中考数学复习压轴题冲刺填空压轴题第三讲：规律探究类(下)数形结合

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中考数学填空题压轴题(含答案)

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是（n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是，第n 个数是．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第行第列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134．【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。

【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为；再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ，如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为．（用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有个．第一次第二次第三次第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠第二次折叠第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（，）；点n A （，）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0）【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______；如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ，分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=．若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示）【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是（用含k 的式子表示）．【答案】18；【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上，则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是；第n （n 是正整数）个梯形的面积是（用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数），则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。

中考数学冲刺复习：数形结合问题--知识讲解(提高)

中考数学冲刺复习：数形结合问题—知识讲解（提高）【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB. 36SC.37SD.43S【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-(21)2(21)(1)2(1)2222n n s n n s n n s+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯--,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．举一反三:【变式】（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是．【答案】（2n﹣1，2n﹣1）【解析】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴B n坐标（2n﹣1，2n﹣1）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题。

数学压轴题冲刺填空压轴题第三讲：规律探究类(下)数形结合

代入特殊值法
（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；
（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；
（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决．
实战突破
A．502
B．503
C．504
D．505
【注意】解决等差数列的问题，一些同学通过计算很快可以得到规律；若不能很快得到规律，可以根据数列的特点，若是等差数列
时，可选择一次函数的方法来解决.
A．51
B．70
C．76
D．81
【解析】设棋子的颗粒 y 与次序 x 之间的关系为： y ax 2 bx c
例3．已知 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 ，求A、B的值.
x3
A
B
【解题秘籍】
待定系数法（上）
讲师：王保爱
y
A1 O A2 A3
y=kx+b
B1 B2 C1 C 2
B3 C3
x
熟练掌握计算过程中的一些常用数列
待定系数法（上）
讲师：王保爱
直击中考
A．（45，77） C．（32，46）
B．（45，39） D．（32，23）
A．502
B．503
C．504
D．505
A．51
B．70
C．76
D．81
时，可选择一次函数的方法来解决.
A．51
B．70
C．76
D．81
【解析】设棋子的颗粒 y 与次序 x 之间的关系为： y ax 2 bx c
例3．已知 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 ，求A、B的值.
x3

2020年中考数学压轴题题型专练：规律探索题(含答案)

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1，，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55，，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝－52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

第03讲规律探究性问题-2022中考数学巅峰冲刺(解析版)

【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；1、解数式规律型问题的一般方法:1当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；2当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；3当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n 的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．2、探索等式规律的一般步骤:1标序数；2对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数1，2，3，4，…，n之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；3根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：1根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；2根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；3确定第一类点的坐标的方法：根据2中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q0≤q ＜n，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据2中得到的第M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：1根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；2通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；3根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．5、找图形累加型变化规律的一般步骤:1写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；2数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；3寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差商来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2022次输出的结果为【解析】：按照数据运算程序设计进行计算发现，输出的结果分别是1，6，3，8，4，2，因此每六次运算程序一个循环，2022÷6=336---3，故第2022次输出恰好是第三次输出的结果，即为3【原创2】发现任意一个偶数减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1验证（1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110其结果等于几（2）设一个偶数2n，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n，结果等于几并验证发现的结论是否正确。

2024年中考数学总复习专题突破课件专题一规律探索问题

③根据规律找出第n个数或式子并验证其正确性.
命题点1
等差(或等比)数列型
1.(2023牡丹江)观察下面两行数:
1,5,11,19,29,…;
1,3,6,10,15,….
取每行数的第7个数,计算这两个数的和是( C
A.92 B.87 C.83 D.78
)
2.(2023恩施)观察下列两行数,探究第②行数与第①行数的关系:
在同一象限内递推变化;另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环
变化.解决方法如下:
(1)定类型:根据图形中点坐标的变换特点判断属于哪一种类型(递推型
或循环型);
(2)找规律:根据图形的递变规律分别求出第1,2,3,4个点的横坐标和纵
坐标,用含n的代数式表示出第n个点的坐标.
结合图形变化求线段长、图形面积问题与求点的坐标类似,注意对含n
第一步:写序号,记每组图形的序数为“1,2,3,…,n”;
第二步:在简单的图形中,求出问题的结果;
第三步:探究所求结果与序数的关系,将这个关系用含n的式子表示;
第四步:代入n的具体数值,求出第n个图形的相关量的值.
命题点1
图形个数累加型
16.(2023重庆A卷)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第

排列,第 n 个数记为 an,且满足 +

=

+ +
,则 a2 023=

.
图形的变化规律
(1)该类问题常见的解法有三种:一是根据几何图形的变化规律直接求
解;二是数一数各图案中所求图形的具体个数,把图形规律转化成数字
规律求解;三是借助函数知识求解.
(2)解图形规律探索题的一般步骤

数学苏海涛压轴题冲刺填空压轴题第三讲：规律探究类数形结合.ppt

例 4．在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 A1B1C1O 、A2B2C2 B1 、A3B3C3B2 ，…，按右图所示的方式放置．点 A1 、A2 、
y
y=kx+b
A1 A2
A3
O C1B1 C2 B2
C3
B3
x
熟练掌握计算过程中的一些常用数列
填空题压轴题 —探求规律类(下)：数形结合类
讲师：苏海涛
真题展示
1．（北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x ，y) ，我们把点 P( y 1，x 1) 叫做点 P 的
2．（北京）如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知直线： t
x 1 ，双曲线
y
1 x
．在上取点
A1，过点
A1 作 x 轴的垂线
突破方法
冲刺满分
例 1．（北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x ，y) ，我们把点 P( y 1，x 1) 叫做点 P 的
列Hale Waihona Puke 计算：B1（ B2（ B3（ B4（ ……
，），），），）
一般性规律 Bn（，）
例 3．在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 A(0，4) ，

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

中考最后30天冲刺——数形结合

授课类型C数形结合基本应用 C 几何与函数中的应用T 综合应用授课日期及时段教学内容专题透析数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法．运用这一数学思想解题，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征．一、专题精讲题型1在数与式中的应用：例1、文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在() A．玩具店B．文具店C．文具店西边40米D．玩具店东边－60米【答案】 B例2．已知实数a，b在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么()A．ab<b B．ab>b C．a＋b>0 D．a－b>0【答案】D例3、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b+-=_________。

【答案】b例4、如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）,将余下部分拼成一个梯形，根据a b两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为 A.()2222a b a ab b -=-+ B.()2222a b a ab b +=++C.22()()a b a b a b -=+-D.2()a ab a a b +=+【答案】B题型2. 在方程、不等式中的应用例1、已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

【答案】-1≤x ＜0例2、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩，C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，【答案】D题型3 在实际问题中的应用例1：某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y 1与y 2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？图1· P （1，1）1 12 23 3－1 －1Ox y【答案】解：（1）y 1=20x ，y 2=10x+300．（2）y 1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y 1的付费方案；否则，选择y 2的付费方案．【小结】图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.例2、如图，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 A ，B ，C ，D 四个点重合于点 P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒 (1)若折叠后长方体底面正方形的面积为 1 250 cm2，求长方体包装盒的高；(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 x(单位：cm)，长方体的侧面积为 S(单位：cm2)，求 S 与 x 的函数关系式，并求 x 为何值时，S 的值最大．【答案】解：(1)如图Z3－2，设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为x cm ，则NP ＝2x cm ，DP ＝60－2x2cm ，QM ＝PW ＝2×60－2x 2cm.由题意，得60－2x2×22＝1250.解得x 1＝52，x 2＝552(不符合题意舍去)．答：长方体包装盒的高为52cm.(2)由题意，得S ＝4×2×60－2x 2×x ＝－4x 2＋1202x .∵a ＝－4＜0，∴当x ＝152时，S 有最大值．变式1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．【答案】解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．【小结】可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．题型4 在概率统计中的应用例、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

中考数学复习专题33 探索规律问题-人教版初中九年级全册数学试题

探索规律问题☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015某某）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A ．14B ．15C ．16D ．17 【答案】C ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．（2015某某）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A ．222B ．280C ．286D ．292【答案】D ．【解析】试题分析：设连续搭建三角形x 个，连续搭建正六边形y 个．由题意得，215120166x y x y +++=⎧⎨-=⎩，解得：292286x y =⎧⎨=⎩．故选D ．考点：规律型：图形的变化类．3．（2015荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A ．（31，50）B ．（32，47）C ．（33，46）D ．（34，42）【答案】B．【解析】试题分析：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即(121)10082n n+-≥，解得：1008n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（2015192312-+）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题．4．（2015某某）观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（）A．2531 B．3635 C．47 D．6263【答案】C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．（2015某某市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】B．【解析】试题分析：观察图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…，第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，当n=7时，3×（7+1）=24，故选B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．6．（2015某某）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252【答案】C．【解析】试题分析：∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209，故选C．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．（2015某某市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依次规律，图⑩中黑色正方形的个数是（）A．32 B．29 C．28 D．26【答案】B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163【答案】B．【解析】试题分析：第一个图形正三角形的个数为5，第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，故答案为：161．考点：1．规律型；2．综合题．9．（2015贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（）A．0 B．3 C．4 D．8【答案】B．考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．（2015某某）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A．231π B．210π C．190π D．171π【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得：阴影部分的面积和为：222222 (21)(32) (2019)πππ-+-++-=3π+7π+11π+15π+…+39π=5（3π+39π）=210π．故选B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．11．（2015某某）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．（2015庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）A．（4n﹣13） B．（2n﹣13 C．（4n+13 D．（2n+13）【答案】C．…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，∴An 的横坐标是2n ﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，∵当n 为奇数时，An 的纵坐标是3，当n 为偶数时，An 的纵坐标是3-，∴顶点A2n+1的纵坐标是3，∴△B2nA2n+1B2n+1（n 是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，3）．故选C ．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．13．（2015某某）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x 轴上，点B1，B2，B3…都在直线y x =上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（）A ．（20142，20142）B ．（20152，20152）C ．（20142，20152）D ．（20152，20142）【答案】A ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．（2015某某省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（）A ．（2014，0）B ．（2015，﹣1）C ．（2015，1）D ．（2016，0）【答案】B ．【解析】试题分析：半径为1个单位长度的半圆的周长为：121=2ππ⨯⨯，∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，∴点P1秒走12个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为（4，0），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为（5，1），当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为（6，0），…，∵2015÷4=503…3，∴A2015的坐标是（2015，﹣1），故选B ．考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．（2015某某）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：5323+=，119733++=，1917151343+++=，…按此规律，若3m 分裂后其中有一个奇数是2015，则m 的值是（）A ．46B ．45C ．44D ．43【答案】B ．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．16．（2015某某）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π【答案】D ．【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是：0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，2015÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型．17．（2015威海）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b+=++；33223()33a b a a b ab b+=+++；4432234()464a b a a b a b ab b+=++++；554322345 ()510105a b a a b a b a b ab b+=+++++；…请你猜想10()a b+的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．（2015某某）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A2处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015，到BC 的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（）A ．201521B ．201421C ．2015211-D ．2014212-【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规律型；5．综合题．20．（2015某某）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3； 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．【解析】试题分析：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．考点：规律型：数字的变化类．21．（2015某某）将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行，第b 列，则a+b= ．【答案】147．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题． 22．（2015某某）若1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若122015...m m m +++=1525，222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，则1m ，2m ，…，2015m 中为2的个数是．【答案】510．【解析】试题分析：∵1m ，2m ，…，2015m 是从0，1，2这三个数中取值的一列数，∴2(1)i m -的值只能是1或0，∵222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，∴1m ，2m ，…，2015m 中值为1的个数为：2015－1510=505，∵222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=，∴2221122201520152121 (211510)m m m m m m -++-+++-+=， ∴222122015122015...2(...)20151510m m m m m m +++-++++=，∵122015...m m m +++=1525，∴222122015...m m m +++=2545，∵222122015...m m m +++=2545，200=，211=，224=，∴1m ，2m ，…，2015m 中值为2的个数为：（2545－505）÷4=510．故答案为：510．考点：1．规律型：数字的变化类；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．23．（2015某某）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n 行有个点．【答案】1321n -⨯-或（1221n n -+-）．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．24．（2015某某）如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由个圆组成．【答案】51．【解析】试题分析：根据图形可得第n个图形一定有n排，最上边的一排有n个，下边的每排比上边的一排多1个，故第⑥个图形中圆的个数是：6+7+8+9+10+11=51．故答案为：51．考点：规律型：图形的变化类．25．（2015某某）观察下列砌钢管的横截面图：则第n个图的钢管数是（用含n的式子表示）【答案】23322n n+．考点：1．规律型：图形的变化类；2．规律型；3．综合题．26．（2015某某）如图，直线22y x=-+与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，Pn﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，用S1，S2，S3，…，Sn﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面积，则当n=2015时，S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．【答案】1007 2015．【解析】试题分析：∵P1，P2，P3，…，Pn﹣1是x轴上的点，且OP1=P1P2=P2P3=…=Pn﹣2Pn﹣1=1 n，分别过点p1、p2、p3、…、pn﹣2、pn﹣1作x轴的垂线交直线22y x=-+于点T1，T2，T3，…，Tn﹣1，∴T1的横坐标为：1n，纵坐标为：22n-，∴S1=112(2)2n n⨯-=11(1)n n-，同理可得：T2的横坐标为：2n，纵坐标为：42n-，∴S2=12(1)n n-，T3的横坐标为：3n，纵坐标为：62n-，S3=13(1)n n-，…Sn﹣1=11 (1)nn n--），∴S1+S2+S3+…+Sn﹣1=11[1(1)]2n nn---=11(1)2nn⨯-=12nn-，∵n=2015，∴S1+S2+S3+…+S2014=11201422015⨯⨯=10072015．故答案为：1007 2015．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．（2015某某）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．【答案】13．…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．考点：1．规律型：图形的变化类；2．数轴；3．综合题．28．（2015某某）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为．【答案】128、21、20、3．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．规律型．29．（2015株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为12bS a =+-，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．【答案】a ，17.5．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．