指数与指数幂的运算

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指数与指数幂的运算

15＝
5 5.
谢谢
求值：
2
83
1 5 2
1
25 2
16

3 4
81
根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
3 (1)
4 a·
a；
(2) a a a；
(3)3 a2· a3；
(4)(3 a)2· ab3.
【思路探究】熟练应用n am＝amn 求解，对于所求根式中含有多重根号的，要由里向外，用分数指数幂写出，再用性质化解．
－92；(3)4 3－π4；
(4) a－b2.
【自主解答】
3 (1)
－43＝－4.
(2) －92＝|－9|＝9.
4 (3)
3－π4＝|3－π|＝π－3.
(4) a－b2＝|a－b|
＝ab－－baaa≥ <bb.
1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
1．注意n an同(n a)n 的区别．前者求解时，要分 n 为奇数
还是偶数，同时要注意实数 a 的正负，而后者(n a)n＝a 是恒等
式，只要(n a)n 有意义，其值恒等于 a. 2．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，
这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化
n x＝
a，n为奇数
±n a，a≥0n为偶数.
(3)根式
根指数
被开方数
2．根式的性质(n＞1，且 n∈N*)
(1)n 为奇数时，n an＝ a .
(2)n
为偶数时，n
an＝|a|＝

指数与指数幂的运算知识点总结

指数与指数幂的运算知识点总结本节知识点（1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一整数指数幂1.正整数指数幂的定义:,其中N*.an na a a a 个⋅⋅=∈n 2.正整数指数幂的运算法则: （1）(N*);nm nmaa a +=⋅∈n m ,（2）（且N*）;nm nma a a -=÷,,0n m a >≠∈n m ,（3）(N*);()mn nma a=∈n m ,（4）(N*);()mmmb a ab =∈m （5）（N*）.m m mb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛,0≠b ∈m 3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.()010≠=a a 零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:n -n n . ()01≠=-a a a nn 零的负整指数幂没有意义. 知识点二根式的概念及其性质 1.次方根n （1）定义一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根. a x n=1>n ∈n x a n （2）性质:①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次n n n a n方根用表示;na ②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶n n na ±次方根;③0的任何次方根都是0,记作.00=n2.根式的定义形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被na 1>n ∈n n a 开方数.对根式的理解,要注意以下几点: na （1）且N*; 1>n ∈n （2）当为奇数时,R ; n ∈a （3）当为偶数时,≥0.n a 根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定. na 1>n ∈n n a （1）当为奇数时,的符号与的符号相同; n na a （2）当为偶数时,≥0,为非负数. n a na 3.根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn与的联系与区别:()nna nn a （1）对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义()nna n ∈a n a nn a 的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制. n n （2）当为奇数时,.n ()=nna a a nn =知识点三分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是（,N*,且）nm nm a a =0>a ∈n m ,1>n 于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.0>a ∈n m ,1>n2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定（,N*,且）nmnm nm aaa11==-0>a ∈n m ,1>n 3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法; nm a nma （2）分数指数不能随意约分. nm如,事实上,,式子是有意义的;而在()()214233-≠-()()424233-=-()3321-=-实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的,但没有意义.()()424233-=-()()434355-=-所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的nm a a 意义时,要求. 0>a 知识点四有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）（Q ）;sr sra a a +=⋅,0>a s r ,∈（2）（Q ）;()rs sra a=,0>a s r ,∈（3）（Q ）.()rrrb a ab =0,0>>b a r ∈有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）（Q ）;sr sraa a -=÷,0>a s r ,∈（5）（Q ）.r r rb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛0,0>>b a r ∈常用结论:（1）当时,; 0>a 0>ba （2）若则;,0≠a 10=a（3）若（,且）,则; sr a a =0>a 1≠a s r =（4）乘法公式适用于分数指数幂.如（）.b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+221221212121210,0>>b a 知识点五无理数指数幂一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性αa 0>a α质同样适用于无理数指数幂.知识点六运用公式进行指数幂的运算（条件求值）常用公式:（1）平方差公式 .()()b a b a b a -+=-22（2）完全平方公式 .()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+（3）立方和公式 . ()()2233bab a b a b a +-+=+（4）立方差公式 .()()2233bab a b a b a ++-=-（5）完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+（6）完全立方差公式 .()3223333b ab b a a b a -+-=-常用公式变形:（1）,.()ab b a b a 2222-+=+()ab b a b a 2222+-=+（2）,.211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x x x 或者写成,.()22122-+=+--x x xx ()22122+-=+--x x x x （3）;⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323.⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323例题讲解例1. 已知,求的值.32121=+-x x 32222323++++--x x x x 分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:;()22122-+=+--x x x x . ()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx 解:∵32121=+-xx ∴,∴. 92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x 71=+-x x ∴.()4727222122=-=-+=+--x x x x ()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴.52502034721832222323==++=++++--x x x x 例2. 已知,求下列各式的值:22121=+-a a （1）; （2）; （3）.1-+a a 22-+a a 22--a a 分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然22--a a ()222--a a 后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa ∴,∴; 42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 21=+-a a （2）;()222222122=-=-+=+--a a a a （3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a ∴. 