2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习
最新-2018年全国中考数学压轴题全析全解[下学期]华师大版 精品
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2018年全国中考数学压轴题全析全解1、（2018重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P. (1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想；(2) 设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的14. 若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由.[解]（1）12D E D F =.因为1122C D C D ∥，所以12C AFD ∠=∠.又因为90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线，所以，DC DA DB ==，即112221C D C D BD AD === 所以，1C A ∠=∠，所以2AFD A ∠=∠ 所以，22AD D F =.同理：11BD D E =.又因为12AD BD =，所以21AD BD =.所以12D E D F =CB D A 图1122图3C 2D 2C 1BD 1A 图2P（2）因为在Rt ABC ∆中，8,6AC BC ==，所以由勾股定理，得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====又因为21D D x =，所以11225D E BD D F AD x ====-.所以21C F C E x == 在22BC D ∆中，2C 到2BD 的距离就是ABC ∆的AB 边上的高，为245. 设1BED ∆的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ∆∆∽，所以52455h x-=. 所以24(5)25x h -=.121112(5)225BED S BD h x ∆=⨯⨯=- 又因为1290C C ∠+∠=︒，所以290FPC ∠=︒.又因为2C B ∠=∠，43sin ,cos 55B B ==. 所以234,55PC x PF x == ，22216225FC P S PC PF x ∆=⨯=而2212221126(5)22525BC D BED FC P ABC y S S S S x x ∆∆∆∆=--=--- 所以21824(05)255y x x x =-+≤≤ (3) 存在. 当14ABC y S ∆=时，即218246255x x -+= 整理，得2320250.x x -+=解得，125,53x x ==.即当53x =或5x =时，重叠部分的面积等于原ABC ∆面积的142、（2018浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D .(1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] （1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=1，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30°过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．方法二：设Ｐ（x ，33-x+3），得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）．④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）． 当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3，33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，43）．3、（2018山东济南）如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．[解]CＤ图1图2（1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==．AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =15AE =，tanAE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，，BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，r 的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R 的变化范围为105R -<<；当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R 的变化范围为1510R <<+ 4、（2018山东烟台）如图，已知抛物线L 1: y=x 2-4的图像与x 有交于A 、C 两点，（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式； （2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ，求证：点D 在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。
湖南省2018年中考数学专题复习课件专题三 解直角三角形应用问题
图Z3－4
专题三┃解直角三角形应用问题
1．解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠ α＝39°， 过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，连接D′C，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°， 3 ∴DE＝CD· sin 60°＝12× ＝6 2 3(米)，
1 CE＝CD· cos 60°＝12× ＝6(米)． 2 ∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6
专题三┃解直角三角形应用问题
[变式训练] 1．[2017·黔东南州]如图Z3－4，某校教学楼AB后方有一斜坡，已 知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39° 时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改 造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少 米才能保证教学楼的安全？(结果取整数) (参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81， 2 ≈1.41， 3≈1.73， 5≈2.24)
高，BA⊥AD ，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60° ， 从C点测得B点的仰角β为30° ，甲建筑物的高AB＝30米．
专题三┃解直角三角形应用问题
(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD. (2)求乙建筑物的高CD.
图Z3－1
专题三┃解直角三角形应用问题
思维分析
AB (1)在Rt△ABD中，根据tan α＝______ AD 的值； AD 求出______ CE⊥AB ，构造出Rt△BCE；②在Rt△ (2)①通过作垂线：________ BE 求出 ________ BCE中，根据 tan∠BCE＝ BE；③由此求出AE(即CD)的高度，即 CE ________ AE＝AB －BE ．
2018年河北中考数学《4.4解直角三角形》复习课件和随堂演练最新版
知识点三 解直角三角形的应用
考点一 锐角三角函数的定义 (5年0考) 命题角度❶ 求锐角三角函数的值
(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每
个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误
的是(
)
A．sin α ＝cos α C．sin β ＝cos β
B．tan C＝2 D．tan α ＝1
∵AB＝1.2，
∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9.故选A.
解直角三角形应用问题时，首先分析实际问题然后找到 数学模型，通常有两种情况，一种需要构造形内高，第 二种需要构造形外高，借助已知条件建立等量关系．
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
2018年中考数学试题分类汇编 知识点37 解直角三角形及其应用
知识点37 解直角三角形及其应用一、选择题1. （2018四川绵阳，10，3分） 一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：732.13≈，414.12≈） A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里【答案】B.【解析】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD ⊥AC 于点D ，以点B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE ， 设BD=x ，则AB=BE=CE=2x ，AD=DE=3x ，∴AC=AD+DE+CE =23x +2x ， ∵AC=30， ∴23x +2x=30，解得：x=21315-≈5.49. 故选B.【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用2.（2018·重庆B卷，9，4）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米【答案】A．【解析】过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝20米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，解得x ＝8，从而CN＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．在Rt△AME中，tan E＝AM EM，即8tan2466AB+=︒，从而0.45＝866AB+，解得AB＝21.7，故选A．【知识点】解直角三角形坡度1.（2018·重庆A卷，10，4）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1﹕0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度为（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）（）A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米【答案】B．【解析】过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝1米．N M 教学楼EDCB A∵斜坡CD 的坡比i ＝1﹕0.75，∴令CN ＝x ，则DN ＝0.75x ．在Rt △CDN 中，由勾股定理，得x 2＋(0.75x )2＝22，解得x ＝1.6，从而DN ＝1.2米．∵DE ＝7米，∴ME ＝MN ＋ND ＋DE ＝9.2米，AM ＝(AF ＋1.6)米．在Rt △AME 中，tan ∠AEM ＝AM EM ，即 1.6tan 589.2AB +=︒，从而1.6＝ 1.69.2AB +，解得AB ＝13. 12≈13.1（米），故选B ． 【知识点】解直角三角形 坡度二、填空题1. （2018山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向，同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达.（结果保留根号）【答案】185+ 【思路分析】过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为M . 设PQ =MN =x ，解Rt △APQ 和Rt △BPQ 求得x 的值，再解Rt △BMN 求出BM 的长度，利用路程÷速度=时间解答即可. 【解题过程】过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为M .AB =60×1.5=90海里设PQ =MN =x ，由点P 在点A 的东北方向可知，∠PAQ =45°，∴AQ =PQ =x ，BQ =x －90 在Rt △PBQ 中，∠PBQ =90°－30°=60°tan 6090xx ︒==-解得：135x =+在Rt △BMN 中，∠MBN =90°－60°=30°∴BM =2MN =2x=2135270⨯+=+（∴航行时间为=小时.【知识点】解直角三角形的应用2. （2018山东省济宁市，14，3）如图，在一笔直的海岸线L 上有相距2km 的A ，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上.从B 站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线L 的距离是_______km.【解析】首先由题意可得：△ACB 是等腰三角形，可求得BC 的长为2km ，然后由点C 作CD ⊥AB 于点D ，构造直角三角形CBD ，应用边角之间的三角函数关系确定CD=BC •sin60°，求得结果．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB ，∴BC=AB=2km ，在Rt △CBD 中，CD=BC •sin60°=2km ）【知识点】方位角、等腰三角形、解直角三角形3. （2018宁波市，16题，10分） 如图某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米(结果保留根号)． 【答案】【解析】解：∵CD ∥HB∴∠CAH=45°；∠HBC =30° 在Rt △CHA 中， ∴AH=CH=1200 在Rt △CHB 中， ∴HB=∴AB=HB-AH=【知识点】解直角三角形1. （2018湖北荆州，T14，F3值）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A 处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a 米后到达B 处，在B 处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），（第16题图）那么a 的值约为_________173≈．，结果精确到0．1）．【答案】33()13-【解析】如图所示，由题意可知，CD=40-7=33，在Rt ∆BCD 中，∵∠CBD=450，∴CD=BD=33,∴AD=AB+BD=a+33,在Rt ∆ACD 中tan ∠CAD·AD=CD,即33)33(33=+a ，解得，a=33()13-【知识点】锐角三角函数、特殊的直角三角形. 