2014年高考数学模拟试题及答案四
湖北省襄阳四中2014届高三高考仿真模拟考试 数学文试题A卷 Word版含答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（湖北卷）数学 （文史类）本试题卷共6页，共22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是A ．,sin 1x R x ∃∈> B. ,sin 1x R x ∃∈≥ C ．,sin 1x R x ∀∈≥D ．,sin 1x R x ∀∈>2．已知集合(){}N x x x x A ∈<-=,05，{}R x x x x B ∈=+-=,0232，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知,a b R ∈，则“222a b +<”是 “1ab <”的A ．必要而不充分条件B ．充要条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．图l 是某县参加2014年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为104321,,,,,A A A A A Λ (如2A 表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm ，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9<iB ． 8<iC ． 7<iD ． 6<i5．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若a ，b ，c 成等差数列，且B A sin 3sin 5=,则角C 为A.3π B. 6π C. 32π D. 65π6．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于A ．3B ．23C ．33D ．637．如图，点P 是球O 的直径AB 上的动点，x PA =，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则()x f y =的图像是A. B. C. D.8．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有四个奖励模型：x y 41=，1lg +=x y ，x y )23(=，x y =，其中能符合公司要求的模型是 A ．x y 41= B ．1lg +=x y C ．xy )23(= D ．x y =9．设1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足||||212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则该双曲线的渐近线方程为A.043=±y xB.034=±y xC.053=±y xD.045=±y x10．若曲线21:x y C =与曲线)0(:2>=a ae y C x存在公共切线，则a 的取值范围是A ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,82e B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛28,0e C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,42e D. ⎥⎦⎤⎝⎛24,0e二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11．已知m R ∈，复数112m i i +-+的实部和虚部相等，则m = ． 12．若存在实数x 使31≤-+-x a x 成立，则实数a 的取值范围是 ．13．已知实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则y x -的最大值为 ．14．已知函数()x g 是R 上的奇函数，且当0x <时，()()ln 1g x x =--，函数()()()()3,0,0x x f x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是 .15．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 条. 16．已知ABC AB AC k AB Z k ∆≤==∈则若,4||),4,2(),1,(,是直角三角形的概率是 ． 17．如图，我们知道，圆环也可看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积22)()(22rR r R r R S +⨯⨯-=-=ππ.所以，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22rR +⨯π为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域d)r 0}()(|),{(222<<≤+-=其中r y d x y x M 绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 ．(结果用r d ,表示)三．解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014年江苏高考数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（Ⅰ）一、填空题1.已知集合{}2,1,3,4A =--，{1,2,3B =-2.已知复数2(52)Z i =-（i 为虚数单位）3.右图是一个算法流程图，则输出的n4.从1,2,3,6这四个数中一次随机地取为 。
5.已知函数cos y x =与函数sin(2y x φ=+点，则ϕ的值是 。
6.某种树木的底部周长的取值范围是[直方图如图所示，则在抽测的60的底部周长小于100 cm..7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2a 8642a a a =+，则6a 的值是 。
8.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S =，则12VV 的值是 。
9.在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 。
10.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 。
11. 在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += 。
底部周长 cm第6题图12.如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 。
13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 。
14.若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 。
二、简答题 15.（14分）已知sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，。
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (4)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
湖北省襄阳四中2014届高考数学仿真模拟考试A卷 理 新人教A版
2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（湖北卷）数学 （理工类）本试卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（ ）A 、00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈>D 、00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>2、一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．是（ ）3、已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰-=+22201520134，则)2(2016201420122014a a a a ++的值为（ ）A 、2πB 、π2C 、 πD 、24π4、下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )A 、4-B 、7-C 、10-D 、13-5、已知(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(7,5,)c λ=，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于（ ）A 、762 B 、763C 、764 D 、765 6、将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 （ ）A 、41π- B 、412π-C 、12D 、2π7、函数由下表定义x2 53 14 ()f x12345若015,(),0,1,2,...n n a a f a n +===，则2014a =（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、 58、为了有效管理学生迟到问题，某校专对各班迟到现象制定了相应的等级标准，其中D 级标准为“连续10天，每天迟到不超过7人”根据过去10天1、2、3、4班的迟到数据，一定符合D 级标准的是（ ）A 、1班：总体平均值为3，中位数为4B 、2班：总体平均值为1，总体方差大于0x=x-3是 开始S =0 x =2 输出x 结束S =S +x20-≤S 否C 、3班：中位数为2，众数为3D 、4 班：总体平均值为2，总体方差为3 9、设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） 个。
数学_2014年山东省高考数学模拟试卷(四)(文科)_(含答案)
2014年山东省高考数学模拟试卷（四）（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={x|x 2=n, n ∈A}，则A ∩B =( ) A {1, 4} B {−1, 1} C {1, 2} D ⌀2. 复数z =i(−2−i)（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 已知命题：p ：“∀x ∈[1, 2]，x 2−a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0”，若命题“¬p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A a ≤−1或a =1B a ≤−1或1≤a ≤2C a ≥1D a >1 4. “(2x −1)x ＝0”是“x ＝0”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 5. 若曲线C 1:x 2+y 2−2x =0与曲线C 2:y(y −mx −m)=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( ) A (−√33, √33) B (−√33, 0)∪(0, √33) C [−√33, √33] D (−∞, −√33)∪(√33, +∞)6. 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为√2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A √32 B 1 C√2+12D √2 7. 将函数f(x)=2sin(2x +π4)的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x =π4对称，则φ的最小正值为（ ）A 18πB 38πC 34πD 12π8. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x +2)=−f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=12x ，则使f(x)=−12的x 的值是（ ）A 2n(n ∈Z)B 2n −1(n ∈Z)C 4n +1(n ∈Z)D 4n −1(n ∈Z)9. 设函数f(x)＝e x +x −2，g(x)＝lnx +x 2−3．若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则（ ）A g(a)<0<f(b)B f(b)<0<g(a)C 0<g(a)<f(b)D f(b)<g(a)<0 10. 已知函数f(x)={−x 2−2x +a(x <0)f(x −1)(x ≥0)，且函数y =f(x)−x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A (0, +∞)B [−1, 0)C [−1, +∞)D [−2, +∞)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 观察等式：11×2+12×3=23，11×2+12×3+13×4=34，根据以上规律，写出第四个等式为：________．12. 在△ABC 中，|AB →|˙=1，|BA →|˙=2，则AB 边的长度为________．13. 各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7=4，a 6=8，若函数f(x)=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+...+a 10x 10的导数为f′(x)，则f′(12)=________．14. 