高一函数题型及答案

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高一函数大题(附答案)

(3)|AP|2=(x+3)2+( )2，设x+2=t，t≠0，则|AP|2=(t+1)2+( )2=t2+2t+2– + =(t2+ )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10=(t– +1)2+9，
所以当t– +1=0时即t= ，也就是x= 时，|AP|min= 3。
所以，要使关于的方程有7个不同实数解，关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。
所以，即 .
3、对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点。
（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；
（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；
当时，，满足②
（2）若时，不满足①，所以不是函数；
若时，在上是增函数，则，满足①
由，得，
即，
因为
所以与不同时等于1
当时，，
综合上述：，a=1
（3）根据（2）知：a=1，方程为，
由得
令，则
由图形可知：当时，有一解；
当时，方程无解。
2、设函数是定义在上的偶函数.若当时，
若有解为0，则b=1，所以a= 。
(2)f(x)= ，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即 =4，m= –4(必要性)，
又m= –4时，f(x)+f(–4–x)= =……=4成立(充分性)，
所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

高一数学函数试题答案及解析

高一数学函数试题答案及解析1.设,的整数部分用表示，则的值是 .【答案】1546【解析】，，，，所以.【考点】信息给予题，要善于捕捉信息，灵活运用2.在R上定义运算，若不等式成立，则实数a的取值范围是()．A．{a|}B．{a|}C．{a|}D．{a|}【答案】C【解析】由题知∴不等式对任意实数x都成立转化为对任意实数x都成立，即恒成立，解可得．故选A．【考点】本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．3.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点是直线上的任意一点，则有，即，所以有，显然当时，有最小值．【考点】消元法,二次函数中配方法求最值．4.一次函数的图像过点和，则下列各点在函数的图像上的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设，由该函数的图像过点及，可得，求解得，所以，依次将A、B、C、D中的横坐标代入计算可知，只有点符合要求，故选C；法二：一次函数的图像是一条直线，由该函数的图像过点及可知，，所以直线的方程为：即，依次将各点的纵坐标减去横坐标，看是否为1，是1的点就在直线上，即该点在函数的图像上，最后确定只有C答案满足要求.【考点】1.一次函数的解析式；2.直线的方程.5.下列函数在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：对于A选项，函数在递减，故A不正确；对于B选项，函数在递减，在递增，故B不正确；对于C选项，函数在递减，故C不正确；对于D选项，函数在上单调递增，合题意综上知，D选项是正确选项【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数等常见函数的单调性.6.函数的最小值是【答案】【解析】，则函数的最小值为。

【考点】函数的性质点评：本题通过构造形式用基本不等式求最值，训练答题都观察、化归的能力．7.已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，所以，函数的图象关于y 轴对称，在区间是减函数。

高一数学函数习题(练习题以及答案

一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为。

4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼y ⑽4y =⑾y x =-6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

高一函数的试题及答案

高一函数的试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = 2x + 3的值域是什么？A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. [0, +∞)D. (-∞, 3]2. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)3. 如果函数f(x) = 3x - 5在x = 2处的导数为a，那么a的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 74. 函数g(x) = 1/x在区间(-∞, 0)上是单调递增还是递减？A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增二、填空题（每题4分，共16分）5. 若f(x) = x^2 + 1，求f(-2)的值。

答案：______6. 函数h(x) = √x的定义域是_____7. 函数y = 2x^2 + 3x + 1的顶点坐标是_____8. 函数f(x) = 1/(2x - 1)的渐近线是_____三、解答题（每题8分，共24分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值，并说明x的取值范围。

10. 求函数y = 3x + 2的反函数，并证明你的答案是正确的。

11. 已知函数f(x) = 2x - 1，如果f(x) = 5，求x的值。

四、综合题（每题10分，共40分）12. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)和f''(x)，并讨论f(x)的凹凸性。

13. 已知函数g(x) = 2x^2 + 3x - 5，求g(x)的极值点，并说明极值点的性质。

14. 函数y = ln(x) + 2x - 6，求y的导数，并讨论y的增减性。

15. 已知函数h(x) = x^2 + 2x - 8，求h(x)的值域。

答案：1. A2. C3. B4. B5. 56. [0, +∞)7. (-3/2, -25/4)8. y = 0 和 x = 1/29. 最小值为0，当x = 2时取得。

高一数学函数专题(含答案)

函数练习题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = ⑵y =2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则(21)f x -的定义域是；1(2)f x+的定义域为。

4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x = ()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

高一数学函数经典题目及答案

1函数解析式的特殊求法例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式例2 若x x x f 21(+=+）,求f(x)例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式例5 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f2函数值域的特殊求法例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例2. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。

例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点(A))1,4(-(B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-例3已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。

