2-5 谓词演算的四个推理规则

合集下载

谓词演算推证

2.5 谓词逻辑推理理论谓词演算推证的基本思路是将量词消去，然后用类似命题演算推证法证明。

2.5.1 谓词演算推证谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。

推理根据：一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：量词否定逻辑等价式量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式量词分配逻辑等价式具有两个量词的逻辑等价式量词与联结词的逻辑蕴涵式具有两个量词的逻辑蕴涵式2.5.1 谓词演算推证证明方法：直接证法间接证明方法反证法附加前提证法2.5.1 谓词演算推证推理规则：P规则T规则CP规则消去和添加量词的规则2.5.1 谓词演算推证1）US 规则（全称指定规则）这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。

例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。

全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。

该规则使用时还可以有以下形式：()()c Ρx x Ρ∴∀()()y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。

注意：2.5.1 谓词演算推证2）UG 规则（全称推广规则）设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。

例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。

显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。

则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。

全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。

注意：)()(y yP x P ∀∴2.5.1 谓词演算推证3）ES 规则（存在指定规则）这里c 是指定个体域中的某一个个体。

但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。

注意：存在指定规则在使用时要求：（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。

谓词基本推理公式

谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。

基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。

以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。

在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。

离散数学-2-5谓词演算的等价式与蕴含式-PPT课件

姓。

(y)(x)A(x,y) 表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他同姓。 (x)(y)A(x,y) 表示存在一个甲村的人，乙村所有人和他同姓。
上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量词与存在量词的次序，不能随意更换。
17
七、多个量词的使用
如下一蕴含式中不同量词间的次序是不可随意交换的。
15
七、多个量词的使用
例设 A(x,y)表示x和y同姓,论域x是甲村的人,y是
乙村的人 (x)(y)A(x,y): 甲村和乙村所有的人都同姓 ( y)(x)A(x,y)：乙村和甲村所有的人都同姓。显然上述俩语句的含义相同。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y）
同理有：
(x)(y)A(x,y)：甲村与乙村有人同姓。 (y)(x)A(x,y)：乙村与甲村有人都同姓。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)
16
七、多个量词的使用
但是

(x)(y)A(x,y) 表示对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示存在一个乙村的人，甲村所有的人和他同

1. 2. 3. 4.
(x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B (x)(A(x)B) (x)A(x)B
因为B中不出现约束变元 x,所以它属于或不属于量词作用域均有相同意义。
9
四．量词作用域的扩张与收缩
从1-4式还可推得如下几个式子：

5. 6. 7. 8.
((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) ((x)A(x)B)) (x)(A(x)B) (B(x)A(x)) (x)(BA(x)) (B(x)A(x)) (x)(BA(x))

离散数学24谓词演算的推理理论

谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。

设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。

谓词逻辑的推理规则和证明方法

谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。

在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。

本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。

一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。

2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。

3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。

4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。

在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。

2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。

3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。

二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。

2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。

3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。

4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。

5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。

6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。

7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。

三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。

2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。

谓词逻辑基本推理公式

谓词逻辑基本推理公式
在谓词逻辑中，基本的推理公式包括：
1.求反与证明反例：
如果要证明一个命题为假（否定），可以通过求反的方式来证明。

即，将该命题的否定作为前提，通过推理得出矛盾结论。

反之，要证
明一个命题为真，可以通过证明反例的方式。

即，找到一个具体的例
子使得该命题成立。

2.假设推理（反证法）：
假设待证明的命题为假，通过推理得出矛盾结论，以此推断待证
明的命题为真。

这种推理方法也被称为反证法。

3.归谬法：
如果通过假设推理后，无法得出矛盾结论，但也无法确定该命题
为真，则可以得出一个归谬（无解）结论，即无法证明该命题的真假。

4.极值法则：
对于一些带有最大值或最小值的问题，可以通过极值法则来解决。

即，假设待证明的结论不成立，通过比较得出矛盾结论，从而证明待
证明的结论成立。

这些基本的推理公式在谓词逻辑中起着重要的作用，可以帮助我
们进行逻辑思考和推理，解决各种问题。

在实际应用中，还可以结合
其他推理方法和技巧，进行更深入的推理和分析。

因此，在学习和应
用谓词逻辑时，需要多加练习和思考，提高逻辑推理能力。

离散数学-谓词演算的推理规则

解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点：全称指定规则（US）（Universal Specification）存在指定规则（ES）（Existential Specification）全称推广规则（UG）（Universal Generalization）存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项；代换实例；重言式，矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。