设m ≥2，点P(x, y)为{y ≥xy ≤mx x +y ≤1所表示的平面区域内任意一点，M(0, −5)，O 坐标原点，f(m)为OP →⋅OM →的最小值，则f(m)的最大值为________． 15. 给出下列四个命题：①命题“∀x ∈R ，cosx >0”的否定是“∃x ∈R ，cosx ≤0”； ②若0<a <1，则函数f(x)=x 2+a x −3只有一个零点； ③函数y =sin(2x −π3)的一个单调增区间是[−π12, 5π12]；④对于任意实数x ，有f(−x)=f(x)，且当x >0时，f′(x)>0，则当x <0时，f′(x)<0． ⑤若m ∈(0, 1]，则函数y =m +3m 的最小值为2√3；其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号都填上）．三、解答题本大题共6小题，共75分． 16. 已知函数f(x)=√2cos(x −π12),x ∈R ． （1）求f(π3)的值；（2）若cosθ=35,θ∈(3π2,2π)，求f(θ−π6)．17. 某校研究性学习小组，为了分析2012年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到2011年和2012年1−5月该国CPI 同比（即当年某月与前一年同月比）的增长数据（见下表），但2012年3，4，5三个月的数据（分别记为x ，y ，z ）没有查到，有的同学清楚记得2012年1−5月的CPI 数据成等差数列． （1）求x ，y ，z 的值；（2）求2012年1−5月该国CPI 数据的方差；（3）一般认为，某月CPI 达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀．现随机的从下表2011年的五个月和2012年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2011年通货膨胀，并且2012年严重通货膨胀的概率．附表：2011年和2012年1−5月CPI 数据（单位：百分点 注：1个百分点=1%）是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A −BCF ，其中BC=√22．（1）证明：DE // 平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=23时，求三棱锥F−DEG的体积V F−DEG．19. 已知等比数列{a n}的前n项和T n=(13)n−a，数列{b n}(b n>0)的首项为b1=a，且其前n项和S n满足S n+S n−1=1+2√S n S n−1(n≥2, n∈N∗)(I)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(II)若数列{1b n b n+1}的前n项和为P n．20. 已知函数f(x)=mx−mx，g(x)=2lnx（1）当m=2时，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）当m=1时，证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根；（3）若x∈(1, e]时，不等式f(x)−g(x)<2恒成立，求实数m的取值范围．21. 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，a+b＝3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m−k为定值．2014年山东省高考数学模拟试卷（四）（文科）答案1. C2. D3. D4. B5. B6. D7. B8. D9. A10. C11. 11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=5612. 313. 55414. −103 15. ①③④16. f(π3)=√2cos(π3−π12)=√2cos(π4)=1∵ cosθ=35，sinθ=−√1−cos2θ=−45，∴ f(θ−π6)=√2cos(θ−π4)=√2(cosθcosπ4+sinθsinπ4)=−15．17. 解：（1）依题意得4.9，5.0，x，y，z成等差数列，所以公差d=5.0−4.9=0.1，故x=5.0+0.1=5.1，y=x+0.1=5.2，z=y+0.1=5.3；（2）由（1）知2012年1∼5月该国CPI的数据为：4.9，5.0，5.1，5.2，5.3，∴ x¯=5.1，∴ s2=15[(4.9−5.1)2+(5.0−5.1)2+(5.1−5.1)2+(5.2−5.1)2+(5.3−5.1)2]=0.02；（3）根据题意，用m表示2011年的数据，n表示2012年的数据，则(m, n)表示随机地从2011年的五个月和2012年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，则所有基本事件有：(2.7, 4.9)，(2.7, 5.0)，(2.7, 5.1)，(2.7, 5.2)，(2.7, 5.3)，(2.4, 4.9)，(2.4, 5.0)，(2.4, 5.1)，(2.4, 5.2)，(2.4, 5.3)，(2.8, 4.9)，(2.8, 5.0)，(2.8, 5.1)，(2.8, 5.2)，(2.8, 5.3)，(3.1, 4.9)，(3.1, 5.0)，(3.1, 5.1)，(3.1, 5.2)，(3.1, 5.3)，(2.9, 4.9)，(2.9, 5.0)，(2.9, 5.1)，(2.9, 5.2)，(2.9, 5.3)；共25个基本事件；其中满足相同月份2011年通货膨胀，并且2012年严重通货膨胀的基本事件有(3.1, 5.0)，(3.1, 5.1)，(3.1, 5.2)，(3.1, 5.3)，有4个基本事件；∴ P=425=0.16，即相同月份2011年通货膨胀，并且2012年严重通货膨胀的概率为0.16．18. 在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴ ADDB =AEEC，在折叠后的三棱锥A−BCF中也成立，∴ DE // BC．又∵ DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴ DE // 平面BCF．在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF①，且BF=CF=12．∵ 在三棱锥A−BCF中，BC=√22，∴ BC2＝BF2+CF2，∴ CF⊥BF②．又∵ BF ∩AF ＝F ，∴ CF ⊥平面ABF ．由（1）可知GE // CF ，结合（2）可得GE ⊥平面DFG ． ∴ V F−DEG =V E−DFG =13⋅12⋅DG ⋅FG ⋅GE =13⋅12⋅13⋅(13⋅√32)⋅13=√3324．19. 解：(1)根据已知条件知：a 1=13−a ，a 2=T 2−T 1=−29，a 3=T 3−T 2=−227，有数列{a n }成等比数列，得a 22=a 1⋅a 3，即481=(13−a)×(−227)，解得a =1， 设数列{a n }的公比为q ，则q =a 2a 1=13，所以 a n =−23×(13)n−1=−2(13)n …S n +S n−1=1+2√S n S n−1，其中n ≥2，n ∈N ∗，又b n >0，得√S n −√S n−1=1，数列{√S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 所以√S n =1+(n −1)×1=n ，所以S n =n 2，当n ≥2，n ∈N ∗时b n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， b 1=1也适合这个公式， 所以b n =2n −1(n ∈N ∗) (2)．由(1)知1b n b n−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，则P n =1b1b 2+1b2b 3+1b3b 4+⋯+1bn b n+1=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．…20. 解：（1）m =2时，f(x)=2x −2x ，f′(x)=2+2x 2，f′(1)=4， 切点坐标为(1, 0)，∴ 切线方程为y =4x −4…（2）m =1时，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x −1x −2lnx ， ℎ′(x)=1+1x 2−2x =(x−1)2x 2≥0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数．… 又ℎ(e)⋅ℎ(1e)=−(1e−e +2)2<0，∴ y =ℎ(x)在(0, +∞)内有且仅有一个零点∴ 在(0, +∞)内f(x)=g(x)有且仅有一个实数根 … （或说明ℎ(1)=0也可以） （3）mx −m x−2lnx <2恒成立，即m(x 2−1)<2x +2xlnx 恒成立，又x 2−1>0，则当x ∈(1, e]时，m <2x+2xlnx x 2−1恒成立，令G(x)=2x+2xlnx x 2−1，只需m 小于G(x)的最小值，G′(x)=−2(x 2lnx+lnx+2)(x 2−1)2，∵ 1<x ≤e ，∴ lnx >0，∴ 当x ∈(1, e]时G ′(x)<0， ∴ G(x)在(1, e]上单调递减， ∴ G(x)在(1, e]的最小值为G(e)=4e e 2−1，则m 的取值范围是(−∞,4ee 2−1)． … 21. 因为e =c a=√32，所以c 2a2=a 2−b 2a 2=34，即a 2＝4b 2，a ＝2b ．又a +b ＝3，得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；证明：因为B(2, 0)，P 不为椭圆顶点，则可设直线BP 的方程为y =k(x −2)(k ≠0,k ≠±12)．联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2−16k 2x +16k 2−4＝0． 所以x P +2=16k 24k 2+1，x P =8k 2−24k 2+1． 则y P =k(8k 2−24k 2+1−2)=−4k4k 2+1．所以P(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．又直线AD 的方程为y =12x +1．联立{y =k(x −2)y =12x +1，解得M(4k+22k−1,4k2k−1)． 由三点D(0, 1)，P(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)，N(x, 0)共线， 得−4k4k 2+1−18k 2−24k 2+1−0=0−1x−0，所以N(4k−22k+1,0)．所以MN 的斜率为m =4k2k−1−04k+22k−1−4k−22k+1=4k(2k+1)2(2k+1)2−2(2k−1)2=2k+14．则2m −k =2k+12−k =12．所以2m −k 为定值12．。
2014年高考数学模拟试题及答案一
2014年高考数学模拟试题及答案一高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）1．已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合()U A B = ð（ ） A ．{}|14x x -≤≤ B ．{}|14x x -<< C ．{}|23x x <≤ D ． {}|23x x <≤ 【解析】 D ；容易解得{3A x x x =>或者}0x <，{}26B x x =<<． 于是()U A B = ð{}23x x <≤．（2）2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人． 为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为 ( )A ． 5B ． 10C ．15D ．50 【解析】 C ；容易知道样本中不超过45岁的人与超过45岁的人数之比为1203802=．于是抽取不超过45岁的职工人数为325155⋅=人．（3）3．已知PA 是O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是O 的直径，PC 交O 于点B ，30PAB ∠= ，则O 的半径为 （ ）PAA ．1B ．2CD ．【解析】 C；30,tan30PAPCA PAB CA ∠=∠===（4）4．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a = （ ） A ．2 B ． 43 C ． 32 D ．12【解析】 A ；不妨设等比数列的公比为q ．由2375213a a a q q ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭知50a >．于是228552a a a a ⋅==⇒=代入上式知22q =2q =而数列单调增，于是2q =42q =．（5）5．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥ D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥【解析】 B ；A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．（6）6．设33,,2x yx y M N P ++===（其中0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为 ( ) A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M << 【解析】 D ；由0x y <<，有2x y+．由指数函数的单调性，有23x y x y P N ++=<==；23332x yx y M N ++=>==．