理论力学晚复习
北理工理论力学高分学长复习经验
1.时间问题我想很多同学和我去年一样,不知道什么时候开始进行理论力学的复习工作.这里我想说的是,至少在9月份之前,你们是不需要考虑复习理力的.顶多把资料提前买好就可以了.至于9月份以后具体什么时候开始复习,我觉的要看个人的理力基础.我想大部分人之前一定是学过理力这门专业课的,如果你当时觉的学的比较吃力或者不太明白,最好9月初就马上开始.如果你觉的当初学的还凑合,没有觉的理力有多难,那完全可以10月份再开始.不过我还是想说一下,因为如果10月份开始的话,很有可能会影响其他学科的准备,并且产生心理负担.所以建议大家还是10月之前开始理力的复习.我是因为暑假有事,加上前期对数学过于自信导致数学的复习进度太慢,9月和10月的时候还在赶数学的进度,所以10月20号左右才开始看理力,而且最后数学考的也不好,这是前车之鉴.2.资料问题想必要买什么资料也是让大家头疼的事,淘宝上北理工理论力学的资料满天飞,买什么才好呢?我去年买的是169一套的那种资料,也是最常见的那种,大家淘宝一下就知道了.再加上买理力教材(那套资料不包括教材),大概总共花了220左右.但是实际上在复习过程中,169的这一整套资料,我一个字都没看过(里面有什么本科生笔记,总结,老师的ppt之类).我在复习过程中只使用了课本,也就是水小平写的那本理论力学.也就是建议大家不需要买淘宝是上所谓的整套资料,只需要把这本教材买了,好好看它就完全足够了.不得不说的是,北理工水小平写的这本理论力学确实是偏难的,很多地方都讲的比较深.可以说比我当初学的理力那本教材要难,我想大家当初学的教材应该也跟我差不多.对于基础差心里没底，复习摸不着头绪的同学可以报个专业课辅导班，辅导班也要慎重选择，不靠谱的更会雪上加霜，北京爱考的专业课辅导口碑就不错。
会根据你报考的学校和专业给你安排在读的研究生助教来讲课（都知道学校老师不能出来讲课吧，所以信息量最大的也就是导师的研究生了）3.复习方法正如我上文所说,我是10月20多号才开始的理论力学复习,说实话是比较晚的.这里还是讲一下我的复习方法:(1)时间:当初我是每天晚上看理力,大概有4个小时左右的复习时间.(状态好的时候可能有4个半,状态不好的时候可能就只有3个小时)我觉得这个时间应该还算比较正常,因为到这个时候每天1/3的时间给专业课是必须的.(2)方法:我刚才说了,这本理力教材是偏难的,也就是说你会发现有些原理的推导和证明你是看不懂的.这个时候大家注意了,因为理力是一门应用型较强的学科.就像高中物理一样,我想大家高中学物理的时候,应该也不知道各种物理公式的数学推导吧?这些推导是我们在大学才掌握的.而这里也正是如此,对于定理的证明和推导,大家大可一看而过.而关键是要知道这些公式的使用条件和如何使用这些公式.这一点我想应该大家在高中学物理的时候都非常熟悉了.所以定理证明可以不看,但是书上出现的例题,要尽量搞懂.4.真题大家可能还不知道,北理工的理论力学考试是6道大计算题.每一题20分到30分,也就是说你不需要背诵任何的概念或者定义.关键是了解如何做题.而北理工理论力学出题模式相对固定,六道计算题分别考察运动学,静力学,动力学.但是每道题的计算一般都比较大,其实大家复习到了后期,也就是12月的时候,如果你前期复习的还好,就只剩下计算问题了.而计算也是相当头疼的问题,因为一般每题至少都要做20分钟,我一般是2个半小时以内做完(后期比较熟练的时候).在如此庞大的计算中要保证全对是比较困难的,也是你们要努力的.01年到13年的真题我我做了两遍,除此以外,09年到13年的真题我又做了2遍.也就是说我大概做了30张真题(很多是重复做的).而我反复做真题的主要原因是训练计算,尽量把你容易算错的地方都记下来,没事看一下.顺便说一下,我是12月开始做真题的,每天晚上一套题,就像刚才说的,做了一个月.其实这个时候是比较累的,那个时候基本各科都在模拟,基本早上一套数学,下午一套英语,晚上还要做计算量如此之大的一套理力.不过只要坚持下来就好.最后祝各位同学都能有的好的结果.。
《理论力学》期末复习资料
a
L
T k(2b cos b a)
L
L F k(2b x b a)
b
2L L
x
a
FL2 k b2
例16、试用牛顿方法和拉氏方法证明单摆的运动微分方程 g sin 0
l
其中为摆线与铅直线之间的夹角，l为摆线长度。
解： （1）用牛顿法：
l
ml mg sin
T
g sin 0
l
mg
3
3
33
v2 x2 y 2 an
v2
2 2m
9
11
例4、一质点受有心力 轨道的微分方程。
F
km r2
作用，列出求解其
解：
h2u
2
(
d 2u
d 2
u)
F (r) m
F km kmu2 r2
d 2u u k
d 2
h2
例5、如下图所示，船长为L=2a，质量为M的小船，在船头上站一质量为m的人，
cos3 d
L
o
x
mg
y
18
例12、如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长L，弹性系数 k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量忽略不计。试用虚功原理求平衡
时p的大小与角度之间的关系。
y
TT
解： 2TxD pyA 0
xD L cos xD L sin yA 2L sin yA 2L cos
x
(2TLsin 2 pLcos ) 0
o
2TLsin 2 pLcos 0
p T tan k(2L cos L) tan kL(2sin tan )
19
例13、如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长也L，弹性系数为 k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量也忽略不计。试用虚功原理求平衡时
理论力学 期末复习知识点