（1）求：(2)f 的值；（2）求证：()f x 是R 上的减函数；（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。

例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得(1)A B ≠∅，(2)(,)a b C ∈同时成立.证明题1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.答案1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1 则⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f 2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

(完整版)高一函数大题训练带答案

(完整版)高一函数大题训练带答案一、解答题1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bf x x->+()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由.2．已知函数21()|1|,R.f x x x =-∈我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x ==11()(()).n n f x f f x -=其中2,3,.n =（1）判断函数1()f x 的奇偶性，并给出理由；（2）求方程13()()f x f x =的实数根个数；（3）已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m ==其中1,0 1.i j n m ≤<≤<<求实数m 的所有可能值构成的集合.3．已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.（2）当30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式. 4．已知函数()2x f x =，2()log g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根；（2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 5．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.6．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围；（3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．7．已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=，其中分点121n t t t -、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . (1)已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；(2)已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.(3)若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=.8．已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）①()1tan[()],(0,1)2f x x x π=-∈，②()1lg(1),(0,1)g x x x =-∈.（2）已知12()log (21),()sin 2,f x x g x x =+=函数[()]f g x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件的函数[()]f g x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y R ∈，有()()()f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.9．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，且()()xf xg x e +=.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，记()1231n H n F F F F n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()*,2n N n ∈≥.探究是否存在正整数()2n n ≥，使得对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()2g x H n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.10．对于函数f （x ），若f （x 0）=x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]=x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”满足函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ={x |f （x ）=x }，B ={x |f [f （x ）]=x }．（Ⅰ）设f （x ）=x 2-2，求集合A 和B ；（Ⅱ）若f （x ）=x 2-a ，且满足∅A =B ，求实数a 的取值范围．11．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由；（2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围；（3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．12．已知函数()20182018,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，(1)分别求()()()()1,2018f f f f -的值: (2)讨论()()()f f x m m R =∈的解的个数:(3)若对任意给定的[)1,t ∈+∞,都存在唯一的x R ∈,满足()()222f f x a t at =-，求实数a的取值范围.13．记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数. （1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由；（2）设函数1()2xg x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.14．若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()()14f x x ≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．15．已知函数()21log 21mx f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()m 为常数是奇函数.(1)判断函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上的单调性,并用定义法证明你的结论;(2)若对于区间[]2,5上的任意值,使得不等式()2xf x n ≤+恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−12），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论；（2）假设存在实数b 使得不等式()x bx f x x->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bx f x x->+恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值．试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4）当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－12）当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）∴f '（x ）＝44x +＋4a ＝4a•144x a x +++， ∵a ＜−12，∴−4＜−1a−4＜−2，∴当x ∈（−4， −1a−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数，当x ∈（−1a−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a−4）＝4ln （−1a）＋4a （−1a）＝−4，∴a ＝－1 ∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bx f x x->+即为ln x bx->①当x ∈（0，1）时，ln x bx- ⇒b ＞，令g （x ）＝，x ∈（0，1）则g′（x ）＝令h （x ）＝，则当x ∈（0，1）时，h′（x 1x ＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x＞0， ∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可；②当x ∈（1，2）时，ln x bx- ⇒b ＜，令φ（x ）＝lnx ，x ∈（1，2）则φ′（x ）＝令h （x ）＝，则当x ∈（1，2）时，h′（x 1x ＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可，综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）⎪⎪⎩⎭.