（7）7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60【解析】 C ；不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位． ①当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为33212A =；②当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为33424A =．③当甲位于4号位时，情形与①相同．排法总数为33212A =． 综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．（8）8．设定义在R 上的函数1,(1),1()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于 （ ） A ． 3 B ．2 C ．1b -- D ．c【解析】 A ；易知()f x 的图像关于直线1x =对称．2()()0f x bf x c ++=的解必有一根使()1f x =．不妨设为1x ．23,x x 关于直线1x =对称．于是1233x x x ++=．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）9．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． 【解析】 1-；()()()()223i 1i 1mm m m i m ++=-++．于是有3101m m +=⇒=-．（10）10．若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【解析】 1-；由二项式定理4124311212CC rrr rr r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=．于是有3312C 2201a a =-⇒=-．（11）11．将参数方程12cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化成普通方程为 ．【解析】 ()2214x y -+=；由12cos ,2sin x y θθ-==知()2214x y -+=．（12）12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．【解析】 13，21；依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的值．．（13）13．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,(1),,(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩．≥若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；此时，若2()n T n n *=∈N ，则n b =___________．【解析】 11,2;, 1.nT n T T n ⎧⎪⎨⎪=⎩≥，()221,1;, 2.1n n n n =⎧⎪⎨⎪-⎩≥； 由12....n n T b b b =，知()1211...n n n n n T b b b b T b --==．（14）14．定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x <≤≤时，12()()f x f x ≤，则12010f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________________．【解析】 132；容易知道()11,f =于是()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．而1111112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又由()f x 单调增，知()1,2f x =当1152x ≤≤时．而441111155201052⋅⋅≤≤，4411111522232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是11201032f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，满足sin2A ，且ABC ∆的面积为2．⑴求bc 的值；⑵若6b c +=，求a 的值． 【解析】 ⑴∵sin2A =0πA <<．∴cos 2A =． ∴4sin 2sin cos 225A A A ==．∵1sin 22ABC S bc A ∆==，∴5bc =． --------------------6分⑵∵sin 2A ∴23cos 12sin 25A A =-=．∵5bc =，6b c +=，∴2222cos a b c bc A =+-2()2(1cos )b c bc A =+-+20=∴a = -----------12分（16）16．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，错误！未找到引用源。
2014湖北省襄阳四中高考冲刺模拟试卷数学理试题及答案
2014湖北省襄阳四中高考冲刺模拟试卷数学理试题及答案本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、复数31i z i=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =- D ．复数z 的模1||2z = 2、设全集6{1},{1,2},(){0},1U U x ZM N C M N x =∈≥⋂=⋃=+ (){4,5}U C M N ⋂=，则M =（ ） A ．{1,2,3} B.{1,1,2,3}- C.{1,2} D. {1,1,2}-3、如果满足︒=∠60ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 ( )A ．38=k B.120≤<k C.12≥k D.120≤<k 或38=k4、已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )A.499πB.73πC.283πD.289π 5、如图，在△ABC 中，13AN NC =u u u r u u u r，P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（ ）A ．19 B.13C ．1 D.36、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。
湖北襄阳四中2014届高三高考仿真模拟考试数学(理)试题B卷
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(湖北卷)数学 （理工类）本试卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（ ）A 、00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B 、 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>C 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈>D 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈≥2、一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不．是（ ）3、已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰-=+22201520134，则)2(2016201420122014a a a a ++的值为（ ）A 、πB 、π2C 、 2πD 、24π 4、下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )A 、10-B 、7-C 、4-D 、13-5、已知(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(7,5,)c λ=，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于（ ）A 、765 B 、764C 、 763 D 、762 6、将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 （ ）A 、2πB 、412π-C 、12D 、41π-7、函数由下表定义若01n n +，则2014a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、 58、为了有效管理学生迟到问题，某校专对各班迟到现象制定了相应的等级标准，其中D 级标准为“连续10天，每天迟到不超过7人”根据过去10天1、2、3、4班的迟到数据，一定符合D 级标准的是（ ） A 、1班：总体平均值为3，中位数为4 B 、2班：总体平均值为1，总体方差大于0 C 、3班：中位数为2，众数为3 D 、4 班：总体平均值为2，总体方差为39、设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） 个。
浙江省金华十校2014届高三4月高考模拟考试数学理试题_纯Word版含答案
浙江省金华十校2014届高三4月高考模拟考试数学（理科）试卷2014.4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U={a,b,c,d,e}，M={a,d}，N={a,c,e}，则M∪CUN为A．{c,e} B．{a,b,d} C．{b,d} D．{a,c,d,e}2．已知复数z1=2+i，z2=a-i(a∈R)，z1·z2是实数，则a=A．2 B．3 C．4 D．53．y=f(x)是定义在R上的函数，若a∈R，则“x≠a”是“f(x)≠f(a)”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．关于函数tan23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列说法正确的是A．是奇函数B．最小正周期为πC．6π⎛⎫⎪⎝⎭，为图像的一个对称中心D．其图象由y=tan2x的图象右移3π单位得到5．空间中，若α,β,γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是A．若l∥α,，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l⊥β，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．已知集合A={1,2,3,4,5,6}，在A中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有A．4 B．10 C．15 D．207．某几何体的三视图（单位：dm）如图所示，则该几何体的体积是A．13B．32C．1 D．128．“3a b c++”称为a,b,c三个正实数的“调和平均数”，若正数x, y满足“x, y, xy的调和平均数为3”，则x+2 y的最小值是正视图侧视图俯视图11（第7题图）9． 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F2P 与y 轴交于点A ，△APF1的内切圆在边 PF1上的切点为Q ，若|PQ|=1,则双曲线的离心率是A ． 3B ．2 CD10. 已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直， 点P ，Q 分别是线段BC ， DE 上的动点（包括端点），设线段PQ 中点的轨迹为ℜ，则ℜ 的长度为A ．2 B． C ．2π D ． 4π二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.11. 若两直线x -2y+5=0与2x+my -5=0互相平行，则实数m= ▲ ．12.已知函数1,()1,x f x x =<≥ 若f(a)+f(0)=3，则a= ▲ ． 13. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ▲ _． 14. 二项式521+2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x3项的系数为 ▲ ． 15. 甲乙两人分别参加某高校自主招生考试，能通过的概率都为23， 设考试通过的人数(就甲乙而言)为X ，则X 的方差D(X)= ▲ ． 16．对于不等式组2320340210x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥，≤，≥的解(x ，y)，当且仅当=2,=2x y ⎧⎨⎩时，z=x+ay 取得最大值，则实数a 的取值范围是 ▲ _． 17. 如图，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC ⋅的最大值是 ▲ _三、解答题：本大题共5小题，共72分（第13题图）且2sin tan tan cos C A B A +=．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知3a c c a +=，求11tan tan A C +的值．19. （本小题满分14分） 已知数列{an}的首项a1=a ，前n 项和为Sn ，且-a2，Sn ，2an+1成等差．(Ⅰ)试判断{an}是否成等比数列，并说明理由；(Ⅱ)当a>0时，数列{bn}满足11b a =，且1(2)()()nn n n a b n a a a a +=--≥．记数列{bn}的前n 项和为Tn ，求证：1≤aTn<2．20．（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分别是AC，BC的中点，AB=，AC=2，PD=Q为线段PE上不同于端点的一动点．(Ⅰ)求证：AC⊥DQ；(Ⅱ)若二面角B-AQ-E的大小为60°，求QEPE的值．