第一章静力学公理与物体的受力分析§1.1 静力学公理✧公理1 二力平衡公理（条件）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
✧公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。
（效应不变）✧公理3 力的平行四边形法则作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
✧公理4 作用和反作用定律作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
✧公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
✓推论1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
✓推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。
§1.2 约束和约束力一、约束的概念•自由体：位移不受限制的物体。
•非自由体：位移受限制的物体。
•约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
二、约束反力（约束力）•约束力：约束对物体作用的力。
•在静力学中，约束力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
三、工程常见约束•光滑平面约束•柔索约束•光滑铰链约束•固定铰链支座•止推轴承径向轴承•平面固定端约束§1.3 物体的受力分析和受力图受力分析：确定构件受了几个外力，每个力的作用位置和方向的分析过程。
•步骤：1．取研究对象（画分离体：按原方位画出简图）。
2．画主动力：主动力照搬。
3．画约束反力：根据约束性质确定。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2–1 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
理论力学复习资料.doc
力学复习选择:力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动）平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里丙算法）质心运动定理（投影法x，y，z，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次）平面运动速度的综合计算动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是W ---------2.注意检验- X *，判断是否是静摩擦，当为临界状态时Ff二^Cmax 二fs* F N,纯滚动为静摩擦A ，且只能根据平衡方 程解出，与正压力无关。
动摩擦Ff =卜Fn。
3.动静法中惯性力简化质心c J 过＜?点到底惯性力F /c =-ma c1绕c 点的惯性力偶M /c =-人/z --------- 二维刚体一— d 2r rc=Lmat［戸=0,则Vv=常数=0 （初始静止）则&=常数=华标系中所在位置, 且久为直线。
（一直运动求力）工 F e=madm ：：5. 平面运动刚体动能瞬心法:一 7\必22 c柯里希法:丄mv 2 + — J co 1226. 平面运动速度分析方法:的平行四边形b,速度投影法：心COS^ =心008<9心氏，氏是以々8为基准7. 平面运动加速度分析:-------- ---------- T ------------ nA.基点法：a B =a A +a BA +a BA ，其中，多数情况下 a A = a A T+ a A n, a B =a B +a B注：当牵连运动为转动吋，有科氏加速度，a k =2a)xV r 大小：A=26W r ，方向：K 向69方向转90°即可。
，基点法：= VBA VBAAB c o，以5为对角线C,速度瞬心法:AC*BC * •仍，= 0,〜关 09•力系简化:力系有合力的必要条件：7^0空间力系简化：主矢，主距（静力学简化到坐称原点，动力学则简化到质心）F R结果0 零力系（原力系为平衡力系） 0 矣0 空间力偶（与建华屮心位置无关） 类0合力（过简化中心0的一个力）矣0矣0一个力（过0点）和一个力偶，若二者重合，则不可继续简化，称为力螺旋，若二者垂直，则可继续向a 简化为一个合力10.二力杆要说明是受压还是受拉。
理论力学复习总结（知识点）
理论力学复习总结（知识点）第一篇：理论力学复习总结(知识点)第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即FR=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
理论力学复习资料资料
理论力学复习资料资料理论力学是物理学的基础学科之一，它研究物体运动的规律和力的作用。
对于理论力学的学习和掌握，复习资料是必不可少的。
本文将为大家提供一些理论力学复习资料的内容和方法，帮助大家更好地理解和应用这门学科。
一、基础知识回顾理论力学的基础知识包括牛顿三定律、质点运动学、质点动力学等内容。
在复习资料中，可以通过总结和归纳这些知识点，形成一个清晰的知识框架。
例如，可以将牛顿三定律分别列出，并给出具体的例子进行说明。
对于质点运动学和动力学，可以总结各种运动的基本公式和求解方法，如匀速直线运动、匀加速直线运动、曲线运动等。
二、力的研究力是理论力学中一个重要的概念，它描述了物体之间相互作用的效果。
在复习资料中，可以对力的性质、分类和计算方法进行详细的介绍。
例如，可以介绍重力、弹力、摩擦力等常见的力，并说明它们的特点和作用。
此外，还可以介绍力的合成和分解的方法，以及力的叠加原理和平衡条件的应用。
