特征方程法求解数列通项的依据

特征方程法求解递推关系中的数列通项

湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿

考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列的项满足

其中求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即

，其中是以为公比的等比数列，即.

证明：因为由特征方程得作换元

则

当时，，数列是以为公比的等比数列，故

当时，，为0数列，故（证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

例1已知数列满足：求

解：作方程

当时，数列是以为公比的等比数列.于是

例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.

当取何值时，数列是常数数列？

解：作方程则

要使为常数，即则必须

现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.

将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.

定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.

（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，

若则

若，则其中特别地，当存在使

时，无穷数列不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中

证明：先证明定理的第（1）部分.

作交换

则

①

∵是特征方程的根，∴

将该式代入①式得②

将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是

③

当，即=时，由②式得故

当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：

④

由是方程的两个相同的根可以求得

∴

将此式代入④式得

令则故数列是以为公差的等差数列.

∴

其中

当时，

当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.

再证明定理的第（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换

故，将代入再整理得

⑤

由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故

故所以由⑤式可得：

⑥

∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程

与方程又是同解方程.

∴

将上两式代入⑥式得

当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有

当即时，上式也成立.

由且可知

所以(证毕)

注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.

现在求解前述例3的分类递推问题.

解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的

根，使用定理2的第（2）部分，则有

∴

∴

即

例4已知数列满足：对于都有

（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

解：作特征方程

变形得

特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.

（1）∵对于都有

（2）∵

∴

令，得.故数列从第5项开始都不存在，

当≤4，时，.

（3）∵∴

∴

令则∴对于

∴

（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列

是存在的，当时，则有令则得

且≥2.

∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.

于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.

2010-12-21 人教网