第二章 第3讲智能控制

7. 隶属度函数的选择有哪四种方法？
8. 模糊集的基本运算。（计算题）
常用隶属度函数
0 xa ba trig( x; a, b, c ) c x c b 0 xa a xb bxc cx
三角形隶属度函数
梯形隶属度函数
0 xa ba Trap( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
母
父 0.2 0.6 祖父 0.5 0.1
母
0.8 0.1
祖母
该家中父母与祖父母的相似关系S 也是模糊关系，可表示为
0.7 0
该家中孙子、孙女与祖父母的相似程度？
定义：模糊关系合成
如果R 和 S 分别为笛卡尔空间 U V 和 V W 上的模糊关系， U V上的模糊关系， W S 则 和 R 的合成是定义在笛卡尔空间 并记为 ，其隶属度函数为： RS R S {[sup( R (u , v) S (v, w))], u U , v V , w W }
测验二
1. 复述智能控制的定义.
2. 智能控制的三元论主要指的是什么内容？
3. 智能控制的四个主要研究方向是什么？
4. 智能控制与常规控制有什么不同?在什么场合下
应该选用智能控制策略？
测验三
1. 模糊控制有哪些特点？
2. 模糊集合有哪四种表示方法？
3. 简述模糊集合的概念。 4. 试证明模糊集运算不满足互补律。 5. 建立隶属度函数应遵循哪些规则？ 6. 简述凸模糊集的概念。
B (v) / v 0.8 /1 0.6 / 2 0.4 / 3 0.2 / 4
A B
0.8 / (1,1) 0.6 / (1, 2) 0.4 / (1,3) 0.2 / (1, 4) 0.7 / (2,1) 0.6 / (2, 2) 0.4 / (2,3) 0.2 / (2, 4) 0.2 / (3,1) 0.2 / (3, 2) 0.2 / (3,3) 0.2 / (3, 4)
代数积
书 例2-7
四、模糊关系的合成
问题的提出 对于多重推理的系统，比如下面的一类模糊控制规则：
if A then B,
if
B then C
那么 A 和 C 之间是否存在某种定量的关系？ 解决方法 利用模糊关系矩阵的合成来解决此类问题。
例6
某家中子女与父母的长相相似关系R为模糊关系，可表示为：
R 子 女 R 父
模糊关系的描述方法 模糊矩阵
笛卡尔积
模糊矩阵的合成
第二章 模糊控制的理论基础
一、模糊关系
模糊关系是用来描述事物之间的关联程度，是 通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条 件语句来表示的，它是普通关系的拓广和发展。 从数学的角度，所谓关系 R 实际上是 A 和 B 两个 集合的直积 A B 的一个子集。
可见，
A B B A
该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在 [0，1]闭环区间上取值。矩阵R也可以用关系图 来表示，如图所示。
图 R的关系图
模糊关系在模糊推理、系统的模糊建模 等方面都有着重要的作用， 当论域是离 散的情况下，模糊关系就可以用模糊矩阵 来描述，从而可以用数学的手段加以处理。 模糊矩阵是模糊数学的主要运算工具， 模糊关系虽然可以用模糊集合表达式来表 示，但比不上用模糊矩阵表示更为简单明 了，特别是在模糊关系的合成运算中。
cij aik bkj
k

设
a11 A a21
a12 a22
b11 b12 B b21 b22
则A和B的合成为：
c11 c12 C A B c21 c22
其中
c11 (a 11 b11 ) (a12 b 21 ) c12 (a 11 b12 ) (a12 b 22 ) c 21 (a 21 b11 ) (a 22 b 21 ) c 22 (a 21 b12 ) (a 22 b 22 )
1 2 n 1 2 n
代数积：
A A ... A (u1 , u2 ,..., un ) A (u1 ) A (u2 )... A (un )
1 2 n 1 2 n
分别用两个记号分别表示笛卡尔积( t 算子)的两种运算规则， AP min 即直积(极小算子)用 表示，代数积用 表示。
1 1 2 3
A B
U V
2 0.6 0.6 0.2
3 0.4 0.4 0.2
4 0.2 0.2 0.2
0.8 0.7 0.2