【解析】（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；（2）令1()f x t =，转化条件为0=t 或1，再解方程即可得解；（3）按照m ⎛∈ ⎝⎭、m ⎫∈⎪⎪⎝⎭分类，结合函数的单调性可得()(1,2,,)k f m m k n ≠=，再代入m =.【详解】（1）因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的，又2211()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=，故函数1()f x 是偶函数；（2）令1()f x t =，则0t ≥，于是()()2231211()()()|1|1t f x f f x f f t t ====--，于是22|1|1t t -=+或22|1|1.t t -=-又0t ≥，解得0=t 或1，则方程13()()f x f x =的实数根个数即为210x -=或1的根的总个数，解得1x =±或0或所以方程13()()f x f x =的实数根个数为11；（3）因为01m <<，当(0,1)m ∈时，1()f m 在(0,1)单调递减，且1(0)1f =，1(1)0f =，则12(),(),,()n f m f m f m 的值域均为(0,1)，①当m ⎛∈ ⎝⎭时，21()1f m m ⎫=-∈⎪⎪⎝⎭，于是1()f m m >，因为当m ⎛∈ ⎝⎭时，210m m +-<，所以()()()()42222211110m m m m m m m m m m m -+-=---=-+-<，所以()()()()2142221112f m f f m m m m m ==--=-+<，即2()f m m <，注意到1()f x 在(0,1)单调递减，于是()()()3121413112()()(),()()()()f m f f m f m f m f f m f f m f m =>=<=，()()()()514123615134()()()(),()()()(),.f m f f m f f m f m f m f f m f f m f m =>==<=于是6421350()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，②当m ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，类比同理可得5312460()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，于是当(0,1)m ∈且m ≠()(1,2,,)k f m m k n ≠=，若0()i f x m =，其中(0,1)m ∈，m ≠则().j i f m m -≠，即()00()()j i i i f f x f x -≠，也就是00()()j i f x f x ≠；当m =()i f x 的值域为[)0,+∞，所以存在0x 使得0()i f x =又1f ⎝⎭所以()()()()()01101110()()()j j i f x f f x f f f f x -====，即00()()i j f x f x ==所以实数m的所有可能值构成的集合为⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.3．（1）零点为11；（2）max12,0,21()1,1,2354,1,2a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨+<<⎪⎩【解析】【分析】（1）将1a =代入，令()0f x =，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在()()()1,2,2f f f a 中取得，然后分类讨论即可得出答案；（3）问题可转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立，分211a -+≤-及211a -+>-讨论得出答案．【详解】（1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩，令2210-++=x x，解得：1x =1舍)；令2210x x -+=，解得：1x =； ∴函数()y f x =的零点为11；（2）由题意得：()2221,221,2x ax x af x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()021f f a ==，30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取. 当021a <≤，即102a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==；当122a a <<<，即112a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减， ()()max 21f x f a ∴==；当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；()()()()122254230f f a a a -=---=-<，()()max 254f x f a ∴==-；综上所述：()max12,0211,12354,12a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()0,x ∈+∞时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=， ∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.()21f a a =-+，分两种情况讨论：当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax -+=-的较小根，即a ≥()T a a =当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax -++=-的较大根，即0a <<()T a a =；综上所述：()a a T a a a ⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题.4．（1）证明见解析（2）72【解析】（1）因为0x 是方程3()2f x x =-的根，即00322x x =-，将02x 代入()g x 根据对数的运算性质可得.（2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-，设方程322t t =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，结合（1）的结论及函数的单调性可求. 【详解】解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根，所以00322xx =-，即00322x x =-()0002032log 222x x x g x ===- 所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根. 令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点，又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+= 【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题.5．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+, 所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =,2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤, ()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题.6．（1）证明见解析（2）k ≥（3）存在，4T ≥【解析】【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论. 【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪≥= ⎪⎪⎝⎭ （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”， ()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，所以13T -+≥，所以4T ≥，而另一方面，若4T ≥，（Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-，所以()()220f x T f x T +-≥--≥，即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立，所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.7．(1)3；(2)见解析；(3)见解析【解析】【分析】(1)直接利用题中给的定义求解即可；(2)利用函数的单调性和数列的信息应用求出充要条件；(3)利用函数的奇偶性和存在的最佳划分，进一步建立函数的单调区间，最后求出函数的关系式. 【详解】(1)()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=； (2)若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增，则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>.由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾. 所以()x ϕ在[],a b 上单调递增；(3)由(2)的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都是单调，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=.