2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(十四)数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(一)文科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-1．【答案】D【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}AB =-，故选D ．2.12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i1．【答案】C【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ．3.抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，）D ．116（0，） B4.若00x y >>，，则2x y +≤是224x y +≤的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断224x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>()222424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，反过来，当x y ==时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.故选：A5.若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故俯视图主视图左视图4 22 2选D ．6.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点2(1,)2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为 （A ）2212x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155x y += A7．设0.60.3a =，0.60.5b =，3log 4c ππ=,则( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c b a >> 【答案】A8.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为A ．83+4πB ．83+8πC ．8+4πD ．8+8πC9.函数ππ()sin()(0,)22f x A x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π39．【答案】D【解析】由题可知函数()f x 的最小正周期ππ2[()]π36T =--=，从而2ππ||ω=， 又0ω>，解得2ω=，从而()sin(2)f x A x ϕ=+．由π3x =为函数()f x 的单调递减区间上的零点可知2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=．10.△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3B11.已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0，2）D. 50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值. 【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选D ．12.将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ）A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A()(),tan b f x x aϕϕ=+=将()f x 图像向右平移3π单位长度可得()3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0即03πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得,3k k Z则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于①()f x 的最小正周期为221T ππ==,所以①正确;对于②若()f x的最大值为2,则2b a=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误03x k ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,当[],x ππ∈-时,满足123x k k πππ++=,12,k k Z ∈.解方程可得3x π=-或23x π=,所以③正确;对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭,则其一个单调递增区间为,232x k k Z ππππ-≤++≤∈,解得5,66k x k k Z ππππ--≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,所以④正确. 综上可知,正确的为①③④ 故选:A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(一)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则MN =（ ）A. ∅B. {}2C. {}1D. {}1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的意义判断即可.【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题. 2.设复数12z i =+，则1zi=+（ ） A.3122i + B.3122i - C. 1322i -- D. 1322i -+ 【答案】C 【解析】 【分析】代入共轭复数z 再根据复数的除法求解即可.【详解】由题()()()()212112132131111222i i z i i i i i i i i ----+====--+++-. 故选：C【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念与复数除法的运算,属于基础题. 3.设a ，b 为非零向量，则“a b =”是“a b =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等与模长相等的意义判定即可.【详解】由题,若a b =则必有a b =,但当a b =时因为向量有方向,故a b =不一定成立. 故“a b =”是“a b =”的充分而不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,同时也考查了向量的辨析,属于基础题. 4.如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是OAB ，其中4OB AB ==，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）A. 162B. 82C. 16D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测的画法计算原平面图形的边角关系再计算即可.【详解】根据斜二测画法可知,该图的直观图为'Rt A OB ,且22'224482A O AO ==⨯+=.故面积为14821622⨯⨯=.故选：A【点睛】本题主要考查了斜二测画法所得的直观图与原图形之间的关系,属于基础题. 5.下列命题中正确的是（ ）①已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=；②相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越大，相关性越弱； ③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高. A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】对①,根据正态分布的性质求解即可.对②③④根据相关系数与残差的性质判定即可. 【详解】对①,()()()()()02244240.50.3P P P P P ξξξξξ<-<<=<<==<<-=①对.对②, 相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,[]11r ,∈-且r 越大,相关性越强.②错.对③, 相关指数2R 用来刻画回归的效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越差.③错. 对④, 在残差图中,残差点分布的带状区域越狭窄,其模型拟合的精度就越高.④对. 故①④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了正态分布的性质与线性回归方程中相关系数、相关指数与残差的基础知识,属于基础题.6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ B. 若m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α，则//αβ C. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ D. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】 分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项证明或举反例即可.【详解】对A,当m β⊥时也满足m α⊥,n β⊂,且m n ⊥,但此时//αβ,故A 错误. 对B,当l αβ=,且//,//m l n l 时也满足m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α,但此时l αβ=,故B 错误.对C, 若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥成立.故C 正确. 对D, 当m n ⋂时也可以满足//m α,//n β,且//αβ.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.7.现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（ ） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 108种【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的方法考虑特殊位置,分去一中的只有甲教师与去一中的有甲教师与另外一个教师两种情况计算即可.【详解】由题,当去一中的只有甲教师时共有12234236236C C A ⋅⋅=⨯⨯=种.当去一中的有甲教师与另外一个教师时共有13434624C A ⋅=⨯=种.故共有36+2460=种分配方法. 故选：B【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用,需要根据题意根据特殊位置进行分类求解.属于中档题.8.已知()()cos 0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则ϕ的值为（ ）A. 3π- B. 3π C. 6πD. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π,可求得周期与ω,再代入23x π=分析ϕ的值即可.【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π可得周期为π,故22ππωω=⇒=. 故()()cos 2f x x ϕ=+,又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 故()2222,33k k k Z ππϕππϕπ⨯+=+⇒=-∈,又2πϕ<,故3πϕ=-. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.9.已知点()3,0M -，()3,0N ，动点A 满足4AM AN -=，则AM 的最小值是（ ） A. 7 B. 5C. 3D. 1，【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知动点A 的轨迹为双曲线的右支,再根据双曲线的性质判断AM 的最小值即可.【详解】由题, 动点A 的轨迹为以()3,0M -,()3,0N 为焦点, 42a AM AN =-=的双曲线的右支,此时双曲线方程为()221245x y x -=≥.故当A 在顶点()2,0时AM 取最小值325+=.故选：B【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求焦点到双曲线上距离的最值问题,属于基础题.10.若132log 5a =，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.223c -⎛⎫= ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】分析a ,b ,c 与1的大小关系,再根据幂函数的单调性判定即可. 【详解】由题, 113321log log 153a =<=,0.20.21313b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭,0.20.22331322c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故a 最小.又0.20.2332⎛⎫> ⎪⎝⎭,故b c >.所以a c b <<.故选：A【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较,一般做法是确定函数值的大致范围或根据函数单调性进行比较,属于基础题.11.函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，又函数()sin g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分别根据对称性与周期性画出()f x 的图像与()sin g x x π=的图像,再观察图像即可.【详解】因为()()f x f x -=,故()f x 为偶函数,关于y 轴对称.又()()2f x f x =+,故()f x 周期为2.故画出当[]0,1x ∈时,()2f x x =在根据对称性与周期性补全()f x 在[]1,3-上的图像.又()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数即为()()f x g x =在[]1,3-上的零点个数即()()f x g x =在[]1,3-上的交点个数.观察图像可得共有6个交点.故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的对称性与周期性画图分析,属于中档题.12.在ABC 中，60ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D ，若1CD =，则4BC AC +的最小值是（ ） A. 33 B. 63C. 6D. 9【答案】A 【解析】 【分析】设AC b =,BC a =,利用ABCADCBDCSSS=+代入面积公式可得113a b+=,再利用基本不等式中“1的妙用”构造()11443a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式求最小值即可. 【详解】如图所示,ABC 中,60ACB ∠=︒, ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D , 且1CD =,设AC b =,BC a =, 由ABCADCBDCS SS=+,即111sin 60sin 30sin 30222ab b a ︒=︒+︒, 化为113a b+=,则)114444533b a BC AC a b a b a b a b ⎛⎫⎫+=+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭ 452333b a a b ⎛≥+⋅=当且仅当23b a ==,取得等号, 则4BC AC +的最小值为33故选：A .【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式的运用与构造基本不等式求最小值的方法.属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13.曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ．【答案】2 【解析】 试题分析：因为，所以，所以它在处的切线的斜率.考点：导数的应用.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则异面直线BE 与AC 所成的角为________. 【答案】90︒. 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定与性质证明直线BE 与AC 垂直即可.【详解】连接DB ,因为正方体1111ABCD A B C D -故AC BD ⊥,1DD ⊥平面ABCD .故1DD AC ⊥.又1DD BD D =,故AC ⊥平面11DBB D .故AC BE ⊥.所以异面直线BE 与AC 所成的角为90︒.故答案为：90︒【点睛】本题主要考查了线线垂直的判定,属于基础题. 15.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.. 【解析】 【分析】分析已知的余弦值与所求的余弦值角度的关系可知2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再利用两角差的余弦函数求解即可.【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故sin 43πα⎛⎫+==⎪⎝⎭.又因为,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以sin 42πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭. cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233339⨯+==.故答案为：9【点睛】本题主要考查了利用凑角求解三角函数值的问题,需要注意根据角度的范围求解正余弦函数的值,属于中档题..16.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第19行第18个数是________. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… …… …… …… …… 【答案】171. 【解析】【分析】根据杨辉三角每行的各个数等于二项式展开项的系数求解即可.【详解】根据二项式()na b +展开项的通项公式1C r n r rr n T a b -+=可知, 第19行第18个数为当17r =时的项的系数1721919171C C ==.故答案为：171【点睛】本题主要考查了杨辉三角与二项展开式的关系,属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）2nn b n =+，()()12212n n n n T +=+-. 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.18.哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求成绩在[)70,80的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数； （Ⅱ）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率； （Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 4 30 女 30 合计60()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.0010k5.0246.635 7879 10.828【答案】（Ⅰ）直方图高度0.03，众数75，中位数2203；（Ⅱ）12；（Ⅲ）表格见解析，有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率和为1计算即可.（Ⅱ）利用组合数的方法分别求解总的情况数与满足条件的情况数即可. （Ⅲ）根据频率直方图补全表格,再计算2K 对照表格分析即可. 【详解】(Ⅰ)根据频率和为1,计算[)70,80的频率为：()1100.010.0150.0150.0250.0050.3-++++=,所以[)70,80对应的频率直方图高度0.03,如图所示；由频率分布直方图知众数为75；由0.10.150.150.40.5++=<,0.40.30.70.5+=>可知 中位数在[)70,80内,计算中位数为0.1220700.033+=； (Ⅱ)成绩在[)40,50内有600.16⨯=人,在[]90,100内有600.053⨯=人；从这9人中选2人,基本事件为2936C =(种),其中在同一分数段的基本事件为226318C C += (种), 故所求的概率为181362P ==；(Ⅲ)由题意填写列联表如下； 优秀 非优秀 合计 男 4 26 30 女 14 16 30 合计 184260计算()2260416147.937 6.6353030182426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关。
2021届全国百所名校新高三原创预测试卷(十五)文科数学
2021届全国百所名校新高三原创预测试卷（十五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B =（ ）A. {}3,2--B. {}2,3C.{}3,2,3-- D.{}3,2,2,3--【答案】C 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}. 故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】A 【解析】 【分析】通过分母实数化，求出z 即可. 【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ， ∴z ＝512i i+＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，3223a a =+，则其前3项的和3S =（ ） A. 3 B. 6C. 13D. 24【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求出公比q ，再利用公式求出前3项的和3S . 【详解】3223a a =+，11a =，223q q ∴=+，又0q >，所以3q =，33131313S -∴==-.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的求和，考查了学生的运算求解能力.4.已知向量()1,1a =，()2,4b =，则()a b a -⋅=（ ） A. -14 B. -4C. 4D. 14【答案】B 【解析】 【分析】由条件算出a b -，进而由公式算出()a b a -⋅. 【详解】()1,1a =，()2,4b =，()1,3a b ∴-=--，()()()11314a b a ∴-⋅=-⨯+-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，考查了学生的基本运算能力. 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.2π B.32π C. 2πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，根据数据可计算出几何体体积.【详解】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，故该几何体体积为2213121122V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图还原原几何体，计算几何体体积，考查了学生的直观想象能力.6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（ ）A.85B.32C.43D. 1【答案】C 【解析】 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的结果，即可得最后的结果.【详解】100k S T ===，，，则1612S T k =<==，，；43633，，=<==S T k ；6S =，输出43T =. 故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，属于基础题.7.已知()f x 是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式()()20f x x f x -->的解集为（ ） A. ()(),02,-∞+∞B. ()0,2C. (),2-∞D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性可得2-<x x x ，求解即得02x <<.【详解】因为()f x 是定义在R 上的减函数，则由()()20f x x f x -->得()()2->f x x f x ，即2-<x x x ，解得02x <<.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，利用单调性求解不等式，考查了学生的运算求解能力.8.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为1的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】因为直线l 的斜率为1，得45∠=NMC ，所以11，，OP OM r OC CM PO ==-=⊥， 从而有1OP OC ==得2r ，又CP 垂直平分线段MN ，所以可得MCN ∆为等腰直角三角形，故可得MN .【详解】因为直线l 的斜率为1，得45∠=NMC ，所以11，，OP OM r OC CM PO ==-=⊥从而有1OP OC ==得2r ，又CP 垂直平分线段MN ，所以可得MCN ∆为等腰直角三角形，故MN ==故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，及平面几何的相关知识. 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 220x y +-= C. 210x y +-= D. 220x y --=【答案】A 【解析】 【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程. 【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4）， ∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ， ∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题. 10.若直线y ax =与曲线ln 1y x =-相切，则a =（ ） A. e B. 1C.1eD.21e 【答案】D 【解析】 【分析】设切点()00,x ax ，则由导数的几何意义可得0001ln 1a x x ax⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程组可得a .【详解】设切点()00,x ax ，又函数ln 1y x =-的导函数为1y x'=，则有 0001ln 1a x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得：2201a e x e ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查学生对导数几何意义的理解.11.已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =且P ABCD -的体积为323，则球O 的表面积为（ ） A 25π B. 253πC.254πD. 5π【答案】A 【解析】 【分析】设正四棱锥底面的中心为1O ，则由体积可求得棱锥的高14PO =，设外接球的半径为R ，在直角三角形1OO A 中，1142，OO R O A =-=，则有()22242-+=R R ，解得R ，即可得球的表面积.【详解】设正四棱锥底面的中心为1O ，则有()211322233PO ⨯⨯=，可得14PO =， 设外接球的半径为R ，在直角三角形1OO A 中，1142，OO R O A =-=，则有()22242-+=R R ，解得52R =， 所以球O 的表面积为22544252R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查了正棱锥的外接球的表面积计算，考查了学生的直观想象和运算求解能力.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足2AOD DOE AOC ∠=∠=∠，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE EB +取得最大值时，sin AOC ∠=（ ）A.26B.14C.23D.12【答案】B 【解析】 【分析】设04，AOC ∠=<<πθθ，则24，DOE EOB θπθ∠=∠=-，由余弦定理可表示出，DE EB ，则2192sin 2cos 24sin 44DE EB θθθ⎛⎫+=+=--+ ⎪⎝⎭，即可得出结果.【详解】设04，AOC ∠=<<πθθ，则24，DOE EOB θπθ∠=∠=-，在DOE ∆中，由余弦定理得2sin DE ====θ，在BOE ∆中，由余弦定理得2cos 2BE θ====()22192sin 2cos 22sin 212sin 4sin 44DE EB θθθθθ⎛⎫∴+=+=+-=--+ ⎪⎝⎭，又04πθ<<，所以当1sin 4θ=时，DE EB +有最大值. 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，余弦定理，三角函数的最值求解，考查了学生的应用意识与运算求解能力.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x+≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可）【答案】-1（任意负数均可） 【解析】 【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1 ，带入.【详解】解：当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =取等号， 当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可.例如x ＝－1时12x x+=-.故答案为：－1 （任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”.已知DEF ∆是锐角ABC ∆的欧拉三角形，若向ABC ∆所在区域内随机投一个点，则该点落在DEF ∆内的概率为______. 【答案】14【解析】 【分析】由题知14DEF ABC S S ∆∆=，则由几何概型公式可得所求概率. 【详解】由题知14DEF ABC S S ∆∆=，则由几何概型公式可得该点落在DEF ∆内的概率为14DEF ABC S P S ∆∆==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可.15.