三、动量和能量动量和能量是理论力学中的两个重要概念，它们描述了物体运动的特征和变化。
在复习资料中，可以详细介绍动量和能量的定义、计算方法和守恒定律。
例如，可以介绍动量的定义为质量乘以速度，能量的定义为物体具有的做功能力。
此外，还可以介绍动量守恒定律和能量守恒定律的应用，如碰撞问题、弹性势能和动能的转化等。
四、刚体力学刚体力学是理论力学中的一个重要分支，它研究刚体的平衡和运动规律。
在复习资料中，可以对刚体的定义、性质和运动学描述进行详细的介绍。
例如，可以介绍刚体的几何性质，如质心、转动轴等。
此外，还可以介绍刚体的运动学描述，如平面运动和空间运动的公式和方法。
五、弹性力学弹性力学是理论力学中研究物体弹性变形和弹性力学性质的学科。
在复习资料中，可以对弹性力学的基本概念和公式进行介绍。
例如，可以介绍应力、应变和弹性模量等概念，并给出具体的计算方法和实例。
此外，还可以介绍弹性力学的应用，如弹簧的伸长、弹性体的变形等。
六、力学问题的求解方法理论力学中有许多复杂的问题需要用数学方法进行求解。
理论力学期末复习题全套
理论力学期末复习题一一、单选题１、F= 100N 方向如图示，若将F 沿图示x ，y 方向分解，则x 向分力大小为（ ）。
A) 86.6 N ； B) 70.7 N ； C) 136.6 N ； D) 25.9 N 。
2、某平面任意力系F1 =4KN ，F2=3 KN ，如图所示，若向A 点简化，则得到（ ）A ．F ’=3 KN ，M=0.2KNmB ．F ’=4KN ，M=0.3KNmC ．F ’=5 KN ，M=0.2KNmD ．F ’=6 KN ，M=0.3 KNm第1题图 第2题图3、实验测定摩擦系数的方法，把物体放在斜面上，逐渐从零起增大斜面的倾角φ直到物体刚开始下滑为止，这时的φ就是对应的摩擦角φf ，求得摩擦系数为（ ）4、直角杆自重不计，其上作用一力偶矩为M 的力偶，图（a ）与图（b ）相比，B 点约束反力的关系为（ ）。
A 、大于B 、小于C 、相等D 、不能确定图（a ） 图（b ）5、圆轮绕固定轴O 转动，某瞬时轮缘上一点的速度为v ，加速度为a ，如图所示。
试问哪些情况是不可能的？（ ）A 、(a)、(b)B 、(b)、(c)C 、(c)、(d)D 、(a)、(d)6、杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为vB ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为____________________。
A) B v sinθ； B) B v cosθ； C) B v ⁄ sinθ； D) B v ⁄ cosθ.第6题图 第7题图二、填空题7、图示物块重G=100N ，用水平力P 将它压在铅垂墙上，P=400N ，物块与墙间静摩擦系数fs=0.3，物块与墙间的摩擦力为F= 。
8、鼓轮半径R=0.5m ，物体的运动方程为x=52t （t 以s 计，x 以m 计），则鼓轮的角速度ω= ，角加速度α= 。
第8题图 第9题图 9、平面图形上任意两点的加速度A a 、B a 与A 、B 连线垂直，且A a ≠ B a ，则该瞬时，平面图形的角速度ω= 和角加速度α应为 。
理论力学期末复习题库 选择判断题
一、选择题1、 (C)。
若作用在A点的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直线但方向相反。
则其合力可以表示为（）。
A、F1－F2；B、F2－F1；C、F1＋F2；D、以上都不正确2、(C)。
作用在刚体上仅有二力F A、F B，且F A+F B=0，则此刚体（）A、一定平衡B、一定不平衡C、平衡与否不能判断D、以上都不正确3、 (A)。
二力平衡条件的使用范围是（）A、刚体B、刚体系统C、变形体D、任何物体或物体系统4、 (A)。
力的可传性（）A、适用于同一刚体B、适用于刚体和变形体C、适用于刚体系统D、既适用于单个刚体，又适用于刚体系统5、 (C)。
力对刚体的作用效果决定于（）A、力的大小和力的方向B、力的方向和力的作用点C、力的大小、力的方向、力的作用点D、力的大小、力的作用点6、(B)。
下列（）状态属于平衡状态。
A、匀加速直线运动B、静止状态C、减速运动D、定轴加速转动7、 (B)。
作用于刚体上的力可以（）作用线移到刚体上的任意一点A、平行于B、沿着原C、垂直D、沿着6008、 (B)。
力是物体间相互的（）作用A、化学B、机械C、磁力D、电力9、 (B)。
物体的平衡是指物体相对于地球处于（）状态A、静止B、静止或匀速直线运动C、加速运动D、减速运动10、 (C)。
作用于刚体上的两个力平衡的充分必要条件是这两个力（）A、大小相等B、大小相等，方向相反C、大小相等，方向相反，作用在一条直线D、无关系11、 (B)。
在力的作用下不变形的物体称为（）A、固体B、刚体C、永久体D、半固体易12、 (B)。
作用力与反作用力是（）A、作用在一个物体上B、分别作用在两个物体上C、作用在第三各物体上D、作用在任意物体13、 (D)。
作用力反作用力定律的适用范围是（）A、只适用于刚体；B、只适用于变形体；C、只适用于处于平衡状态的物体；D、对任何物体均适用.14、 (B)。
平衡力系是指( )的力系。
A、约束力等于零B、合力等于零C、主动力为零D、合力不为零15、 (D)。
理论力学期末总复习共28页
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
理论力学期末总复习4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
《理论力学》期末复习资料
2、拉氏方程：
d d tq T q T Q ,1,2,s
解题步骤：
dLL0,1,2,s
dtq q
① 选研究系统 ② 取广义坐标 ③ 求 Q 或 L (LTV)
