三角恒等变换练习题(精品)
三角恒等变形-练习题
三角恒等变形-练习题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--3-1-1两角差的余弦公式一、选择题1．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于( )C ．－12D ．－32 2．cos555°的值为( ) B ．－6＋243．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( )2C ．－210D ．－254．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1 5．cos75°＋cos15°的值是( )6．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( )A ．sin2xB ．cos2yC ．－cos2xD ．－cos2y7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－558．cos π12＋3sin π12的值为( ) A ．－ 29．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( )10．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( ) D ．－12 二、填空题11．cos α＝35，cos β＝513，sin α＝－45，sin β＝1213，则cos(α－β)＝________.12．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________.14．化简2cos10°－sin20°cos20°＝________. 三、解答题 15．求值：(1)sin285°；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)． 16．已知sin α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos β＝27，β是第四象限角，求cos(α－β)的值．17．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.18．若α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦一、选择题1．下列等式成立的是( )A ．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝12 B ．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝12 C ．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝22 D ．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝32 2．cos 5π12的值等于( )3．在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x B ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋xD ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12 5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 C ．0或45 D ．0或±457．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或2525 D ．－2525 8．若α、β为两个锐角，则( )A ．cos(α＋β)>cos α＋cos βB ．cos(α＋β)<cos α＋cos βC ．cos(α＋β)>sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<sin α＋sin β9．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( )D ．110．(2012·重庆)sin47°－sin17°cos30°cos17°( ) A ．－32 B ．－12 二、填空题11．化简：cos(35°－x )cos(25°＋x )－sin(35°－x )sin(25°＋x )＝________.12．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.13．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________. 的值是________． 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．16．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 17．求证：sin?2α＋β?sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.18．（暂时不做）已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．3-1-2-2两角和与差的正切一、选择题1．若α、β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α－β)( )A ．－17 B ．1 C ．17 D ．152．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝14，则tan2α＝( )3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)的值等于( )A ．－7B ．7C ．－174．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不能确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10°D ．3tan20°6．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )B ．－2π3 或－2π3 D ．－π3或2π37．(2011～2012·长春高一检测)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是( )C ．2 3 的值为( )A ．2＋ 3 C ．2－ 39．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )10．在△ABC 中，若tan B ＝cos?C －B ?sin A ＋sin?C －B ?，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 二、填空题11．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为____．12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.13．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______. 三、解答题15．(2011～2012·学军高一检测)已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.求C 的大小．16．已知tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．17．首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅已知A ，B ，C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求角A ；(2)若tan ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝－3，求tan C .18．