二次函数的教材分析(精选)
二次函数教案(优秀5篇)
二次函数教案(优秀5篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数教材分析
二次函数教材分析本章主要介绍了二次函数的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解函数知识，掌握二次函数的图象和性质，并能灵活应用于实际问题中。
本章的编写特点如下：1.以探索、分析和建立二次函数关系为主线，注重培养学生的数学思维和语言表达能力。
2.通过表格、关系式、图象等多种形式，帮助学生理解和描述变量之间的二次函数关系。
3.强调二次函数的图象和性质对于理解和掌握函数知识的重要性，注重培养学生的观察和分析能力。
4.重视实际问题的应用，帮助学生将二次函数理论知识应用于实际问题中，培养学生的数学建模能力。
5.难点在于帮助学生理解二次函数研究过程中所蕴含的数学思想方法，掌握函数图象的特征和变换，以及二次函数性质的灵活应用。
关于函数的内容在中学数学中是一个稳定的主题。
为了更好地帮助学生理解函数概念，教材在体例、结构、呈现方式等方面体现了以下特点：首先，强调背景和展现过程，让学生感受概念和结论的得出是水到渠成的。
例如，通过具体实例展示函数概念的产生背景，让学生理解如何用函数来描述变量之间的相互依赖关系。
同时，在丰富的背景中提出问题，引导学生思考和经历知识发展的过程，鼓励学生主动思考和自主探索。
其次，突出联系和应用，培养学生的应用意识。
函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中都有着广泛的应用。
因此，教科书安排了较多的实际应用问题，并专门设置了函数的应用，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，让学生初步体验建立函数模型的过程和方法。
最后，重视数学思想方法。
教材注重培养学生的数学思想方法，让学生在观察实例、归纳共性、逐层分析概念的过程中，感受函数概念的发展过程，提升学生的数学思维能力。
第十六章二次函数学情与教材分析
第十六章二次函数学情与教材分析简介本文档旨在分析第十六章关于二次函数的学情和教材。
通过对学生的研究情况和教材内容的分析，旨在为教师提供有关教学策略和教材优化的建议。
学情分析在学情分析中，我们对学生在研究二次函数方面的情况进行了观察和评估。
以下是我们的发现：1. 学生对二次函数的基本概念掌握较为牢固，如函数的表达形式和图像特征。
2. 学生在解二次方程和求解二次函数的最值方面还存在一定的困惑和错误。
3. 部分学生在应用二次函数解决实际问题时遇到难题，对于如何把问题转化为数学表达式的过程理解不够深入。
4. 学生在理解二次函数的变换和平移方面存在一定的困难，无法准确把握图像在坐标平面上的变化。
教材分析在教材分析中，我们对第十六章关于二次函数的内容进行了评估和研究。
以下是我们的观察和建议：1. 教材对于二次函数的基本概念和性质的介绍较为清晰和详细，学生易于理解。
2. 教材对于解二次方程和求解二次函数最值的方法讲解较为简单，可能需要更多的例题和练来加深学生的理解。
3. 教材在应用二次函数解决实际问题方面的例题较少，建议增加更多的实际问题来培养学生的应用能力。
4. 教材对于二次函数的变换和平移方面的讲解较为简略，可能需要更多的图示和实例来帮助学生理解。
教学策略和建议基于学情和教材分析的结果，我们提出以下教学策略和建议：1. 强调解二次方程和求解二次函数最值的方法，提供更多的例题和练，帮助学生掌握解题技巧。
2. 结合实际问题进行教学，给学生提供更多的实际应用场景，培养他们的解决问题的能力。
3. 在教学中注重二次函数的变换和平移的讲解，使用图示和实例来帮助学生理解这一概念。
4. 鼓励学生进行小组讨论和互动，加强合作研究和互助研究的氛围。
希望以上分析和建议对于第十六章二次函数的教学有所帮助。
二次函数教学设计(精选6篇)
二次函数教学设计（精选6篇）（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(完整word版)九年级二次函数教材分析
二次函数教材分析一、教学要求大纲要求：1. 理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图像，会用公式（不要求掌握公式的推导过程和记忆公式）确定抛物线的顶点和对称轴。
2．会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。
3．会用待定系数法由已知图像上三个点的坐标求二次函数的解析式。
考试说明要求：1. 二次函数的概念 C2．二次函数的图像 C3．根据问题中的条件确定函数解析式 D4．用待定系数法求函数解析式 D5．列函数解析式解决某些实际问题 C能力培养：培养学生逻辑思维能力、空间想象能力和分析解决实际问题地能力及数学应用地意识。
数学思想：转化、数形结合、方程思想、分类讨论、函数思想等。
二、重点内容1． 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中系数a 、b 、c 的作用2． 与一元二次方程的关系3． 对称轴以及顶点坐标4． 解析式的求法5． 抛物线的平移6． 抛物线的对称性7． 与平面几何知识的联系三、典型例题（一） 以点的坐标为核心的题目1．一次函数y=x-2的图象与二次函数图象交于点A （2，m ）、B （n ，3），且二次函数图象对称轴为x=3，求二次函数解析式。
2．已知抛物线3)1(22++++-=m x m x y 与x 轴有两个交点A 、B ，且A 在x 轴正半轴，B 在x 轴负半轴，设OA 长为a ，OB 长为b 。
（1） 求m 的取值范围。
（2） 若a 、b 满足a ∶b=3∶1，求m 的值。
（3） 由（2）所得的抛物线与y 轴交于C ，问在抛物线上是否 存在一点P ，使△PAC ≌△OAC ？若存在，求出P 点坐标，如果不存在请说明理由。
3．在直角坐标系中，以点M )0,23(为圆心，23为半径画圆交x 轴于O 、E 两点，⊙M 的切线AC 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于C ，切点为D ，且tan ∠OAC=43 。
（1） 求过A 、C 两点的一次函数的解析式。
二次函数教材分析
1。
11*、知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
四、本章教学目标