④ 列出拉氏方程 ⑤ 解出结果
a
6
6
概念举例：
• 1、判断一个力场是不是保守力场的判据是？ • 力场存在势能的充要条件是？保守力做功特点？
• 9、在光滑的水平面上放一半径为r，质量为m1的 圆环，有一质量为m2的甲虫沿此环爬行，则由甲 虫和圆环组成的系统所受的外力矢量和为？质心 加速度为？
a
8
8
计算题举例：
例1、已知质点的运动方程：r aebt, 1ct
2
求轨道、速度、加速度的大小。
解：
t 2 c
2b
轨道方程为： r ae c
rabbet
F i m mcca an
i i
Fin Fi
i
I圆 盘 1 2 m 2 ， RI杆 1 1m 2 2 , l I球 5 2 m 2R
动能定理：
d ( 1 2 m c 2 1 2 I v c2 ) d W 机 械 1 2 m 能 c 2 1 2 I 守 v c2 V 恒 E
h2u2(dd2u2 u)Fm (r)
1 . 2 .
a v a v ' ' a 0 v 0 d d r r t ' ' ( r ') 2 v '比耐公式
3 . m a ' F m a 0 m d d r ' t m ( r ') 2 m v '
2 2m
9
a
11
11
例4、一质点受有心力 轨道的微分方程。
理论力学复习.doc
《理论力学》复习题一、是非题1．合力不一定比分力大。
-------------------------------------------------- （）2．平动刚体上的点的运动轨迹也可能是空间曲线。
----------------------------- （）3．某平面力系向一点简化的结果与简化中心无关，则该力系一定平衡。
----------- （）4．约束反力的方向一定与被约束体所限制的运动方向相反。
---------------------- （）5．如果作用在刚体上的三个力共面且汇交于一点，则刚体一定平衡。
-------------- （）6．力偶可以用一个合力来平衡。
---------------------------------------------- （）7．若点的法向加速度为零，则该点轨迹的曲率必为零。
-------------------------- （）8．经过的时间越长，变力的冲量也一定越大。
---------------------------------- （）9. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
（）10.牛顿第一定律适用于任何参照系。
------------------------------------------ （）二、选择题1．已知F1、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面汇交力系，其力多边形如图所示，由此可知（）A:力系的合力为零，力系平衡；B:力系可合成为一个力；C:力系可简化为一个力和一个力偶；D:力系可合成一个力偶。
2．如图所示，物块 A 重P＝200N，放在与水平面成30 的粗糙斜面上，物块 A 与斜面间的静摩擦系数为f=1，则摩擦力的大小为（）A:0 B:86.6N C:150N D:100N3.平面一般力系的二力矩式平衡方程的附加使用条件是( )。
Ａ：二个矩心的连线和投影轴不能垂直Ｂ：二个矩心的连线和投影轴可以垂直Ｃ：没有什么条件限制4．既限制物体任何方向移动，但不限制物体转动的支座称（）支座。
理论力学期末复习重点习题答案(周衍柏第三版)
1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:{{SSt t 题1.1.1图设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=-=221210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得11021at t s v +=再由此式得()()2121122t t t t t t s a +-=证明完毕.1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎪⎭⎫ ⎝⎛+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标()t t x A 15150--=，0=A yB 船坐标0=B x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t y B 15211150则AB 船间距离的平方()()222B A B A y y x x d -+-=即()2021515t t d -=201521115⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++t t()20202211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=t t tt t题1.2.1图2d 对时间t 求导()()67590090002+-=t t dtd d AB 船相距最近，即()02=dtdd ，所以h t t 430=- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=s km1.3 解 ()1如题1.3.2图y题1.3.2图由题分析可知，点C 的坐标为⎩⎨⎧=+=ψψϕsin cos cos a y a r x 又由于在∆AOB 中，有ϕψsin 2sin ar =（正弦定理）所以ry r a 2sin 2sin ==ψϕ联立以上各式运用1cos sin 22=+ϕϕ由此可得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ得第1.3题图12422222222=---++r y a x y a x r y 