已知F 是双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若2OP b =，6POF π∠=，则M 的离心率为______.【解析】 【分析】由题意不妨设点P 在第一象限，又2OP b =，6POF π∠=得),Pb ，代入双曲线方程可得2232a b =，则222252c a b b =+=，故可得离心率. 【详解】由题意不妨设点P第一象限，又2OP b =，6POF π∠=得),Pb ，代入双曲线方程得222231b b a b-=，则2232a b =，所以222252c a b b =+=，故离心率3e ===.故答案为：3【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，考查了学生的运算求解能力.16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点； 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称， 又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =， 又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确； 又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，周期性等性质，考查了函数零点的个数判断，考查了数形结合，函数与方程的思想.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）若2AB =，求点B 到平面11A B D 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ，证明四边形EODC 为平行四边形，从而得到//OD EC ，即可得证//OD 平面ABC ；（2）设点B 到平面11A B D 的距离为h ，采用等体积法由1111A BB D B A B D V V --=解方程得h 即可. 【详解】（1）证明：取AB 中点E ，连结CE 、OE ， 在四边形EODC 中，EAB 中点，O 为1AB 中点，所以EO 为1AB B 中位线， 故：1//EO BB 且112EO BB =， 因为D 为1CC 中点， 所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ， 所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形， 所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ， 所以//OD 平面ABC .（2）因为111A B C △为等边三角形，D 为1CC 中点，2AB =，114CC AA ==， 所以12C D =，所以：1122A D B D ==112A B =， 所以：1112772A B D S =⨯=△114242BB D S =⨯⨯=△. 点1A 到平面11BB C C 3， 设点B 到平面11A B D 的距离为h ， 由1111A BB D B A B D V V --=得11111333A B D BB D S h S ⋅⋅=⋅△△解得421 h .【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，点到平面的距离计算，考查学生采用等体积法求点到平面的距离，考查了学生直观想象能力和转化与化归的思想.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.（结论不要求证明）【答案】（1）3.26亿万元（2）38（3）从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【解析】【分析】（1）由柱状图表得出这5年的市场规模，运用公式求平均数即可；（2）根据柱状图表算出从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值，利用古典概型算出概率；（3）由折线图判断从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大. 【详解】（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数2.1 2.73.1 3.94.53.265x ++++==万亿元；（2）设A 表示事件“从2012年至2019年中随机挑选一年，读年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元”，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为： 3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000（单位：亿元）， 所以()38P A =. （3）从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，统计图表的认识，样本的数字特征，考查学生数据分析能力，以及对平均数，方差概念的理解.19.ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+. （1）求A ；（2）从三个条件：①a =b =ABC ∆求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=（2）分类讨论，见解析【解析】 【分析】（1）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，即可得3A π=； （2）分三种情况求解：选择①得，2sin 2sin ，bB cC ==，则有ABC ∆的周长2sin 2sin n i 6l a b c B C B π=++=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32sin a B =，3cos sin 2sin 2C B c B B ==+，则有3(1cos )32sin 222tan2B l B B +=+=+；选择③得4bc =，则有l a b c b c =++=+；分别利用三角函数与基本不等式求出周长的范围.【详解】（1）因为222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈， 所以3A π=；（2）选择①a = 因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， 即ABC ∆的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭3sin B B =6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 即ABC ∆周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B =，23cos 3sin sin 2sin 2B C B c B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC ∆的周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 22sin 2B B l a b c B B B +=++=++=+26cos 24sincos 22B B B =+32tan2B=+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<即ABC ∆周长的取值范围是()+∞.选择③ABC S ∆.因为3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△，得4bc =， 由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC ∆的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC ∆周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了三角形周长范围的求解，是个典型题目.解决三角形周长范围，可用正弦定理化角转化为三角函数的求值域或用余弦定理及基本不等式来求解.20.已知函数()()()22ln ln 0f x ax a x a a x=-+-->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12f x f x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）先求()f x '，通过讨论a 的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22x a=，表示出()()12(2)ln2ln 2a f x f x a a +=+-，令()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，求()h x 的最小值即可得解.【详解】（1）0x >，0a >，()22222(2)2a ax a x a x f x x x+-++=-+='2(1)(2)x ax x --=，由()0f x '=得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得01x <<或2x a>， 所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a，()()22210x f x x -'=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增；③若2a >，则21a <，由()0f x '<得21x a <<；()0f x '>得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由（1）知，()f x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =和22x a=， ()()112ln f x f a a ==--，()222(2)ln ln 2af a a a a f x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2af x f x a a +=+-， 设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()ln ln 21h x x '=-+，由()0h x '<得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()0h x '>得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以当0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12f x f x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了转化与化归的思想.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积为33P 的坐标.【答案】（1）2219x y +=（2）(3P 或(6,3P -【解析】 【分析】（1）由题得1MD =，3ND =，结合图2，可知椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故可得椭圆的方程；（2）设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33t y x =-，设()11,Q x y ，()22,R x y ，由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()22960t y ty +-=，算出1269t y t =+，同理得2221ty t=-+，所以得四边形12AQA R 的面积为()()()22112222431291t t S A A y y t t +=⋅-=++，令S =t =，当0t <时，由对称性可得t =P .【详解】（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=；（2）设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33ty x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y . 由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+. 由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t tt S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++.由于0t >，23t m t+=≥，故244S m m==+解得m =m =（舍去），即t =0t <时，由对称性可得t =.综上，当点(P或(6,P 时，四边形12AQA R的面积为【点睛】本题是一道与椭圆有关的创新题，考查了直线与椭圆相交的综合问题，考查了学生的运算求解能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=. （2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明. 【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩， 解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=.所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(三)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{y ｜y ＝2x ，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －2x ）}，则M∩N 为（ ） A. （1，＋∞） B. （1，2）C. [2，＋∞）D. [1，＋∞）【答案】B 【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>，{}{}22|lg(2)20N x y x x x x x ==-=- {}{}2|20|02x x x x x =-<=<<，∴(1,2)MN =．故选B ． 2.i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A. －15 B. －3C. 3D. 15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A. −8 B. −6 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A. 多1斤 B. 少1斤C. 多13斤D. 少13斤【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，故选C5.设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=， 所以向量m ，n 共线且方向相反， 所以0m n ⋅<，即充分性成立；反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件． 故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．6.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A. 26B. 4C. 23D. 22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =， PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=22222PD =+=22CD =2242026PC PA AC =+=+=∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．7.当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A.914B.514C.37D.928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A. ()()()f b f a f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f a f b f c >> D. ()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+ 9.数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A.1021B. 2021C. 919D. 1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=，又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】C 【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．11.设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A.B.1C.D.1【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=，即2OA F P ⊥，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=得220OA F P ⋅=， 即2OA F P ⊥；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且12PF =，所以)12c a =，解得1e =， 故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般. 12.已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B. e,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C. e,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D. [)1,e -【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则a =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160-求得实数a 的值．【详解】二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项公式为()662161r rr r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令620r -=，求得3r =，可得常数项为336160C a -⋅=-，2a ∴=，故答案为2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.若实数,x y 满足不等式组40,2380,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为__________．【答案】12 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由402380x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,0A目标函数3y x z =-，当3y x z =-过点()4,0时，z 有最大值，且最大值为12． 故答案为12．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr=__________．【答案】41 【解析】 【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出412R =，内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出R r． 【详解】四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，()222221616941R AB AD AP ∴=++=++=， 412R ∴=， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，∴内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆， ∴内切球半径为21PADPADS r L ∆∆==， 故41R r =． 故答案为41．【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.16.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D ，所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是__________. 【答案】123【解析】 【分析】根据Rt ADP ∆与Rt MCP ∆相似，2PD PC =，过P 作PO CD ⊥于O ，利用体积公式求解OP 最值，根据勾股定理得出223348144h x x =-+-，06x ≤≤，利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，又90ADP MCP ∠=∠=， ∴Rt ADP ∆与Rt MCP ∆相似 ∴2AD PDMC PC==，即2PD PC =，过P 作PO CD ⊥于O ，设DO x =，PO h =， ()222226x h x h +=-+223348144h x x =-+-，06x ≤≤，根据函数单调性判断，6x =时，23h 取得最大值36，max 23h = 在正方体中PO ⊥平面ABCD . 三棱锥P BCD -体积的最大值为11662312332⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos 33sin B C Ab c C+=. （1）求b 的值；（2）若cos 32B B +=,求a c +的取值范围.【答案】（1）3b =（2）33a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin AC转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=化简得2b =2b =（2）cos 2B B +=1cos 122B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈ 62B ππ∴+=所以3B π=法一.21sin bR B== 则sin sin a c A C +=+=2sin sin 3A A π⎛⎫+-⎪⎝⎭=3sin cos 22A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<33a c ∴<+≤ 法二 因为32b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立.所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭3a c ∴+≤又由三边关系定理可知3a cb +>=综上3,3a c ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝18.在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1tan 2ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45° 【解析】 分析】（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C EBE E '=，∴EF ⊥平面BEC '.而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=，∴EH ⊥平面ABC '.∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF 为平行四边形.∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '.（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()13C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()132AC ='-，，，()201AF =-，，，∴20320x zx y z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()132n=，，.2cos,2m nm nm n⋅==⋅，由图形观察可知，平面AFC'与平面BEC'所成的二面角的平面角为锐角.∴平面AFC'与平面BEC'所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望()E X．（参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】(1) 0.005a=；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X=3【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求a的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写22⨯列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a+++⨯=，解得0.005a=；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=，所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人），填表如下：假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X 可视服从二项分布，即34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，4431()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =，故0404311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13143112(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22243154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 313431108(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4443181(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：数学期望为3()434E X =⨯=.或（1125410881()012343256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）． 【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量(),XB n p ，则()()(),1E X np D x np p ==-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为120y -=过椭圆C 的右焦点F ,过F 的直线m 交椭圆C 于,M N 两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =,A 为椭圆C 的右顶点. 若直线AM 交l 于点P ，直线AN 交l于点Q ，试判断()FP FQ MN +⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）定值为0.【解析】 【分析】（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c ，再根据离心率得a b ，，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简()FP FQ MN +⋅，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果. 【详解】（10y -=过椭圆C 的右焦点F ,所以(1,0)1F c ∴=，因为离心率为12，所以2212,1243c x y a b a =∴==+=，（2）(2,0)A ，设直线:1m x ty ，1122(,)(,)M x y N x y则11112:(2)(4,)22y y AM y x P x x =-∴--22222:(2)(4,)22y y AN y x Q x x =-∴-- 因此1221211222()(33,)(,)22y y FP FQ MN x x y y x x +⋅=++⋅---- 12212112226()()()22y y x x y y x x =-+-+-- 121221212121212212242()()6()]()6]11()1y y ty y y y y y t y y t ty ty t y y t y y -+=-++=-+---++[[ 由221431x x y ty ，得22(34)690t y ty ++-=，所以12122269,3434t y y y y t t --+==++， 因此2221221222122122236122442()3434346496()11343434t t t ty y y y t t t t t t t y y t y y t t t --+-++++===---+++++++ 即()0.FP FQ MN +⋅=【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.已知函数221()22x x f x e ae a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增；（2）341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>讨论求出函数()f x 的单调性；（2）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1）()()22'()22x x x x f x eae a e a e a =--=+-， 当0a =时，2'()0xf x e =>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0a >时，'()0f x <，ln(2)x a <，'()0f x >，ln(2)x a >，∴()f x (,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，'()0f x <，ln()x a <-，'()0f x >，ln()x a >-，∴()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.综上：当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.（2）由（1）可知：当0a =时，2()0x f x e =>，∴0a =成立.当0a >时，2ln(2)ln(2)2min 1()(ln(2))2ln(2)2a a f x f a e ae a a ==--22ln(2)0a a =-≥， ln(2)0a ≤，∴102a <≤.