陕西省中考数学面对面类型一二次函数与特殊三角形判定练习
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
2024陕西中考数学二轮专题训练 题型一 二次函数的图象与性质 (含答案)
2024陕西中考数学二轮专题训练题型一二次函数的图象与性质1.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，则b，c的值可能是()A.b＝－3，c＝3B.b＝3，c＝－3C.b＝3，c＝3D.b＝－3，c＝－3第1题图2.如图所示的四个函数图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是()A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.b>a>d>c第2题图3.已知二次函数y＝2x2－4x＋1，则下列说法正确的是()A.该函数图象开口向下B.该函数图象可由函数y＝x2平移得到C.该函数图象的顶点在x轴下方D.y有最大值－14.在二次函数y＝－x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－1134…y…－6m n－6…则m、n的大小关系为()A.m＜nB.m＞nC.m＝nD.无法确定5.若二次函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象经过点(2，0)，则使函数值y<0成立的x的取值范围是()A.x＜0或x＞2B.－4<x<2C.x<－4或x>2D.0＜x＜26.已知抛物线C2与抛物线C1：y＝x2－2x＋m－1关于x轴对称，且抛物线C2经过点(1，4)，则m的值为()A.－2B.－12C.2 D.127.在平面直角坐标系中，若点A(a，b)关于y轴对称的点在第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx ＋1的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A.3B.－1C.4D.4或－19.抛物线y＝x2＋2x＋a－2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为()A.3B.2C.2或－3D.2或310.已知二次函数y＝(x＋m)(x－m－4)，点A(－1，a)，B(2，b)，C(3，c)是该函数图象上的三个点，则下列结论正确的是()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.将抛物线y＝x2＋2mx＋m2－1向左平移3个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为()A.(0，0)B.(0，4)C.(0，15)D.(0，16)12.已知抛物线y＝ax2＋x－a(a≠0)与y轴的交点在x轴的下方，则下列说法中正确的是()A.该抛物线的顶点一定在第一象限B.该抛物线的顶点一定在第二象限C.该抛物线的顶点一定在第三象限D.该抛物线的顶点所在象限不确定13.在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2＋8x＋m，则m的值为()A.－13或－19B.－13或19C.13或19D.13或－1914.若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是()A.(2，4)B.(－2，4)C.(－2，－4)D.(2，－4)15.二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是()A.若y1y2>0，则y3y4>0B.若y1y4>0，则y2y3>0C.若y2y4<0，则y1y3<0D.若y3y4<0，则y1y2<016.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，0)，则下列结论：①ab＜0；②3a＋c＞0；③当－2＜x＜1时，y随x的增大而减小；④若点M(m，2)，N(n，2)是该抛物线上的两点，则－4＜m＋n＜－2.其中正确结论的个数是()第16题图A.0个B.1个C.2个D.3个17.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－10123…y…30－1m3…以下结论正确的是()A.抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B.当x<3时，y随x增大而增大C.方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D.当y>0时，x的取值范围是0<x<218.下列关于二次函数y＝－12x2－6x＋2m－6的图象与x轴交点的判断，说法正确的是()A.当m≤－6时，没有交点B.当m＝－6时，只有一个交点，且它位于y轴右侧C.当m＞3时，有两个交点，且它们均位于y轴右侧D.当－6＜m＜3时，有两个交点，且它们均位于y轴左侧参考答案1.C【解析】∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝b2＞0，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0.∴b ，c 的值可能为b ＝3，c ＝3.2.A3.C 【解析】∵a ＝2>0，∴该函数图象开口向上，A 错误；由平移规律可得，二次函数图象平移时，开口大小不会发生改变，因此二次函数y ＝2x 2－4x ＋1图象不能由函数y ＝x 2平移得到，B 错误；∵y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，在x 轴下方，C 正确；y 的最小值为－1，D 错误．4.B 【解析】由表格可得，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象的对称轴是直线x ＝－1＋42＝32，∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的开口向下，∴该函数图象上的点距离对称轴越近，函数值越大．∵32－1＝12，3－32＝32，∴m ＞n .5.C 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋m 的对称轴为直线x ＝－2a2a＝－1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－4，0)，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜－4或x ＞2时，y ＜0.6.A【解析】∵抛物线C 1与抛物线C 2关于x 轴对称，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－x 2＋2x －m ＋1，∵抛物线C 2经过点(1，4)，∴－1＋2×1－m ＋1＝4，解得m ＝－2.7.A【解析】∵点A (a ，b )关于y 轴对称的点在第一象限，∴点A 在第二象限，∴a ＜0，b ＞0，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点坐标为(－b 2a ，4a －b 24a )，∴－b2a >0，4a －b 24a ＞0，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限．8.C【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a >0，y 最小值＝4ac －b 24a＝4a （a －1）－424a ＝2，整理，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4，∵a >0，∴a ＝4.9.D【解析】由题可知，该抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＝－1，且抛物线开口向上，若图象与坐标轴有且仅有两个交点，则有两种情况：第一种，图象经过原点，则a ＝2；第二种，顶点在x 轴上，0＝1－2＋a －2，则a ＝3.10.B【解析】∵y ＝(x ＋m )(x －m －4)，∴该二次函数图象与x 轴的交点为(－m ，0)，(m＋4，0)，∴该二次函数图象的对称轴为直线x ＝－m ＋m ＋42＝2.∵二次函数图象的开口向上，∴距离对称轴越远的点，函数值越大，∴a >c >b .11.A 【解析】y ＝x 2＋2mx ＋m 2－1＝(x ＋m )2－1，∵将抛物线y ＝x 2＋2mx ＋m 2－1向左平移3个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝1，∴平移后的抛物线表达式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴平移后的抛物线与y 轴的交点坐标为(0，0)．12.C【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋x －a 与y 轴的交点在x 轴下方，∴－a <0，∴a >0.由题意得，抛物线的顶点坐标为(－12a ，－4a 2－14a )．∵a >0，－4a 2－1<0，∴－12a <0，－4a 2－14a <0，∴该抛物线的顶点一定在第三象限．13.C【解析】∵y ＝x 2＋8x ＋m ＝(x ＋4)2－16＋m ，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝－4，∵有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，∴顶点到原点的距离是5，∴顶点的纵坐标的绝对值是：52－42＝3，∴－16＋m ＝±3，解得m 1＝13，m 2＝19.14.A【解析】∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x ＝2，∴抛物线与x 轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴顶点P 的坐标为(2，－4)，∴点P 关于x 轴的对称点的坐标是(2，4)．15.C【解析】∵－－2a2a＝1>0，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，∵a >0，∴由二次函数的增减性及对称性得y 1>y 4>y 2>y 3，∵y 1y 2>0，∴y 1、y 2同号，可推出y 4与y 1、y 2同号，而y 3不确定，∴A 选项错误；∵y 1y 4>0不能推出y 2、y 3同号，∴B 选项错误；∵y 2y 4<0，∴y 2、y 4异号，∵y 4>y 2，∴y 4>0，y 2<0，∴y 1>0，y 3<0，即y 1y 3<0，∴C 选项正确；∵y 3y 4<0，∴y 3、y 4异号，∵y 4>y 3，∴y 4>0，y 3<0，∴y 1>0，而y 2不确定，∴D 选项错误．16.C 【解析】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a＜0，∴b ＜0，∴ab ＞0，故①错误；②∵抛物线与x 轴的一个交点为(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵抛物线的对称轴在直线x ＝－2和直线x ＝－1之间，∴－b2a＜－1，∴b ＜2a ＜0，∴0＝a ＋b ＋c ＜a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ，∴3a ＋c ＞0，故②正确；③当－2＜x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大，当－b2a＜x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故③错误；④∵点M (m ，2)，点N (n ，2)是抛物线上的两点，∴点M ，N 关于抛物线对称轴对称，∴－2＜m ＋n2＜－1，∴－4＜m ＋n ＜－2，故④正确．∴正确的结论有2个．17.C 【解析】∵抛物线过点(－1，3)，(0，0)，(1，－1)，∴将(－1，3)，(0，0)，(1，－1)代入y ＝ax 2＋bx ＋c －b ＋c ＝3＝0＋b ＋c ＝－1＝1＝0＝－2，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ，∵a ＞0，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故A 选项错误；∵－b2a ＝－－22×1＝1，抛物线对称轴为直线x ＝1，且抛物线开口向上，∴x >1时，y 随x 的增大而增大，故B 选项错误；令x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，∴该方程的根为0和2，故C 选项正确；当y ＝x 2－2x ＞0时，x 的取值范围为x >2或x <0，故D 选项错误．18.D【解析】∵b 2－4ac ＝24＋4m ，∴当m ≤－6时，24＋4m ≤0，该函数图象与x 轴有一个交点或没有交点，故A 选项错误；当m ＝－6时，y ＝－12(x ＋6)2，令y ＝0，解得x 1＝x 2＝－6，∴该函数图象与x 轴只有一个交点，且在y 轴左侧，故B 选项错误；当m >3时，24＋4m ＞0，2m －6>0，∴该函数图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴．∵该函数图象的对称轴为直线x ＝－6，∴该函数图象与x 轴的交点位于y 轴两侧，故C 选项错误；当－6＜m ＜3时，－18<2m －6<0，24＋4m >0，∴该函数图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于负半轴．∵对称轴在y 轴左侧，∴该函数图象与x 轴的交点均位于y 轴左侧，故D 选项正确．。
陕西省中考二次函数的判断与计算
题型二 二次函数的判断与计算6. (2018原创)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0且abc ≠0)的图象上两点，且y 1＝y 2，则当x ＝x 1＋x 2时，y 的值为 ( )A. 0B. cC. －b aD. 4ac －b 24a7. 已知抛物线A ：y ＝x 2－1通过左右平移得到抛物线B ，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋2，则抛物线B 的表达式为 ( )A. y ＝x 2＋2B. y ＝x 2－2x －1C. y ＝x 2－2xD. y ＝x 2－2x ＋18. (2017西电附中模拟)已知抛物线y ＝a (x －5)2＋3的图象经过点A (1，－5)，B (m ，y 1)，C (n ，y 2)，且|m －5|＞|n －5|，则关于y 1、y 2的大小关系正确的是( )A. y 1<y 2B. y 1＞y 2C. y 1＝y 2D. 不能确定9. 已知关于x 的一元二次方程ax 2＋(a 2＋1)x －4＝0没有实数根，那么抛物线y ＝ax 2＋(a 2＋1)x －4的顶点所在的象限是 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. (2017西安高新一中模拟)如图，抛物线y ＝－2x 2＋8x －6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B 、D .若直线y ＝x ＋m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )第10题图 第11题图A. －2＜m ＜18B. －3＜m ＜－74C. －3＜m ＜－2D. －3＜m ＜－15811. (2017安顺)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac －b 2<0；②3b ＋2c <0；③4a ＋c <2b ；④m (am ＋b )＋b <a (m ≠－1)．其中结论正确的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上部分点的坐标满足下表：；②图象开口向下；③当－3<x<1时，y＜0；④二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，且它们均位于y轴同侧，则其中正确结论的个数是() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案1. B 【解析】在二次函数y ＝(3－a )x 2－x ＋14中，b 2－4ac ＝(－1)2－4×(3－a )×14＝a －2，∵a ＜0，∴a －2＜0，故函数y ＝(3－a )x 2－x ＋14的图象与x 轴没有交点．