三、解答题1. （2018湖北鄂州，21，8分） 如图，我国一艘海监执法船进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向距离为40海里的B 处有一艘刻意船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C 处成功拦截可疑船只． （1）求∠ABC 的度数；（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程（AC 的长）？（结果精确到0．1 1.732≈，2.449≈≈）【思路分析】（1）过点B作BD⊥AD于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠ABC 的度数；（2）过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，构造直角三角形，先求出AD和AE的长，设BE＝x，则AC＝x，再证明△BEC∽△CFA，得到BE CECF AF=，求出CE的长，从而得出AC的长度．【解析】解：（1）如下图（1），过点B作BD⊥AD于D，则∠ADB＝90°，由题意得∠DAB＝30°，∴∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝90°＋30°＝120°；（2）如下图（1），过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，则在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，AB＝40，∴AD＝AB·cos30°＝40×2＝ADB＝∠DAF＝∠CFA＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∴CF＝AD＝DC∥AF，∴∠BCE＝∠CAF，∵∠DAB＝30°，∠DAF＝75°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB＝75°－30°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB·cos45°＝40×2＝，设BE＝x，则AC＝x，∴AFBCE＝∠CAF，∠BEC＝∠CFA＝90°，∴△BEC∽△CFA，∴BE CECF AF=，=22=⎛⎫⎪，()(22223xx=+，28000x-+=，解得22x===±∴1x=2x=AC＝x＝133．42或35．86，∵AC＞AB＝40，∴AC≈133．42海里，即我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程约为133．42海里．【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定和性质2. （2018湖北黄冈，21题，7分）如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A,C,E 在同一直线上.（1）求坡底C 点到大楼距离AC 的值； （2）求斜坡CD 的长度.第21题图【思路分析】（1）在Rt △ABC 中，已知∠ACB 和AB ，利用三角函数可求得AC ；（2）设CD=x ，在Rt △BDF 和△DCE 中，利用三角函数表示出BF 、DF 和DE 、CE ，【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB=60米，∠ACB=60°，所以tan 60ABAC ==C 点到大楼距离AC 长（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形FAED 为矩形，所以AF=DE ，DF=AE ，设CD=x 米，在Rt △EDC 中，因为∠DCE=30°，则122DE x CE x ==米，米，在Rt △BDF 中，∠BDF=45°，所以1=602BF x -米，因为DF=AE=AC+CE ，所以1602x x =-，解得120x =米，答：斜坡CD 长120)米 【知识点】三角函数的应用3. （2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01 1.414≈ 1.732≈）【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造Rt △ACD 和Rt △ABD ，然后利用特殊角的锐角三角函数列方程，解方程可得无人机飞行高度．【解析】解：由题意，易得：AE ∥CD ，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x ，在Rt △ACD 中，tan 30ADCD︒=，；在Rt △ABD 中，tan 60ADBD︒=，x ；∵CD-BD=BC ，BC=3030x =，25.98x =≈（米）. 答：无人机飞行高度AD 约为25.98米. 【知识点】解直角三角形的应用4. （2018内蒙古呼和浩特，21，8分）如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比)，已知在地面B 处得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测定山顶A 的仰角为45°，求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可）【思路分析】过点D作DF⊥BC于点F,构建直角三角形，利用斜坡的坡度i=1:3，先求出∠BD，利用sin∠DBF，cos∠DBF中比值关系。
专题03 因动点产生的直角三角形问题-2018版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(解析版)
【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2思路点拨1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△P AA′与△P′BB′的面积之比．满分解答（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．设抛物线E2的表达式为y＝ax2，代入点B(2,2)，可得a＝12．所以y＝12x2．（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况：图3 图4 ①如图3，过点B作BB′的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)．②如图4，以BB′为直径的圆D与抛物线E1交于点Q，那么QD＝12BB'＝2．设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝Q．图5 图6考点伸展第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)．例2如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ．2．如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQ＝NP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．学科.网满分解答图3 图4 图5（3）如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQ＝NP．作QE⊥y轴于E，作NF⊥x轴于F，作QH⊥x轴于H，那么△MQE≌△NPF．由已知条件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得x Q＝x N－x P，即3－t＝x N－(t－1)．解得x N＝2．将x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得QH PHNF PF=，即(3)(1)32(1)t t tt---=--．整理，得t2－9t＋12＝0．解得t=．因为t＜2，所以取t=．考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)122P QGx x t tx+-+-===．所以x N＝2x G＝2．例3 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1思路点拨1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．满分解答所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．图3 图4图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE 中，∠CPE ＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE ＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B ．所以∠GAB ＝∠B ．所以GA ＝GB ．图7 图8例4如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：AD AE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A 、B 、F 的坐标后，点D 的坐标也可以写出来．点E 的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论21a m=及其变形21am =反复用到． 3．注意到点E 、D 、F 到x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F 作AD 的平行线与x 轴的交点，就是要求的点G ．满分解答图2 图3（3）如图3，由E (4m , 5)、D (2m ,－3)、F (m ,－4)，可知点E 、D 、F 到x 轴的距离分别为5、4、3．那么过点F 作AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G ．证明如下：作FF ′⊥x 轴于F ′，那么'4'3GF FF AD DD ==． 因此534AE AD GF ==．所以线段GF 、AD 、AE 的长围成一个直角三角形． 此时GF ′＝4m ．所以GO ＝3m ，点G 的坐标为(－3m , 0)．考点伸展第（3）题中的点G 的另一种情况，就是GF 为直角三角形的斜边．此时53AE AD ==GF =．所以1)GO m =．此时(,0)G m ．例5如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．学科.网满分解答图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4x x x +-．①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x -+-=-．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以14(2)(8)42x x x-+-=-．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4例6如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个． 2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以34 DG COBG AO==．所以3944DG BG==，点D的坐标为9(1,)4-．因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG274=．所以D′的坐标为27(1,)4．图2 图3考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．【变式训练】1. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为 ．【答案】（02016）或（0，21008）．考点：规律型：点的坐标．2. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．【答案】2n-112考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形．学科.网3. （2017内蒙古通辽第26题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22++=bx ax y 过点)0,2(-A ，，与y 轴交于点C .（1）求抛物线22++=bx ax y 的函数表达式；（2）若点D 在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上，求ACD ∆的周长的最小值；（3）在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=﹣14x 2+12x+2（2）△ACD 的周长的最小值是3）存在，点P 的坐标为（1，1）或（1，﹣3）试题解析：（1）把点A （﹣2，0），B （2，2）代入抛物线y=ax 2+bx+2中，42204222a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，∴抛物线函数表达式为：y=﹣14x 2+12x+2； （2）y=﹣14x 2+12x+2=﹣14（x ﹣1）2+94；∴对称轴是：直线x=1， 如图1，过B 作BE ⊥x 轴于E ，∵C （0，2），B （2，2），对称轴是：x=1， ∴C 与B 关于x=1对称， ∴CD=BD ，连接AB 交对称轴于点D ，此时△ACD 的周长最小， ∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2， ∴∴△ACD 的周长答：△ACD 的周长的最小值是（3）存在，分两种情况：①当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，②当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，考点：二次函数综合题4. (2017山东潍坊第25题)（本题满分13分）如图1，抛物线c bx ax y ++=2经过平行四边形ABCD 的顶点)30(，A 、)01(，-B 、)32(，D ，抛物线与x 轴的另一交点为E .经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点P .点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t .