对勾函数最值的十种求法

关于求函数y = x • 1 x . 0最小值的十种解法 x

一、 均值不等式

1 1

x 0, . y=x ・一_2，当且仅当x ，即x=1的时候不等式取到“=”。 x x

当X =1的时候，y min =2 二、 厶法

1 2 y=x — : x -yx1=0 x

若y 的最小值存在，则 厶=y 2 -4亠0必需存在，即y 亠2或y _ -2 （舍） 找到使y =2时，存在相应的x 即可。

通过观察当x =1的时候，y min =2

三、单调性定义

设 0 ：：： X 1 ：：： x ?

1 1 i f （X 1 ）—f （X

2 ）=人—X 2 十一—一 =（X 1 —X 2 ）1

X 1 X 2 V X 1X 2 丿

当对于任意的X 1,X 2，只有X 1,X 2三〔0,1时，f X 1 - f X 2 2 0, •此时f x 单调递增; 当对于任意的x 1,x 2，只有X —X 2三［时，f x 1 - f x 2 ：：： 0，•此时f x 单调递减。 当X - 1取到最小值，y min = f 1 =2

四、复合函数的单调性

t = Jx ——2在（0,母）单调递增，y =t 2 +2在（—°°,0）单调递减；在 0,畑）单调递增 x 又 x 三〔0,1 二 t '：L ~0 x 1, • ：： = t 0,::

-原函数在 0,1上单调递减；在1, 上单调递增 即当X =1取到最小值，丫皿山二f 1 =2 二 X 1 -X 2 3

X 1X 2 y =x 1

2 x

五、求一阶导

1 ' 1

y = X — ： y =1 2 X

X 当 10,1时，y' :：: 0，函数单调递减；当 X ，1, 时，y' .0,函数单调递增。 当X =1取到最小值，y min = f 1 =2

六、二角代换

厂兀）

1 a € 0, — 1,则一 =COta I 2丿X 广IT ） a s 0, — in 2a E （0,兀）

I 2丿

八、图象相减

1

1 ，即y 表示函数y = x 和y 两者之间的距离

X X

求y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值

1

平移直线y = x ，显然当y = x 与y 相切时，两曲线竖直距离最小。

x 令 x = ta n ：, 1 =X tan 二 cot:

2 sin

：

n Ji .当一4，即2二时, si n2 max =1 , y min 二2，显然此时x = 1 七、 向量

1

y 关于直线y =-x轴对称,

x

x 1处有一交点，根据对称性，在0 ：： x ：： 1

处也必有

1

个交点，即此时y二x与y 相交。显然不是距离最

x

小的情况。

所以，切点一定为1,-1点。

此时, y

min

九、平面几何

依据直角三角形射影定理，设

1

显然，x 为菱形的一条边,

x

1 1

AE 二x,EB ，贝U AB 二AD 二x —

x x

只用当AD _ AB ,即AD为直线AB和CD之间的距离时,

1

x•—取得最小值。即四边形ABCD为矩形。

x

1

此时，x ，即X=1, y min =2

x

十、对应法则

f x2x2丄x

2

■■■〔0, x三，对应法则也相同

f X2Lin =t

1 n

2 1

fx=x fx=x 2 2

x x

；左边的最小值二右边的最小值

t2 =t 2= t = -1 （舍）或t = 2

当x=P=x2，即x = 1时取到最小值，且y min= 2

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