022=--a a例3. 已知,其中,求的值.41=+-x x 10<<x xx x x 122+--分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x ∴,∴,∴. 4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 62121=+-x x()1424222122=-=-+=+--x x x x ∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x ∵,∴,∴.10<<x 22-<x x 3819222-=-=--x x ∴. 24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x 例4. （1）已知,求的值;42121=+-aa 21212323----aa a a （2）已知,且,求的值;9,12==+xy y x y x <21212121yx y x +-解:（1）∵42121=+-aa ∴,∴. 212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 142161=-=+-a a ∴; ()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a （2）∵9,12==+xy y x ∴ ()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵,∴,∴y x <2121y x <021212121<+-yx y x ∴. 333121212121-=-=+-yx y x 例5. 已知,求的值.3232+=a 31311--++aa a a 分析:借助于分式的性质. 解:∵ 3232+=a ∴,.3232113232-=+==-a a()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a ∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa .()3333333333913232347=++=++=++-++=解法二:∵3232+=a ∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a .313232132132113232=--++=-+++=-+=aa 例6. （1）当时,求的值;22,22-=+=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x （2）若,求的值. 122-=xaxx xx aa a a --++33分析: 结论对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数. 本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有22+=x 22+x.()222222+=+=x 解:（1）∵22,22-=+=y x ∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ; ()22122222221222+=+-+=--+=（2）∵122-=x a ∴ ()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x x x x a a aa a a a a a a a a a a a a . 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=另解:解例5的解法一.题型一整数指数幂的运算例7. 已知（为常数,且Z ）,求的值.a x x =+-22a ∈x x x -+88分析:因为,所以先由条()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+件求出的值.a x x =+-22x x 2222-+完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x ∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+.()()a a a a a a 3312322-=-=--=解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴,展开得:.()3322a x x =+-()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---整理得:,∴. ()382238a x x x x =+++--3838a a x x =++-∴.a a x x 3883-=+-例8. 已知,则_________. 3101=+-x x =--22x x 解:∵ 3101=+-x x ∴ ()9822310222122=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+--x x xx ∴ ()()816400498242222222=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x x x ∴. 98081640022±=±=--x x 解法二分析:使用平方差公式得. ()()1122----+=-x x x x x x 解法二:∵ 3101=+-x x ∴ ()()9644310422121=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x xx ∴. 389641±=±=--x x ∴. ()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x 例9. 若,求的值. 31=+-x x 2323-+x x 解:∵（这里）31=+-x x 0>x ∴,∴. 3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵,∴.02121>+-x x 52121=+-xx ∴ ()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx . ()52135=-⨯=解法二:∵31=+-x x ∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴ ()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴.52202323==+-xx 例10. 已知,则【】41=+-x x =+-2121x x （A ）2 （B ）2或 2-（C ）（D ）或666-分析:题目的隐含条件为. 0>x 解:∵41=+-x x ∴,∴ 42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x ∴.选择【 C 】.62121=+-x x例11. 已知,则【】212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ()=+1x f （A ）（B ）42-x ()21+x （C ）（D ）()()2111-+++-x x 322-+x x 解:（换元法）设,则有t xx =+-2121∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x ∴,∴. ()2222t t t f =+-=()2x x f =∴.选择【 B 】.()()211+=+x x f 解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ∴,∴.2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ()2x x f =∴.()()211+=+x x f题型二根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn注意对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意()nna n ∈a n a nn a 义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.n n 例12. 化简下列各式: （1）;()()222535-+-（2）（≥1）.()()2231x x -+-x 解:（1）原式;125532535=-+-=-+-=（2）.()()x x x x -+-=-+-313122∵≥1x ∴当1≤≤3时,原式; x 231=-+-=x x 当时,原式. 3>x 4231-=-+-=x x x 例13. 化简: （1）; （2）（≤）.()nnx π-62144+-a a a 21分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论. n 解:（1）当为奇数时,;n ()ππ-=-x x nn 当为偶数时,; n ()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn（2）.()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）;223223-++（2）.347246625-+--+分析: 结论对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数.