高数函数图形的描绘

lim( 1 2) , x 1 x1 x 1
5/28/2020
为铅直渐近线.
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
斜渐近线 y k x b. k lim [ f (x) b ]
x x x
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y y
4) x 1 3
y2
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3
2
0
2
4 3
(极大)
(拐点)
2 3
(极小)
例4. 描绘方程
的图形.
解: 1)y (x 3)2 , 4(x 1)
2) 求关键点.
定义域为 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
①
y x 3 2y 2(x 1)
①两边对 x 求导得
2 4 y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1)
y
0
y
y
2
(极大)
(C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示: lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
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lim 1 x01
e e
x x
2 2
2. 曲线 y 1 ex2
的凹区间是
( 1 ,
2
1 2
)
,
凸区间是( ,
1 )
2
及(
1 2
,
,)
拐点为(
1 2
,
1
e
1 2
,
)
渐近线 y 1 .
1 (1,3) 3 (3, )
0
无 定
义
0
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
,
y
(
x
2 1)3
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又因 lim y 1 , 即k 1
x x 4
4பைடு நூலகம்
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x] x 4 x 4(x 1) 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时,
点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,
则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
或为“纵坐标差”
例如, 双曲线
有渐近线 但抛物线
x y0 ab
无渐近线 .
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
y1x5 44
为斜渐近线
x 5) 求特殊点
0
2
y 9 1 44
y (x 3)2 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(x
2 1)3
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6）绘图
x (, 1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 斜渐近线
x 1 y1x5
44
特殊点
x0
2
y 9 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无
0
定 义
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O12 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
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(
1
,1
1
e2 )
2
x
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
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第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x ,
代入原方程得曲线的参数方程 :
2. 求
并求出
及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2)y x2 2x , y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
x
3at 1 t3
,
当x 时t 1,
3at2 y 1t3 ,
因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
1.
曲线
y
1 1
e e
x2 x2
(A) 没有渐近线；
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
(1
x
2
)
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
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y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
k lim f (x) x x
(或 x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
的渐近线.
y
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或 x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 ,
并考察其对称性及周
y
y f (x)
CM
y kxb
L PN
O
x
y
Ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或 x )
若
(或 x x0 )
例1. 求曲线
则曲线 的渐近线 .
有铅直渐近线
y
x x0 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
2
x
O1
y2
为水平渐近线;