极坐标系
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坐标系：就是一个参照系，它是 实现几何和代数形式互相转化的 基础。
实数x
数轴的点
有序实数（x,y)
平面直角坐标系的点
有序实数对(x,y,z) 空间直角坐标系的点
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
请问：去连州汽车站 怎么走？
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
精神病！
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
画出点 （3，/4） 和（－3，/4） M
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的上取一点M，使
O
OM= 3
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点 M，使OM= 3
O
M
P
X P
X
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角 找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值 在这条射线或其反向延长线上描点。
x
极化直：x cos , y sin
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) 极坐标 (4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0) (3, )
直角坐标 (3, 3 ) ( 3,1) (5,0)
极坐标 (2 3, 5 ) (2, 7 ) (5,0)
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也
就是说它们是终边相同的角。
点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=
2.负极径的实例
在极坐标系中画出点
M
(3, )
4
的位置.
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3
P
= /4
O
X
M (3, )
说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
60m A教学楼
B体育馆
从这里向南走 2000米就到了
请问：去西华三 高怎么走？
好心人
问路人
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向南走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
4
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3,
)重合
的点是(C )
A.(3, C. (3,
6Baidu Nhomakorabea
－
)
5
6
)
6
B. (－3, － 6 )
5
D. (－3, － 6 )
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称
的点是( D )
A.(－ρ,θ)
B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
点M的极角，有序数对（，
）就叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
特别规定： 当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意值。
6
6
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
, 关于极轴所在直线对称的点为 ,
,
关于极点对称的点为 ,
2、已知极坐标系中两点
P(3,
)
Q(2, ), 如何求线段|PQ|的长？ 6
2
,
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 )
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
思考？
平面内一点P的直角坐标是( 3,1)，其极
坐标如何表示?点Q的极坐标为(5, 2 )，
其直角坐标如何表示？
3
答案：P(2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
22
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
P M
而反向延长也可以看成 O
是旋转 ，因此，所谓“负
极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，
用“负”表示“反向 ”。
O
M
X P
X
练习：写出点（6，6 ）的负极径的极坐标
答：（－6， +π） 或（－6，－ 11 +π）
A(3, 0)
B(6, 2 )
C(3, )
2
4
D(5, )
5
E(3, )
F (4, )
3
6
5
G(6, ) 3
5
6
E
F
2
C A
O
4
B X
D
G
4
5
3
3
四、负极径
1.负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P
3. 在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的
6
点 的一个坐标是（ A )
A.(8, 6 ) C. (－8, 5 4.已知点Q（,6
B. (8, －
5
6
)
) D.(－8, － 6 )
),分别按下列条件求出点P的极坐标。
(1)P是点Q关于极点O的对称点；
(2)P是点Q关于直线＝
的距离公式：| PQ | 12 22 212 cos(1 2 )
四、拓展：
1、在极坐标系中,O是极
点，设点A(4,
)， B(5, 5
)，
3
6
则△OAB的面积是___5___，
A
|AB|= 41 20。3
O
x
B
（2）在极坐标系中，与点 (3, ) 关
3
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
2
的对称点。
极轴呢？
(1)(－ρ,θ) (2) (－ρ,－θ)或(ρ, π-θ) （3） (ρ,－θ)
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极径有正有负；极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
有。（ρ，2kπ+θ）
四、课堂练习
1.已知极坐标 M(5, 4 ),下列所给出的 不能表示点M的坐3标的是( C )
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为 A(2, ),B(
3
2, ),
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
精神病！
从这向南 2000米。
请问：去连州汽车站 怎么走？
QQ:261772045 E-mail：ygenglu@163.com
右图为某校园的平面示意图。 D实验楼
C图书馆
假设某同学在教学楼处，
请回答下列问题：
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
（2）如果有人打听体育馆办公楼E 45°
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他 表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
极径相同，不同的是极角
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
3、关于负极径的思考
？？？
“负极径”真是“负”的？
根据极径定义，极径是距离，当然是正 的。现在所说的“负极径”中的“负”到底 是什么意思？
把负极径时点的确定过程，与正极径时 点的确定过程相比较，看看有什么相同，有 什么不同？
4、正、负极径时，点的确定过程比较
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
M
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用
表示线段OM的长度，用
表示从OX到OM 的角度，
M
叫做点M的极径， 叫做
3,
3
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的
两个顶点A(2, ), B(2, 5 ) ，则顶点C的
坐标是＿＿＿＿4 ＿＿。4
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
2、已知极坐标系中两点 P(3, )，Q(2, ),
如何求线段|PQ|的长？ 6
2
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 ) 的距离公式：| PQ | 12 22 212 cos(1 2 )
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
五、极坐标系下点的极坐标
P
探索点M（3，/4）的
M
所有极坐标
O
X
[1]极径是正的时候： 3，2k
4
[2]极径是负的时候：（ 3，2k )
实数x
数轴的点
有序实数（x,y)
平面直角坐标系的点
有序实数对(x,y,z) 空间直角坐标系的点
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
请问：去连州汽车站 怎么走？
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
精神病！
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
画出点 （3，/4） 和（－3，/4） M
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的上取一点M，使
O
OM= 3
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点 M，使OM= 3
O
M
P
X P
X
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角 找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值 在这条射线或其反向延长线上描点。
x
极化直：x cos , y sin
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) 极坐标 (4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0) (3, )
直角坐标 (3, 3 ) ( 3,1) (5,0)
极坐标 (2 3, 5 ) (2, 7 ) (5,0)
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也
就是说它们是终边相同的角。
点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=
2.负极径的实例
在极坐标系中画出点
M
(3, )
4
的位置.