当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2a a f x f a e ae a a --=-=--- 2232ln()02a a a =--≥， 3ln()4a -≤，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.22.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON面积.【答案】(1) 直线l ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4. (2)4【解析】【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有(1)1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，()()12⨯+得，＋y ＝4，直线l x ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以ρ＝2sin θ＋θ，两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋cos θ，因为222sin cos x y y xρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋x，即(x 2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离2d ==直线l过圆C 的圆心1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2f x x =++x a -.（1）设1a =，求不等式()7f x ≤的解集；（2）已知1a >-，且()f x 的最小值等于3，求实数a 的值.【答案】(1) 82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2) 2a = 【解析】【分析】（1）把f （x ）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论． （2）把f （x ）去绝对值写成分段函数，画出f （x ）的图像，找出()min f x ，利用条件求得a 的值．【详解】（1）1a =时，()121f x x x =++-.当1x <-时，()7f x ≤即为317x -+≤，解得21x -≤<-.当11x -≤≤时，37x -+≤ ，解得11x -≤≤.当1x >时，317x -≤ ，解得813x <≤. 综上，()7f x ≤的解集为82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）1a >-.()()321(1)21(1)321x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-<-⎪∴=-++-≤<⎨⎪-+≥⎩，由()y f x =的图象知，()()min 13f x f a a ==+=，2a ∴=.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(二十)文科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B 的子集个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出A B ⋂,然后再求子集个数. 【详解】由题意可得:{}0,1A B =,有两个元素,则其子集个数有224=个.故选:A.【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数7iz 1i-=+，则|z|＝（ ） A.72B. 4C. 5D. 25【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为a bi +的形式，再求复数的模.【详解】依题意()()()()7i 1i 86i 43i1i 1i 2z +--===-+-，故5z==.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解. 3.已知平面向量a b ，的夹角为π3，且a 1b 2==，，则()2a b b +⋅=（ ） A. 64 B. 36 C. 8 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算的公式，直接计算出()2?a b b +的值. 【详解】依题意()222a b b a b b +⋅=⋅+2π212cos263=⨯⨯⨯+=，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.4.△ABC 中，（a ﹣b ）（sinA+sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ．其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则A ＝（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得A 的大小.【详解】由正弦定理得()()()a b a b c b c-+=-，即222c b a bc +-=，即2221cos 22c b a A bc +-==，由于A 为三角形内角，故π3A =.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值. 5.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 6.设函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，则()()233f f log -+＝（ ）A.112B.132C.152D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出()()233f f log -、，即可得出结果. 【详解】根据题意，函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，()2342f log -==，()()22log3129322f log -==，则()()291333222f f log -+=+=； 故选B ．【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.已知函数()()πsin 002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝＞，＞，＜的部分图象如图所示，点3π0023⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，7π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，在图象上，若12π7π33x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则()12f x x +=( )A. 3B.32C. 0D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求出A ，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可． 【详解】由条件知函数的周期满足T ＝2×（733ππ-）＝2×2π＝4π，即2πω=4π， 则ω12=，由五点对应法得3πω+φ＝0，即132π⨯+φ＝0，得φ6π=-， 则f （x ）＝A sin （12x 6π-），则f （0）═A sin （6π-）12=-A 32=-，得A ＝3，即f （x ）＝3sin （12x 6π-），在（733ππ，）内的对称轴为x 743323πππ+==， 若12,x x ∈（733ππ，），12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则12,x x 关于x 43π=对称，则12x x +＝24833ππ⨯=， 则()12f x x +=f （83π）＝3sin （18236ππ⨯-）＝3sin 76π=-3sin 362π=-， 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．9.若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，2） C. （﹣1，0） D. （﹣2，0）【答案】D 【解析】 【分析】圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y ，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立()2211x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120mym m y m m +-+++=图像有两个交点∴方程有两个不同的实数根，即>0∆()()()22224142180m m m m m m ∆=+-++=->得0m <.圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题. 10.在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，22BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. 16π B. 12πC. 43πD. 6π【答案】B 【解析】 【分析】由题意还原四面体ABCD 所在的正方体,则体对角线BD 即为四面体ABCD 外接球的直径,由题中等量关系求半径,进而求出外接球的表面积. 【详解】如图所示:由四面体ABCD 是面ABC (A 为直角)为等腰直角三角形，侧棱CD 垂直于面ABC 的几何体，即四面体的外接球就是棱长为AB=2的正方体(如图所示)的外接球，其半径为R=BD23所以该四面体外接球的表面积是24312ππ⋅=.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识,考查空间想象、运算求解及推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.11.设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是（ ） A. 01（，） B.01]（， C. []01， D.02]（， 【答案】A 【解析】 【分析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠，得到直线l 的方程，再设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到2m t =，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =上准线方程是1x =-设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠．则直线l 的方程为210x ty t -++=．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝．代入抛物线方程可得2440y ty m -+=， 由216160t m -=＝，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t +=﹣．． ∴则P 到l 的距离的最小值()01d =，．故选A ．【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12.若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，e] B. （﹣∞，2]C. （0，2]D. （0，e]【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导函数，由此判断出函数在0x >时为递增函数，利用切线的斜率求得a 的取值范围.【详解】依题意设()xxf x e e -=-，这()'0x x fx e e -=+>，故函数在0x >时为递增函数，且()''x x fx e e -=-在0x >时为正数，故()'x x f x e e -=+单调递增，故()()'02f x f >=，而a 是直线()0y ax x =>的斜率，直线过原点，要使函数()0xxy e e x -=->的图象始终在射线()0y ax x =>的上方则需2a ≤.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分析问题的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若3tan α4=，则cos2α＝_____． 【答案】725【解析】 【分析】利用二倍角公式和齐次方程，求得cos2α的值.【详解】依题意222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++91169116-=+725=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的应用，属于基础题. 14.根据下列算法语句，当输入,x y ∈R 时，输出s 的最大值为____________. 输入x ，yIF 0AND 23AND 0y x y x y >=->=+<=THEN s x y =+ ELSE 0s =END IF输出s【答案】2【解析】【分析】根据题中程序分析出,x y满足的不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,然后分析比较满足时输出目标函数的最大值和不满足时输出目标函数的最大值,进而得出答案.【详解】由算法语句知,当x,y满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，则可得x,y满足的可行域如图阴影部分所示：则可得目标函数s x y=+经过M点是取得最大值，由230x yx y-=⎧⎨+-=⎩联立解得坐标M(1，1)，则可得目标函数s x y=+的最大值为112=+=+=s x y；当x,y不满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，由题意可得可得0s=,则经过比较目标函数的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本算法中的条件语句，线性规划中目标函数的最值问题;考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于一般难度的题.15.()f x是R上的偶函数，且当0x≥时，3()2f x x x=+，则不等式(2)3f x-<的解集为___．【答案】(1,3) 【解析】 【分析】根据条件可知()13f =，且()0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质()()f x fx =，转化为()()22f x f x -=-，这样比较2x -与1的大小关系.【详解】当0x ≥时，()32f x x x =+是单调递增函数，且()13f =，()()()2321f x f x f -<⇔-<即21121x x -<⇒-<-< 解得：13x << 故解集是()1,3.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，属于简单题型，意在考查转化与化归的能力，解抽象不等式时，如果函数是偶函数，()()12f x f x <时，转化为()()12f x f x <，再根据()0,∞+的单调性，比较1x 和2x 的大小.16.设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线1m 和1n .给出下列3个命题：①1//m n m ⇒与1n 平行或重合，②11m n m n ⊥⇒⊥，③11m n m n ⊥⇒⊥，其中所有假命题的序号是_____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由线与线、线与面的位置关系以及利用反例法一一推理判断即可得出答案.【详解】对于①:由题设直线m ,n 与平面α不垂直,且可设直线m ,n 确定的平面为β. 若αβ⊥，则1m 与1n 重合（为α,β的交线）;若α与β不垂直，则易知m 与1m ，n 与1n 确定的平面互相平行,从而11//m n ,故真命题;以下举反例说明命题②③不真.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，对于②:取平面α为ABCD,1m，1n分别为AC,BD,m,n分别为1A C,1BD,满足11m n⊥，但是不满足m n⊥,故命题为假;对于③:取平面α为11ADD A,1m,1n分别为11A D,1AD,m,n分别为11A C,1BD,满足m n⊥,但是不满足11m n⊥,故命题为假.故答案为:②③.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象、逻辑推理等能力,考查化归与转化思想.属于一般难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.若数列{a n}的前n项和为S n，且()()()212n n2n1a1a2S1S1S1++==++=+，，．（1）求S n；（2）记数列n1a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为T n，证明：1≤T n＜2．【答案】（1）21nnS=-；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用迭代法证得{}1nS+是等比数列，由此求得1nS+的表达式，进而求得nS的表达式.（2）根据（1）求得的n S的表达式.利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得n a的表达式，再求得n T的表达式，由此证得不等式成立.【详解】()1由题意有21211111 (111)n n n n S S S S S S ++++++===+++，所以数列{}1n S +是等比数列.又11212112,114S a S a a +=+=+=++=，所以21121S S +=+，数列{}1n S +是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222n n n S -+=⨯=，所以2 1.nn S =-()2由 ()1知，2n ≥时，1121,21n n n n S S --=-=-.两式相减得12n n a -=，1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.当1n =时，11,T =当2n ≥时，显然1n T >且21111111121?··2 2.1222212n n n n T ---=++++==-<- 所以1 2.n T ≤<【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题. 18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）是，详见解析 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1可以求得a ;由中位数两侧频率均为0.5可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求2K ,再进行比较判断.【详解】解：（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =.令得分中位数为x ，由0.020100.040(90)0.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =.故综合评分的中位数为82.5. （2）列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.19.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且14AM AD=.将AED∆，DCF∆分别沿DE，DF折叠，使A，C点重合于点P，如图2所示.图1 图2 （1）求证：//PB平面MEF；（2）求三棱锥P EFM-的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23 P EFMV-=【解析】【分析】(1)结合翻折前后的变量与不变量的关系,利用线面平行的判定定理直接证明即可;(2)利用平面图形翻折前后的变量与不变量证明PM ⊥面PEF,由题中等量关系分别求出PM 和PEFS,然后由 PEF1PM 3P EFM M PEF V V S --==⨯⨯进行求解答案.【详解】解：（1）在图1中,连结BD 交EF 于N ,交AC 于O , 则1124BN BO BD ==.图1在图2中,连结BD 交EF 于N ,连结MN . 在DPB ∆中,有14BN BD =,14PM PD =,图2所以//MN PB .又因为PB ⊄面MEF ,MN ⊂面MEF , 故//PB 平面MEF .（2）根据题意,图2中的PDE ∆,PDF ∆, 即图1中的Rt ADE ∆,Rt CDF ∆, 所以PD PE ⊥,PD PF ⊥. 又PEPF P =,所以PD ⊥面PEF ,即PM ⊥面PEF .在PEF ∆中,2PE PF ==,22EF =2PEF S ∆=,所以11221333P EFM M PEF PEF V V S MP --∆==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定、三棱锥体积的求法等基础知识，考查空间想象、逻辑推理等能力，考查化归与转化等数学思想,属于一般难度的题.20.已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）12k k 为定值，此定值为1.2- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得1212k k =-为定值. 【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，点M 的坐标为()00,x y ，即02112120120210,,2,2.y y y k k x x x y y y x x x -==+=+=-由已知，222211221,1,4242x y x y +=+=所以，()()()()121212120,42x x x x y y y y +-+-+=即()()0120120.2x x x y y y -+-=则()()02102112y y y x x x -=--，于是1212k k =-.所以12k k 为定值，此定值为1.2-【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.21.已知函数21()e ()42xf x x a =--+. （1）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若0x ≥，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）4290x y -+= （2）ln 4⎡-⎣【解析】 【分析】(1)对函数21()e (1)42xf x x =--+求导,求(0)f ,(0)f ',然后利用点斜式方程可求得答案; (2)对函数21()e ()42x f x x a =--+求导,构造函数(()e )=-+'=xh x x x f a 判断其在0x ≥上单调递增,分类讨论1a ≥-时:判断函数()f x 单调递增函数,然后再由()(0)0≥≥f x f 求得a 的取值范围;1a <-时,()00,x ∃∈+∞使得()00h x =,判断在()00,x 上函数()f x 单调递减,()0 ,x ∞+上单调递增,求得函数最小值()min 0()=f x f x 然后利用()()02001e 402=--+≥x f x x a 和()000e 0x h x x a =-+=进行适当地转化即可求出参数a 的取值范围,最后总结讨论结果得出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时,21()e (1)42xf x x =--+,()e 1x f x x '=-+, 则9(0)2f =,(0)2f '=,由点斜式方程可得:()9202y x -=-化简得:4290x y -+=,即切线方程为4290x y -+=.（2）由21()e ()42xf x x a =--+,得()e x f x x a '=-+, 令()e xh x x a =-+,则()e 10xh x '=-≥. 所以()h x 在[)0,+∞上单调递增,且(0)1h a =+. ①当1a ≥-时,()0f x '≥,函数()f x 单调递增,由于()0f x ≥恒成立,则有21(0)502f a =-≥,即a ≤,所以1a -≤≤;②当1a <-时,则存在0(0,)x ∈+∞,使得()00h x =,当00x x <<时,()0h x <,则()0f x '<,()f x 单调递减;当0x x >时,()0h x >,则()0f x '>,()f x 单调递增.所以()()02min 001()e 402xf x f x x a ==--+≥， 又0x 满足()000e 0xh x x a =-+=,即00e xx a -=,所以0021e e 402xx -+≥,则002e 2e 80x x --≤,即()()00420e e x x-+≤，得00ln 4x <≤. 又00e xa x =-，令()e x u x x =-，则()1e xu x '=-，可知，当0ln 4x <≤时，()0u x '<，则()u x 单调递减， 所以()e ln 44xu x x ≥=--， 此时ln 441a -≤<-满足条件.综上所述,a 的取值范围是ln 4⎡-⎣.【点睛】本题考查了函数与导数、不等式等基本知识.考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求M 的普通方程；（2）将圆M 平移，使其圆心为1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程.【答案】（1）22(2)4x y -+= （2）cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【解析】 【分析】(1)由极坐标方程和普通方程的转化直接求解即可得出答案;(2)先判断点Q 的轨迹为椭圆,然后利用椭圆定义直接求得椭圆方程即可. 【详解】解：（1）由4cos ρθ=两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=， 则224x y x +=,化简得C 的普通方程为22(2)4x y -+=. （2）如图所示:连接QA .由垂直平分线的性质可知,||||||||||2||QA QN PQ QN PN AN +=+==>. 所以点Q 的轨迹是以N ,A 为焦点（焦距为1）,长轴长为2的椭圆. 即11,2a c ==,所以223b ac =-=,3故可得Q 的轨迹的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程、椭圆的参数方程与椭圆的定义等基础知识，考查推理论证能力和创新意识，考查化归与转化、数形结合等数学思想,属于一般难度的题. 23.设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围．（2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．【答案】（1）[]1,3-；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求+a b 的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x 的取值范围.（2）求出4a b +的最小值，然后进行判断【详解】()1由a b ab +=，得111,a b += ()114a b a b a b ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时""=成立. 不等式2x x a b +-≤+即为24x x +-≤.当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<；当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤；当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤；综上，实数x 的取值范围是[]1,3-. ()2由于0,0a b >>.则()114445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+= 当且仅当4,,b a a b a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3,32a b ==时，4a b +取得最小值9. 所以不存在实数,a b ，使得48a b +=成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十九)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，已知点(1,1)A 所对应的复数为z ，则||z 为（ ）A ．1BC ．2D ．02．已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2}3．已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．4950B ．5151C ．0D ．5050 5．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3520a a +=，()4353S S S -=，则数列{}n a 公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87．已知圆C 与直线20x y ++=和圆221212540x y x y ++++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为（ ）A ．22(2)(2)2x y +++= B ．22(2)(2)2x y -+-= C ．22(4)(4)4x y -+-= D ．22(4)(4)4x y +++=8．从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（ ） A ．45 B ．25 C ．425 D ．8259．已知3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．725C ．5725D ．5725-10．如图，圆O 是直角ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BC AD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（ ）A ．24 B． C ．39 D ．1811．已知A ，B ，C 为抛物线24x y =上不同的三点，焦点F 为ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．13,1,22⎛⎫⎡⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦12．若不等式2sin 12cos 2x x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对(0,]x π∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．1,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．n的展开式的第五项为358，则展开式的第六项的二项式系数为_________． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =_____m ．15．已知双曲线与y x =-直线有公共点，与直线2y x =-没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．16．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，1A E 与平面ABCD 所成角为α，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．①一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -的最大值为3；③点M 的轨迹是圆的一部分，且||MB =④一定存在某个位置，使1DE AC ⊥；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知一个公比q 不为1的等比数列{}n a 和一个公差也为q 的等差数列{}n b ，且132322,,a a a 成等差数列． （1）求q 的值；（2）若数列{}n b 前n 项和为n T ，12b =，试比较2n ≥时，n b 与n T 的大小．18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点G ，H ．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．20．已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合； （2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a+<． 21．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），(2,)Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43OQ k k ⋅=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]直线l 的极坐标方程为sin 8cos ρθρθ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）写出C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与C 和l 的交点分别为M ，N ，射线23πθ=与C 和l 的交点分别为A 、B ，求四边形ABNM的面积．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知正实数x ，y ，z ，求证： （1）()2()4x y xy zxyz ++≥；（2）3x y z ++=≤数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共小4题，每小题5分，共20分．13．56 14．300+ 15． 16．①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：（1）由已知可得211123a a q a q +=， 2分 ∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=．解得1q =或13q =-． ∵1q ≠，∴13q =-4分 （2）由（1）知等差数列{}n b 的公差为13-，∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--=⎪⎝⎭， 21132(1)236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 7分(1)(14)6n n n n T b ---=-，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >． 综上，当214n ≤<时，n n T b >； 当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <． 12分18．解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位需要社区非医护人员提供帮助， ∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为14%=． 4分 （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，29.967K =． 8分 ∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 12分 19．解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以//AB DE ． 2分又因为AB ⊄平面,PDE DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE ． 4分 因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ⋂平面PDE FG =， 所以//AB FG ． 6分 （2）因为PA ⊥底面ABCDE ， 所以,PA AB PA AE ⊥⊥． 如图建立空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,0,2),(0,1,1),(1,1,0)A B C P F BC =． 8分设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉==． 10分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π． 12分20．解：（1）没公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=， 2分将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-． 令21()ln m x x x e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 6分（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点． 7分 对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =．当x >时，()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =时，()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>， 即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点． 10分 练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上． 下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>则12211111x x x +=+<，下面证明11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a '=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a +<． 12分 21．解：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点()00,P x y由点差法得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12120121203344y y x x x k x x y y y -+==-=--+，00OQ y k x = 3分所以34OQ k k ⋅=-，故43OQ k k ⋅=- 5分 由(1,0)F ，所以设直线1:1,[1,2]l x my m k=+=∈ ∵()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ ∵0∆>恒成立，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++ 7分 因为直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，所以2MQ O NQ Q k k k =+12122222y t y t tx x --+=⋅--， 8分 ∴()()()()()()1221212222y t x y t x t x x --+--=-- ∴()()()()()()1221211111y t my y t my t my my --+--=--()()()22121222952,23434mtmm y y y y t tm m t m m ---++=-+=++ ()2313m m +=，∴2331313m t m m m==++，∴33,164t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 12分 22．解：（1）22:16C x y +=，所以C 的极坐标方程为：4ρ= 4分（2）sin12N ρ=，sin 12B ρ=6分 由1sin602OBNB N Sρρ︒=与144sin 602OAMS ︒=⨯⨯∴ABNM OBNOAMS SS=-= 10分23．解：证明：（1）要证()2()4x y xy z xyz ++≥，可证222240x y xz xy yz xyz +++-≥，需证()()2222220ac ac b a c b bc +-++-≥，()()2222220y x z xz x z y yz +-++-≥即证，22()()0y x z x z y -+-≥当且仅当x y z ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故原不等式成立． 5分（2）因为x ，y ，z 均为正实数，由不等式的性质知，12322x x +++≤=当且仅当12x +=时取等12322y y +++≤=当且仅当12y +=时取等12322z z +++≤=当且仅当12z +=时取等因为3x y x ++=，以上三式相加即证 10分。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十二)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()U A B =（ ）A. {}3B. {}1,7C. {}2,8D. {}2,3,4,5,6,8 2.设α是平面，,m l 是空间两条不重合的直线，且l α⊥则“m l ⊥”是“//m ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ）4．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，i ei 4π表示的复数位于复平面内（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 5.平面向量a 与b 的夹角为60°，且3a =，b 为单位向量，则2a b +=（ ）A. 3B. 19C. 19D. 236.已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A.2B.53 C.52D.5 7.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,1),1ln()(cos x ex xx x f xπ的图像大致是( )8．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++acb a （ ） A.2 B.2- C.1 D.1-9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十四)理科数学
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．1.设集合{}{}2160A x x B x x x =>=--≤，，则AB =（ ）A. [)3-+∞，B. [)2-+∞，C. (]12，D. (]13， 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得集合B ，再根据交集定义求结果. 【详解】{}260[2,3]B x x x =--≤=-(1,3]A B ∴=故选：D【点睛】本题考查交集定义以及解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知0a bc d >>>，，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b > B. a d b c ->-C.a bc d> D. ac bd >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质得B 正确，举反例说明A,C,D 错误. 【详解】0a b c d d c a d b c >>>∴->-∴->-，.故B 正确；221214a b a b =>-==<=，，故A 错误；21210,a b c d =>==>=>，1a bc d==，故C 错误； 12210,a b c d =->-==>=>，2ac bd =-=，故D 错误；故选：B【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.3.已知()()0cos a ππα∈+=，，tan α的值为（ ） A. -2 B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再根据同角三角函数关系求结果.【详解】()cos cos 555πααα+===-()0sin tan 2a παα∈∴==-，， 故选：A【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）A. 221362x y +=B. 2211816x y +=C. 221126x y +=D.22198x y【答案】D 【解析】 【分析】根据定义以及条件列关于,,a b c 方程组，解得结果.【详解】由题意得31,3,2323ab ab c c a b a c a cπ⎧⎧==⎪⎪∴⋅====⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩即标准方程可以为22198x y故选：D【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.5.在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ） A. 60 B. 70C. 80D. 90【答案】A 【解析】 【分析】根据方差含义列不等式，解得结果.【详解】设甲同学的数学成绩为x ，则2(82)50862102x x故选：A【点睛】本题考查方差公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ） A.127B.19C.13D.23【答案】C【解析】 【分析】先确定总事件数，再确定游戏只进行一回合就结束的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】三人同时随机出拳，共有33327⨯⨯=种基本事件； 其中游戏只进行一回合就结束的事件数为3319⨯⨯=； 所以所求概率为91273=； 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7.在边长为2的菱形ABCD 中，3DAB BM MC π∠==，，则AC DM ⋅=（ ）A. 1B. 3C. 3D. 33【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积坐标表示得结果. 【详解】以AC,BD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，则31(3,0),(0,1),(3,0),(0,1)()22A B C D M -∴- 33(23,0))322AC DM ∴⋅=⋅-=； 故选：C【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知直线l 与平面α所成角为45°，l 在α内的射影为m ，直线n ⊂α，且n 与m 所成角为45°，则l 与n 所成角为（ ） A. 30° B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C 【解析】 【分析】根据三余弦定理列方程解得结果.【详解】设l 与n 所成角为θ，所以1cos cos cos 4423πππθ==∴θ= 故选：C【点睛】本题考查三余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，，则实数ω的取值范围是（ ） A. 1163⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 1162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质由值域确定自变量确诊范围，解不等式得结果.【详解】()3sin cos sin cos )6223f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭ []0[,]333x x ππππωωπ∈∴+∈+， 因为()f x 在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，， 所以21123363πππωπω≤+≤∴≤≤ 故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 10.地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ） A. 51秒 B. 56秒C. 61秒D. 80秒【答案】C 【解析】 【分析】先求长宁县探测到纵波时间，再求横波到达成都时间，最后根据定义求预警时间.【详解】长宁县探测到纵波时间1616[,]7 5.5,横波到达成都时间为261261[,]4 3.2所以预警时间为2611626116[4,4](58.3,75.3)4 5.5 3.27----≈ 故选：C【点睛】本题考查新定义，考查基本分析求解能力，属基础题.11.已知函数()()e sin 'xf x x f x =，是()f x 的导函数，有下述四个结论①()f x 是奇函数 ②()f x 在()1010ππ-，内有21个极值点 ③()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数 ④()f x ax ≥在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立的充要条件是1a ≤其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③ B. ①④C. ①③④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义判定①成立；根据导数符号判定③成立；根据导函数零点确定②错误；根据恒成立以及对应函数最值确定④正确. 【详解】()(),esin()()xx R f x x f x f x -∈-=-=-∴，是奇函数 ; 即①成立；当[0,10)x π∈时()()e sin '(sin cos )0(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x x f x x f x e x x x k k ππ=∴=+=∴=-+=，当(10,0)x π∈-时()()e sin '(sin cos )0x x f x x f x e x x --=∴=-+=，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ∴=+=----------因此()f x 在()1010ππ-，内至多有20个极值点；即②错误； 当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()()e sin '(sin cos )0xxf x x f x e x x =∴=+>，，()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，即③成立；当0x =时()00f x ax a R =≥=∴∈当(0,]4x π∈时()sin x e xf x ax a x ≥⇔≤设2sin (sin cos sin )x x e x e x x x x x y y x x +-'=∴=令sin cos sin sin (cos sin )0(0)0,0t x x x x x t x x x x t t y ''=+-∴=+->∴>=>因为当0x →时0sin (sin cos )111x x x e x e x x y a x =+=→=∴≤，即④正确.故选：C【点睛】本题考查奇函数定义、函数极值、利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.12.已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ）B.32C.53【答案】D 【解析】【分析】先根据双曲线定义以及勾股定理解得FB a =，再根据勾股定理求离心率.【详解】解：记双曲线的左、右焦点分别为'F F 、，设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c ．连接'''AF BF CF 、、．∵AF FB ⊥，结合双曲线的对称性可知四边形'AFBF 是矩形，∴'2F BF π∠=．设FB x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'23CF a x =+．在'Rt CBF 中，222''BF BC CF =+，即()()22221623a x x a x ++=+可得x a =， 从而'23BF a x a =+=，FB a =，'Rt BFF △中，222''BF FB FF =+，即()()22232a a c +=， ∴22104a c =，∴10e =， 故选：D【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知z C ∈，i 是虚数单位，121zi i=+-，则z =__________________． 【答案】3i + 【解析】 【分析】根据复数乘法法则求解得结果. 【详解】12(12)(1)31zi z i i i i=+∴=+-=+- 故答案：3i +【点睛】本题考查复数乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.14.某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为8y x a =+．投入的广告费6x =时，销售额的预报值为_______百万元． 【答案】66 【解析】 【分析】先求平均值，再代入线性回归方程得a ，最后利用线性回归方程估计结果. 【详解】因为0123415303540502,3455x y ++++++++====，所以3482=18a a =⨯+∴ 因此6x =时，861866y =⨯+= 故答案为：66【点睛】本题考查求线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小值为___________．【答案】6+ 【解析】 【分析】先确定体积最小时球与各面都相切，再求底面面积最小值，最后计算对应棱柱体积.【详解】体积取最小时，半径为1的球与各面都相切， 此时直三棱柱的高为2，底面内切圆半径为1，根据对称性可得当底面为等腰直角三角形时，底面面积最小， 设直角边长为a ，由22111(2)122322222a a a a a S a ++⨯=∴=+∴==+ 体积为2(322)642⨯+=+ 故答案为：642+【点睛】本题考查棱柱体积以及球与多面体相切问题，考查基本分析求解能力，属中档题. 16.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，角A 的平分线AD 交BC 于D 点．23AD a ==，，()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-，则A =___________，ABC 的面积为__________． 【答案】 (1). 3π (2). 33 【解析】 【分析】先根据正弦定理以及三角形内角关系化简条件即得1cos 2A =，解得3A π=； 再利用正弦定理解得1sin BD B =， 1sin CD C=，利用3BC BD CD =+=列方程，解得角B C ，，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-()sin sin cos 2sin sin cos sin C A C B C A C ∴=-sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+=1sin()2sin cos ,cos 023A CB A A A A ππ∴+==∈∴=，（，），由正弦定理可知：sin sin sinc b aC B A====c C b B==，，1sin sin sinBD ADBDBAD B B=⇒=∠，同理1sinCDC=，113sin sin3sin sinsin sinBC BD CD B C B CB C=+=+=⇒+=⋅，sin sin3sin sin33B B B Bππ⎛⎫⎛⎫++=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：2sin0664B Bππ⎛⎫⎛⎫+++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin62Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭或sin6Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭（舍），∴26B Cππ==，，或26C Bππ==，，∴3,a c==3,a b==132ABCS∴=⨯△．故答案为：3π;2【点睛】本题考查利用正弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.等比数列{}n a中，12a=且2，231a a+，，成等差数列．（1）求{}n a的通项公式；（2）数列{}n b满足1232n bna a a a=…，求数列1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）()*2nna n N=∈（2）nS=21nn+【解析】【分析】（1）根据条件列关于公比的方程，解得结果，再代入等比数列通项公式； （2）先根据条件解得()12n n n b +=，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为()0q q ≠．因为2321a a +，，成等差数列，所以()23212a a +=+，即()211212a q a q +=+， 所以220q q -=，解得2q或0q =（舍去），所以数列{}n a 的通项公式()*2n n a n N =∈．（2）因为()11232123222222n n n b n na a a a +⋅⋅=⋅⋅==…………，所以()12n n n b +=，从而()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111*********n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (122111)n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列和数列求和，考查运算求解能力，考查化归转化思想、函数方程思想渗透数学运算的核心素养．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2BC AB PBC =，是等边三角形，PAD △是直角三角形，O 为AD 中点．（1）求证：BC OP ⊥；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）3- 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点M ，根据等边三角形性质得BC PM ⊥，根据矩形性质得OM BC ⊥，最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果；（2）法一：建立空间直角坐标系，利用向量数量积求各面方向量 ，再根据二面角与法向量夹角关系求结果；法二：取PB 的中点N ，证明ANC ∠为二面角A PB C --的平面角，再根据解三角形得结果.【详解】（1）取BC 的中点M ，连接OM PM ，，在等边三角形PBC 中，BC PM ⊥； 在矩形ABCD 中，OM AB ，则OM BC ⊥．∵PMOM M =，∴BC ⊥平面POM ．∵OP ⊂平面POM ，∴BC OP ⊥． （2）法一：设2AB =，则23BC PM ==，∵PO AD ⊥且点O 为AD 的中点，（三线合一） ∴PAD △为等腰直角三角形且1PO =． ∵222PO OM PM +=，∴PO OM ⊥． ∴OA OM OP 、、两两垂直以O 为原点，OA 为x 轴，OM 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则()()()()001100212P A B C -，，，，，，，，，，，， ()()()020121200AB BP BC ==--=-，，，，，，，，．设平面PAB 的一个法向量为的()111n x y z =，，，由00AB n PA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，得11112020x y z =-+=⎪⎩，，令11x =得()101n =，，．（注：也可证明PD 为平面PAB 的一个法向量）设平面PBC 的一个法向量为()222m x y z =，，，由00BP m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，得22222020x z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，，令21y =得(02m =，，． ()222223cos 1112n m <>=+，．由图知，二面角A PB C --为钝角，则二面角A PB C --的余弦值为3 （2）法二：设2AB =，则2AD BC ==，∵PO AD ⊥且点O 为AD 的中点，（三线合一） ∴PAD △为等腰直角三角形，∴2PA =，∴PAB △为等腰三角形，取PB 的中点N ，连接AN ，∵AN PB ⊥，∴221AN AP PN =-=．在等边三角形PBC 中，连接CN ，则CN PB ⊥，3CN =则ANC ∠为二面角A PB C --的平面角．连接AC ，在ANC 中，由余弦定理，2223cos 2213AN NC AC ANC AN NC +-∠===⋅⨯⨯． 则二面角A PB C --的余弦值为3【点睛】本题主要考查空间线线、线面垂直的判定与性质，二面角的定义以及二面角的求法，考查空间想象能力推理论证能力、运算求解能力．19.已知抛物线()220y px p =>，过点()10，的直线l 与抛物线交于A B ，两点，3OA OB ⋅=-．（1）求抛物线的方程；（2）以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，当点C 在y 轴上时，求ABC 的面积． 【答案】（1）24y x = （2）=3ABCS 7+4【解析】 【分析】（1）设直线l 方程为1x my =+，与抛物线方程联立，根据向量数量积坐标表示，结合韦达定理求得2p =（2）设线段AB 中点为M ，根据2AB CM =列方程解得M 坐标，再代入三角形面积公式求结果.【详解】（1）依題意，设直线l 方程为()()11221x my A x y B x y =+，，，，． 联立22y px =，得：2220y pmy p --=．由韦达定理：121222y y pm y y p +==-，，又221212122y y x x p p=⋅=， 1212121123OA OB x x y y y y p ⋅=+=+=-=-，所以2p =．故抛物线方程为24y x =．（2）设线段AB 中点为()()0M M C M x y C y ，，，由（1）知2221M M y m x m ==+，． 2122244M AB x x p x m =++=+=+，)221M C CM x m =-=+．依题意：2AB CM =，即())224121m m +=+．整理得2m =所以()2211147244ABCSAB CM AB =⋅===+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，数量积运算，考查弦长问题，面积问题，考查运算求解能力考查数形结合思想，转化与化归思想．20.习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X （单位：吨）的分布列如下：紫长茄今年的平均统一收购价格Y （单位：万元／吨）的分布列如下：（1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率；（2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z 表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.5 （2）() 4.22E Z =万元，分布列见解析 【解析】 【分析】（1）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布概率公式求结果；（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率,列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（1）设事件A 表示一个大棚亩产量为12吨，事件A 发生的次数为ξ，因为每个大棚产量相互独立，所以()~305B ξ，． 这三个大棚总产量不低于34吨的概率()()()223333230510.5050.5P P P C C ξξ==+==⨯⨯-+⨯=．．（2）设事件B 表示亩产量为10吨，事件C 表示市场价格为0.5万元／吨，则()()0508P B P C ==．，．，每亩利润Z 的所有可能取值为：100515351006151205154512061557⨯-=⨯-=⨯-=⨯-=．．．，．．．．．，．．．，()()()35050804P Z P B P C ===⨯=．．．．， ()()()()()450502050805P Z P B P C P B P C ==+=⨯+⨯=．．．．．．，()()()57050201P Z P B P C ===⨯=．．．．，所以Z 的分布列为利润Z 的数学期望() 3.50.4 4.50.5 5.70.1 4.22E Z =⨯+⨯+⨯=（万元）．【点睛】本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力与应用意识；考查转化与化归、概率与统计思想.21.函数()()log 01a f x x x a a =->≠，且． （1）当3a =时，求方程()1f x =的根的个数； （2）若()ef x a≥恒成立，求a 的取值范围． 注：e 2.71828=… 为自然对数的底数 【答案】（1）两个 （2）a e ≥ 【解析】 【分析】（1）转化为研究函数()3log 1g x x x =--零点问题，利用导数研究其单调性，再根据零点存在定理确定零点个数； （2）先转化对应函数最值问题：()min ef x a≥，再令ln 0t a =>，转化为解不等式11ln t t t e-+≥，最后根据导数研究新函数单调性，根据单调性解不等式得结果.【详解】（1）当3a =时，构造函数()3log 1g x x x =--，求导得：()11ln 3'1ln 3x g x x x-=-=， 当10ln 3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0g x <，()g x 在10ln 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；当1ln 3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，时，()'0g x >，()g x 在1ln 3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+上单调递增； ∵()10g =． 又∵()11101033ln 3g g g ⎛⎫⎛⎫=><= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴0113ln 3x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使()00g x =，即()g x 存在两个零点01x ，， ∴方程()1f x =存在两个根．（2）()11ln '1ln x a f x x ax-=-=， i ）当01a <<时，()10f a a =-<，不合题意，舍去； ii ）当1a >时，由()'0f x =可得1x =，列表：据表可得，()()min 111ln ln ln ln ln f x f a a a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，依题意有()11ln ln ln ln e a a a a +≥ 令ln 0t a =>，则上式等价于()1ln te t e t+≥，等价于11ln t t t e -+≥，构造函数()()12111111ln 't t t t tt e t t t t t e t e teϕϕ------+=+-=-=，，记函数()()11'1t t u t e t u t e --=-=-，，易证得()u t 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()10u t u ≥=，∴()121'0t t e t t t teϕ--++=≥，∴()t ϕ在()0+∞，上单调递增，注意到()10ϕ=，∴()()()011t t t a e ϕϕϕ≥⇔≥⇔≥⇔≥． 综上所述，a e ≥．【点睛】本题主要考查函数的零点、导数在研究函数性质中的应用等基础知识：考查推理论证、运算求解能力：考查转化与化归、函数与方程、数形结合思想.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过点()10P -，作倾斜角为α的直线1l 交2C 于A B ，两点，过O 作与1l 平行的直线2l 交1C 于Q 点，若4PA PB OQ +=，求α．【答案】（1）1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；2C 的直角方程为()2211x y +-=； （2）4πα=【解析】 【分析】（1）根据加减消元得曲线1C 的普通方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程；（2）先写出直线1l ，2l 参数方程，代入2C ，1C ，再根据参数几何意义化简条件解得结果.【详解】（1）①：∵1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m 为参数），∴12121111m m m m x y m m m --++=+==+++， 又∵()121211111m m x m m m-++-===-+≠-+++， ∴曲线1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；②∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=，∴曲线2C 的直角方程为()2211x y +-=； （2）由题意，设11cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 参数），2cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）， 依题意，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 1l 与2C 联立得()22sin cos 10t t αα-++=，2l 与1C 联立得()sin cos 1t αα+=，设点AB Q ，，对应的参数分别为A B Q t t t ，，，则 ()12sin cos A B A Bt t t t αα⋅=⎧⎨+=+⎩，1sin cos Q t αα=+， 由4PA PB OQ +=且0A B Q t t t >，，，得()12sin cos 4sin cos αααα+=⋅+． ∴()2sin cos 2αα+=，即1sin 22α+=，故sin21α=，又∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴4πα=． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、函数与方程思想.［选修4-5：不等式选讲］23.已知函数()2f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x >的解集；（2）若[]()013x f x x a ∈=+，，恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()423⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，， （2）(][)11-∞-+∞，，【解析】【分析】（1）先化分段函数形式，再根据分段函数性质分类解不等式，最后求并集得结果； （2）先根据绝对值三角不等式确定方程成立条件：()()220x a x a +⋅-≤在[]01，上恒成立，再根据不等式恒成立条件得结果. 【详解】（1）当a =1时，()311211311131x x f x x x x x x x +>⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，，，， 当1x <-时，135x -->，解得2x <-；当1x >时，135x +>，解得43x >； 当11x -≤≤时，35x +>，解得2x >(舍)；综上，原不等式的解集为()423⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，． （2）∵()23f x x a x a x a =++-=+恒成立，∵()()2223x a x a x a x a x a +-≥+--=++由绝对值不等式等号成立条件可知：()()220x a x a +⋅-≤在[]01，上恒成立．∵220x a -≤，∴22x a ≤，∴21a ≥，∴1a ≥或1a ≤-． ∴a 的取值范围为(][)11-∞-+∞，，【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等基础知识：考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想．。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二十)文科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，若，则实数A. B. C. 2 D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A.B.C.D.5.已知数列的前n项之和，则A. 6B. 7C. 8D. 96.圆与圆的公共弦长为A. B. C. D.7.已知，且，则A. B. C. D.8.若，是夹角为的两个单位向量，而，，则向量和夹角为A. B. C. D.9.已知函数，则的最小值为A. B. C. D.10.在正方形中，E、F分别是及的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体中必有A. 所在平面B. 所在平面C. 所在平面D. 所在平面11.如果关于x的不等式在恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知的三边分别为a，b，c，若满足，则面积的最大值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为______．15.已知，则M的最大值为______．16.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东方向的600km处的热带风暴中心B正以的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过______小时后该码头A将受到热带风暴的影响精确到．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若等比数列的前n项和为，满足，．求数列的首项和公比q；若，求n的取值范围．18.如图，在棱长为a的正方体中，P，Q，L分别为棱，，BC的中点．求证：；求四面体DPQL的体积．19.一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是5009，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量单位：如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510求这10袋白糖的平均重量和标准差s；从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在的概率是多少？附：，，，20.已知抛物线：的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足求抛物线的方程；已知经过点的直线交抛物线于M，N两点，经过定点和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21.研究函数在上的单调性；求函数的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：．求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；若点P在曲线上，点Q曲线上，求的最小值．23.已知函数．当时，求解不等式；已知关于x的不等式在R上恒成立，求参数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，即．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：，集合，则，故选：C．化简集合N，再求交集即可．考查集合的运算，同时考查了不等式的解法，基础题．3.【答案】B【解析】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：，，，，，，共6个，向上的点数之和小于5的概率为．故选：B．基本事件总数，向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出向上的点数之和小于5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：，，第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；故输出S值为，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，．则．故选：B．利用递推关系即可得出．本题主要考查数列求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属基础题．两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆的圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【解答】解：圆与圆，相减得：，圆心到直线的距离，，则公共弦长为．故选C．7.【答案】B【解析】解：，即，，．故选：B．利用配角容易求出，进而求得的值．本题考查正切的差角公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：，是夹角为的单位向量，．．．．．．两向量夹角范围为，，的夹角为．故选：C．由向量的乘法运算及数量积运算求出，由向量模的公式求出，代入两向量夹角公式得答案．本题考查了平面向量的数量积运算，考查了多项式的乘法运算及数量积公式，考查了计算能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：函数，当时，函数．故选：A．直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】A【解析】解：在折叠过程中，始终有，，即，，所以平面EFG．故选A．根据题意，在折叠过程中，始终有，，即，，由线面垂直的判定定理，易得平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．11.【答案】A【解析】解：当时，不等式显然成立，，当时，由原不等式可得，，令，且，则易得函数在递增，单调递减，故当时，取得最小值，故．故选：A．当时，不等式显然成立，，当时，由原不等式可得，，然后构造函数，且，结合导数可研究单调性及最值，即可求解本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离参数，转化为求解函数的最值或范围问题是常见的处理方式．12.【答案】B【解析】解：由三角形面积公式可得：，可得：，，，可得：，解得：，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，当时，取得最大值，S的最大值为．故选：B．由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求，进而利用基本不等式，从而可求，从而利用二次函数的性质可求最值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．13.【答案】【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，是基础题．求出原函数的导函数，可得，再由直线的点斜式方程得答案．【解答】解：，，则，函数在点处的切线方程为，即．故答案为：．14.【答案】【解析】解：，即，，，，由于在递减，最大值为，所以，故答案为：．求导，参数分离，根据右边函数的单调性求最值，得出结论．考查导数法判断函数的单调性，参数分离解不等式，中档题．15.【答案】1【解析】解：由题意，，，，；设，，，，则，，，，的最大值为1，即的最大值为1．故答案为：1．由题意，，，设，，，，利用两角和的正弦公式，即可得出结论．本题考查最大值的求解，考查两角和的正弦公式，正确换元是关键．属于中档题．16.【答案】【解析】解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C．若在点B处受到热带风暴的影响，则，即，即；式两边平方并化简、整理得或，时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为．故答案为：．设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为若在点B处受到热带风暴的影响，则，求出t，即可得出结论．本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力．17.【答案】解：，显然公比，，解可得，，由可得，，即，解可得，．【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；结合及已知不等式可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．18.【答案】证明：H为CD的中点，连接QH，HL，P，Q，L分别为棱，，BC的中点．所以，，，所以平面QHL，平面QHL，；解：连接，，四边形，是平行四边形，四面体DPQL的体积就是四面体的体积，几何体的体积为：．【解析】为CD的中点，连接QH，HL，证明平面QH，即可证明；连接，，说明四边形，是平行四边形，四面体DPQL的体积就是四面体的体积，然后转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：根据题意，10袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510，则其平均重量，其方差；则其标准差；根据题意，由的结论，10袋白糖在之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，共8袋，从10袋白糖中任取两袋，有种取法，其中恰有一袋的重量不在的情况有种，则恰有一袋的重量不在的概率．【解析】根据题意，由数据的平均数、方差、标准差计算公式计算可得答案；根据题意，分析可得有8袋白糖在之间，由组合式公式求出“从10袋白糖中任取两袋”和“其中恰有一袋的重量不在”的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题．20.【答案】解：由抛物线的方程可得焦点，满足的P的坐标为，P在抛物线上，所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；设，，，则，，直线MN的斜率，则直线MN的方程为：，即，同理可得直线ML的方程整理可得，将，分别代入，的方程可得，消可得，易知直线，则直线NL的方程为：，即，故，所以，因此直线NL恒过定点．【解析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，再由求出P的坐标，P又在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，即可求出抛物线的方程；设M，N，L的坐标求出直线NM的斜率，进而由题意求出直线MN的方程，同理可得直线ML的方程，将A，B的坐标分别代入两个方程N，L的坐标关系，求出NL的斜率，进而求出直线NL的方程，可得恒过定点．考查排污池的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．21.【答案】解：由，求导，设，，，所以在递减，则故，所以在递减；观察知为偶函数，故只需求时的最小值，由，当时，设，则，显然递增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得当时，，递减，当时，，递增，而，，故时，，即时，，则递减；又当时，，，递增；所以．【解析】求导，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，即可求得在上的单调性；根据函数的奇偶性，求导，构造新函数，根据函数的零点存在定理，及导数与函数单调性的关系，即可求得的最小值．本题考查导数与函数的综合应用，考查导数与函数单调性及最值的关系，考查函数零点存在定理，考查转化思想，计算能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．曲线：转换为直角坐标方程为，整理得．设点在曲线上，圆心，所以：，当时，，所以的最小值．【解析】直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换的应用求出结果．利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：当时，，当时，原不等式可化为，解可得，此时不等式的解集；当时，原不等式可化为，解可得此时不等式的解集；当时，原不等式可化为，解可得，此时不等式的解集，综上可得，不等式的解集，当即时，显然不成立，当即时，，结合函数的单调性可知，当时，函数取得最小值，若在R上恒成立，则，此时a不存在，当即时，若在R上恒成立，则，解可得，此时a的范围，综上可得，a的范围围．【解析】把代入后结合绝对值不等式的求法即可求解；由已知不等式的恒成立可转化为，结合函数的单调性求出函数的最小值即可求解．本题主要考查了含有参数的绝对值不等式的求解及不等式恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(十一)数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（十一）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|21}B x x =-<≤，则A B =（ ）A. []1,2-B. (]2,2-C. (]2,1-D. []22-,【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用并集的定义求解.【详解】因为{}{}22012A x x x x x =--≤=-≤≤，又{}21B x x =-<≤， 所以AB =(]2,2-.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足|2|2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A. 2240x y y +-= B. 2240x y y ++= C. 22440x y y +++= D. 22440x y y +-+=【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，代入|2|2z i -=，由复数模的计算公式求解. 【详解】由题意知z x yi =+，|2||(2)|2z i x y i -=+-=， 所以22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=. 故选：A ．【点睛】本题考查复数的代数式表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题. 3.若3sin()5πα-=，则cos2=α（ ） A. 2425-B. 725-C.725D.2425【答案】C 【解析】 【分析】化简得到3sin()sin 5παα-==，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】3sin()sin 5παα-==，27cos 212sin 25αα=-=. 故选：C .【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.4.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5.在ABC 中，4ABC π∠=，2AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）10 103105 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅==.由正弦定理得35sin sin4BACπ=∠310sin BAC∠=.考点：解三角形.6.对任意非零实数，定义的算法原理如下侧程序框图所示．设a为函数2sin cosy x x=-的最大值，b为双曲线221412x y-=的离心率，则计算机执行该运算后输出的结果是（）A.75B.74C.73D.72【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质和双曲线的性质求得a、b的值，再模拟程序的运行过程，即可求得a b⊗的值.【详解】解：函数12sin cos2sin22y x x x=-=-，最大值是15222a=+=，双曲线221412x y-=的离心率41222b+==，模拟程序的运行过程是：5,22a b==，且a b>，5117224aa bb++∴⊗===.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质与双曲线的性质，也考查了程序框图的应用问题，是基础题.7.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A. 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.8.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 27πB. 28πC. 29πD. 30π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =. 矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A. 15B.120C.112D.340【答案】C【解析】【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有：310120C=种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，所以目标事件的概率10112012P==.故选：C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.10.如图，正四面体ABCD，E，F，P，Q分别是AB，AD，DC，CB的中点，AQ，AP，CE，CF的中点分别为L，M，K，N，四边形LMNK的面积为1.则该正四面体体积是（）A. 4B. 42C.163D.162【答案】D 【解析】 【分析】设BD 的中点为G ，连,AG CG ，则可证明四边形LMNK 为正方形，设四面体的棱长为a ，则有14LM LK a ==，由四边形LMNK 的面积为1，算出a 值，接着由体积公式算出正四面体的体积即可.【详解】设BD 的中点为G ，连,AG CG ，则有,BD AG BD CG ⊥⊥，所以BD ⊥平面ACG ， 所以BD AC ⊥，又////,//BD PQ LM LK AC ，且111,424LK AC LM PQ BD ===，所以四边形LMNK 为正方形， 设四面体的棱长为a ，则有14LM LK a ==，由四边形LMNK 的面积为1， 则有21116a =，解得：4a =，设正四面体的高为AO ，则可得AO ==所以正四面体的体积11144332BCD V S AO =⋅=⨯⨯⨯=△. 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，几何体体积的计算，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力.11.已知双曲线2212y x -=的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,?)A a ，直线AB 过抛物线M 的焦点，交抛物线M 于另一点B ，则||AB 等于（ ） A. 3.5 B. 4C. 4.5D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，将点A 的坐标求出后代入抛物线方程，即可求得抛物线的方程和焦点坐标，由A 和焦点坐标可得直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后由韦达定理可得A B x x +，即可由A B B x p A x ++=求解.【详解】双曲线2212y x -=，双曲线的渐近线方程为y =，不妨取y =，双曲线渐近线与抛物线交于点()2,A a ，则将点A 代入可得(2,A ，将点A 代入抛物线方程可得24p =，则2p =， 所以抛物线2:4M y x =，焦点坐标为()1,0，直线AB 过抛物线M 的焦点，则由A 和焦点坐标可得直线AB 的方程为)1y x =-，直线AB 与抛物线交于,A B ，联立抛物线方程)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，化简可得22520x x -+=， 则52A B x x +=， 所以 4.5A B x x p AB ++==， 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法，属于基础题.12.关于函数2()(1)e x f x x ax =+-，有以下三个结论： ①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ②函数的极值点不可能是1-； ③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D 【解析】 【分析】把函数()f x 的零点转化为函数21y x ax =+-的零点，即可判断①；求得()'f x 后代入1x =-，根据()'f x 是否为0即可判断②；设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，结合①可得当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，再证明4()0f x <即可判断③；即可得解.