特征根法求数列通项

特征根法在求递推数列通项中的运用

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：

（08年广东高考）设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………

2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4

1

=

q ，求数列{x n }的前n 项的和s n (09年江西高考)各项均为正数的数列{}n a 中

都有的正整数且对满足q p n m q p n m b b a a ,,,,,11+=+==，

=+++)1)(1(m n m

n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++，

1）当时，求通项5

4

,21==

b a n a 。 像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。 类型一、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）。 先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，其中21,x x 满足

⎩⎨

⎧-==+q

x x p

x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根。

1） 如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式。 2）

如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比。公比为2x ，

所以1

211211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成：

)(1122

2

211

2

1a x a x a x x x a n n

n n -=-

--+， ( I )又如果21x x =，则{1

2

1-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，

所以

))(1(1

11221

2

1a x a n a x a n n --+=

-+，即：1

211221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a 122

11222])()2([

---+=n n x x a x a n x a a 可以整理成通式：1

2)(-+=n n x Bn A a Ii)如果21x x ≠，则令

11

2

1+-+=n n n b x a ，

A x x =2

1

，B a x a =-)(112,就有 B Ab b n n =-+1，利用待定系数法可以求出n b 的通项公式

2

12

11212121221)()()1(x x x a x a x x x x x x a b n n -----=

-

所以2

22

1211212121221])()()1([

-------=n n n x x x x a x a x x x x x x a a ，化简整理得：

1

22

1211112121)1(----+--=

n n n x x x a x a x x x x a a ，

小结特征根法：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方

程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由

βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得

到关于A 、B 的方程组）。

简例应用（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，

b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 3

2

,121=

=x x , ∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-⋅+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩

⎪

⎨

⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用：

设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，数列{x n }满足x 1=p,x 2=p 2-q,x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……) 1）……………

2）求数列{x n }的通项公式。 3）若1=p ，4

1

=

q ，求数列{x n }的前n 项的和s n 解：2）显然x n =px n-1-qx n-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x 2-px+q=0，而α、β是方程x 2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设： ⑴ 当α=β时，设1)(-+=n n Bn A x α，因为x 1=p,x 2=p 2-q ，所以

⎩⎨⎧-=+=+q p B A p B A 2

)2(α 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=ααααp q P B q P P A 222 ∴=

n x 222})(2{---++-n n p q p q p p ααα