1 ．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的 过程，进一步体验如何用数学方法描述变量之间的数量关 系。通过队实际问题的分析，体会二次函数的意义，形成 模型思想。 2． 能用描点法画出二次函数的图象，并能根据图像对二次 函数的性质进行分析，进一步积累研究函数性质的经验， 发展几何直观。 3 ．能用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(xh)2+k 的形式，由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象 的开口方向，画出图象的对称轴。 4 、能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，理解 一元二次方程与二次函数的关系。
4、鼓励学生采用多种方法、多个角度去理解和体会 知识的生成和应用。本章中，学生最容易得分的是 求函数解析式，所以在教学中鼓励学生用多种方法 求解析式。 5、注重知识之间的联系。如：一次函数、反比例函 数、二次函数之间与坐标轴交点、两个函数图象的 交点、增减性、比较函数值的大小、求面积、待定 系数法求解析式、函数图象与三角形四边形等几何 知识的结合、函数与方程不等式的联系等。 6、注意规律的理解与总结，如：平移与坐标的变化。 7、注重信息技术的应用，通过画图软件，让学生更 加生动形象的发现abc与函数图象的关系。
二次函数教材分析
一、本章教学内容及课时安排
教学内容 2． 1 2． 2 2． 3 二次函数 二次函数的图象与性质 确定二次函数的表达式 参考课时（约13） 1课时 4课时 2课时
2． 4
2． 5
二次函数的应用
二次函数的与一元二次方程
2课时
2课时 2课时
回顾与思考
二、本章知识结构
实际问题 二次函数
二次函数教案【精选3篇】
二次函数教案【精选3篇】总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它能使我们及时找出错误并改正，快快来写一份总结吧。
那么如何把总结写出新花样呢？这里给大家分享一些关于数学二次函数解题技巧，方便大家学习。
为朋友们精心整理了3篇《二次函数教案》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。
二次函数教案篇一一、教材分析：《34.4二次函数的应用》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》(冀教版)九年级上册第三十四章第四节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象及性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
二次函数说课稿
二次函数说课稿二次函数说课稿二次函数说课稿（一）一。
教材分析1、教材的地位及作用函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。
本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。
它既是对已学一次函数及反比例函数的复习，又是对二次函数知识的延续和深化，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。
2.教学目标（1）掌握二此函数的概念并能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。
[知识与技能目标]（2）让学生经历观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
[过程与方法目标]（3）让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，[情感、态度、价值观目标]3、教学的重、难点重点：二次函数的概念和解析式难点：本节"合作学习"涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力4、学情分析①学生已掌握一次函数，反比例函数的概念，图象的画法，以及它们图象的性质。
②学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
③初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。
二、教法学法分析1` 教法（关键词：情境、探究、分层）基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以"探究式"体验教学法和"启发式"教学法为主进行教学。
让学生在开放的情境中，在教师的引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。
教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。
同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。
数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编收集整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
2、进一步发展估算能力。
（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。
（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学方法学生合作交流学习法。
教具准备投影片三张第一张：（记作§2.8.2A）第二张：（记作§2.8.2B）第三张：（记作§2.8.2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。
但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。
本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。
数学《二次函数》优秀教案篇2一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
二次函数说课稿
二次函数说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版数学九年级上册第二十二章二次函数教材分析