2-5谓词演算的等价式

F(x)→G(y)⇔¬ ⇔¬F(x)∨G(y) ⇔¬ ∨
2-5.2 量词与联结词¬之间的关系量词与联结词¬ (quantifier)
定理：量词否定等价式（定理：量词否定等价式（P67）） (1)¬ (∀x)P(x) ⇔(∃x)¬P(x) ¬ ∀ ∃ ¬ (2) ¬ (∃x)P(x) ⇔(∀x)¬P(x) ∃ ∀ ¬ 可以在有限个体域中得到证明。可以在有限个体域中得到证明。
2-5. 3 量词作用域扩张与收缩
定理：量词作用域扩张与收缩等价式定理：量词作用域扩张与收缩等价式(P68) (1) (∀x)(A(x)∨B) ⇔ ((∀x)A(x)∨B) ∀ ∨ ∀ ∨ (∀x)(A(x)∧B) ⇔ ((∀x)A(x)∧B) ∀ ∧ ∀ ∧ (∃x)(A(x)∨B) ⇔ ((∃x)A(x)∨B) ∃ ∨ ∃ ∨ (∃x)(A(x)∧B) ⇔ ((∃x)A(x)∧B) ∃ ∧ ∃ ∧ 说明: 中不含x的出现说明 B中不含的出现中不含
例1: (∀x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∀x)F(x)∨G(y) ∀ ∨ ∀ ∨ 例2: (∀x)(∀y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∀ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∀y)G(y)) ∀ ∧∀ ⇔ (∀x)F(x)∧(∀y)G(y) ∀ ∧∀ 例3: (∃x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∃x)F(x)∨G(y) ∃ ∨ ∃ ∨ 例4: (∀x)(∃y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∃ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∃y)G(y)) ∀ ∧∃ ⇔(∀x)F(x)∧(∃y)G(y) ∀ ∧∃
2-5谓词演算的等价式谓词演算的等价式
定义2：谓词逻辑有效永真永真)式定义：谓词逻辑有效(永真式 (tautology)：：给定任意谓词公式wff A，其个体域为，给定任意谓词公式，其个体域为E，对于A的所有赋值的所有赋值，都为真，对于的所有赋值，wff A都为真，则称都为真则称wff A 上是有效在E上是有效（永真）式。上是有效（永真）命题逻辑永真式（重言式）: 命题逻辑永真式（重言式）给定一个命题公式，给定一个命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为T，的指派，其对应的真值永为，则称命题公式为重言式或永真公式。为重言式或永真公式。

离散数学第四章谓词演算的推理理论-归结推理系统

对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。要证明的定理的否定式为： x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
(8) P(a) D(a)
(9) P(a) (10) 口
{ a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为 (1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) {a/x1} (1)(2)归结 (4)口 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
(5)消去存在量词(按Skolem标准形)
(6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词 xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))

概率论-第七讲谓词演算的推理规则

(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年人，所以有的成员是青年专家。” 证：设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。记法中省略了其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P