【详解】由题意函数()2()1e xf x x ax =+-的零点即为函数21y x ax =+-的零点，令210x ax +-=，则240a =+>，所以方程必有两个不等实根1x ，2x ，设12x x <， 由韦达定理可得121x x =-，故①正确；()()()22()2e 1e 21e x x xf x x a x a a x x x a ⎡⎤+=+++-⎣=++⎦'-，当1x =-时，()1112()e201a a f x e --=--+-'=-≠，故1-不可能是函数()f x 的极值点，故②正确；令()0f x '=即()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a =+--=+>，设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，则当()3,x x ∈-∞，()4,x x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()34,x x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以4()f x 为函数极小值； 由①知，当()1,x x ∈-∞时，函数()0f x >，所以当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，又 (0)0xf e =-<，所以()30,x ∈+∞，所以()4()00f x f ≤<，所以4()f x 为函数的最小值，故③正确. 故选：D .【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则14lg lg x y+的最小值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式计算可得；【详解】解：∵10xy =,1x >,1y >，∴lg lg 1x y +=，lg 0x >，lg 0>y ， 所以1414lg 4lg()(lg lg )55lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+59=+=，当且仅当lg 4lg lg lg y x x y=，即1310x =时取“＝”． 故答案为：9【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题.14.已知命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.【答案】14m ≥ 【解析】 【分析】利用原命题的等价命题进行转化求解，即原命题为假，则其否定为真.【详解】若命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则“x R ∀∈，210mx x -+≥”为真命题， 则只需满足0140m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得14m ≥.故答案为：14m ≥. 【点睛】本题考查命题的真假与参数的取值范围求解问题，较易，解答时只需要利用等价命题转化为二次不等式的恒成立问题即可.15.已知1182)n x dx π-=⎰，则(1nx -的展开式中的常数项为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，由定积分计算公式可得n 的值，进而由二项式定理分析(1nx的展开式中的常数项，据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，11121111112)(2)()|48882n x dx dx x dx x ππππ----⎡⎤⎡⎤==-=⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰， 41x⎛- ⎝的通项为12441(1)2rrr r r r r xT x C x C -+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝⋅， 当2r 时，有243424C xT ⋅==，则1nx⎛⎝的展开式中的常数项为24；故答案为：24【点睛】本题考查定积分的计算以及二项式定理的应用，关键是求出n 的值，属于基础题．16.已知向量(sin ,m x =，2co (o )s ,c s x n x =，函数()231f x m n =⋅++，下列命题，说法正确的序号是__________. ①()2()6f x f x π-=-；②()6f x π-图象关于4x π=称；③若1202x x π<<<，则()()12f x f x <；④若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()123f x f x f x +>.【答案】②④ 【解析】 【分析】由已知可得()2sin(2)13f x x π=-+，然后结合三角函数的图象与性质，代入验证，逐一判断即可.【详解】2()2sin cos 1f x x x x =-+1cos 22sin cos 12xx x +=-sin 221x x =+12(sin 22)122x x =-+2sin 2(13)π=-+x ，①当0x =时，()()166f x f ππ-==，2()2(0)1f x f -=-=+ ②()2sin(2)6f x x -=-π，当4x π=时，对应的函数值可取得最小值为2-，所以②正确；③当(0,)2x π∈时，22(,)333x πππ-∈-，所以函数()2sin(2)13f x x π=-+在(0,)2π不单调，故③错误；④因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()1,3f x ⎤∈⎦，又2(31)3+>，即min max 2()()f x f x >，所以123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +>恒成立，故④正确.故答案为：②④【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，正、余弦的二倍角公式，两角差的正弦公式的逆用及正弦型三角函数的图象与性质，属于中档题.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC ，2PA AB ==，22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：CM ∥平面P AB ； （2）求二面角M AC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）277【解析】 【分析】（1）取AP 的中点E ，可证得四边形BCME 为平行四边形，从而得到//MC BE ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM .,E M分别为,PA PD的中点，1//2EM AD∴，又//BC AD且2AD BC=，//EM BC∴，∴四边形BCME为平行四边形，//BE CM∴，又CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，//MC∴平面PAB .（2）由题意知：,,PA AB AD两两垂直，以A为坐标原点，,,AB AD AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A，()0,2,0D，()2,1,0C，20,1,2M⎛⎝⎭，(2P，()2,1,0AC∴=，20,1,2AM⎛=⎝⎭，(2AP=，设平面MAC的法向量(),,n x y z=，则202AC n x yAM n y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2y=，则1x=-，2z=-，()1,2,2n∴=--.PA⊥平面ABCD，AP∴为平面ACD的一个法向量，cos ,2AP n AP n AP n⋅∴<>===⋅，二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --的余弦值为7. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型. 18.已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）②，理由见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）选②，由()f x 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得n a ，进而得到2141n b n =-，由数列的裂项相消求和可得所求和.【详解】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）由（1）知()14222n k n a k kk -+=⋅=，所以当k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ，所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1)P -是其上的点，离心率为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点()0,2M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值．【答案】（1）22184x y +=．（2）m =． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率可得,a b 关系，据此设22,(0)21x y λλ+=>，代入点1)P -即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，由点到直线距离求出三角形高，可得ABM S △，由基本不等式可求最值.【详解】（1）由离心率为2ce a==，可设椭圆方程为22,(0)21x y λλ+=>又椭圆C 过点1)P -，∴4λ=．②由①②解得椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）直线l 的方程为y x m =+，则()0,2m 到直线l 的距离d =， 将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式221612(28)0m m ∆=-->，解得m -< 设()()1122,,,A x y B x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=由弦长公式||AB ===，1||||2ABMSAB d m ===≤当且仅当m =取等号．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，基本不等式，属于中档题.20.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程y bx a =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，34，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，23，23.两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：（1）1221ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑,（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，.【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见解析，1310【解析】 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）X 可取0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑， 83107ˆˆ311340340a y bx =-=-⨯=， ∴83107340340y x =+（2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、，则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=，由题意，X 可取0,1,2,3，()()21232190115250p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()21231231232122121111125255250p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212312312321221821125255225p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()212321235225p X p B B B ⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭.X ∴的分布列为：92182130123.5050255010EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知()()212xf x x e ax =--.（1）当4ea =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有2个不同零点，求a 的取值范围. 【答案】(1) ()1f x =-极大值，()2ef x =最小值(2) (),0-∞ 【解析】 【分析】 （1）当4e a =时，()()xf x x e e '=-，令()0f x '=得0x =或1，对x 分类讨论，可得()f x 的单调性，即可求解．（2）对a 分类讨论，当a ≥0时，只有一个零点，0a <时，根据()f x 的单调性，结合零点与方程思想，即可求解． 【详解】（1）当4e a =时，()()xf x x e e '=-令()0f x '=得0x =或1，0x <，()0f x '>，()f x 为增函数， 01x <<，()0f x '<，()f x 为减函数， 1x >，()0f x '>，()f x 为增函数()()01f x f ∴==-极大值，()()12ef x f ==-最小值（2）()()4xf x x e a '=-当0a =时，()()1xf x x e =-，只有一个零点1x =；不满足题意．当0a <时，40x e a ->(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，()()01f x f ==-极小值而()0,x ∈+∞当时，(1)20f a =->， 所以0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =， 当(),0x ∈-∞时，1x e <，所以(1)1xx e x ->-，即222()(1)21221xf x x e ax x ax ax x =-->--=-+-取1104x a--=<-，()()10f x f x ∴>=，()()100f x f ⋅<∴函数有2个零点当0a >时，()()4xf x x e a '=-，令()0f x '=得0x =或()ln 4x a =①()ln 40a >，即1a >时，当x 变化时()f x ，()f x '变化情况是()()=01f x f ∴=-极大值，∴函数()f x 至多有一个零点，不符合题意；②14a =时，()ln 40a =，()0f x '>，则()f x 在()..-∞+∞单调递增， ()f x ∴至多有一个零点，不合题意③()ln 40a <，即10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当x 变化 时()f x ，()f x '的变化情况是∴当0a >时，()()ln 40f a <，()01f =- ∴函数()f x 至多有一个零点综上，a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查导数的应用，涉及到函数的极值，单调性，利用导数研究函数零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，属中档题选考题.共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一感计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值.【答案】（1）2220x y x +--=；（2）4. 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-= 设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.选修4-5，不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知0a >，0b >，且2a b +=，求证：442a b +≥；（Ⅱ）已知0a >，0b >，0c >，求3333111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值，并写出取最小值时a ，b ，c 的值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）a b c ===时，取最小值18【解析】 【分析】（Ⅰ）由基本不等式可得()()22222441222a b a b a b ⎡⎤+++≥≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，进而可证明出结论；（Ⅱ）由基本不等式可得33333111a b c a b c ⎛⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎝⎭⎝，进而可得出结果.【详解】证明：（Ⅰ）0,0,a b >> ()()222224411422222a b a b a b ⎡⎤++∴+≥≥=⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(II)0,0,0a b c >>>，3333311118a b c a b c ⎛⎛⎫∴+++++≥≥= ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当a b c ===时，原式取最小值18.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.。
2021届全国100所名校(新高考)高三最新高考冲刺卷数学试题(三)(解析版)
2021届全国100所名校（新高考）高三最新高考冲刺卷数学试题（三）一、单选题1．已知zi +1=2i ，则|z |=（ ）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数模的公式计算可得； 【详解】解：因为12zi i +=，所以()212122i ii z i i i -+-+===+所以z =故选：B2．已知集合{2R A x x =≤或}4x ≥，{}290,B x x x +=-≤∈N ，则A B ⋂＝（ ）A ．{23}x x <≤∣B ．{23}x x <<∣C ．{2,3}D ．{3}【答案】D【分析】先求出集合A 、B ，再根据交集定义求出. 【详解】{2RA x x =≤或}4x ≥，{24}A x x =<<∴∣，{}{}33,1,2,3B x x x +=-≤≤∈=N ∣，故{}3.A B ⋂=故选：D.3．设x ∈R ，则“42x x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】把命题42x x >化简为0x >，再考查以0x >，1x >分别为题设，结论和结论，题设的两个命题真假即可作答.【详解】因2422220x x x x x x x >⇔>⇔>⇔>， 又01x x >>，而10x x >⇒>，即“0x >”是“1x >”的必要不充分条件，所以“42x x >”是“1x >”的必要不充分条件． 故选：B4．某市为了对学生的初中与高中数学学习能力进行分析，从全市学生中随机抽出五位学生，并跟踪测试他们在初二和高二某一时段数学学习能力等级分数(10分制)，初二等级分数用x 表示，高二等级分数用y 表示，获得数据如表： x 3 4 6 8 9 y33879据此得出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx =，则下列的点到回归直线距离最远的是（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(6,8)D ．(8,7)【答案】C【分析】先求出线性回归方程，再结合选项，即可得出答案. 【详解】本题考查线性回归方程．因为34689338796,655x y ++++++++====，所以ˆ1b=，所以回归直线方程为ˆy x =，因为选项C 中x 与y 的差距最大，所以点(6，8)到回归直线距离最远． 故选：C5．如图，已知一底面半径为1，体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内)，则球O 的表面积为（ ）A ．1009π B ．209π C ．203π D ．503π 【答案】A【分析】取底面圆心，即线段AB 的中点O 1，则有SOO 1共线且垂直于底面，再根据勾股定理即可解得. 【详解】如图所示，设圆锥的底面圆心为1O ，连接11,,SO O B OB .因为V 圆锥=21113SO ππ⨯⨯=，所以13SO =，设球O 的半径为R ，则22(3)1R R -+=，解得53R =，所以球O 的表面积22510044.99S R πππ==⨯=故选：A.6．()226()x y x y ++的展开式中，53x y 的系数为（ ）A ．12B ．26C ．30D ．40【答案】B【分析】由题意依次求出6()x y +中33x y ，5x y 项的系数，求和即可【详解】本题考查二项式定理．因为23332155366C C 26x x y y x y x y +=，所以53x y 的系数为26． 故选B.7．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（ ）A 3555BG -++ B 3555BA BG --+ C 5155BG --+ D 355BA BG -+ 【答案】D【分析】由黄金分割比可得51EO BE -=，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==， 因51BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()EO BE BO BO ---===， 于是得55BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有55BO BG +=，同理有51AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155()AF BG BA -+=-51BG BA =--， 从而有513555BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+， 所以355BF BA BG -=+. 故选：D8．已知函数()ln(ln (1))f x x e x m =+--，若曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，则实数m 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．2-D ．1-【答案】D【分析】根据函数22311x y x +=+的值域可以确定[)11,3y ∈，然后换元令()1f y c =，进而根据()()11y f f y =讨论得出()11f y y =，代入可得()()111ln ln e 1y y m y +--=，解出m ，转化为用导数求值域的问题.【详解】由题意，曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，所以[)11,3y ∈．记()1f y c =，若1c y >，则()()1f c f y >，所以()()()()111f f y f c f y c y =>=>，不满足()()11y f f y =，同理1c y <也不满足，所以()11f y y =，所以()()111ln ln 1y e y m y +--=，所以()111ln 1yy e y m e +--=，所以()[)1111ln 1,1,3.y m y e e y y =-+-∈记()()ln 1x g x x e e x =-+-，则()11xg x e e x=-+-'，记()1h x x=-1x e e +-，因为()210x h x e x -'=-<，所以()h x 在[)1,3上单调递减，因为()10g '=，所以()1,3x ∈时，()g x '0<，因为()()311,333ln3g g e e =-=-+-+，所以333ln31e e m -+-+<-，所以m 的最大值为 1.- 故选：D.【点睛】①嵌套函数一般采用换元法，对于基本初等函数复合而成的函数我们要用换元法尽快得出函数的性质，比如单调性、值域等等； ②当解析式里有多个变量时，我们应该首先想到要消元；③涉及到复杂函数的最值或者值域的求法我们往往借助导数进行处理.二、多选题9．两位大学毕业生甲､乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则（ ） A ．第5个月甲的月工资低于乙 B ．甲与乙在第11个月时月工资相等 C ．甲､乙前11个月的工资总收入相等 D ．甲比乙前11个月的工资总收入要低 【答案】ABD【分析】利用等差数列的前n 项和，逐一验证即可出答案.【详解】本题考查等差数列．设甲各月工资组成数列{}n a ，乙各月工资组成数列{}n b ，易知1003900,n n a n b =+504450.n =+因为5544004700a b =<=，所以选项A 正确；因为11115000a b ==，所以选项B 正确；因为甲前11个月工资总收入为()1140005000495002⨯+=元，乙前11个月工资总收人为()1145005000522502⨯+=元，所以选项C 不正确，选项D 正确．10．已知椭圆()222:1309x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是椭圆上一点，延长2PF 与椭圆交于点A ，若1OF OA =，1OF A 的面积为2，则1AF 的值可以为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BD【分析】连接1AF ，分析得出122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出关于m 、n ，解出m 的值，即为所求.【详解】连接1AF ，因为12OA OF OF ==，则11OAF OF A ∠=∠，22OAF OF A ∠=∠，因为1122122OAF OF A OAF OF A F AF π∠+∠+∠+∠=∠=，122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，则1211242F AF OAF S S mn ===△△，由椭圆的定义可得6m n +=， 所以，86mn m n =⎧⎨+=⎩，解得42m n =⎧⎨=⎩或24m n =⎧⎨=⎩，所以12AF =或4.故选：BD.11．已知a ，b 为正数，2243a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为34B ．2211a b +的最小值为3C ．74D ．11a b + 【答案】AB【分析】选项A ：直接利用公式222a b ab +≥即可求得； 选项B ：用“1”代换来求，即把求2211a b +的最小值转化为求 ()222211143a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值；选项C ：利用公式a b +≥ 选项D ：利用选项A 和选项B 的结论来求.【详解】因为2244a b ab +，所以43ab ，即34ab ，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以选项A 正确；因为()22222222221111114141493333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a ==时，等号成立，所以选项B 正确；因为22114472224a b ++=⨯=， 当2244a b =+时，即281b =-时等号成立，显然等号不成立，所以选项C 不正确；因为22211112817333a b a b ab⎛⎫+=++>+=⎪⎝⎭，所以11a b +>>，所以选项D 不正确． 故选：AB.12．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得()y g x =的图象，则下列关于函数()f x 和()g x 的说法正确的是（ ） A ．函数()f x 与()g x 有相同的周期B ．函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的对称中心一定不同C ．若函数()g x 的图象在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少可取到两次最大值1，则2ω≥D ．若函数()g x的图象与直线y =,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则162099ω< 【答案】ACD【分析】先求出()g x 的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.【详解】本题考查三角函数的图象和性质．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得()g x sin 4x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 与()g x 的周期都为2πω，所以选项A正确；函数()f x 的对称中心为1,0k πω⎛⎫⎪⎝⎭，函数()g x 的对称中心为()212,0,4k k k ππω⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，当()1212,4k k k k ω-=∈Z 时，对称中心可以相同，所以选项B 不正确；若函数()g x 的图象在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少可取到两次最大值1，则2423242πππωπππω⎧+⎪⎪⎨-⎪+-⎪⎩，解得2ω，所以选项C 正确;记,,422t x x πππω⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()31sin ,,.44ht t t πωπω⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦函数()h t 的图象与直线y =右边最近两个交点横坐标为3π和23π，左边最近两个交点横坐标为43π-和53π-，令3452,,,433433πππωππωπ-=--=，得162048,,,9933ω=，所以162099ω<，所以D 正确． 故选：ACD.三、填空题13．设α为第二象限角，若sin α=tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】12-【分析】根据条件先求出tanα，再将tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，代入即可求得.【详解】因为α为第二象限角，sin α=，所以tan 3α=-，所以tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭tan tan31141321tan tan 4παπα+-+==-+-.故答案为：12-.14．