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．12－sin 215°的值是( )2．若sin α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值为( )C ．－60119D ．－1201193．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )4．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－455．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )6．定义向量的模：设向量a ＝(),x y ，则a 的模为22x y +.现已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( )－32 B ．－14C ．－127．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )C ．－459D ．－2598．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79 B ．－139．(2009·广东)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数10．(2011·宁夏、海南)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 二、填空题11．3tan π81－tan 2π8＝________. 12．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________.13．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________．14．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________． 三、解答题15．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．16．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值．17．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x的值． 18．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值和最小值．3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos?α－π?2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α22．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105 C ．－155 ·2cos 2αcos2α等于( )A ．tan αB ．tan2αC ．14．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )5．化简cos2αtan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin2α D ．1－sin2α6．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )－32sin2x ＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( )A ．28．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．729．(山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2,sin2θ＝378,则sin θ＝( )10．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为( )A ．－sin α2B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α2 二、填空题11．已知tan α2＝13，则cos α＝________. 12．若tan α＝2，则tan α2＝________.13．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.14．若cos2θ＝－34，那么sin 4θ＋cos 4θ＝________. 三、解答题15．若已知tan θ2＝2，求cos θ、sin θ的值．16．化简12sin 2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos2x 为A sin(ωx ＋φ)的形式．17．已知sin(2α＋β)＝5sin β.求证：2tan(α＋β)＝3tan α. 18．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ,x ∈.(1)求函数f (x )的最大值及此时自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调递增区间．3-2-2三角恒等式的应用一、选择题1．函数f (x )＝－12sin x cos x 的最大值是( )B ．－12 D ．－142．函数y ＝cos 2x 2－sin 2x2的最小值等于( )A ．－1B ．1 D ．23．函数y ＝sin x1＋cos x的周期等于( )B ．πC ．2πD ．3π4．函数y ＝cos 4x －sin 4x ＋2的最小正周期是( )A ．πB ．2π5．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )7．化简1＋cos80°－1－cos80°等于( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°8．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[5π4，9π4]C ．[－π4，3π4]D ．[π4，5π4] 9．(2011·重庆) 首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )10．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．π4C ．πD ．2π 二、填空题11．函数y ＝2sin x ＋2cos x 的值域是________．12．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.13．函数f (x )＝3sin x －cos x 的单调递增区间是______．14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题：①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值及f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． 16．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域． 17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 18．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．。
高考数学专题复习四-4.2三角恒等变换-高考真题练习(附答案)
4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
三角恒等变换大题(含详细解答)
三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
经典三角恒等变换单元练习题含答案（个人精心整理）