逻辑与思维背记知识点总结

逻辑与思维背记知识点总结逻辑与思维背记知识点总结逻辑和思维是人类认识和思考世界的重要工具。

通过逻辑思维，我们能够准确、合理地判断、推理和证明事物之间的关系和联系。

逻辑与思维背记知识点是我们在学习逻辑和思维过程中需要掌握的基础知识，下面将对其进行总结。

一、命题逻辑的基本概念与规则1.命题和命题联结词：命题是用语句形式陈述的有真假性质的表达式，可以是陈述句、疑问句、感叹句等。

命题联结词包括合取（且）、析取（或）、否定等。

2.真值表：真值表是用来表示命题联结词的真值情况的一种方法，通常用0表示假，用1表示真。

3.蕴涵、等价和逆否命题：蕴涵是一种命题之间的关系，其中一个命题是由另一个命题推导出来的。

等价是指两个命题具有相同的真值情况。

逆否命题是指将原命题的否定和逆命题进行结合得出的新命题。

4.命题演算的推理规则：命题演算是通过推理规则对命题进行推导。

常用推理规则包括假言推理、拒取推理、假设推理等。

二、谓词逻辑的基本概念与规则1.谓词：谓词是带有变元的陈述句，它含有一个或多个变元，并通过替换变元的方式生成具体的命题。

2.量词：量词是用来限定谓词中变元的范围的，常见的量词有全称量词∀和存在量词∃。

3.量词的转换：量词的转换是指将全称量词和存在量词进行转换得到的新命题。

4.谓词演算的推理规则：谓词演算是进行谓词逻辑推理的工具，常用的推理规则包括全称推理、存在推理、全称拒取、存在拒取等。

三、演绎推理与归纳推理1.演绎推理：演绎推理是从一般规律出发，根据前提条件得出特殊结论的推理方法。

常见的演绎推理形式有假言推理、拒取推理、假设推理等。

2.归纳推理：归纳推理是从特殊事实出发，得出一般规律的推理方法。

常见的归纳推理形式有类比推理、因果关系推理、分类推理等。

四、思维误区与思维规范1.思维误区：思维误区是指在思考过程中容易出现的问题或陷阱，如先验偏见、非黑即白思维等。

2.思维规范：思维规范是指进行合理思考和推理时应遵循的原则和规则，如清晰明确、客观公正、逻辑严密等。

(第7讲)谓词逻辑

可改为： xF(x,2) F(3,2)
4、存在推广规则(简称EG规则)
A( c ) \ xA( x)
即A(c)xA(x)
该式成立要求具备以下条件：
(1) c是使A为真的特定的个体常元；
(2) 取代c的x不能已在A(c)中出现过。
例如：在实数集合中，取F(x,y)为x>y. 若另A(2)=xF(x,2) ，则A(2)为真命题。可使用EG规则 A(c)xA(x) 若使用EG规则，将A(2)中的2用x代替，会得到 xF(x,x)，这是假命题。其原因是违背了条件(2)。 x已在A(2) 中出现过。改为： xF(x,2) yxF(x,y)
3、存在指定规则(简称ES规则)
xA( x) \ A( c )
即xA(x) A(c)
该规则成立要求以下条件： (1) c是使A为真的特定的个体常元； (2) c不曾在A(x)中出现过；
例如：在实数集合中，取F(x,y)为x>y，若A(x)表示F(x,2)，则xF(x,2)为真命题。 2已在A(x) 中出现过。若使用EG规则，用2代替x就会得到 xF(2,2)，这是假命题。其原因是违背了条件(2)。
解：根据US规则
xy F(x,y) y F(y,y)
则结论为“存在y，y＞y ”，故原命题为假命题。出错的原因是违背了条件(2)。改为： xy F(x,y) y F(z,y) 则结论为“存在z，z＞y ”，故原命题为真命题。
2、全称推广规则(简称UG规则)
A( y) \ xA( x)
P(前提引入) T ① US规则 P（前提引入） T ②③ I
例2 请在一阶逻辑中证明以下推理：每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的成员是青年专家。首先将命题符号化，个体域为全总个体域。 F(x)：x是学术会成员。 G(x)：x是专家。 x是工人。 R(x)：x是青年人。前提：， H(x)：。

第四讲谓词演算的推理理论

谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 ： (1) 在座的成员都是大学生，并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以，有些成员是青年女大学生。解：设M(x)：x是在座的成员 Y(x)：x正值青春年华 U(x)：x是大学生 W(x)：x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题： ( x)( y)A(x, y) P
全称指定： ( y)A(a, y) P 等价式： P (y) A(a, y) 全称推广： P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式： P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意：使用指定或推广规则时，量词的作用域必须是整个谓词公式，而不是其中的一部分