根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式. 625+246-347-解:（1）原式;()()221212*********2=-++=-++=-++=（2）原式()()()222322232-+--+=.22322232322232=-++-+=-+--+=总结形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为n m 2±0,0>>n m 的形式,然后再化简.由得:()2ba ±()ab b a ba n m 222±+=±=± ⎩⎨⎧==+nab mb a 所以是一元二次方程的两个实数根.b a ,02=+-n mx x 例15. 化简. 32-解:. ()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-例16. 计算:.()()4123323-+-解:原式.()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=注意在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.nna n a 例17. 化简下列各式: （1）（）;()()665544b a b a a -+++0<<b a （2）（）. 1212----+x x x x 21<<x 解:（1）∵0<<b a ∴原式; ()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2（2）∵,∴ 21<<x 110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x. ()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x 例18. 求值_________. =-++335252解:令,则有y x =-=+3352,52,.4525233=-++=+y x 1-=xy ∴,∴()()422=+-+y xy x y x ()()[]432=-++xy y x y x 设,则,有t y x =+0>t ,∴,()432=+t t 0433=-+t t 01333=--+t t ∴()()0412=++-t t t ∵,∴,∴. 042>++t t 01=-t 1=t ∴. 1525233=-++解法二:设,则有=x 335252-++,∴()x x 3452523333-=-++=0432=-+x x∴, ()()03313=-+-x x ()()0412=++-x x x ∵,∴,∴ 042>++x x 01=-x 1=x ∴. 1525233=-++例19. 根据已知条件求值: （1）已知,求的值;32,21==y x yx y x yx y x +---+（2）已知是方程的两根,且,求的值.b a ,0462=+-x x 0>>b a ba b a +-解:（1）∵ 32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22; 383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy（2）∵是方程的两根 b a ,0462=+-x x ∴4,6==+ab b a ∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a ∵,∴ 0>>b a 0>-b a ∴. 5220==-b a ∴. ()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a （2）解法二:∵是方程的两根,∴b a ,0462=+-x x 4,6==+ab b a ∴. ()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a ∵,∴,∴0>>b a b a >0>+-ba b a ∴. 5551==+-ba b a 例20. 已知,N*,求的值.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn x 115521∈n ()n x x 21++解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴.n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴.()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x例21. 已知函数,.()53131--=x x x f ()53131-+=x x x g （1）证明:在上是增函数（已知在R 上是增函数）;()x f ()+∞,031x y =（2）分别计算和的值,由此概括出函数和()()()2254g f f -()()()3359g f f -()x f 对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.()x g x （1）证明:任取,且()+∞∈,0,21x x 21x x <∴ ()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵,且,在R 上是增函数 ()+∞∈,0,21x x 21x x <31x y =∴312311312311,--><x x x x ∴,∴ ()()021<-x f x f ()()21x f x f <∴在上是增函数; ()x f ()+∞,0（2）解:()()()2254g f f -.0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----同样求得. ()()()03359=-g f f 猜想:. ()()()052=-x g x f x f 证明:()()()x g x f x f 52-.055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx 例22. 当,且时,求的值.0,0>>y x ()()y x y y x x 53+⋅=+yxy x y xy x -+++32解:∵,且0,0>>y x ()()y x y y x x53+⋅=+∴, y xy xy x 153+=+0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx ∴,. 05=-y x y x y x 25,5==∴.22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x 题型三根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:,,,;.51a ()043>a a 36a ()013>a a()0>a a a 解:;551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a.()4323210a a a a a a a ==⋅=>例24. 将根式化为分数指数幂是【】 53-a （A ）（B ）（C ）（D ）53-a 53a 53a -35a -解:选择【 A 】. 例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）()()=⋅÷⋅109532a a a a 解:由题意可知:.0>a ∴原式.561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=例26. 设,化简:.0>a 434334aa a a -解:∵0>a ∴.611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【】（A ）（B ）()()0414>-=-x x x )0551≠-=-x x x（C ）（D ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x 4182y y =解:（A ）,故（A ）错;()0414>-=-x x x （B ）,故（B ）错; ()0155151≠==--x xx x（D ）,故（D ）错. 选择【 C 】. 4182y y =例28. 下列各式正确的是【】（A ）;（B ）35531aa=-2332x x =（C ）（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=814121814121aaa a x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）,故（A ）错;53535311aaa ==-（B ）,故（B ）错; 3232x x =（C ）,故（C ）错. 选择【 D 】.85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-题型四根式和分数指数幂有意义的条件1.对于次根式,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0. n na n ∈a n a 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若有意义,则的取值范围是__________.()4321--x x解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴,解之得:. 021>-x 21<x 即的取值范围是.x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,例30. 函数的定义域是【】()()2125--+-=x x y （A ）（B ）{}2,5≠≠x x x {}2>x x （C ）（D ）{}5>x x {}552><<x x x 或解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y ∴,解之得:且.⎩⎨⎧>-≠-0205x x 2>x 5≠x ∴该函数的定义域为.选择【 D 】.