高中物理第1章机械振动3简谐运动的图像和公式教师用书教科选修3-4

3．简谐运动的图像和公式学习目标知识脉络1.掌握简谐运动的位移——时间图像．(重点、难点)2．知道简谐运动的表达式、明确各量表示的物理意义．(重点)3．了解相位、初相和相位差的概念．4．能用公式描述简谐运动的特征．(重点、难点)简谐运动的图像[先填空]1．坐标系的建立在简谐运动的图像中，以横轴表示质点振动的时间，以纵轴表示质点偏离平衡位置的位移．2．物理意义表示做简谐运动质点的位移随时间变化的规律．3．图像的特点是一条正弦(或余弦)曲线．4．从图像中可以直接得到的信息(1)任意时刻质点偏离平衡位置的位移；(2)振动的周期；(3)振动的振幅．[再判断]1．简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)2．振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)3．振子的位移相同时，速度也相同．(×)4．简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线．(√)[后思考]1．简谐运动的图像是否是振动物体的运动轨迹？【提示】不是．简谐运动的图像是描述振动物体的位移随时间变化的规律，并不是物体的运动轨迹．2．简谐运动中振动物体通过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？【提示】不一定．振动物体通过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，故加速度和速度方向不一定一致．1．图像含义表示某一质点不同时刻的位移；简谐运动图像不是做简谐运动的物体的运动轨迹．2．图像斜率该时刻速度的大小和方向．3．判断规律(1)随时间的延长，首先得到质点相对平衡位置的位移情况．(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1­3­1中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动．图1­3­1(3)任意时刻质点的速度、回复力、加速度的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，如图1­3­1中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大．回复力方向与位移方向相反，总指向平衡位置，t轴上方曲线上各点回复力取负值．t轴下方曲线上各点回复力取正值，回复力大小和位移成正比，离平衡位置越远，回复力越大．加速度变化步调与回复力相同．1．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图1­3­2可知( )图1­3­2A．质点振动频率是4 HzB．t＝2 s时，质点的加速度最大C．质点的振幅为2 cmD．t＝2 s时，质点的位移是2 cmE．从t＝0开始经过3 s，质点通过的路程是6 cm【解析】 由图像知：质点的周期是4 s ，频率是14Hz ，A 错；t ＝2 s 时，质点的加速度最大，B 对；由图线知质点的振幅为2 cm ，C 对；t ＝2 s 时，质点的位移是－2 cm ，D 错；从t ＝0开始经过3 s ，质点通过的路程s ＝3A ＝6 cm ，E 正确．【答案】 BCE2．弹簧振子做简谐运动的振动图像如图1­3­3所示，则( )图1­3­3A ．t ＝0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零B ．t ＝1 s 时，质点位移最大，速度为零，加速度最大C ．t 1和t 2时刻振子具有相同的速度D ．t 3和t 4时刻振子具有相同的加速度E ．t 2和t 3时刻振子具有相同的速度【解析】 t ＝0时刻，振子位于平衡位置O ，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A 错误；t ＝1 s 时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B 正确；t 1和t 2时刻振子位于正向同一位置，t 1时刻是经此点向正方向运动，t 2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C 错误；t 3和t 4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确；t 2和t 3时刻振子速度的大小和方向都相同，E 正确．【答案】 BDE3．如图1­3­4所示为质点P 在0～4 s 内的振动图像，下列叙述正确的是( )【导学号：18640006】图1­3­4A ．再过1 s ，该质点的位移是正的最大B ．再过1 s ，该质点的速度沿正方向C ．再过1 s ，该质点的加速度沿正方向D ．再过1 s ，该质点加速度最大E ．再过2 s ，质点回到平衡位置【解析】 将图像顺延续画增加1 s ，质点应在正最大位移处，故A 、D 正确．再过2 s 质点回到平衡位置，E 正确．【答案】 ADE简谐运动图像的应用技巧1．判断质点任意时刻的位移大小和方向质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．2．判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．简 谐 运 动 的 公 式 表 达[先填空]1．简谐振动的一般表达式为x ＝A sin (2πTt ＋φ)．(1)x 表示振动质点偏离平衡位置的位移，t 表示振动时间． (2)A 表示简谐运动的振幅．(3)2πTt ＋φ叫简谐振动的相位．初始时刻t ＝0时的相位为φ，叫做初相位．简称初相．(4)圆频率(也叫角频率)：ω＝2πT＝2πf .2．如果两个简谐运动的频率相等，其初相位分别为φ1和φ2，当φ2＞φ1时，它们的相位差是φ2－φ1.(1)若φ2－φ1＝0，称之为同相． (2)若φ2－φ1＝π，称之为反相． [再判断]1．x ＝A sin ωt 中的A 为振幅是矢量．(×)2．简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×) 3．一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动．(√) 4．简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ωt ＋φ的单位是弧度．(√)[后思考]1．有两个简谐运动：x 1＝3a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πbt ＋π4和x 2＝9a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8πbt ＋π2，它们的振幅之比是多少？频率各是多少？【提示】 它们的振幅分别为3a 和9a ，比值为1∶3；频率分别为2b 和4b . 2．简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的含义是什么？【提示】 两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同，例如甲和乙两个简谐运动的相位差为32π，意味着乙总比甲滞后34个周期或34次全振动．1．根据表达式画振动图像(1)根据x ＝A sin (2πTt ＋φ)找出振幅A 和振动周期T ；(2)令t ＝0，找出初始时刻的位移x (x 的正、负要有明确表示)； (3)选好标度，画出正弦函数图像． 2．根据图像写表达式(1)从图像中找出振幅A 和周期T ；(2)根据t ＝0时的位移求出初相φ，即x 0＝A sin φ；(3)把A 、φ代入表达式x ＝A sin (2πTt ＋φ)即可．(若图像为余弦或其他形式也可以用该方法求得，只不过φ不相同)．4．物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动位移x B ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( )A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等，为100 sC ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD ．A 振动的圆频率ωA 等于B 振动的圆频率ωBE ．A 的相位始终超前B 的相位π3【解析】 振幅是标量，A 、B 的振幅分别是3 m ，5 m ，A 错；A 、B 的圆频率ω＝100，周期T ＝2πω＝2π100s ＝6.28×10－2s ，B 错，D 对；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φAO－φBO ＝π3为定值，E 对．【答案】 CDE5．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s ．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．【解析】 由于振幅A 为20 cm ，振动方程为y ＝A sin ωt (平衡位置计时，ω＝2πT)，由于高度差不超过10 cm ，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t 1＝T 12，t 2＝5T 12，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt ＝t 2－t 1＝T3＝1.0 s.【答案】 1.0 s6．一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为8 cm ，频率为0.5 Hz ，在t ＝0时，位移是4 cm ，且向x 轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像．【解析】 简谐运动的表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ)，根据题目所给条件得A ＝8 cm ，ω＝2πf ＝π，所以x ＝8sin(πt ＋φ)，将t ＝0，x 0＝4 cm 代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝π6或φ＝56π，因为t ＝0时，速度方向沿x 轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝56π，所求的振动方程为x ＝8sin(πt ＋56π) cm，画对应的振动图像如图所示．【答案】 见解析用简谐运动表达式解答振动问题的方法1．明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相． 2．ω＝2πT＝2πf 是解题时常涉及到的表达式．3．解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了．。