第六节 泰勒公式与泰勒级数
10(6)泰勒级数
∴ (1 + x ) s′( x ) α (α 1) 2 α 2 (α 1)(α n + 1) n1 x ++ x + = α + α 2x +
= α s( x )
2! n!
s ′( x ) α , 且 s(0) = 1. ∴ = s( x ) 1 + x
20
泰勒级数
两边积分 得
∫0
x
x α s ′( x ) dx = ∫ dx , 0 1+ x s( x )
解 ∵ f ( n ) ( x ) = α (α 1)(α n + 1)(1 + x )α n ,
f ( n ) (0) = α (α 1)(α n + 1), ( n = 0,1,2,)
1 + αx +
α (α 1)
2!
x ++
2
α (α 1)(α n + 1)
n!
xn +
a n +1 α n = ∵ lim =1 n→ ∞ a n+1 n
3
泰勒级数
回顾
泰勒公式: 泰勒公式
若函数f 在 若函数 (x)在x0
的某邻域内有 阶导数, 可表为: 的某邻域内有n+1阶导数 则 f (x)可表为 阶导数 可表为
f ′′( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) (1) ( x x0 )n + Rn ( x ) + + n! f ( n +1) (ξ ) ( x x0 ) n +1 , ξ 介于 与x0之间 介于x与 之间. 其中 Rn ( x ) =
7-6-8 泰勒公式与泰勒级数
当
a 1 1 a 0 a 1
收敛域 = (-1,1)
收敛域 = (-1,1]
收敛域 = [-1,1]
第7章 无穷级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
特别的,
1 2 3 n n (1 x ) 1 x x x ... ( 1) x ... ( 1 x 1) 1 x
arctan x
x
0
1 dt 2 1 t
1 2 3 n n 1 x x x ... (1) x ... ( 1 x 1) 1 x 1 2 4 6 n 1 2( n 1) 1 x x x ... (1) x ... 2 1 x 2 n 1 x x 1 n 1 2( n 1) n x dt (1) arctan x dt (1) t 2 0 0 1 t 2n 1 n 0 n 0 2 n 1 1 3 1 5 n 1 x x x x ... (1) ... (1 x 1) 3 5 2n 1
f ( x ) (cos x ) sin x sin x ;
3 f ( x ) ( sin x ) cos x sin x ; 2
f (4) ( x ) ( cos x ) sin x sin x 2 ;
7.6 泰勒公式与泰勒级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
第7章 无穷级数
7.6 泰勒公式与泰勒级数
主要教学内容
(1) 泰勒公式与泰勒级数；(2) 函数的幂级数展开
教学目的及要求:
理解泰勒、马克劳林级数的概念，了解函数的幂级数展开的间 接法
重点难点及解决措施: 重点: 马克劳林级数 难点: 函数的幂级数展开 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时
第六节泰勒公式与泰勒级数
第六节泰勒公式与泰勒级数泰勒公式和泰勒级数是微积分中重要的概念，它们被广泛应用于函数的近似计算和函数的性质研究。
本文将详细介绍泰勒公式与泰勒级数的概念、定义以及它们的应用。
一、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近用多项式逼近的公式。
它基于以下的泰勒定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，且x=c是区间[a,b]上的一点，那么对于该函数，存在一个n次多项式P(x)，使得对于[a,b]上的任意x，有以下的公式成立：f(x)=P(x)+R_n(x)其中，P(x)是f(x)在x=c处的n次泰勒多项式，R_n(x)是一个余项。
在泰勒公式中，多项式P(x)称为函数f(x)的n次泰勒多项式，它的表达式为：P(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+...+f^n(c)(x-c)^n/n!其中f^(k)(c)表示函数f(x)在x=c处的k阶导数。
泰勒公式的重要性在于它将复杂的函数逼近为简单的多项式，从而方便了函数的计算和分析。
二、泰勒级数泰勒级数是泰勒公式的一种特殊形式，它是将泰勒多项式的所有项展开为无穷级数的形式。
具体而言，对于函数f(x)，如果它的任意阶导数都存在，并且在其中一点c处的n次泰勒多项式P(x)收敛到f(x)，则函数f(x)在x=c处的泰勒级数表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+...+f^n(c)(x-c)^n/n!+...对于泰勒级数，需要注意的是它可能只在一些区间内收敛，而在其他地方发散。
