圆锥曲线轨迹方程经典例题2

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆：

1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：

已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为

2

1

，求点M 的轨迹方程;

2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(2

2=++y x 上运动，求AB

的中

点M 的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长

为

22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程；

（2）若P 点到直线x y =的距离为

2

2

，求圆P 的方程。

3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；

（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；

（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明

直线l 过定点。

二、椭圆类型：

3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2

1

，求点M 的轨迹方程.

4、 圆锥曲线第一定义：一个动圆与圆0562

2

=+++x y x 外切，同时与

圆

M

B

A

M

F 1F 2

091622=--+x y x 内切，求动圆的圆心轨迹方程。

5、 圆锥曲线第一定义：点M(00,y x )圆1F 9)1(2

2=++y x 上的一个动点, 点2

F （1,0）为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹

方程;(注意点2F （1,0）在圆内)

6、 其他形式：设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM 相交于点M ，且他们的斜率的乘积为9

4-

，求点M 的轨迹方程:（是一个椭圆） （讨论当他们的斜率的乘积为9

4

时可以得到双曲线）

（2013新课标1卷20）已知圆:M 1)1(22=++y x ，圆:N 9)1(2

2=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。 （1）求C 的方程； （2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求AB

（2013陕西卷文20）已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。 （1）求动点M 的轨迹C 的方程

（2）过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率。

三、双曲线类型：

8、圆锥曲线第一定义：点M(00,y x )圆1F 1)1(2

2

=++y x 上的一个动点, 点

2F （1,0）

为定点。线段2MF 的垂直平分线与1MF 相交于点Q(x ,y ),求点Q 的轨迹方程;(注意

点2F （1,0）在圆外)

定义法：点M(x ,y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线516=

x 的距离之比为4

5

，求点M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二

定义)

四、抛物线类型：10、定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线2-=x 的距离相等，求点M 的轨

迹方程。（或：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离比它到定直线3-=x 的距离小1，求点M 的轨迹方程。）

（2013陕西卷文20）已知动点),(y x M 到直线4:=x l 的距离是它到点)0,1(N 的距离的2倍。 （1）求动点M 的轨迹C 的方程

（2）过点)3,0(P 的直线m 与轨迹C 交于B A ,两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率 已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足

||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r

。

（1）求曲线C 的方程；

）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；

（湖北）设A 是单位圆x 2+y 2

=1上的任意一点，i 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线i 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨（m>0,且m ≠1）。当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。

（I ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

（辽宁）如图，椭圆0C ：22

221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为

常数)，动圆

22211:C x y t +=，1b t a <<。点12,A A 分别为0C 的左，右顶

点，1C 与0C 相交于A ，B ，

C ，

D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;

（四川）如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。 （Ⅰ）求轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ， 与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <， 求

||

||

PR PQ 的取值范围。