2. D 【解析】∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴函数的对称轴是x ＝－1，最小值为－4，故D 正确，C 错误；在－3≤x ≤0上，函数增减性无法确定，故A 、B 错误．3. D 【解析】∵∠OBC ＝45°，∴OB ＝OC ，∴点C ，B 的坐标为(0，c )，(c ，0)，把点B (c ，0)代入二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，得c 2＋bc ＋c ＝0，即c (c ＋b ＋1)＝0，∵c ≠0，∴b ＋c ＋1＝0.4.C 【解析】抛物线C ：y ＝2x 2＋4x 的对称轴为直线x ＝－1，抛物线C ′：y ＝2x 2＋12x ＋16的对称轴为x ＝－3，∴它们关于直线x ＝－2对称，∴a 的值为－2.5.C 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋4(a <0)，∴对称轴为212a x a=-=-，∵a <0，∴该抛物线上的点到其对称轴x ＝－1的距离越远，y 值越小，∵－1－(－32)＝12，－1－(－2)＝2－1<12，2－(－1)＝2＋1>12，∴y 3<y 1<y 2.故选C.6. B 【解析】如解图，当y 1＝y 2时，P 1，P 2是抛物线上关于对称轴对称的两点，此时抛物线对称轴为122x x x +=，又∵抛物线对称轴为2b x a =-，即1222x x b a +-=，解得x 1＋x 2＝b a-，又知x ＝x 1＋x 2，将其代入函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，有y ＝c .故选B.第6题解图7. C 【解析】抛物线A ：y ＝x 2－1的顶点坐标是(0，－1)，抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1的顶点坐标是(1，1)，则将抛物线A 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C .∴抛物线B 是将抛物线A 向右平移1个单位得到的，其表达式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x .故选C.8. A 【解析】∵抛物线y ＝a (x －5)2＋3的图象经过点A (1，－5)、B (m ，y 1)、C (n ，y 2)，且||m －5＞||n －5，∴－5＝(1－5)2a ＋3，解得a ＝－8（1－5）2，∴a ＜0，抛物线开口向下，∵该抛物线的对称轴为直线x ＝5，根据其图象上的点到对称轴的距离越远，y 值越小，可得y 1＜y 2.9. D 【解析】关于x 的一元二次方程ax 2＋(a 2＋1)x －4＝0没有实数根，∴(a 2＋1)2＋16a <0，∵a 2＋1>1，∴a <0，抛物线y ＝ax 2＋(a 2＋1)x －4的顶点坐标为(212a a+-，()22-1614a a a -+-)，∵a <0，∴212a a +->0，∵(a 2＋1)2＋16a <0，∴()22-1614a a a -+-<0，∴此抛物线的顶点在第四象限．故选D.10. D 【解析】令y ＝－2x 2＋8x －6＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，则点A (1，0)、B (3，0)，如解图，由于将C 1向右平移2个长度单位得C 2，C 1表达式为y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，则C 2表达式为y ＝－2(x －4)2＋2(3≤x ≤5)．当直线y ＝x ＋m 1与C 2相切时，则x ＋m 1 ＝－2(x －4)2＋2，即2x 2－15x ＋30＋m 1＝0，(－15)2－4×2×(30＋m 1)＝－8m 1－15＝0，解得m 1＝－158；当直线y ＝x ＋m 2过点B 时，即0＝3＋m 2，m 2＝－3.综上所述，当－3＜m ＜ －158时，直线y ＝x ＋m 与C 1、C 2共有3个不同的交点．第10题解图11. C 【解析】①项，由图象可知与x 轴有两个不同的交点，故ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式b 2－4ac ＞0，即4ac －b 2＜0.故①项正确；②项，由图知x ＝1时，y ＜0，则当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，即2a ＋2b ＋2c ＜0，由对称轴x ＝2b a-＝－1知，b ＝2a .∴b ＋2b ＋2c ＜0.即3b ＋2c ＜0.故②项正确；③项，由图象知，当x ＝0时，y ＞0，∵对称轴为x ＝－1，∴当x ＝－2时，y ＞0，即4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，故③错误；④项，由图象开口向下，可知当x ＝－1时，函数值最大，即y max ＝a －b ＋c ，将x ＝m 代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得am 2＋bm ＋c ＜a －b ＋c ，即am 2＋bm ＋b ＜a .故④项正确．综上所述，①②④项正确．故选C.12.B【解析】①项，∵x＝－2和x＝0时的函数值相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝－1，∴顶点坐标为(－1，－4)，故①项正确；②项，∵顶点的纵坐标为－4，即当x＝－1时，y＝－4，由表格可知当x＝－2时，y＝－3>－4，∴(－1，－4)为抛物线图象上的最低点，∴图象开口向上，故②项错误；③项，∵顶点坐标为(－1，－4)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－4，代入(0，－3)，得－3＝a(0＋1)2－4，解得a＝1，∴y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x －1)，∴与x轴的交点为(－3，0)，(1，0)，又∵图象开口向上，∴当－3<x<1时，y＜0，故③项正确；④项，由③可知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，且它们分别位于y轴的两侧．综上可知①③正确，故正确的结论有2个．。
2020年陕西中考二次函数与三角形探究(含答案)
二次函数与三角形综合探究二次函数的综合探究是陕西中考的必考题型，每年以压轴题的形式在解答题第24题考查．这类题型考查的形式较多，常涉及最值问题、特殊图形的存在性问题、相似三角形的存在性问题等，将方程、函数、图形等融为一体进行考查，是数与形的完美结合．类型1 二次函数与特殊三角形的存在性问题1．二次函数与等腰三角形存在性问题(1)数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定．(2)函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用．(3)找动点，使之与已知两点构成等腰三角形．已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为等腰三角形“两圆一垂”(1)直角三角形一般涉及勾股定理，注意勾股定理及其逆定理；同时注意直角三角形的特殊角的三角函数的运用．(2)直角三角形与二次函数属于代数与几何的结合，把几何问题数字化，这类问题要注意平面直角坐标系的作用．(3)综合问题注意对全等、相似、勾股定理、解直角三角形等知识的使用．(4)找动点，使之与已知两点构成直角三角形．问题作图求点坐标直角三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△P AB为直角三角形“两垂一圆”分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由△AB2＝BP2＋AP2，△BP2＝AB2＋AP2，△AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；【解答】把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－m＋n＝0，n＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝2，n＝3，△抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由；【解答】△ACD是等腰三角形．理由如下：△由(1)知，抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，△D(1，0)．△A(－1，0)，C(0，3)，△AD＝2，AC＝12＋32＝10，CD＝12＋32＝10.△AC＝CD，△△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．如答图1，由(2)知CD＝10.△△CDP是以CD为腰的等腰三角形，△CP1＝DP2＝DP3＝CD，△P2(1，10)，P3(1，－10)．过点C作CM垂直对称轴于点M，△MP1＝MD＝3.△DP1＝6，△P(1，6)综上所述，符合条件的点P的坐标为(1，6)或(1，10)或(1，－10)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．△B(3，0)，C(0，3)，△直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(0＜m＜3)．△C(0，3)，D(1，0)，△CP2＝m2＋(－m＋3－3)2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10，△PCD是等腰三角形分三种情况：△当CP＝DP时，则CP2＝DP2，△2m 2＝(m －1)2＋(－m ＋3)2，△m ＝54，△P 1(54，74)；△当CP ＝CD 时，则CP 2＝CD 2，△2m 2＝10，△m ＝5或m ＝－5(舍去)，△P 2(5，3－5)； △当DP ＝CD 时，则DP 2＝CD 2，△(m －1)2＋(－m ＋3)2＝10，△m ＝4(舍去)或m ＝0(舍去)． 综上所述，符合条件的点P 的坐标为(54，74)或(5，3－5)．(5)设抛物线的顶点为E ，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PEC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．由(1)知，E 点坐标为(1，4)，对称轴为直线x ＝1. 如答图2，分两种情况讨论：△若以CE 为底边，则PE ＝PC . 设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋(y －4)2＝x 2＋(y －3)2， 化简得y ＝4－x .又△点P (x ，y )在抛物线上， △4－x ＝－x 2＋2x ＋3，解得x ＝3±52.△3－52＜1，应舍去．△x ＝3＋52，y ＝4－x ＝5－52.即点P 的坐标为(3＋52，5－52)．△若以CE 为腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P 与点C 关于直线x ＝1对称，此时P 点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．练习1．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD △x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)△点A 的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝－1， △点B 的坐标为(－4，0)．设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)(x ＋4) ＝a (x 2＋2x －8)，将C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14，故抛物线的函数表达式为y ＝14x 2＋12x －2.(2)设直线BC 的表达式为y ＝mx ＋n ， 将点B ，C 的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4m ＋n ，－2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－2，故直线BC 的表达式为y ＝－12x －2.设点D (x ，0)，则点P (x ，14x 2＋12x －2)，点E (x ，－12x －2)．△PE ＝14OD ，△PE ＝14x 2＋12x －2＋12x ＋2＝14(－x )，解得x ＝－5或0(舍去)，即点D (－5，0)， △PE ＝14OD ＝14×5＝54，BD ＝－4－(－5)＝1.△S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58.(3)存在．由(1)可知，tan△ABC ＝12，则sin△ABC ＝55.由题意得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，且M 在x 轴上方． △当BD ＝BM ＝1时，y M ＝BM sin△ABC ＝1×55＝55， 则x M ＝－20＋255，则点M (－20＋255，55)；△如答图，当BD ＝DM ′＝1时，设M ′(x ，－12x －2)，过M ′作MF △x 轴于点F ，则DF 2＋M ′F 2＝DM ′2，故(－5－x )2＋(－12x －2)2＝1，解得x ＝－285或x ＝－4(舍去)，则点M ′(－285，45)．综上所述，符合条件的点M 的坐标为(－20＋255，55)或(－285，45)．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)， 即y ＝ax 2－2ax －3a ， △－2a ＝2，解得a ＝－1，△抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，则C (0，3)． 设直线AC 的解析式为y ＝px ＋q ， 把A (－1，0)，C (0，3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝3， △直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. (2)△y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， △顶点D 的坐标为(1，4)．如答图1，作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于点M ，连接BM ，则B ′(－3，0)．△MB ＝MB ′，△MB ＋MD ＝MB ′＋MD ＝DB ′，此时MB ＋MD 的值最小，而BD 的值不变， △此时△BDM 的周长最小， 易得直线DB ′的解析式为y ＝x ＋3， 当x ＝0时，y ＝x ＋3＝3， △点M 的坐标为(0，3)． (3)存在．如答图2，过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P .△直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3， △直线PC 的解析式可设为y ＝－13x ＋b ，把C (0，3)代入得b ＝3，△直线PC 的解析式为y ＝－13x ＋3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝73，y ＝209， 则此时P 点坐标为(73，209)；如答图2，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ′，直线P ′A 的解析式可设为y ＝－13x ＋b ′，把A (－1，0)代入得13＋b ′＝0，解得b ′＝－13，△直线P ′A 的解析式为y ＝－13x －13.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3，y ＝－13x －13， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝103，y ＝－139，则此时P 点坐标为(103，－139)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，－139)．