拟系统的行为。
非线性动力学中的生态系统变化
非线性动力学中的生态系统变化随着环境问题的严重性日益凸显，生态系统的变化也成为了人们关注的焦点。
生态系统本身就具有高度的复杂性和非线性特征，因此非线性动力学的理论和方法在生态系统研究中得到了广泛应用。
本文将介绍非线性动力学在生态系统变化研究中的应用和意义。
一、生态系统变化的非线性特征生态系统是以生物群体、环境、营养物质等为要素的生态整体，具有高度的复杂性和非线性特征。
实际上，生态系统中的各个要素之间相互作用，彼此牵引，共同构成一个巨大的生态网。
在这个生态网中，各种生物之间相互制约、相互利用、相互竞争，对环境进行各种适应和调节。
这些复杂的相互作用一旦发生变化，就会引起不可逆的生态系统变化。
由于生态系统中各种生物之间的相互作用是动态和非线性的，因此生态系统表现出了很强的非线性特征。
非线性动力学正是一种用于描述这种复杂系统动力学行为的数学方法。
而当我们尝试建立一些简单的数学模型来描述生态系统时，这种非线性特征就会显现出来。
比如典型的食物链模型，这其中每个物种的增长速率都是受到其食物来源（进食物种）的限制。
但是，由于食物来源的数量也是受到其天敌的控制的，当这个网络中出现某个环节崩塌的时候，或是某个环节增加过大，都会引发一系列连锁反应。
这些反应的无效时间也很长，同时也都受到每个种群所受到的生态环境的影响与制约，还原整个系统的稳定状态变得异常复杂，以至于在这种非线性动力学的控制下，很难对系统进行精细地调节和控制。
二、基于非线性动力学方法的生态系统模拟与传统生态学建模方法相比，基于非线性动力学方法的生态系统模拟更加接近于自然生态系统的真实情况。
在该模拟过程中，我们可以用数学模型描述生态系统中不同生物之间相互作用的动态关系，并通过数值模拟来模拟生态系统的未来演化。
例如，在模拟森林群落动态变化时，可以建立一个基于生境影响的种群增长模型，然后使用不同的参数来描述环境因素对每个种群的影响。
再加上对其生殖行为、迁徙和竞争等众多因素进行系统建模，就可以在不同情境下，对系统的稳定性和动态性进行建模和预测，从而为生态管理和保护提供理论支持。
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《从非线性动力学到复杂系统》
段法兵
系统理论博士生课程
第一讲动态系统的发展
系统是一些相互关联的客体组成的集合，动态（动力dynamical）系统是系统状态变量，比如温度、位移、价格、信号幅值等，随着时间变化的。
它的描述可以用微分方程或者离散方程。
微分方程历史悠久，可追溯到牛顿、伽利略、欧拉、雅克比等人，用以描述行星的运动轨迹。
研究中发现即使满足牛顿引力定律的三体运动也非常复杂，其微分方程是非线性的，非线性是指不满足叠加定律的方程，解无法利用已知函数进行描述，如果能够描述的我们称为显式解。
因此，庞加莱在1880年-1910年期间，试图利用解的拓扑几何性质来解释动态系统的运动规律，发现即使确定性系统，其运动规律也会出现随机性态，非常复杂（确定性系统是指其外力是确定的不随机，只要知道初始条件和演化方程，其运动是可预先确定的）。
非线性系统运动的复杂性：李雅普诺夫研究了系统平衡点？的稳定性？问题，随后本迪尔松等发现系统的解包含（1）平衡态（静止不动）；（2）周期运动（比如行星）（3）拟周期，就是几个频率不可公约周期之和。
接着1975年Li和Yorke提出了混沌的概念，即系统的解是非周期的一种类似随机运动的现象，这其中就包含了洛伦兹提出的“蝴蝶效应”，根源在于这类非线性动力系统对于初始条件的极其敏感性，初始条件的微小变化导致了系统状态的巨大改变，从此有关非线性科学的发展异常迅速，形成了现代动力学理论，其最重要的贡献是揭示了一个简单的模型可能蕴含了无比复杂的动力学性态。
例子：Van der Pol（范德波尔）方程
1920年Van der Pol利用电子震荡管研究心脏的跳动问题，比如人工心脏起
搏器。
电子震荡管电路
如上图所示，利用电路分析，变量变换之后得到方程
0)1(22=+--x x x u x
ω （1-1） 这里ω就是电路的固有震荡频率。
Matlab code ：这是内嵌的，无需自己定义。
function out1 = vdp1(t,y) out1 = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2) - y(1)];
解释：首先定义微分方程函数，因为方程（1-1）可以用变量代换
x x x u x
22)1(ω--= 设向量⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x
x y y y 21，1=ω，那么
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122
12)1(y y y y x x
y 因此上面的函数就定义了向量微分方程的导数部分。
求解 [t,y] = ode45('vdp1',[0 20],[3; 0]); plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.')