得22222223y a x r a x y -=-++化简整理可得()()2222222234r a y x y a x -++=-此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x 其中ϕω = 又因为ψϕsin 2sin a r =对两边分别求导 故有ψϕωψcos 2cos a r =所以22y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ()ψϕψϕϕψω++=sin cos sin 4cos cos 22r1.5 解 由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin 1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得dtT t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D Ttc Tct v ++=2cos2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ，故c TD π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ1.6 解 由题可知质点的位矢速度r λ=//v ①沿垂直于位矢速度μθ=⊥v又因为 r r λ== //v ， 即r rλ= μθθ==⊥r v 即rμθθ=()()j i v a θ r dtd r dt d dt d +==（取位矢方向i ，垂直位矢方向j ） 所以()j i i i θ r rdtd r i dt r d r dt d +=+=()dtd r dt d r dt dr r dt d j j j j θθθθ ++=i j j 2r r r θθθ -+= 故()()j i a θθθ r r r r22++-= 即 沿位矢方向加速度()2θ r ra -= 垂直位矢方向加速度()θθr r a 2+=⊥ 对③求导r rr 2λλ== 对④求导θμμθθr rr +-=2⎪⎭⎫⎝⎛+=λμμθr 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得rr a 222//θμλ-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⊥r a μλμθ1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，则质点切向加速度dtdv a t =法向加速度ρ2n v a =，而且有关系式ρ2v 2k dt dv -= ①又因为题1.10.1图()232y 1y 1'+''=ρ②2px y 2=所以ypy =' ③ 32yp y -='' ④联立①②③④2322322y p 1y p 2kv dtdv⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= ⑤又dydvydt dy dy dv dt dv =⋅= 把2px y 2=两边对时间求导得pyy x= 又因为222y xv += 所以22221py v y+= ⑥ 把⑥代入⑤23223222122121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y p y p kv dydvp y v既可化为222py dykp v dv +-= 对等式两边积分222py dykp v dv p p vu+-=⎰⎰- 所以πk ue v -=1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====ααcos sin 2a dt dv a a r va t n 两式相比得dtdvr v ⋅=ααcos 1sin 2即2cot 1vdv dt r =α 对等式两边分别积分20cot 1v dv dt r v v t⎰⎰=α 即αcot 110rtv v -= 此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααcos sin 2a dtdv a r v ①② 所以ωθθθd dv dt d d dv dt dv =⋅=，联立①②，有题1.11.1图ααωθcos sin 2r v d dv = 又因为r v ω=所以θαd vdvcot =，对等式两边分别积分，利用初始条件0=t 时，0θθ= ()αθθcot 00-=e v v1.19 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，上升时 下降时 题1.19.1图则两个过程的运动方程为： 上升22y g mk mg ym --= ① 下降：22y g mk mg ym +-=- ② 对上升阶段:()221v k g dtdv+-= ()221v k g dyvdvdt dy dy dv +-== 即gdy vk vdv-=+221 对两边积分gdy vk vdv h v ⎰⎰-=+022010所以()20221ln 21v k gk h +=③ 即质点到达的高度. 对下降阶段：22gv k g dyvdvdt dy dy dv -== 即gdy vk vdv h v ⎰⎰=-022011()21221ln 21v k gk h --= ④ 由③=④可得202011vk v v +=1.21 解 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.