所以在应用泰勒级数进行近似计算时，需要注意选取合适的展开点。
泰勒级数的应用非常广泛，它可以用来近似计算复杂函数的值，在数学、物理、工程等领域都有重要的作用。
例如，在计算机图形学中，泰勒级数被用来逼近函数以实现图像的平滑和变形；在自然科学中，泰勒级数被用来描述物理量的变化规律，如波动现象等。
泰勒级数课件
e , 例如 f ( x ) 0,
1 x2
x0 x0
(n)
在x=0点任意可导, 且 f
(0) 0 ( n 0,1,2,)
f ( x )的麦氏级数为 0 x n
n 0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x ) 的麦氏级数处处不收敛 f ( x ). 于
例5 将函数
1 (1) n x n ( 1 x 1 ) 解: f ( x) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x (1) n n 1 ln(1 x) (1) n x n d x x , 1 x 1 1 x 1 n 0 n 0 n 1 0
如果函数 f ( x )
a n ( x x0 ) n ， 即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 )
n
易得a0 f ( x0 ),
逐项求导任意次,得
f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 ) n1
令 S n 1 ( x)
k 0
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x ( x0 )
二、函数展开成幂级数
x
例8 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰摘要：泰勒公式及泰勒级数在数学分析中有着很大的作用，是重要的数学工具。
除了我们熟悉的应用方面外，在其他问题解决中也有妙用。
本文举例介绍了泰勒公式及泰勒级数在求极限、求高阶导数值、判定级数和广义积分的敛散性、函数的不等式证明和近似计算中的应用等问题。
这对学生解决问题的能力及综合运用知识的能力有着很好的指导作用。
可以开阔学生的解题思路，提高学生的分析问题的能力。
关键词：泰勒公式泰勒级数应用The Application of a T aylor Formula and T aylor SeriesAbstract: Taylor formula and Taylor series have many important applications in mathematical analysis . This paper gives some examples to show several applications which include limit and differential coefficient calculation,judgement of convergence and divergence of progression and improper integral, proving variable function equation and so on. It is an important guide for us to exploit students’ thinking to study problems, to improve students’ ability in analyzing and solving problems.Key words: Taylor formula Taylor series application0引言泰勒公式和泰勒级数是极重要的数学工具。
第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开PPT课件
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解： cos z eiz eiz 2
又，
eiz (iz)n , eiz (iz)n
n0 n!
n0 n!
故
cos z
1 2
(iz)n
n0
n!
(iz)n n!
+
f (z) =
f (n)(a) (z a)n
n0 n!
证明：B(a, d )表示以a为圆心，d为半径的圆，B(a, d ) D. 对z B(a, d )，取r 使得 z - a r d，显然有， f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
1 关于 一致收敛
=======
n0 2 i
Kr
(
f ( )
a)n1
(z
a)n d
=
n0
1
2
i
Kr
(
f ( )
a)n1
d
( z
a)n
=
f (n)(a)(z a)n
n0 n!
证毕
上式右端的级数称为f (z)在点a 的Taylor级数，或
Taylor展开式。cn
f (n) (a) 称为Taylor系数。 n!
+
f (x) =
f (n)(a) ( x a)n
n0 n!