【点睛】本题是信息给予题，考查了数学阅读能力，考查了函数和数列的综合应用能力，考查了数学运算能力.8．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由正切函数与对数函数的性质可直接判断；（2）由()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，得[]2sin211,2x +∈，进而利用正弦函数的性质列式求解即可；（3）利用反证法，假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+，结合条件推出矛盾即可证得. 【详解】（1）()()1tan ,0,12f x x x π⎡⎤⎛⎫=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦满足.()()1lg 1,0,1g x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭不满足.（2）因为()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，所以[]2sin211,2,x +∈ 即1sin20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以][522,22,2,.66x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦所以][5,,,,12122x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦ 满足条件的0,12D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）.（3）假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+ 又有()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a =+-=+-，所以()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a -=+--=+-，结合两式：()()(),0f a f b f a b =+=，所以()()()0f b f a f a b --=+=，故()()()f a f b f a -==.由于()()()f a b f a f b +≠+知：()0f a ≠.又()()12222a a a f f a f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 类似地，由于()0f a -≠，()22a a f f a f ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()()11222a f f a f a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以()022a a f a f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与()0f a ≠矛盾，所以原命题成立. 【点睛】本题主要考查了复合函数的性质及反证法的证明，属于难题. 9．（1）见解析；（2）2,3n = 【解析】【分析】(1)已知()()x f x g x e +=，结合函数的奇偶性可得()()xf xg x e --=，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知()()g x f x 为奇函数，图象关于()0,0对称，则()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，利用对称性可得()H n ，然后利用恒成立问题解()()()2g x H n g x >⋅即可. 【详解】（1）()()x f x g x e +=，()()x f x g x e --+-=函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数， ∴ ()()x f x g x e --=，()2x x e e f x -+∴=，()2x xe e g x --=. （2）易知()()g x f x 为奇函数，其函数图象关于()0,0中心对称，∴函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即对任意的x R ∈，()()12F x F x -+=成立. ()12H n F F n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12n n H n F F n n --⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.两式相加，得()112n H n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2233n n F F F F n n n n ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即()()221H n n =-.()1H n n ∴=-.()()()2g x H n g x ∴>⋅，即()()221x x x x e e n e e --->--.()()()10x x x xe e e e n --⎡⎤∴-+-->⎣⎦.(]0,1x ∈，0x x e e -∴-> 1x x e e n -∴++>恒成立.令x t e =，(]1,t e ∈.则11y t t =++在(]1,e 上单调递增.1x x y e e -∴=++在(]0,1上单调递增.3n ∴≤.又已知2n ≥，2,3n ∴=. 【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.10．（Ⅰ）A ={-1，2}；B -13}（Ⅱ）[-14，34]【解析】【分析】（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}；由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ；求解x 可得集合B ．（Ⅱ）理解A =B 时，它表示方程x 2-a =x 与方程（x 2-a ）2-a =x 有相同的实根，根据这个分析得出关于a 的方程求出a 的值．【详解】（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}；由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ；即x 4-2x 3-6x 2+6x +9=0，即（x +1）（x -3）（x 2-3）=0，解得x =-1，x =3，x x B -13}；（Ⅱ）∵∅A =B ，∴x 2-a =x 有实根，即x 2-x -a =0有实根，则△=1+4a ≥0，解得a ≥-14由（x 2-a ）2-a =x ，即x 4-2ax 2-x +a 2-a =0的左边有因式x 2-x -a ，从而有（x 2-x -a ）（x 2+x -a +1）=0． ∵A =B ，∴x 2+x -a +1=0要么没有实根，要么实根是方程x 2-x -a =0的根．若x 2+x -a +1=0没有实根，则a ＜34；若x 2+x -a +1=0有实根且实根是方程x 2-x -a =0的根，由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同，故此时x 2+x -a +1=0有两个相等的根-12，此时a =34方程x 2-x -a =0可化为：方程x 2-x -34=0满足条件，故a 的取值范围是[-14，34]．【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．11．（1）见解析；（2）[33a ∈+；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由()2ln 1af x x =∈+M 得到方程()22lnlnln 1211aa ax x =++++在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数()f x 满足()()()0011f x f x f +=+即可得到结论成立．【详解】（1）()21f x M x=+∉．理由如下：假设()21f x M x=+∈，则在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，即00221131x x +=+++，整理得2003320x x ++=， ∵方程2003320x x ++=无实数解，∴假设不成立， ∴()21f x M x=+∉．（2）由题意得()2ln +1af x M x =∈， ()22lnlnln 1211aa ax x ∴=++++在定义域内有解，即()222220a x ax a ---+=在实数集R 内有解，当2a =时，12x =-，满足题意；当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解得33a ≤2a ≠，综上33a ≤∴实数a的取值范围为33⎡⎣．（3）证明：∵()23x f x x =+，∴()()()()()000212000003113134232x x x f x f x f x x x +⎛⎫+-+=++---=+- ⎪⎝⎭，又函数3x y =的图象与函数32y x =-+的图象有交点，设交点的横坐标为a ，则3302aa +-=， ∴003302xx +-=，其中0x a =， ∴ 存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立， ∴()f x M ∈．【点睛】本题以元素与集合的关系为载体考查函数与方程的知识，解题的关键是根据题意中集合元素的特征将问题进行转化，然后再结合方程或函数的相关知识进行求解，考查转化能力和处理解决问题的能力． 12．(1)-1,0.