()()+∞,55,2 题型五幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）（R ）; s r s r a a a +=⋅∈>s r a ,,0（2）（R ）;()rs sr a a =∈>s r a ,,0（3）（R ）.()r r rb a ab =∈>>r b a ,0,0例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）;()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅（2）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a 解:（1）原式;()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----（2）原式 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=-------------例32. 化简下列各式: （1）;212121211111aaa a a++------（2）.111113131313132---+++++-x xx x x x x x 解:（1）原式; ()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a （2）原式 11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.31x -=例33. 化简:. ()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a解:原式 ()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a ()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------例34. 化简下列各式:（1）;（2）.436532yx xy⋅1111212331++-+++a a a a a 解:（1）原式;1212143653231--==yx yx y x （2）原式 111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. 【】 ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532（A ）（B ）（C ）（D ）0151630173658-解:. ()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=选择【 A 】.例36. 化简:_________.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a 解:原式.656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a b a ba b a b a 例37._________. =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121解:原式. 22322322232491112=-++=-++-+=例38. 已知,则的值是_________. 3,2==n m 32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 解:∵3,2==n m ∴原式 32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m . 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m 例39. 已知函数,则_________.()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛---4343213533353f f f f . 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-题型六解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）;（2）.2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x0123222=-⨯++x x 解:（1）,()2224333+-=⨯x x 424233--+=x x ∴,解之得:;4242--=+x x 2-=x （2）,设,则()0123242=-⨯+⨯x x t x =20>t ∴, 01342=-+t t ()()0114=+-t t 解之得:（舍去）. 1,241221-===-t t ∴,∴.222-=x 2-=x 结论若（,且）,则sra a =0>a 1≠a s r =题型七指数幂等式的证明设参数法例41. 设都是正数,且,求证:. c b a ,,c b a 643==ba c 122+=证明:设,则有. t cba===643cbat t t 12116,2,3===∵ 236⨯=∴,∴ba bacttt t 2112111+=⋅=ba c 2111+=等式两边同时乘以2得:. b a c 122+=例42. 设,且,则_________.m b a ==52211=+ba =m 分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵,∴. m ba==52bam m 115,2==∵211=+ba ∴,∴,.2111152m m m m ba ba==⋅=⨯102=m 10±=m ∵,∴. 0>m 10=m 例43. 已知,且. 333cz by ax ==1111=++zy x 求证:.()31313131222c b a czby ax ++=++证明:设,则. t cz by ax ===333zt cz y t by x t ax ===222,,∴.⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222∵,∴ 1111=++z y x t z y x t =⎪⎭⎫⎝⎛++111∴,t cz by ax =++222()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴.()31313131222c b a czby ax ++=++例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若c b a ,,a b c ω,,,z y x ,ω70===z y x c b a ,求的值. zy x 1111++=ωc b a ,,解:设,则有.k c b a zyx====ω70ω111170,,,k k c k b k a zyx====∴zy x k abc 111=∵,∴. zy x 1111++=ω70=abc ∵为正整数,且≤≤ c b a ,,a b c ∴ 752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴或10,7,1===c b a 7,5,2===c b a 当时,,不符合题意,舍去. 10,7,1===c b a 0===ωz y ∴.7,5,2===c b a 本节易错题例45. 计算_________.()()=-++44332121分析对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn解:原式.2212212121=-++=-++=例46. 化简_________. ()()=-⋅-43111a a 分析:题目的隐含条件为. 1>a 解:原式.()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a 例47. 已知,N*,化简.1,0><<n b a ∈n ()()nn nnb a b a ++-解:当为奇数时,原式; n a b a b a 2=++-=当为偶数时,原式.n b a b a ++-=∵,∴原式. 0<<b a a b a a b 2-=---=其它例48. 已知函数,则_________. ()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ()=-)4(f f 解:∵ ()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=--f ∴.()()4161616)4(21====-f f f 例49. 已知集合,,且,则_______.{}4,,2a a A -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33B A ==+b a 解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,,∴a a -≠0>a ∴{}b b a a aa B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴,解之得:.⎩⎨⎧==421b a ⎩⎨⎧==21b a ∴ 3.=+b a 例50. 设,若,则()244+=x xx f 10<<x _________. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f 解:∵()244+=x x x f ∴()()=+++=+++=+++=-+--2422444444244244244111x x x x x x x x x x x x f x f 12424=++x x ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f.500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f。