（1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，PFE ∆的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使PAE ∆为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=1310时，△PEF的面积最大，其最大值为289100×1710，17 10；（3）存在满足条件的点P，t的值为1试题解析：（1）由题意可得3423ca b ca b c=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（12，32），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1， ∴E （3，0），设直线l 的解析式为y=kx+m ，把E 点和对称中心坐标代入可得132230k m k m ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3595k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线l 的解析式为y=﹣35x+95， 联立直线l 和抛物线解析式可得2395523y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或255125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴F （﹣25，5125）， 如图1，作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，1710； （3）由图可知∠PEA ≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°， ①当∠PAE=90°时，如图2，作PG ⊥y 轴，②当∠APE=90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，则PK=﹣t 2+2t+3，AQ=t ，KE=3﹣t ，PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t ， ∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°， ∴∠PAQ=∠KPE ，且∠PKE=∠PQA ， ∴△PKE ∽△AQP ，∴PK KE AQ PQ =，即222332t t t t t t -++-=-+，即t 2﹣t ﹣1=0，解得或52（舍去），综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或2． 考点：二次函数综合题5. (2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM =BM ，P 是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。
2018年全国中考数学真题汇编：解直角三角形
解直角三角形
一、选择题
1．（2018?山东淄博?4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100米，其铅直高度上升了 15米．在
用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA= = =0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知
三角函数值求角需要用第二功能键．
2．（2018年湖北省宜昌市 3分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A的距离，可以在小河边取 PA的垂线 PB上的一点 C，测得 PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽 PA等于（）
米
米D．100tan55°
A．100sin35°
米C．100tan35°
米B．100sin55°
【分析】根据正切函数可求小河宽 PA的长度．。
2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的直角三角形问题(含答案)
2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的直角三角形问题例1 2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1例2 2017年苏州市中考第29题如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：为定值；AD AE（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1例3 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 213442y x x =--轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 233384y x x =--+轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．图1例5 2017年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．例6 2017年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①；②；③；④和点122y x =-+2y x =+22y x =+24y x =+C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1例7 2017年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点22153244m m y x x m m -=-++-+分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例8 2007年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图11.3 因动点产生的直角三角形问题答案例1 2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形．思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得．313EF CE AF BA ==由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ．图2由CM //AB ，得．所以CM ＝2AB ＝26．2CM CG AB BG==由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3图4（3）在R t △ABC 中， AB ＝13，AC ＝5，所以BC ＝12．①如图 4，当∠AGE ＝90°时，延长EG 交AB 于N ，那么△AGE ≌△AGN ．所以G 是EN 的中点．所以G 是BC 的中点，BG ＝6．②如图5，当∠AEG ＝90°时，由△CAF ∽△EGF ，得．FC FA FE FG =由CE //AB ，得．FC FB FE FA =所以．又因为∠AFG ＝∠BFA ，所以△AFG ∽△BFA ．FA FB FG FA=所以∠FAG ＝∠B ．所以∠GAB ＝∠B ．所以GA ＝GB ．作GH ⊥AH ，那么BH ＝AH ＝．132在R t △GBH 中，由c os ∠B ＝，得BG ＝÷＝．BH BG 132121316924图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG ＝90°时的核心问题是说理GA ＝GB ．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A 、C 、E 、G 四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG ＝90°时，设AG 的中点为P ，那么PC 和PE 分别是R t △ACG 和R t △AEG 斜边上的中线，所以PC ＝PE ＝PA ＝PG ．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE 中，∠CPE ＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE ＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B ．所以∠GAB ＝∠B ．所以GA ＝GB ．图7 图8例2 2017年苏州市中考第29题如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：为定值；AD AE（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14苏州29”，拖动y 轴正半轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，点E 、D 、F 到x 轴的距离都为定值．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A 、B 、F 的坐标后，点D 的坐标也可以写出来．点E 的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．21a m=21am =3．注意到点E 、D 、F 到x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F 作AD 的平行线与x 轴的交点，就是要求的点G ．满分解答（1）将C (0,－3)代入y ＝a (x 2－2mx －3m 2)，得－3＝－3am 2．因此．21a m=（2）由y ＝a (x 2－2mx －3m 2)＝a (x ＋m )(x －3m )＝a (x －m )2－4axm 2＝a (x －m )2－4，得A (－m , 0)，B (3m , 0)，F (m , －4)，对称轴为直线x ＝m ．所以点D 的坐标为(2m ,－3)．设点E 的坐标为(x , a (x ＋m )(x －3m ))．如图2，过点D 、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ′、E ′．由于∠EAE ′＝∠DAD′，所以．因此．''''EE DD AE AD =()(3)33a x m x m x m m+-=+所以am (x －3m )＝1．结合，于是得到x ＝4m ．21a m =当x ＝4m 时，y ＝a (x ＋m )(x －3m )＝5am 2＝5．所以点E 的坐标为(4m , 5)．所以．'3'5AD DD AE EE ==图2 图3（3）如图3，由E (4m , 5)、D (2m ,－3)、F (m ,－4)，可知点E 、D 、F 到x 轴的距离分别为5、4、3．那么过点F 作AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G ．证明如下：作FF ′⊥x 轴于F ′，那么．'4'3GF FF AD DD ==因此．所以线段GF 、AD 、AE 的长围成一个直角三角形．534AE AD GF ==此时GF ′＝4m ．所以GO ＝3m ，点G 的坐标为(－3m , 0)．考点伸展第（3）题中的点G 的另一种情况，就是GF 为直角三角形的斜边．此时．53AE AD ==GF =所以．此时．1)GO m =(,0)G m 例3 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 213442y x x =--轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．思路点拨1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答（1）由，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)．21314(2)(8)424y x x x x =--=+-（2）直线DB 的解析式为．142y x =-+由点P 的坐标为(m , 0)，可得，．1(,4)2M m m --213(,4)42Q m m m --所以MQ ＝．221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形．解方程，得m ＝4，或m ＝0（舍去）．21884m m -++=此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．所以四边形CQBM是平行四边形．图2图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为．1(,(2)(8))4x x x +-①如图3，当∠DBQ ＝90°时， ．所以．12QG BH GB HD ==1(2)(8)1482x x x -+-=-解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ ＝90°时， ．所以．2QG DH GD HB ==14(2)(8)42x x x-+-=-解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．图3 图4例4 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 233384y x x =--+轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由，23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以．34DG CO BG AO ==所以，点D 的坐标为．3944DG BG ==9(1,)4-因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG ．所以D ′的坐标为．274=27(1,4图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在R t △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在R t △EM 1A 中，AE ＝8，，所以M 1A ＝6．113tan 4M A M EA AE ∠==所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为．334y x =-+根据对称性，直线l 还可以是．334y x =+考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式．在R t △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在R t △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例5 2017年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上． 思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题k y x =目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是．k y x =当k ＝－2时，反比例函数的解析式是．2y x =-（2）在反比例函数中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．k y x =当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝的对称轴是直线． 