在这种情况下，收敛域被限制在实轴部分，称为上式
的收敛区间。
注：做实函数的幂级数展开时，要分析区间端点的敛 散情况。
几个基本的展开式:
(1) e x xn 1 x x2 x3
第六节-泰勒公式与泰勒级数
§7.6 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x 很小时，1xe x ≈+，设()xf x e =，1()1P x x =+，则11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====若将21222()()1,(0)(0)1,()2x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即212!nxx x e x n ≈++++.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-，再令)()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,若 ()()00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.（(0)(0)00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则)(!10)(x f k a k k =（n k ,,1,0 =），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-.证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-,10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… ,()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,那么 ()()00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!10)(x f k a k k =, n k ,,1,0 =.一、泰勒（Taylor ）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出()200()()(),,2!f R x x x x x ξξ''=-∈.如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去20()x x -的高阶无穷小量，此时有 200020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-，其中012,,,a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''==== 于是()P x 可以写成200000()()()()()()2!P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +- 若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以做出一个n 次多项式200000()()()()()()2!n P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +-()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定. 设10()()(1)!n n kR x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定了.【定理7.14】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为()()()n n f x P x R x =+)())((!1))(()(00)(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-++-'+= . 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与x 之间. 证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+为求出k 的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=------()11()()()!(1)!n n n k f t x t x t n n +----+显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >），在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点0(,)x x ξ∈，使得()0ϕξ'=，因为()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ϕ''''''=------2()[()()()]2!f t x t f t x t '''''----(4)32()()[()()]3!2!f t f t x t x t '''----- (1)()(1)()()[()()]()!(1)!!n n nn n f t f t k x t x t x t n n n +-----+--化简整理得 (1)()()[()]!nn x t t k f t n ϕ+-'=- 所以(1)()[()]0!nn x k f n ξξ+--=，而 ()0n x ξ-≠ 由 (1)(1)()0()n n k fk f ξξ++-=⇒=，于是 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n '''=+++++其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+ 或令,01x ξθθ=<<，则 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0 =.那么)()()()()()()()()()()()(0101110010x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n n n n nn n n n n n '-''-'=''=--=-+ξξξξ )!1()()()()()()1(1)1(1)1(22+===''''=+++++n f G R G R n n n n n n n n n ξξξξξ , 其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξ ，所以10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于0x 与x 之间. 例1 求xe xf =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x k e x f=)()(,1)0(0)(==e f k ,1,,1,0+=n k ，那么1)1()()!1()()0(!1)0()0()(++++++'+==n n nn xx n x f x f n x f f x f e θ1 2)!1(!1!211+++++++=n xn x n e x n x x θ ,10<<θ.例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式.