2.1.1指数与指数幂的运算

若x a,
n
那么x叫做a的n次方根
*
（n>1,且n N ）
n次方根的性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
（2）当n是偶数时，数的n次方根有两个，它们互为相反数 .
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是 0 . 记作 n 0 0.
作业：
课本：P54练习1题; 2题(1),(4),(5); 3题(1),(3)
P59习题2.1
1题(3),(4)； 2题(1),(2)
第二章基本初等函数 2.1.1指数函数与指数幂的运算
2.1.1.1 根式：数学谜语：
猜一数学名词
--------开方
1、n次方根的定义： 2＝４，则称x为４的平方根，（1）x x= 4 = 2 （2）x3=8，则称x为8的立方根
x=
3
；
8 =2
（3）x4=16，则称x为16的四次方根， x = 4 16 = 2
ห้องสมุดไป่ตู้
（1）分数指数幂是根式的另一种表示；（2）根式与分式指数幂可以互化.

a 规定:（1）
m n

1
a
m n
0, m , n N * , 且 n 1) (a
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没意义.
性质：(整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用）
(a 0, r , s R) a a a r s rs (a 0, r , s R) (a ) a r r r (ab) a b (a 0, b 0, r R)
练习: (1)2的平方根等于_____________ (2) 7的立方根等于_____________ (3)-32的五次方根等于___________ (4)81的四次方根等于____________

2.1.1指数与指数运算(分式)

分式指数幂0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义分母不为0
回顾：运算性质
am an amn(m,n Z) (a m )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn(n Z )
推广：正数指数幂推广到有理数指数幂。原有整数指数幂的运算性质对有理数指数幂仍然适用。
2 1 11 1 5
2 (6) (3)(a3 a2 a6 )(b2 b3 b6 )

2
(m
1 4
3
n8
)8

(m
1 4
)8
3
(n 8
)8
211 115
2 (6) (3) a3 2 6b2 3 6
4ab0 方法：将系数和同底
4a
(23)3 2 3

22 4
1
25 2

(52
1
)2Βιβλιοθήκη 2*(1 )5 2 51

1
5
( 1 )5 (21)5 25 32
2
3
3
4
(16) (2)
4( )
4 ( 2)3 ( 3)3 27
81 3
3
2
8
P82A1
例3、用分数指数幂的形式表示下列根式：
例：当a 0, n N*, n 1时，n an a，
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
(1)3 a12 _3_(a_4_)3 __a_4 _ _a__3_
被开方数的指数/ 根指数
2 3
a2

3
2
(a 3 )3

(绝对经典)指数与指数幂的运算

意义.
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有
解：a3
a

a3
1
a2

3 1
a2

7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即

指数与指数幂的运算

我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：
a a
n
m n
m
a 0, m, n N , 且n 1

a 0, m, n N , 且n 1 下，根式可于是，在条件
以写成分数指数幂的形式.
写一写 2 1 （1） 2 __ （2） 3 __ 27 8
（3） 4 __ 27 __ （4） 2 3 5 （5） a __ （6） m __
n 负数没有偶次方根. 0的任何次方根都是0，记作： 0 0.
例1 求下列各式的值：
(1) (3)
3
8
3
(2)
4
10
2
4
3
(4)
a b a b
2
2.根式的定义：式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，叫做被开 a
方数.
① 当n为奇数时， a
3 2
5 3
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的
意义相仿，我们规定
a

m n

1 a
m n
a 0, m, n N , 且n 1

0的正分数指数幂等于0,0的负整数指数幂没有意义.
整数指数幂
扩充
有理数指数幂
练习把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
1 b5 32;
3 1 3 1 3 1 2 1 4 5 4
1 2 x y 3 ;
1 2 2 3 5 3
6
1 4 2 x x 3x 2
.
例4 计算下列各式(式中字母都是正数), 并把结果化为只含正有理数指数的形式 2 1 1 5 1 1 3 2 1 2a b 6a 2 b 3 3a 6 b 6 ;

指数与指数幂的运算课件

2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定：
m
(1) a n
1mBiblioteka (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
an
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
3. 有理数指数幂的运算性质:
am an amn (m, n Q), (am )n amn (m, n Q), (ab)n an bn (n Q).
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定：
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定：
m
(1) a n
1
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
an
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定：
m
(1) a n
1
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
an
(2) 0的正分数指数幂等于0；
指数与指数幂的运算
1. 正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
1. 正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式； (2)根式与分数指数幂可以进行互化.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．

2.1.1 指数与指数幂的运算

(
1
6000
) 5730
,
2
(
1
10000
) 5730
,
2
(
1
100000
) 5730
,
.
2
(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么?
P

