极坐标系
极坐标系
• 例 4. 化ρ=-4sinθ+cosθ 为直角坐标方程 θ θ
• 例 4. 化ρ=-4sinθ+cosθ 为直角坐标方程 θ θ 注意整体替代。把原极坐标方程两边同乘ρ 注意整体替代。把原极坐标方程两边同乘ρ • ρ2 =-4 ρsinθ + ρcosθ ， ρ2 =x2+y2 ， θ θ • ρcosθ = x， ρsinθ = y，它的直角坐标方程 θ ， θ ， 1 17 2+y2=-4y+x ⇒ (x- —)2+(y+2)2= —— • 是x 2 4 • 在直角坐标系 在直角坐标系xoy中,方程表示的是以 1 ，-2) 方程表示的是以(—， 中 方程表示的是以 2 y √17 为半径的圆。 为圆心 ，— 为半径的圆。 2 o
· O ·
、 、 的位置关系。
·
x
·
一般地，如果 是一个点的极坐 标，那么 、 都可以 作为它的极坐标 。 如果限定 ， ，那么 除极点外，平面内的点和极坐标可以一 一对应。 不作特殊说明时，认为 。
极坐标
二、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
一.极坐标系和点的极坐标 1、引入
y
•
M y x
5π 6
3π 4
2π 3
π
2
π
3
π
4
π
6
O x N
π
7π 6 5π 4 4π 3
·M o
x
3π 2
7π 5π 4 3
极坐标系知识点
极坐标系知识点关键信息项：1、极坐标系的定义2、极坐标的表示方法3、极坐标与直角坐标的转换公式4、极坐标系中的曲线方程5、极坐标系下的面积计算6、极坐标系在物理学和工程学中的应用11 极坐标系的定义极坐标系是一个二维坐标系，在平面内取一个定点 O，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点 M，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对（ρ,θ) 就叫点 M 的极坐标。
111 极坐标系的特点极坐标系中的点与极径和极角一一对应。
但极角的取值范围一般规定在0, 2π) 内。
112 极坐标系与直角坐标系的区别直角坐标系通过横坐标和纵坐标确定点的位置，而极坐标系通过极径和极角来确定点的位置。
12 极坐标的表示方法点 M 的极坐标可以表示为（ρ,θ)，其中ρ 为正数时，表示点 M 在极轴的逆时针方向上与极点 O 的距离为ρ；ρ 为负数时，表示点 M 在极轴的顺时针方向上与极点 O 的距离为｜ρ|。
121 极坐标的多值性由于极角的周期性，同一个点在极坐标系中的表示不唯一。
13 极坐标与直角坐标的转换公式设点 M 的直角坐标为（x, y)，极坐标为（ρ,θ)，则有：x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθρ² ＝ x²＋ y²tanθ ＝ y ／ x （x ≠ 0）131 转换公式的应用通过这些公式，可以在极坐标和直角坐标之间进行相互转换，便于解决不同类型的问题。
14 极坐标系中的曲线方程常见的极坐标曲线方程有：圆：ρ ＝ a （以极点为圆心，a 为半径的圆）直线：θ ＝α （过极点且与极轴夹角为α 的直线）141 特殊曲线的极坐标方程推导例如，对于圆心在（a, 0) 且半径为 a 的圆，其极坐标方程为ρ ＝2a cosθ。
15 极坐标系下的面积计算对于由极坐标曲线围成的区域，其面积可以通过积分来计算。
极坐标系怎么理解
极坐标系怎么理解什么是极坐标系？极坐标系也称为极坐标系统，是一种用于描述平面上点的系统。
与常用的直角坐标系不同，极坐标系使用距离和角度两个参数来确定点的位置。
在极坐标系中，每个点都可以通过一个距离值（r）和一个角度值（θ）来表示。
在直角坐标系中，我们使用x轴和y轴来定位一个点，其中x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
而在极坐标系中，我们选择一个原点作为参考点，从该点出发，使用一个长度为r的射线来表示距离，射线的方向则由与正x轴之间的夹角θ来决定。
极坐标系的转换公式要从直角坐标系转换为极坐标系，我们可以利用一组简单的公式：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，sqrt表示开平方根的操作，arctan表示反正切函数。
这组公式可以根据给定的x和y坐标计算得出对应的r和θ值。
通过这样的转换，我们可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点。
极坐标系的特点和优势极坐标系相比直角坐标系具有一些独特的特点和优势。
首先，极坐标系更加直观和直观。
通过使用距离和角度这两个可视化参数，我们可以更容易地理解和描述点之间的相对位置和方向。
例如，在极坐标系中，我们可以直接通过角度的大小判断两个点之间的方向关系。
其次，极坐标系在某些情况下更加简洁和方便。
对于一些对称图形和周期性运动的描述，极坐标系常常可以提供更加简洁的表达方式。
例如，描述一个圆形可以仅通过一个参数r来实现，而不需要在直角坐标系中同时指定x和y的值。
此外，极坐标系也有一些特殊的应用场景。
在物理学、工程学和极坐标应用模型中，极坐标系常常被用于描述旋转运动、波动现象和电场分布等问题。
在这些领域中，极坐标系的使用可以简化问题的描述和计算过程。
极坐标系的局限性和注意事项尽管极坐标系具有一些独特的优势和应用场景，但也存在一些局限性和注意事项。
首先，极坐标系并不适用于所有场景。
在某些情况下，直角坐标系仍然是更为合适的选择。
例如，在需要精确描述点的位置和方向的情况下，直角坐标系的数学计算更加简单并且易于理解。
极坐标
化为
直角坐标方程. 解
方程变形为 r ( 2 sin 3 cos ) 1 ,
2 r sin 3 r cos 1 ,
2 y 3 x 1.