经典三⾓恒等变换单元练习题含答案（个⼈精⼼整理）⼀、选择题（5×12＝60分） 1．cos 2π8 －12 的值为A.1B. 12C.22D.242．tan π8 －cot π8 等于A.－2B.－1C.2D.03．若sin θ2 ＝35 ，cos θ2 ＝－45 ，则θ在A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限4．cos 25π12 ＋cos 2π12 ＋cos 5π12 cos π12 的值等于A.62B. 32C. 54D.1＋345．已知π＜α＜3π2 ，且sin(3π2 ＋α)＝45 ，则tan α2B.2C.－2D.－3 6．若tan θ＋cot θ＝m ，则sin2θ等于 A. 1m B. 2mC.2mD.1m 27．下⾯式⼦中不正确的是A.cos(－π12 )＝cos π4 cos π3 ＋64B.cos 7π12 ＝cos π4 ·cos π3 －22sin π3C.sin(π4 ＋π3 )＝sin π4 ·cos π3 ＋32cos π4D.cos π12 ＝cos π3 －cos π48．如果tan α2 ＝13 ，那么cos α的值是A. 35B. 45C.－35D.－459．化简cos （π4 ＋x ）－sin （π4＋x ）cos （π4 ＋x ）＋sin （π4 ＋x ）的值是A.tan x2B.tan2x10．若sin α＝513 ，α在第⼆象限，则tan α2 的值为A.5B.－5C. 15D.－1511．设5π＜θ＜6π，cos θ2 ＝a ，则sin θ4 等于A.－1＋a2B.－1－a2C.－1＋a2D.－1－a212．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2 ，则此三⾓形为A.等边三⾓形B.等腰三⾓形C.直⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形⼆、填空题(4×6＝24分)13．若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝_____. 14．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____.15．cos 5π8 cos π82 ＝_____.17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.18．若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π2＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.三、解答题19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值. 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2 )，求sin α、tan α.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).24. ①已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.②若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围.25. 求值：001001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 26. 已知函数.,2cos 32sinR x xx y ∈+= ①求y 取最⼤值时相应的x 的集合；②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.27．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．28．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,529. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及⾓βα-2．30．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =+，x R ∈. （1）求证)(x f 的⼩正周期和最值；（2）求这个函数的单调递增区间．答案⼀、选择题1355 14 －233 15 －24 16 －1010 17 1 18 －725－1 三、解答题19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值.1 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α.解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0?cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0⼜α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14，求cos4x 的值.解析：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－1412 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－122．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)的值. 解：由条件知tan α、tan β是⽅程 x 2－4px －2＝1的两根.∴tan α＋tan β＝4p tan αtan β＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p .∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β) ＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin 2(α＋β)＋2sin 2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2 24. ①解：sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-=-.②解：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-22,,222t t t-≤-≤-≤≤≤≤25. 解：原式200000002cos10cos5sin5sin10()4sin10cos10sin5cos5=--00000cos10cos102sin202cos102sin102sin10-=-=0000000000cos102sin(3010)cos102sin30cos102cos30sin10 2sin102sin10---+==cos30==26.解：sin2sin()2223（1）当2232xkπππ+=+，即4,3x k k Zππ=+∈时，y取得最⼤值|4,3x x k k Zππ=+∈为所求（2）2sin()2sin2sin 232x xy y y xππ=+→=→=右移个单位横坐标缩⼩到原来的2倍→=纵坐标缩⼩到原来的2倍656313553131254sincoscossin)sin(sin,1312cos故,不合题意舍去180BA这时,120cos 若60 23 sin ,13 12 sin 1 cos 可得,13 5 sin ⼜由54 sin ,53 cos ,中在:解.27= + = + =∴= > + >∴-= >∴>±= -±= = =∴=B A B A B ABAABBBAAABC6556135)54(131253sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 5 4)cos(,135)sin(23,40432:解.28-=?-+?-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<αβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ4321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0 240271tan :解.29πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=?+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-=30.解：（1）2cos cos 1y x x x =++cos 212122x x +=++11cos 221222x x =+++ 3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++ （2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ?? -++∈，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ ()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36 k k k Z ππππ-++∈。