(
1 2
)
t 5730
.
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体内碳14的含量P的值.
(4)我们已经知道１２，１２２，１２３， ...是正整数指
二、分数指数
• 规定： 1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a

m n

1
m
an

1 n am
(a 0, m, n N *, n 1)
3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,… 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1,
( 1 )2 ,
2
2
(
1 2
)3
,
.
(2) 当生物体死亡了 6000 年 ,10000 年 ,100000 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root),

指数与指数幂的运算练习题

指数与指数幂的运算练习题指数与指数幂的运算练习题在数学中，指数与指数幂是一种常见的运算形式。

通过这种运算，我们可以快速计算出大量的数值，同时也能够更好地理解数学中的乘方概念。

本文将介绍一些指数与指数幂的运算练习题，帮助读者提升运算能力。

一、简单指数运算1. 计算2的3次方。

解析：2的3次方等于2乘以2乘以2，即2 × 2 × 2 = 8。

2. 计算5的2次方。

解析：5的2次方等于5乘以5，即5 × 5 = 25。

3. 计算10的0次方。

解析：任何数的0次方都等于1，所以10的0次方等于1。

4. 计算(-2)的4次方。

解析：(-2)的4次方等于(-2)乘以(-2)乘以(-2)乘以(-2)，即(-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16。

二、指数幂的运算1. 计算2的3次方乘以5的2次方。

解析：2的3次方等于8，5的2次方等于25，所以2的3次方乘以5的2次方等于8乘以25，即8 × 25 = 200。

2. 计算3的4次方除以3的2次方。

解析：3的4次方等于81，3的2次方等于9，所以3的4次方除以3的2次方等于81除以9，即81 ÷ 9 = 9。

3. 计算(-2)的3次方乘以(-2)的2次方。

解析：(-2)的3次方等于-8，(-2)的2次方等于4，所以(-2)的3次方乘以(-2)的2次方等于-8乘以4，即-8 × 4 = -32。

4. 计算10的5次方除以10的3次方。

解析：10的5次方等于100000，10的3次方等于1000，所以10的5次方除以10的3次方等于100000除以1000，即100000 ÷ 1000 = 100。

三、指数运算的特殊规律1. 计算2的3次方的平方。

解析：2的3次方等于8，所以2的3次方的平方等于8的平方，即8 × 8 = 64。

2. 计算3的4次方的开平方。

指数与指数幂的运算

n个正整数指数幂的运算法则有五条：
1.am·an=am+n；
另外，我们规定：
2.am÷an=am-n；
3.(am)n=amn；
4.(ab)n=an·bn；
5.
( a )n b

an bn
(b 0).
a0 1(a 0);
an

1 an
.
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1，
探究:
n an 表示an的n次方根,等式 n an a 一定成立吗? 如果不一定成立,那么 n an 等于什么?
a, (当n为奇数)
n
an

|
a
|
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.例1 求下列各式的值1. 3 (8)3 ; 2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
且n∈N*.
x n a ; (当n是奇数)
xn a
x n a. (当n是偶数,且a＞0)
让我们认识一下这个式子:
a 根指数
n
根式
被开方数
•；太阳能路灯
•；
•最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行，才有金屋，而且别人偷也偷不走。 ? 《青年文摘》2007、9 惭愧惭愧是一个人在事实的镜子里，看见自己面容的丑陋之后的赧然。 ? ? 惭愧者势必在某一段时间内高估了自己的能力，然后为能力不逮而开始恨自己。 ? ?惭愧的前身一般叫做冲动。冲动是那种不计后果

指数与指数幂的运算必修一

04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加，即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减，即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通过观察其图像顶点位置来判断函数的最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再求其交集来求解。

指数与指数幂的运算

正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
主页
(1) 奇次方根有以下性质：正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.
(2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数，
负数没有偶次方根，
零的偶次方根是零.
如果xn a, 那么
x
n
a
,
n 2k 1,k N,
主页
问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物体死亡了5730, 5730×2, 5730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
自然数→整数→分数(有理数)→实数.
主页
(5)指数能否取分数(有理数)、无理数呢?如果
能，那么在脱离开上面这个具体问题以后,
关系式
P
(
1
t
) 5730
2
就会成为我们后面将要相继
研究的一类基本初等函数—“指数函数”的
一个具体模型.
为了能更好地研究指数函数,我们有必
要认识一下指数概念的扩充和完善过程,这
(3)已知a, b, c为三角形的三边,则
（a b c)2 b a c __2_b___2_c_.
主页
例3.求使等式 ( x 2)( x2 4) ( x 2) x 2
成立的x的范围.
解 : ( x 2)( x2 4) (x 2)2 x 2
x 2 x 2.
x 2 x 2 ( x 2) x 2.

