第六节 泰勒公式与泰勒级数

§ 泰勒公式与泰勒级数

教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.

重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：

O 、近似表达函数的多项式的特性

无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数

引例：当x 很小时，1x

e x ≈+，设()x

f x e =，1()1P x x =+，则

11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====

若将2

1222()()1,(0)(0)1,()2

x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有

直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即

212!

n

x

x x e x n ≈++++.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数

)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令

)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-，再令

)()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,

若 ()()

00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0 =.

（(0)(0)

00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则

)(!

10)

(x f k a k k =

（n k ,,1,0 =），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-.

证明：因0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-+

+-,

10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… , ()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,

那么 ()()

00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!

10)

(x f k a k k =

, n k ,,1,0 =.

一、泰勒（Taylor ）公式

在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式

000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）

从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式

000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出

()200()

()(),,2!

f R x x x x x ξξ''=

-∈. 如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分

()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.

保留与2

0()x x -同阶的无穷小量，略去2

0()x x -的高阶无穷小量，

此时有 2

00020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，

以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式

2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-，其中

012,,,

a a a 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将

()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''====

于是()P x 可以写成

200000()

()()()()()2!

P x P x P x P x x x x x '''=+-+

-+

()00()

()!

n n P x x x n +

-

若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以

做出一个n 次多项式

200000()

()()()()()2!

n P x P x P x P x x x x x '''=+-+

-+

()00()

()!

n n P x x x n +

-

()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度

可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定.

设10()()(1)!

n n k

R x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确

定了.

【定理】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为

()()()

n n f x P x R x =+

)())((!

1))(()(00)

(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-+

+-'+= . 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与

x 之间.

证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成

200000()

()()()()()2!

f x f x f x f x x x x x '''=+-+

-+ ()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+

为求出k 的值，引进辅助函数

2()

()()()()()()2!

f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=----

--

()11()()()!(1)!

n n n k f t x t x t n n +-

---+

显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >），