六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义

牛吃草问题讲义牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。

一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。

典例评析例1、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头年吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？例3、一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。

请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？牧场上长满牧草，每天都匀速生长。

这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。

问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。

解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。

因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。

新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。

从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。

这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。

我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？设1头牛1天吃的草为1份。

则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。

可供18头牛吃60÷（18-14）=15天例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么，可供11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为一份。

牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20 +4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。

总结：想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。

知识衍变牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走2 0级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。

【思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。

白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行2 0分米，另一只每天爬行15分米。

黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。

那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15米。

蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米所以井深：（20+10）×5=150分米=15米例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。

如果用12人舀水，3小时舀完。

如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。

现在要想在2小时舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键【思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。

那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5小时。

设一台抽水机一小时抽水一份。

则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时思维拓展例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。

解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。

【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。

这群牛原来有多少头？25头。

设每头牛每天的吃草量为1份。

每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（2 7-15）×6=72份。

如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。

所以这群牛原来有200÷8 =25头例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。

每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

第三块草地可供19头牛吃多少天？【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。

例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。

如果有牛21头，几天能把草吃尽？摘录条件：27头 6天原有草+6天生长草23头 9天原有草+9天生长草21头？天原有草+？天生长草小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。

设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。

为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。

由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（27-15）×6=72那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207每天生长草量45÷3=15原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）初中解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，每头牛每天吃草1份。

那么可以列方程：x+6y=27×6x+9y=23×9解得x=72,y=15若放21头牛，设n天可以吃完，则：72+15n=21nn=12例2一水库原有存水量一定，河水每天入库。

5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5台 20天原有水+20天入库量6台 15天原有水+15天入库量？台 6天原有水+6天入库量小学解答：设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90每天入库量(100-90)÷(20-15)=220天入库2×20=40，原有水100-40=6060+2×6=7272÷6=12（台）初中解答：假设原来有的水为x份，每天流进来的水为y份，每台机器抽出的水是1个单位。

那么可以列方程：x+20y=20×5x+15y=6×15解得x=60,y=2若要6天抽完，设n台机器可以抽完，则：60+6×2=6 nn=12巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。

这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。

可供25头牛吃＿＿天。

（）A. 10B. 5C. 20A 假设1头牛1天吃草的量为1份。

每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。

那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。

那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。

（）A. 22B. 23C. 24B假设1只羊1天吃草的量为1份。

每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。