30．（2015内江）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ； 3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） n na b -；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．31．（2015某某）定义：底与腰的比是512-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC 中，AB=BC ，∠C=36°，BA1平分∠ABC 交AC 于A1．（1）2AB =AA1•A C ；（2）探究：△ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a ，作A1B1∥AB 交BC 于B1，B1A2平分∠A1B1C 交AC 于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C 交AC 于A3，作A3B3∥AB 交BC 于B3，…，依此规律操作下去，用含a ，n 的代数式表示An ﹣1An ．（n 为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）【答案】（1）证明见试题解析；（2）△ABC 是黄金等腰三角形；（3）151)2n a +．【解析】试题分析：（1）由角平分线的性质和相似三角形的判定与性质，得到△ABC ∽△AA1B ，从而有1AB ACAA AB =，求出即可；（2）设AC=1，则AB2=1﹣AB ，求出AB 的值，进而得出ABAC =512-，即可得出结论；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．（3）由（2）得；当AC=a ，则AA1=AC ﹣A1C=AC ﹣AB=a ﹣AB=512a a --=251()2a -，同理可得：A1A2=A1C ﹣A1B1=AC ﹣AA1﹣A1B1=215151)22a a A C --=22515151()[()]222a a a a ---=351)2a ；故An ﹣1An=151()2n a +．考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．32．（2015六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．【答案】6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．试题解析：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；名称及图形三角形数正方形数五边形数六边形数几何点数层数第一层几何点数 1 1 1 1第二层几何点数 2 3 4 5第三层几何点数 3 5 7 9……………第六层几何点数 6 11 16 21……………第n层几何点数n 2n﹣1 3n﹣2 4n﹣3故答案为：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．33．（2015某某市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x （1≤x≤4，x为自然数）．【解析】试题分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：abcd，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义；4．综合题；5．压轴题．【2014年题组】1．（2014年某某中考）如图，将1、2、3三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（）6B．3C．2 D． 1A．【答案】B．【解析】试题分析：每三个数一循环，1、2、3，（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30个,303,（2014，÷3=10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，即（8，2）表示的数是2014）在数列中是第（1+2014）×2014÷2=2029105个，2029105÷3=676368……1,（2014，3×1=3, 2014）表示的数正好是第676369轮的一个数，即（2014，2014）表示的数是1,故选B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．算术平方根．2．（2014年株洲中考）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33） D．（99，34）【答案】C．考点：1．坐标确定位置；2．规律型：点的坐标．3．（2014年某某中考）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，……An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A ．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n-1）=n-1．故选B．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．（2014年崇左中考）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）【答案】D．考点：1．探索规律题（图形的变化类型----循环问题）；2．点的坐标．5．（2014年某某中考）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，……由以上规律可以得出第n 个等式为．【答案】（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．【解析】试题分析：通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数,第n 个等式为：（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．故答案为：（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n ．考点：规律型问题．6．（2014年某某中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点0M 的坐标为()10，，将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45，再将其延长至点1M ，使得100M M OM ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45，再将其延长至点2M ，使得211M M OM ⊥，得到线段2OM ；如此下去，得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律，请直接写出线段2014OM 的长度为．【答案】2014(2)．考点：等腰直角三角形的性质．7．（2014年某某中考）如图，已知CO1是△ABC 的中线，过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3，……，如此继续，可以依次得到点O4，O5，……，On 和点E4，E5，……，En ．则OnEn= AC ．（用含n 的代数式表示）【答案】11n +．【解析】试题分析：∵O1E1∥AC ，∴△BO1E1∽△BAC ，∴111BO O E BA AC =，∵CO1是△ABC 的中线，∴11112BO O E BA AC ==,∵O1E1∥AC ，∴△O2O1E1∽△ACO2，∴1121212O E O E AC O A ==，由O2E2∥AC ，可得：1222113E O O E AE AC ==,……，可得：OnEn=11n +AC ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．（2014年资阳中考）如图，以O （0，0）、A （2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3，……，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是【答案】（6332，213）．考点：规律题．9．（2014年某某中考）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值．（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．【答案】（1）S=3，N=1，L=6；（2）100．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．（2014年凉山中考）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+……3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第n项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n=12n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12n（n+1）下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12n（n+1）整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．【答案】（1）600；（2）24．试题解析：（1）由题意可得：12n（n+1）=600，整理得n2+n﹣1200=0，此方程无正整数解,∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600．（2）由题意可得：2+4+6+……+2n=2（1+2+3+……+n）=2×12n（n+1）= n（n+1）,依题意，得n（n+1）=600，整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，∴n1=﹣25，n2=24．∵n为正整数，∴n=24．∴n的值是24．考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用．☞考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题．【例1】一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，……，按此规律第n个数为【答案】1(1) (1)2nn n---．考点：规律型．归纳2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．【例2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= （用含字母x和n的代数式表示）．【答案】)21(21n xn x-+．考点：规律型．归纳3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．【例3】如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为．【答案】n2+2．【解析】第1个图形中点的个数为3；第2个图形中点的个数为3+3；第3个图形中点的个数为3+3+5；第4个图形中点的个数为3+3+5+7；……第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+……+（2n﹣1）=n2+2．故答案为：n2+2．考点：规律型．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．【例4】如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；……，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= ．【答案】1342+6722．考点：规律型．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．【例5】如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，……，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1，P2，P3，P4，……Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，……，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，……，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，……，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，……，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．【答案】12(1)n n ．考点：规律型．☞1年模拟1．（2015届某某省某某市平阴县中考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．例如：点A1的坐标为（3，1），则点A2的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015的坐标为（）A．（-b+1，a+1） B．（-a，-b+2）C．（b-1，-a+1） D．（a，b）【答案】B．【解析】试题分析：∵点A1的坐标为（a，b），∴A2（-b+1，a+1），A3（-a，-b+2），A4（b-1，-a+1），A5（a，b），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2015÷4=503余3，∴点A2015的坐标与A3的坐标相同，为（-a，-b+2）；故选B．考点：规律型：点的坐标．2．（2015届某某省潍坊市昌乐县中考一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图 A2多出“树枝”（）A．32 B．56 C．60 D．64【答案】C．考点：规律型：图形的变化类．3．（2015届某某省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnDn．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnDn面积为．A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ 【答案】A ．③根据中位线的性质易知，A7B7═21A5B5=41A3B3=81A1B1=161AC ，B7C7=21B5C5=41B3C3=81B1C1=161BD ，∴四边形A7B7C7D7的周长是2×161（a+b ）=8b a +，故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，∴S 四边形ABCD=ab ÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnDn 的面积是12+n ab，故④错误；综上所述，①②③正确．故选A ．考点：1．规律型；2．中点四边形．。