ode45表示了求解常微分方程的一种精度达到4-5阶的算法，微分方程vdp1定义的，[0 20]表示起止时间，向量[3;0]表示了微分方程的边界条件，即
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0321x
x y y y
Van der Pol （范德波尔）方程解轨迹
可以看出x （实际是电压）呈现周期性震荡现象，如果将x 与其导数，就是
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x
x y y y 21之间关系画出来，如下图
x
d x /d t
相图(x,dx/dt)
这种没有时间轴，只是几何表示系统解的几何图形就是相图，二维图叫相图，三
维叫相空间。
从图中可以看到一个，系统的解渐渐地趋向一个封闭的环-极限环。
上面是初
始值取⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0321x
x y y y ，如果取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02.021x x y y y 呢？
>> hold on
>> [t,y] = ode45('vdp1',[0 60],[0.2; 0]); >> plot(y(:,1),y(:,2),'-g')
相图(x,dx/dt)
见绿色部分，同样系统的解渐渐地趋向一个封闭的环-极限环。
因此，不论给定初始电压是小还是大，系统都慢慢地归结为一个震荡环，这个震动环的频率与固有频率一致，称为自激震荡。
---------------------------------------- 补充：对于
初始条件
我们希望在固定的步长tn 上求解
设
Euler 认为方程左侧的导数近似为
),()
()(y t f h
t y h t y =-+ 那么自然有迭代形式
这种公式也称为矩形公式，即差分形式。
为了获得好的精度，必须采用很小的步长，这种Euler 方法没有误差估计方法，无法自动确定步长来达到期望的精度。
类比于积分中的中点公式和梯形公式，在中点h/2处估计函数的值，然后在计算导数，
两位德国数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明提出了一种方法Runge-Kutta 法
它每一步要用到4个函数估值。
Felhberg 又进行了改进，每个步长内进行了6次求值，形成了5阶公式，因此精度又进行了提高，并且定义了一个误差向量来调节步长的大小，平滑的阶段步长大些，急剧变化的导数处步长小些，这样形成了变步长的Runge-Kutta-Felhberg 算法。
此即Matlab 中ode45算法，ode 就是常微分方程，45就是比较4阶和5阶公式的误差进行变步长计算的意思。
-------------------------------------
刚性方程：所谓刚性方程，就是说存在两(多)重尺度，一个尺度比另外一个尺度大很多。
所导致的麻烦就是在计算中很难兼顾两者。
例如下面的方程： dx/dt=-100 x-100.1 y dy/dt=100.1 x-100 y
两个特征值lambda_1 = -200.1，lambda_2 = -0.1, 所以解为a1*exp(-200.1*x) + a2*exp(-0.1*x)，无论你用什么样的尺度(单一尺度)都不能很好刻画解的行为。
一个是快变行为，一个是慢变行为。
所有这样的方程计算时候，稳定性条件比较苛刻。
实际情况要比这还复杂得多。
例子：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122
12)1(*1000y y y y x x y function out1 = vdp1000(t,y)
out1 = [y(2); 1000*(1-y(1)^2)*y(2) - y(1)]; 求解还是用ode45就比较慢 tic
[t,y] = ode45('vdp1000',[0 2000],[0.2; 0]); toc
非常慢，如果采用ode15s 专门求解刚性方程的算法，那么会非常快。
tic;[t,y] = ode15s('vdp1000',[0 2000],[0.2; 0]);toc
-------------------------
例子： Lorenz 方程，起源于气象学，里面的参数都具有物理意义，和大气热对流系数，粘性系数，导温系数，Rayleigh 数等
xyz 相空间
如何理解上述方程的行为，周期是固定的吗?是唯一的吗？这些都属于非线性动力学的范畴，进入第二讲动力系统的形态分析。
10
20
30
40
50
⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=--=+-=xy z z xz y x y y x x 38281010。