优选第二章线性规划的标准型与单纯形法
第二章单纯形法
s.t.
32x1x133x2x22xx33
100 120
x1, x2, x3 0
CB XB b 0 x4 100 0 x5 120
OBJ = 0 zj cj-zj
40 45 24 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
23110 33201 00000 40 45 24 0 0
求解过程：
序
40 45 24 0 0
基本步骤：
始
确定初试基础可行解
检查是否为
是
最优解？
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
cB
p
' j
c ia
' ij
,
j
m
1,
n;
机会成本
i1
j c j z j, j m 1, n ;
检验数
线性规划问题的典式展开式：
max z cBB1b (cm1 cB pm' 1)xm1 (cj cB p'j )xj
(cn cB pn' )xn
x1 x2
a x ' 1,m1 m1
a1', j xj
a' 1,n
xn
b1'
a x ' 2,m1 m1a2' , xja' 2,n
xn
b2'
xm
a x ' m,m1 m1
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
运筹学复习要点
运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。
二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。
根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。
四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。
如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。
再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。
五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。
无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
第2章 线性规划与单纯形法(2)
max z = 20 x1 + 30 x2 3 x1 + 10 x2 ≤ 150, x1 ≤ 30, x1 + x2 ≥ 40, x1 , x2 ≥ 0.
管
max z = 20 x1 + 30 x2 − Mx6 3x1 + 10 x2 + x3 = 150, x1 + x4 = 30, x1 + x2 − x5 + x6 = 40, xi ≥ 0, i = 1, 2,..., 6
管
理
运
筹
学
4
要注意到人工变量是与松弛、剩余变量不同的。 松弛变量、剩余变量它们可以取零值，也可以取 正值，而人工变量只能取零值。一旦人工变量取 正值，那么有人工变量的约束方程和原始的约束 方程就不等价了，这样所求得的解就不是原线性 规划的解了。为了竭尽全力地要求人工变量为零， 我们规定人工变量在目标函数中的系数为－M， M 这里M为任意大的数。这样为了使目标函数实现 最大就必须把人工变量从基变量中换出。如果一 直到最后，人工变量仍不能从基变量中换出，也 就是说人工变量仍不为零，则该问题无可行解。 以下讨论如何解含有人工变量的线性规划问题
• 由于不存在单位矩阵,在第1,2个约束条件加上 一个人工变量x6,x7,并在目标函数中加上-Mx6Mx7得到的线性规划问题：
max f ' = −2 x1 − 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 − Mx6 − Mx7
x1 + x 2 − x 3 + x 6 = 3 5 0, x1 − x 4 + x 7 = 1 2 5, 2 x1 + x 2 + x 5 = 6 0 0, x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0 .
第二章 线性规划与单纯形法14节
2、标准形式的特征？？？
2018/10/11 10
二、 线性规划的标准形
3、线性规划的标准化方法
（1）把最小化目标函数转化为求最大化问题。 （2）约束条件右端项为负时两边同乘以－1 （3）把约束方程中的不等式转化为等式。具体做法是：对于≤的 情况，引进松弛变量，对于≥的情况，引进剩余变量。 （4）将变量中的非正限制或无限制转化为非负限制。其中，对 于无限制变量的处理：一是同时引进两个非负变量，然后用它 们的差代替无限制变量，即令 二是从约束方程 ' " xk x k xk 中任取一个包含无限制变量的等式约束，解出该变量，并把它 代入目标函数和其他约束方程中去，以消除该无限制变量。
2018/10/11
13
小
结
1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用 例子 2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式和标准形式。 4.
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2018/10/11
图解法
Exit
14
第二节 线性规划的图解法
1.图解法的含义 在直角坐标系中，描绘出约束条件和变量限制的公 共区域，然后通过观察确定符合目标要求的变量的取值。 2.几个概念 （ 1 ）可行解 : 由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的可行解。 （2)可行域:所有可行解的集合，构成线性规划问题的 可行域。 (3)等值线:使目标函数取相等值的所有点的集合，称 为目标函数的等值线。 (4)法向量: 与等值线垂直的向量。分为正法向量和负 2018/10/11 15 法向量。
基：约束系数矩阵A中，m个线性无关的列向量，称为
m维实空间中的一个基。其中，每个列向量称为基向 量，全部基向量构成基矩阵（也可简称为基），剩下 的n-m个列向量称为非基向量，所有的非基向量构成 非基矩阵。
线性规划-单纯形法
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
2 最优化方法-线性规划-单纯形法
自由变量 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；
例5. 化成标准形
等 价 表 示 为
基本解与基变量
其中 满秩假定： m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关 • 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b， 设B是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x 的所有与B无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是 Ax=b关于基B的基本解(basic solution) ，称x中与基B对应 的分量为基变量(basic variables)
进基变量：最小相对费用系数规则；出基变量：最小指标规则！
例1.