215()24k x k +-12x =-所以当k ＜0且时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．12x <-（3）抛物线的顶点Q 的坐标是，A 、B 关于原点O 中心对称，15(,)24k --当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得．222215(()124k k -+-=+解得（如图2），3）．1k =2k =图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线（k ＞0）交于A 、k y x=B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5图1例6 2017年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①；②；③；④和点122y x =-+2y x =+22y x =+24y x =+C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP ∽△POA ．答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么，即．解得BC PO CP OA =273PO PO =-OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：， l 2：y ＝－2x ＋6．162y x =+如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：．113y x =-+图2 图3图1例7 2017年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点22153244m m y x x m m -=-++-+分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长．3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线经过原点，所以22153244m my x x m m -=-++-+2320m m -+=． 解得，（舍去）．因此．所以点B 的坐标为（2，4）．12m =21m =21542y x x =-+(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，．解得．2152(3)342t t t =-⨯+⨯229t OP ==②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得．103t =如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时．解得．1032t t -=2t =如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时．解得．1034t t -=107t =图1图2图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，．103t =如图6，当两圆外切时，．30t =-图4图5图6例8 2007年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，，，，所以 解得1=AC x AB =x BC -=3⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x ．21<<x （2）①若AC 为斜边，则，即，此方程无实根．22)3(1x x -+=0432=+-x x ②若AB 为斜边，则，解得，满足．1)3(22+-=x x 35=x 21<<x ③若BC 为斜边，则，解得，满足．221)3(x x +=-34=x 21<<x 因此当或时，△ABC 是直角三角形．35=x 34=x （3）在△ABC 中，作于D ，设，△ABC 的面积为S ，则．AB CD ⊥h CD =xh S 21=①如图2，若点D 在线段AB 上，则．移项，得x h x h =--+-222)3(1．两边平方，得．整2221)3(h x h x --=--22222112)3(h h x x h x -+--=--理，得．两边平方，得．整理，得4312-=-x h x 16249)1(222+-=-x x h x 16248222-+-=x x h x 所以（）．462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x 423x <≤当时（满足），取最大值，从而S 取最大值．23=x 423x <≤2S 2122图2图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则．x h h x =----2221)3(同理可得，（）．462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x 413x <≤易知此时．22<S 综合①②得，△ABC 的最大面积为．22考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，a AD =例如在图2中，由列方程．2222BD BC AD AC -=-222)()3(1a x x a ---=-整理，得．所以xx a 43-=．21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=因此．462)1(412222-+-=-=x x a x S。
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(湖南专版)(解析版)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（湖南专版）几何综合参考答案与试题解析1．（2018•长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．（1）解：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，∴CE=2AD=6；（2）证明：∵CE∥AD，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，而∠BAD=∠CAD，∴∠ACE=∠E，∴AE=AC，而AB=AE，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt△ABD中，AB==5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，∴PD=PA ﹣AD=﹣3=，∵S △ABQ +S △BCQ +S △ACQ =S △ABC ， ∴•r•5+•r•8+•r•5=•3•8，解得r=，即QD=，∴PQ=PD +QD=+=．答：△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离为．2．（2018•株洲）如图，在Rt △ABM 和Rt △ADN 的斜边分别为正方形的边AB 和AD ，其中AM=AN ．（1）求证：Rt △ABM ≌Rt △AND ；（2）线段MN 与线段AD 相交于T ，若AT=，求tan ∠ABM 的值．解：（1）∵AD=AB ，AM=AN ，∠AMB=∠AND=90°∴Rt △ABM ≌Rt △AND （HL ）．（2）由Rt △ABM ≌Rt △AND 易得：∠DAN=∠BAM ，DN=BM∵∠BAM +∠DAM=90°；∠DAN +∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．3．（2018•长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有菱形，正方形；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形不是“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c ＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC 的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣≤OE2≤2﹣，∴≤OE2≤，∴（OE＞0）；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），∵a＞0，c＜0，∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，∴+=+，∴=2，∴a=1，∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，∵，∴S=S1+S2+2，∴﹣c=﹣+2，∴﹣=﹣c•，∴=，∴b=0，∴A（﹣，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=12，∴AD=3，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．4．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．5．（2018•株洲）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE．（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH，①△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值．解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB=，∴OH=OB﹣HB=4﹣∵CB=CH，∴OH+HC=4+BC，当∠BOC=90°，此时BC=4∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜4，令BC=x∴OH+HC=﹣（x﹣2）2+5当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为56．（2018•衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）解：（1）如图，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE=∠DAO，∴∠DAE=∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，∴△ADE∽△ABD，∴=，即=，∴AD2=48，在Rt△ABD中，BD==4，在Rt△ABD中，∵AB=2BD，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=60°，则的长度为=．7．（2018•湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∴DM=OM=10②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，∴OF=10﹣x，∵AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2∴x=，∴AF=，∵MF∥OD，∴，∴，∴AD=∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于之间时，连接BC，∵C是的中点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述，∠CMD=45°8．（2018•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s 的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t解：（1）如图1中，连接BP．在Rt△ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，∴AB=4∵点B在线段PQ的垂直平分线上，∴BP=BQ，∵AQ=t，CP=t，∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2，∴（4﹣t）2=16+t2，解得t=8﹣4或8+4（舍弃），∴t=（8﹣4）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．（2）①如图2中，当PQ=QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．则有PA=AQ，∴4﹣t=•t，解得t=．②如图3中，当AP=PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．则有：AQ=AP，∴t=（4﹣t），解得t=2，综上所述：t=s或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形．（3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．∵S=S△QNC +S△PCQ=•CN•QF+•PC•QE=t（QE+QF）=2t（0＜t＜4）．9．（2018•邵阳）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE=，OG=1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）解：（1）如图1，连接AC，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，∴OE=GF，OE=GF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴=，∴△OGM∽△OEN，∴==．②添加AC=BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，∵AC=BD，∴OG=OE，∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴OG=OE、OM=ON，在△OGM和△OEN中，∵，∴△OGM≌△OEN（SAS），∴GM=EN．10．（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．11．（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．12．（2018•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，=AB•OM=×4×2=4；∴S△ABM（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．13．（2018•常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC•AC．解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠ANH=∠OND，∴∠ANH+∠ODN=90°，∵DH⊥AE，∴∠DHM=90°，∴∠ANH+∠OAM=90°，∴∠ODN=∠OAM，∴△DON≌△AOM，∴OM=ON；（2）连接MN，∵EN∥BD，∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，∵OD=OD，∴DM=CN=EN，∵EN∥DM，∴四边形DENM是平行四边形，∵DN⊥AE，∴▱DENM是菱形，∴DE=EN，∴∠EDN=∠END，∵EN∥BD，∴∠END=∠BDN，∴∠EDN=∠BDN，∵∠BDC=45°，∴∠BDN=22.5°，∵∠AHD=90°，∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，∵∠ABM=45°，∴∠BAM=67.5°=∠AMB，∴BM=AB；（3）设CE=a（a＞0）∵EN⊥CD，∴∠CEN=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CNE=45°=∠ACD，∴EN=CE=a，∴CN=a，设DE=b（b＞0），∴AD=CD=DE+CE=a+b，根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，∵∠OAD=∠ODC=45°，∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，∴△DEN∽△ADE，∴，∴，∴a=b（已舍去不符合题意的）∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，∴AN=AC﹣CN=b，∴AN2=2b2，AC•CN=b•b=2b2∴AN2=AC•CN．14．（2018•郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O 的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．15．（2018•张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：DF=AB；（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．16．（2018•郴州）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D 两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴=，∴tan∠DBF′==，当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意，当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴∠DBF′=30°，∴tan∠DBF′=17．（2018•永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，∵CD⊥AB，∴=，∵=，∴=，∴∠CBE=∠GCB，∴CF=BF；（2）连接OC交BE于H，如图，∵=，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH==，∴BH=×6=，∴OH==，∵==，==，∴=，而∠HOB=∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM=∠OHB=90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．18．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，AC=BC=3，=3×=9．∴S平行四边形BCFD19．（2018•怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；（2）求证：CD是⊙O的切线．解：（1）∵AB=4，∴OB=2∵∠COB=60°，==∴S扇形OBC∴∠FAC=∠ACO∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线20．（2018•怀化）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE 与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件AD=BC，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF==，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．21．（2018•娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=，弦CD交AB于点E．（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD；（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴=，即DE•CE=AE•BE，如图，连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，∵=，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，∴BC2﹣CE2=DE•CE；（3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC==4，又∵E是半径OA的中点，∴AE=OE=2，则CE===2，∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4）2﹣（2）2=DE•2，解得：DE=．22．（2018•永州）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI 恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G 刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．解：（1）如图1中，∵HI∥AD，∴=，∴=，∴AD=6，∴ID=CD﹣CI=2，∴正方形的边长为2．（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．∵CA=CP，CD⊥PA，∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，∵HG′∥PA，∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，∴∠CHG′=∠CG′H，∴CH=CG′，∴IH=IG′=DF′=3，∵IG∥DB，∴=，∴=，∴DB=3，∴DB=DF′=3，∴点B与点F′重合，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，∵DN=DN，DM=DR，∴△NDM≌△NDR，∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．。
解直角三角形及其应用(解析版)2018年数学全国中考真题-1
2018年数学全国中考真题解直角三角形及其应用（试题一）解析版一、选择题1. （2018四川绵阳，10，3分） 一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：732.13≈，414.12≈） A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里 【答案】B.【解析】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD ⊥AC 于点D ，以点B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE ， 设BD=x ，则AB=BE=CE=2x ，AD=DE=3x ， ∴AC=AD+DE+CE =23x +2x ， ∵AC=30， ∴23x +2x=30，解得：x=21315-≈5.49. 故选B.【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用2. （2018·重庆B 卷，9，4）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i ＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米【答案】A ．【解析】过点C 作CN ⊥DE 于点N ，延长AB 交ED 的延长线于点M ，则BM ⊥DE 于点M ，则MN ＝BC ＝20米．∵斜坡CD 的坡比i ＝1﹕0.75，∴令CN ＝x ，则DN ＝0.75x ．在Rt △CDN 中，由勾股定理，得x 2＋(0.75x )2＝102，解得x ＝8，从而CN ＝8米，DN ＝6米．∵DE ＝40米，∴ME ＝MN ＋ND ＋DE ＝66米，AM ＝(AB ＋8)米．在Rt △AME 中，tan E ＝AMEM， 即8tan 2466AB +=︒，从而0.45＝866AB +，解得AB ＝21.7，故选A ．【知识点】解直角三角形 坡度1. （2018·重庆A 卷，10，4）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直， 在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED ＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7米，升旗台坡 面CD 的坡度i ＝1﹕0.75，坡长CD ＝2米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1米，则旗杆AB 的高度 为（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） （ ） A ．12.6米 B ．13.1米 C ．14.7米 D ．16.3米【答案】B ．NMi =1:0.75EDCB A9题图i =1:0.75ECB 10题图教学楼EDCB A【解析】过点C作CN ⊥DE于点N ，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝1米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝22，解得x＝1.6，从而DN＝1.2米．∵DE＝7米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝9.2米，AM＝(AF＋1.6)米．在Rt△AME中，tan∠AEM＝AMEM，即1.6tan589.2AB+=︒，从而1.6＝1.69.2AB+，解得AB＝13. 12≈13.1（米），故选B．【知识点】解直角三角形坡度二、填空题1.（2018山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达.（结果保留根号）【答案】18635+【思路分析】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M. 设PQ=MN=x，解Rt△APQ和Rt △BPQ求得x的值，再解Rt△BMN求出BM的长度，利用路程÷速度=时间解答即可.【解题过程】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M.AB=60×1.5=90海里设PQ=MN=x，由点P在点A的东北方向可知，∠P AQ=45°，∴AQ=PQ=x，BQ=x－90在Rt△PBQ中，∠PBQ=90°－30°=60°tan60390xx︒==-解得：135453x=+.NM教学楼EDCBAQ N在Rt △BMN 中，∠MBN =90°－60°=30°∴BM =2MN =2x=2135270⨯+=+（∴航行时间为=小时.【知识点】解直角三角形的应用2. （2018山东省济宁市，14，3）如图，在一笔直的海岸线L 上有相距2km 的A ，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上.从B 站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线L 的距离是_______km.【解析】首先由题意可得：△ACB 是等腰三角形，可求得BC 的长为2km ，然后由点C 作CD ⊥AB 于点D ，构造直角三角形CBD ，应用边角之间的三角函数关系确定CD=BC •sin60°，求得结果．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB ，∴BC=AB=2km ，在Rt △CBD 中，CD=BC •sin60°=2km ）【知识点】方位角、等腰三角形、解直角三角形3. （2018宁波市，16题，10分） 如图某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米(结果保留根号)．【答案】1200√3−1200 【解析】解：∵CD ∥HB∴∠CAH=45°；∠HBC=30°在Rt △CHA 中， ∴AH=CH=1200 在Rt △CHB 中， ∴HB=√3CH =1200√3∴AB=HB-AH=1200√3−1200【知识点】解直角三角形1. （2018湖北荆州，T14，F3值）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底（第16题图）低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A 处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a 米后到达B 处，在B 处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a 的值约为_________米（3173≈．，结果精确到0．1）．【答案】33()13-【解析】如图所示，由题意可知，CD=40-7=33，在Rt ∆BCD 中，∵∠CBD=450，∴CD=BD=33,∴AD=AB+BD=a+33,在Rt ∆ACD 中tan ∠CAD·AD=CD,即33)33(33=+a ，解得，a=33()13-【知识点】锐角三角函数、特殊的直角三角形.三、解答题1. （2018湖北鄂州，21，8分） 如图，我国一艘海监执法船进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向距离为40海里的B 处有一艘刻意船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C 处成功拦截可疑船只． （1）求∠ABC 的度数；（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程（AC 的长）？（结果精确到0．1海里，3 1.732≈，26 2.449≈≈）【思路分析】（1）过点B 作BD ⊥AD 于D ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠ABC 的度数；（2）过点B 作BE ⊥AC 于E ，过点C 作CF ⊥AF 于F ，构造直角三角形，先求出AD 和AE 的长，设BE ＝x ，则AC ＝202x ，再证明△BEC ∽△CF A ，得到BE CECF AF=，求出CE 的长，从而得出AC 的长度． 