轨道的切线方向上有：θsin mg mkv dtdv m --= ① 轨道的法线方向上有：θcos 2mg rv m = ② 由于角是在减小的，故θd ds r -= ③ 由于初末状态由速度与水平方向夹角θ来确定，故我们要想法使①②变成关于θ的等式 由①dsdv mv dt ds ds dv m dt dv m== 即题1.21.1图θsin mg mkv dsdvmv--= ④ 把代入可得θθcos 2mg dsd mv -= ⑤ 用④÷⑤可得θθθcos sin 1g g kv d dv v +=θθθθθd v d g k dv vcos sin cos 12+=θθθθθθd v g kd v dv 222cos sin cos cos += θθθθθ222cos cos sin cos g kd v d v dv =- 即()θθθθ222cos cos cos g kd v v d =，两边积分得 C gkv +=-θθtan cos 1 ⑥代入初始条件0=t 时，0,v v ==αθ即可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ααtan cos 10g k v C 代入⑥式，得()[]g kv gv v +-=θαθαtan tan cos cos cos 0 ⑦又因为θωcos ,2mg rv m r v ==所以vg dt d θθωcos --=⑧把⑦代入⑧()[]dt g d g kv gv θθθαθαcos tan tan cos cos cos 0-=+-积分后可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=g kv k t αsin 21ln 1101.24 解以竖直向下为正方向，建立如题1.24.2图所示坐标，T 'm mTT 'T 'm TT '()1()2(3题1.24.1图 题1.24.2图以①开始所在位置为原点.设①-②-③处物体所处坐标分别为321,,y y y ，则3个物体运动微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+'='-32122y m T m g y m T m g T y m T m g①-②-③ 由②于③与、之间是，即不可伸长轻绳连接，所以有32y y -=，即yy -= ④ 之间用倔强系数amg k =弹性绳联结.故有()()a y y amga y y k T --=--='2121 ⑤ 由①⑤得()g y y agy2211+--= ⑥ 由②③④得mg ym T +='23 ⑦ 代入①，有213yy -= ⑧ 代入⑥，有g y agy=+1134 ⑨ 此即为简谐振动的运动方程. 角频率ag 32=ω 所以周期ga 32πωπτ==解⑨得43sin cos 211a t A t A y ++=ωω以初始时③为原点，0=t 时，0,011==y y .所以a t a y 43cos 431+-=ω ⑩ 代入①得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='t a g m g T 32cos 1 联立-③④⑧⑩得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t a g m g T 32cos 3112 1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.椭圆方程12222=+bya x ① 从A 滑到最低点B ，只有重力做功.机械能守恒.即221mv mgb =② 设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N 则有：ρ2v mmg N == ③ρ为B 点的曲率半径.题1.28.1图B A →的轨迹：221ax b y --=得2221ax abx y -='；2322211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=''a x ab y 又因为()223211a b y y k ='+''==ρ所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯+=+=2222212a b W mgh a b mg mv mg N ρ故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221a b W方向垂直轨道向下.1.32 解：设楔子的倾角为θ，楔子向右作加速度0a 的匀加速运动，如图1.32.1图。
理论力学期末考试复习资料
理论力学期末考试复习资料题型及比例填空题（20%选择题（20%证明题（10%简答题（10%计算题（40% 第一章：质点力学（20~25%一•质点的运动学 I :（重点考查）非相对运动学 1、描述质点的运动需要确定参照系和坐标系。
参照系：没特别声明，一般以地球为参照系， 且认为地球是不动的， 即以静止坐标系为运动 的参考。
坐标系：根据问题的方便，通常选择直角坐标系（适用于三维，二维，一维的运动），极坐标系（适用于二维运动，题中明显有极径，极角等字眼或者有心力作用下质点的运动时采用极坐 标系），自然坐标系（适用于二维运动， 题中明显有曲率半径， 切向等字眼时，或者圆周曲线运动， 抛物线运动等通常采用自然坐标系）。
2、描述质点运动的基本物理量是位移（坐标）、速度、加速度，明确速度、加速度，轨道方程在三种坐标系下的求解，直角坐标系下步骤：（1） ,建立好坐标系（2） ，表示出质点的坐标（可能借助于中间变量，如直角坐标系中借助于角度）（3）对坐标求一阶导得速度，二阶导得加速度，涉及的未知量要利用题中所给的已知信 息求得。
若求轨道方程，先求得 x 、y 、z 随时间或其他共同变量（参数）的函数关系，消去共同 变量即可，其它坐标系下是一个道理。
若是采用处理二维运动的极坐标系和自然坐标系： 明确怎么建立这两种坐标系及速度、加速度表的达式和各项的意义（a ） 极坐标系：极轴（不变的），极角与极径（质点对质点的位矢大小）则随质点不断发生变化，特别需要明确的径向、横向的单位矢量i,j 的确定，径向即沿径矢延长方向，横向是垂直径向，指向极角增加的一侧，它们的方向随质点的运动不断发生变化，称为是活动坐标系； 我们只需应用相应的公式计算，并理解每一项的意义即可：速度： 径向，v r r 横向，v r加速度：径向a r r r 2 ，明确第一项是由于径向速度得大小改变而引起，第二项则是横向速度得方向发生改变而引起； 横向a , 2 r 第一项是混合项，其中之一表由横向速度得大小改变而引起，其中之二表由径向速度得方向改变而引起，而第二项则表示由横向速 度得大小变化而引起（b ）自然坐标系：明确是把矢量分为切向和法向，活动坐标系的单位矢量i 沿切向,法向，并指向轨道弯曲的一侧:2法向a n v 描述速度方向随时间的变化率，只有运动轨迹为曲线就一定不为零。
理论力学期末复习
练习一一. 是非题1. 点在运动过程中,若速度大小等于常量,则加速度必然等于零。
( )2. 刚体绕定轴转动时,若角加速度为正,则刚体作加速转动;若角加速度为负,则刚体作减速转动。
( )3. 只要两个质点的质量相同、作用力相同,则它们运动规律相同, ( ) 运动轨迹相同,( )运动速度相同,( ) 运动加速度相同。
( )4. 已知自由质点的运动方程,就一定可以求出作用于质点上的力;( ) 已知作用于质点上的力,就一定能确定质点的运动方程。
( )5. 质点的运动方向一定与作用力的方向一致;( ) 质点在常力的作用下一定作直线运动。
( )6.一个质点的速度越大,该瞬时它所受到的作用力越大。
( ) 二. 选择题1. 点以匀速率沿阿基米德螺线自外向内运动(如图1-1),则点的加速度____________。
错误!未找到引用源。
不能确定图1-1 错误!未找到引用源。
越来越小错误!未找到引用源。
越来越大错误!未找到引用源。
等于零 2. 刚体作平动时,刚体内各点的轨迹_________。
错误!未找到引用源。
一定是直线错误!未找到引用源。
可以是直线,也可以是曲线错误!未找到引用源。
一定是曲线错误!未找到引用源。
等于零3. 如图1-2所示,已知各质点的轨迹,则质点受力_____________。
错误!未找到引用源。
皆可能错误!未找到引用源。
(a)、(b)可能错误!未找到引用源。
(b)、(c)可能错误!未找到引用源。
(c)、(d)可能(a)(b)(c)(d)4.质量为m 的质点,自高度H 处落下,受阻力 ,以图1-3中两种坐标系,建立质点运动微分方程,正确的是____________。
错误!未找到引用源。
图1-3 错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
三. 填空题 1. 点作曲线运动时,法向加速度等于零的情况,可能是___________________或________________。
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理论力学参考：简答题：A ：1、什么是惯量主轴? 什么是主惯量？什么是中心惯量主轴坐标系？2、刚体作定轴转动时,轴上产生附加压力的原因是什麽?3、什么是虚位移？说明虚位移和实位移的异同。
4、用哈密顿原理导出保守系的拉格朗日方程。
B ：1、 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？2、 判断力F 是保守力的必要和充分条件是什么？3、 简化中心改变时主矢和主矩是否也都随着改变？4、 惯量主轴存在的充要条件是什么？5、 惯性力的特点是什么？6、 质点系内力对定点O 是力矩等于多少？7、 何谓虚位移？8、 保守力系的拉格郎日方程的适用条件是什么？9、 何谓循环坐标？10、在平面上自由运动的5个质点，其自由度是多少？C ：1.试写出质点在有心力作用下的轨迹方程——毕耐公式；2.试写出刚体对固定的坐标原点O 的角动量0J 的数学表达式；3.试写出在动坐标中的欧勒运动学方程；4.试写出对应于惯量主轴的欧勒动力学方程；5.试写出科里奥利定理的数学表达式；填空题：A ：11、在极坐标中，径向加速度τa =___________；横向加速度θa =______________；12、有心力的动力学特征是________；__________；13、在刚体平面平行运动中，本体极迹的='x _________；='y __________；14、哈密顿正则方程中=j q___________；=j p ______________； 15、理想、完整、保守的力学体系的哈密顿函数H 在___________情况下是常数，在____________情况下H 就等于力学体系的总能量。
B ：14、欧勒在推导欧勒动力学方程时作了两步简化，第一步，选用固定在刚体上随之 为参照系，其作用是——————————————————————————，第二步是选用 为动系坐标轴，其作用是————————————————————————。
15、空间任意力系总可以化成通过某点的和，此点称为简化中心，主矢，主矩。
16、作平面运动的刚体的角速度不为零时，在任一时刻恒能找到一点，其——————————————————————，这点叫刚体的瞬心。
瞬心在固定坐标系中描绘的轨迹叫————————————————，在刚体上描绘的轨迹叫——————————————————，平面运动的实质即是，任一时刻这两条极迹的。
17、作定点转动的刚体，在任一时刻角速度的取向即为瞬时转动轴，瞬时转动轴叫空间极面；瞬时转动轴叫本体极面；定点转动的实质即是，任一时刻这两条极面的。
18、科里奥利加速度表达式为，产生的原因有两个，一是————————————————，二是———————————————————————，所以当—————————————————————————————————时，科氏加速度ac为零。
19、静止于地球上的物体因为受到而使同一物体在地球上不同地点的重力不相等，在其重力最大，在其重力最小。
20、在北半球高处的物体自由下落时，其落点会，偏离的原因是。
21、由于科氏力长年累月的作用，使得北半球河流对甚于，因而比较陡峭。
22、由于科氏力长年累月的作用，对双轨单行道的的铁路来说，北半球火车由于受到，因而对比较厉害；南半球则相反，对比较厉害。
23、运动物体所受到的约束可以分成四大类，即；；和完整约束与不完整约束。
24、理想约束即是，其数学表达式为，常见的理想约束有。
25、虚功原理的内容为，其数学表达式为。
26、动静法即是将运动物体当成一系列平衡问题的迭加，它的理论依据是达朗伯原理，其物理意义是 ，其数学表达式为 。
27、基本形式的拉格朗日方程为 ，式中的T 为 ，αq T•∂∂为 ，Q α为 。
28、拉格朗日函数为 ，式中T 为 ，V 为 ，保守力系的拉格朗日方程为 。
29、哈密顿正则方程的表达式为 ，式中q α是 ，P α是 ，对稳定约束的保守力系，哈密顿函数的表达式为 。
30、哈密顿原理适用于 ，其表达式为 ，其中主函数为 ，可用S 表示。
证明题1. 试用哈密顿原理推导哈密顿正则方程。
2. 描述泊松定理并证明。
3. 试导出Euler 动力学方程。
4. 证明拉格朗日两大经典关系。
5. 从达朗贝尔方程出发，推导出保守，理想完整约束体系的拉格朗日方程。
6. 试导出质点组关于质心的动能定理。
7. 写出单个质点在柱坐标和球坐标系中的哈密顿函数和正则方程。
8. αββαβαδ==PB PB q p q q ],[,0],[。
9. 证明：对于封闭系统（L 0t∂=∂），系统的哈密顿量H 是守恒量，且分别在稳定约束和不稳定约束两种情况下写出H 的表达式和物理意义。
10. 证明变换：Q = ln(1+ q cos p)， P = 2(1+ q cos p) q sin p 为正则变换。
计算题1. 已知一点作平面运动时, 其速度的大小为常数C, 矢径的角速度大小为常数ω . 求点的 运动方程及其轨迹. 设t=0 时, r=0, θ =0.2. 任意二维光滑曲线y = y(x), 为保证质点在运动中不会脱离曲线的约束, 要求曲线段是 向上凹的. 质点从y=y0 ( y0 任意)高度静止下滑.(1) 试证曲线对质点的约束力223/20N mg[1+y'2(y -y)y'']/(1+y')=+(2) 由此推出椭圆 (22221x y a b+=) 在y ≤ 0 曲线段的约束力422242223/2[3()]/[()]N mgay b a b y b a b y =-+-+-3. 质量为m1 和m2 的两自由质点互相以力吸引, 引力与其质量成正比, 与距离平方成反比, 比例系数为k. 开始时, 两质点皆处于静止状态, 其间距离为a. 试求两质点的距离 为a/2 时它们的速度。
4. 质量为m 的质点位于一光滑水平面上, 此平面以等角速度ω 通过平面上某一点O 的 铅直轴转动. 若质点受O 吸引, 引力为F = －m ω 2 r (r 为质点相对于O 的矢径). 试证 在任何起始条件下, 质点以角速度2ω 走一圆周轨迹。
5. 已知质点受有心力作用，其轨道方程为r=2acos θ，求其所受的有心力F 的表达式（质量m 及角动量常数h 为已知）。
6. 质量为m 的质点在水平面上作直线运动，其初速度为V O ，所受阻力为V k f =，式中V 为质点的运动速度，k 为常数。
试求质点停止运动的位置和时间。
7. 质量为m 的质点放在光滑的水平桌面上，一条轻绳与之相连，并通过桌面上一小孔与另一个质量为3m 的质点相连。
若开始质点以初速V O 垂直于绳运动，而水平桌面上的绳长为a 。
试证明当悬挂点下降a/2时，m 质点的速度为V ＝223o V ag -（用平面极坐标列方程）。
8. 初速度为V O 的船，受到阻力的大小为F ＝kmv 2,式中k 为常数，m 为质量，v 为速度。
问经过多少时间后，速度减为初速的一半。
9. 质量为m 的球受重力作用无初速地在空气中下落，其受到的阻力为f=kmv ，其中k 为常数，v 为速度，求球的运动规律。
10. 在水平面上有一卷链条，其一端用手以恒速V 竖直向上提起，当提起的长度为x 时，求手的提力为多少？11. 均匀软链条堆放在桌边，其线密度为ρ，t=0时，令其一端无初速滑下，不考虑摩檫力，求下滑长度x 与时间t 的关系。
12. 两个大小相同的均质球，每个重P ＝100kg ，放在光滑的斜面与铅垂墙之间，如图所示。
斜面倾角θ＝30°。
球斜面与墙的反作用力。
13. OA 杆以匀角速ω绕oz 轴转动，带动小环M 沿半径为r的圆周运动，求小环的 绝对速度和绝对加速度。
14. 已知两均匀杆质量为m1＝m2＝10kg，长均为1m，用F＝50N的力作用于B点，如图所示，用虚功原理求平衡时θ＝？15.一个质量为m的质点能在半径为a的圆形弯管内无摩擦地滑动，弯管绕竖直直径轴以恒速ω转动，如图所示。
以θ为广义坐标，写出质点m的拉氏函数L。
16．一均匀圆盘, 质量为M, 半径为R, 静止地放在一光滑的平面上, 圆盘中心不固定.质量为m 的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫以匀相对速率u 沿圆盘边缘爬动,(1) 求质心C 与盘心和甲虫间的距离(2) 用三大守恒定律分析系统的守恒情况.(3) 求盘心的平动速率和相对盘心的转动角速度.17．重为P的小环被约束在固定于竖直平面内的光滑大环上运动，已知大环的半径为R，小环的半径不计。
试用拉氏方程求小环滑下的动力学方程及切向18.用绳绕一质量为m半径为r的均质圆盘，松手后圆盘作平面平行运动，试用拉格朗日方程求其质心的加速度及绳的张力。
19.在定滑轮上放一不可伸长的绳，绳一端悬挂一质量为m的小物体，另一端固结在弹簧上，倔强系数k为已知，滑轮可当成质量m1分布在边缘的圆环。
求其振动周期。
20. 质量为m，半径为R的圆柱体自倾角为θ的斜面顶端作无滑动的滚动，试用哈密顿原理求质心的加速度。