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3
P
= /4
O
X
M (3, )
说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
60m A教学楼
B体育馆
从这里向南走 2000米就到了
请问：去西华三 高怎么走？
好心人
问路人
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向南走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
4
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3,
)重合
的点是(C )
A.(3, C. (3,
6Baidu Nhomakorabea
－
)
5
6
)
6
B. (－3, － 6 )
5
D. (－3, － 6 )
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称
的点是( D )
A.(－ρ,θ)
B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
点M的极角，有序数对（，
）就叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
特别规定： 当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意值。
6
6
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
, 关于极轴所在直线对称的点为 ,
,
关于极点对称的点为 ,
2、已知极坐标系中两点
P(3,
)
Q(2, ), 如何求线段|PQ|的长？ 6
2
,
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 )
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
思考？
平面内一点P的直角坐标是( 3,1)，其极
坐标如何表示?点Q的极坐标为(5, 2 )，
其直角坐标如何表示？
3
答案：P(2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
22
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
P M
而反向延长也可以看成 O
是旋转 ，因此，所谓“负
极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，
用“负”表示“反向 ”。
O
M
X P
X
练习：写出点（6，6 ）的负极径的极坐标
答：（－6， +π） 或（－6，－ 11 +π）
A(3, 0)
B(6, 2 )
C(3, )
2
4
D(5, )
5
E(3, )
F (4, )
3
6
5
G(6, ) 3
5
6
E
F
2
C A
O
4
B X
D
G
4
5
3
3
四、负极径
1.负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P
3. 在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的
6
点 的一个坐标是（ A )
A.(8, 6 ) C. (－8, 5 4.已知点Q（,6
B. (8, －
5
6
)
) D.(－8, － 6 )
),分别按下列条件求出点P的极坐标。
(1)P是点Q关于极点O的对称点；
(2)P是点Q关于直线＝
的距离公式：| PQ | 12 22 212 cos(1 2 )
四、拓展：
1、在极坐标系中,O是极
点，设点A(4,
)， B(5, 5
)，
3
6
则△OAB的面积是___5___，
A
|AB|= 41 20。3
O
x
B
（2）在极坐标系中，与点 (3, ) 关
3
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
2
的对称点。
极轴呢？
(1)(－ρ,θ) (2) (－ρ,－θ)或(ρ, π-θ) （3） (ρ,－θ)
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极径有正有负；极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
有。（ρ，2kπ+θ）
四、课堂练习
1.已知极坐标 M(5, 4 ),下列所给出的 不能表示点M的坐3标的是( C )
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为 A(2, ),B(
3
2, ),
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
精神病！
从这向南 2000米。
请问：去连州汽车站 怎么走？
QQ:261772045 E-mail：ygenglu@163.com
右图为某校园的平面示意图。 D实验楼
C图书馆
假设某同学在教学楼处，
请回答下列问题：
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
（2）如果有人打听体育馆办公楼E 45°
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他 表达式。
O
思：这些极坐标之间有何异同？
M X
极径相同，不同的是极角
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
3、关于负极径的思考
？？？
“负极径”真是“负”的？
根据极径定义，极径是距离，当然是正 的。现在所说的“负极径”中的“负”到底 是什么意思？
把负极径时点的确定过程，与正极径时 点的确定过程相比较，看看有什么相同，有 什么不同？
4、正、负极径时，点的确定过程比较
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
M
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用
表示线段OM的长度，用
表示从OX到OM 的角度，
M
叫做点M的极径， 叫做
3,
3
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的
两个顶点A(2, ), B(2, 5 ) ，则顶点C的
坐标是＿＿＿＿4 ＿＿。4
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
2、已知极坐标系中两点 P(3, )，Q(2, ),
如何求线段|PQ|的长？ 6
2
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 ) 的距离公式：| PQ | 12 22 212 cos(1 2 )
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
五、极坐标系下点的极坐标
P
探索点M（3，/4）的
M
所有极坐标
O
X
[1]极径是正的时候： 3，2k
4
[2]极径是负的时候：（ 3，2k )