min A (u ), B (v ) / (u , v)
min A (u ), B (v) / (u , v)
二、模糊关系的描述方法-模糊矩阵
例5：设 U 1, 2,3 ; V 1, 2,3 ;
B (v) / v 0.8 /1 0.6 / 2 0.4 / 3;
A (u ) / u 1/1 0.5 / 2 0.3/ 3;
那么它们的笛卡尔积计算如下： 直积
min( AB ) (u, v)
min(1, 0.6) min(1, 0.4) 0.8 0.6 0.4 min(1, 0.8) min(0.5, 0.8) min(0.5, 0.6) min(0.5, 0.4) 0.5 0.5 0.4 min(0.3, 0.8) min(0.3, 0.6) min(0.3, 0.4) 0.3 0.3 0.3 1 0.6 1 0.4 0.8 0.6 0.4 1 0.8 AP ( A B ) (u , v) 0.5 0.8 0.5 0.6 0.5 0.4 0.4 0.3 0.2 0.3 0.8 0.3 0.6 0.3 0.4 0.24 0.18 0.12
0.7 0.9 0 1 0.4
0.5 0.6 0.4 0.5 0 1 0 0.4 0.4 0.5
0 0 0.1 0 0
桃
菱形
0.6 0
0.5 0
0 0.5 0.1 0
0.4 1 0 0
0 1
例3
设论域U={1,2,3}, V={1,2,3,4}, A (u) / u 1/1 0.7 / 2 0.2 / 3;
模糊矩阵运算
设有n阶模糊矩阵A和B，A (aij ) ， B (bij )
且 i, j 1,2,, n 。则定义如下几种模糊矩阵运算方式：
（1）相等
若 a ij bij ，则 A=B。 （2）包含 若 a ij bij ，则 A B。
（3）并运算 若 c ij a ij bij ，则 C (c ij ) 为 A 和 B 的并，记为 C=A∪B。 （4）交运算 若 c ij a ij bij ，则 C (c ij ) 为 A 和 B 的交，记为 C=A∩B。 （5）补运算 若 cij 1 aij ，则 C (c ij ) 为 A 的补，记为 C= A 。
V
其中上确界算子
sup min
{max[min(R (u, v), S (v, w))], u U , v V , w W }
V
前一个模糊关系的后域与后一个模糊关系的前域相同
模糊矩阵的合成类似于普通矩阵的乘积。 将乘积运算换成“取小”，将加运算换成“取大” 即可。 设矩阵A是x×y上的模糊关系，矩阵B是 y×z上的模糊关系，则C=Aο B称为A与B矩阵的 合成，合成算法为：
1 0.7 1 0.1 0.3 0.9 A 0.7 0.1 1 0.3 1 0.9
三、笛卡尔积
模糊关系矩阵的定义和计算方法通常采用笛卡尔积算子。 定义：笛卡尔积( t 算子) 若 A1 , A2 ,..., An 分别是论域U1 ,U 2 ,,U n 的模糊集，则 A1 , A2 ,..., An 的笛卡尔积是在积空间U1 ,U 2 ,,U n 中的一个模糊集，其隶属度 函数为 直积(极小算子): A A ... A (u1 , u 2 ,..., un ) min A (u1 ), A (u 2 ),..., A (un )
例 4： 设
0.7 0.1 A= 0.3 0.9
0.4 0.9 B= 0.2 0.1
0.7 0.4 0.1 0.9 0.7 0.9 A B 0.3 0.9 0.3 0.2 0.9 0.1
0.7 0.4 0.1 0.9 0.4 0.1 A B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.9 0.1
0 .8 0 .7 0 .2 0 .4 当A ， B 0.6 0.9 时，有 0 .5 0 .3 0 .6 A B 0 .3 0 .4 B A 0 .6 0 .7 0 .4 0 .3 0 .6
xa a xb b xc cxd dx
高斯形隶属度函数
g ( x; c, )
1 x c 2 ( ) 2 e
c代表 MF的中心； 决定 MF的宽度。
一般钟形隶 )
1 1
x c 2b a
第三讲
模糊关系
模糊关系
A B, 或 if A(u) then B(v)
定义：所谓集合 A, B 的直积
A B (u , v) u U , v V
中的一个模糊关系 R ，是指以 A B为论域的一个模糊子集， (u, v) R (。 v) u, 序偶 的隶属度为 A B min A (u ), B (v) / (u, v)
min A (u ), B (v) / (u, v)
U V