PABCEDQ（第20题图）21．(本小题满分15分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =⋅直线l :y=kx+m(km<0)与椭圆C 交于M N 、两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且2||||AB MN =4．是否存在直线l ，使得2O M O N ⋅=-？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22．(本小题满分15分)已知函数32()2ln3f x x tx t x=-+⋅(t∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=x平行，求实数t的值；(Ⅱ)证明：对任意的x1,x2∈(0.1]及t∈R，都有|f(x1)-f(x2)|≤(|t-1|+1)|lnx1-lnx2|成立.金华十校2014年高考模拟考试 数学（理科）卷参考答案一．选择题：每小题5分，共50分二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．-4 12．5或-313．314．-1201516．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 17．8+ 三．解答题：18．解：(Ⅰ)sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A B A B A BA B A B A B ++=+=sin()sin cos cos cos cos A B C A B A B +==， ……………………………………………………… 3分2sin C sin 2sin C C∴1cos 2B =，∵0B <<π，∴B=3π.………………………………………………6分(Ⅱ)2222cos a c a c b ac Bc a ac ac +++==， ∵3a c c a +=，∴22cos 3b ac Bac +=，即22cos33b ac acπ+=，∴22b ca =，………………………9分而222sin sin 33sin sin sin sin 4sin sin b B ca A C A C A C π===，∴3sin sin 8A C =.…………… 12分∴11cos cos sin()tan tan sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=+=sin sin sin B A C ===. ………………………………………………14分19．解：(Ⅰ)∵2122n n S a a +=-+，∴当12222n n n S a a -=-+≥时，两式相减得()11222,22n n n n n a a a a a n ++=-=故≥ ，…………………………… 3分 又当n=1时，1222122,2a a a a a =-+=得， ……………………………………… 4分当a1=a=0时，此时an=0，{an}不是等比数列，{}1022n n naa a a a +≠=当时，，此时是首项为，公比为的等比数列.…………… 6分(Ⅱ)∵111,2n n b a a a -==⋅，∴2n 当≥时，()()11222n n n n a b a a a a --⋅=⋅-⋅⋅- ()()1111211121212121n n nn n a a ---⎛⎫=⋅=⋅- ⎪---⋅-⎝⎭. ………………………………… 8分∴12n n T b b b =+++1223111111111212121212121n n a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11221n a ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴1221n n aT =--，…………………………………………………………………10分∵2n ≥，∴24n≥，∴513n aT >≥，又1021n >-，∴2n aT <. …………… 12分而当n=1时，aTn=1，故1≤aTn<2．………………………………………………………………………… 14分20．(Ⅰ)证明：∵PA=PB=PC ，∴P 在底面ABC 的射影是△ABC 的外心E ， ∴PE ⊥面ABC ，又AC ⊂面ABC ，从而PE ⊥AC ． ……………………………… 3分 又∵PA= PC ，且D 是AC 的中点，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥面PDE ．又DQ ⊂面PDE ，∴AC ⊥DQ ．…………………………………6分(Ⅱ)解法一:过点B 作BF ⊥AE 于F ，易证BF ⊥面PAE ， 过F 作FG ⊥AQ 于点G ，连接BG ，则∠BGF 即为二面角B -AQ -E 的平面角．…………………… 8分 在Rt △ABF 中，由30AB BAF =∠=︒得3,AF BF = 在Rt △BGF 中，由60B F B G F =∠=︒，所以1GF =．在△AQF 中，设QE h =，则AQ由1122AQF S AQ GF AF QE =⋅⋅=⋅⋅△3h =,从而h =，………… 12分 又在Rt △PED 中，P D D E =PE =从而QE PE=．…… 14分 解法二：如图以A 为原点， AB 、AC 分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，则()0,0,0A ，()B ，)E ， ……………………………………8分设点),Qh，设面AQE 的法向量m=(x1,y1,z1).由1111130,30,AE x y AQ x y hz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩m m 得1110,0,z y =⎧⎪+=令11x =，得()1,=m ．……………10分设面ABQ 的法向量n=(x2,y2,z2)，PABCEDQFG由2222230,30,AB x AQ x y hz ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩n n 得2220,0,x y hz =⎧⎨+=⎩令21y =得10,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n ．………………… 12分由1cos 602⋅︒===m nm n，得h =，又易求得PE所以QE h PE PE ==．…………………………………………………………… 14分21．解：(Ⅰ)椭圆的顶点为(0,，即b =12c e a ==，所以2a =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=． ……………………………………………… 4分(Ⅱ)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，∴122834km x x k +=-+，212241234m x x k -⋅=+， …………………………………… 6分∴△=22226416(43)(3)k m k m-+-=2216(1239)0k m-+>，则=， ……………………… 8分令0m =，可得， …………………………………… 10分 ∴2||4||AB MN ==，化简得m k =-或m k =(舍去)，…………… 12分∴21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++ =2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k ----+-+==-++++解得k = 14分22. 解：(Ⅰ) 由题2()22t f x x t x '=-+，且(1)1f '=，解得1t =．………………… 4分(Ⅱ)当12x x =时，结论明显成立， ………………………………………………… 5分不妨设12x x <，且记|1|1t λ=-+，则1212|()()||ln ln |f x f x x x λ--≤等价于121221(ln ln )()()(ln ln )x x f x f x x x λλ---≤≤⇔1122()ln ()ln f x x f x x λλ++≤且1122()ln ()ln f x x f x x λλ--≥，要使得对任意的12,(0,1]x x ∈，1122()ln ()ln f x x f x x λλ++≤恒成立， 只需()f x x λ'-≥对于(0,1]x ∈恒成立，同理可得()f x x λ'≤对于(0,1]x ∈恒成立， 即222t x t x x x λλ--+≤≤对于(0,1]x ∈恒成立⇔当t ∈R 时，3(|1|1)22|1|1t x tx t t --+-+-+≤≤对于(0,1]x ∈恒成立．… 9分考虑函数3()22g x x tx t =-+，(0,1]x ∈，则2()62g x x t '=-，(1)当0t ≤时，函数()g x 在(0,1]上单调递增，此时()(1)2g x g t =-≤； (2)当3t ≥时，函数()g x 在(0,1]上单调递减，此时()(0)g x g t <=；(3)当03t <<时，函数()g x在⎛ ⎝上递减及⎤⎥⎦上递增，此时()max{(0),(1)}max{,2}g x g g t t <=-综上，当1t <时，()2g x t -≤；当1t ≥时，()g x t ≤，所以322|1|1x tx t t -+-+≤对于(0,1]x ∈成立；………………………………… 13分 为证3(|1|1)22t x tx t --+-+≤，可设函数3()|1|221h t t t tx x =-+-++, 即332(1)2,1()2()22,1t x x t h t t x x t ⎧-+=⎨-++<⎩≥，则有3()(1)222h t h x x =-+≥， 又由上面3()22g x x tx t =-+的分析可知函数3222y x x =-+((0,1]x ∈)在x =处取到最小，所以3()(1)2220h t h x x =-+>≥， 从而3(|1|1)22t x tx t --+-+≤对任意(0,1]x ∈恒成立．……………………… 15分。
2014年浙江省高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年浙江省普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选：A．【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设B P′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。
湖北省襄阳四中2014届高考数学仿真模拟考试A卷 理 新人教A版
2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试〔湖北卷〕数学 〔理工类〕本试卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题。
总分为150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★须知事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、某某号填写在答题卡上。
2．选择题的作答：每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多项选择。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试完毕后，请将答题卡上交。
一．选择题:本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1、命题p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则〔〕A 、00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C 、:,cos 1p x R x ⌝∀∈>D 、00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>2、一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，如此这个几何体的俯视图一定不．是〔 〕3、数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰-=+22201520134，如此)2(2016201420122014a a a a ++的值为〔 〕A 、2πB 、π2C 、πD 、24π4、如下图是一个算法的流程图，最后输出的=x ( )A 、4-B 、7-C 、10-D 、13-5、(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(7,5,)c λ=，假设a ，b ，c 三向量共面，如此实数λ等于〔〕A 、762B 、763 C 、764D 、765 6、将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 〔 〕A 、41π- B 、412π-C 、12D 、2π7、函数由下表定义x2 53 14 ()f x12345假设015,(),0,1,2,...n n a a f a n +===，如此2014a =〔 〕A 、1B 、 2C 、3D 、 58、为了有效管理学生迟到问题，某校专对各班迟到现象制定了相应的等级标准，其中D 级标准为“连续10天，每天迟到不超过7人〞根据过去10天1、2、3、4班的迟到数据，一定符合D 级标准的是〔 〕A 、1班：总体平均值为3，中位数为4B 、2班：总体平均值为1，总体方差大于x=x-3是 开始S =0 x =2 输出x 完毕S =S +x20-≤S 否C 、3班：中位数为2，众数为3D 、4 班：总体平均值为2，总体方差为3 9、设P 为正四面体A BCD -外表〔含棱〕上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有〔 〕 个。