三角恒等变换练习题及答案
1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3 D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.2．3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( )A.12B.22C ．1 D. 2 解析：选D 3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝4 2. 4．已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010 B.1010 C ．－31010 D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D. 6．已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B ．－79 C.19 D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，因而cosα≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则c b sin B＝( ) A.32 B.233 C.33 D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233.故选B. 9．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 10．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A.725 B.925 C.1625 D.2425解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案：3212．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里． 答案：7a13．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3. 由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：8。
三角恒等变换综合练习(解析版)
答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】如图：在Rt△OCB中，设∠COB=α，则OB=2cosα,BC=2sinα，在Rt△OAD中，DAOA=tan45°=1，所以OA=DA=2sinα，∴AB=OB−OA=2cosα−2sinα，设矩形A BCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα−2sinα)⋅2sinα=4(12sin2α−sin2α)=2(sin2α+cos2α)−2=2√2sin(2α+π4)−2，由于0<α<π4，所以当α=π8时，S最大=2√2−2，故答案为：C【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型，利用三角函数的性质求最值。
2.【答案】D【解析】【解答】由f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由x=−5π6和x=π6为两条相邻的对称轴，所以周期T2=π6−(−5π6)=π，所以T=2πω=2π，解得ω=1.故答案为：D.【分析】直接由对称轴得半周期为π，再利用周期公式求解即可。
3.【答案】D【解析】【解答】y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，将函数的图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，可得y=2sin(x−m−π3)，此函数图像关于y轴对称，则−m−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，m取得最小值π6，故答案为：D。
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用图象的平移变换结合图象的对称性，从而推出函数图像关于y轴对称，再利用函数图象的对称性，从而求出m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，从而求出m的最小值。
4.【答案】D【解析】【解答】解：由辅助角公式得：f(x)=√a2+b2sin(2x+φ)，由f(x)≤f(π6)恒成立，得2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π6(k∈Z)，取φ=π6，从而f(x)=√a2+b2sin(2x+π6)，由f(11π12)=0得①正确，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z)，④正确，故答案为：D．【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由f(x)≤f(π6)恒成立，得出φ的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，并判断出正弦型函数的单调性，从而求出对应的单调递增区间，再利用奇函数和偶函数的定义判断出正弦型函数的奇偶性，从而找出说法正确的序号。
三角恒等变换测试题
三角恒等变换测试题1、下列哪个选项是正确的？A. sin(2π - α) = sinαB. cos(π - α) = - cosαC. tan(3π - α) = - tanαD. tan(4π - α) = - tanα答案：C. tan(3π - α) = - tanα2、下列哪个选项是正确的？A. sin(-π - α) = - sinαB. cos(-π - α) = - cosαC. tan(-π - α) = - tanαD. tan(-π - α) = tanα答案：A. sin(-π - α) = - sinα3、下列哪个选项是正确的？A. sin(π/2 + α) = cosαB. cos(π/2 + α) = sinαC. tan(π/2 + α) = secαD. tan(π/2 + α) = cscα答案：A. sin(π/2 + α) = cosα4、下列哪个选项是正确的？A. sin(3π/2 - α) = cosαB. cos(3π/2 - α) = sinαC. tan(3π/2 - α) = secαD. tan(3π/2 - α) = cscα答案：A. sin(3π/2 - α) = cosα二、填空题1、请填写下列空白：sin(π - α) = ______；cos(π - α) = ______；tan(π - α) =______。
答案：sinα；-cosα；-tanα2、请填写下列空白：sin(2π - α) = ______；cos(2π - α) = ______；tan(2π - α) = ______。
答案：sinα；cosα；-tanα一、选择题1、下列哪个选项正确描述了正弦函数的角度和其相对应的数值？A.当角度增加时，正弦函数的值也增加B.当角度增加时，正弦函数的值减少C.当角度减少时，正弦函数的值增加D.当角度减少时，正弦函数的值减少答案：D.当角度减少时，正弦函数的值减少。