第二十二章二次函数教材分析一、本章在教材中的意义学生在初二学习过函数的有关概念与一次函数，对函数己经有了一定的认识.从研究方法上看，本章学习二次函数延续了学习函数的一般思路：首先通过实例认识二次函数，然后研充二次函数的图象和性质，再探索二次函数与一元二次方程的联系，最后运用二次函数解决实际问题.因此从内容上看，学习了二次函数，实际上是将初中代数关于数与式、整式方程与不等式、函数等模块的大部分内容贯穿起来了，一些拓展性的问题充分体现出了代数内容的融会贸通.从思想方法上看，涵盖类比、数形结合、归纳、建模等思想，尤其是数形结合的思想贸穿始终.从学段衔接的角度看，在初中阶段研究函数的数形结合，主要是通过图象特征来归纳性质，而到高中继续学习二次函数和其它初等函数时，更侧重通过解析式的代数特征来推导函数性质和图象特点.二、本章教学目标和考试要求1.本章教学目标(1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.(2)会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.(3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h):+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.教学重、难点教学重点：二次函数的图象和性质.教学难点：从解析式的角度研究二次函数的性质.3.中考说明对本章的要求考试内容考试要求A3C数与代数函次函了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象：通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式转化为y=a(x—h)"+k的形式：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能根据己知条件确定二次函数的表达式：能确定二次函数留象的开口方向；能用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴运用二次函数的有关内容解决有关问题三、本章教学建议1.本章知识结构框图2.课时安排本章教学约18课时（含讲评），具体安排如卜（仅供参考）:22.1-次函数共10课时22.1.1二次函数1课时22.1.2二次函数y=ax'的图象和性质2课时22.1.3二次函数y=a（x-h）:4-k的图象和性质4课时22.1.4二次函数y二ax'+bx+c的图象和性质3课时22.2二次函数与一元二次方程22.3实际问题与二次函数数学活动小结2课时3课时1课时2课时3.教学中需要斟酌的问题（1）研究二次函数的思路.（2）代数推理的深度.（3）二次函数与一元二次方程的联系.（4）使用信息技术的时机.4.教学建议（1）经历函数的研究过程.（2）关注数形结合的研究方法.（3）关注抛物线的对称性.（4）加强对实际问题的分析.四、各节内容分析22.1二次函数【教学目标】（1）知道二次函数解析式中字母的意义，并且能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数.（2）根据二次函数的解析式列表、画图象.进而研究二次函数的性质.（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为疙a（x-h广+k的形式，并能由此说出二次函数图象的顶点坐标、开口方向、对称轴.【重点】二次函数的图象和性质.【难点】理解二次函数的对称性.【典型例题】例1判断下列函数y是否是关于x的二次函数（1）y=-3x2；（2）>*=2a-3：（3）y=2x（x-5）：（4）y=2x2+4.v-6:（5）y=x（2-x）+x2 ；（6）y=―；一!----:（7）y=2x（x2-x+1）；3x~+2x—1（8）某种药品现价每盒26元，计划两年内每年降价戒，两年后这种药品的价格为每盒y元.（9）一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形.新正方形的周长增加了Vi皿面积增加了％cm'；例2当m为何值时，y=（〃】+3）/ji+（〃i+2）x+3是x的二次函数？例3在同一坐标系中.作出卜列各组函数的图象:(1)y=X2;y=-a2;y=—x2;y=-2.v2:2(2)y=2x2;y=2x2+1;y=2x2-3：如=_：(—l)，(3)y=_#；,,=_：(x+])x2;y=(x+1)2;y=(x+l)2 -2.例4写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出函数图象.(1)y=3x2+6.r-9；(2)>• =-^x2+2.r-3.例5将抛物线yx=-2x：向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线片写出抛物线尖的开口方向.对称轴.顶点坐标，并求出抛物线巴的解析式.例6已知二次函数y=x'+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如卜表:X•••-101234•••y•••1052125•••(1)求该二次函数的解析式；(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A(m.y：),BCm+l.yJ两点都在该函数的图象上.试比找y上咒的大小.例7将抛物线咛2营向右平移2个单位后，所得图象在y轴右侧的部分记为G,直线l：y=kx+b经过点(-2,0).请结合图象回答：当直线1与G有两个公共点时，求k的取值范围.例8抛物线y=ax'+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号.例9已知函数y=x:-mx+2m-3分别满足下列条件，求相应的m的值.(1)顶点在x轴上；(2)顶点在y轴上；(3)过原点.例10己知y=ax-+bx+c的图象如卜图,试判断在abc,b--lac.2a+b,a+b+c>a-b+c中是正数的有哪些？例11根据条件，求卜列二次函数的解析式:(1)(2)(3)已知二次函数的图象经过（-1,10）, （1,4）, （2, 7）三点：二次函数的图象如下图所示；抛物线的对称轴平行于y 轴，顶点为A （l,-2）,且经过点（0.-1）.22.2二次函数与一元二次方程【教学目标】（1） 了解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x 轴的公共点的横坐标），知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.（2）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【重点】一元二次方程的根的几何意义.【难点】一元二次方程和函数图象的转化.【典型例题】例12己知二次函数y =x ：-2x-3,求出它的图象与x 轴交点的坐标.例13当m 为何值时，抛物线y=（mT ）x'+2mx+mT 与x 轴：（1＞只有一个公共点；（2）有两个公共点：（3）没有公共点.例14己知二次函数y =ax'bx+c 的图象如图所示，若方程ax'+bx-c+KO 有实数根.