解 因)2sin()()(πk x x f k +=, )2sin()0()(πk f k =.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====-0)0()2(=k f ,(21)(0)(1)k k f +=-,0,1,2k =，那么 sin ()x f x =(21)()211()(0)(0)(0)!(21)!n n n n f x f f x f x x n n θ++'=+++++35212()3!5!(21)!n n x x x x R x n -=-+-++-,(或21()n R x +都可以)其中：212sin[(21)]2()(21)!n n x n R x x n πθ+++=+,10<<θ. 特别地：1n =时，x x ≈sin , !3||||32x R ≤；2n =时，!3sin 3x x x -≈, !5||||54x R ≤；3n =时，!5!3sin 53x x x x +-≈, !6||||66x R ≤. 例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.解 324(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-=244(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-= (5)(4)24,()0,()0n f f x R x '''===,所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有1,(1)1n n x x x ∞==<-∑收敛域 )11()1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x nx x n n n .问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有nn nx x a x f )()(0-=∑∞=？(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数? 3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,则在),(0δx U 内n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ⇔0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ.证明 由于 ()000()()()()()()!n nn n n n n f x f x x x R x P x R x n ==-+=+∑. 所以等式两边取极限 ()000()()()lim ()!n n n n n f x f x x x P x n ∞→∞==-=∑⇔lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞→∞=-=, ),(0δx U x ∈.4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式⇔)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞→x R n n .注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数()0()!n f x n （0,1,2,n =）是唯一的.2）n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级 数，等式nn nx x a x f )()(0-=∑∞=在0)(lim =∞→x R n n 时成立，称为函数的Taylor 展式.5．泰勒级数与麦克劳林级数设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称 (1)n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为)(x f 在点0x 的泰勒级数, 记作 n n n x x n x f x f )(!)(~)(000)(-∑∞=.(2)nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数, 记作 nn n x n f x f ∑∞=0)(!)0(~)(. )0(0=x 注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=在收敛区间内是否收敛于)(x f ？ 例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 在0=x 点任意可导,且,1,0,0)0()(==n f n ,于是~)(x f =∑∞=nn n x n f 0)(!)0(000=⋅∑∞=n nx,+∞<<∞-x显然≠)(x f 0!)0(0)(=∑∞=nn n x n f , 0≠x . 结论：当级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=收敛于)(x f 时，即 0)(lim =∞→x R n n 时有泰勒展式.小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+其中余项为, ξ介于0x 与x 之间公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ，其系数()0()!n n f x a n =为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且lim ()0n n R x →∞=.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.。
泰勒公式与泰勒级数的比较教学
公式 （ １ ） 通常被称为泰勒公式 ， 并频繁地被用 于各种数 学证明． 我们 记 Ｒ （ ）＝ ＿ 厂 （ ）一 （ ） ， 称 之为 泰勒公 式 的
医学 、 数学等诸多 领域 的教学 ． 本 文将 运用 比较 教学 法 ， 探
讨泰 勒公 式和泰勒级数的异同点及其作用． 众所周知 ， 泰勒公式 和泰勒级数均 为古老 的数学命 题 ， 它们 首次被杰出的英 国数学家 Ｂ ｒ ｏ ｏ ｋ Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ 所提 出并命 名． 它们 在近似计 算以及 函数性 质研究 等方 面发 挥着 极其
重要 的作 用． 我们 注意 到对二 者 的应 用 已经远 远超 出了其 初衷 ， 换言之 ， 它们 不仅 仅作 为工具 应 用于 数学 领域 ， 它们 更加被广 泛地应 用 于 某些 应 用型 学 科 ， 譬 如力 学 、 分 析 化 学、 计算物理等等． 因此 ， 它们都 被作 为大 学生 在学 习专 业
定理．
知识之前 的先修 内容而 出现在 “ 高等 数学 ” 中， 特别 是对 主
攻科 学与工程 计算的学生尤为重要 ． 然而 遗憾 的是 ， 由于大 学新生们 知识 相对 匮缺 、 经验不 足 ， 他们 在学 习过程 中很难 辨别二者 的细微差异 ， 从 而不 能方便 地应 用这 两个 重要 工 具． 在学习这些 内容 时 ， 大学 生们 面临 如下 实际 问题 ： 泰 勒 公式与泰勒级数 的区别 与联 系是什 么？它们在未 来 的学习 中到底有何作用或 者应 用？ 本文结构安排如下 ． 下节 ， 我 们详细讨论 以上 提 出的两 个问题 ， 具 体地 讲 ， 我们将通过分 析它们各 自的定 义来 明确 二者 的差异并指 出它们 的作 用与在各方 面的应 用． 最后， 我 们给 出一些相关结论 ， 并希望对学生有所启发与 帮助 ．
