11年重庆大学电磁场原理考题及题解

(4ex
2ey
4ez
)
(4ex
2ey
ez
)
42 (2)2 42 42 (2)2 (1)2
16 0.5819 6 21
----------------------------------------------（1 分）
arccos(0.5819) 54o
----------------------------------------------（1 分）
Fm
Wm g
Wm
0 N 2I 2dD 4 2
方向指向使广义坐标 变小的方向，即为竖直向上。
六、（15 分）正确写出电磁场基本方程的积分和微分形式，并说明各基本方程
的物理意义。并由基本方程组导出磁准静态电磁场基本方程的微分形式。
解答：
电磁场基本方程的积分形式为：
l
Hdl
S
EdS
S
vdS
S
D t
E1
q 4r 2
er
a r b
S2 0E2dS2 0E2 4r 2 Q q
E2
Qq 40r 2
er
c r
内球壳电位
a
Edr
a
b a
E1dr
b
E2dr
b a
q 4r
2
dr
b
Qq 40r 2
dr
q 4
1 a
1 b
Qq 40c
又由于內球体接地，故a 0
H1n B1n B2n 0 H2n 。
又由于 ，所以有 H1n 0 。
应用安培环路定律有：
lH dl l1 H1ndl1 l1 H2ndl2 2H2n NI
H dl l
H1ndl1
H2ndl2 2 H2n NI
l1
l2
有：
H2n
NI 2
所以：故
H
H2
H2n
2
aU
2 0
0 2d2
e
edzd
a
2U
2 0
d
GU 2
五、(15 分)对于附图所示厚度为 D（垂直纸面方向）的磁路，试求：
(1) 磁感应强度、磁通和磁场能量； (2) 线圈的自感； (3) 可动部件所受的力。 （提示：忽略边缘效应，气隙磁场可视为均匀场）
I
N
d
题五图
解：由恒定磁场的分界面衔接条件知，磁场由高磁导率媒质进入低磁导率媒质 时，磁力线垂直分界面。因此，分界面处仅有法向磁场且
Ez Emsin( t x) ，该电磁波为（ b ）。
(a) 左旋波；
(b) 右旋波； (c) 椭圆极化波
8. 在矩形波导中传输电磁波的工作波长应（ b ）截止波长。
(a)大于；
(b)小于；
(c) 等于。
9、单元偶极子的远区场的条件是（ c ）：
(a) r << λ， r << 1； (b) r << λ， r >> 1； (c) r >> λ， r >> 1
b
Qq 40r 2
dr
Qq 40r
c r
a r b
E2
Qq 40r 2
er
c r
(3) 内、外导体与大地组成了三导体静电独立系统，静电独立系统的能量
| | We
1 2
k qk
1 2
q
1
ra
1 2
Q
2
rc
Qq Q
8 0 c
（3 分）
(4) 系统的等值电容
C
Q2 2We
4 0 cQ Qq
于是：
q
0c
ab Q
b a
ab
(2) 两个介质区间中的电位函数与电场强度
1 r
Edr
r
b r
E1dr
b
E2dr
b q dr a 4r2
Qq dr
b 40r 2
q 1 1 Q q 4 r b 40c
E1
q 4r 2
er
a r b
2r
r
E2dr
（3）系统的静电能量 We； （4）系统的电容 C。
解：设内球上有电荷 q，则外球壳内表面有感应电荷 -q，外球壳外表面有电荷
（Q＋q）。
(1 分）
（1）电场球对称分布，在球心设置坐标原点，建立球坐标系，做同心球面为高
斯面 S1 和 S2 ,如图示。由高斯定律
S1 E1dS1 E14r 2 q
三、（15 分）半径为 a 的导体球，被内半径为 b（b>a）、外半径为 c(c >b)的
同心导体球壳所包围，两导体间填充介质，其介电系数为 ε（常数），外球壳之 外为空气。设外导体带有电荷 Q，内球接地（假定大地在无限远处）。 试求：
（1）内球上的电荷；
（2）球壳内外的电场强度 E 和电位函数 ；
E
1 2
N l
Imr cos(t)
E
E e
八、(15 分)在 0 的无限大理想介质中，已知正弦稳态均匀平面波的磁场强
度为：
H
z
,t
0.02ex
j0.01ey
sin2
108t z
A/m
试求：（1）介质的相对介电系数 r 和波阻抗 z0 ；
（2）均匀平面波的 波长、相速 v p 和频率 f；
曲面 z x2 y2 3 在点（2，-1，2）处的法线为
2
(2,-1,2)
=4ex
2ey
ez
--
---------------------------------------（1 分）
(1) (2 ) 1 2 cos
cos (1) (2 ) 1 2
----------------------------------------------（3 分）
JC
此时，时变场为磁准静态场，其磁场可按照恒定磁场处理。于是，磁准静态电
磁场基本方程的微分形式为：
H JC
E
B
t
B 0
D
七、（10 分）有一无限长直螺线管，半径为 a ，单位长度上绕有 n 匝线圈，螺管
的铁心磁导率为 。假设线圈中通有电流 i Im sin t ，计算铁心内的电场强
NI 2
（1）
气隙中的磁感应强度大小为：
B
0H
0 NI 2
磁通： BS 0NI dD 2
磁场能量：Wm
1 2
BHV
1 2
0H 2 (2dD )
0
NI 2
2
dD
0 N 2I 2dD 4
（2）
与线圈铰链的磁链： N 0N 2I dD 2
因此线圈自感为： L 0 N 2 dD I 2
（3）在恒电流系统中，广义坐标为 ，应用虚功原理可得可动部件的受力为：
一、（10 分）单选题，将你选择的答案序号填入各题括弧内。
1、下面哪一个矢量恒等式是正确的？（ c
(a) F 0 ； ( b ) F 0 ；