则k 的取值范国是例15己知二次函数yFx-x-2和一次函数yFx+1.（1） 它们的图象是否有公共点？如果有，求出公共点的坐标；（2） 当自变量x 取何值时，y,〉yj22.3实际问题与二次函数【教学目标】（1） 能在实际问题中建立函数模型.（2） 能利用二次函数的图象和性质，解决简单的实际问题.【重点】利用二次函数解决最值问题.【难点】与抛物线有关的实际问题.【典型例题】例16 （1）-个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面枳S 与宽x 之间的函数关系式.（2）已知AABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20,写出△ABC 的而枳y 与BC 的长x 之间的函数关系式.（3）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率嚣的变化而变化，写出y与x之间的函数关系式.例17某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
初中数学二次函数教案(5篇)
初中数学二次函数教案（5篇）学校数学二次函数教案篇1一、说课内容：人教版九班级数学下册的二次函数的概念及相关习题二、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在同学已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。
二次函数是学校阶段讨论的最终一个详细的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。
同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着亲密的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法供应新的方法和途径，并使同学更为深刻的理解数形结合的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：(1)学问与技能：使同学理解二次函数的概念，把握依据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何依据实际问题确定自变量的取值范围。
(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经受二次函数概念的探究过程，提高同学解决问题的力量.(3)情感、态度与价值观：通过观看、操作、沟通归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，进展同学的数学思维，增加学好数学的愿望与信念.3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
三、教法学法设计：1、从创设情境入手，通过学问再现，孕伏教学过程2、从同学活动动身，通过以旧引新，顺势教学过程3、利用探究、讨论手段，通过思维深化，领悟教学过程四、教学过程：(一)复习提问1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?(一次函数，正比例函数，反比例函数)2.它们的形式是怎样的?(y=kx+b，ky=kx ,ky= , k0)3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k0的条件? k值对函数性质有什么影响?【设计意图】复习这些问题是为了关心同学弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较.(二)引入新课函数是讨论两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。
北京市西城区九年级上册《二次函数》教材分析
北京市西城区九年级上册《二次函数》教材分析第二十二章二次函数北京一六一中一、本章的地位和作用1.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题. 二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和函数思想的重要素材.2.学生在学习了一次函数和反比例函数之后学习二次函数，对学生进一步理解函数的概念，掌握研究函数的一般方法，体会函数思想非常重要，是对函数及其应用的学习的深化和提高，为学生进入高中后的函数学习奠定基础和积累经验.二、本章的重点和难点本章的主要内容包括：二次函数的概念、图第 - 2 - 页象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，用二次函数的图象和性质解决实际问题.教学重点：二次函数的图象和性质及其应用.教学难点：①二次函数与一元二次方程的联系；②运用数形结合的数学思想解决二次函数问题.三、本章的学习目标1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.第 - 3 - 页5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.四、考试说明要求A层次B层次C层次了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象；通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式转化为y=a(x h)2+k的形式；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 能根据已知条件确定二次函数的表达式；能确定二次函数图象的开口方向；能用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴.运用二次函数的有关内容解决有关问题.五、本章的知识结构第 - 4 - 页第 - 5 - 页六、课时安排：本章教参安排为12课时，实际教学约需15课时，可分配如下（仅供参考）：22.1二次函数的图象和性质（共8课时）二次函数的概念 （1课时）二次函数y =ax 2的图象和性质 （1课时）二次函数y =ax 2＋c 的图象和性质（1课时）二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 （1课时）二次函数y = a (x －h )2＋k 的图象和性质（1课时）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 实际问题 二次函数 利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案 目标二次函数的解析式二次函数的图象 二次函数的性质描点画图图象特征几何变换函数最值 函数增减性 函数对称性（1课时）二次函数解析式的确定（2课时）22.2二次函数与一元二次方程（共1课时）22.3实际问题与二次函数（共4课时）实际问题与二次函数（2课时）二次函数综合问题（2课时）数学活动与小结（共2课时）七、教学建议1. 