泰勒级数的基本公式
泰勒级数的基本公式概述泰勒级数是数学中十分重要的一个概念，它可以将一个任意光滑函数表示为无数个简单的多项式之和，从而使我们能够更加深入地了解函数的各种性质。
本文将介绍泰勒级数的基本公式，并且通过具体的例子来解释如何使用泰勒级数来估计函数的值和函数的导数，以及如何推导一些常见的数学恒等式。
泰勒公式先引入泰勒多项式的概念，它可以用一个无限极级数表示：$$T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$其中$f^{(k)}(a)$表示在点$a$处$f(x)$的$k$阶导数。
这个多项式的含义是：当$n$越来越大时，$T_n(x)$越来越逼近原来的函数$f(x)$，且逼近的速度越来越快。
特别地，在$n\rightarrow\infty$的极限情况下，$T_n(x)$恰好等于$f(x)$本身，这就是著名的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$该公式在数学中有着广泛的应用，尤其是在物理学和工程学中，泰勒公式可以用来近似解决许多实际问题。
下面将通过一些具体的例子来解释如何使用泰勒公式。
例1：$e^x$在$x=0$处的泰勒级数我们首先来看连续的指数函数$e^x$在$x=0$处的泰勒级数，它可以表示为：$$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}$$这个公式非常简洁明了，但实际上这背后蕴含着一些深刻的数学含义。
具体来说，这个公式告诉我们$e^x$可以分解成无数个形如$x^k/k!$的多项式之和，而$x^k/k!$恰好就是$f(x)$在$x=0$处的$k$阶导数。
这就是为什么我们可以用无数个多项式逼近$e^x$本身的原因。
现在我们来看一下这个级数的收敛性。
根据比值判别法，我们有：$$\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\frac{(k+1)x}{k+1}\cdot\frac{1}{k !}\right|=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{|x|}{k+1}=0$$因此级数$\sum_{k=0}^\infty x^k/k!$在$x$的任何值下都是收敛的。
泰勒公式和泰勒级数的应用（精品）
NEW EDUCATION中专职教泰勒公式和泰勒级数的应○琼台师范高等专科学校何勤一、预备知识泰勒公式：若函数f 在x 0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则f (x)=f ′(x 0)(x 0-x 0)+f (x 0)2(x -x 0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+R(x)①Rn(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x 0)n+1其中ξ在x 与x 0之间，称①为f 在x 0处的泰勒公式。
如果在①中抹去余项R n （x ），那么在x 0处附近f 可用①式右端的多项式来近似代替。
如果函数f 在x=x 0处存在任何阶的导数，这时称形式为f (x)=f ′(x 0)(x-x 0)+f ″(x 0)2(x-x0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+…②的级数为函数f 在x 0的泰勒数。
二、泰勒级数在不等式证明中的应用函数f （x ）在x 0的某邻域上能展开为泰勒级数①，应用对泰勒公式R n (x)的讨论，可能证明一些不等式。
虽然泰勒级数在不等式的证明中应用不多，但是能够应用泰勒公式时，往往能收到事半功倍的效果。
例证明不等式1+x 2-x 28＜1+x 姨（x ＞0)分析：不等式左边是二次三项。
右边是无理式，两者没有明显的大小关系，作差显然不行，作商也比较麻烦，用微分的方法也麻烦，这时，可将1+x 姨用x 0=0时二阶泰勒公式表示出来，然后与左边的二次三项式作比较，进行判断两者的大小关系。
证明：设f （x)=1+x 姨,则f (0)=1f (x)=12(1+x)则f (0)=12f (x)=14(1+x)则f (0)=14f 苁(x)=38(1+x)代入x 0=0的二阶泰勒公式有f （x)=1+x 姨=1+x 2-x 28+116(1+θx)x 3,0＜θ＜1当x ＞0时余项116（1+θx)x 3＞0从而有：1+x 2-x 28＜1+x 姨。
三、在正项级数敛散性判定中的应用1.在级数理论中，要判定一个正项级数∞n =1Σαn是否收敛，通常要找一个较简单(p ＞0),再用比较判别法来判定,在的问题是如何选取适当的∞n =1Σ1np例如（1）若p =2，此时∞n =1Σ1n 2收敛lim n -＞∞a n 1n 2=+∞。
泰勒公式ppt课件
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
泰勒公式和泰勒级数
三、幂级数的性质∑∞=0n nn x b 1 加减法∑∑∞=∞=±=00n nn n nn x b x a ∑∞=±0)(n nn nx b a∑∞=0n nnx a 设f (x )= 和g (x )= 的收敛半径分别各为R 1>0和R 2>0, 则= f (x ) ±g (x ).的收敛半径R ≥min{R 1, R 2}.∑∞=0n nn x a 2设幂级数的收敛半径R >0, 则在收敛区间(-R , R )内, 其和函数S (x )是连续函数.∑∞=0n nn xa 若级数在端点收敛, 则S (x )在端点单侧连续.§7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数一、泰勒公式的建立二、麦克劳林(Maclaurin)公式三、泰勒级数5一次多项式0) = f (x 0) + f '(x 0) (x -x 0)≈f (x 0) + f '(x 0) (x -x 0)+o (x -精确度不高; 2. 误差不能定量的估计一、泰勒公式猜想近似n 次多项式系数的确定1 若在x 0点相交y(k)(x0)=f (k)(x0)Pna1+2a2(x-x0)+3a3(x )=2a2+3⋅2a2(x-x0)+···+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2)(!2)(t x t f -''1)()()!1()(!)(+-+----n n n t x n k t x n t f ϕ(t )=f (x )-f (t )-f '(t )(x -t )-)!1(+n1)1()!1()()(+++=n n n x n f x R ξ其中(ξ在0与x 之间 1)1()!1()()(+++=n n n x n x f x R θ称为函数f (x )的麦克劳林(Maclaurin )公式.200)(!2)(x x x f -''n x x )()-)+)(!0x R k x n n k k +=∑=1+n x e θ)(!1!2112x R x n x x e n n x +++++=二、泰勒级数定义如果函数f 导数,则幂级数++-+-+-+)!12()1(!51!311253n x x x x n n sin x =∞→n ∑∞=++-=012)!12()1(n n n n x x ∈(-∞, +∞).§7.7 初等函数的幂级数展开式一、直接法(泰勒级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式一、直接法(泰勒级数法)利用泰勒公式或麦克劳林公式e x =1+x +-∞<x <+∞. +++n x n x !1!212α≤-1, 收敛区间为: (-1, 1).-1<α<0, 收敛区间为: (-1, 1].α>0, 收敛区间为: [-1, 1].(1+x)α的泰勒级数的收敛区间是(-1, 1),x ∈(-1, 1)(1+x )α=1+αx + ++--++-n x n n x !)1()1(!2)1(2ααααα∑∞=+--=0!)1()1(n n x n n ααα 牛顿二项式展开式。