命题逻辑与谓词逻辑

如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简称“A蕴涵B”。
2.2 谓词逻辑
• 1．谓词与个体原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是一个抽象的概念，也可以是一个具体的东西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G

谓词演算的推理理论(牛连强)

2.5 谓词演算的推理理论1．推理定律谓词演算中也存在一些基本的等价与蕴含关系，参见表2-2。

我们以此作为推理的基础，即推理定律。

表2-2序号等价或蕴含关系含义E27 E28 ┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)┐∃xA(x)⇔∀x┐A(x) 量词否定等值式E29 E30∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)量词分配等值式（量词分配律）E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀x(B∨A(x))⇔ B∨∀xA(x)∀x(B∧A(x))⇔ B∧∀xA(x)∃x(B∨A(x))⇔ B∨∃xA(x)∃x(B∧A(x))⇔ B∧∃xA(x)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)A→∀xB(x)⇔∀x(A→B(x))A→∃xB(x)⇔∃x(A→B(x))量词作用域的扩张与收缩I21 I22∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)I23 ∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))表2-2中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定律。

E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。

2．量词的消除与产生规则谓词推理可以看作是对命题推理的扩充。

除了原来的P规则（前提引入）、T规则（命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词填式命题。

如果仅由表2-2的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。

离散数学自考第二章

定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。辖域（辖域作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。指导变元（作用变元）指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。约束变元：约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。自由变元：自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题函数。定义》《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法（a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数；（b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词，而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。代入规则：代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))

谓词公式的推理

谓词公式的推理
谓词公式推理是逻辑推理的一种形式，它基于谓词逻辑进行推理。

谓词逻辑是一种用于描述和推理事物状态的逻辑系统。

谓词公式由一个或多个谓词符号（或称为函数符号）和变量符号组成，用于描述个体（或对象）的属性或关系。

谓词公式推理主要基于规则，这些规则告诉我们在什么条件下可以接受一个特定的结论。

在谓词逻辑中，常用的推理规则包括：
1. 替换规则：允许在公式中替换变量符号，而不改变公式的真值。

2. 附加规则：允许将一个公式附加到另一个公式上，从而形成更复杂的公式。

3. 分离规则：允许从两个公式中分离出一个子公式，前提是这两个公式在某些条件下都为真。

4. 普遍附加规则：允许在公式中添加一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。

5. 普遍分离规则：允许从公式中分离出一个普遍量词，前提是该公式在某些条件下为真。

这些规则可以组合使用，以进行复杂的推理。

例如，可以使用附加规则和分离规则来推导出一个结论，然后使用替换规则来将结论中的变量符号替换为具体的值。

总的来说，谓词公式推理是一种强大的逻辑工具，可用于描述和推理事物的属性和关系。

它广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领
域。

谓词演算的推理规则

15
自然推理系统F(续)
(6) 化简规则 (7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) UI规则 (13) UG规则 (14) EG规则 (15) EI规则
例1
例1 证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的.”
若用5取代x,得A(5)= (5>5) 假若用6取代x,得A(6)= (6>5) 真
11
自然推理系统F
自然推理系统F包括下述组成部分:
1. 字母表, 同谓词语言ℱ 的字母表 2. 合式公式, 同ℱ 的合式公式
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
重要推理定律第一组命题逻辑推理定律的代换实例例如 xF(x)yG(y) xF(x) 化简律的代换实例第二组每个谓词逻辑基本等值式生成2个推理定律
例如 xF(x) x(F(x)), x(F(x)) xF(x)
第三组 xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
xA ( x ) A(c)
该式成立的条件是：
• (1) c是使A为真的特定的个体常元. • (2) c不在A(x)中出现. • (3) x在A(x)中自由出现, 除x之外没有其他自由
出现的个体变元
10
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
x A(x)= x F(x,5) 对x A(x)使用EI规则，
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构