注重研究函数的方法教学，为学生探究具体新函数积累数学活动经验学生已经学习了函数的有关概念，及具体的初等函数---一次函数和反比例函数，本章是学生第三次研究具体函数的过程，应该让学生建立在已有研究经验的基础上，体会函数思想，掌握研究函数的一般方法.教材安排学习函数过程大致包括以下内容：（1）通过具体实例认识这种函数；（2）研究这种函数的图象和性质；（3）探索这种函数与相应方程（不等式）的关系；（4）利用这种函数解决实际问题.第 - 6 - 页2.注意由浅入深、循序渐进地理解二次函数的概念对二次函数的概念有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容.第一步，从学生熟悉问题背景引入相应的二次函数入手，由具体到一般，建立二次函数的概念.第二步，利用变换的观点研究二次函数的图象，通过函数图象研究二次函数的性质，体现函数解析式与图象的关系.第三步，在二次函数模型的应用过程中，通过建立二次函数模型以及模型的求解，更全面地体会二次函数的本质.教学中，要让学生经历知识发生发展的全过程，引导学生用好节前问题、探究、思考、归纳等教材设计的环节，给学生充分的自主探究时间，让学生真正理解函数概念，提升学习能力.3. 注重数学思想方法的教学本章教学始终沿着由特殊到一般的研究思路，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二第 - 7 - 页次函数y=x2出发逐步深入探讨的.类比思想在研究的过程中多次体现，对于y=ax2的研究分a>0和a<0，研究完a>0的情况，a<0的情况就可以类比a>0的情况进行讨论.数形结合的思想贯穿二次函数讨论的始终，每一个二次函数的研究都展现了从解析式到图象，再从图象到性质的过程.另外，利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，利用好本章的实际问题背景，培养学生的数学建模的思想.八、具体内容建议(一) 二次函数的概念概念的引入要突出过程，引导学生从丰富的实例中列出函数关系式，观察共性，归纳概念的本质特征，在整个过程中，要给学生充分的观察、比较、分析、概括的时间，要让学生体验到二次函数与生活的紧密联系.另外，通过本节课的教学，可以再次熟悉列函数关系式的方法，突出方程思想，为实际问题与二次函数的学习奠定基础.(二) 二次函数的图象和性质第 - 8 - 页第 - 9 - 页 y =ax 2的图象和性质的教学是二次函数教学的基础，要把这节课作为一节新函数的探究过程，如何画图，如何看图，如何归纳性质，都是本节它函数就可以类比研究了.作图方法：五点法图象特征：图象形状、开口方向、开口大小、对称轴、顶点（最高点、最低点）函数性质：对称性、增减性和最值 y =ax 2的图象和性质a >0 a <0示意图图象形状抛物线 开口向上开口向下y =x 2 y =ax 2(a y =ax 2+k y =a (x －y =a (x －y =ax 2+bx 目几何几何x y O x y O第 - 10 - 页 开口a 越大，开口越小；a 越小， 开口越大. 对称轴y 轴（直线x=0） 顶点坐标最低点（0,0） 最高点（0,0） 最值 当x =0时，y 有最小值是0. 当x =0时，y 有最大值是0.增减性 当x ≤0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大. 当x ≤0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x的增大而减小.例题与练习：1．确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．①25y x =-；②2152y x =+；③23(4)y x =-+；④24(2)7y x =+-． 2.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.①x x y 232+= ②x x y 22+-= ③8822-+-=x x y ④34212+-=x x y3. 已知二次函数223=--y x x（1）把它变为2=-+的形y a x h k()式:_________________________________（2）它的图象是抛物线2y x=向_______平移______个单位长度，又向______平移______个单位长度后得到的.（3）它的图象与x轴的交点坐标为_______________，与y轴的交点坐标为_______________（4）它的图象开口方向为________________ （5）对称轴方程为________________，顶点坐标为________________（6）x的取值范围为________时，y随x的增大而增大；x的取值范围为________时，y随x的增大而减小（7）当x__________时，y>0 ; x________时，y=0 ; x_________时，y<0（8）当x=__________时，y有最_______值，这个最____值是____________________（9）当-3<x<3时，观察图象直接写出函数值y 的取值的范围________________（三）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象的变换——平移、对称、旋转平移：函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象的平移要抓住顶点的平移（也可以是其它关键点的平移），a 不变翻折：要抓住顶点的变化及其它关键点的变化.*结论：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y= -ax2-bx-c抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y= ax2-bx+c旋转：绕某一定点旋转180°：要抓住顶点的变化，a取相反数.结论：抛物线y=a(x-h)2+k绕顶点旋转180°后的解析式为y= -a(x-h)2+k例题与练习：1.将抛物线y=－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. y =－2（x +1）2B. y =－2（x －1）2C. y =－2x 2+1D. y =－2x 2－12.