泰勒级数与泰勒公式
泰勒级数与泰勒公式泰勒级数和泰勒公式是数学中重要的概念和工具。
它们为我们提供了一种将函数展开成无穷级数的方法，从而可以更好地理解和计算各种函数的性质。
本文将详细介绍泰勒级数和泰勒公式的定义、性质以及应用。
一、泰勒级数的定义与性质泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，可以将它看作是一种近似表示。
设函数f(x)在某个区间上具有无穷次可导性质，那么它的泰勒级数可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，依此类推。
泰勒级数的展开式是一个幂级数，它的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式来确定。
泰勒级数可以近似表示原函数在给定点附近的行为，当x接近a时，级数会收敛于原函数。
泰勒级数的定义和性质使它成为许多数学和科学领域的重要工具。
通过不断增加级数的项数，我们可以得到更高阶的逼近，从而更加精确地计算函数的值和性质。
二、泰勒公式的推导与应用泰勒公式是由泰勒级数推导而来的一种函数逼近方法。
它在给定点附近用一个带有若干项的无穷级数表示函数。
根据泰勒级数的定义，我们可以得到泰勒公式的一般形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，Rn(x)表示泰勒级数的剩余项，它的具体形式为：Rn(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，c是x和a之间的某一点。
当n趋向于无穷大时，剩余项Rn(x)趋向于零，此时泰勒公式成为一个精确的等式。
泰勒公式在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过适当选择展开点a和项数n，我们可以用泰勒公式来近似计算函数值、求解微分方程、研究函数的性质等。
第六节泰勒公式与泰勒级数
第六节泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数是微积分中的重要概念，可用于近似计算函数的值。
本文将对泰勒公式与泰勒级数进行详细介绍，并说明其应用。
一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在其中一点附近的展开式。
对于充分光滑的函数f(x)，在x=a处进行展开，泰勒公式的一般形式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，f(a)为函数在x=a处的值，f'(a)、f''(a)等为函数在x=a处的导数，R_n(x)为余项，表示泰勒公式的误差。
二、泰勒级数当展开点a为0时，泰勒公式称为麦克劳林级数。
麦克劳林级数的一般形式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...+f^n(0)x^n/n! +R_n(x)可以发现，麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式。
三、泰勒级数的应用1.近似计算通过泰勒级数，我们可以用低阶多项式来近似计算一个函数的值。
只需要计算前几项，就可以在展开点附近得到较为准确的近似值。
这在数值计算中十分有用，尤其是对于复杂函数，可以通过截断泰勒级数来简化计算过程。
2.函数分析泰勒级数提供了一种分析函数性质的工具。
通过观察级数的收敛性和余项，可以推断函数的性质。
例如，若余项趋于0，那么泰勒级数可以收敛到函数的真实值；若余项有界，那么级数在展开点附近收敛。
3.极值和拐点泰勒级数可以帮助我们分析函数的极值和拐点。
通过求导，我们可以得到函数的驻点，然后通过泰勒级数展开驻点附近的函数，进一步分析函数的极值和拐点。
4.函数逼近泰勒级数可以用于函数逼近。
通过选择合适的展开点和截断阶数，可以用低阶多项式来近似复杂函数。
这对于在数值计算中需要高效计算函数值的问题非常有用。
泰勒公式及泰勒级数的应用
摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。
而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。
本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。
关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用目录目录1 引言 (3)2预备知识 (4)2.1泰勒公式 (4)2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4)2.3常见函数的展开式 (6)3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7)3.1用泰勒公式进行近似计算 (7)3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7)3.3求函数的极值和不等式的证明 (8)3.4判断或证明级数的敛散性 (9)3.5用泰勒公式求行列式的值 (9)3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10)3.7用泰勒级数解微分方程 (11)4结论 (14)参考文献 (15)致谢 (14)1引 言泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。
泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。
泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。
泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。
当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。
可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。
泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰勒公式及泰勒级数的应用泰勒公式和泰勒级数是数学中非常重要的概念，它们在各个领域的应用非常广泛。
本文将详细介绍泰勒公式及其应用，以及泰勒级数的定义和相关应用。
一、泰勒公式泰勒公式是一个关于函数在一些点附近的展开式。
给定一个函数$f(x)$和一个点$a$，泰勒公式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中，$f'(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f'''(a)$表示三阶导数，依次类推。
这个展开式可以一直延伸下去，是一个无穷级数。