三角恒等变换专题练习(含答案)
三角恒等变换2020.21．若α为第四象限角，则可以化简为（）A．B．C．D．﹣2tanα【解答】解：∵α为第四象限角，∴＝﹣＝﹣＝＝﹣2tanα．故选：D．2．已知cos（13°+α）＝﹣，则sin（﹣64°+2α）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（13°+α）＝﹣，则sin（﹣64°+2α）＝﹣cos[90°+（﹣64°+2α）]＝﹣cos（26°+2α）＝﹣2cos2（13°+α）+1＝﹣，故选：A．3．已知α，β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：α，β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，且α+β∈（0，π），则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，＝，则α+β＝，故选：B．4．已知cos（﹣+α）＝﹣，则cos（﹣α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：由于cos（﹣+α）＝﹣，所以cos（﹣α）＝﹣cos（﹣+α）＝，故选：B．5．已知tan（π+α）＝2，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan（π+α）＝2，∴tanα＝2，∴＝．故选：D．6．下列四个等式：①tan25°+tan35°+；②＝1；③cos2；④＝4，其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③D．③④【解答】解：对①：，故tan25°+tan35°+，故正确；对②：，故，故错误；对③：，故错误；对④：＝，故正确．故选：A．7．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：，故：，解得tanα＝2．所以＝＝．故选：D．8．已知，则2sin2α﹣sinαcosα＝（）A．B．C．D．2【解答】解：∵，∴﹣cosα﹣2cosα＝sinα，可得sinα＝﹣3cosα，∴sin2α+cos2α＝9cos2α+cos2α＝10cos2α＝1，可得cos2α＝，∴2sin2α﹣sinαcosα＝18cos2α﹣（﹣3cosα）cosα＝21cos2α＝．故选：A．9．若cos（α﹣β）＝，且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵α+β＝2α﹣（α﹣β）∴cos（α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos（α﹣β）+sin2αsin （α﹣β），∵α，β均为锐角，α＜β，∴0＜2α＜π，﹣＜α﹣β＜0，则sin2α＝＝＝，sin（α﹣β）＝﹣，则cos（α+β）＝×﹣×＝﹣＝，则α+β＝，故选：C．10．已知函数f（x）＝sin（x+）sin x﹣（π+x）+，当0＜α＜时，f（α）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知＝＝＝，则．因为，所以，，所以由可知，则＝，则＝＝＝，故选：C．11．若sin（﹣α）＝，则sin（2α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：因为sin（﹣α）＝，所以，所以sin（2α﹣）＝＝．故选：A．12．已知角α，β∈（0，π），tan（α+β）＝，cosβ＝，则角2α+β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵cosβ＝，∴sinβ＝＝，则tanβ＝，则tanα＝tan（α+β﹣β）＝＝＝，tan（2α+β）＝tan（α+β+α）＝＝＝1，∵0＜tan（α+β）＜1，0＜tanα＜1，∴0＜α+β＜，0＜α＜，则0＜2α+β＜，则2α+β＝，故选：D．13．若cosθ﹣2sinθ＝1，则tanθ＝（）A．B．C．0或D．0或【解答】解：∵cosθ﹣2sinθ＝1，且sin2θ+cos2θ＝1，∴5sin2θ+4sinθ＝0，∴，∴，则tanθ＝0或，故选：C．14．已知锐角α满足3cos2α＝1+sin2α，则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】∵3cos2α＝1+sin2α，∴3（cos2α﹣sin2α＝（cosα+sinα）2，∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα+sinα）2，∵α为锐角，可得cosα+sinα＞0，∴3（cosα﹣sinα）＝cosα+sinα，可得cosα＝2sinα，即tanα＝，∴cosα＝＝＝．故选：A．15．若，则＝（）A．1B．C．D．﹣3【解答】解：∵，∴tanαtan＝2，则＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝，故选：C．16、，则的值为（）A．﹣4B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：已知，所以＝，令g（x）＝故g（x）＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数．则═﹣1﹣1＝﹣2故选：A．17．若θ∈（0，π），且2cosθ+sinθ＝2，则tan＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵θ∈（0，π），∴∈（0，），由2cosθ+sinθ＝2，得，即，整理得，∴tan＝0（舍）或tan．故选：C．18．若sin78°＝m，则sin6°＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin78°＝m，∴cos12°＝m，即1﹣2sin26°＝m得2sin26°＝1﹣m，sin26°＝，则sin6°＝，故选：B．19．＝（）A．8B．﹣8C．D．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝＝＝＝＝﹣8，故选：C．20．化简的结果是（）A．sin 2B．﹣cos 2C．﹣cos 2D．sin 2【解答】解：＝＝．故选：D．21．已知当x＝θ时函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最小值，则＝（）A．﹣5B．5C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin x﹣2cos x＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣α），其中，cosα＝，sinα＝，故当x＝2kπ+α﹣，k∈z时，函数取得最小值为﹣，此时x＝θ＝2kπ+α﹣，k∈z，∴sinθ＝﹣cosα＝，cosθ＝sinα＝，则tanθ＝，tan2θ＝．则＝．故选：D．22．＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：＝＝＝．故选：C．23．化简＝（）A．cos4B．sin4C．sin4+cos4D．﹣sin4﹣cos4【解答】解：∵sin4＜0，cos4＜0，∴＝＝＝﹣sin4﹣cos4．故选：D．。
三角恒等变换常考题(含答案)
三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。
2025新高考数学计算题型精练专题09 三角恒等变换(解析版)
2025新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
数学课程三角恒等变换练习题及答案
数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。
《三角恒等变换》练习及答案
