方位角 (上课用)
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0
A
M
2
1
O A
∠AOB=90°
互为余角
B M
一般地，如果两个角的和 两个角 等于90°（直角），就说
2 1
O
这两个角互为余角．即其 互为
中每一个角都是另一个角
B
∠1+∠2=90°
的余角。
判断:
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.(
×)
∠1是∠2的余角， ∠1、∠2互为余角 或∠2是∠1的余角 (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、互为余角.( )
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×4=120°
时针12小时走360°那么每分钟时针走 360°÷（12×60）=0.5°/分 分针60分钟走360°那么每分钟分针走 360°÷60=6°/分
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×5=150°
性质
练一练
一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解：设这个角的度数为 x ，则它的余角为 （90-x）度，补角为（180-x）度，依题意得
180 x 4(90 x)
x 60
90 60 =30
答：这个角的余角的度数为 30 。
如图点A,O,B在同一条直线上，射Байду номын сангаасOD平分∠COA ，射线OE平分∠COB，
注： ＜900 - ＜900 ②一个角的补角不一定是钝角 00
P139.7
1、如图两堵墙围一个角AOB,但人不能进 入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
AOB=∠2=1800-∠1
A C
A
B
2
O B
C
1
O
2、如果∠AOC与∠COB互为补角，其中 ∠AOC=53°17′，求∠COB的度数。
×
如果两个角的和等于90°（直角）， 就说这两个角互为余角．
几何语言表示为： 若∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角 若∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°
图中给出的各角，那些互为余角？
10o 30o
o
50
60o
40
o
80
o
N
4
D O N
3
C
∠DOC=180O
互为补角
等于180°（平角），就 互为 说这两个角互为补角．即 D C O 其中每一个角都是另一个 ∠3+∠4=180° 角的补角。
北
总结：从谁看从谁建系
北
西
A
东
O
东
80° 西
80°
南
南
知识考点：②知图表示方方向画出图
（1）点A在点O的正北方向，距点O 0.5cm
北E
0.5cm A
60°
B
西
G
D
O
45° 40°
C
H
东
南
F
北 西
45°
东 南
C地在A地北偏 东30°方向， 在B地的南偏东 45°方向。
北
30°
C
西 南
东
• P138.例4.货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上。同时，在它北 偏东40°、南偏西10°、西北（即北偏西 45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C 和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出 表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。
① ∠COB +∠ AOC= 180°,∠ EOD= ②图中互为余角有 4 对。
90°。
E C D
解：∵点A,O,B在同一条直线上
∴∠COB+∠AOC=180°
∵∠BOA=180°射线OD平分 ∠COA，射线OE平分∠COB
B
O
A
∴∠EOD=∠EOC+∠COD
=½∠BOC+½∠COA
∠EOC和∠COD ∠BOE和∠DOA ∠BOE和∠DOC ∠EOC和∠DOA
4
一般地，如果两个角的和 两个角
3
几何语言表示为：
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角 ∠1 = 180°—∠2 反过来说也成立： 若∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°
如果两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角．
图中给出的各角，那些互为补角？
10o 30o
60
o
C
A 解：∵ ∠AOC与∠COB互为补角 ∴ ∠AOC+∠COB=180° ∵ ∠AOC=53°17′ ∴ ∠COB=180°-∠AOC =180°-53°17′ = 126°43′
O
B
• 思考：①如图∠2和∠3都是∠1的余角，它 们有什么关系？
A C
解： ∵∠1+∠2=90°
∠1+∠3=90° ∴ ∠2=∠3
=½∠BOA=90°
2 1
O
3
D
B
同角的余角相等
• ②∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果 ∠2=∠4，那么∠1与∠3是否相等？
1 2 4
3
解： ∵∠1+∠2=90°
∠3+∠4=90° ∠2=∠4 等角的余角相等 ∴∠1=∠3
③ 如图∠2和∠3都是∠1的补角，它们有什 么关系？
解： ∵∠1+∠2=180°
∠1+∠3=180° ∴ ∠2=∠3
b 2 （ a
（
1
） 3
同角的补角相等
④ 1与2互补，3与4互补，如果1=3，
那么2与4相等吗？为什么？
2
1
3
4
解： ∵∠1+∠2=180°
∠3+∠4=180° ∠1=∠3 等角的补角相等 ∴∠2=∠4