泰勒公式是在一个点的附近进行的展开，因此只在局部范围内有效。
当取$a=0$时，泰勒公式变成了麦克劳林级数。
泰勒公式的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。
通过泰勒公式，我们可以用低阶导数来近似计算高阶导数的值，从而简化复杂的计算过程。
二、泰勒级数泰勒级数是指将函数在其中一点进行泰勒展开后的无穷级数表示。
具体而言，给定一个函数$f(x)$和一个点$a$，泰勒级数可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$不同于泰勒公式，在泰勒级数中，展开点$a$可以是任意点。
泰勒级数包含了函数在该点附近的无穷阶导数信息，在一些条件下，可以用级数的有限项来逼近原函数的值。
泰勒级数的应用涵盖了许多领域，下面我们分别介绍一些常见的应用。
1.函数逼近泰勒级数可以用来逼近一个函数在其中一点的值。
通过截取级数的有限项，就可以得到原函数在该点的一个近似值。
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§ 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：O 、近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x 很小时，1xe x ≈+，设()xf x e =，1()1P x x =+，则11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====若将21222()()1,(0)(0)1,()2x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即212!nxx x e x n ≈++++.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-，再令)()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,若 ()()00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.（(0)(0)00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则)(!10)(x f k a k k =（n k ,,1,0 =），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-.证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-,10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , ()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,那么 ()()00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!10)(x f k a k k =, n k ,,1,0 =.一、泰勒（Taylor ）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出()200()()(),,2!f R x x x x x ξξ''=-∈. 如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去20()x x -的高阶无穷小量，此时有 200020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-，其中012,,,a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''====于是()P x 可以写成200000()()()()()()2!P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +-若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以做出一个n 次多项式200000()()()()()()2!n P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+()00()()!n n P x x x n +-()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定.设10()()(1)!n n kR x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定了.【定理】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为()()()n n f x P x R x =+)())((!1))(()(00)(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-++-'+= . 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与x 之间.证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+ ()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+为求出k 的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=------()11()()()!(1)!n n n k f t x t x t n n +----+显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >），在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点0(,)x x ξ∈，使得()0ϕξ'=，因为()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ϕ''''''=------2()[()()()]2!f t x t f t x t '''''----(4)32()()[()()]3!2!f t f t x t x t '''----- (1)()(1)()()[()()]()!(1)!!n n nn n f t f t k x t x t x t n n n +-----+--化简整理得 (1)()()[()]!nn x t t k f t n ϕ+-'=- 所以(1)()[()]0!nn x k f n ξξ+--=，而 ()0n x ξ-≠ 由 (1)(1)()0()n n k fk f ξξ++-=⇒=，于是 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n '''=+++++其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+ 或令,01x ξθθ=<<，则 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+ 另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0 =.