2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习

2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习

【课标要求】

1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角；

2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；

3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )；知道30︒、45︒、60︒角的三角函数值；

4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； 5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题． 【课时分布】

解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)．

【知识回顾】 1．知识脉络

2．基础知识

(1)勾股定理及其逆定理

①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．

②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义

如图7-1，在Rt △ABC 中，∠C =90︒，则 sin A =A ∠的对边斜边=a

c ，cos A =A ∠的邻边斜边=b c ，

tan A =

A A ∠∠的对边的邻边

=

a

b

． sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数．

∠A 的对边a

∠A 的邻边图7-1

②锐角三角函数的取值范围

00．

③各锐角三角函数间的关系

sin A=cos (90︒−A)，cos A=sin (90︒−A)．

④特殊角的三角函数值

(3)解直角三角形

①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.

②解直角三角形的依据

角的关系：两个锐角互余；

边的关系：勾股定理；

边角关系：锐角三角函数；

②解直角三角形的常见类型及一般解法

如图7-2，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．

如图7-3，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即h

i l

=

．坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有h

i l

=

=tan α．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．

④解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案． 3．能力要求

例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =5

13

，则cos A 的值为( ) A ．

512 B ．813 C ．23 D ．1213

【分析】

先画出图形，由于cos A =

AC AB ，故只需求得AC ，AB 的关系，可利用sin A =5

13

先求得BC ，AB 的关系，再利用勾股定理即可求得． 【解】选D ． 【说明】

本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用，把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固．

例2 如图7-4，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =25

. 求BC 的长和tan B 的值．

【分析】用正弦的定义即可求得BC ，而要求tan B 则先要用勾股定理求得AC ． 【解】∵sin A =

BC AB =2

5

，AB =10，∴BC =4． ∵AC

= ∴tan B =AC BC

． 【说明】

本题是最基本的解直角三角形问题．

例3 如图7-5-1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾

铅垂线

视线

视线

水平线 仰角 俯角

图7-2

图

7-3

图7-4

部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验,木板与地面的夹角为20︒(即图10-5-2中∠ACB =20︒)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m ,木板超出车厢部分AD =0.5m ,请求出木板CD 的长度．

(参考数据：sin 20︒≈0.3420,cos 20︒≈0.9397,精确到0.1m )．

【分析】

在Rt △ABC 中,利用∠ACB 的正弦即可求得AC 的长,进而可得CD ． 【解】

由题意可知：AB ⊥BC ．

在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB =AB

AC

，

∴AC =AB

sin ∠ACB =1.5sin 20° =1.50.3420 ≈4.39m ．

∴CD =AC +AD =4.39+0.5=4.89≈4.9m ． 答：木板的长度约为4.9m ． 【说明】

本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识．

例4 如图7-6-1，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李

在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i =1：3，AB =10米，AE =15米．(i =1：3是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH

的比)

(1)求点B 距水平面AE 的高度BH ； (2)求广告牌CD 的高度．

(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 【分析】

(1)显然在Rt △ABH 中，通过坡度的概念求出BH 、AH ；

(2)在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG =45︒，则CG =BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．

【解】(1)如图7-6-2，过B 作BG ⊥DE 于G ，

在Rt △ABF 中， ∵i =tan ∠BAH =

13

=

33

，

A

B

C D

图7-5-1 图7-5-2

图7-6-1

C D

B H A E

45° 60° C D

B H A

E

45°

60°

G 图7-6-2