化标准形
得标准形的初始表格/第一张单纯形表
转 轴
0
↓
转 轴
-2 ↓
转 轴
-4 ↓ -27/5
最优解： 最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
以
为转轴元，转轴后即得新基对应的数据！
例1
a2进基，计算y2. 计算表格如下：
计算
a1进基，计算y1. 得如下表格：
最优值：
最优解：
利用两阶段单纯形过程求解
实用优化方法
线性规划：单纯形法
线性规划
线性规划：目标函数是线性的，约束条件是 线性等式或不等式
线性规划的历史
• 渊源要追溯到Euler、Liebnitz、Lagrange等
• George Dantzig, Von Neumann(Princeton)和 Leonid Kantorovich在1940’s创建了线性规划
单纯形法标准型
单纯形法标准型单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效方法，它通过不断地移动解向可行域的极端点来寻找最优解。
在实际应用中，线性规划问题往往需要转化为标准型，然后再利用单纯形法进行求解。
本文将对单纯形法标准型进行详细介绍，以便读者能够更好地理解和运用这一方法。
首先，我们来看一下线性规划问题的标准型是如何定义的。
线性规划问题的标准型可以表示为：Max z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ。
Subject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ≤ b₁。
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ≤ b₂。
...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ≤ bₙ。
x₁, x₂, ..., xₙ≥ 0。
其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢⱼ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
接下来，我们将线性规划问题转化为标准型。
对于不等式约束，如果右端常数为负数，则可以通过乘以-1的方式将其转化为非负数。
对于大于等于的约束条件，可以引入松弛变量将其转化为小于等于的形式。
这样，原始的线性规划问题就可以转化为标准型，方便后续的求解。
然后，我们将介绍单纯形法的基本思想和步骤。
单纯形法的基本思想是从一个基本可行解出发，通过不断地移动到更优的基本可行解，直到找到最优解为止。
单纯形法的步骤包括，选择初始基本可行解、确定入基变量和出基变量、计算新的基本可行解、更新目标函数值等。
通过这些步骤，我们可以逐步逼近最优解，并最终找到最优解。
最后，我们需要注意单纯形法的一些特殊情况。
在实际应用中，可能会出现无界解、无可行解或者多个最优解的情况。
针对这些特殊情况，我们需要进行相应的处理，以确保线性规划问题能够得到正确的解。
总之，单纯形法标准型是线性规划问题的一种重要形式，通过将线性规划问题转化为标准型，并利用单纯形法进行求解，我们可以有效地找到最优解。
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
第二章 线性规划及单纯形法
标准形式
目标函数： 目标函数： 约束条件： 约束条件： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，
（一）一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn ≥(=, ≤)b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn ≥(=, ≤)b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn ≥(=, ≤)bm Xj ≥0(j=1,…,n) 0( )
三、线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式
2、约束条件不是等式的问题： 约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi
可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左 边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) (
一、问题提出
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润 0 6 1 2
例1生产计划问题
Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
两种家电各生产多少, 可获最大利润? 两种家电各生产多少, 可获最大利润
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
§2.2单纯形法
Maxz 7 x 12 x
1
Maxz 7 x1 12x2 0x3 0x4 0x5
3) 当模型中有某变量 xk 没有非负要求， 称为自由变量, 则可令 x x x ,x ,x 0
/ // / // k k k k k
化为标准型。 4) 若某个bi<0,两边乘(-1) 5) 对负变量 x j 0 ，换元设 xj x j 0
2. 最优性检验
问题：用什么检验？ —— 目标。
1 1
X 而目标z CX (C C ) C (B b B N X ) C X X C B b (C C B N ) X
记 C C B N，则当 0 时，当前基可行解为最 优。
1
方法：计算每个变量 x 的检验数 c C B P ,
1
若 0, 则当前解为最优；否则 非最优。
问题：非最优的特征为何？
至少有某个检验数 0。
3. 寻找更好的基可行解（换基迭代） （基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行 解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此， 本步骤也称为基变换。 进基
1 1 1 1
360 90 4
[ ] 中表示进基列与出基行的交叉元，下一张表将实行以它为主 元的初等行变换（称高斯消去）。方法是：先将主元消成1，再用此1将 其所在列的其余元消成0。
特点： (1) 目标函数求最大值 (2) 约束条件都为等式方程； (3) 非负约束：决策变量xj为非负； 右端常数项bi非负。
标准型的矩阵表示：
Maxz CX AX b s.t. X 0
其中，A 的秩为m（m n） , b 0。
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营的目标。