某港口有A ､B ､C ､D 四个码头，每个码头一次只能停一艘船，A 码头最大可以停靠600吨总重量的船舶，B 码头最大可以停靠900吨总重量的船舶，C 码头最大可以停靠1500吨总重量的船舶，D 码头最大可以停靠3000吨总重量的船舶，现仅有甲､乙总重量分别为500吨和1400吨的船舶要安排停靠该港口，则甲船舶安排停靠在B 码头的概率为___________． 【答案】13【分析】根据题意列举出每一种可能的停靠情况，然后选出甲船停靠在B 码头的情况，分别数出各自的数量，再根据古典概型公式相比即可.【详解】本题考查古典概型．当甲停靠在A 或B 码头时，乙可停靠C 或D 码头，所以甲、乙共4种停法；当甲停靠在C 或D 码头时，乙对应可停靠D 或C 码头，所以甲、乙共2种停法．甲、乙总共有6种停法，其中甲船停靠B 码头有2种停法，所以甲船舶停靠在B 码头的概率为2163P ==. 故答案为：13.15．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且||||(1)AB AF λλ=≥，则双曲线的离心率的取值范围是___________．【答案】2⎤⎦【分析】由垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以22b a>1，所以e >得2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B ab a b ，从而根据AB AF λ=即可建立关于,,a bc 的方程，又1λ，即可建立离心率e 的不等关系，从而可解.【详解】解：因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以a b b a ->-，所以22b a >1，所以e >在直角AOF 中，,,OA a AF b OF c ===，所以2,A A ab a y x c c ==，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立()ay x cbby xa⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,⎛⎫-⎪--⎝⎭a c abcBa b a b，因为AB AFλ=，所以22222a a c acc a b cλ⎛⎫-=-⎪-⎝⎭，故2222ab aλ=-222e=-，因为1λ，所以2212e-，解得 2.e综上，可得(2,2.e⎤∈⎦故答案为：(2,2⎤⎦四、双空题16．如图，在正方体1111-ABCD A B C D中，点P在线段11C D上运动，M，N分别为AD，AB的中点，记异面直线PM与DN所成的角为θ．当点P与1C重合时，cosθ=___________；cosθ的取值范围是___________．【答案】020,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】取AN的中点E，连接ME，则PME∠或其补角是异面直线PM与DN所成的角，当点P与点1C重合时，连接MC，可证得DN⊥平面1MCC，所以可得异面直线PM 与DN垂直，从而可得cos0.θ=当点P由1C向1D方向移动时，角θ在不断减小，当点P 与点1D重合时，角θ最小，然后在三角形1MED可求得cosθ的最大值，从而可求得其范围【详解】取AN的中点E，连接ME，则PME∠或其补角是异面直线PM与DN所成的角．当点P与点1C重合时，连接MC，因为1,DN MC DN CC⊥⊥，所以DN⊥平面1MCC，所以()1DN MP C ⊥，此时异面直线PM 与DN 所成的角最大，即为2π，所以cos 0.θ= 当点P 由1C 向1D 方向移动时，角θ在不断减小，当点P 与点1D 重合时，角θ最小， 连接11,D M D E ，设2AD =，可得15,D M ME ==1533,D E =， 所以()222533(5)2cos 55252πθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==-⨯⨯，所以2cos 0,.5θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为：0，20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos()cos 3sin cos a B C a A b C A -+=（1）求A ；（2）若234,cos 28a c B b ==+，求b 的值．【答案】（1）3π；（2）43b = 【分析】（1）等式左边将A 化为B C +，根据两角和的余弦公式化简，再用正弦定理即可解得；（2）结合第二问条件及余弦定理可以得到2c b =，再根据第一问可得3A π=，再次利用余弦定理，得到b ,c 的第二个关系式，联立方程组即可解得. 【详解】（1）因为()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=，所以()()cos cos 23a B C a B C b --+=sin cos C A ，所以sin sin 3sin cos a B C b C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos a B b A =．由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan A =0A π<<，所以3A π=．（2）因为23cos 28c B b =+，4a =，由余弦定理222163288c b c b c +-⋅=+，解得2c b =，由（1），3A π=，所以由余弦定理：2216b c bc =+-，所以2163b =，即b =18．从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212n n b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）1116.2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）根据3244,10a a a =+=-可得关于1,a q 的方程 ，两个方程解出两个未知数；（2）若选①②，结合132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，()()2121(1)2132(2)nn n n nn a b n +⋅-⋅==-⋅+-，可用分组求和法解题. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，因为3244,10a a a =+=-，故3310a a q q+=-， 即4410q q +=-，解得12q =-或q =2(-舍去1),16a =， 所以1116.2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）设132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若选①211121,,32(2)2(2)(2)n n nn n n n a b T ---⋅==++++----(2)nn -，23111212(2)(2)(2)(2)n n n n nT +--=++++----，两式相减得2311122(2)(2)n n T =+++----11111(2)3(2)(2)n n n n n++⎡⎤=---⎢⎥---⎣⎦ 所以3229(2)9n n n T +=-⋅-若选②231(6),3,1323333,32(2)nn n n n n nn a b n T n ⋅--⋅==⋅=⋅+⋅+⋅++⋅-234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-，所以1321344n n n T +-=+⋅． 若选③()()()2121,(1)21,35721(1)32(2)n nn n n n n n a b n T n +⋅-⋅==-⋅+=-+-+++⋅--当n 为偶数时，2;2n n T n =⨯=当n 为奇数时，()122122n n T n n -=⨯-+=--， 所以,{2,nn n T n n =--为偶数为奇数19．2021年初疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放．手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如图频率分布直方图所示．（1）求a 的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；（2）现从年龄为[20，30)的人中随机抽取7个人，按答题情况有4人成绩优秀，3人成绩不优秀，优秀得2分，不优秀得1分．若从这7人中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中测试得分的和，求随机变量X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）0.005a =；中位数为38.33；（2）分布列见解析；期望为337． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得0.005a =，结合中位数的概念，列出求得x 的值，即可求解；（2）得出随机变量X 的所有取值，求得相应的概率，得出分布列，结合公式，即可求解.【详解】（1）由题意得()100.0200.0300.0250.020101a ⨯++++⨯=，解得0.005a =； 设该组数据的中位数是x ，则()()100.0050.020300.0300.5x ⨯++-⨯=， 经计算得1153x =，故该组数据的中位数为11538.33.3≈ （2）随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6，可得()()031243433377C C C C 1123,4C 35C 35P X P X ======，()()213043433377C C C C 1845,6C 35C 35P X P X ======，所以随机变量X 的分布列为 X3 4 5 6 P13512351835435所以期望为：()11218416533345635353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 20．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，底面ABCD 为正方形，1,2,3AP DP AD CP ====，F 为线段PD 的中点．（1）求证：CD AF ⊥（2）求直线PB 与平面CFB 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2102【分析】（1）首先易证CD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可证明CD AF ⊥. （2）首先，以,DP DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解线面成角即可.【详解】（1）在PCD 中，因为3,1,2PC DP CD AD ==== 所以222CD DP CP +=，所以CD DP ⊥，因为,CD AD AD DP D ⊥⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，因为AF ⊂平面P AD ，所以CD AF ⊥． （2）由（1）知CD DP ⊥，以,DP DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：.D xyz -在APD △中，因为1,2AP DP AD ===222AP DP AD +=，所以AP DP ⊥；因为CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以CD AP ⊥. 因为CD DP D =，所以AP ⊥平面.PCD可得()()()()10,0,0,1,0,0,2,0,,0,0,1,0,1.2D P C F A ⎛⎫⎪⎝⎭因为()1,2,1DB DC DA =+=，所以()2,1B ， 所以12,02FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,2,1PB =.设平面CFB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n FC n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以12021202x x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，令4x =，则2,y z ==-4，所以()2,4.n =-设直线PB 与平面CFB 所成的角为θ， 则102sin 334n PB n PBθ⋅===⨯ 21．已知抛物线()2:20G y px p =>的焦点为F ，斜率为k 的直线l 过点F ，且与G 交于A ，B 两点，当1k =时，16AB =． （1）求p 的值；（2）直线11:(2)l y k x =-与G 相交于C ，D 两点，M ､N 分别为AB ､CD 的中点，若直线MN 恒过定点(2,2)，求1k k +的值． 【答案】（1）4；（2）1 2.k k +=．【分析】（1）当1k =时，得到直线l 的方程为2py x =-，联立方程组得到123x x p +=，结合抛物焦点弦的性质，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到28y x =，设直线l ：()2y k x =-，联立方程组求得212248k x x k ++=，得出点22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合斜率公式和题设条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ， 当1k =时，直线l 的方程为2py x =-， 联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22304p x px -+=，所以123x x p +=，因为AB 16=，可得1216x x p ++=，所以416p =，解得4p =． （2）由（1）知，可得曲线G 的方程为28y x =， 设直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程组()228y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理得()22224840k x k x k -++=，则212248k x x k ++=，所以2224M k x k +=，所以4M y k =，即22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 同理可得21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以112211221442424MNk k kk k k k k k k k -==+++-， 所以直线MN 的方程为2121424(kk k y x k k k k ⎫+-=-⎪+⎭，因为直线MN 过点()2,2，所以212142422kk k k k k k ⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，解得1 2.k k +=【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数()2(1)x f x ae a =-+． （1）讨论函数()()2g x f x x =-的单调性；（2）若不等式()10(0)xf x a a ++>在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1e 1a-． 【分析】（1）求出()g x 的解析式，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为1e 220(0)xa a a a x+⋅--+>，令()1e 22,x a k x a a x +=⋅--+求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．【详解】（1）因为()e 222x g x a x a =---，所以() 2.xg x ae -'=当0a 时，()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 20xg x a '=-=，解得2lnx a=，所以函数()g x 在2,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增（2）由题知不等式可转化为1e 220(0)xa a a a x+⋅--+>，令()()1e 22,xa k x a a k x x +⋅-+'=-=()22e 1x ax a x-+，令()()2e 1xm x ax a =-+，则()()2e 0x m x ax x =+>'，所以()m x 在()0,+∞上是增函数．因为()()010m a =-+<，当x →+∞时，()0m x >，所以存在()00x ∈+∞,，使得()00m x =，所以()k x 在()00,x 上单调递减，()k x 在()0,x +∞上单调递增，因为()()0200e 10x m x ax a =-+=，即0201e x a a x +=，因为在()0,x ∈+∞上()0k x 恒成立， 故()0min 001()e 220x a k x k x a a x +==⋅--+，所以20011220a a a x x +++--， 故2001120x x +-，所以200210x x --，解得0112x -，因为020e 1x ax a =+，所以0201e x a x a +=，令()0h x 020e x x =，易知()0h x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,1上单调递增，所以11e a a +<，所以1e 1a -． 【点睛】恒成立问题解题思路： （1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十四)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln 0A x x =>，集合{}(1)(5)0B x N x x =∈--≤，则A B =( )A. {}0,1,2,3,4,5B. {}1,2,3,4,5C. {}1,2,3,4D. {}2,3,4,5【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合,A B ，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}ln 01A x x x x =>=，集合{}{}(1)(5)01,2,3,4,5B x N x x =∈--≤=，所以AB ={}2,3,4,5，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是（ ） A. ln ||y x x =B. cos y x x =C. 22xxy -=-D.x x y e e -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义以及常见函数的单调性判断即可.【详解】对A, 因为ln ||ln y x x x x =--=-为奇函数,当0x >时ln y x x =,故'ln 1y x =+.故ln ||y x x =不为增函数.故A 错误.对B, 当0x =时0y =,当x π=时y π=-,故cos y x x =不是增函数.故B 正确. 对C, ()22xxy f x -==-,则()22()xx f x f x --=-=-为奇函数.又2x y =为增函数,2xy -=为奇函数.故22xxy -=-为增函数. 对D, ()xxy f x e e -==+,则()()xx f x ee f x --=+=为偶函数.故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型. 3.设a R ∈，则“sin y ax =周期为2π”是“1a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】【分析】根据充分与必要条件的判定判断即可.【详解】当1a =时sin y x =周期为2π成立.当sin y ax =周期为2π时,若2a =也满足.故“sin y ax =周期为2π”是“1a =”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了必要充分条件的判定,属于基础题型.4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，c =6A π=，则B =（ ） A.6π B.3πC.6π或2π D.3π或23π 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求出2b =或1b =，当2b =时，根据余弦定理可求出B ，当1b =时，根据等腰三角形可求出B .【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即213b =+-， 所以2320b b -+=， 解得2b =或1b =，当2b =时，222cos 02a c b B ac +-===， 因为0B π<<，所以2B π=，当1b =时，三角形ABC 是等腰三角形，6B A π==，综上所述：2B π=或6B π=。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二十四)理科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分）1.若集合34{|}M x x ≤＝－＜，{}3,1,4N =-，则M N ⋂等于（ ） A. {}3- B. {}1 C. {}3,1,4- D. {}3,1-【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果.【详解】因为集合34{|}M x x ≤＝－＜，{}3,1,4N =-， 所以{}3,1M N ⋂=-.【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i =+，则z 等于（ ） A. 2i + B. 2i - C. 12i + D. 12i -【答案】B 【解析】 【分析】在等式12iz i =+两边同时除以i ，可求出复数z . 【详解】12iz i =+，212i z i i+∴==-， 故选B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 3.设x ∈R ，则“|x |＞3”是“2x＞8”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．【详解】由3x >，则3x <-或3x >，所以28x >或1028x<<，故充分性不成立； 若28x >，则3x >，所以3x >，故必要性成立， 所以“3x >”是“28x >”的必要不充分条件，故选B 【点睛】本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数()2log ,01,0,3xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A. 2-B. 2C.19D. 9【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而可得14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】因为()2log ,01,0,3xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，104>，所以211log 2044f ⎛⎫==-<⎪⎝⎭， 所以()2112943f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值． 5.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小． 【详解】0.200.30.31c =<=；22log 7log 42>=； 331log 8log 92<<=．故c b a <<． 故选A ．【点睛】利用指数函数、对数函数单调性时要根据底数与1的大小区别对待．6.点()1,2P -是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（ ） A.25B. 25-C. 25-D.15【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出sin α的值，然后利用诱导公式可求出()sin πα-的值. 【详解】由三角函数的定义可得()2225sin 12α==-+， 由诱导公式可得()25sin sin παα-==. 故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题. 7.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若l α⊥，l β⊥，则//αβ C. 若l α⊥，//l β，则//αβ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系8.函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为 （ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】当0x >时，y ＝ln |x |＋1的图象由ln y x =向上平移一个单位，故选A 9.已知正数x 、y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A. 8B. 12C. 10D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质的到()11114445529.x y x y x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭ 【详解】正数x 、y 满足41x y +=，根据不等式性质得到：()11114444415529.x y x y x yx y x y x y y x y x y x ⎛⎫+=++=+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件为4x yy x= 故答案为D.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.若向量a ，b 满足|a |=10，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A. 90° B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C 【解析】【详解】由题意可得2(2)b =-=,所以cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.11.为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ） A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用()sin y A x ωϕ=+ 的图像变换规律，得到结论． 【详解】把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =． 故选A【点睛】解决本题的关键在于()sin y A x ωϕ=+ 的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换．12.已知:p 函数()2ln 1y x ax =-+的定义域为R ，:xq e ax >对任意实数x 恒成立，若p q∧真，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)0,2 B. [)2,e C. ()2,e - D. [)0,e【答案】A 【解析】【分析】由p q ∧真得出两个命题均为真命题，求出p 、q 均为真命题时对应的参数a 的取值范围，取交集即可得出实数a 的取值范围.【详解】由于命题p q ∧为真命题，则命题p 、q 均为真命题. 若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<.若命题q 为真命题，构造函数()xf x e ax =-，则()min 0f x >，且()xf x e a '=-.（1）当0a <时，()0f x '>对任意的x ∈R 恒成立，此时，函数()y f x =单调递增， 且当x →-∞时，()f x →-∞，不合乎题意； （2）当0a =时，()0xf x e =>恒成立；（3）当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.()()()ln min ln ln ln 1ln 0a f x f a e a a a a a a a ∴==-=-=->，即1ln 0a ->，解得0a e <<.所以，当命题q 为真命题时，0a e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数πtan 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________. 【答案】2π 【解析】π23y tan x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴函数的周期2T π=故答案为2π 14.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_______【答案】1 【解析】 【分析】根据约束条件，画出可行域，化目标函数2z x y =+为122zy x =-+，则z 表示直线122zy x =-+在y 轴截距的2倍，结合图象，即可求出结果.【详解】根据约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩画出可行域如下：因为目标函数2z x y =+可化为122z y x =-+， 则z 表示直线122zy x =-+在y 轴截距的2倍， 由图象可得，当直线122zy x =-+过点A 时，截距最小，即z 最小；由122x y x y +=⎧⎨-=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ；因此，min 101=+=z . 故答案为：1.【点睛】本题主要考查线性规划的问题，根据数形结合的方法，即可求解，属于常考题型. 15.已知函数()()()231,2f x x f x f '+='=则__________________.【答案】1 【解析】 【分析】求导得()()'23'1f x x f =+，令1x =，则()()'123'1f f =+，求出()'1f 可得函数及导函数的解析式，将2x =代入可得答案． 【详解】函数()()()()23'1,'23'1f x x f x f x x f =+∴=+，令1x =，则()()'123'1f f =+，解得()'11f =-，即()()23,'23f x x x f x x =-=-， ()'21f ∴=，故答案为1.【点睛】本题考查的知识点是导数计算，以及方程思想，难度中档．16.已知三棱锥P ABC -，底面正三角形ABC PA ⊥平面ABC ，2PA =，三棱锥P ABC -外接球的表面积为_____ 【答案】8π 【解析】 【分析】先由题意，得到三棱锥P ABC -的外接球，即为以ABC 为底面，以PA 为高的三棱柱的外接球，根据题中数据，先求出底面外接圆半径，进而可求出外接球的半径，即可求出结果.【详解】因为PA ⊥平面ABC所以，三棱锥P ABC -的外接球，即为以ABC 为底面，以PA 为高的三棱柱的外接球，因为ABC所以ABC 的外接圆半径为1r =，球心到ABC 的外接圆圆心的距离为112d PA ==，因此，球的半径为R ==所以，三棱锥P ABC -外接球的表面积为248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题主要考查求三棱锥的外接球问题，熟记棱锥的几何特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.