【解析】解：（1）如下图（1），过点B 作BD ⊥AD 于D ，则∠ADB ＝90°，由题意得∠DAB ＝30°，∴∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝90°＋30°＝120°；（2）如下图（1），过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，则在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，AB＝40，∴AD＝AB·cos30°＝40×2＝∵∠ADB＝∠DAF＝∠CF A＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∴CF＝AD＝DC∥AF，∴∠BCE＝∠CAF，∵∠DAB＝30°，∠DAF＝75°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB＝75°－30°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB·cos45°＝40×2＝BE＝x，则AC＝x，∴AF∵∠BCE＝∠CAF，∠BEC＝∠CF A＝90°，∴△BEC∽△CF A，∴BE CECF AF==22=⎛⎫⎪⎛，()(22223xx=+，28000x-+=，解得22x===∴1x=2x=AC＝x＝133．42或35．86，∵AC＞AB＝40，∴AC≈133．42海里，即我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程约为133．42海里．【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定和性质2.（2018湖北黄冈，21题，7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度.第21题图 【思路分析】（1）在Rt △ABC 中，已知∠ACB 和AB ，利用三角函数可求得AC ；（2）设CD=x ，在Rt △BDF 和△DCE 中，利用三角函数表示出BF 、DF 和DE 、CE ，【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB=60米，∠ACB=60°，所以203tan 60ABAC ==米，答：求坡底C 点到大楼距离AC 长203米；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形FAED 为矩形，所以AF=DE ，DF=AE ，设CD=x 米，在Rt △EDC 中，因为∠DCE=30°，则132DE x CE x ==米，米，在Rt △BDF 中，∠BDF=45°，所以1=602BF x -米，因为DF=AE=AC+CE ，所以312036022x x +=-，解得803120x =-米，答：斜坡CD 长(803120)-米 【知识点】三角函数的应用3. （2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造Rt △A C D 和Rt △A B D ，然后利用特殊角的锐角三角函数列方程，解方程可得无人机飞行高度．【解析】解：由题意，易得：A E ∥CD ，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x ，F在Rt △ACD 中，tan 30ADCD︒=，；在Rt △ABD 中，tan 60ADBD︒=，x ；∵CD-BD=BC ，BC=3030x =，25.98x =≈（米）. 答：无人机飞行高度AD 约为25.98米. 【知识点】解直角三角形的应用4. （2018内蒙古呼和浩特，21，8分）如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比)，已知在地面B 处得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测定山顶A 的仰角为45°，求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可）【思路分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F,构建直角三角形，利用斜坡的坡度i=1:3，先求出∠BD ，利用sin ∠DBF ，cos ∠DBF 中比值关系。
2018年中考数学挑战压轴题（含答案）（大全五篇）
2018年中考数学挑战压轴题（含答案）（大全五篇）第一篇：2018年中考数学挑战压轴题(含答案)2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t ＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE 与△FBG相似时，求BD的长度．第1页（共169页）3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB 交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．第2页（共169页）5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；，点D 为弧（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．第3页（共169页）7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．，求AB，BD的长；第4页（共169页）9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD 的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．第5页（共169页）11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P 为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D 的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．第6页（共169页）因动点产生的直角三角形问题13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．第7页（共169页）因动点产生的平行四边形问题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a （a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．第8页（共169页）17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP 的长．（3）在点P的整个运动过程中，第9页（共169页）①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．第10页（共169页）21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，第11页（共169页）与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；第12页（共169页）（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD 与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB 于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE第13页（共169页）将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？第14页（共169页）29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值． 31．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究第15页（共169页）（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y= x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F 处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH 上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．第16页（共169页）33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c 与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．第17页（共169页）35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a （a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．第18页（共169页）37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B 出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C 的坐标，如果不存在，请说明理由．第19页（共169页）因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC 上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME 的延长线交于N，求线段BN长第20页（共169页）度的最大值．41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC 的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．，∠BAD=60°，且AB＞4．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x 轴交于B、C两点第21页（共169页）（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R 是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在发现：的长与上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；第22页（共169页）探究：当半圆M与AB相切时，求（注：结果保留π，cos35°=的长．），cos55°=46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；第23页（共169页）②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．第24页（共169页）第25页（共169页）2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t ＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．第26页（共169页）∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P （0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．；QC．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y 轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要第27页（共169页）求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=所以OT=解得t=1﹣AE=，OE=1，即Q″（﹣，3）．﹣1，；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=∴a+a=，a=﹣1，TG=a，AP=，解得PT=∴OT=OP﹣PT=3﹣∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．第28页（共169页）2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE 与△FBG相似时，求BD的长度．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO 与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB 与直角三角形BHA第29页（共169页）全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y 与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，∴△ADO≌△BHO （AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；。
2018年全国中考数学真题分类 解直角三角形及其应用解析版(精品文档)