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180 的数量 (1 90 2) (1 180 2) 关系 对应 图形 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×3=90°
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×2=60°
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
105°
设时间为m时n分的时针与分针的夹角 A。 为 （0 A 180）则A的度数计算公式为 A 30m - 5.5n （当其绝对值小于 时用） 180
80o
100o 120o 150o
170o
帮 找朋友
80
①互余的两个角一定都是锐角
的余角与 补角的关系
的余角的补角
10 100
1000 -100 900 1350 - 450 900
45
45
135
90
180
（ 0 - ） 180 （900 - ） 900
60° 60°
45°30°
北
北
北
西
东
西
东
西
北
南 南 西
东
45°
东
70°
南
南
从A地向正北走10m到达B地， 再向南偏西70° 方向走30m到达C地, 再沿西北方向走15m到达 D地, 又向正西方向走20m到达E地， 然后向北偏东60°方向走10m到达G地
南偏东80° • 练习：2.点O在点A的____________ 北偏西80° • 点A在点O的____________
0
或A 360 - 30m - 5.5n （当其绝对值大于 时用） 180
0
165° 4点40分 100°
设时间为m时n分的时针与分针的夹角 A。 为 （0 A 180）则A的度数计算公式为 A 30m - 5.5n （当其绝对值小于 时用） 180
0
或A 360 - 30m - 5.5n （当其绝对值大于 时用） 180
知识考点：①知图表示方向
北
北偏西70°
C 60° 70°
北偏东60°
A
西
D
20° 30° O 60° 45°
东
东南方向或者 南偏东45°
B
南偏西60°
南
西60° （1）射线OA表示北偏__________方向； 西45° （2）射线OB表示南偏__________方向； 东30° （3）射线OC表示南偏__________方向； 东60° （4）射线OD表示北偏__________方向；
方位角
表示方向的角
• 成语：四面八方
• 八方——东，南，西，北，东北，东 南，西北，西南
• 如果我们在点O的位置，能否识别O点的四 面八方？
西北方向 G 北偏西45° C 西
北 A
东北方向 E 北偏东45°
东 D
45°45°
O
45° 45°
F 西南方向 H 东南方向 B 南 南偏西45° 南偏东45° 东南方向：射线OF 西北方向：射线OG 正东方向：射线OD 正南方向：射线OB 东北方向：射线OE 正北方向：射线OA 正西方向：射线OC 西南方向：射线OH
A
M
2
1
O A
∠AOB=90°
互为余角
B M
一般地，如果两个角的和 两个角 等于90°（直角），就说
2 1
O
这两个角互为余角．即其 互为
中每一个角都是另一个角
B
∠1+∠2=90°
的余角。
判断:
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.(
×)
∠1是∠2的余角， ∠1、∠2互为余角 或∠2是∠1的余角 (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、互为余角.( )
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×4=120°
时针12小时走360°那么每分钟时针走 360°÷（12×60）=0.5°/分 分针60分钟走360°那么每分钟分针走 360°÷60=6°/分
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×5=150°
性质
练一练
一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解：设这个角的度数为 x ，则它的余角为 （90-x）度，补角为（180-x）度，依题意得
180 x 4(90 x)
x 60
90 60 =30
答：这个角的余角的度数为 30 。
如图点A,O,B在同一条直线上，射Байду номын сангаасOD平分∠COA ，射线OE平分∠COB，
注： ＜900 - ＜900 ②一个角的补角不一定是钝角 00
P139.7
1、如图两堵墙围一个角AOB,但人不能进 入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
AOB=∠2=1800-∠1
A C
A
B
2
O B
C
1
O
2、如果∠AOC与∠COB互为补角，其中 ∠AOC=53°17′，求∠COB的度数。
×
如果两个角的和等于90°（直角）， 就说这两个角互为余角．
几何语言表示为： 若∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角 若∠1与∠2互为余角，那么∠1+∠2=90°
图中给出的各角，那些互为余角？
10o 30o
o
50
60o
40
o
80
o
N
4
D O N
3
C
∠DOC=180O
互为补角
等于180°（平角），就 互为 说这两个角互为补角．即 D C O 其中每一个角都是另一个 ∠3+∠4=180° 角的补角。
北
总结：从谁看从谁建系
北
西
A
东
O
东
80° 西
80°
南
南
知识考点：②知图表示方方向画出图
（1）点A在点O的正北方向，距点O 0.5cm
北E
0.5cm A
60°
B
西
G
D
O
45° 40°
C
H
东
南
F
北 西
45°
东 南
C地在A地北偏 东30°方向， 在B地的南偏东 45°方向。
北
30°
C
西 南
东