必修4第三章《三角恒等变换》一、选择题1、sin 105cos105 的值为 （ ）Ａ．14Ｂ．－14Ｃ．4Ｄ．－42、函数21()cos 2f x x =-的周期为 （ ）Ａ．4πＢ．2πＣ．2π Ｄ．π3、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ）Ａ．16Ｂ．1322Ｃ．322Ｄ．13184、化简1cos 2tancot22ααα+-，其结果是 （ ）Ａ．1sin 22α-Ｂ．1sin 22αＣ．2sin α- Ｄ．2sin 2α5. （ ）A.2sin 44cos 4B.2sin 44cos 4C.2sin 4D.4cos 42sin 4-----6. sin1212ππ-的值为 ().0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α=（ ）4A.34B.3-3C .43D.4-8. 若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则tan tan αβ为 （ ）A.5 B .1- C .6 1D.69. 已知锐角αβ、满足sin cos 510αβ==αβ+等于 （ ）3A.4π3B.44ππ或C.4π()3D .24k k ππ+∈Z10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ）Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x=Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i ng x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22t a n ()1tan x g x x=-二、填空题 11. 已知cos α=35,且α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2θθ-=，则33sin cos θθ-=＿＿＿＿.13. tan 20tan 4020tan 40++的值是 .14. A B C 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cos C = .三、解答题15. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.16. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2BA B B-=-.18. 已知函数2()5sin cos f x x x x =-+（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;(3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．参考答案： 一、选择题二、填空题11.1012.111613.14.1665三、解答题 15. y max =258, y min =－3 16.4π17. 略18. (1)π (2)增区间：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，减区间：511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k ∈Z(3)对称轴方程：5,212k x ππ=+对称中心：,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中k ∈Z。
(完整版)简单的三角恒等变换练习题
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x 的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题1． 215+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +- =ααtan 1tan 1+- =右边，原题得证．9．证明：∵cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x 是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
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三角恒等变换练习题
1．已知5
3)2sin(=+θπ,则=-)2(cos θπ__________ 2．若5
4cos -=α,且α在第二象限内，则)42cos(πα+=__________ 3．已知2
10cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan __________ 4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin __________
5．已知5
3)4sin(=-πx ,则x 2sin =__________ 6．函数)2
4(2cos 3)4(sin 2)(2π
ππ≤≤-+=x x x x f 的值域为__________ 7、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于__________ 8.为了得到函数sin(2)3
y x π=-的图像，只需把函数x y 2cos =的图像( ) A. 向左平移65π个长度单位 B. 向右平移6
5π个长度单位 C. 向左平移125π个长度单位 D. 向右平移12
5π个长度单位 9．x x y sin cos 3+=的图象向左平移)0(>m m 个单位后，关于y 轴对称，则m 的最小值是_________
10．若31)6sin(=-απ，则=+)23
2cos(απ_________ 11．若5
42sin ,532cos -==θθ，则角θ的终边所在的直线为( ) A ．0247=+y x B ．0247=-y x C ．0724=+y x D ．0724=-y x
12.已知锐角α的终边上一点)40cos 1,40(sin ︒+︒P ,则锐角=α_________
13．已知10
10sin ,55sin ==βα,且βα,都是锐角,则=+βα________ 14．已知21)4tan(=+π
α,且02<<-απ,则=-+)4cos(2sin sin 22πααα_________ 15．已知2524sin -
=α,则2tan α=_________ 16．︒
︒-︒70sin 20sin 10cos 2=______________
17．已知31)cos(,31cos -=+=βαα,且)2
,0(,πβα∈,则)cos(βα-=_________ 18．函数x x x f sin 2cos 6)(-=的对称中心是_________
19．为了得到函数1)cos sin 3(cos 2)(+-=x x x x f 的图象,需将函数x y 2sin 2=的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位，则ϕ的最小值为 ．
20．点)4
3cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则)3tan(πθ+的值为 . 21．已知2)12(tan =-πα，则)3tan(π
α-的值为 ． 22．已知)62cos(6sin )12cos()12sin(3sin 2)(π
ππ
π
π
+-++=x x x x f ,)(x f 的最小正周期 23．设向量]2
,0[),sin ,(cos ),sin ,sin 3(π∈==x x x b x x a . (1)若||||b a =，求x 的值； (2)设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值．
24．已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,求)4sin(2cos παα-的值．
25已知函数)50)(3
6sin(
2)(≤≤+=x x x f ππ,点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．
(1)求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；
(2)设点B A ,分别在角βα,的终边上,求)2tan(βα-的值．。