2018年全国中考数学真题分类 解直角三角形及其应用（三）一、选择题1. （2018吉林省长春市，6，3） 如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）.为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为 （A ）800sin α米 （B ）800tan α米 （C ）800sin α米 （D ）800tan α米【答案】D【解析】由题中条件可知，在RT △ABC 中，∠ABC=α，AC=800米，建立数学模型tan α=ACAB，可得AB=800tan α米. 【知识点】解直角三角形，锐角三角函数，俯角问题.2. （2018江苏苏州，8，3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏两30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之问的距离（即PC 的长）为 A ．40海里B ．60海里C ．D ．αACB【答案】D【解析】 本题解答时要利用直角三角形的边角关键和勾股定理来进行计算.由题意可知AB =20，∠APB =30゜，∴PA，∵BC =2⨯20=40，∴AC =60，∴PC，故选D .二、填空题1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，15，3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B 在海岛A ，C 附近捕鱼作业，已知海岛C 位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B 上测得海岛A 位于渔船B 的北偏西30°的方向上，此时海岛C 恰好位于渔船B的正北方向18(1n mile 处，则海岛A ，C 之间的距离为 n mile ．【答案】218【解析】本题主要考察三角函数的应用．过A 作AD ⊥BC 于D ．设x AD =，∵∠C 45°，∠B 30°，∴x xC AD CD ===︒45tan tan ，x xC AD AC 245sin sin ===︒，x xB AD BD 330tan tan ===︒．∵BD CD BC +=+=)31(18，∴x x 3)31(18+=+，解得18=x ．∴218=AC ． 【知识点】三角函数的应用==2. （湖北省咸宁市，13，3）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部的仰角为45 °，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110m ，那么该建筑物的高度BC 约为_________m.(1.73≈)【答案】300【解析】在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，∴BD ＝AD ＝110 m ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝110 m∴CD＝AD tan 60⋅︒=BC ＝BD +CD=110+300 m 【知识点】解直角三角形的应用3. (2018辽宁葫芦岛，15，3分) 如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业，M N 与A B 在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时，测得景点A 的俯角为45°，景点B 为的俯角为30°，此时C 到地面的距离C D 为100米，则两景点A 、B 间的距离为__________米(结果保留根号)．【答案】：100+100，【解析】∵MN ∥AB ，∴∠A ＝∠MCA ＝45°，∠B ＝∠NCB ＝30°． ∵CD ＝100，∴AD ＝tan 45CD ︒＝100，DB ＝tan30CD︒． ∴AB ＝AD ＋DB ＝100＋DC AB4. （2018广西南宁，16，3）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°．已知甲楼的高AB 是120m ，则乙楼的高CD 是m ．（结果保留根号）【答案】403，【解析】∵俯角是45°，∴∠BDA ＝45°，∴AB ＝AD ＝120m ，又∵∠CAD ＝30°∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA ＝tan30°＝CD AD ＝33． ∴CD ＝ 403．5. (2018湖北黄石，14，3分)如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A 、D 、E 在同一 水平直线上，则A 、B 两点间的距离是____________米．(结果保留根号)第14题图【答案】100(1＋3)【解析】由题意可知∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴AD ＝tan CDA＝100米，BD ＝CD ＝1003米，∴AB ＝AD ＋BD ＝100＋1003＝100(1＋3)米.6.（2018·宁夏，15，3）一艘货轮以182km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A 处时，发现它的东南方向有一灯塔B ，货轮继续向东航行30分钟后到达C 处，发现灯塔B 在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离为____________km ．D C B A45°60°甲 楼ABCD乙 楼30°第16题图45°【答案】18．【解析】如下图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝45°，∠ACB＝105°，从而∠B＝30°，AC＝12×Rt△ACD中，sin∠CAD＝CDAC，从而CD＝AC sin∠CAD＝sin45°＝2＝9．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝18（km），故填18．【知识点】解直角三角形；方向角7.（2018辽宁锦州，16，3分）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边的△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以AB为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方式A2017B2017C2017A2018的周长为东CBAD东CBA【答案】4×()2017201613)33(+⨯，【解析】本题为规律探究题，先根据图形运用三角函数∠AOD=60°,OD=3,AD=33,BD=23,AB=,B 1C=1 ,A 1B 1=3+1, B 2C1=tan30°A 1B 1=33A 1B 1,A 2B 2=A 1B 1+33A 1B 1=33A 1B 1(3+1)=33(3+1)2B 3C 2=33A 2B 2,A 3B 3=A 2B 2+33A 2B 2=33A 2B 2(3+1)=(33)2(3+1)3 A 2017B 2017=(33)2016(3+1)2017 A 2017B 2017C 2017A 2018的周长4A 2017B 2017=4×(33)2016(3+1)2017 三、解答题1. （2018广西省桂林市，23，8分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C 处收到渔船在B 处位于C 处的南偏西45°方向上，且BC ＝60海里；指挥船搜索发现，在C 处的南偏西60°方向上有一艘海监船A ，恰好位于B 处的正西方向.于是命令海监船A 前往救援，已知海监船A 的航行速度为30海里/小时，问渔船在B 处需要等待多长时间才能得到海监船A≈1.41 1.73， 2.45，结果精确到0.1小时）【思路分析】过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，先根据BC ＝60，利用特殊角的三角函数值求出BD 的长，再求出AD 的长即可．【解题过程】解：如图（1），过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，DC ＝BD ，则在Rt △DEF 中，∵BC ＝60，∴sin ∠BCD ＝BD BC，即sin 45402BD =︒=，解得BD ＝DC ＝BD ＝则在Rt △ACD 中， tan ∠ACD ＝ADCD，tan 60=︒=解得AD ＝，∴AB ＝AD －BD ＝－≈30（2.45－1.41）＝31.2（海里），∴渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要的时间为31.230＝1.04≈1.0（小时），答：渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要约1.0小时． 【知识点】锐角三角函数的实际应用；二次根式的化简2. （2018海南省，22，8分）如图10，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45°，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为60°，点A ，B ，C 三点在同一水平线上． （1）计算古树BH 的高；（2）计算教学楼CG 的高．（参考数据：412.≈，713.≈）【思路分析】（1）在Rt△DEH中，∠HDE=45°，∴HE=DE，BH=HE+BE，从而求出BH的长．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∠GEF=60°，用x表示出GF的长，GF=3x，在Rt△GDF中，∠GDF=45°，∴DF=GF，7+x=3x，求解出x，从而得到GF的长，GC=GF+FC，故求得CG的长．【解题过程】（1）在Rt△DEH中，∵∠DEH=90°，∠HDE=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5米．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°=3x．在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x=3x．将7代入上式，解得x=10．GF=3x=17．3.1∴GC=GF+FC=18.5米．答：古树高为8.5米，教学楼高为18.5米．【知识点】解直角三角形，解直角三角形的应用3.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．详解：如图，过点作，垂足为.则. 由题意可知，，，，，.可得四边形为矩形.∴，.在中，， ∴. 在中，，∴. ∴ .∴. 答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．4. (2018甘肃省兰州市,23,7分) (7分)如图,斜坡BE ,坡顶B 到水平地面的距离AB 为3米,坡底AE 为18米,在B 处,E 处分别测得CD 顶部点D 的仰角为30°,60°.求CD 的高度.(结果保留根号)【思路分析】作BF ⊥CD 于F ,然后在两个直角三角形中分别表示出BF ,CE ,然后利用BF 和CE 相B A DCFE等即可求解.【解题过程】作BF⊥CD于F,设CE=x米,因为∠DEC=60°,所以DC米｡DF-2)米,因为∠FBD=30°,所以BF x-2)米｡因为BA⊥AC,DC⊥AC,所以四边形BACF为矩形,所以BF=AC,(x-2)=x+18,解得x答:CD的高度是米｡【知识点】解直角三角形三角函数5. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号23，分值12）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪呰数学结论.实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B’落在矩形所在平面内，B’C和AD相交于点E，连接B’D.解决问题(1)在图1中，①B’D和AC的位置关系为______________;②将△AEC剪下后展开，得到的图形是_________________;(2) 若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形.则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为____________；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=43AB’D恰好为直角三角形时，BC的长度为__________. . 【思路分析】(1)由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE,再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC 为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形，故答案为①B’D∥AC，②菱形；(2)利用（1）的思路即可得出矩形变平行四边形时也可得到B’D∥AC和菱形的结论；（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，3 1；（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE, AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’在AD上方时，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC='cos'ABAB C∠;当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’3可得出BC=B’E+CE=B’E+AE='cos'ABAB C∠+tan∠AB’C×AB’. 当∠B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+cos ADADC∠.【解题过程】解：（1）由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE.再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.∴B’D∥AC.将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形.故答案为①B’D∥AC，②菱形.（2）结论仍然成立.若选择结论①证明：∵B’C=AD,AE=CE,∴B’E=DE.∴∠CB’D=∠ADB’.∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.∴∠ADB’=∠DAC.∴B’D∥AC.若选择结论②证明：如图所示，设点E的对应点为点F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE.∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.∴AE=CF.∴四边形AECF是菱形.（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，：1.（答对一个得1分，写成“1（4）由（2）可知，AE=CE ，B ’E=DE, AC ∥B ’D.当∠AB ’D=90°，且点B ’在AD 上方时，可得出∠B ’AC=∠AB ’D=90°.∵∠B=∠AB ’C=30°， ∴在Rt △AB ’C 中，BC='cos 'AB AB C∠=8；当点B ’在AD 下方，∠ADB ’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos ∠ADC ×CD=6.当∠B ’AD=90°,且点B ’在AD 上方时，∵∠AB ’C=30°，AE=CE,AB ’可得出BC=B ’E+CE=B ’E+AE='cos 'AB AB C∠+tan ∠AB ’C ×AB ’=12.当∠B ’AD=90°,且点B ’在AD 下方时，∠ADC=30°，∵B ’E=DE,∴AB ’=AB=AE+B ’E=AD ×tan ∠ADC+cos ADADC∠AD=4.故答案为4或6或8或12.（答对一个得1分）【知识点】折叠的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质.6.（2018湖南省怀化市，23，12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．（1）请你添加一个适当的条件________，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论； （2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作ʘ O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)；（3）在（2）的条件下，ʘ O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE ＝4，sin ∠AGF ＝54，求ʘ O 的半径．【思路分析】（1）在四边形中，一组对边平行且相等，那么这个四边形为平行四边形．（2）由AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到︒=∠90AFG ，通过AE 为DAB ∠的角平分线，可知EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中有两角对应相等，所以两三角形相似，所以sin ∠AGF ＝sin ∠ABE ，又已知AE ＝4，所以通过直角三角形的三角函数可求出直径AB 的值，继而求出半径的值．【解题过程】（1）令AD ＝BC ，又∵AD//BC ，根据平行四边行的判定定理，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）∵ʘ O 交边AD 于点F ，∴点F 为圆上一点，∴︒=∠90AFG ，因为AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线，AD//BC ，所以︒=∠+∠90EBA EAB ，即得，在AEB ∆中，︒=∠90AEB又∵AE 为DAB ∠的角平分线，∴EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中，有AEB AFG ∠=∠，EAB FAG ∠=∠，∴AFG ∆∽EAB ∠，∴sin ∠AGF ＝AB AE ＝sin ABE ∠＝54，已知AE ＝4，所以可得出直径AB ＝5，即半径等于2.5．【知识点】平行四边形的判定定理 尺规作图三角形相似的判定定理和相似三角形的性质 直角三角形的三角函数求值 圆周角的性质7. （2018年江苏省南京市，23，8分）如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）【思路分析】在△CED 中，得出DE ，在△CFD 中，得出DF ，进而得出EF ，列出方程即可得出建筑物AB 的高度。