类型2 二次函数与相似三角形的存在性问题探究三角形相似的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要运用分类讨论的思想及数形结合的思想，具体方法步骤如下：(1)假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角(尤其是以文字形式出现要证明两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；(2)确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三对角对应来分类讨论；(3)建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．例题如图，已知抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .若已知B 点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；【解答】△点B (8，0)在抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋4上，△－14×64＋8b ＋4＝0，解得b ＝32.△抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.△－b2a ＝－322×（－14）＝3， △其对称轴为直线x ＝3.(2)连接AC ，BC ，试判断△AOC ，△COB和△ABC 是否相似？并说明理由；【解答】△ABC △△ACO △△CBO . 理由：如答图1，由(1)可得，当x ＝0时，y ＝4，则C (0，4)．当y ＝0时，则－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x ＝8或－2.则A (－2，0)．在Rt△AOC 中，tan△CAO ＝OC AO ＝42＝2. 在Rt△BOC 中，tan△BCO ＝OB OC ＝84＝2. △△CAO ＝△BCO . △△BCO ＋△OBC ＝90°， △△CAO ＋△OBC ＝90°，△△ACB ＝90°.△△ABC △△ACO △△CBO .(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN △x 轴于点N ，使得以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．理由如下：由(2)可知，△ABC △△ACO △△CBO .△M 点与C 点重合，即点M 坐标为(0，4)时，△MAN △△BAC .△根据抛物线的对称性，当点M 坐标为(6，4)时，△MAN △△ABC .△当点M 在第四象限时，设M (n ，－14n 2＋32n ＋4)，则N (n ，0)． △MN ＝14n 2－32n －4，AN ＝n ＋2. AC ＝22＋42＝25，BC ＝82＋42＝4 5.当MN AN ＝AC BC ＝12时，MN ＝12AN ， 即14n 2－32n －4＝12(n ＋2)， 整理得n 2－8n －20＝0，解得n 1＝10，n 2＝－2(舍去)，△M (10，－6)．当MN AN ＝BC AC ＝21时，MN ＝2AN ，即14n 2－32n －4＝2(n ＋2)， 整理得n 2－14n －32＝0，解得n 1＝－2(舍去)，n 2＝16，△M (16，－36)．综上所述，存在点M ，使得以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，点M 的坐标为(0，4)或(6，4)或(10，－6)或(16，－36)．(4)在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使以点P ，O ，B 为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．如答图2，由(1)可知，OA ＝2，OB ＝8，OC ＝4，设OP ＝y .若△POB △△AOC ，则OP OA ＝OB OC ＝2， △OP ＝4，△P (0，4)．若△BOP △△AOC ，则OP OC ＝OB OA＝4， △OP ＝16，△P (0，16)．综上所述，在y 轴的正半轴上存在点P 1(0，4)和点P 2(0，16)，使以点P ，O ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似．(5)点D (m ，n )是线段BC 上的一个动点(点D 不与B ，C 重合)，过点D 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，垂足为E ，是否存在点D ，使△CDE △△CEB ？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】存在．理由如下：如答图3，△△ECD ＝△BCE ，△当△CED ＝△CBE 时，△CDE △△CEB .△△COB ＝△DEB ＝90°，△DE △OC .△△OCE ＝△CED ＝△CBE .设E (m ，0)，OC ＝4，OB ＝8.△tan△OCE ＝OE OC ＝m 4，tan△CBE ＝OC OB ＝12， △m 4＝12，解得m ＝2. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (8，0)，C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝4，△y ＝－12x ＋4，△n ＝－12×2＋4＝3，△点D 坐标为(2，3)．(6)点M 在线段OB 上运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q .在抛物线上是否存在点P ，使得△MBQ 与△CPQ 相似？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】存在．P 点坐标为(6，4)．【解法提示】如答图4，△MP △x 轴，设M (m ，0)，△P (m ，－14m 2＋32m ＋4)． 由(5)可知，直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4，OB ＝8，OC ＝4. △在△MBQ 和△CPQ 中，△BQM ＝△CQP ，△BMQ ＝90°，△若使△CPQ 和△MBQ 相似，则需△PCQ ＝90°或△CPQ ＝90°.分以下两种情况讨论：△当△PCQ ＝90°时，过点P 作PE △y 轴于点E ，则△PCE ＋△CPE ＝90°，PE ＝m ，CE ＝－14m 2＋32m ＋4－4＝ －14m 2＋32m . △△PCQ ＝90°，△△PCE ＋△BCO ＝90°，△△BCO ＝△CPE ，△Rt△PEC △Rt△COB ，△PE CO ＝CE BO ，则m 4＝－14m 2＋32m 8. 解得m ＝0(舍去)或m ＝－2，当m ＝－2时，点P 位于第二象限，故不合题意，舍去．△当△CPQ ＝90°时，CP △PM ，△点P 的纵坐标为4，△－14m2＋32m＋4＝4，解得m＝0(舍去)或m＝6，△P(6，4)．综上所述，符合条件的点P的坐标为(6，4)．。
陕西省2019年中考数学面对面类型一二次函数与特殊三角形判定练习
类型一 二次函数与特殊三角形判定1．如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C .(1)求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；(2)以AC 为斜边向上作等腰直角△ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时，求抛物线C 2的解析式；(3)若抛物线C 2的对称轴上存在点P ，使△PAC 为等边三角形，请直接写出m 的值．第1题图解：(1)∵抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)，与x 轴的另一个交点为(2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－2， ∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2－2x ， 则y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；(2)∵将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位得到抛物线C 2， ∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－m )2－1，∵抛物线C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ， ∴A (m ，0)、B (m ＋2，0)、C (0，m 2＋2m )，设抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为点E ，如解图①，过点C 作CH ⊥DE 于点H ， ∵△ACD 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， ∴∠CDA ＝90°，CD ＝AD ， 又∵∠CHD ＝∠DEA ＝90°，∴∠CDH ＋∠ADE ＝∠ADE ＋∠DAE ， ∠HCD ＋∠HDC ＝∠HDC ＋∠ADE ， ∴∠CDH ＝∠DAE, ∠HCD ＝∠EDA ， ∴△CHD ≌△DEA ，∴HD ＝ AE ＝1, DE ＝ CH ＝m ＋1， ∴EH ＝HD ＋DE ＝m ＋2， 由OC ＝HE 得m 2＋2m ＝m ＋2， 解得m 1＝1，m 2＝－2(舍去)，∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－1)2－1＝x 2－4x ＋3；第1题解图①第1题解图②(3)m ＝33. 【解法提示】如解图②，连接BC 、BP ，由抛物线的对称性可知AP ＝BP ， ∵△PAC 是等边三角形， ∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，∴C 、A 、B 三点在以点P 为圆心，PA 长为半径的圆上， ∴∠CBO ＝12∠CPA ＝30°，∴BC ＝2OC ，由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ， ∴3(m 2＋2m )＝m ＋2， 解得m 1＝33，m 2＝－2(舍去)． ∴m ＝33.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D .(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0，3)，∴根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)，如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1，∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2， ∴△BCD 是直角三角形；第2题解图(3)存在．抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1. i)如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2， ∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2， 即y ＝4－x .又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上， ∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3， 即x 2－3x ＋1＝0，解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)，∴x ＝3＋52，∴y ＝4－x ＝5－52，即点P 1的坐标为(3＋52，5－52)．ii)如解图，若以CD 为一腰，∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2的坐标为(2，3)．∴符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．。
中考复习专题1二次函数与等腰三角形问题(含解析)
专题1二次函数与等腰三角形问题在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．图1图2图3代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．222222222()(y ),()(y ),()(y )A B A B A C A C B C B C AB x x y AC x x y BC x x y =-+-=-+-=-+-，然后根据分类：AB=AC ，BA=BC ，CA=CB 列方程进行计算.【例1】（2022•百色）已知抛物线经过A （﹣1，0）、B （0，3）、C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF ＝∠BDF ；（3）是否存在点M ，使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．【例2】（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF ＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB ＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当BP＝BM ＝3时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝＝2，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∵•CD•CB＝•BD•CH，∴CH＝＝，∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，∴EF∥DT，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝m，BF＝m，∴△BFE与△DEC的面积之和S＝×（2﹣m）×+×m×m＝（m﹣）2+，∵＞0，∴S有最小值，最小值为，此时m＝，∴m＝时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边形OCEF的面积的最大值即可．（3）存在．理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），当BP＝BM＝3时，22+m2＝（3）2，∴m＝±，∴P1（5，），P2（5，﹣），当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣1，∴P3（5，﹣1），当BM＝PM时，（3）2＝12+（m+3）2，解得，m＝﹣3±，∴P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，﹣），P3（5，﹣1），P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣）．【例3】．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+x+4得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），用待定系数法可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，（2）过C作CG⊥PD于G，设P（m，﹣m2+m+4），可得PD＝﹣m2+m+4，DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m，而CP＝CE，CG⊥PD，即得GE＝PG＝﹣m2+m，证明△CGE∽△BOC，可得＝，即可解得P（4，6）；（3）过C作CH⊥PD于H，设P（m，﹣m2+m+4），根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，可得直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，从而F（0，﹣m2﹣m+4），OF＝|﹣m2﹣m+4|，证明Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），可得∠HCE＝∠FDO，即得∠FDO＝∠CBO，tan∠FDO＝tan∠CBO，故＝，可解得m＝2﹣2或m＝4．