(2) 0,0m <解: 0,2m =解: 01,4m <≤解: 1,3m >解. (3) ()1,1,2a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎭∈⎝.【解析】【分析】（1）直接由分段函数求得()()1f f -，()()2018f f 的值；（2）求出函数()()y f f x =的解析式并作出图象，数形结合可得()()()f f x m m R =∈的解的个数；（3）由题意可得222a t at -的取值必须大于1，然后根据a 的范围分析关于t 的二次函数的值域，从而可得实数a 的取值范围．【详解】（1）∵()112018f --=，∴()()11f f -=-．∵()20181f =，∴()()20180f f =．（2）()()()201820181log log 1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩，，，画图()()y f f x =的图象如图，由图可知，当0m <时，方程()()f f x m =有0解；当0m =时，方程()()f f x m =有2解；当01m <≤时，方程()()f f x m =有4解；当1m 时，方程()()f f x m =有3解．（3）要使对任意给定的[1t ∈+∞，），都存在唯一的x R ∈，满足()()222f f x a t at =-，则222a t at -的取值必须大于1；即当[1t ∈+∞，）时，222a t at -的值域包含于()1+∞，；当0a =时，2220a t at -=，舍去；当1 14a ≤时，2211a a a ->⇒>，12a <-；当1 14a >时，2211120448a a a a ⎛⎫⋅-⋅=-< ⎪⎝⎭，舍去；综上所述1()(1)2a ∈-∞-⋃+∞，，【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把222a t at +当作是一个整体，然后再确定数的大小后再把它作为一个关于t 的函数求解，是难题． 13．(1) 是ψ函数(2)见解析(3) 函数()h x 为周期函数【解析】【详解】试题分析：()1求出()11f x x=-的定义域，()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立转化成()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立，解出20b a =-=，，使得()11f x x=-为ψ函数()2只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，化简求得1b t=，2log a t =，满足条件()3图象关于直线x m =对称，结合()()h a x h a x b -++=，整体换元得()()()44h x m a b b h x h x ⎡⎤+-=--=⎣⎦，从而证明结论解析：（1）()11f x x=-是ψ函数理由如下：()11f x x=-的定义域为{|0}x x ≠，只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x+-=-+，即()()2a x a x b a x a x ++-+=-+. 所以()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以()11f x x=-是ψ函数. （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b tt-++=++恒成立.所以()()2222a xa x a x a x t tb t t +-+-+++=++，化简得，()()()2212222a x a xabt b t t +--+=+-.所以10bt -=,()22220a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t=，2log a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而()12x g x t=+是ψ函数. （3）函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以()()h m x h m x -=+ （1），又因为()()h a x h a x b -++= （2），所以当m a ≠时，()()222h x m a h m x m a ⎡⎤+-=++-⎣⎦ 由（1） ()()()22h m x m a h a x h a a x ⎡⎤⎡⎤=-+-=-=+-⎣⎦⎣⎦ 由（2） ()()b h a a x b h x ⎡⎤=---=-⎣⎦ （3）所以()()()44222222h x m a h x m a m a b h x m a ⎡⎤+-=+-+-=-+-⎣⎦ （取22t x m a =+-由（3）得）再利用（3）式，()()()44h x m a b b h x h x ⎡⎤+-=--=⎣⎦. 所以()f x 为周期函数，其一个周期为44m a -.当m a =时，即()()h a x h a x -=+，又()()h a x b h a x -=-+，所以()2bh a x +=为常数. 所以函数()h x 为常数函数， ()()12bh x h x +==，()h x 是一个周期函数. 综上，函数()h x 为周期函数点睛：本题主要考查知识点的是新定义函数，证明函数的特性，本题的解题关键是抓住新定义中的概念，可将问题迎刃而解．对于这类问题，我们要弄清问题的本质，在解题中适当的变形，已知条件的运用，函数周期性等的证明即可得证，本题有一定难度 14．(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）不妨设12x x >，则1212121x x k x x x x -≥=-+恒成立． 211211114,42x x x x ≤≤≤∴<<+，从而可得结果；（2）令1211,24x x ==，则()221111log log 1212424f f ⎛⎫⎛⎫-=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得函数()2log f x x =不是“2-利普希兹条件函数”；（3）设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[]0,2，内()(),f a M f b m ==，利用基本不等式的性质可证明()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤--<.试题解析：（1）若函数f （x ）=，（1≤x≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f （x1）﹣f （x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log2x 的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f （）﹣f （）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f （x1）﹣f （x2）＞2|x1﹣x2|， ∴函数f （x ）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x1）﹣f （x2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b|．若|a ﹣b|≤1，显然有|f （x1）﹣f （x2）|≤|a ﹣b|≤1．若|a ﹣b|＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b+2﹣a ＜1，∴|f （x1）﹣f （x2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b+2）≤|a ﹣b ﹣2|＜1．综上，|f （x1）﹣f （x2）|≤1．15．(1)()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数;证明见解析 (2)25log 63n ≥- 【解析】【详解】试题分析：(1)利用奇偶性，确定函数的解析式，然后利用函数单调性的定义，判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性，结合不等式恒成立问题，求解参数的取值范围. 试题解析：(1)由条件可得()()0f x f x -+=,即 2211log log 02121mx mx x x -+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭化简得222114m x x -=-,从而得2m =±;由题意2m =-舍去,所以2m =即()212log 21x f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, ()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数, 证明如下:设1212x x <<<+∞, 则()()12f x f x -=122122121212log log 2121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为1212x x <<<+∞,所以210x x ->,12210,210x x ->->; 所以可得1212122112112x x x x +-⋅>-+,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >; 所以函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数, (2)设()()2x g x f x =- ,由(1)得()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数, 所以()()2x g x f x =-在[]2,5上单调递减;所以()()2x g x f x =-在[]2,5上的最大值为()252log 63g n =≥-. 由题意知()n g x ≥在[]2,5上的最大值,所以25log 63n ≥-.。