三、解答题1（17—21题每题13分，22题5分，共70分）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 10A =-，b =c = （1）求a ；（2）求cos()B A -的值． 【答案】(1) 3a =.(2) cos()10B A -=. 【解析】 【分析】分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =．（2）由cosA =得sinA =．根据正弦定理得sinB =，从而cosB =，故得()cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=． 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得22222529a b c bccosA ⎛=+-=+-= ⎝⎭，∴3a =．（2）在ABC ∆中，由cosA =得,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sinA ===，在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB =10sinB =，∴sinB = 又,2A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5cosB ===，∴()cos B A cosBcosA sinBsinA 51051010⎛-=+=-+⨯= ⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，65a b =.（1）求{}{},n n a b 的通项公式；（2）设{}.n n n c a b =求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）n b =12n -，n a =3n -2； （2）n s =（3n -5)2n +5【解析】【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件，求出公比与公差，即可得出通项公式；（2）根据错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为22b =，34b =，11a b =，65a b =， 所以322b q b ==，因此111a b ==，2654216a b ==⨯=， 因此61515d a a =-=，所以3d =；因此13(1)32n a n n =+-=-；12n n b -=；（2）由（1）得()1322n n n n c a b n -==-，所以112233n n n a b a b a b a S b =+++⋅⋅⋅+()2114272322nn-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯①，所以()232124272322nnS n=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯②①-②得()231132323232322n nnS n--=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()()121213322352512nn nn n-⨯-=+⨯--⨯=--⨯--，所以()3525nnS n=-⨯+.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和，属于常考题型.19.已知函数()f x=πsin(0,0)6A x Aωω⎛⎫+>>⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求,Aω的值;(2)求()f x的单调增区间;(3)求()f x在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】(1)1,?2Aω==;（2）单调递增区间为πππ,π,36k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(3)π6x=时,()f x 取得最大值1;π6x=-时,f(x)取得最小值12-．【解析】试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和ω值;(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．试题解析：(1)由图象知1,A = 由图象得函数的最小正周期为2ππ236⎛⎫- ⎪⎝⎭=π, 则由2πω=π得2ω=．(2)令πππ2π22π,?262k x k k Z -+≤+≤+∈ 2ππ2π22π33k x k ∴-+≤≤+. k ∈Z ππππ36k x k ∴-+≤≤+. k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为πππ,π,.36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）ππππ,2,6432x x -≤≤∴-≤≤ ππ2π2663x ∴-≤+≤. 1πsin 2126x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭. 当ππ2,62x +=即π6x =时,()f x 取得最大值1; 当ππ2,66x +=-即π6x =-时,f (x )取得最小值12-． 20.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，32PC ACB π=∠=，，D E ，分别为线段AB BC ，上的点，且32222CD DE AC CE EB =====，，．（I ）证明：ED ⊥平面PCD ；（II ）求二面角A PD C --的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）36．【解析】【分析】（I）根据PC⊥平面ABC并结合CDE△的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；（II）建立空间直角坐标系，求解出平面APD的一个法向量，写出平面PDC的一个法向量，计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角A PD C--是钝角还是锐角，从而计算出二面角A PD C--的余弦值. 【详解】（I）证明：因为PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以PC DE⊥．由22CE CD DE===，得CDE△为等腰直角三角形，故CD DE⊥，又PC CD C=，且PC⊂面PCD，CD⊂面PCD，故DE⊥平面PCD．（II）如图，以点C为原点，分别以CA CB CP，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立直角坐标系()()()()3000003000201102C P A E D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，， ()()1110113102ED DP DA ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， 设平面PAD 的法向量为()1111n x y z =，，，则0n DP ⋅=， 即1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令12x =，则1111y z ==，，故可取()1211n =，，．由（I ）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ，即()2110n =-，，，则121212cos 62n n n n n n ⋅<>===，， 又二面角A PD C --为锐二面角，所以二面角A PD C --的余弦值为6． 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.利用空间向量求解二面角的余弦值时，可通过平面法向量夹角的余弦值结合图形中二面角的实际情况完成求解.21.已知函数()ln f x x ax =-，2()g x x =.a R ∈.（1）如a =2，求函数()f x 的递增区间；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）先由2a =得()ln 2f x x x =-，对函数求导，由()0f x '>，即可求出单调增区间；（2）先由题意，将“()()f x g x ≤恒成立”化为ln x x a x-≤恒成立，令ln ()x h x x x =-，对其求导，研究其单调性，求出最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为2a =，所以()ln 2f x x x =-，0x >， 所以112()2x f x x x-'=-=， 由112()20x f x x x-'=-=>得102x <<， 所以，函数()f x 的递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若()()f x g x ≤恒成立，则2ln x ax x -≤恒成立，即ln x x a x-≤恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则2221ln 1ln ()1x x x h x x x---'=-=， 令2()1ln v x x x =--，则1()20v x x x '=--<显然在()0,∞+上恒成立， 所以2()1ln v x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0v =，所以当()0,1x ∈时，()0v x >，即221ln ()0x x h x x--'=>； 当()1,x ∈+∞时，()0v x <，即221ln ()0x x h x x--'=<； 所以，函数ln ()x h x x x=-在()0,1x ∈上单调递增，在()1,x ∈+∞上单调递减， 因此max ()(1)1h x h ==-， 又ln x x a x-≤恒成立， 所以，只需1a ≥-.【点睛】本题主要考查求函数的单调区间，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.22.已知函数f(x)＝213,2{24log ,02x x x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭<<，若函数g(x)＝f(x)－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．【答案】3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】画出函数f (x )图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈.。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(十)文科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}||2M x x =∈≤R ，{}04N x x =∈<<R ，则()M N =R （ ）A ．[0,2]B ．[2,0)-C ．[2,0]-D ．(,2][4,)-∞+∞2．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11i z =+， 则12iz z =-（ ） A ．1i +B ．13i 55-+ C ．1i 3-+D ．1i 22-3．已知0.5log 5m =，35.1n -=，0.35.1p =，则实数,,m n p 的大小关系为（ ） A ．m p n << B ．m n p << C ．n m p <<D ．n p m <<4．焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的离心率为22，则a =（ ）A ．6B ．632+C ． 6D ．32 5．若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()xf x e m =+，则1ln 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．2-6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6350S S =-≠，则93S S =（ ） A ．18B ．13C ．13-D ．18-[7．如图，每一个虚线围成的最小正方形边长都为1，某几何体的三视图如图中实线所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8πB ．9πC ．28π3D ．32π38．随机从3名老年人，2名中老年和1名青年人中抽取2人参加问卷调查，则抽取的2人来自不同年龄层次的概率是（ ） A ．15B ．415C ．45D ．11159．将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移ϕ（π04ϕ<<）个单位长度后得到()g x 的图象，且π312g ⎛⎫=⎪⎝⎭()g x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭B ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭C ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭D ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭10．秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔，它把一元n 次多项式的求值转化为n 个一次式的运算，即使在计算机时代，秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法，其算法如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，3a ，4a 分别为0，1，1，3，2-，则该程序框图输出p 的值为（ ）A ．14-B ．2-C ．30-D ．3211．若在ABC △中，1BC =，其外接圆圆心O 满足3AO AB AC =+， 则AB AC ⋅=（ ）A ．12B ．22C 3D ．112．函数()f x 满足：1()()xf x f x e '+=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根； ②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为_________人．14．设x，y满足约束条件124yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则平面直角坐标系对应的可行域面积为_________．15．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，π3A=，6a=，6b=C=_________．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过双曲线222:C x y a-=（0a>）的右顶点P作射线l与双曲线C的两条渐近线分别交于第一象限的点M和第二象限的点N，且3PN PM=，OMN△的面积为3S=，则a=________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}na满足11a=，112nn na a---=（2n≥，n+∈N）．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列2log(1)n nb a=+，求数列11n nb b+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n项和nS．18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD ∥平面GAC ． （1）求证：G 为SB 的中点；（2）若F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，FA ，FG ，平面SAB ⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F AGC -的体积．19．（12分）从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x 表示清洗的次数，y 表示清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）．（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，y bx a =+与xy men -=+哪一个适宜作为清洗x 次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程；表中i xieω-=，5115iiωω==∑．（3）对所求的回归方程进行残差分析．附：①线性回归方程y bx a=+中系数计算公式分别为121()()()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-；②22121()1()ni iiniiy yRy y==-=--∑∑，20.95R>说明模拟效果非常好；③10.37e≈，210.14e≈，310.05e≈，410.02e≈，510.01e≈．20．（12分）已知抛物线2:4C x y=，P，Q是抛物线C上的两点，O是坐标原点，且OP OQ⊥．（1）若OP OQ=，求OPQ△的面积；（2）设M是线段PQ上一点，若OPM△与OQM△的面积相等，求M的轨迹方程．21．（12分）已知函数()sin 1f x ax x =--，[0,π]x ∈． （1）若12a =，求()f x 的最大值； （2）当2πa ≤时，求证：()cos 0f x x +≤．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线:28l x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 在直线l 上，射线OP 交曲线C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足229OR OP OQ =⋅，求点Q 的轨迹的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()31f x x x =--+，M 为不等式()2f x <的解集． （1）求M ；（2）证明：当log a b M ∈时，12222a b a b +--<-．文 科 数 学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．B 10．B 11．A 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．414．491215．5π1216．3三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21nna=-；（2）1nnSn=+．【解析】（1）由已知112nn na a---=，∴11223211()()()()n n n n n n na a a a a a a a a a-----=-+-+-++-+，∴12321222221n n nna---=++++++，∴1(1)1(12)21112n nnna qaq-⋅-===---．（2）2log(1)n nb a n=+=，11111(1)1n nb b n n n n+==-⋅++，∴1111111111122334111nnSn n n n=-+-+-++-=-=+++．18．【答案】（1）证明见解析；（2）14F AGCV-=．【解析】（1）证明：如图，连接BD交AC于E点，则E为BD的中点，连接GE，∵SD∥平面GAC，平面SDB平面GAC GE=，SD⊂平面SBD，∴SD GE∥，而E为BD的中点，∴G为SB的中点．（2）∵F，G分别为SC，SB的中点，∴1111122448F AGC S AGC C AGS C ABS S ABC S ABCDV V V V V V------=====，取AB的中点H，连接SH，∵SAB△为等边三角形，∴SH AB⊥，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB平面ABCD AB=，SH⊂平面SAB，∴SH⊥平面ABCD，而3SH=，菱形ABCD的面积为1222sin60232ABCDS=⋅⋅⋅︒=，∴11233233S ABCD ABCDV S SH-=⋅⋅=⋅⋅=，∴1184F AGC S ABCDV V--==．19．【答案】（1）见解析；（2）100.8xy e-=⨯+；（3）拟合效果非常好．【解析】（1）散点图如图，用xy me n-=+作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．（2）由题知51521()()0.9100.09()i iiiiy ymωωωω==--===-∑∑，2100.120.8n y mω=-=-⨯=，故所求的回归方程为100.8xy e-=⨯+．（3）列表如下：所以521()0.19i iiy y=-=∑，521()9.1iiy y=-=∑，20.1910.9799.1R=-≈，所以回归模拟的拟合效果非常好．20．【答案】（1）16OPQS=△；（2）2142y x=+．【解析】设11(,)P x y，22(,)Q x y，（1）因为OP OQ =，又由抛物线的对称性可知P ，Q 关于y 轴对称，所以21x x =-，21y y =，因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，故12120x x y y +=，则22110x y -+=，又2114x y =，解得14y =或10y =（舍），所以14x =±，于是OPQ △的面积为1112162OPQ S x y ==△． （2）直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，代入24x y =，得2440x kx m --=，216160Δk m =+>，且124x x k +=，124x x m =-，因为OP OQ ⊥，所以12120OP OQ x x y y ⋅=+=， 故221212016x x x x +=，则240m m -+=，所以4m =或0m =（舍）， 因为OPM △与OQM △的面积相等，所以M 为PQ 的中点，则M 点的横坐标为12022x x x k +==，纵坐标为2000442x y kx =+=+， 故M 点的轨迹方程为2142y x =+． 21．【答案】（1）π12-；（2）证明见解析． 【解析】（1）当12a =时，1()cos 2f x x '=-， 由()0f x '=，得π3x =，所以π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>， 因此()f x 的单调递减区间为π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦， ∴()f x 的最大值为{}ππmax (0),(π)max 1,1122f f ⎧⎫=--=-⎨⎬⎩⎭．（2）证明：先证2sin cos 10πx x x -+-≤， 令2()sin cos 1πg x x x x =-+-，则22π()cos sin )ππ4g x x x x '=--=+，由π)4y x =+，[0,π]x ∈与2πy =的图象易知， 存在0[0,π]x ∈，使得0()0g x '=，故0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(,π)x x ∈时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为0(0,)x ，单调递增区间为0(,π)x ，所以()g x 的最大值为max{(0),(π)}g g ，而(0)0g =，(π)0g =， 又由2πa ≤，0x ≥，所以2sin 1cos sin 1cos 0πax x x x x x --+≤--+≤， 当且仅当2πa =，0x =或π，取“=”成立，即()cos 0f x x +≤． 22．【答案】（1）2222cos sin 149ρθρθ+=，2cos sin 8ρθρθ+=；（2）22294x y x y +=+．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 149ρθρθ+=，直线l 的极坐标方程为2cos sin 8ρθρθ+=．（2）设点Q 的极坐标为(,)Q ρθ， 易知222369cos 4sin OR θθ=+，82cos sin OP θθ=+， 故代入229OR OP OQ =⋅，得2219cos 4sin 2cos sin ρθθθθ=++， 即2222cos sin 9cos 4sin ρθρθρθθ+=+， 所以点Q 的轨迹的直角坐标方程为22294x y x y +=+．23．【答案】（1）(0,)M =+∞；（2）证明见解析．【解析】（1）当3x ≥时，()42f x =-<成立；当13x -<<时，()31222f x x x x =---=-<，∴03x <<； 当1x ≤-时，()42f x =>，不成立．综上，(0,)M =+∞．（2）证明：根据题意，得log 0a b >，∴11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩， 要证12222a b a b +--<-成立， 即证144224422a b a b a b a b ++-++-⋅<+-⋅成立，即证144440a b a b +-+--<成立，111144444(14)4(41)(41)(44)a b a b a b b b a +----+--=-+-=--， 当11a b >⎧⎨>⎩时，1(41)0b -->，(44)0a -<； 当0101a b <<⎧⎨<<⎩时，1(41)0b --<，(44)0a ->， 故1(41)(44)0b a ---<，所以144440a b a b +-+--<成立， 即12222a b a b +--<-成立．。
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故选：A
【点睛】本题考查的是圆锥的表面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
6.已知点 在直线 上，且满足 ，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，求出 的取值范围，再求 的范围．
【详解】由题意 ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，
，所以 ；
综上， 的取值范围为 ，
故选：D
【点睛】本题考查函数最值、分式函数单调性，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属较难题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合 、 中的不等式即可.
【详解】因为 ，
所以
故选：D
【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单.
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（十四）
故选：A.
【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
5.若圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设该圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，根据题意可得 ，所以 ，然后根据圆锥的表面积公式计算即可.
【详解】设该圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，根据题意可得 ，所以
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
【详解】对于 ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项 错误；
对于 ，在线性回归模型中，相关指数 ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 ，故选项 正确；
对于 ，因为 且 ，所以 ，所以 ，故选项 错误；
对于 ， 或 或 ，故选项 错误.
故选：B.
【点睛】本题考查了回归分析，考查了正态分布，考查了对数的性质以及对数函数的单调性，考查了充要条件，属于基础题.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 的正负以及与 大小关系分类讨论 单调性，再根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值求结果.
【详解】①当 时， 在 上单调递增，所以 ，因此ห้องสมุดไป่ตู้满足题意；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
因此⑴当 时， 在 上单调递增，所以 ，
或 或
⑵当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
B.在线性回归模型中，相关指数 ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 .
C.已知随机变量 ，若 ，则 .
D.设 均为不等于1的正实数，则“ ”的充要条件是“ ”.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合效果越好、精度越高可知，选项 正确；根据相关指数意义可知，选项 正确；根据正态曲线的对称性可知，故选项 错误；根据对数的性质以及对数函数的单调性可知，选项 错误.
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.已知 ，则 =（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可根据复数的四则运算得出 ，然后根据复数的模的相关计算即可得出结果.
【详解】
，
故 ，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的模，若复数 ，则 ，考查计算能力，是简单题.
3.下列结论正确的是（）
A.残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.
4.若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中x的系数是（）
A. 54B. 81C. 96D. 106
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】因为 的展开式中各项系数之和为 ，所以 ，解得 ，
因此 的展开式的通项是 ，
由 得 ，
所以，展开式中 的系数为 .
，
∵ ，∴ 或 ，
∴ 或 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等关系求出 的范围，然后再利用不等式的性质求解．
7.函数 在区间 上的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数 的解析式，判断函数 的奇偶性及 的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】 ， ，
函数 为奇函数，排除A、D选项；
，排除B选项.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数 解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，结合排除法得出合适的选项，考查推理能力，属于中等题.
8.已知函数 ，其中 ，记 为 的最小值，则当 时， 的取值范围为（）