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG ＝PD ﹣DG ＝﹣m 2+m +4﹣4＝﹣m 2+m ，∵CP ＝CE ，CG ⊥PD ，∴GE ＝PG ＝﹣m 2+m ，∵∠GCE ＝∠OBC ，∠CGE ＝90°＝∠BOC ，∴△CGE ∽△BOC ，∴＝，即＝，解得m ＝0（舍去）或m ＝4，∴P （4，6）；（3）存在点P ，使得CE ＝FD ，理由如下：过C 作CH ⊥PD 于H ，如图：设P （m ，﹣m 2+m +4），由A （﹣2，0），C （0，4）可得直线AC 解析式为y ＝2x +4，根据PF ∥AC ，设直线PF 解析式为y ＝2x +b ，将P （m ，﹣m 2+m +4）代入得：﹣m 2+m +4＝2m +b ，∴b ＝﹣m 2﹣m +4，∴直线PF 解析式为y ＝2x ﹣m 2﹣m +4，令x ＝0得y ＝﹣m 2﹣m +4，∴F （0，﹣m 2﹣m +4），∴OF ＝|﹣m 2﹣m +4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．【例4】（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；＝S△BCP？若存在，求出点M （3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；（2）设P（1，m），根据PB＝PC列出方程，进而求得点P坐标；（3）作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，先求出PQ的解析式，进而求得MN的解析式，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3），∴y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（1，m），∵PB2＝PC2，∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，∴m＝1，∴P（1，1）；（3）假设存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，∵PQ的解析式为y＝﹣x+2，∴Q（0，2），＝S△BCP，∵C（0，3），S△BCM∴N（0，4），∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4，由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，x＝，∴M点横坐标为或．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；②解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3，∴∠ABC＝45°，∵PH⊥AB，∴∠BMH＝∠CMP＝45°，∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴，设P（n，n2﹣2n﹣3），则CPMP＝﹣n2+3n，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3），当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n，＝﹣n2+3n，∵n＞0，∴n＝﹣n2+3n，解得n＝3﹣，∴P（3﹣，2﹣4），综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于m的方程可得出答案；（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公式列出关于m的方程可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8，令x＝0，y＝8，∴C（0，8），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），设P（m，﹣m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），∴BD＝＝＝（8﹣m），又PD＝﹣m+8﹣（﹣m+8）＝﹣m，∵△PQD≌△BED，∴PD＝BD，∴（8﹣m）＝﹣m，解得，m1＝3，m2＝8（舍去）∴m的值为3；（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•淮阴区校级一模）如图，抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；（4）若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（1，n），由两点间距离公式可得：BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，分两种情况：当∠CBD＝90°时，当∠BCD＝90°时，分别利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，利用三角函数和面积法可求得G（，﹣），运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝x﹣6，联立方程组可得E′（，﹣），再根据轴对称可求得点E的坐标；（4）由题意可知△BMN为等边三角形，分两种情况讨论：①当点N在x轴的上方时，点M在x轴上方，连接BM，RN．证出△BAM≌△BRN，可得AN垂直平分BR，则L点在直线AN上，可求出直线AN的解析式，②当点N在x轴的下方时，点M在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6，∵x＝﹣＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1；（2）设D（1，n），∵抛物线y＝2x2﹣4x﹣6交y轴于点C，∴C（0，﹣6），∵B（3，0），∴BC2＝OB2+OC2＝32+62＝45，BD2＝（1﹣3）2+（n﹣0）2＝n2+4，CD2＝（0﹣1）2+（﹣6﹣n）2＝n2+12n+37，当∠CBD＝90°时，则BC2+BD2＝CD2，∴45+n2+4＝n2+12n+37，解得：n＝1，∴D（1，1）；当∠BCD＝90°时，则BC2+CD2＝BD2，∴45+n2+12n+37＝n2+4，解得：n＝﹣，∴D（1，﹣）；∴所有符合条件的点D的坐标为（1，1）或（1，﹣）；（3）如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，S四边形BOCG＝2S△BCO＝2××3×6＝18，在Rt△BCO中，BC＝＝＝3，∵OG⊥BC，∴×BC×OG＝18，∴OG＝，∴GH＝OG•sin∠GOH＝OG•sin∠BCO＝×＝，OH＝OG•cos∠GOH＝OG•cos∠BCO＝×＝，∴G（，﹣），设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝x﹣6，∴，解得：（不符合题意，舍去），，∴E′（，﹣），∵点E与点E′关于BC对称，∴CE＝CE′，∵CE′＝＝，∴﹣6+＝﹣，∴E（0，﹣）；（4）在抛物线对称轴上取点R（1，2），连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，则S（1，0），∵tan∠RAS＝＝＝，∴∠RAS＝60°，∵AR＝BR，∴△ABR是等边三角形，①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABM＝∠RBN，∴△ABM≌△RBN（SAS），∴AM＝RN，∵点M在抛物线对称轴上，∴AM＝BM，∴RN＝BM＝BN，∴AN垂直平分BR，∴LR＝LB＝LA，设L（1，m），则LS＝m，AL＝BL＝RL＝2m，∴2m+m＝2，解得：m＝，∴L（1，），设直线AN的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝x+；②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABN＝∠RBM，∴△BRM≌△BAN（SAS），∴∠BAN＝∠BRM，∵AR＝BR，RS⊥AB，∴∠BRM＝∠ARB＝30°，∴BAN＝30°，设AN与y轴交于点Q，在Rt△AOQ中，OQ＝OA•tan∠BAN＝OA•tan30°＝1×＝，∴Q（0，﹣），设直线AN的解析式为y＝k2+d2，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣．综上所述，直线AN的解析式为y＝x+或y＝﹣x﹣．4．（2022•仁寿县模拟）如图，直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．（3）若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，可得B点的坐标，将A、B两点代入直线y＝kx+n 即可得直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB＝4，分两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可；（3）设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），可得PD＝y P﹣y D＝−x2+4x，即得S△P AB＝PD•OA＝﹣2（x﹣2）2+8，根据二次函数的最值即可求解．【解答】解：（1）∵过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点C，且C（﹣1，0），A（4，0）．∴，解得，∴抛物线解析式为y＝−x2+3x+4，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵直线y＝kx+n（k≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图，∵A（4，0）．B（0，4），∴AB＝＝4，①当AB＝MB时，点M与点A（4，0）关于y轴对称，故M（﹣4，0）符合题意；②当AB＝AM时，AM＝AB＝4，∴M′（4﹣4，0）、M″（，0）．综上所述，点M的坐标为（﹣4，0）或（4﹣4，0）或（4+4，0）；（3）存在，理由如下：设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D（x，﹣x+4），∴PD＝y P﹣y D＝（−x2+3x+4）﹣（−x+4）＝−x2+4x，＝PD•OA＝×4×[−x2+4x]＝﹣2（x﹣2）2+8，∴S△P AB∵﹣2＜0，∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．5．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围．【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，可求得A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，即可求得直线AB的解析式为y＝x+3；（2）设P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，则M（m，﹣m2﹣2m+3），可得PM＝﹣m2﹣3m，运用两点间距离公式可得PB＝﹣m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP＝PB或MP＝MB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系数法可求得经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，可得点G的横坐标为﹣2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故﹣2＜m＜﹣1．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于点B，∴B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0，解得：k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+3；（2）∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，∴P（m，m+3），且﹣3≤m≤0，∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵PB2＝（m﹣0）2+（m+3﹣3）2＝2m2，且﹣3≤m≤0，∴PB＝﹣m，∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），∴MP＝PB或MP＝MB，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PM∥OB，∴∠BPM＝45°，①当MP＝PB时，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣3+，∴P（﹣3+，）；②当MP＝MB时，则∠PBM＝∠BPM＝45°，∴∠BMP＝90°，∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，∴﹣m2﹣2m+3＝3，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P（﹣2，1），综上所述，点P的坐标为（﹣3+，）或（﹣2，1）；（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点D（﹣1，4），设经过点D（﹣1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x+n，如图2，则﹣1+n＝4，解得：n＝5，∴y＝x+5，联立，得x+5＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴点G的横坐标为﹣2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．6．（2022•沭阳县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）令y＝0，即可求A点坐标；（2）延长DE交x轴于点K，求出直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，则E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），即可求S1﹣S2＝﹣t2﹣t﹣（t+＝﹣t2﹣6t﹣）＝﹣（t+2）2+，当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为，此时点D的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）由题意可求抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，可求M（0，3），设N（﹣1，n），分两种情况①当AM＝AN时，9+9＝4+n2，得到N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+9＝1+（3﹣n）2，得到N（﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图，延长DE交x轴于点K，∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，设D（t，t2+2t﹣3），其中﹣3＜t＜0，∴E（（t，﹣t﹣3），K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣3t，∵S1＝S△ADC＝DE•OA＝（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣t，S 2＝S △AEO ＝EK •OA ＝（t +3）＝t +，∴S 1﹣S 2＝﹣t 2﹣t ﹣（t +＝﹣t 2﹣6t ﹣）＝﹣（t +2）2+，∴当t ＝﹣2时，S 1﹣S 2取得最大值，最大值为，此时点D 的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）∵C （0，﹣3），B （1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB 方向平移2个单位长度，∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y ＝（x +1﹣2）2﹣4+6＝（x ﹣1）2+2，当x ＝0时，y ＝3，∴M （0，3），∵原抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，设N （﹣1，n ），①当AM ＝AN 时，9+9＝4+n 2，∴n ＝±，∴N （﹣1，）或N （﹣1，﹣）；②当AM ＝MN 时，9+9＝1+（3﹣n ）2，∴n ＝3+或n ＝3﹣，∴N （﹣1，3+）或N （﹣1，3﹣）；综上所述：N 点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．