例１ 某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素 。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每周 可提供的资源总量如下表所示：
维生素（公斤） 设备（台班）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
每周资源总量
• 发展历程
成
发
熟
展
产
萌
生
芽
二
二
五
七
战
战
六
八
以
期
前
间
十 年 代
十 年 代
运筹学的性质与特点
• 引入数学方法解决实际问题 --定性与定量方法结合
• 系统与整体性 --从全局考察问题
• 应用性 --源于实践、为了实践、服务于实践
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
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已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据 市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂应如何安 排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？
维生素（公斤） 设备（台班） 单位利润（万元）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
5
２
每周资源总量
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定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数 。
目标：使总成本
Z=3x1+2x2 极小化
约束：配料平衡条件， x1+x2=1
产品中A、B、C三种化学成分的最低含量
非负性条件
12x1+3x2≥4 2x1+3x2≥2 3x1+15x2≥5 x1≥0,x2≥0
化学成分原料
化学成分含量（%） 产品中化学成分的最低含量（%
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数学模型为
s.t. （subject to) (such that)
maxZ=5x1 +2x 2
30x1 20x2 160 5xx1 14x2 15 x1 0, x2 0
➢ 这是一个如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大 的数学规划问题。
➢ 在满足一组约束条件的限制下，寻求决策变量x1，x2的决策值，使 目标函数达到最大值。
运筹学的学科地位
运筹学
基础理论
应用理论
应用技术
1 在数学学科中的地位 运筹数学
1 在系统科学中的地位 系统工程
1 在管理科学中的地位 管理与运筹学
1 与经济学的关系 问题与方法
1 与工程科学的关系 方法与应用
1 与计算机科学的关系 核心算法与工具
教学计划与方法
• 教学计划
数学规划以线性规划和整数规划及动态规划为讲授重 点，组合优化部分主要讲图与网络优化，而随机优化 讲授排队论部分作为选讲内容。
• 多分支 --问题的复杂和多样性
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
库存论 决策分析
可靠性分析
运筹学的发展趋势
• 成熟的学科分支向纵深发展 • 新的研究领域产生 • 与新的技术结合 • 与其他学科的结合加强 • 传统优化观念不断变化
例２ 某化工厂根据一项合同要求为用户生产一种用甲、乙两种原料 混合配制而成的特种产品。已知甲、乙两种原料都含有A、B、C三种 化学成分，两种原料分别所含三种化学成分的百分比含量，以及按合 同规定的产品中三种化学成分的最低含量如下表所示：
原料 化学成分
A B C
化学成分含量（%）
甲
乙
12
3
2
3
3
15
产品中化学成分的最低含量 （%）
4 2 5
已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤3元和2元，厂方希望总 成本达到最小，问如何配置该产品？
化学成分原料
化学成分含量（% 产品中化学成分的最低含量
）
（%）
甲
乙
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
单位成本（元） ３
２
定义x1，x2分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量，
Mathematical Model of LP
Graphical Method
Standard form of LP
Basic Concepts Simplex Method
2.1 数学模型 Mathematical Model
问题的提出：
在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“ 最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
优选第二章线性规划的标准型 与单纯形法
运筹学概况
➢运筹学的由来与发展 ➢运筹学的性质与特点 ➢ 运筹学的主要内容 ➢运筹学的发展趋势 ➢运筹学的学科地位
运筹学的由来与发展
• 名称的由来
Operation Research
运筹帷幄 “史记” 运作研究
目标： 使总利润
Z=5x1+2x2 极大化
约束： 每周资源总量的限制， 30x1+20x2≤160
5x1+ x2 ≤15
甲种药品每周产量不应超过4吨的限制
x1≤4 计划生产数不可能是负数， x1≥0 x2≥0
维生素（公斤） 设备（台班） 单位利润（万元）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
5
２
每周资源总量
• 教学方法
以授课为主，讲课中主要培养用最优化方法解决实际 问题的能力。
考试与要求
• 考核内容及方式
理论方法—期末考试 60%
理论方法—期中考试 20%
平时成绩
20%
参考资料
• 韩伯棠，管理运筹学， 高等教育出版社，北京，2000年
• 徐光辉等，运筹学手册， 科学出版社，北京，1999年
• 胡运权等，运筹学教程， 清华出版社，北京，1998年
• 刘家壮，王建方，网络最优化， 华中工学院出版社，武汉，1987年
• 管梅谷，郑汉鼎，线性规划， 山东科学技术出版社，济南，1983年
运筹学
Operations Research
Chapter 2 线性规划
Linear Programming
2.1 LP的数学模型 2.2 图解法 2.3 标准型 2.4 基本概念 2.5 单纯形法
有限资源的合理配置有两类问题： 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
与规划问题有关的数学模型总有两部分组成： 约束条件：反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必
须完成的任务；