完整版)高一数学函数经典习题及答案

完整版)高一数学函数经典习题及答案函数练题一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = (x-1)/(2x^2-2x-15)⑵y = 1-[(2x-1)+4-x^2]/[1/(x+1)+1/(x+3)-3]2、设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x-2)的定义域为[-2,-1]；函数f(2x-1)的定义域为[(1/2,1)]。

3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-3/2,2]；函数f(2)的定义域为[1,4]。

4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x) = f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴y = x+2/x-3 (x∈R)⑵y = x+2/x-3 (x∈[1,2])⑶y = 2/(3x-1)-3/(x-1) (x∈R)⑷y = (x+1)/(x+1) if x≥5y = 5x^2+9x+4/2x-6 (x<5)⑸y = (x-3)/(x+2)⑹y = x-3+x+1⑺y = (x^2-x)/(2x-1)(x+2)⑼y = -x^2+4x+5⑽y = 4-1/(x^2+4x+5)⑾y = x-1-2x/(2x^2+ax+b)6、已知函数f(x) = 2x+1/(x∈R)的值域为[1,3]，求a,b的值。

三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1) = x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。

2、已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1) = 2x-4x，求f(x)的解析式。

3、已知函数2f(x)+f(-x) = 3x+4，则f(x) = (3x+4)/5.4、设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x) =x/(1+x)，则f(x)在R上的解析式为f(x) = x/(1+x)-2/(1-x^2)。

5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) = 3x，则f(x) = x，g(x) = 3x-x^3.四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴y = x+2/x+3⑵y = -x^2+2x+3⑶y = x-6/x-127、函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数，则f(1-x)的单调递增区间是(0,1]。

高一函数练习题及答案

高一函数练习题及答案高一函数练习题及答案高一阶段是学习数学的重要时期，其中函数是一个重要的内容。

函数作为数学的一个基础概念，对于学生来说是一个相对抽象的概念。

因此，通过练习题的方式来巩固和提高对函数的理解和运用能力是非常必要的。

本文将为大家提供一些高一函数练习题及答案，希望能够帮助大家更好地掌握函数的知识。

一、选择题1. 设函数f(x) = 2x + 3，那么f(4)的值是多少？A. 7B. 11C. 9D. 8答案：B. 11解析：将x = 4代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(4) = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11。

2. 已知函数g(x) = x^2 + 3x - 2，求g(-1)的值是多少？A. -6B. -2C. 2D. 6答案：C. 2解析：将x = -1代入函数g(x) = x^2 + 3x - 2中，得到g(-1) = (-1)^2 + 3 × (-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4。

3. 函数h(x) = 3x^2 - 2x + 1，求h(2)的值是多少？A. 9B. 11C. 15D. 19答案：A. 9解析：将x = 2代入函数h(x) = 3x^2 - 2x + 1中，得到h(2) = 3 × 2^2 - 2 × 2 + 1 = 3 × 4 - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9。

二、填空题1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值是多少？答案：1解析：将x = -1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(-1) = 2 × (-1) + 3 = -2 + 3 = 1。

2. 已知函数g(x) = x^2 + 3x - 2，求g(0)的值是多少？答案：-2解析：将x = 0代入函数g(x) = x^2 + 3x - 2中，得到g(0) = 0^2 + 3 × 0 - 2 = 0 - 2 = -2。

高一数学函数经典练习题(含答案详细)

高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。

然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。

同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。

⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。

然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。

同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。

2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。

_。

_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。

综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。

对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。

因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。

3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。

答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。

综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。

对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。

高一数学函数试题答案及解析

高一数学函数试题答案及解析1.函数的定义域是()A．(－，－1)B．(1，＋)C．(－1，1)∪(1，＋)D．(－，＋)【答案】C.【解析】出现在对数的真数位置，故＞0，即，又出现在分式的分母上，故≠0，即，要使式子有意义，则这两者同时成立，即且，用区间表示即为(－1，1)∪(1，＋).要使式子有意义，则，解得且，故选C.【考点】函数的定义域求法，对数函数的定义域2.已知函数，满足．(1)求常数c的值；(2)解关于的不等式．【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)代入解析式，列出关于c的方程，解出c,注意范围;(2)根据分段函数通过分类讨论列出不等式，解出的范围，解不等式时不要忘记分类条件.试题解析：(1)∵，即，解得． 5分(2)由(1)得，由，得当时，，解得； 9分当时，，解得． 12分∴不等式的解集为． 13分【考点】1.函数求值；2.利用指数函数性质解简单指数不等式；3.分类整合思想.3.函数,满足,则的值为（）A．B． 8C． 7D． 2【答案】B【解析】因为，函数,所以，，10，又,故，8，选B。