数学_2014年安徽省高考数学模拟试卷(四)(文科)(含答案)
2014年安徽省高考数学模拟试卷（四）（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 已知集合A ={1, 2, 4}，B ={3, 4, 6}，C ={2, 4}，则（ ）A A ∩B =B B A ∪B =AC A ∩B ⊆CD A ⊆B2. 若复数z 满足(2−i)z =|1+2i|，则z 的虚部为（ ）A −√5B √55C √5D −√553. 阅读如图的程序框，并判断运行结果为（ ）A 55B −55C 5D −54. 点P 为双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2为双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为（ ） A √3 B 1+√2 C √3+1 D 25. 在同一坐标系中画出函数y =log a x ，y =a x ，y =x +a 的图象，可能正确的是( )A B C D6. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P −ABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A 6B 8C 2√5D 37. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（ ）A 2，−π3B 2，−π6C 4，−π6D 4，π3 8. 平面直角坐标系xOy 内，已知点A(a, 0)(a >0)，点B(b, d)在函数f(x)=mx 2(0<m <1)的图象上，∠BOA 的平分线与f(x)=mx 2的图象恰交于点C （1, f(1)），则实数b 的取值范围是（ ）A (2, +∞)B (3, +∞)C [4, +∞)D [8, +∞)9. 方程log 12(a −2x )=2+x 有解，则a 的最小值为（ ） A 2 B 1 C 32 D 12 10. 已知f(x)为定义在(−∞, +∞)上的可导函数，且f(x)>f′(x)对于x ∈R 恒成立（e 为自然对数的底），则（ ）A e 2013⋅f(2014)>e 2014⋅f(2013)B e 2013⋅f(2014)=e 2014⋅f(2013)C e 2013⋅f(2014)<e 2014⋅f(2013)D e 2013⋅f(2014)与e 2014⋅f(2013)大小不确定二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4, y)是角θ终边上的一点，且sinθ=−2√55，则y =________．12. 抛物线y 2=2px 的焦点为(1, 0)，准线为l ，点M 在抛物线上，O 是坐标原点，若点M 到l 的距离为3，则OM 长为________．13. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点满足|OA →|=|OB →|=OA →⋅OB →=2，OP →=OA →+OB →，则四边形OAPB 的面积是________．14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +6≥0x ≤3x +y +k ≥0，且z ＝2x +4y 的最小值为6，则常数k ＝________． 15. 在数列{a n }中，如果存在非零的常数T ，使a n+T =a n ，对于任意正整数n 均成立，就称数列{a n }为周期函数，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n+2=|x n+1−x n |(x ∈N ∗)，x 1=1，x 2=a ．①若a =0，则数列{x n }的周期为3．②若数列{x n }的周期为3，则a =0．③若数列{a n }的前n 项和为S n ，且周期为3，则S 3n =2n （n 为常数）④若a =3，则数列{x n }的周期为4；⑤若a =2，则数列{x n }前2014项的和为1345．则这五个命题中真命题是________．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosA=bcosC+cosB．(1)求A的大小；(2)若a=2，求b+c的取值范围．17. 如图，已知四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E是PA的中点，求证：(1)PC // 平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．18. 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A类服务员12名，B类服务员x名．（1）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B类服务员的人数是16，求x的值．（2）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已接近饱和，只有3名A类家政服务员和2名B类家政服务员可供选择，求该客户最终聘请的家政服务员中既有A类又有B类的概率．19. 已知数列{b n}是公比大于1的等比数列，S n是数列{b n}的前n项和，满足S3=14，b3= 4b1．（1）求{b n}的通项公式；（2）若b1+m+2，3b2，b3+m构成等差数列{a n}的前3项，求数列{a n}前n项和T n．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)．（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为√32，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，设过定点M(0, 2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．21. 已知函数f(x)=alnx+2a2x+x(a≠0)．(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线x−2y=0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．2014年安徽省高考数学模拟试卷（四）（文科）答案1. C2. B3. D4. C5. D6. A7. A8. A9. B10. C11. −812. 2√313. 2√314. −315. ①③⑤16. 解：(I)∵ 2acosA=bcosC+ccosB，∴ 由正弦定理得，2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，即cosA=sinBcosC+sinCcosB2sinA =sin(B+C)2sinA=12，∵ A∈(0, π)，∴ A=π3；(II)由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，则4=b2+c2−bc，∴ (b+c)2−3bc=4，即3bc=(b+c)2−4≤3[12(b+c)]2，化简得，(b+c)2≤16（当且仅当b=c时取等号），则b+c≤4，又b+c>a=2，综上得，b+c的取值范围是(2, 4]．17. 证明：(1)连接AC，与BD交于O，连接EO，如图，∵ ABCD是矩形，∴ O是AC的中点，∵ E是PA的中点，∴ EO // PC，又∵ EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴ PC // 平面EBD.(2)∵ PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴ BC⊥PD，∵ ABCD是矩形，∴ BC⊥CD，又∵ PD∩CD=D，∴ BC⊥平面PCD，∵ BC⊂平面PBC，∴ 平面PBC ⊥平面PCD ．18. 解：（1）20−16=4，由412x =16，可得x =48， （2）设3名A 类服务员的编号为A ，B ，C ，2名B 类服务员的编号为1，2．则所有的可能情况有(A, B)，(A, C)，(A, 1)，(A, 2)，(B, C ,)，(B, 1)，(B, 2)，(C, 1)，(C, 2)，(1, 2)共10种选择，该客户最终聘请的家政服务员中既有A 类又有B 类的情况共有(A, 1)，(A, 2)，(B, 1)，(B, 2)，(C, 1)，(C, 2)共6种情况故该客户最终聘请的家政服务员中既有A 类又有B 类的概率P =610=3519. 解：（1）设数列{b n }公比为q ．由b 3=4b 1，公比q >1，得q =2．由S 3=14 得b 1+b 2+b 3=14，即b 1+2b 1+4b 1=14解得b 1=2．所以即b n =2n ．（2）得b 1+m +2=m +4，3b 2=12，b 3+m =m +8，由题意得(m +4)+(m +8)=24，解得m =6，因为S 3=14．故公差，d =a 2−a 1=2，a n =10+(n −1)×2=2n +8．所以T n =n(10+2n+8)2=n 2+9n ．20. 解：（1）由题意，2a =4，e =c a =√32，∴ a =2，c =√3 ∴ b =√a 2−c 2=1∴ 椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；（2）显然直线x =0不满足条件，可设直线l:y =kx +2，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 直线代入椭圆方程，消去y 可得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0∵ △=(16k)2−4×12×(1+4k 2)>0，∴ k <−√32或k >√32 x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2∴ y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=4−4k 21+4k 2由于∠AOB 为锐角，x 1x 2+y 1y 2>0，∴ 121+4k 2+4−4k 21+4k 2>0∴ 2<k <2∴ 直线L 的斜率的取值范围是(−2, −√32)∪(√32, 2) 21.解：(1)f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=a x −2a 2x 2+1(x >0)根据题意，有f′(1)=−2，所以2a 2−a −3=0，解得a =−1或a =32.(2)f′(x)=(x−a)(x+2a)x2(x>0)①当a>0时，因为x>0，由f′(x)>0得(x−a)(x+2a)>0，解得x>a；由f′(x)<0得(x−a)(x+2a)<0，解得0<x<a．所以函数f(x)在(a, +∞)上单调递增，在(0, a)上单调递减；②当a<0时，因为x>0，由f′(x)>0得(x−a)(x+2a)>0，解得x>−2a；由f′(x)<0得(x−a)(x+2a)<0，解得0<x<−2a．所以函数f(x)在(−2a, +∞)上单调递增，在(0, −2a)上单调递减．。
【新】天津市高考数学模拟试题第四套含答案讲解版
1 cos 2 x 3 sin 2 x 2 2
1 sin(2 x ) 2 6
-6-
由题意，函数周期为 3 ，又 ＞0， (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x)
1 2x sin( ) 2 3 6 2x 3 2k 2k ,k z 2 3 6 2 3k
二、填空题：
(9)在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个 小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的
1 ， 且样本容 4
-2-
量为 160，则中间一组的频数为
(10) 在极坐标系中，圆 2 上的点到直线 cos 3 sin 6 的距离的最小值是 .
3 2 x a ，∵ a 0 ，∴ f x 在 1,1 上为增函 2
0 a 1 0 a 1 0 a 1 0 b 1 0 b 1 0 b 1 1 a b 0 ， 作出图象易 f 1 0 2 2a 2b 1 0 1 a b 0 f 1 0 2a 2b 1 0 2
y2 1 ( x 1) ห้องสมุดไป่ตู้ y2 2 C．x 1 x 0 8
A ． x2
B ． x2
y2 1 ( x 1) 8 y2 2 1 ( x 1) D．x 10
(8) 在区间[0，1]上任意取两个实数 a，b，则函数
f ( x)
1 3 x ax b 在区间[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为 2 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8
(3)△ABC 中， AB A．
3, AC 1, B 30 ，则△ABC 的面积等于
数学_2014年湖南省某校高考数学四模试卷(理科)(含答案)