指数与幂的基本概念与运算

指数与幂的基本概念与运算指数与幂是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如代数、几何和物理等。

本文将介绍指数与幂的基本概念，并探讨它们的运算规则。

一、指数的概念指数是幂运算中的一个重要概念，表示一个数的重复乘法。

指数通常用小数字写在大数字的上方，如2²表示2的平方，2³表示2的立方。

其中，2称为底数，2²称为2的平方，2³称为2的立方。

在指数运算中，指数表示要将底数乘以自身的次数。

二、幂的概念幂是指数运算中的结果，表示一个数被自身乘以指数次后的值。

幂也可以表示为乘方或次方。

例如，2²=4，2³=8，4⁴=256。

这里，4的4次方等于256。

三、指数与幂的运算规则1. 同底数幂相乘：若两个幂的底数相同，则它们的指数相加。

例如，3² × 3³=3⁵。

2. 同底数幂相除：若两个幂的底数相同，则它们的指数相减。

例如，5⁴ ÷ 5²=5²。

3. 幂的乘法：若指数相同，则幂的结果为底数相乘后的指数。

例如，2³ × 4³=8³。

4. 幂的除法：若指数相同，则幂的结果为底数相除后的指数。

例如，6⁵ ÷ 2⁵=3⁵。

5. 幂的幂：若一个幂的底数为另一幂，则它们的指数相乘。

例如，(2³)²=2⁶。

6. 幂的倒数：一个幂的倒数等于底数的倒数的幂。

例如，(3²)⁻¹=1/3²。

四、指数与幂的应用指数与幂在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在科学计数法中，我们使用幂来表示非常大或非常小的数。

在物理学中，指数与幂可以表示速度、功率和能量等。

指数函数和对数函数是微积分中的基本函数。

此外，指数与幂也应用于金融领域，如复利计算和股票收益率的计算等。

总结：本文介绍了指数与幂的基本概念与运算规则。

指数表示重复乘法，幂表示数被自身乘以指数次后的值。

2.1.1指数与指数幂的运算(二)(用)

复习
1. 整数指数幂的运算性质：
(m, n Z ) n n n (ab) a b (n Z ).
(a ) a
m n mn
a a a
m n
m n
(m, n Z ),
2. 根式的运算性质： ① 当n为奇数时， n
当n为偶数时， n
a ( a 0) a | a | a(a 0). ② 当n为任意正整数时，( n a ) n a .
a a
n
m n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
规定：
(1)
a
m n

1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
阅读P52页无理数指数幂
有理指数幂的运算性质:
(a ) a
m n
n n
a a a
n
a a;
n
问题2 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系
1 P( ) 2
提问：
t 5730
.
100000 5730
1 ( ) 2
6000 5730
m n
m n
mn
n
(ab) a b
R (m, n Q), Z R ((m,,n Q), m, n Z )
nZ R (n Q).
例1 求值：
(1) 8 ,
2 3
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .

指数与指数幂的运算3

提高练习1 提高练习
0；100
3 2. (−3 ) 8
−
2 3
+ (0.002)
−
1 2
− 10( 5 − 2) + ( 2 − 3) =
0
−1
167 − 9
3.计算： 2
1 − 2
+
(−4) 2
− 1 2
0
+
1
1 2 −1
2 +
− (1− 5)
1 2 −1 − 1
0
解：原式 = 2
− 1 2
§2.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算
思考：思考：化简 (1 + 18 )(1 + 14 )(1 + 12 )(1 + 1 ).
2 2 2 2
解 : (1 + 18 )(1 + 14 )(1 + 12 )(1 + 1 ) 2 2 2 2 (1 − 1 ) 2 (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) = 1 2 24 28 22 1− 2 (1 − 12 ) (1 − 14 ) 2 (1 + 1 )(1 + 1 )(1 + 1 ) 2 (1 + 1 )(1 + 1 ) = = 1 28 22 24 1 28 24 1− 1− 2 2 (1 − 18 ) 1− 1 2 (1 + 1 ) = 216 = 2 − 1 . = 8 1 1 215 2 1− 1− 2 2
+
=2
+2
− 1 2
−
1 2
+
2
2 +1−1