7．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知点（0，）在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，且该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D 两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1+2S2的最大值；（3）如图3，在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论和已知条件求得抛物线C2的解析式，依据图象求得S1+2S2的值，利用二次函数的性质求得结论；（3）①设EP与x轴交于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段CH的长，得到点H的坐标，利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得对应相等的长度即可求得结论．【解答】解：（1）∵点在抛物线C 1：y ＝x 2+bx +c 上，∴c ＝．∵该抛物线与x 轴正半轴有且只有一个交点A ，∴b ＜0，b 2﹣4××＝0．∴b ＝﹣．∴抛物线C 1的解析式为y ＝﹣x +．（2）∵y ＝﹣x +＝，又∵抛物线C 1沿射线BA 的方向平移个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的解析式为y ＝＝x +2，令x ＝0，则y ＝2，∴E （0，2）．∴OE ＝2．令y ＝0，则﹣x +2＝0，解得：x ＝1或3，∴C （1，0），D （3，0）．∴OC ＝1，OD ＝3，∴CD ＝2．∵点M 在抛物线C 2上，∴设M （m ，﹣m +2），设直线ED 的解析式为y ＝kx +n ，∴，解得：，∴直线ED 的解析式为y ＝﹣x +2．∵MN ∥y 轴交线段DE 于点N ，∴N（m，﹣m+2），∵点M在线段ED的下方，∴MN＝﹣x+2﹣（﹣m+2）＝﹣+2m，＝S△EMN+S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2+3m，OE×m＝m，∵S△EMD∴S1+2S2＝﹣m2+2m+2m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，S1+2S2有最大值4；（3）①点P的坐标为（，），理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，∵抛物线C2的解析式为y＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝2∴F（2，0）．∴OF＝2．∵OC＝1，∴CF＝OF﹣OC＝1．EC＝＝＝，∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF+∠CEF，∠EFO＝∠PEF+∠G，∴∠CEF＝∠G．∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE，∴．∴CE2＝CF•CG，∴CG＝5，∴OG＝OC+CG＝6，∴G（6，0）．设直线EG的解析式为y＝ax+2，∴6a+2＝0，∴a＝﹣．∴直线EG的解析式为y＝﹣x+2，∴，解得：或，∴P（，）；②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，∵P（，），∴OK＝，PK＝，∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，∴DP＝＝＜1，∵DF＝1，∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；当HP＝HD时，设H（2，h），则HF＝h，过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，∵HP＝HD，∴＝．∴12+h2＝+，解得：h＝，∴H（2，）．综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为（2，）．8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；＝BM•DN＝，建立方程求解即可得出答案；（2）根据S△MNB（3）由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，②当CD＝CP时，CD2＝CP2，③当PC＝PD时，PC2＝PD2，分别建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S △MNB ＝BM •DN ＝，即•|3﹣t |•2t ＝，当t ＜3时，•（3﹣t ）•2t ＝，化简得：4t 2﹣12t +15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t ＞3时，•（t ﹣3）•2t ＝，解得t 1＝，t 2＝（舍），∴DN ＝2t ＝3+2，∴点M 的坐标为（，0），点N 的坐标为（1，3+2）；（3）存在．如图2，∵点P 在x 轴上，∴设P （m ，0）．∵C （0，3），D （1，0），∴由勾股定理，得：CD 2＝OC 2+OD 2＝32+12＝10，PD 2＝（m ﹣1）2，CP 2＝OP 2+OC 2＝m 2+32＝m 2+9，分为三种情况讨论：①当CD ＝PD 时，CD 2＝PD 2，即10＝（m ﹣1）2，解得m 1＝1+，m 2＝1﹣，此时点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD ＝CP 时，CD 2＝CP 2，即10＝m 2+9，解得m 1＝﹣1，m 2＝1（不符合题意，舍去），此时点P 的坐标为（﹣1，0）；③当PC ＝PD 时，PC 2＝PD 2，即m 2+9＝（m ﹣1）2，解得m ＝﹣4，此时点P 的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x 轴上存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形，满足条件的点P 的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．9．（2022•沈阳模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC的解析式为y＝﹣x+m．（1）求m与b的值；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【分析】（1）根据二次函数求出B点坐标，将B点坐标代入一次函数求出m的值，再根据一次函数求出C点的坐标，再将C点坐标代入二次函数即可求出b的值；（2）①过点P作PG∥x轴交BC于点G，设出P点坐标，证△PEG∽△AEC，根据线段比例关系求出比值的代数式，利用二次函数的性质求最值，然后利用两直线相交得出E点坐标即可；②过点E作EM⊥y轴于点M，设出P点坐标，求出直线AP的解析式，分别用代数式表示出BE、BF、EF，然后分情况求出P点坐标即可．【解答】解：（1）∵物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵直线BC的解析式为y＝﹣x+m，∴m＝3，即直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，∴C（4，0），把C点坐标代入二次函数解析式得﹣×42+b×4+3＝0，解得b＝；（2）①存在最大值，理由如下：过点P作PG∥x轴交BC于点G，由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3，当y＝0时，﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OA＝2，OC＝4，AC＝6，∵P是直线BC上方抛物线上的动点（不与点B，点C重合），设P（n，﹣n2+n+3），且0＜n＜4，∴G点的纵坐标为﹣n2+n+3，又∵G点在直线BC上，∴G（n2﹣n，﹣n2+n+3），∴PG＝n﹣（n2﹣n）＝﹣n2+2n，∵PG∥x轴，∴△PEG∽△AEC，∴＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣（n﹣2）2≤0，∴﹣（n﹣2）2+，即当n＝2时，，此时P（2，3），设直线AP的解析式为y＝kx+t，代入A点和P点的坐标得，解得，∴直线AP的解析式为y＝x+，联立方程组，解得，∴E（1，），即存在最大值，且的最大值为，此时E点的坐标为（1，）；②过点E作EM⊥y轴于点M，则∠BME＝∠FME＝90°，∵P是直线BC上方抛物线上的一点（不与点B，点C重合），设P（p，﹣p2+p+3），且0＜p＜4，设直线AP的解析式为y＝sx+h，把A（﹣2，0），P（p，﹣p2+p+3）代入解析式得，，解得，∴直线AP的解析式为y＝，令x＝0时，y＝，∴F（0，），∴OF＝，∵B（0，3），∴OB＝3，∴BF＝3﹣＝，联立方程组，解得，∴E（，），∵EM⊥y轴，∴EM＝，OM＝，∴MF＝OM﹣OF＝﹣＝，BM＝OB﹣OM＝3﹣＝，在Rt△MBE和Rt△FME中，根据勾股定理得，BE2＝BM2+EM2＝（）2+（）2，EF2＝MF2+EM2＝（）2+（）2，若△BEF为等腰三角形，则分以下三种情况：（Ⅰ）当BE＝BF时，则BE2＝BF2，即（）2+（）2＝（）2，解得p＝或p＝（不符合题意，舍去），此时P （，）；（Ⅱ）当BE ＝EF 时，则BE 2＝EF 2，即（）2+（）2＝（）2+（）2，解得p ＝2，此时P （2，3）；（Ⅲ）当BF ＝EF 时，则BF 2＝EF 2，即（）2＝（）2+（）2，解得p ＝，此时P （，）；综上，符合条件的P 点坐标为（，）或（2，3）或（，）．10．（2022•永昌县一模）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （1，0），B （﹣3，0）两点，C 是抛物线与y 轴的交点，P 是该抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上求一点M ，使得△MAC 是以AM 为底的等腰三角形；求出点M 的坐标．（3）设（1D ，对称轴与直线BC 交于点E ，过抛物线上的动点P 作x 轴的垂线交线段BC 于点Q ，使得D 、E 、P 、Q 四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）设M（﹣1，m），由题意可知CM＝CA，则1+（m﹣3）2＝1+9，即可求解；（3）求出D（﹣1，4），E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），分三种情况讨论：①当DE为平行四边形的对角线时；②当DP为平行四边形的对角线时；③当DQ为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式即可求解．【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设M（﹣1，m），∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1+（m﹣3）2＝1+9，解得m＝0或m＝6（舍），∴M（﹣1，0）；（3）存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）知D（﹣1，4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+3，∴E（﹣1，2），设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3）（﹣3≤t≤0），①当DE为平行四边形的对角线时，，∴t＝﹣1，∴P（﹣1，4）（舍）；②当DP为平行四边形的对角线时，4﹣t2﹣2t+3＝2+t+3，解得t＝（舍）；③当DQ为平行四边形的对角线时，4+t+3＝2﹣t2﹣2t+3，解得t＝﹣1（舍）或t＝﹣2，∴P（﹣2，3）；综上所述：P点坐标为（﹣2，3）．11．（2021•无为市三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．（1）求抛物线的对称轴；（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．【分析】（1）根据对称轴直线公式直接代入系数即可；（2）若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；（3）把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2；（2）当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×（3﹣1）＝﹣，即C（2，﹣），把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a﹣8a+3a，解得a＝；（3）∵A（1，0），D（4，3）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣1，∵抛物线过点D（4，3），∴3＝16a﹣16a+3a，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，∵PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，∴设P点坐标为（m，m2﹣4m+3），M点坐标为（m，m﹣1），∵点P与N的纵坐标相同，∴m2﹣4m+3＝x N﹣1，∴x N＝m2﹣4m+4，∴PM＝y M﹣y P＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，PN＝x P﹣x N＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2（m﹣）2+，∴当m＝时，W有最大值，最大值为．12．（2021•广东模拟）如图，抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即可求b的值；（2）A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），则BA＝4，所以△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）设E（﹣，t），分三种情况：①CD＝CE，则有3+9＝3+（t+1）2，求得E（﹣，2）；②CD＝DE，则有3+9＝（t+4）2，求得E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，则有3+（t+1）2＝（t+4）2，求得E（，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴b＝2，∴y＝x2+2x﹣1；（2）令x2+2x﹣1＝0，∴x＝﹣+2或x＝﹣﹣2，∴A（﹣﹣2，0），B（﹣+2，0），∴BA＝4，∴△ABC的面积＝×4×1＝2；（3）点E存在，理由如下：设E（﹣，t），由y＝x2+2x﹣1，可求C（0，﹣1），D（﹣，﹣4），△CDE为等腰三角形，分三种情况：①CD＝CE，∴3+9＝3+（t+1）2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E（﹣，2）或E（﹣，﹣4）（舍）；②CD＝DE，3+9＝（t+4）2，∴t＝2﹣4或t＝﹣2﹣4，∴E（﹣，2﹣4）或E（﹣，﹣2﹣4）；③CE＝DE，3+（t+1）2＝（t+4）2，∴t＝﹣2，∴E（﹣，﹣2）；综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为（﹣，2）或（﹣，2﹣4）或（﹣，﹣2﹣4）或（﹣，﹣2）．13.（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；＝；（2）设该抛物线的顶点为点H S△BCH（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