【考点】函数的概念，函数的奇偶性。

点评：简单题，此类问题较为典型，基本方法是通过研究，发现解题最佳途径。

4.已知函数，,(1)若为奇函数，求的值；(2)若=1，试证在区间上是减函数；(3)若=1，试求在区间上的最小值.【答案】(1)(2)利用“定义法”证明。

在区间上是减函数(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2。

【解析】(1)当时，，若为奇函数，则即,所以(2)若，则=设为, =∵∴,∴>0所以，，因此在区间上是减函数(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，下面证明在区间上是增函数.设 , =∵,∴∴所以，因此在区间上上是增函数因此，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2【考点】函数的奇偶性、单调性及其应用点评：中档题，研究函数的奇偶性，要注意定义域关于原点对称。

函数考试题库及答案高一

函数考试题库及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x + 3的定义域是：A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. [3, +∞)答案：A2. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：A3. 函数y = 3x^2 - 6x + 2的图像开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A4. 下列哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 - 1D. f(x) = x答案：B5. 函数y = 2x + 1的反函数是：A. y = (x - 1) / 2B. y = (x + 1) / 2C. y = 2x - 1D. y = 2x + 1答案：A6. 若函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1，则f'(x)是：A. 3x^2 + 4x - 5B. 3x^2 + 4x + 5C. 3x^2 - 4x + 5D. 3x^2 - 4x - 5答案：A7. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π答案：B8. 若函数f(x) = ln(x)，则f'(x)是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A9. 函数y = e^x的图像是：A. 直线B. 抛物线C. 指数曲线D. 对称曲线答案：C10. 函数y = 3x^2 - 6x + 2的顶点坐标是：A. (1, -1)B. (1, 5)C. (3, 5)D. (3, -1)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值是______。

答案：02. 若f(x) = 2x - 3，则f(-1) = ______。

答案：-53. 函数y = 1 / x的图像关于______对称。

高一数学函数试题及答案

4．二次函数的图象经过三点 A(1 , 3), B(1,3),C(2,3) ，则这个二次函数的 24
解析式为
。
5．已知函数
f
(x)

x2
1
(x 0) ，若 f (x) 10 ,则 x
。
2x (x 0)
三、解答题
1．求函数 y x 1 2x 的值域。 2．利用判别式方法求函数 y 2x2 2x 3 的值域。
A．1 B． 0
C． 0 或1
D．1或 2
3．已知集合 A 1, 2,3, k, B 4,7, a4, a2 3a ，且 a N*, x A, y B
使 B 中元素 y 3x 1 和 A 中的元素 x 对应，则 a, k 的值分别为（）
A． 2,3 B． 3, 4 C． 3,5 D． 2,5
函数及其表示[提高训练 C 组]
一、选择题
1．若集合 S y | y 3x 2, x R，T y | y x2 1, x R ，
则 S T 是( )
A． S
B. T
C.
D.有限集
2．已知函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1对称，且当 x (0,) 时，

x2
,
0 x
0
的图象是抛物线，
其中正确的命题个数是____________。
三、解答题
1．判断一次函数 y kx b, 反比例函数 y k ，二次函数 y ax2 bx c 的 x
单调性。
2．已知函数 f (x) 的定义域为 1,1 ，且同时满足下列条件：（1） f (x) 是奇函数；
二、填空题
1．函数 f (x) (a 2)x2 2(a 2)x 4 的定义域为 R ，值域为 ,0 ，

高一数学函数单元测试题及答案

高一数学函数单元测试题及答案单元测试题一、填空题1、设全集U=Z，集合A={-1,1,2}，B={-1,1,2}，从A到B的一个映射为x→y=f(x)=x/|x|，其中x∈A，y∈B，P={y|y=f(x)}，则B∩(C∪P)={-1,1}。

2、已知x1是方程x+lgx=3的根，x2是方程x+10=3的根，则x1+x2值为2.3、已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称，且当x>0时f(x)=x/1，则当x<-2时f(x)=-x/1.4、函数y=f(x)的反函数y=f^-1(x)的图像与y轴交于点P(0,2)，则方程f(x)=0在[1,4]上的根是x=2.5、设f(x)=2log(x-1)，x≥2；f(x)=3x-1，x<2，则f(f(2))的值为1.6、从甲城市到乙城市m分钟的电话费由函数f(m)=1.06×([m]+44)给出，其中[m]表示不大于m的最大整数（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），则从甲城市到乙城市5.8分钟的电话费为7.7、函数f(x)=2-2/(x-1)，x≤2；f(x)=1-x/2，x>2，则f(0)=-1.8、函数y=(1-x)/(1+x)，x≠-1，的值域为(-1,1)。

