二元一次方程组竞赛题集答案解析

二元一次方程组典型例题

【例1】 已知方程组的解x ，y 满足方程5x-y=3，求k 的值.

【思考与分析】 本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.

（１） 由已知方程组消去k ，得x 与y 的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x ，y 的值，最后将x ，y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值.

（２） 把k 当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k 的方程，便可求出k 的值.

（３） 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k 的值.

把代入①，得，解得 k=-4.

解法二： ①×3－②×２，得 17y=k-22，

解法三： ①+②，得 5x-y=2k+11.

又由5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4.

【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解

二元一次方程组能力提升讲义

知识提要

1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222

111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：

① 当2

12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2

12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当

2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=12212

11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按

二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解

含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）

例题

例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c

y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解

【例2】 解方程组

【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.

解：由①，得 y=4－mx ， ③

把③代入②，得 2x+5（4－mx ）=8，

解得 （2－5m ）x=-12，当2－5m ＝0，

即m ＝时，方程无解，则原方程组无解.

当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为

将代入③，得

故当m ≠时，

原方程组的解为

例3. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+31

35y x a y x 的解是正数？

例4. m 取何整数值时，方程组⎩

⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？

二元一次方程组的特殊解法

1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。

这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。

2、灵活消元

（1）整体代入法

1. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪1423231

（2）先消常数法

2. 解方程组433132152x y x y +=<>-=<>

⎧⎨⎩

（3）设参代入法

3. 解方程组x y x y -=<>=<>

⎧⎨⎩321432::

（4）换元法

4. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩

⎪23

634

（5）简化系数法

5. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>

⎧⎨⎩

课堂练习

1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：

① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+1

53153y x y x 2． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨

⎧=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？

3． 要使方程组⎩

⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？

二元一次方程组应用探索

【知识链接】

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

解方程组

109

101027

x y x y

y x x y

+=++

⎧

⎨

+=++

⎩

，得

1

4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，因此，所求的两位数是14．

点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，