陕西省中考数学面对面类型二二次函数与特殊四边形判定练习
陕西省中考数学面对面类型二二次函数与特殊四边形判定练习1. 已知抛物线C 1：y ＝－14x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点(2，0)，对称轴为直线x ＝－3.(1)求b 、c 的值；(2)若抛物线C 1与抛物线C 2关于y 轴对称，求抛物线C 2的函数表达式；(3)若抛物线C 1与x 轴的交点分别为A ，B 两点(A 在B 左侧)，抛物线C 2与x 轴交于A ′，B ′两点(A ′在B ′左侧)，且抛物线C 2与y 轴交于点M ，则在抛物线C 1及C 2上是否存在点N ，使得以点A ′，A ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出N 点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线C 1：y ＝－14x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－3，∴x ＝－b 2×（－14）＝－3，解得b ＝－32，又∵y ＝－14x 2＋bx ＋c 过点(2，0)，∴0＝－14×22＋(－32)×2＋c ，解得c ＝4，∴b ＝－32，c ＝4；(2)由(1)得抛物线C 1：y ＝－14x 2－32x ＋4，∵抛物线C 1与抛物线C 2关于y 轴对称，∴抛物线C 1与抛物线C 2上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ∴将－x 代入y ＝－14x 2－32x ＋4中，得y ＝－14(－x )2－32(－x )＋4＝－14x 2＋32x ＋4，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(3)令－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8，∵A ′点在B ′点左侧， ∴A ′(－2，0)，B ′(8，0)，∵以点A 、A ′、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，点A (－8，0)， ∴①当AA ′为边时，有MN ＝AA ′，且MN ∥AA ′，∵AA ′＝－2－(－8)＝6，且当x ＝0时，y ＝4，即点M 坐标为(0，4)， ∴令－14x 2－32x ＋4＝4，解得x 1＝－6，x 2＝0(舍)， ∴N 1(－6，4)，且MN 1＝AA ′＝6， ∴N 1符合题意．同理，令－14x 2＋32x ＋4＝4，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，∴N 2(6，4)，则MN 2＝AA ′＝6， ∴N 2符合题意；②当AA ′为对角线时，令AA ′中点为G ， ∵A (－8，0)，A ′(－2，0)，M (0，4)， ∴G (－5，0)，令N 3(m ，n )，则 0＋m 2＝－5，得m ＝－10，4＋n2＝0，得n ＝－4，将m ＝－10代入y ＝－14x 2－32x ＋4中得y ＝－6≠－4，将m ＝－10代入y ＝－14x 2＋32x ＋4中得y ＝－36≠－4，∴N 3不存在．综上所述，符合条件的N 点有(－6，4)、(6，4)．2. 如图，经过点C (0，－4)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A (－2，0)，B 两点．(1)若该抛物线关于直线x ＝2对称，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F .是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)设y ＝a (x －2)2＋k ，将点C (0，－4)，A (－2，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝a （0－2）2＋k 0＝a （－2－2）2＋k ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13k ＝－163，故所求抛物线的函数表达式为y ＝13(x －2)2－163，即y ＝13x 2－43x －4；(2)存在．如解图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ， ∵EF 是平行四边形AC 边的对边， ∴EF ＝AC ，EF ∥AC ，∴∠OAC ＝∠MFE ，∠AOC ＝∠FME ＝90°， ∴Rt △OAC ≌Rt △MFE ， ∴OC ＝ME ＝4，∴即点E 的纵坐标为4或－4.i)13x 2－43x －4＝－4，解得x 1＝0(即点C ，舍去)，x 2＝4， 即E (4，－4)，ii)13x 2－43x －4＝4，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－27， 即E (2＋27，4)或E (2－27，4)．第2题解图综上所述，满足条件的点E 的坐标为(4，－4)，(2＋27，4)或(2－27，4)．3. 已知抛物线C 1：y ＝ax 2－bx －1经过(1，－2)和(3，2)两点． (1)求抛物线C 1的表达式；(2)将抛物线C 1沿直线y ＝－1翻折，再将翻折后的抛物线向上平移2个单位，再向右平移m 个单位，得到抛物线C 2.若C 2的顶点B 在抛物线C 1上，求m 的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线C 1的顶点为A ，E 为抛物线C 1上的一点，F 为抛物线C 2上的一点，则是否存在以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出矩形的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线C 1：y ＝ax 2－bx －1经过(1，－2)和(3，2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －1＝－29a －3b －1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －1；(2)∵抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， ∴顶点坐标为(1，－2)．∵点(1，－2)关于直线y ＝－1对称点的坐标为(1，0)， ∴点B 的坐标为(1＋m ，2)． ∵B 在抛物线C 1上， ∴(1＋m －1)2－2＝2. 解得m 1＝2，m 2＝－2(舍去)， ∴m 的值为2；(3)存在以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是矩形． 由题可知：A (1，－2)、B (3，2)， 抛物线C 2的表达式为y ＝－(x －3)2＋2，则线段AB 的中点C 的坐标为(1＋32，－2＋22)，即C (2，0)．当x ＝1时，y ＝－(1－3)2＋2＝－2， ∴点A (1，－2)在抛物线C 2上，∴抛物线C 1与抛物线C 2关于点C 成中心对称．当AB 为四边形的一边时，分别过点A 、B 作AB 的垂线，与抛物线C 1、C 2分别交于点M 、N ，则点M 、N 分别位于AB 的两侧，故此时不存在以A 、B 、E 、F 为顶点的矩形；当AB 为四边形的对角线时，如解图，在抛物线C 1上任取一点E (A 、B 除外)，连接EC 并延长交抛物线C 2于点F ，连接AE 、AF 、BF 、BE ，则EC ＝F C.∵EC＝FC，AC＝BC，∴四边形EAFB是平行四边形．要使四边形EAFB为矩形，则需满足∠AEB＝90°，设E(a，a2－2a－1)，∵A(1，－2)，B(3，2)，∴EA2＝(a－1)2＋(a2－2a＋1)2，EB2＝(a－3)2＋(a2－2a－3)2，AB2＝(1－3)2＋(－2－2)2＝20，在Rt△AEB中，AB2＝EA2＋EB2，即(a－1)2＋(a2－2a＋1)2＋(a－3)2＋(a2－2a－3)2＝20，解得a1＝0，a2＝1(舍)，a3＝3(舍)，∴点E的坐标为(0，－1)，∴存在以A、B、E、F为顶点的四边形是矩形．∵E(0，－1)，A(1，－2)，B(3，2)，∴AE＝2，BE＝32，∴S矩形EAFB＝AE·BE＝6.第3题解图。
陕西中考第24题二次函数专题--专题一--三角形存在性问题
题型十二次函数综合题专题一三角形存在性问题例1（扬州）已知抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使MAC ∆为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即丨可望也可即学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可数学丨可望也数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即学丨可望也可即即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可数数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即学丨可望也可即丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即望也可即数学丨可望也可即数学丨数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即也可即数数学即方法突破数学丨可望也可即数学丨可望也可即可即数学丨可数学丨可望也可即数学丨可数学丨可学丨可望数学丨可望也可即数学可望也可即数学丨可望也望也可即数学丨数可望也可即数数学丨可望也可即数学丨可望也可数丨可望也可即数学丨可望也可可即可望也可即数学丨可望也可即学丨可望也可即数学数学丨可望也即学丨可望也可即即数学丨可望也可即数丨可望也可即学丨可望也可即丨可望也可即数学丨数学丨可望可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即学丨可望也可即数学丨可望也可即可望也可即数学丨可数学丨可也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即望也数学丨可望也可即数学丨可望也可望也可即数学丨可望也可即数学丨数学丨可望也可即数学丨可望也可即数学丨可望也可即也可即数数学即陕西中考数学满分之路——题型十：二次函数之三角形存在性问题例2（攀枝花）如图，抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-3）。
2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题课后练习【含答案】
2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题考情分析年份题号题型分值抛物线的变化设问形式解题关键点201724解答题10关于y轴对称(1)求两抛物线表达式(2)求抛物线与x轴两交点坐标(3)求满足平行四边形存在的点坐标(1)轴对称性质，抛物线的对称轴，抛物线的图象，开口方向(2)两点位置(3)平行四边形的性质20212410平移(1)判断抛物线与x轴交点情况(2)写满足等腰直角三角形存在的平移过程(1)待定系数法求抛物线表达式，一元二次方程根的判别(2)抛物线图象的平移20222410中心对称(1)求与坐标轴交点坐标(2)求抛物线表达式(3)求不是菱形的平行四边形的面积(1)抛物线与坐标轴的交点问题(2)抛物线图象关于中心对称性质(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分例(2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B 在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，-3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.(1)求点A，B的坐标及抛物线解析式;(2)抛物线M与抛物线L关于y轴对称，求抛物线M与y轴交点坐标；(3)若点P为抛物线L上一动点，E为直线AD上一动点，则是否存在点P，使得以点A，P，E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题图①(4)抛物线M上存在一点F，抛物线L上存在一点G，使得四边形ABFG为平行四边形，求出F，G两点坐标.例题图②探究平行四边形存在性问题的步骤：1.三定点(A、B、C)，一动点(D)：分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点D 2.两定点(A、C)，两动点(E、F)：分AC为边和AC为对角线两种情况来讨论：①AC为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置②AC为对角线，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点E、F位置练习(2022山西逆袭复诊卷)综合与探究如图，抛物线y＝38x2－94x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.练习题图(1)求点A，B，C的坐标；(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习1(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．练习1题图(1)求抛物线L的表达式；(2)抛物线L′的顶点为D，在x轴上是否存在一点P，使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习2(2022陕西黑白卷白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝23x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).(1)求抛物线的表达式；(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵C(0，－3)∴抛物线L解析式为y＝x2＋2x－3，令y＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3，∴A(1，0)，B(－3，0)；(2)将抛物线L化为顶点式为y＝(x+1)2－4∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称，∴抛物线M的解析式为y＝(x－1)2－4令x=0，则y=－3，∴抛物线M与y轴交点坐标为(0，－3)(3)存在．在Rt△AOD中，∵tan∠BAM＝tan∠OAD＝ODOA＝1，∴OD＝OA，∠BAD＝45°.如解图，分三种情况讨论：例题解题①①当AE＝PE时，∠AEP＝90°，∴∠EPA＝∠EAP＝45°，∵∠DAB＝45°，∴此时点P与点B重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；②当AP ＝PE 时，∠EPA ＝90°，∴∠PEA ＝∠EAP ＝45°，∴此时点P 与点B 重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；③当AP ＝AE 时，∠EAP ＝90°，设AP 与y 轴交于点F ，则∠OFA ＝∠OAF ＝45°，∴OF ＝OA ＝1，∴点F 的坐标为(0，－1)，设直线AF 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (1，0)，F (0，－1)代入y ＝kx ＋b 中，＝k ＋b1＝b ＝1＝－1，∴直线AF 的表达式为y ＝x －1，设点P 的坐标为(x ，x 2＋2x －3)，∴x 2＋2x －3＝x －1，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2－1＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－3，0)或(－2，－3)．(4)∵A (1，0)，B (－3，0)∴AB ＝4∵点F 在抛物线M 上，点G 在抛物线L 上，且四边形ABFG 是平行四边形∴FG ∥AB ，FG =AB =4∵抛物线M 与抛物线L 关于y 轴对称∴两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y 轴对称∴4F G x x +=，x F ＝－x G分两种情况讨论，当F 、G 在x 轴上方时，即x F ＝－2时，x G ＝2当F、G在x轴下方时，即x F＝2时，x G＝－2将x F＝－2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝5，x G＝2，y G＝5，此时F(－2，5)，G(2，5)将x F＝2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝－3，x G＝－2，y G＝－3，此时F(2，－3)，G(－2，－3)∴综上所述，F(－2，5)，G(2，5)或F(2，－3)，G(－2，－3).例题解图②课堂练兵练习解：(1)在y＝38x2－94x－6中，令y＝0，得38x2－94x－6＝0，解得x＝－2或x＝8，令x＝0，得y＝－6，∴点A(－2，0)，点B(0，－6)，点C(8，0)；(2)当点P在直线BC下方时，如解图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设直线BC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，将点B(0，－6)，C(8，0)代入，得＝－68＋＝0，解得＝34＝－6，∴直线BC的表达式为y＝34x－6.设点P (m ，38m 2－94m －6)(0<m <8)，则点E (m ，34m －6)，∴PE ＝(34m －6)－(38m 2－94m －6)＝－38m 2＋3m ，∴S △PBC ＝12PE ·OC ＝12(－38m 2＋3m )×8＝－32m 2＋12m ，当S △PBC ＝24时，即－32m 2＋12m ＝24，解得m ＝4，此时P (4，－9)；当点P 在直线BC 上方时，如解图②，由平移易求得lP 1P 2：y ＝34x ，联立＝34＝382－94－6，解得1＝4＋421＝3＋32，2＝4－422＝3－32，此时P 1(4＋42，3＋32)，P 2(4－42，3－32)．综上所述，点P 的坐标为(4，－9)或(4＋42，3＋32)或(4－42，3－32)；解图①解图②练习题(3)存在．当以点P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如解图③，当BC 作为平行四边形的一条边时，PQ ∥BC ，且PQ ＝BC ，∵点Q 的横坐标为4，∴|x p －4|＝8，解得x p ＝－4或x p ＝12，∴P 1(－4，9)，P 2(12，21)；②如解图④，当BC 为平行四边形的对角线时，设对角线交于点R ，则BR ＝CR ，∴点R (4，－3)，＋2＝4，点Q 在直线x ＝4上，∴点P 的横坐标为4，此时P 3(4，－9)．综上所述，存在满足题意的点P ，点P 的坐标为(－4，9)或(12，21)或(4，－9)．解图③解图④练习题课后小练练习1解：(1)分别将点B (3，0)，C (0，－3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中得9＋3＋＝0＝－3，解得＝－2＝－3，∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在．∵抛物线L ′与抛物线L 关于y 轴对称，∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴D (－1，－4)，设点P 的坐标为(m ，0)，∴BD 2＝(3＋1)2＋[0－(－4)]2＝32，DP 2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，则PB 2＝(m －3)2，∵△PBD 为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB ＝BD 时，即(m －3)2＝32，解得m ＝3＋42或m ＝3－42，∴P 1(3＋42，0)，P 2(3－42，0)；②当BD ＝PD 时，即32＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝3(舍去)或m ＝－5，∴P 3(－5，0)；③当PB ＝PD 时，即(m －3)2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝－1，∴P 4(－1，0)综上所述，点P 点坐标为(3＋42，0)，(3－42，0)，(－5，0)，(－1，0).练习2解：(1)在y ＝23x －2中，当x ＝0时，y ＝－2.∴B (0，－2).令y ＝23x －2＝0，得x ＝3.∴A (3，0).设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点B(0，－2)代入，得－2＝－3a，解得a＝2 3 .∴抛物线的表达式为y＝23(x＋1)(x－3)＝23x2－43x－2；(2)存在．∵A(3，0)，B(0，－2)，∴AB2＝13.由(1)可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设Q(1，m)，则AQ2＝22＋m2，BQ2＝1＋(m＋2)2，要使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则分三种情况讨论：①当AQ＝AB，即AQ2＝AB2时，四边形ABPQ为菱形，∴22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，∴点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)；②当AB＝BQ，即AB2＝BQ2时，四边形ABQP为菱形，∴13＝1＋(m＋2)2，解得m＝23－2或m＝－23－2，∴点Q的坐标为(1，23－2)或(1，－23－2)，③当AQ＝BQ，即AQ2＝BQ2时，四边形AQBP为菱形，∴22＋m2＝1＋(m＋2)2，解得m＝－1 4∴点Q的坐标为(1，－1 4 ).综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，23－2)或(1，－23－2)或(1，－1 4 ).。
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题综合》专题训练(附答案)
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题综合》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，已知二次函数244y ax ax a b =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，且点A 的坐标为()1,0，OB=OC ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在此二次函数的图象上是否存在一点D ，使得90CDB =∠，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)(4,0)-、A B （A 点在B 点左侧），与y 轴交于点()0,8C ,点P 是抛物线上一个动点，连接,,PB PC BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 的横坐标为2，求BPC △的面积；(3)如图2所示，当点P 在直线BC 上方运动时，连接AC ,求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P 点坐标．(4)若点M 是x 轴上的一个动点，P 的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M ,使得以点,,B M P 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．综合与探究：如图，抛物线23834333y x x =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．抛物线上另有一点C 在第一象限，且满足90ACB ∠=︒ OCA OBC ∠=∠．(1)求A ，B 两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴； (2)求线段BC 的长；(3)探究在对称轴上是否存在点P ，使BCP 为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在．请说明理由．4．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于()()1,0,3,0A B -两点，与y 轴相交于点()0,3C -．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH x ⊥轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当PCM △是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．5．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M ，试判断△ACM 的形状；(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△P AB 的面积为8，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2142y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．(1)求ABC 的面积；(2)点P 是直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点D ，求22PD AD -的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移4.5个单位，点M 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点N ，点Q 为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以QM 为腰的QMN 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．7．综合与探究如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(10)(30)A B -，，，两点，与y 轴交于点C ，D 是x 轴上的一个动点（不与点A ，O ，B 重合），过点D 作DP y ∥轴，分别交抛物线，直线BC 于点P ，E ．设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的函数解析式及点C 的坐标，并直接写出直线BC 的函数解析式． (2)当点D 在线段OB 上运动，且E 为PD 的中点时，求m 的值．(3)连接CD ，是否存在点D ，使CDE 是等腰三角形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P 是抛物线上，位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求P 坐标为何值时PD 最大，并求出最大值；(3)如图△，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线,y y ''与原抛物线相交于点M ，点N 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使以点A ，M ，N ，H 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()10A ，，点()03B ，点P 在此抛物线上，其横坐标为m ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围．(3)若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -． △求m 的值．△以PA 为边作等腰直角三角形PAQ ，当点Q 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q 的坐标．10．已知抛物线2114y x =+（如图所示）．(1)填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；(2)已知y 轴上一点02A （，），点P 在抛物线上，过点P 作PB x ⊥轴，垂足为B ．若PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在请说明理由11．在平面直角坐标系中，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点为()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C -，顶点为D ，其对称轴与x 轴交于点E ．(1)求二次函数解析式及顶点D坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，APC△的面积记为S，求S的最大值及此时点P 的坐标；(3)在线段AC上，是否存在点F，使AEF△为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，一次函数122y x=-＋分别交y轴，x轴于A，B两点，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点，点M为直线AB上一个动点，过点M作x轴垂线交抛物线与点N．(1)求这个抛物线的解析式．(2)当M在线段AB上时，求MN的最大值．(3)若AMN为等腰三角形，求点M的坐标．13．如图，二次函数211y x mx =++的图像与y 轴相交于点A ，与反比例函数23(0)y x x=-<的图像相交于点(),1B a ．(1)求出a 的值及二次函数的表达式；(2)当1y 随x 的减少而增大且12y y <时，直接写出x 的取值范围； (3)在抛物线上是否存在一点E ，使ABE 的面积等于158，若存在请求出E 点坐标，不存在请说明理由；(4)在x 轴上确定一点P 使APB △为直角三角形，请直接写出P 点的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-经过()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接AC ，AP ，AP 与y 轴交于点D ．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△MP A ＝2△P AC 时，求直线AP 的函数表达式．(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E ，使以E ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图△，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和()6,0B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝6，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 下方抛物线上一点，过点M 作MN △BC 于点N ，若线段528MN OA =，求点M 的坐标；(3)如图△，若点P是对称轴右侧抛物线上一点，点Q是x轴下方对称轴上一点，是否存在点P、Q，使得△CPQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案： 1．(1)243y x x =-+；(2)存在，5515,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或5515,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．2．