重难点填空压轴题(代数篇)(学生版)--2024年中考数学二轮复习

重难点填空压轴题(代数篇)目录题型01 求值类类型一代数式求值类型二方程、不等式求值类型三函数求值题型02 规律探究类类型四数字规律探究类型五图形规律探究类型六函数规律探究题型03 函数最值类类型七一次函数的最值问题类型八二次函数的最值问题类型九反比例函数与其它函数的最值问题题型04 函数临界点类类型十一次函数的最值问题类型十一二次函数的最值问题类型十二反比例函数的最值问题题型01求值类类型一代数式求值1已知，a+b=x+y=2，ax+by=5，则a2+b2=xy+ab x2+y22如图，正方形ABCD内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形ABCD的边长为．(用含S的式子表示)3若a <112011+12012+12013+12014+12015<a +1，则自然数a =．4下列说法正确的有．(选序号)①若(x -1)x -1=1，则满足条件x 的值有3个．②若x =32m -2，y =3-9m ，则用含x 的代数式表示y 为y =-9x +3．③已知(x -20)2+(x -28)2=100，则(x -24)2的值是34．④1，2，3，⋯，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个．5四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =8，m =0.5(a +b +c )．(1)若c =2，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；(2)若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“佳佳数”．如：532，因为5=3+2，所以532是“佳佳数”；又如，432，因为4≠3+2，所以432不是“佳佳数”．已知M 是一个“佳佳数”，则M 最大值是；交换M 的百位数字与十位数字得到一个新三位数N ，在N 的末位数字后加2得到一个新的四位数P ，在M 的十位数字与个位数字之间添加M 的十位数字得到一个新四位数Q ，若Q -P 能被7整除，则满足以上条件的“佳佳数”的最大值为．6若一个四位自然数M ，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于M 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：4952，满足5+2 2=49；若一个四位自然数N ，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于N 的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：7239，满足92-32=72；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是．如果一个“和数”M 与一个“差数”N 的个位数字均为a 、十位数字均为b ，且F M ,N =M +N +18a -22811，若F M ,N 为整数时，记G M ,N =aba +b，则G M ,N 的最大值是．7对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k 倍(k 为整数)，则称M 为“k 阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为m 1，去掉百位数字后剩余的两位数为m 2，规定F M =m 1+5m 2，则最大的“4阶比例中项数”是；若N =100m +10n +1(其中1≤m ≤4，2≤n ≤8，m ，n 均为正整数)是一个“k 阶比例中项数”，且F N 能被8除余3，则满足条件的N 之和是．类型二方程、不等式求值8已知方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=3，则方程组2a1x-1+3b1y+1=6c12a2x-1+3b2y+1=6c2的解为．9如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为F A；若M=10020+10000a+ 2010b+100c+d为“星星数”，N=10000a+1000b+10c+512+d为“月亮数”(其中1≤a≤8，0≤b≤4，0≤c≤8，0≤d≤7，且a，b，c，d为整数)，则a+2b+d的值为；在此条件下，若F M+F N 的值能被13整除，则满足条件的M的值为．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有a⊕b=a+3b 2．(1)若a=-2，b=6，则a⊕b的立方根是；(2)若不等式4⊕x≥5成立，则该不等式的解集是．10关于x的一元一次不等式组x-32≥2x+13-32x-m>5至少有3个整数解，且关于y的分式方程myy-2+2=-3y2-y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．11(2024·浙江宁波·模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个根x1，x2，且满足1<x1<x2<2．记t=a+b，则t的取值范围是．12已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数)，且6<c-a<7，k<b<k+1(k为正整数)为正整数．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1，p2，p3⋯，p m；在点B与点C之间的所有整数分别记为q1，q2，q3，⋯，q n．若p21+p22+p23+⋯+p2n=q21+q22+q23 +⋯+q2n，则k的值为．13如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts t>0．(1)当t=s时，PB=4；(2)若点P表示的数是x，当2x+4+2x-6的值最小时，则t的取值范围是．14已知a，b，c为正整数，且a>b>c若b+c，a+c，a+b是三个连续正整数的平方，则a2+b2+c2的最小值为．15如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x-2024|-p|=-q始终存在四个不同的实数解，则p+q |p+q|+p-q|p-q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为．16已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米．正方形的边长为13厘米，起始状态如下图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=60时，t=．类型三函数求值17如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 在双曲线y =3x上，且0<x 1<x 2，分别过点A ，点B 作x 轴的平行线，与双曲线y =9x 分别交于点C ，点D ．若△AOB 的面积为94，则ACBD的值为．18如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，B -6,0 ，CB 与y 轴交于点D ，CD BD=14，点C 在反比例函数y =kxx >0 的图象上，且x 轴平分∠ABC ，则k 的值为．19如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点P m ,-14m 2+12m +2 ，定点A 4,0 、B 0,2 ，连结AB ．(1)点A 是否在点P 的运动路径上：；(填“是”或“否”)(2)若点P 只是在第一象限内运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，当PQ 取得最大值时，点P 的坐标是．20如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x =AD ，y =AE +CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点0,2．则：(1)BC=．(2)y关于x的函数图象的最低点的横坐标是．21(2024·浙江宁波·一模)如图，点A为反比例函数y=k1x(x>0)上一点，连结AO并延长交反比例函数y=k2x(x<0)于点B，且k2=9k1．点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若ACAE=4，SΔCOB=10，则△COF的面积为．