9、若f(5/2x-1)=x-2，则f(125)=48.10、已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则为f:x→y=x+2x+3.若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k 的取值范围是(-3/2,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-3/2)。

11、偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数，若f(-1)<f(lgx)，则实数x的取值范围是(1,e)。

12、关于x的方程|x-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是1/2.13、关于x的方程(2x-1)/(x+2)+a=1有正根，则实数a的取值范围是(-∞,1/2)。

二、改写后的答案1、已知集合A={-1,1,2}，B={-1,1,2}，全集U=Z，映射f:A→B，f(x)=x/|x|，其中x∈A，y∈B，P={y|y=f(x)}，求B∩(C∪P)的值。

高一数学函数试题答案及解析

高一数学函数试题答案及解析1.·等于A．－B．－C．D．【答案】A【解析】主要考查根式的运算、根式与分数指数幂的关系。

解：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）.2.在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log x四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是A．f1（x）=x B．f2（x）=x2C．f3（x）=2x D．f4（x）=log x【答案】A【解析】主要考查基本初等函数的图象和性质。

由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数.3.甲、乙两人解关于的方程：甲写错了常数b，得到根为，乙写错了常数c，得到根为.求方程的真正根。

【答案】4或8【解析】主要考查对数方程解法。

解：原方程可变形为：4.已知，若，则的值是（）A．B．或C．，或D．【答案】D【解析】该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴；5.·等于A．－B．－C．D．【答案】A【解析】主要考查根式的运算、根式与分数指数幂的关系。

解：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）.6.若方程有解，则a的取值范围是（）A．a>0或a≤－8B．a>0C．D．【答案】D【解析】主要考查解指数方程的换元法，一元二次方程根的分布讨论。

解答过程中巧妙地转化为求函数的值域。

解：方程有解，等价于求的值域∵∴，则a的取值范围为，故选D。

7.函数（1）,(2) ,(3) ,(4) 中在上为增函数的有[ ]A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(3)和(4)D．(1)和(4)【答案】C【解析】主要考查函数单调性的概念及函数单调性判定方法。

解：当时为减函数。

为④两函数在(－∞，0)上是增函数．8.如果函数在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥－3B．a≤－3C．a≤5D．a≥3【答案】B【解析】主要考查函数单调性的概念及二次函数单调区间判定方法。

高一数学函数选择题112道及答案.docx

高-敬学碱选择题112道及答案1、已知映射f : A r B ,其中A=B=R,对应法则f-.y = -x2+2x,对于实数keB,在集合A中不存在原象，则左的取值范围是（A ）A.k>lB. MC. k<lD. kWl 2、今有一组实验数据如下:r2-lA.v = log2tB. v = log t tC. v =—-—D. v = 2t -22 23、函数y =1*1(1-*)在区间A上是增函数，那么A的区间是(B )A. ( — 8, 0)B. [0,1]C. [0, +°°)D. (1,+00)4、已知定义域为R的偶函数f (x)在[0, +8)是增函数，且/(I) =0,贝I]不等式/(log4x) > 0的解集是（C ）A. {x I x > 2}B.C. I 0 < x < ；或x > 2；D. {x I ? < x < 1或x > 2}5、函数f{x) = -x\x + a\+b的奇函数的充要条件是(D )A. b=0B. a=0C. ab=0D. a~+b~=06、函数/(x) = (|)W -4(|)w(x e R)的值域是A. ( 一°°, 0)B. [-3, 0]C. [-4,0) 7、设0<a<l,实数x,y满足x+log a y=0,则y关于x轴的函数图像大致形状是(D ) D. [-3,0)A.在区间(一1,0)上是增函数B. 在区间(0,1)上是增函数C.在区间(一2,0)上是减函数D. 在区间(0,2)上是减函数9、已知定义在实数R 上的函数y = f(x)不恒为零，同时满足/(x + y) = /(x)/(y),且当尤>0时, f(x)>l,那么当x<0时，一定有(D )B. -l</(x)<0C. /(x) > 1D. 0 </(%)<!集合 M = {(x,^) I y = A /1-^2,x,y G R),N = {(x,y) I x = 1,^ G 7?),则 A/p|N= ( A )已知 /(x) = 7T{X G R),贝Ij/(X 2)=如果 X= {xlx 2—x=0}, Y= {xlx 2+x=O),那么 XCl Y 等于14、已知a<b<0,奇函数/I*)的定义域为［Q , ~a ］,在区间［一。