2014年湖南省某校高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 设集合P ={−1, 0, 1}，集合Q ={0, 1, 2, 3}，定义P ∗Q ={(x, y)|x ∈P ∩Q, y ∈P ∪Q}，则P ∗Q 的元素的个数为（ ）A 4个B 7个C 10个D 12个2. 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|=3，|BC →|=4，|CA →|=5，则AB →⋅BC →+BC →⋅CA →+CA →⋅AB →的值等于（ ）A 25B −25C 24D −243.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果为99100，则判断框中应填入的条件是（ ）A i ≤98？B i ≤99？C i ≤100？D i ≤101？4. 在平面直角坐标系中，若不等式{x +y −1≥0x −1≤0ax −y +1≥0（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ） A −5 B 1 C 2 D 35. 如果直线ax +by =4与圆x 2+y 2=4有两个不同的交点，则点P(a, b)与圆的位置关系是（ ）A P 在圆外B P 在圆上C P 在圆内D 不能确定6. 当0≤x ≤12时，|ax −2x 3|≤12恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 32≥a ≥−12B −12≥a ≥12C a ≥−12D a ≤327. 已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2−x)−x 2+8x −8，则曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是（ ）A y ＝2x −1B y ＝xC y ＝3x −2D y ＝−2x +38. 定义域是一切实数的函数y =f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−伴随函数”．有下列关于“λ−伴随函数”的结论：①f(x)=0是常数函数中唯一个“λ−伴随函数”； ②“12−伴随函数”至少有一个零点； ③f(x)=x 2是一个“λ−伴随函数”； 其中正确结论的个数是（ ）A 1个B 2个C 3个D 0个二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9. 已知tanα，tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两根，α，β∈(−π2, π2)则α+β=________．10. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为________．11. 设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=________．12. 若不等式|3x −b|<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围________． 13. 已知点M 是抛物线y 2=8x 上的动点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆C ：(x −3)2+(y +1)2=1上，则|AM|+|MF|的最小值为________．14. 设a 1，a 2，…，a 50是从−1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1+a 2+...+a 50=9，且(a 1+1)2+(a 2+1)2+...+(a 50+1)2=107，则a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为________．15. 将正整数1，2，3，4，…，n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a ，b(a >b)的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f(n)．若a ij 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数(1≤i ≤n, 1≤j ≤n)，且满足a ij ={i +(j −i −1)n,i <ji +(n −i +j −1)n,i ≥j，则：(1)f(3)=________； (2)f(2013)=________．三、解答题（16、17、18题各12分，19、20、21题各13分）16. △ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，满足2AB →⋅AC →=a 2−(b +c)2． (1)求角A 的大小；(2)求2√3cos 2C2−sin(4π3−B)的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =a ，又PA ⊥平面ABCD ，PA =4．（1）若在边BC 上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围；（2）当边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD 时，求二面角A −PD −Q 的余弦值．18. 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d >0．且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 1，b 2，b 3．(I)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (II)设数列{C n }对任意自然数n 均有c1b 1+c 2b 2+...+c n b n=a n+1成立，求c 1+c 2+...+c 2013的值．19.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB =BC ．(1)设AB =x 米，cosA =f(x)，求f(x)的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值． 20. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P(−1, √22)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →+F 2M →=0→.(1)求椭圆的标准方程；(2)圆O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l:y =kx +m 与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当OA →⋅OB →=λ且满足23≤λ≤34时，求△OAB 的面积S 的取值范围． 21. 设函数f n (x)=x n (1−x)2在[12, 1]上的最大值为a n (n =1, 2,…)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任何正整数n(n ≥2)，都有a n ≤1(n+2)2成立；（3）若数列{a n }的前n 之和为S n ，证明：对任意正整数n 都有S n <716成立．2014年湖南省某校高考数学四模试卷（理科）答案1. C2. B3. B4. D5. A6. A7. A8. A9. −2π310.8√23π 11. 10512. 5<b <7 13. 4 14. 11 15. 43,20142013 16.解：(1)由已知2AB →⋅AC →=a 2−(b +c)2，化为2bccosA =a 2−b 2−c 2−2bc ，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA 得4bccosA =−2bc ， ∴ cosA =−12， ∵ 0<A <π，∴ A =2π3．(2)∵ A =2π3，∴ B =π3−C ，0<C <π3，2√3cos 2C 2−sin(4π3−B)=2√3×1+cosC 2+sin(π3−B)=√3+2sin(C +π3)， ∵ 0<C <π3，∴ π3<C +π3<2π3，∴ 当C +π3=π2，2√3cos 2C2−sin(4π3−B)取最大值2+√3， 解得B =C =π6．17. 解：法1：（1）如图，连AQ ，由于PA ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，必有AQ ⊥DQ ．设BQ =t ，则CQ =a −t ，在Rt △ABQ 中，有AQ =√t 2+4．在Rt △CDQ 中，有DQ =√(a −t)2+4． 在Rt △ADQ 中，有AQ 2+DQ 2=AD 2．即t 2+4+(a −t)2+4=a 2，即t 2−at +4=0． ∴ a =t +4t ≥4．故a 的取值范围为[4, +∞)．（2）由（1）知，当t =2，a =4时，边BC 上存在唯一点Q （Q 为BC 边的中点），使PQ ⊥QD ．过Q 作QM // CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥QM ．∴ QM ⊥平面PAD ． 过M 作MN ⊥PD 于N ，连接NQ ，则QN ⊥PD ． ∴ ∠MNQ 是二面角A −PD −Q 的平面角．在等腰直角三角形PAD 中，可求得MN =√2，又MQ =2，进而NQ =√6． ∴ cos∠MNQ =MN NQ=√2√6=√33． 故二面角A −PD −Q 的余弦值为√33法2：（1）以AD →、AB →、AP →为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系， 则B(0, 2, 0)，C(a, 2, 0)，D(a, 0, 0)，P(0, 0, 4)，设Q(t, 2, 0)(t >0)，则PQ →=(t, 2, −4)，DQ →=(t −a, 2, 0)． ∵ PQ ⊥QD ，∴ PQ →⋅DQ →=t(t −a)+4=0． 即t 2−at +4=0．∴ a =t +4t ≥4．故a 的取值范围为[4, +∞)．（2）由（1）知，当t =2，a =4时，边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ． 此时Q(2, 2, 0)，D(4, 0, 0)．设n =(x, y, z)是平面PQD 的法向量， 由{n ⋅DP →=0n ⋅DQ →=0，得{−4x +4z =0−2x +2y =0． 取z =1，则n =(1, 1, 1)是平面PQD 的一个法向量． 而AB →=(0,2,0)是平面PAD 的一个法向量， 由cos <AD →，n >=AD →⋅n |AD →|⋅|n|=√33． ∴ 二面角A −PD −Q 的余弦值为√33．18. 解：(1)∵ a 2=1+d ，a 5=1+4d ，a 14=1+13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列， ∴ (1+4d)2=(1+d)(1+13d)，解得d =2， ∴ a n =1+(n −1)⋅2=2n −1， 又b 1=a 2=3，b 2=a 5=9， ∴ q =3，b n =3⋅3n−1=3n ； (2)c 1b 1+c 2b 2+...+c n b n =a n+1，即C13+C 232+⋯+C n 3n=2n +1①，则n ≥2时，C13+C232+⋯+Cn−13n−1=2n −1②，①-②得，C n3n=2，所以C n =2⋅3n (n ≥2)，n =1时，C 1=9，所以C n ={2⋅3n ，n ≥29,n =1， 所以c 1+c 2+...+c 2013=9+2⋅32+2⋅33+...+2⋅32013=9+2⋅32(1−32012)1−3=32014；19. 解：(1)设AB =x 米，则BC =x 米，CD =5−x 米，AD =9−x 米， 则有5−x >0，即x <5．在△ABD 中，由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosA ． 同理，在△CBD 中，BD 2=CB 2+CD 2−2CB ⋅CD ⋅cosC ． 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosA =CB 2+CD 2−2CB ⋅CD ⋅cosC =CB 2+CD 2+2CB ⋅CD ⋅cosA ．即x 2+(9−x)2−2 x(9−x)cosA =x 2+(5−x)2+2 x(5−x)cosA ． 解得cosA =2x ，即f(x)=2x ． 由余弦的定义，有2x <1，则x >2，故x ∈(2, 5)．(2)四边形ABCD 的面积： S =12(AB ⋅AD +CB ⋅CD)sinA=12[x(5−x)+x(9−x)]√1−cos 2A =√(x 2−4)(x 2−14x +49)．记g(x)=(x 2−4)(x 2−14x +49)，x ∈(2, 5)． 由g′(x)=2x(x 2−14x +49)+(x 2−4)(2 x −14) =2(x −7)(2 x 2−7 x −4)=0， ∴ x =4或x =7或x =−12．∵ x ∈(2, 5)，∴ x =4．∴ 函数g(x)在区间(2, 4)内单调递增，在区间(4, 5)内单调递减． 因此g(x)的最大值为g(4)=12×9=108． ∴ S 的最大值为√108=6√3．答：所求四边形ABCD 面积的最大值为6√3m 2． 20. 解：(1)∵ PM →+F 2M →=0→， ∴ 点M 是线段PF 2的中点， ∴ OM 是△PF 1F 2的中位线， 又OM ⊥F 1F 2， ∴ PF 1⊥F 1F 2， ∴ {c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．(2)∵ 圆O 与直线l 相切， ∴√k 2+1=1，即m 2=k 2+1，由{x 22+y 2=1y =kx +m，消去y ， 得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∵ 直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴ Δ>0，∴ k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 21+2k 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=1+k 21+2k 2=λ， ∵ 23≤λ≤34， ∴ 23≤1+k 21+2k 2≤34， 解得：12≤k 2≤1， S =S △AOB =12|AB|⋅1=12√1+k 2√(−4km 1+2k 2)2−42m 2−21+2k 2 =√2(k 4+k 2)4(k 4+k 2)+1，设μ=k 4+k 2，则34≤μ≤2， S =√2μ4μ+1=√24+1μ，μ∈[34，2]，∴ S 关于μ在[34,2]上单调递增， S(34)=√64，S(2)=23．∴√64≤S ≤23．21. 解：（1）由f′n (x)=nx n−1(1−x)2−2x n (1−x)=x n−1(1−x)[n(1−x)−2x]， 当x ∈[12，1]时，由f′(x)=0得x =1或x =nn+2； 当n =1时，n n+2=13∉[12,1]，f′1(x)=0，则 a 1=f 1(12)=18；当n =2时，nn+2∈[12,1]，则a 2=f 2(12)=116；当n ≥3时，nn+2∈[12,1]，而当x ∈[12，nn+2)时f′n (x)>0，当x ∈(n n+2，1)时f′n (x)<0，故函数f n (x)在x =nn+2处取得最大值， 即：a n =f n (nn+2)=4n n(n+2)n+2，综上：a n={18(n=1) 4n n(n+2)n+2(n≥2)…（2）当n≥2时，要证a n=4n n(n+2)n+2≤1(n+2)2，即证(1+2n)n≥4，而(1+2n )n=C n0+C n1⋅(2n)1+C n2⋅(2n)2+⋯≥1+2+n(n−1)2⋅4n2≥4，故不等式成立…（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，由（2）的证明可知：S n=18+116+a3+a4+⋯+a n<18+116+152+162+⋯+1 (n+2)2<18+116+(14−15)+(15−16)+⋯+(1n+1−1n+2)<18+116+14=716，从而S n<716…。