22如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A，OA=2，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数的图象于点A₁；过点A₁作A₁B₁⊥A₁B，交x轴于点B₁；再作B1A2∥BA1，交反比例函数的图象于点A₂，依次进行下去⋯根据以上信息，解答下列问题．(1)k的值为．(2)点A101的横坐标为．23给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M x,y在反比例函数y1=1x上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A2,t关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是．24(2023·浙江温州·三模)如图1，为世界最大跨度铁路拱桥--贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA=400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，GH都与x轴垂直，BN∥OA，BC=120m，HF=40m，若F，G，O和B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD =，以及EFAB=．25如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以3cm/s的速度沿射线AC匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在PQ的右侧作△PQH，且QH⊥AB，点H在射线AB上．设点P的运动时间为t(s)．△PQH与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2)，则当t=(s)时S最大；当t=(s)时S的值为38cm2．26一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：下列结论中一定正确的是(填序号即可)．①当n>0时，k<0；②当y的值随x值的增大而增大时，n<0；③当S△AOB=9时，n=-5或n=7；④当k<0时，直线AB与y轴相交于点C，则OC=3n+6 4．题型02规律探究类类型四数字规律探究27将实数-1,2,-3,4,-5⋅⋅⋅按图所示方式排列．若用m,n表示第m排从左向右第n个数，则4,3与23,20 表示的两数之和是．28小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下：①从左至右按从小到大的顺序排列：②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是．29将正偶数按下表排列5列：第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224⋯⋯2826根据上面规律，则2000应在．30下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为．142638⋯a 1829320435bx31我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”．如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，⋯，12n 的长方形彩色纸片(n 为大于1的整数)，运用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，可计算出12+14+18+⋯+12100=．32定义一种对正整数n 的“F 运算”：(1)当n 为奇数时，结果为3n +5；(2)当n 为偶数时，结果为n 2k(其中k 是使n2k为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如，取n =30，则：若n =420，则第2023次“F 运算”的结果是．33记S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为a 1,a 2,⋯,a n 这数列的“理想数”．已知a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为2505，那么24，a 1,a 2,⋯,a 500的“理想数”为．34观察下列算式：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；⋯⋯．用你所发现的规律，化简：(n +12)(n +13)(2n +25)6-(n +10)(n +11)(2n +21)6=(n 为正整数)．35斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若斐波那契数列中的第n 个数记为a n ，则1+a 3+a 5+a 7+a 9+⋅⋅⋅+a 2021与斐波那契数列中的第个数相同．类型五图形规律探究36如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为．37如图，图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为．38如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为a 1，第2幅图形中“•”的个数为a 2，第3幅图形中“•”的个数为a 3，以此类推，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 18的值为.39如图，第一个正方形后，是用大小相等的小正方形拼成的大正方形，若第n 个、第m 个图形中正方形的个数分别记为S m 、S n ，m -n =a ，1<a <5，(-3)a <S m -S n <(-5)a ，则满足条件的所有n 值的和为．类型六函数规律探究40如图，在平面直角坐标系中，A 1,0 ，D 0,2 ，第1个正方形ABCD 面积记为S 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 面积记为S 2，第3个正方形A 2B 2C 2C 1面积记为S 3，，以此规律，则第2023个正方形的面积S 2023=．41如图所示，已知直线与x 、y 轴交于B 、C 两点，A 0,0 ，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，⋯则第n 个等边三角形的边长等于．42如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1与点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1与点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 3；⋯按照这样的规律继续作下去，若OA 1=1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为．43如图，已知点A 1，A 2，，A 2020在函数y =x 2位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，，B 2020在函数y =x 2位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，，C 2020在y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1、C 1A 2C 2B 2，，C 2021A 2022C 2022B 2022都是正方形，则正方形C 2021A 2022C 2022B 2022的对角线长为．44如图所示，抛物线y =x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，将抛物线y =x 2沿直线l ：y =x 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，⋯，M n 都在直线y =x 上；②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，则顶点M 2021的坐标为．45如图，在函数y=4xx>0的图象上有点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，点P1的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点P1、P2、P3、⋯，P n，P n+1，分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3、⋯，S n，则S n=．