将抛物线233y x 向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( ) A .2333y x B .23y x C .2332y x D .236y x3. 将抛物线22x y =向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．5)3(22--=x y B ．5)3(22++=x y C ．5)3(22+-=x y D ．5)3(22-+=x y4.将二次函数y=x 2+2x ﹣1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）A ．y =（x +3）2﹣2B ．y =（x +3）2+2C ．y =（x ﹣1）2+2D ．y =（x ﹣1）2﹣25.抛物线5422---=x xy 经过平移得到22x y -=，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 6.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-7.将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）A. 2x y -=B. 12+-=x yC. 12-=x yD. 12--=x y 8.设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称． （1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．(四) 确定二次函数解析式 一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)交点式（双根式）：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0) ， 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标用待定系数法确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法设并求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.例题与练习：1．已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式.2. 抛物线的顶点坐标是（1，-4），且与x轴的交点坐标是（－1，0）. 求这个二次函数解析式.3. 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式.4.已知抛物线与x轴的交点坐标是（－1，0），（－3，0）且函数有最小值－5.求这个二次函数解析式.5. 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x+2=0，且在x轴上截得线段的长度为4，求此抛物线的解析式．6. 抛物线22平移后经过点(0,3)y xB，求平移A，(2,3)后的抛物线的表达式．（五）a，b，c的符号对抛物线形状位置的影响a的符号开口方向b的符号对称轴的位置：对称轴在y轴左侧⇔a，b同号；对称轴在y轴右侧⇔a，b异号；b=0⇔caxy+=2⇔对称轴是y轴.c的符号与y轴交点位置：c>0⇔抛物线与y轴交点在y轴正半轴；c<0⇔抛物线与y轴交点在y轴负半轴；c=0⇔抛物线bxaxy+=2⇔抛物线过原点.△的符号与x轴交点个数：△>0⇔抛物线与x轴有两个交点(x1, 0), (x2, 0)；△=0⇔抛物线与x轴有一个交点(ab2-, 0)；△<0⇔抛物线与x轴没有交点.例题与练习：1.对于抛物线2y ax bx c=++（0≠a）（1）若顶点是原点，则；（2）若经过原点，则；（3）若顶点在y轴上，则；（4）若顶点在x 轴上，则 ；（5）若抛物线与x 轴有两个交点, 则 ；（6）若抛物线与x 轴有一个交点, 则 ；（7）若抛物线与x 轴没有交点, 则 ；（8）若经过（1，0）点，则 ； 若经过（－1，0）点，则 ；（9）若函数值恒为正，则________________；若函数值恒为负，则__________________.2. 如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的对称轴是直线x ＝1，则下列结论，①b 2＞4ac ②2a ＋b =0；③a +b +c >0，④a -b +c <0，⑤当x >1时，y 随x 的增大而减小,⑥b c 32<；其中正确的有 .3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3y ﹣3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x =1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论： ①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是 ． 5.如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；x y O 1-1③30a c -+>；④242a b atbt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6.如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ）A ． ①②③B ． ①③④C ．①③⑤D ．②④⑤（六）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x= x0时，函数的值是0，因此x= x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）从形的角度从数的角度抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0当x= x0时，函数的值是0x= x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况(没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根)及一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的三种情况.