2014年高考理科数学总复习试卷第4卷题目及其答案
补2014年高考理科数学总复习试卷第4卷题目及其答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4． 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1|<=x x P ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=01|x x Q ，则=Q P A.{}0<x x B.{}1>x x C.{}10><x x x 或 D.空集φ2．若复数)(12R a iai∈+-是纯虚数（i 是虚数单位），则=a （ ） A ．2- B ．12- C ．12 D ．23．若函数)(2sin )(2R x x x f ∈=是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4．某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为( ) A ．24 B. 18 C. 16 D. 12一年级二年级三年级女生373x y 男生377370z5．在边长为1的等边∆ABC 中，设a BC =，b CA =，则=⋅b a （ ）Ａ．12Ｂ．21-Ｃ．23 Ｄ．23-6．已知几何体的三视图如图1所示，它的表面积 是（ ） A.24+ B. 22+ C.23+ D.6 7．下列命题错误的是（ ）Ａ．命题“若0=xy ，则y x ,中至少有一个为零”的否定是：“若0≠xy ，则y x ,都不为零” Ｂ．对于命题p ：R x ∈∃，使得012<++x x ；则p ⌝：R x ∈∀，均有012≥++x x Ｃ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实根，则0≤mＤ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件8．函数1)(2--=x mx x f 在)1,0(内恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.]2,(--∞ B. )2,(--∞ C.),2[+∞ D. ),2(+∞9．设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 10．对于函数x e x f =)(定义域中任意)(,2121x x x x ≠有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③0)()(2121>--x x x f x f ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确的结论个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
2014年对口高考数学模拟卷答案
.普通高校对口招收中等职业学校毕业生考试数学试题参考答案数学模拟试题（1）一、选择题1．选C 。
由题意，223或x x x ==，解得()01或根据集合中元素的互异性，舍去x x x === 2．选B 。
0a b ⋅=即220x -= 3．选C 。
4．选A 。
考虑()0.5log 430x -＞即0431x -＜＜ 5．选A 。
由计数的乘法原理即得。
6．选D 。
画图，举反例。
7．选B 。
计算知平均数为3，由s8．选B 。
由一元二次方程的根与系数关系，81211916a a a a ==。
9．选D 。
化为标准方程212x y =-，开口向下的标准抛物线形式，准线2py =。
10．选C 。
由特殊角的三角函数值可计算而得。
11．选C 。
利用函数图象的平移知识，可从1x +向右平移1个单位到x ，则()y f x =过点()4,2，再对称。
12．选C 。
由二项式展开的通项公式可知，()52211r n rrr nT C x-+=-，则5242r n-=检验。
13．240。
由题意分析，2454C P 。
14．15．-1。
计算知，()24,6ka b k k -=-+，按向量垂直坐标公式可得。
16．① ④。
17．略解：233sin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，考虑到1sin 1x -≤≤，从而21325sin 424x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤≤故函数y 的取值范围为[]1,7。
18．略解：北纬060纬度圆的半径为11cos602O B OB R ==122RAO B R ππ∴==＜，从而AB R = 即3AOB π<=故甲、乙两地即A 、B 两点间的球面距离为13R π。
19．略解：20．略解：（1）由已知，22S n n a +=，12a =，按2n ≥时，1n n n a S S -=-可得 12n n a a -=，从而所求通项为：2n n a = ()*n N ∈（2）根据（1）的结论，2log 2n n b n ==，故所求前n 项和(1)12 (2)n n n T n +=+++=。
2014浙江高考数学模拟试题附答案
俯视图侧视图正视图2014浙江高考数学模拟试题文科1. 本试题共4 页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填在试卷指定的位置上。
3. 选择题、填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将试卷上交。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合{1,0,1},{cos ,},A B y y x x A =-==∈|则AB =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{1,01}-2． 2320121i i i i ++++=（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．-13． 2a =是直线3(1)7x a y a +-=-和直线230ax y a ++=平行的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知12,F F 分别是双曲线1by a x 2222=- (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．B ． C． D ．6 6．二项式6)12(xx -，展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．192-B ．192C ． -6D ．67．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 ( ) A ．1 B ．12C ．14 D ．189．下列函数中，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有零点的函数是( )A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-C ．2()sin f x x x =- D ．22()sin f x x x π=-10．已知函数()log x a f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为（ ） A ．12B ．14C ．2D ．4 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 11．直线2310x y +-=的一个方向向量为（1， ） 12．过抛物线24yx =的焦点的弦的长为8，则该弦的斜率等与13. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______14．若将函数5s i n ()(0)6y x πωω=+>的图象向右平移3π个单位长度后，与函数sin()4y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为 ．15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<()a R ∈的解集为∅，则a 的取值范围是 ．B ．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．（坐标系与参数方程选做题）(第8题)12乙图42443115207981011甲C ．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。
福建省莆田一中2014年高考考前模拟数学【理】试题及答案
2014 届莆田一中高三考前模拟试卷理科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．1.如图，在复平面内，复数12,Z Z 对应的向量分别是,,OA OB 则12||Z Z +=（ ）A ．2 B.3 C. D. 2．抛物线24x y =的焦点坐标为 ( )A ．)1,0(B ．)0,1(C ． )161,0( D ． )0,161(3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A.23π B. 3π C. 29π D. 169π 4. 设随机变量ζ服从正态分布)4,3(N ,若)2()32(+>=-<a P a P ζζ,则=a ( )A ．3B ．35 C ．5 D ．375. 设函数4log )(2xx f =，等比数列{}n a 中，8852=⋅⋅a a a ，则129()()...()f a f a f a +++=（ ）A. -9B. -8C. -7D. -106． 若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 7.设P 为曲线x y 43=上任一点，)0,5(),0,5(21F F -，则下列命题正确的是：（ ）A.821≥-PF PFB.821≤-PF PF C.821>-PF PF D.821<-PF PF 8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( ) A ．20 B.22 C.24 D. 369．已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b =，则()()a b c a c +++的最大值为（ ）.1.3.2.2A B C D +++10.已知函数21(0)()(1)1(0)x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 ( )A ．*(1)()2n n n a n -=∈N B ．*(1)()n a n n n =-∈N C ．*1()n a n n =-∈ND ．*22()n n a n =-∈N 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 把函数 sin(2)3y x π=-的图象向____平移 ____个单位长度就可得到函数y=sin2x 的图象。
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2014年高考数学模拟试题及答案四高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑．3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分． 一、选择题1．已知集合{|(1)()0},{||1|A x x a x B x x =-->=++集合|2|3},(),R x C A B R -≤⋃=且则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(1,)-+∞C ．[—1，2]D ．[1,1)(1,2]-⋃2．已知圆O 的半径为R,A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则⋅的值等于 （ ）A．22R B ．212R -C．22R -D ．232R - 3．函数()x x x x x f 44cos cos sin 2sin ++=的最小值是 （ ）A ．1B ．12 C ．12-D ．32-4．设函数()()x g x f ,的定义域分别为F ，G ，且F 是G 的真子集。
若对任意的F x ∈，都有()()x f x g =，则称()x g 为()x f 在G 上的一个“延拓函数”。