(用含n的代数式表示)46如图，点A1，A2，A3⋯在反比例函数y=1xx>0的图象上，点B1，B2，B3，⋯B n在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=⋯，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3⋯，则B n(n为正整数)的坐标是．题型03函数最值类类型七一次函数的最值问题47如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段AB的中点．若动点C在x轴上，连接BC，以BC为直角边，点B为直角顶点作等腰直角△BCD，连接DP，则DP长度的最小值是．48如图，直线y=3x+3分别交x轴、y轴于点B、A，点M在x轴，将AM绕点A按逆时针旋转60°得到AN，连接BN，则BN的最小值为．49直线y=x+3与y轴和x轴分别交于A、B两点，点C是OB的三等分点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是．50在平面直角坐标系中，A2,0，C在直线y=x上运动，存在一点P，满足∠POA+∠OPA，B3,0OP的最小值为．=∠APB，则CP+1351已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为-1，如果△ABC为直角三角形，那么△ABC的面积的最大值为．类型八二次函数的最值问题52(23-24九年级上·浙江·期末)已知Rt△ABC的直角顶点C与原点O重合，点A，B都落在抛物线y=4x2上，则AB与y轴的交点为；若OD⊥AB于点D，则点D到点1,0的最大距离为．53已知关于x的二次函数y=-x-k2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为．54(2024·浙江杭州·模拟预测)若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，面积的最小值为．55如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则PA+PO的最小值是．56(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，抛物线y=x2-2x-3与轴交于两点，抛物线的顶点为，点为AB的中点，以为圆心，长为半径在轴的上方作一个半圆，点为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为．类型九反比例函数与其它函数的最值问题57如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图像相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为4，8．(1)k的值是；(2)将点A沿x轴正方向平移个单位长度得到点C，连接并延长交x轴正半轴于点D，则的最大值是．58如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．线段的中点在反比例函数的图象上．若一次函数的图象与的图象有且只有一个第三象限的公共点，且与轴、轴分别交于、两点，试求出四边形的面积最小为．59如图，曲线是二次函数y=-x2+6x+3图像的一部分(其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点)，曲线是反比例函数()图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则；若点和是波浪线上的点，则的最大值为．60如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为．类型十一一次函数的最值问题61如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域(不有6个整点时，m的取值范围是．62在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．63把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是．64如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么△AOB内(含边界)的整点共有个．65某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是．类型十二二次函数的最值问题66若抛物线y=x2-x+m与轴交于不同的两点、，且，则的取值范围是．67已知点，，若抛物线y=ax2-2ax+4a≠0与线段恰有一个公共点，则a 的取值范围为．68(23-24九年级上·浙江金华·期末)定义：若x，y满足：，(k为常数)且x≠y，则称点为“好点”．(1)若是“好点”，则．(2)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围为．69如图函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0图象是由函数y=ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0的图像x轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是．；将图像向上平移个单位后与直线有个交点．70在平面直角坐标系中，为抛物线y=x2+4x+2上一点，为平面上一点，且位于点右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段与抛物线有两个交点，则的取值范围是．类型十三反比例函数的最值问题71在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”．例如都是“黎点”．(1)当时，双曲线上的“黎点”为；(2)若抛物线(为常数)上有且只有一个“黎点”，则当时，的取值范围为．72定义新运算：，即的取值为a，b，c的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为．73对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和直线m ，给出如下定义：若图形M 上有点到直线m 的距离为d ，那么称这个点为图形M 到直线m 的“d 距点”．如图，双曲线C ：y =4x(x >0)和直线l ：y =-x +n ，若图形C 到直线l 的“2距点”只有2个，则n 的取值范围是．74如图是6个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角和凹入的角的顶点记作(为的整数)．函数的图象为．()若过点，则．()若过，则一定过另一点，则．()若使得这些点分布在它的两侧，且一侧个点一侧个点，请写出符合要求的的所有整数值：．75定义：在平面直角坐标系xOy 中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n 阶积点”．例如，点为一次函数y =-32x +3图象的“92阶积点”．若y 关于x的一次函数y =nx +4n -6图象的“n 阶积点”恰好有3个，则n 的值为．76定义：平面直角坐标系xOy 中，点，点，若，，其中k 为常数，且k≠0，则称点是点的“k 级变换点”．例如，点-2,4 是点1,2 的“-2级变换点”．(1)若函数y =-4x的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”，则k 的值为；(2)若关于x 的二次函数y =nx 2-4nx -5n (x ≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是．77如图，在第一象限，反比例函数y =k 1x x >0 和y =k 2x x >0 的图象分别与直线l :y =25x 交于点，，过点A ，B 分别作轴，轴，垂足分别为C ，D ．(1)①k 1的值为．②图中阴影部分的面积为．(2)已知反比例函数y =m x x >0 的图象与直线l :y =25x 交于点，与抛物线y =-x 2+992x 交于点，，将点M ，N 之间的抛物线(不含端点)记为图象G ，则图象G 上的整点(横、纵坐标都是整数的点)有个．78定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，则；(3)若y 关于x 的二次函数图象的“n 阶方点”一定存在，则n 的取值范围为．。