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式没有公共点没有实数根△<0有一个公共点有两个相等的实数根△=0有两个公共点有两个不相等的实数根△>0（3）二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象示意图一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的情况*不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集*不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有两个不相等的实x<x1或x>x2x1<x<x2（x1<x2）O xyy（4）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例题与练习：1. 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值： x 11.1 1.2 1.3 1.4 y 10.49 0.04 0.59 1.16 那么方程2350x x 的一个近似解是( )A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3数根x 1，x 2 （x 1<x 2） △=0有两个相等的实数根x 1，x 2 x≠x 1 （x 1=x 2） 无解 △<0无实数根 x 取任意实数 无解x O y y 3212. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根； （2）写出不等式20axbx c ++>的解集； （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围； （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．3.如图，抛物线2y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为_____________.1x 、2x （12x x <）是方程()()1x a x b --=（a b <）的两个根， 则实数1x 、2x 、a 、b 的大小关系是 ．x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）.则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .6. 如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．7. 已知二次函数c x x y ++=22． （1）当c ＝－3时，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（2）若－2＜x ＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c 的取值范围．（七）实际问题与二次函数1、最值问题根据实际问题的题意所求的函数关系式是二次函数，再解决最值问题：步骤：①列出函数解析式；②求自变量x 的取值范围； ③求a b x 2-=的值； ④判断a b x 2-=的值是否在x 的取值范围中： 若在，a b ac y 442-=最值；若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.2、抛物线形问题①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意将已知条件翻译成已知点的坐标；（注意点在各象限中的符号）③求出抛物线的解析式；④利用解析式解决实际问题.例题与练习：1．如图，有长为30m 的铁丝网，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道铁丝网（平行于AB ）的矩形花圃，设花圃一边AB 的长为x m ，花圃的面积为y m ².(1)求y 与x 的函数关系式(2)AB 为多长时，花圃的面积为63cm 22.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：y =﹣x +60（30≤x ≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ CA D B（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？3. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？（八）与二次函数有关的代数综合题1.（15年27）. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B 。
九年级数学： 第二十二章 《二次函数》教材分析
第二十二章二次函数一、教学目标1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题．4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．5．能够在实际问题中通过建立函数模型，进而解决实际问题．二、教材分析函数是描述现实世界中变化规律的数学模型．某些问题中的数量关系可以用二次函数表示．本章在一次函数的基础上，介绍二次函数的概念、图象和性质，讨论二次函数与一元二次方程的联系，运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题．三、教学建议1．注意复习相关内容二次函数的学习是以已学函数内容为基础的．从八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间．函数的概念，描点法画函数的图象等在本章中都要用到．因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数．2．关注数形结合的研究方法二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质．把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展．3．重视类比、数学建模等数学核心素养的培养在教学过程中注意引导学生运用类似一次函数的方法学习二次函数；要培养学生能够在实际问题情景中发现和提出问题，针对问题建立数学模型，并运用所学数学知识求解模型的能力．4．重视信息技术的使用用某些计算机画图软件(如《几何画板》)，可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质．在本章的选学栏目“信息技术应用探索二次函数的性质”中，有条件的话，可以让学生加以尝试．第1页共1页。