那么)()()()()()()()()()()()(010*******x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n n n nnn n n n n n '-''-'=''=--=-+ξξξξ )!1()()()()()()1(1)1(1)1(22+===''''=+++++n f G R G R n n n n n n n n n ξξξξξ , 其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξ ，所以10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于0x 与x 之间. 例1 求xe xf =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x k e x f=)()(,1)0(0)(==e f k ,1,,1,0+=n k ，那么1)1()()!1()()0(!1)0()0()(++++++'+==n n nn xx n x f x f n x f f x f e θ1 2)!1(!1!211+++++++=n xn x n e x n x x θ ,10<<θ.例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式. 解 因)2sin()()(πk x x f k +=, )2sin()0()(πkf k =.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====-0)0()2(=k f ,(21)(0)(1)k kf +=-,0,1,2k =，那么sin ()x f x =(21)()211()(0)(0)(0)!(21)!n n n n f x f f x f x x n n θ++'=+++++35212()3!5!(21)!n n x x x x R x n -=-+-++-,(或21()n R x +都可以) 其中：212sin[(21)]2()(21)!n n x n R x x n πθ+++=+,10<<θ.特别地：1n =时，x x ≈sin , !3||||32x R ≤；2n =时，!3sin 3x x x -≈, !5||||54x R ≤；3n =时，!5!3sin 53x x x x +-≈, !6||||66x R ≤. 例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.解 324(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-=244(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-= (5)(4)24,()0,()0n f f x R x '''===,所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件2.问题：已知函数有1,(1)1n n x x x ∞==<-∑收敛域 )11()1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x nx x n n n .问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有nn nx x a x f )()(0-=∑∞=(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定 (3) 展开式是否唯一(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数 3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,则在),(0δx U 内n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ⇔0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ.证明 由于 ()000()()()()()()!n nn n n n n f x f x x x R x P x R x n ==-+=+∑. 所以等式两边取极限 ()000()()()lim ()!n n n n n f x f x x x P x n ∞→∞==-=∑⇔lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞→∞=-=, ),(0δx U x ∈.4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式⇔)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞→x R n n .注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数()0()!n f x n （0,1,2,n =）是唯一的.2）n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级 数，等式nn nx x a x f )()(0-=∑∞=在0)(lim =∞→x R n n 时成立，称为函数的Taylor 展式.5．泰勒级数与麦克劳林级数设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称 (1)n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为)(x f 在点0x 的泰勒级数, 记作 n n n x x n x f x f )(!)(~)(000)(-∑∞=. (2)nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数, 记作 nn n x n f x f ∑∞=0)(!)0(~)(. )0(0=x 注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么 级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=在收敛区间内是否收敛于)(x f 例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 在0=x 点任意可导,且,1,0,0)0()(==n f n ,于是~)(x f =∑∞=nn n x n f 0)(!)0(000=⋅∑∞=n nx,+∞<<∞-x显然≠)(x f 0!)0(0)(=∑∞=nn n x n f , 0≠x .结论：当级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=收敛于)(x f 时，即 0)(lim =∞→x R n n 时有泰勒展式.小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+其中余项为, ξ介于0x 与x 之间公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n n n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞= ，其系数()0()!n n f x a n =为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且lim ()0n n R x →∞=.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.。