） ( c ) f 0 。
2、介质极化的影响是由下面哪种等效极化电荷的分布来描述的？（ c ）
(a) p P，
P
P
e
；
(b ) p M，
10、单元偶极子的远区电场相量形式为 E
2Il sin j
4 0 r
e j
r
，因此该电磁波为（
c ）。
(a) 均匀平面波； (b) 均匀球面波； (c) 非均匀球面波
二、（10 分）求曲面 x2 y2 z2 9 和 z x2 y2 3 在点（2，-1，2）处的夹
角。
题解：将这两个曲面分别看做是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数分别为：
1 x2 y2 z2 ，2 x2 y2 z
曲面 x2 y2 z2 9 上任意一点处的法线为：
1 =( x 2
y2
z2
)
2xex
2
yey
2zez
----------------------------------------------（2 分）
曲面 x2 y2 z2 9 在点（2，-1，2）处的法线为
t
场是有旋场， E 线也可闭合；第三方程磁通连续性原理说明时变磁场是无散
场，这一结论符合迄今为止尚未发现有单独的磁荷存在这一基本事实；第四方
程高斯通量定律显示时变电荷仍然是时变电场的通量场源，时变电场是有散
场。
磁准静态场推导：
当位移电流密度
D t
远远小于传导电流密度
JC
时，有：
H
JC
D t
（3）电场强度的瞬时表达式 Ez ,t；
（4）坡印亭矢量的平均值 Sav 。 解 （1）由题意可知 2 rad/m 2 108 rad/s
vp
c r r
r
c
2
2 3108 2 108
2
9
z0
0 120 / 3 40
0 r
（2）
2
1
m ；
vp
c 3108 108 m/s；
度。 解：线圈中的正弦电流产生随时间变化的磁场，在铁心中激发感应电场。为简
化计算，设长直螺线管 l>>a，可以认为螺线管中为均匀场，且有：
B Ni l
在横截面上半径为 r 的任一闭合路径中感应的电动势：
S
B t
dS
N l
Imr2cost
l Edl
由于电场只有 e 方向分量，故铁心中的电场强度
(c)在时变磁场中处于静止状态。
5、导电媒质中的时谐均匀平面波，电场和磁场的幅值是（ a ）衰减的。
(a)按指数规律；
(b) 线性；
(c) 不。
6、下面的说法不正确的是（ a ）；
(a) 相速代表信号的能量传播的速度；(b) 在导电媒质中，相速与频率有关；
(c) 相速是指等相面移动的速度。
7.在自由空间传播的电磁波电场有两个分量分别为 Ey Emcos( t x) 和
r r
9
f 2 108 108 Hz 2 2
（3）电磁波沿
z
轴正方向传播故
Ez
,t
Z0
H
ez
Ez,t
Z0H
ez
40
0.02ex
ez
j0.01ey
ez
sin2
108 t
z
j0.4ex 0.8ey sin2 108t z V/m
（4）
Sav
Re
E
H dl
l
S JcdS 得：
2 H E 2
H
U 0 2d
e
所以
S
EH
U0 d
ez
2d
U0
e
U
2 0
2d 2
-eρ
进入电容的功率为
S
ds
s
S
a
e 0
2 0
ez
ae
ddz
aU
2 0
2d 2
2ad
a
2U
2 0
d
GU
2 0
S
ds
S
d 0
1
(2,-1,2)
=4ex
2ey
4ez
----------------------------------------------（1 分）
曲面 z x2 y2 3 上任意一点处的法线为：
2
=( x 2
y2
z)
2xex
2
yey
ez
----------------------------------------------（2 分）
4 ab ba
4
0c
（3 分）
或者：
C1
q 2b 1a
4 ab ba
C2
qQ 2c 0
4 0 c
C
C1
C2
源自文库
4 ab ba
4 0c
四、(10 分)有一平板电容器，极板为圆形，其中填充有非理想介质，尺寸如题
四图所示，两极板间加电压U0 。求电容器中的漏电导 G 和功率损耗 P（忽略边
缘效应）。 解：电容器内的场为恒定电场，设电场方向向下，
P
M
e
；
(c) p P，
P
P
e
3、在自由电流激发的磁场中，存在有导磁媒质时，磁场由（ b ）产生。
(a) 自由电流； (b) 自由电流和磁化电流； (c) 磁化电流。
4、有一金属块处于磁场中，下面哪种情况下金属块中不会有涡流产生？（
a）
(a) 在恒定磁场中平行移动； (b) 在恒定磁场中转动；
H *
1 2
Em H mez
1 2
Z 0 H m2 ez
1 40 2
0.022 0.012
ez
0.01ez （W/m2）
Sav
Re E H
1 2
Em H mex
1 2
Z
0
H
2 m
1 2
40
0.022
0.012
ex
0.01
w/m2
dS
l
Edl
S
B t
dS
S BdS 0
S DdS q
电磁场基本方程的微分形式为：
H
JC
D t
JV
D t
E
B
t
B 0
D
基本方程组中的第一方程为全电流定律，说明除运动的电荷之外，变化的电场
也产生磁场，
D
为其矢量源密度，时变磁场是有旋场，
H
线可以闭合；第二
t
方程电磁感应定律指出变化的磁场产生电场， B 为其矢量场源密度，时变电
由
U0 Ed
知
E
U0
d
ez
则
Jc E
漏电流为：
I
S JcdS
a U0 2rdr U0 a2
0d
d
+
H
a
d , ,
U0
-
因此，漏电导 G I a2 U0 a2
U
dU 0
d
z
题图 5-5
在垂直于轴线的平面上，以轴线为圆心，做一个半径为 ρ 的环路 l，由安培环路
定律