第二节 单自由度体系的运动方程

图示体系，各杆EI=常数，忽略杆件的分布质量和阻 常数， 例11-2 图示体系，各杆 常数 尼影响，建立其运动方程。 尼影响，建立其运动方程。
图11-13
解：图示体系为静定结构，求柔度系数比较方便，宜列位移 图示体系为静定结构，求柔度系数比较方便， 方程。 方程。
y (t ) = δ11[− m&&(t )] + δ1P ⋅ P(t ) y
弹性支座B的反力 弹性支座 的反力 为
RB = k1lα (t )
得Baidu Nhomakorabea
由
ΣM A = 0
I1 (t ) ⋅
l 3 + I 2 (t ) ⋅ l − RB ⋅ l = 0 2 2
将I1(t)、I2(t)和RB的表达式代 入上式并整理得运动方程 、 和
4k1 && α (t ) + α (t ) = 0 11m
y 沿动位移 沿动位移y(t)的正向作用。 的正向作用。 惯性力 −m&&(t ) 的正向作用
(5)阻尼力 阻尼力R(t)。关于阻尼力的理论有多种，这里采用计算较简单 阻尼力 。关于阻尼力的理论有多种， 的粘滞阻尼理论。它假定阻尼力R(t)与质点速度成正比，方向与速 与质点速度成正比， 的粘滞阻尼理论。它假定阻尼力 与质点速度成正比 度的方向相反， 度的方向相反，即
刚度法) 一、列动力平衡方程(刚度法 列动力平衡方程 刚度法 利用平衡条件建立运动方程
图11-10
在振动的任一时刻t取质点 为隔离体作用在质点上的力有 各力以指向y(t)的正 在振动的任一时刻 取质点m为隔离体作用在质点上的力有 各力以指向 的正 取质点 为隔离体作用在质点上的力有(各力以指向 方向为正)： 方向为正 ： (1)重力 。 重力W。 重力 (2)动力荷载 动力荷载P(t)。 动力荷载 。
图11-10
(3)弹性恢复力 弹性恢复力S(t)。它是由于杆件的弹性变形而施加于质点的力，它的大 弹性恢复力 。它是由于杆件的弹性变形而施加于质点的力， 小与质点的位移成正比，但方向相反， 小与质点的位移成正比，但方向相反，即
S (t ) = −k11 [∆ st + y (t )]
为刚度系数， 式中 k11 为刚度系数，其意义是使质点沿运动方向产生单位静位移而需在质 点上沿运动方向施加的力。 点上沿运动方向施加的力。 (4)惯性力 。其大小为质点质量 与质点加速度的乘积，方向与加速度的 惯性力I(t)。其大小为质点质量m与质点加速度的乘积 与质点加速度的乘积， 惯性力 方向相反， 方向相反，即 I (t ) = − m&&(t ) y
图11-11
y (t ) = δ11[I (t ) + R(t ) + P(t )]
即
& m&&(t ) + cy (t ) + y 1
δ11
y (t ) = P (t )
为柔度系数， 式中 δ11为柔度系数，它表示在质点上沿质点运动方向施加单位力引起 质点沿运动方向的静位移。柔度系数与刚度系数k 互为倒数. 质点沿运动方向的静位移。柔度系数与刚度系数 11互为倒数.由于建 立运动方程要用到体系的柔度系数，所以又称为柔度法。 立运动方程要用到体系的柔度系数，所以又称为柔度法。
1 1 2 2 1 2 l3 δ11 = ( ×l × l + ×l ×2l × ×l) = EI 2 3 2 3 EI 1 1 l l l3 δ1P = ( × 2l × × ) = EI 2 2 2 4EI
运动方程 为
&&( t ) + y
EI 1 y (t ) = P (t ) 3 ml 4m
因质点重力W与由其引起的静位移 ∆ st 的关系为 W = k11∆ st ， 因质点重力 与由其引起的静位移 于是得出质点振动的运动微分方程为
& m&&(t ) + cy (t ) + k11 y (t ) = P(t ) y
式表明， 式表明 ，若建立体系的运动方程时以静平衡位置作为计算位移 的起点，则所得动位移的微分方程与重力无关。 的起点 ， 则所得动位移的微分方程与重力无关 。 以后在建立体 系的运动方程时，将不标出重力W及其产生的静位移 系的运动方程时，将不标出重力 及其产生的静位移∆ st 。 上述方法是直接利用达朗贝尔原理建立质点m在任一瞬时的动 上述方法是直接利用达朗贝尔原理建立质点 在任一瞬时的动 力平衡方程，它要用到结构的刚度系数k 所以又称为刚度法。 力平衡方程，它要用到结构的刚度系数 11，所以又称为刚度法。
柔度法) 二、列位移方程(柔度法 列位移方程 柔度法 对于不便于计算刚度系数的体系， 对于不便于计算刚度系数的体系，也可改用结构的柔度系数来建 立运动方程。这种方法以整个休系为研究对象，如图所示， 立运动方程。这种方法以整个休系为研究对象，如图所示，在振 动的任一时刻t，质点m上除作用有动力荷载 上除作用有动力荷载P(t)外，还有惯性力 动的任一时刻 ，质点 上除作用有动力荷载 外 I(t)、阻尼力R(t)，不考虑重力，又由于弹性恢复力是内力，故图 、阻尼力 ，不考虑重力，又由于弹性恢复力是内力， 中未标出。质点m的动位移 看成是由于动力荷载、 的动位移y(t)看成是由于动力荷载 中未标出。质点 的动位移 看成是由于动力荷载、惯性力和阻 尼力共同引起的，根据叠加原理， 尼力共同引起的，根据叠加原理，可得
即
建立图示体系的运动方程。图中质点m 例11-1 建立图示体系的运动方程。图中质点 1=2m、m2=m，弹 、 ， 性支座B的刚度系数为 忽略阻尼影响和刚性杆的分布质量 的刚度系数为k 忽略阻尼影响和刚性杆的分布质量。 性支座 的刚度系数为 1,忽略阻尼影响和刚性杆的分布质量。
解：这是两个质点的单自由度体系。设在振动的任一时刻t刚性 这是两个质点的单自由度体系。设在振动的任一时刻 刚性 杆绕铰A的转角为 顺时针为正，则质点m 杆绕铰 的转角为α (t ) ，顺时针为正，则质点 1、m2的惯性力 分别为 3 3 l && && I 2 (t ) = − m2 ⋅ lα (t ) = − mlα (t ) &&(t ) = − ml α&(t ) & I1 (t ) = − m1 ⋅ α 2 2 2
§11-2 单自由度体系的运动方程
• 动力计算的基本未知量是质点的位移，它是时间t的函数。为
了 求出动力反应，应先列出求解质点位移的方程。描述体系 振动时质点动位移的数学方程，称为体系的运动方程(或振动方 程)。
•建立运动方程常用的方法是动静法。根据达朗贝尔原理，将惯
性力假想地作用在质点上，在振动的每一瞬时，惯性力与结构 受到的动荷载、约束反力等在形式上组成一平衡力系(动平衡)， 于是就可以利用静力学中的方法建立运动方程。
& R (t ) = −cy (t )
式中c称为粘滞阻尼系数。 式中 称为粘滞阻尼系数。 称为粘滞阻尼系数 考虑质点m的动力平衡 考虑质点 的动力平衡ΣY=0，应有 的动力平衡 ，
I (t ) + R (t ) + S (t ) + P (t ) + W = 0
即
& m&&(t ) + cy (t ) + k11[∆ st + y (t )] = P (t ) + W y