2024中考压轴题06 规律探究(4题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)

压轴题解题模板06规律探究目录题型一周期型题型二递推型题型三固定累加型题型四渐变累加型图形的规律探索题型一周期型【例1】（2023·广东江门·一模）现有四条公共端点为O 的射线OA 、OB 、OC 、OD ，若点1P ，2P ，3P ，……按如图所示的规律排列，则点2023P 应该落在（）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上【变式1-1】（2023·新疆克孜勒苏·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A 点出发，沿着A →B →C →D →A …循环爬行，其中A 点坐标为()1,1-，B 点坐标为()1,1--，C 点坐标为()1,3-，当蚂蚁爬了2017个单位时，它所处位置的坐标为（）A ．()1,1B ．()1,0C ．()0,1D ．()0,1-【变式1-2】已知11a x =-（1x ≠，2x ≠），2111a a =-，3211a a =-，…，111n n a a -=-，则2023a =（）A ．21xx-- B ．12x- C ．1x - D ．1x -【变式1-3】有一个数字游戏，第一步：取一个自然数14n =，计算()1131n n ⋅+得1a ，第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算()2231n n ⋅+得2a ，第三步算出2a 的各位数字之和得3n ，计算()3331n n ⋅+得3a ；以此类推，则2022a 的值为（） A ．7B ．52C ．154D ．310题型二递推型【例2】（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子 21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律， 2n =．【变式2-1】（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【变式2-2】（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，123A A A △，345A A A △，567A A A ，789A A A △…都是等边三角形，且点1A ，3A ，5A ，7A ，9A 坐标分别是()13,0A ，()32,0A ，()54,0A ，()71,0A ，()95,0A ，依据图形所反映的规律，则2023A 的坐标是（）A ．()509,0B ．()508,0C ．()503,0-D ．()505,0-【变式2-3】（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，1OA =，将OA 绕点O 顺时针旋转45︒到1OA ，扫过的面积记为1S ，121⊥A A OA 交x 轴于点2A ；将2OA 绕点O 顺时针旋转45︒到3OA ，扫过的面积记为2S ，343A A OA ⊥交y 轴于点4A ；将4OA 绕点O 顺时针旋转45︒到5OA 扫过的面积记为3S ；⋯；按此规律，则2023S为（）A ．20192πB ．20202πC ．20212πD ．20222π题型三固定累加型【例3】（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【变式3-1】（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第①个图案用了14根木棍，第①个图案用了19根木棍，第①个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【变式3-2】（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【变式3-3】（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．题型四渐变累加型【例4】（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为1a ，第2幅图形中“●”的个数为2a ，第3幅图形中“●”的个数为3a ，…，以此类推，那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760【变式4-1】（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第①个图案中有5个圆圈，第①个图案中有8个圆圈，第①个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A ．14B ．20C ．23D ．26【变式4-2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【变式4-3】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．一、单选题1．（2023·云南红河·一模）如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n 个图形中小五角星的个数为（）A ．21n +B ． 21n -C ．21n -D ．21n2．（2023·云南玉溪·一模）观察下列一组数：23，45，67，89，1011，⋯，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是（） A ．1n n- B ．221nn - C ．221nn + D ．12n n ++3．（2023·广东肇庆·三模）用黑色和白色的正方形的卡片按照如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始，每个图案都比前一个图案多3个黑色正方形．若第n 个图案中黑色正方形的个数为55，则n 的值为（）A ．17B ．18C ．19D ．204．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）按一定规律排列的单项式：a ，22a -，34a ，48a -，516a ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第n 个单项式是（） A ．()12n n a -- B ．2n a -C ．()2nn a -D ．()112n n a ---5．（23-24七年级上·河南新乡·期中）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第①个图案中有6个黑色圆点，第①个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色圆点的个数为（）A ．12B ．14C ．16D ．186．（2023·河南安阳·一模）如图，将数列排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为（） A ．119 B ．－121 C ．－117 D ．1237．（2023·浙江衢州·一模）观察下列数据：0，3，8，15，24，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（） A ．40400 B ．40040 C ．4040 D ．4048．（2023·云南昭通·三模）按一定规律得列的单项式；2345,3,5,7,9a a a a a ，…，按照上述规律，第n 个单项式为（） A ．n na B ．()21nn a -C ．()21nn a +D ．2n na9．（19-20七年级上·四川达州·期末）探索规律：观察下面的一列单项式：x 、22x -、34x 、48x -、516x 、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（） A ．9256x B ．9256x -C ．8512x -D ．9512x10．（2023·重庆巴南·一模）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第①个图形有8颗棋子，第①个图形有13颗棋子，……，则第①个图形中棋子的颗数为（）A ．36B ．40C ．49D ．5311．（2023·重庆渝中·二模）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（）·A ．8092B ．8093C ．4046D ．404712．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，11OA OB =，11120AOB ∠=︒，将11AOB △绕点O 顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120︒的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形22A OB ，点1(1,0)A 的对应点为(21,A -；第二次变化后得到等腰三角形33A OB ，点2A 的对应点为332A ⎛- ⎝⎭；第三次变化后得到等腰三角形44A OB ，点3A 的对应点为4(4,0)A ……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点2023B 的坐标是（）A ．(20212,2--B ．(20212,2-C ．2023,2⎛- ⎝⎭D ．20232⎛- ⎝⎭二、填空题13．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第1个图形中有2个三角形，第2个图形中有5个三角形，第①个图形中有10个三角形，第①个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第①个图形中三角形的个数为．14．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是．15．（2023·山西忻州·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个三角形和8个正方形，第（3）个图案有16个三角形和12个正方形，…，依此规律，第()n个图案中三角形和正方形的总个数为个．（用含n的式子表示）（1）（2）（3）。

中考数学专题3《规律探究》总复习课件ppt

题型1
题型2
题型3
题型2 图形变化类规律探究典例2 (2016· 马鞍山五校联考)如图,一个3×2的矩形(即长为3,宽为2)可以用两种不同方式分割成3个或6个边长是正整数的小正方形,即:小正方形的个数最多是6个,最少是3个.
(1)一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个,最少是个; (2)一个7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最多是个,最少是个;
题型1
题型2
题型3
【解析】本题考查探究图形的变化规律,找出图形的变化规律是解题的关键.(1)一个5×2的矩形最少可分成4个正方形,最多可分成10 个正方形;(2)一个7×2的矩形最少可分成5个正方形,最多可分成14 个正方形;(3)第一个图形:是一个3×2的矩形,最少可分成1+2个正方形,最多可分成3×2个正方形;第二个图形:是一个5×2的矩形,最少可分成2+2个正方形,最多可分成5×2个正方形;第三个图形:是一个7×2的矩形,最少可分成3+2个正方形,最多可分成7×2个正方形;…;第n个图形:是一个(2n+1)×2的矩形,最少可分成n+2个正方形,最多可分成2(2n+1)=4n+2个正方形. 【答案】 (1)10,4;(2)14,5;(3)4n+2,n+2.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
2.(2016· 湖南衡阳)如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4 条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为 10 .

中考数学复习专题讲座探究型问题(含详细参考答案)

中考数学复习专题讲座探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2015•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

中考数学复习压轴题冲刺 填空压轴题 第三讲：规律探究类(下)数形结合