已知函数()()02≤=x x f x ，若()x g 为()x f 在R 上的一个“延拓函数”，且()x g 是偶函数，则函数()x g 的解析式是（ ）A ．||2xB ．2log ||xC ．||12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12log ||x5．b a ,为非零向量，“b a ⊥”是“函数()()()a b x b a x x f -⋅+=为一次函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不必要也不充分条件6．定义在R 上的函数()x f 满足()14=f ，()x f '为()x f 的导函数，已知函数()x f y '=的图像如右图所示，若两正数b a ,满足()12<+b a f ，则22++a b 的取值范围是（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（-∞，-3）7．设M 是ABC ∆内一点，且030,32=∠=⋅BAC AC AB ,定义()()p n m M f ,,=，其中p n m ,,分别是MAB MCA MBC ∆∆∆,,的面积，若()⎪⎭⎫⎝⎛=y x M f ,,21，则y x 41+的最小值是（ ）A ．18B ．16C ．9D ．88 ．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=,则=⋅（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．29．数列{}n a 满足：0,1,221>==n a a a ，()22122121212≥-=-++--n a a a a a a n nn n n n ，则=834a（ ）A ．25B ．125C ．1D ．210．函数()()π20cos 45sin ≤≤+=x xx x f 的值域是（ ）11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数,例如：[ 2.5]3-=-，[2.5]2=，[2]2=，那么222[log 1][log 2][log 1024]+++=（ ）A ．8204B ．4102C ．2048D ．102412．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2=a ，且满足222sin 32c b a C ab ++=，则ABC ∆的面积是（ ）A ．1B ．2CD二、填空题13．如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+= ．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*11,().n n a S n a n N ==∈则n S 的表达式为____ 15．若函数()x x x f -=331在()210,a a -上有最小值，实数a 的取值范围为___________ 16．若规定{}1021,,,a a a E =的子集{}n i i i a a a ,,,21 为E 的第k 个子集，其中11122221---+++=n i i i k ，则E 的第211个子集是______________三、解答题：17．（10分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为ABC ∆的三内角,,A B C 的对边，且3cos 4B =． （1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}2|2||A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．H18．（12分）已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP的比为1．（1）记函数()f PB CA α=⋅ ，(,)82ππα∈-，讨论函数()f α的单调性，并求其值域；（2）若,,O P C 三点共线，求||OA OB +的值．19．（12分）某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润1,1251266025n n a n n ≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩（单位：万元，*n N ∈），记第n 天的利润率n n b n =第天的利润前天投入的资金总和，例如3312.38a b a a =++ （1）求第n 天的利润率n b ；（2）该商店在经销此纪品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率。
20．（12分）已知函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当0,0m n >>时，比较()()f m f n +与()()ln 2f m n m n +-+的大小并证明。
21．（12分）已知函数()||ln (0).f x x a xa =-->（1）若1,a =求()f x 的单调区间及()f x 的最小值； （2）求()f x 的单调区间；（3）试比较222222ln 2ln 3ln (1)(21)232(1)n n n n n -+++++ 与的大小，*(2)n N n ∈≥且，并证明你的结论。
22．（12分）已知曲线:4,:4()xx nn C y C y n N +*==∈，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设111,,n n n x a x x +==-1n n ny b y +=． （1）记4n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，试比较n S 与3732的大小()n N *∈；并证明。
（2）记2352(1)nn n n d b +⨯=⨯-，数列{}n d 的前n 项和为n T ，试证明：21(21)n n n d T --⋅≤2155[1()]38n -≤⨯-。
参考答案CDCCB CABBC AC 13．12 ;14．12+=n n S n ;15．12<≤-a ;16．{}87521,,,,a a a a a 17．解：（1）依题意知：2b ac =，由余弦定理得：222113cos ()2224a cb ac B ac c a +-==⨯+-=，．．．．．．3分而2c q a =，代入上式得22q =或212q =，又在三角形中,,a b c 0>，q ∴=或2q =；．．．．．．6分 （2）2422||,40x x x x <∴-< ，即22(4)0,22x x x -<∴-<<且0x ≠，．．．．．．8分又x N ∈，所以{}11,1A a =∴=，1n n a -=或1(2n n a -=．．．．．．．10分 18．解：依题意知：(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)A B C ααα-，设点P 的坐标为(,)x y ，则：sin 1cos ,01111x yαα++==++，所以2cos sin ,1x y αα=-=-，点P 的坐标为(2cos α-sin ,1)α-．．．．．．2分 （1）(sin cos ,1),(2sin ,1)PB CA ααα=-=- 2()2sin f PB CA αα∴=⋅=-2sin cos 1αα-(sin 2cos 2)αα=-+=)4πα+，．．．．．．4分 由52(0,)44ππα+∈可知函数()f α的单调递增区间为(,)82ππ，单调递减区间为(,)88ππ-，．．．．．．6分所以sin(2)(4πα+∈，其值域为[；．．．．．．8分 （2）由,,O P C 三点共线的41(sin )2(2cos sin ),tan 3αααα-⨯-=⨯-∴=，．．10分∴2222sin cos 2tan 24sin 2sin cos 1tan 25ααααααα===++，∴||OA OB +===．．．．．．．12分 19．解：（1）当125n ≤≤时，1211n n a a a a -===== ．121113838137n n n a b a a a n n-∴===+++++-+ ． （3分）当2660n ≤≤．2125261225(26)(25)3825006350nn n na nb n n a a a a n n -===-+++++++-++, ∴第n 天的利润率**21,125()3722660()2500n n n N nb n n n N n n ⎧≤≤∈⎪⎪+=⎨⎪≤≤∈⎪-+⎩ （6分） （2）当125n ≤≤时，137n b n=+是递减数列， 此时n b 的最大值为1138b =;当2660n ≤≤时，222225002500991n n b n n n n ==≤=-++-（当且仅当2500n n =,即50n =时，“=”成立）． （10分） 又123899>,1n ∴=时，max 1()38n b =．∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大， 且该天的利润率为138． （12分）20．解：（Ⅰ）∵0x >且()ln 1f x x =+'，当()0f x ='时，得1x e=……2分当1(0,)x e ∈时，()0f x <'， ()f x 递减当1(,)x e ∈+∞时，()0f x >'，()f x 递增∴1x e=是()f x 的极小值点，也是最小值点．∴()f x 的最小值为11()f e e=-………………………………………………4分（Ⅱ）∵()()()()ln 2f m f n f m n m n ++-+≥⇔ ()[()]()()ln 2f m f m n m f m n m n ++-+-+≥记m n k +=，则0k >构造函数()()()()ln 2F x f x f k x f k k =+--+ (0)x k << ∴()()()ln ln F x f x f k x x k x =+-=--（）''' 由()0F x ='得2k x =当(0,)2k x ∈时，()0F x <'，()F x 递减当(,)2k x k ∈时，()0F x >'，()F x 递增∴2kx =时，()F x 取最小值．∴()F x ()02kF =≥即：()()()()ln 2f m f n f m n m n ++-+≥……………………………12分21．解（1）1,()1ln a f x x x ==--111,()1ln ,()10.x x f x x x f x x x-'≥=--=-=≥当时 [)()1,.f x ∴+∞在区间上是递增的 （2分）101,()1ln ,()10x f x x x f x x'<<=--=--<当 ()(0,1).f x ∴在区间上是递减的故a =1时，()f x 的增区间为[1,)+∞，减区间为（0，1），m i n ()(1)0.f x f ==（4分）（2）若111,()ln ,()10.x a x a f x x a x f x x x-'≥≥=--=-=≥当时， 则()f x 在区间[,]a +∞上是递增的；当10,()ln ,()10x a f x a x x f x x'<<=--=--<时()f x ∴在区间(0,)a 上是递减的．（5分）若01,,()ln ,a x a f x x a x <<≥=--当时11()1,1,()0,1,()0x f x x f x a x f x x x-'''=-=>><<< 则()f x 在区间[1,)+∞上是递增的，()f x 在区间[,1)a 上是递减的； 当10,()ln ,()10,x a f x a x x f x x'<<=--=--<时 ()f x 在区间（0，a ）上是递减的，而()f x 在x a =处连续；则()f x 在区间[1,)+∞上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 （7分） 综上：当1,()a f x ≥时的递增区间是[,)a +∞，递减区间是（0，a ）； 当01a <<时，()f x 的递增区间是[1,)+∞，递减区间是（0，1） （8分） （3）由（1）可知，当1a =，1x >时，有1ln 0x x -->，即ln 11x x x<-222222ln 2ln 3ln 23n n∴+++ 22211111123n <-+-++- 2221111()23n n=--+++1111()2334(1)n n n <--+++⨯⨯+ 1111111()23341n n n =---+-++-+11(1)(21)1()212(1)n n n n n -+=---=++ （12分） 22．解：（1）依题意点n P 的坐标为1(,)n n x y +，1144n n x nx n y +++∴==，1n n x x n +∴=+，∴1211(2)(1)12(1)n n n x x n x n n x n --=+-=+-+-==++++- (1)12n n -=+；．．．．．．3分 114n n c n -=⋅ ，由137132S =<，2193718832S =+=<，311553718484832S =++=<，∴当3n >时，211111124344n n S n -=++++⨯⨯⨯2311111124343434n -<+++++⨯⨯⨯⨯22111(1)119114411838369414n n --⨯-=++⨯=+-⨯- 1911378329432n -<+-=⨯；．．．．．．7分（2）2352(41)n n n n d +⨯=⨯- ，所以易证：158n n d d +<，∴当2n ≥时，211215555()()()8888n n n n n d d d d ---<<<<= ，221211221555()()888n n n T d d d ---∴=++≤+++= 2155[1()]38n -⨯-，（当1n =时取“=”）．．．．．．10分另一方面，当2,1,2,21n k n ≥=- 时，有：235[42(41)k k n kk k d d -+=⨯+⨯-2225]2(41)n kn k n k---⨯-34≥⨯==，又222224424,44414241(41)kn kn n k n k n n n --+≥⨯∴--+≤-⨯+=- ，226512241n k n kn n n d d d -+⨯∴+≥⨯=-，211(21)2(21)2n n n T n d n d -≥⨯-⨯=-⨯．所以 对任意的n N *∈，都有21(21)n n n d T --⋅≤2155[1()]38n -≤⨯-．．．．．．．12分。