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算教学目标：1.了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念2.正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.教学重点：掌握n 次方根的求解. 有理数指数幂的运算. 教学难点：理解根式的概念，有理数指数幂的运算教学过程：一、复习：1、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. →2、整数指数幂的运算二. 新课:1.根式的概念及运算：①2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根.探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,n *∈N例如：328=2=③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如3=3-,记：x 当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±,记：强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即0=④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为； 3b a =, 则a 的3次方根为 .⑤radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）. ⑥计算2→ 探究：n 、n n a 的意义及结果？（特殊到一般）结论：na =. 当n 是奇数时，a a n n=；当n(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2.分数指数幂概念及运算性质: 引例：a>01025a a === →?=； 32333232)(a a a == →?.定义分数指数幂：规定*0,,,1)mna a m n N n =>∈>；*10,,,1)m nm naa m n N n a-==>∈>1()(,)m n m n a a a m n Z +⋅=∈2()(,)m n m n a a a m n Z -÷=∈3()()(,)m n mna a m n Z =∈4()()()n n n ab a b n Z ⋅=⋅∈5()()()nn n a a n Z b b =∈练习：A.(0,,1)a m n N n *>∈>B. 求值 2327； 255； 436-； 52a -.讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(．3、无理指数幂的教学.（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？4、例题讲解（P 5O 例题1）：求下列各式的值(1)(2)(3)(4)三、巩固练习： 1.计算或化简：.2、；3、求值化简：a b <）4、求值:2327; 4316-; 33()5-; 2325()49-四、作业：1、化简：211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-；311684()m n2. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n为偶数时，x = 2．两个公式：(0),||(0)na a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时分数指数是根式的另一种写法.指数函数及其性质教学目标：理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质. 教学重点：掌握指数函数的的性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：一、复习准备：1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？二、讲授新课：1.指数函数模型思想及指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R.讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？ 2. 指数函数的图象和性质：回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3后？根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56) 3、例题讲解例1：已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.例2：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3与 0.93.1例3：求下列函数的定义域：（1）442x y -= （2）||2()3x y = (3) y =例4求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.例5、已知函数[]2,1,2329∈+∙-=x y x x ，求这个函数的值域例6、设函数f （x ）是定义域为R ，当x>0时,有f （x ）>1, 对任意x ，y 都有f （x+y ）=f （x ）∙f （y ）.解不等式f （x ）)1(1+≤x f .三、作业1、求函数132)(++=x x e e x f 的值域2、求函数xx x x f 2424)(1++=+的值域3、解不等式813122<+-x x小结1、理解指数函数(0),101xy a a a a =>><<注意与两种情况。

幂的运算与指数运算的关系

幂的运算与指数运算的关系幂的运算与指数运算是数学中非常重要的概念，两者之间有着密切的关系。

在本文中，我们将探讨幂的运算与指数运算的关系，并详细解释它们之间的相互作用。

首先，让我们来了解一下幂的运算。

在数学中，幂是指将一个数（称为底数）自乘若干次来得到的结果。

幂数（或指数）表示了底数自乘的次数。

例如，3的2次幂（记作3^2）表示3自乘两次，即3^2 = 3 × 3 = 9。

同样地，4的3次幂（记作4^3）表示4自乘三次，即4^3 = 4 × 4 × 4 = 64。

我们可以看到，幂数告诉我们底数需要自乘的次数。

而指数运算是指利用指数的规则对幂进行运算的过程。

指数运算可以进行加法、减法、乘法和除法。

以下是一些指数运算的规则：1. 幂的乘法规则：a的m次幂乘以a的n次幂等于a的m+n次幂。

即a^m × a^n = a^(m+n)。

例如，2的3次幂乘以2的4次幂等于2的7次幂，即2^3 × 2^4 = 2^7。

2. 幂的除法规则：a的m次幂除以a的n次幂等于a的m-n次幂。

即a^m ÷ a^n = a^(m-n)。

例如，5的6次幂除以5的3次幂等于5的3次幂，即5^6 ÷ 5^3 = 5^3。

3. 幂的幂规则：将a的m次幂的幂作为底数，幂数为n，等于a的m×n次幂。

即(a^m)^n = a^(m×n)。

例如，(3^2)^3等于3的2×3次幂，即(3^2)^3 = 3^(2×3)。

通过这些规则，我们可以在幂的运算中使用指数运算来简化计算过程。

指数运算的规则为我们提供了更方便、快捷的方法来处理幂。

此外，幂的运算与指数运算在实际问题中也有重要的应用。

在科学和工程领域中，我们经常需要对数据进行指数运算和幂运算。

通过运用指数和幂的概念，我们可以更好地理解和分析实际问题，并找到解决问题的方法。

总而言之，幂的运算与指数运算是数学中不可或缺的概念。

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算知识点总结

2.1.1指数与指数幂的运算

2.1.1指数与指数运算(分式)

(绝对经典)指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算 课件

2.1.1 指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算练习题

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算必修一

指数与指数幂的运算

指数与幂的基本概念与运算

2.1.1指数与指数幂的运算(二)(用)

指数与指数幂的运算3

指数与指数幂的运算

幂的运算与指数运算的关系

指数与指数幂的运算课件