2018届中考数学专题复习课件：专题八 解直角三角形的应用 (共29张)
专题八 解直角三角形的应用数学解直角三角形的应用是中考必考题型，常在解答题中考查，其中所给角度均为特殊角，涉及夹角、仰角、俯角、坡角等问题．常需添加辅助线，将所给图形转化为直角三角形或矩形来解决．预计2018年仍会在解答题中出现．【例1】(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.【思路引导】过点O作OC⊥AB于点C，由已知可得△ABO中∠A＝60°，∠B ＝45°且OA＝80 m，要求OB的长，可以先求出OC和BC的长．【思路引导】过点M作MF⊥PQ于点F，过点Q作QE⊥MN于点E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN，Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．4．(2017·贵阳)贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数．(结果精确到1°)6．(导学号65244259)(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B 处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援船的航行速度．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数)7．(导学号65244260)(2017·威海)图①是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算：如图②，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10 cm，DE＝120 cm，FG⊥DE，垂足为点G.(1)若∠θ＝37°50′，则AB的长约为83.2cm；(参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78)(2)若FG＝30 cm，∠θ＝60°，求CF的长．。
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2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习【课标要求】1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角；2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )；知道30︒、45︒、60︒角的三角函数值；4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； 5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题． 【课时分布】解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)．【知识回顾】 1．知识脉络2．基础知识(1)勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义如图7-1，在Rt △ABC 中，∠C =90︒，则 sin A =A ∠的对边斜边=ac ，cos A =A ∠的邻边斜边=b c ，tan A =A A ∠∠的对边的邻边=ab． sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数．∠A 的对边a∠A 的邻边图7-1②锐角三角函数的取值范围0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0．③各锐角三角函数间的关系sin A=cos (90︒−A)，cos A=sin (90︒−A)．④特殊角的三角函数值(3)解直角三角形①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.②解直角三角形的依据角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；②解直角三角形的常见类型及一般解法如图7-2，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．如图7-3，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即hi l=．坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有hi l==tan α．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．④解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案． 3．能力要求例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =513，则cos A 的值为( ) A ．512 B ．813 C ．23 D ．1213【分析】先画出图形，由于cos A =AC AB ，故只需求得AC ，AB 的关系，可利用sin A =513先求得BC ，AB 的关系，再利用勾股定理即可求得． 【解】选D ． 【说明】本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用，把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固．例2 如图7-4，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =25. 求BC 的长和tan B 的值．【分析】用正弦的定义即可求得BC ，而要求tan B 则先要用勾股定理求得AC ． 【解】∵sin A =BC AB =25，AB =10，∴BC =4． ∵AC= ∴tan B =AC BC． 【说明】本题是最基本的解直角三角形问题．例3 如图7-5-1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾铅垂线视线视线水平线 仰角 俯角图7-2图7-3图7-4部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验,木板与地面的夹角为20︒(即图10-5-2中∠ACB =20︒)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m ,木板超出车厢部分AD =0.5m ,请求出木板CD 的长度．(参考数据：sin 20︒≈0.3420,cos 20︒≈0.9397,精确到0.1m )．【分析】在Rt △ABC 中,利用∠ACB 的正弦即可求得AC 的长,进而可得CD ． 【解】由题意可知：AB ⊥BC ．在Rt △ABC 中，∵sin ∠ACB =ABAC，∴AC =ABsin ∠ACB =1.5sin 20° =1.50.3420 ≈4.39m ．∴CD =AC +AD =4.39+0.5=4.89≈4.9m ． 答：木板的长度约为4.9m ． 【说明】本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识．例4 如图7-6-1，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i =1：3，AB =10米，AE =15米．(i =1：3是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH的比)(1)求点B 距水平面AE 的高度BH ； (2)求广告牌CD 的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 【分析】(1)显然在Rt △ABH 中，通过坡度的概念求出BH 、AH ；(2)在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG =45︒，则CG =BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【解】(1)如图7-6-2，过B 作BG ⊥DE 于G ，在Rt △ABF 中， ∵i =tan ∠BAH =13=33，ABC D图7-5-1 图7-5-2图7-6-1C DB H A E45° 60° C DB H AE45°60°G 图7-6-2∴∠BAH =30︒. ∴BH =12AB =5； (2)由(1)得：BH =5，AH， ∴BG =AH +AE. 在Rt △BGC 中，∵∠CBG =45︒， ∴CG =BG． 在Rt △ADE 中，∵∠DAE =60°，AE =15，∴DE．∴CD =CG +GE ﹣DE--2.7m ． 答：宣传牌CD 高约2.7米． 【说明】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．例5 如图7-7-1，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角36°52′．已知山高BE 为56m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE ．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75) 【分析】根据楼高和山高可求出EF ，继而得出AF ，在Rt △AFC 中表示出CF ，在Rt △ABD 中表示出BD ，根据CF =BD 可建立方程，解出即可． 【解】如图7-7-2，过点C 作CF ⊥AB 于点F ． 设塔高AE =x ，由题意得：EF =BE -CD =56-27=29，AF =AE +EF =(x +29)， 在Rt △AFC 中，∵∠ACF =36°52′，AF =(x +29)， ∴CF =tan3652AF '︒=290.75x +=x +1163， 在Rt △ABD 中，∵∠ADB =45°，AB =x +56，∴BD =AB =x +56.∵CF =BD ，∴x +56=x +1163. 解得：x =52.答：该铁塔的高AE 为52米． 【说明】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般．图7-7-1图7-7-2例6 如图7-8，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB =2(单位：km)．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号) 【分析】(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD =x km ，先解Rt △PBD ，用含x 的代数式表示BD ，再解Rt △P AD ，用含x 的代数式表示AD ，然后根据BD +AD =AB ，列出关于x 的方程，解方程即可；(2)过点B 作BF ⊥AC 于点F ，先解Rt △ABF ，得出BF =12AB =1，再解Rt △BCF ，得出BC=BF． 【解】(1)如图7-8-2，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．设PD =x ． 在Rt △PBD 中，∵∠BDP =90°，∠PBD =90°-45°=45°，∴BD =PD =x ． 在Rt △P AD 中，∵∠ADP =90°，∠P AD =90°-60°=30°，∴ADPD． ∵BD +AD =AB ，∴x=2，解得x1， ∴点P 到海岸线l 的距离为1)km ； (2)如图7-8-2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ． 在Rt △ABF 中，∵∠AFB =90°，∠BAF =30°，∴BF =12AB =1km ． 在△ABC 中，∠C =180°-∠BAC -∠ABC =45°． 在Rt △BCF 中，∵∠BFC =90°，∠C =45°，∴BCBFkm ， ∴点C 与点Bkm ． 【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生分析三角形的形状后，通过作高构造直角三角形是解题的关键．这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用．【复习建议】1．复习时，要注意对锐角三角函数定义的理解，特别是几个特殊角的三角函数值必须熟记，适当加强对勾股定理与锐角三角函数知识的应用．如例1、例2；2．应理解仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念．如例4、例5和例6； 3．进几年苏州的中考中都以锐角三角函数的应用问题出现．因此在复习时应紧紧围绕基本图7-8-1B图7-8-2概念、基本图形展开，在重点夯实“双基”的同时，还要重视学生的书写的规范，养成良好的解题习惯；4．要注意数学思想方法的渗透、总结．如在引导学生通过实际问题构建数学模型，并把不同类型的问题归纳到基本图形上去解决问题时，要强调“转化”思想的作用；在不同问题情景下解决问题时，要指导学生重视应用数形结合思想等．如例3、例4、例5和例6；5．要注意培养学生数学建模能力及解决问题的能力，尤其对于常见的基本模型应使人人都要掌握的．在复习时我们可以通过串“典型图形”的方法，把在不同问题情境中的典型问题(如将图形分解为两个直角三角形的问题)串起来，以便培养学生数学建模能力及解决问题的能力．当然，我们应由易到难，逐步深入，照顾到不同类型的学生．。