(1)228y x x =-++(2)8(3)()2,8P(4)存在，()22,0M -或()3,0M3．(1)()2,0A ()6,0B ，对称轴4x =(2)23(3)()4,23或()4,23-4．(1)2=23y x x --(2)()2,3-或()32,242--．5．(1)223y x x =--+(2)直角三角形(3)(1,4)-6．(1)12ABC S=； (2)22PD AD -最大值为12，点P 的坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)点Q 的坐标为133,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或133,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或173,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．7．(1)抛物线的函数解析式为248433y x x -=- (0,4)C -；直线BC 的函数解析式为443y x =- (2)m 的值为1(3)存在，点D 的坐标为(3,0)-或96,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或(12,0)-或4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =--+(2)当P 点运动到315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PD 最大值为928(3)H 点的坐标为12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭或70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,2-或()4,1-9．(1)243y x x =-+(2)1m <或3m >(3)△352或3；△()2,1或2,1或()2,510．(1)0，1；直线0x =（或y 轴）(2)()()1223,4,23,4P P -(3)存在()13,1N ()2,31N -- ()33,1N - ()431,N -使得四边形OAMN 是菱形11．(1)223y x x =+- ()1,4D --(2)S 的最大值是278，点P 的坐标是315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (3)存在，点F 的坐标为(1,2)--或()32,2-+-或(2,1)--12．(1)2722y x x =-++ (2)4(3)554,24M ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或554,24⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或7515,24⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或7515,24⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或151,48⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)3a =-，二次函数的表达式为2131y x x =++(2)332x -<≤-(3)E 点坐标为3149,24⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3149,24⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (4)P 点的坐标为35,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或35,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或()3,0-14．(1)2=23y x x --；(2)4433y x =--； (3)存在，点E 的坐标为321,9⎛⎫- ⎪⎝⎭或101,27⎛⎫ ⎪⎝⎭或31051,26⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或31051,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．(1)21262y x x =-- (2)151,2M -⎛⎫ ⎪⎝⎭或75,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，()4,6P -或()222,4P +-或()15,55P +--。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简略答案)
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，点 是直线 下方抛物线上的一点，连接 ，当 的面积最大时，连接 ，设 分别是线段 上的点，且 ，求四边形 的面积；
（3）如图2，点 是线段 的中点，将抛物线 沿 轴正方向平移得到新抛物线 ， 经过点 ， 的顶点为 ，在新抛物线 的对称轴上，是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于 ， 两点，其中 ， ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 下方抛物线上的任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值；
（3）在抛物线对称轴上找一点 ，使点 ， ， 三点构成的图形是直角三角形，求点 的坐标．
（2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标．
（3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由
8．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点B，抛物线 的顶点为 ，且经过点 ．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 是抛物线上的点， 是以 为直角边的直角三角形，请直接写出点 的坐标．
13．如图，抛物线 经过 ， 两点，且与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 交 轴于点 ，连接 ．
（1）求经过 三点的抛物线的函数表达式；
（2）点 在该抛物线的对称轴上，若 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标；
（3）若 为 的中点，过点 作 轴于点 ， 为抛物线上一动点， 为 轴上一动点， 为直线 上一动点，当以 、 、 、 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 的坐标．
陕西省2019年中考数学试题研究类型4二次函数与三角形相似练习
类型4 二次函数与三角形相似9. 已知抛物线y ＝－1m(x ＋2)(x －m )(m >0)与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧 .(1)若抛物线过点G (2，2)，求抛物线顶点坐标及对称轴；(2)在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求抛物线表达式；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线过点G (2，2)，∴2＝－1m(2＋2)(2－m )， 解得m ＝4.把m ＝4代入y ＝－1m(x ＋2)(x －m )(m >0)， 得y ＝－14(x ＋2)(x －4)＝－14x 2＋12x ＋2， ∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋12x ＋2， 即y ＝－14(x －1)2＋94，则抛物线顶点坐标为(1，94)，对称轴为直线x ＝1；第9题解图(2)存在．如解图，分两种情况讨论：i )当△ACB ∽△ABM 时，AC AB ＝AB AM，即AB 2＝AC ·AM . ∵A (－2，0)，C (0，2)，即OA ＝OC ＝2，∴∠CAB ＝45°，∴∠BAM ＝45°.如解图，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则AN ＝MN ，∴OA ＋ON ＝2＋ON ＝MN ，∴令M (x ，－x －2)(x >0)，又∵点M 在抛物线上，∴－x －2＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x >0，∴x ＋2>0，又∵m >0，∴x ＝2m ，即M (2m ，－2m －2)．∴AM ＝（2m ＋2）2＋（－2m －2）2＝22(m ＋1)， 又∵AB 2＝AC ·AM ，AC ＝22，AB ＝m ＋2，∴(m ＋2)2＝22×22(m ＋1)，解得m ＝2±2 2.∵m >0，∴m ＝2＋22，将m ＝2＋22代入抛物线中，得y ＝－12＋22(x ＋2)(x －2－22) ＝2－224(x 2－22x －4－42) ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2. ii )当△ACB ∽△MBA 时，则AB MA ＝CB BA， ∴AB 2＝CB ·MA ，又∵∠CBA ＝∠BAM ，∠ANM ＝∠BOC ＝90°，∴△ANM ∽△BOC ，∴NM AN ＝OC BO ，∵OB ＝m ，令ON ＝x ，∴NM2＋x ＝2m ，∴NM ＝2m(x ＋2)， ∴令M (x ，－2m(x ＋2))(x >0)， 又∵点M 在抛物线上，∴－2m (x ＋2)＝－1m(x ＋2)(x －m )， ∵x >0，∴x ＋2>0，∵m >0，∴x ＝m ＋2，∴M (m ＋2，－2m (m ＋4))， 又∵AB 2＝CB ·MA ，CB ＝m 2＋4，AN ＝m ＋4，MN ＝2m(m ＋4)， ∴(m ＋2)2＝m 2＋4·（m ＋4）2＋4（m ＋4）2m 2.此时方程无解，故此种情况不成立．综上可得，当抛物线表达式为y ＝1－22x 2＋(2－2)x ＋2时，在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．。
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陕西省中考数学面对面类型一二次函数与特殊三角形判定练习
1．如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C .
(1)求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；
(2)以AC 为斜边向上作等腰直角△ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时，求抛物线C 2的解析式；
(3)若抛物线C 2的对称轴上存在点P ，使△PAC 为等边三角形，请直接写出m 的值．
第1题图
解：(1)∵抛物线C 1：y ＝x 2
＋bx ＋c 经过原点(0，0)，与x 轴的另一个交点为(2，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－2， ∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2
－2x ，
则y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；
(2)∵将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位得到抛物线C 2，
∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－m )2－1，
∵抛物线C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，
∴A (m ，0)、B (m ＋2，0)、C (0，m 2＋2m )，
设抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为点E ，如解图①，过点C 作CH ⊥DE 于点H ， ∵△ACD 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
∴∠CDA ＝90°，CD ＝AD ，
又∵∠CHD ＝∠DEA ＝90°，
∴∠CDH ＋∠ADE ＝∠ADE ＋∠DAE ，
∠HCD ＋∠HDC ＝∠HDC ＋∠ADE ，
∴∠CDH ＝∠DAE, ∠HCD ＝∠EDA ，
∴△CHD ≌△DEA ，
∴HD ＝ AE ＝1, DE ＝ CH ＝m ＋1，
∴EH ＝HD ＋DE ＝m ＋2，
由OC ＝HE 得m 2
＋2m ＝m ＋2， 解得m 1＝1，m 2＝－2(舍去)，
∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－1)2－1＝x 2－4x ＋3；
第1题解图①第1题解图②
(3)m ＝33
. 【解法提示】如解图②，连接BC 、BP ，由抛物线的对称性可知AP ＝BP ，
∵△PAC 是等边三角形，
∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，
∴C 、A 、B 三点在以点P 为圆心，PA 长为半径的圆上，
∴∠CBO ＝12
∠CPA ＝30°， ∴BC ＝2OC ，
由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ，
∴3(m 2＋2m )＝m ＋2，
解得m 1＝
33，m 2＝－2(舍去)． ∴m ＝
33
.
2．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D .
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
解：(1)∵二次函数y ＝ax 2
＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0，3)，
∴根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3；
(2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)，
如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，
∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，
∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1，
∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20，
∴CD 2＋BC 2＝BD 2，
∴△BCD 是直角三角形；
第2题解图
(3)存在．
抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1.
i)如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，
设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2， ∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2，
即y ＝4－x .
又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上，
∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3，
即x 2－3x ＋1＝0，
解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52
<1(舍去)， ∴x ＝3＋52
， ∴y ＝4－x ＝5－52
， 即点P 1的坐标为(3＋52，5－52
)． ii)如解图，若以CD 为一腰，
∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2的坐标为(2，3)．
∴符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52
)或(2，3)．。