概率统计习题 5.2

习题与解答5.2

1. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图. 解 此样本容量为10,经排序可得有序样本:

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)138,149,153,156,160,169x x x x x x x x x x ==========

其经验分布函数及其图形分别如下

()01380.11490.31530.51560.81600.91691n x F <⎧⎪≤<⎪

⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪

≤<⎪⎪

≥⎩，x ，

， 138x ，， 149x ，， 153x ，， 156x ，， 160x ，， x 169.

2. 下表是经过整理后得到的分组样本:

试写出此分组样本的经验分布函数. 解 样本的经验分布函数为

()037.50.1547.50.3557.50.7567.50.977.51n x x F <⎧⎪≤<⎪

⎪≤<=⎨≤<⎪

⎪≤<⎪

≥⎩，，

， 37.5x ，， 47.5x ，

， 57.5x ，

， 67.5x ，， x 77.5.

3.假若某地区30名2000年某专业毕业生实习满后的月薪数据如下: 909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738 (1)构造该批数据的频率分布表(分6组); (2)画出直方图.

解 此处数据最大观测值为1572,最小观测值为738,故组距近似为

1572736

140,6

d -=

= 确定每组区间端点为 ,此处可取 ,于是分组区间为

(](](](](](]735.875875101510151155115512951295143514351575

.，，，，，，，，，， 其频数频率分布表如下:

其直方图如图5.2.

4.某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查,下面是其不完整的频率分布表:

(1)试将频率分布表补充完整;

(2)该公司上班所需时间在半小时以内有多少人?

解(1)由于频率和为1,故空缺的频率为1-0.1-0.24-0.18-0.14=0.34. (2)该公司上班所需的时间在半小时以内的人所占频率为0.1+0.24+0.34=0.68,该公司有职工250人,故该公司上班所需时间在半

⨯=人.

小时以内的人有2500.68170

5. 40种刊物的月发行量如下(单位:百册):

(1)建立该批数据的频数分布表,取组距为1700百册;

5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 4508

1208 3852 618 3008 1268 1978 7963 2048

3077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 (2)画出直方图.

解 此处数据最大观测值为14667,最小观测值为353,由于组距为1700,故组数为14667353

8.421700

K -≥

=，

所以分9组.接下来确定每组区间端点,要求

03539170014667a

a <+⨯>，

此处可取0300a =，于是可列出其频数频率分布表.

其直方图为

6.对下列数据构造茎叶图

452 425 447 377 341 369 412 399

400 382 366 425 399 398 423 384

418 392 372 418 374 385 439 408

409 428 430 413 405 381 403 469

381 443 441 433 399 379 386 387

解取百位数与十位数组成茎,个位数为叶,这组数据的茎叶图如下:

34 1

35

36 6 9

37 2 4 7 9

38 1 1 2 4 5 6 7

39 2 8 9 9 9

40 0 3 5 8 9

41 2 3 8 8

42 3 5 5 8

43 0 3 9

44 1 3 7

45 2

46 9

7. 根据调查,某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下(单位:千元):

40.6 39.6 37.8 36.2 38.8

38.6 39.6 40.0 34.7 41.7 38.9 37.9 37.0 35.1 36.7 37.1 37.7 39.2 36.9 39.3 试画出茎叶图.

解 取整数部分为茎,小数部分为叶,这组数据的茎叶图如下: 34 7 35 1 36 2 7 9 37 0 1 7 8 9 38 3 6 8 9 39 2 6 6 40 0 6 41 7

8. 设总体X 的分布函数为()F x ,经验分布函数为()n F x ,试证

()()()()()1

1.n n E x F x Var x F x F x n

F F ⎡⎤⎡⎤==

-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 证 设1,...,n x x 是取自总体分布函数为()F x 的样本,则经验分布函数为

()()()110/12,..., 1.1.

k n

n x x x k n x x x k n x F +⎧<⎪⎪

=≤<=-⎨⎪>=⎪⎩（）（k ），当，

当，，，当x 若令{}12,...,i x x i i n y I ≤==，，

,则1,...,n y y 是独立同分布的随机变量,且 ()()()()()21111()E y P x x F x E y P x x F x =≤==≤=，， 于是()()()()2

()[[1].]i Var F x F x F x F

x y =-=-