• P138.例4.货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上。同时，在它北 偏东40°、南偏西10°、西北（即北偏西 45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C 和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出 表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。
① ∠COB +∠ AOC= 180°,∠ EOD= ②图中互为余角有 4 对。
90°。
E C D
解：∵点A,O,B在同一条直线上
∴∠COB+∠AOC=180°
∵∠BOA=180°射线OD平分 ∠COA，射线OE平分∠COB
B
O
A
∴∠EOD=∠EOC+∠COD
=½∠BOC+½∠COA
∠EOC和∠COD ∠BOE和∠DOA ∠BOE和∠DOC ∠EOC和∠DOA
4
一般地，如果两个角的和 两个角
3
几何语言表示为：
若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角 ∠1 = 180°—∠2 反过来说也成立： 若∠1与∠2互为补角，那么∠1+∠2=180°
如果两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角．
图中给出的各角，那些互为补角？
10o 30o
60
o
C
A 解：∵ ∠AOC与∠COB互为补角 ∴ ∠AOC+∠COB=180° ∵ ∠AOC=53°17′ ∴ ∠COB=180°-∠AOC =180°-53°17′ = 126°43′
O
B
• 思考：①如图∠2和∠3都是∠1的余角，它 们有什么关系？
A C
解： ∵∠1+∠2=90°
∠1+∠3=90° ∴ ∠2=∠3
=½∠BOA=90°
2 1
O
3
D
B
同角的余角相等
• ②∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果 ∠2=∠4，那么∠1与∠3是否相等？
1 2 4
3
解： ∵∠1+∠2=90°
∠3+∠4=90° ∠2=∠4 等角的余角相等 ∴∠1=∠3
③ 如图∠2和∠3都是∠1的补角，它们有什 么关系？
解： ∵∠1+∠2=180°
∠1+∠3=180° ∴ ∠2=∠3
b 2 （ a
（
1
） 3
同角的补角相等
④ 1与2互补，3与4互补，如果1=3，
那么2与4相等吗？为什么？
2
1
3
4
解： ∵∠1+∠2=180°
∠3+∠4=180° ∠1=∠3 等角的补角相等 ∴∠2=∠4
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180 的数量 (1 90 2) (1 180 2) 关系 对应 图形 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×3=90°
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
30°×2=60°
一大格是 360°÷12=30° 一小格是 30°÷5=6°
105°
设时间为m时n分的时针与分针的夹角 A。 为 （0 A 180）则A的度数计算公式为 A 30m - 5.5n （当其绝对值小于 时用） 180
80o
100o 120o 150o
170o
帮 找朋友
80
①互余的两个角一定都是锐角
的余角与 补角的关系
的余角的补角
10 100
1000 -100 900 1350 - 450 900
45
45
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90
180
（ 0 - ） 180 （900 - ） 900
60° 60°
45°30°
北
北
北
西
东
西
东
西
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南 南 西
东
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东
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南
南
从A地向正北走10m到达B地， 再向南偏西70° 方向走30m到达C地, 再沿西北方向走15m到达 D地, 又向正西方向走20m到达E地， 然后向北偏东60°方向走10m到达G地
南偏东80° • 练习：2.点O在点A的____________ 北偏西80° • 点A在点O的____________
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或A 360 - 30m - 5.5n （当其绝对值大于 时用） 180
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165° 4点40分 100°
设时间为m时n分的时针与分针的夹角 A。 为 （0 A 180）则A的度数计算公式为 A 30m - 5.5n （当其绝对值小于 时用） 180
0
或A 360 - 30m - 5.5n （当其绝对值大于 时用） 180
知识考点：①知图表示方向
北
北偏西70°
C 60° 70°
北偏东60°
A
西
D
20° 30° O 60° 45°
东
东南方向或者 南偏东45°
B
南偏西60°
南
西60° （1）射线OA表示北偏__________方向； 西45° （2）射线OB表示南偏__________方向； 东30° （3）射线OC表示南偏__________方向； 东60° （4）射线OD表示北偏__________方向；
方位角
表示方向的角
• 成语：四面八方
• 八方——东，南，西，北，东北，东 南，西北，西南
• 如果我们在点O的位置，能否识别O点的四 面八方？
西北方向 G 北偏西45° C 西
北 A
东北方向 E 北偏东45°
东 D
45°45°
O
45° 45°
F 西南方向 H 东南方向 B 南 南偏西45° 南偏东45° 东南方向：射线OF 西北方向：射线OG 正东方向：射线OD 正南方向：射线OB 东北方向：射线OE 正北方向：射线OA 正西方向：射线OC 西南方向：射线OH