14
求圆心在(1,0)点,半径为2的圆的极坐标方程. 解 圆心在(1,0)极点,半径为2的圆的直角坐标方程为
( x 1) y 4
§1.3 极 坐 标
一、极坐标系
二、极坐标与直角坐标的互化
三、曲线的极坐标方程
1
一、极坐标系
1. 极坐标系的建立 在平面内取一个定点o，叫做极点, 引一条射线Ox，叫做极轴. 再选定一个长度单位和角度单 位及它的正方向（通常取逆时 针方向）. 这样就建立了一个极坐标系.
o
x
2
2. 极坐标
P ( r , )
r2 x2 y2 y tan ( x 0) x
2. 直角坐标方程与极坐标方程与的互化 直角坐标方程化为极坐标方程; 简单的极坐标方程化为直角坐标方程. 3. 简单的极坐标方程会画略图.
26
作业
习题1-3 1. 2. 3 (24页)
27
笛卡儿 (1596～1650)
7 6
.
M ( 2,
7 6
)
9
三、曲线的极坐标方程
定义 如果曲线L上的点与方程 (r,)=0有如下关系 (1) 曲线L上任一点的坐标符合方程 (r,) = 0 ； (2)方程 (r,) =0的所有解为坐标的点都在曲线L上. 则曲线 L 的极坐标方程是 (r,) =0 .
28
华罗庚(1910～1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
极坐标系的基本概念
极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它以点到原点的距离和点与正半轴的夹角来表示点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标系更适用于描述圆形或球形的几何问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念及其在数学和物理中的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系用两个数表示点的位置，分别是极径和极角。
极径表示点到原点的距离，用正实数表示；极角表示点与正半轴的夹角，以弧度为单位。
在极坐标系中，原点表示极径为0的点，也是极角为任意值的点。
在直角坐标系中，一个点的位置由X坐标和Y坐标确定，即(x,y)。
而在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ确定，即(r,θ)。
二、极坐标系与直角坐标系的转换公式在极坐标系和直角坐标系之间，可以通过一些公式进行坐标的转换。
1. 从直角坐标系到极坐标系的转换：极径r可以通过以下公式计算：r = √(x² + y²)极角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(y/x)，其中arctan为反正切函数。
2. 从极坐标系到直角坐标系的转换：X坐标可以通过以下公式计算：x = r * cos(θ)，其中cos为余弦函数。
Y坐标可以通过以下公式计算：y = r * sin(θ)，其中sin为正弦函数。
三、极坐标系的应用极坐标系在数学和物理中有着广泛的应用。
1. 极坐标方程一些图形在直角坐标系中难以描述，而在极坐标系中可以用较简单的方程表示。
例如，圆的方程在极坐标系中可以表示为 r = a，其中a为圆的半径。
其他曲线如椭圆、双曲线等也可以用极坐标方程表示。
2. 极坐标系中的积分在计算一些特殊曲线的弧长、曲面积分和体积等问题时，极坐标系更加方便。
利用极坐标系进行积分计算可以简化问题并提高计算效率。
3. 物理中的应用极坐标系在力学、电磁学、流体力学等领域都有广泛应用。
例如，在描述质点的运动轨迹时，如果运动轨迹呈现出旋转或对称性，极坐标系更适用于描述和分析。
结语极坐标系作为一种描述平面上点位置的坐标系，具有简洁、直观的特点，被广泛应用于数学和物理学科中。
极坐标系
极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
图1。
极坐标系
不做特殊说明时,≥0,∈R
当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值
3 4 5 6
2
2
C
4
6
M
E D O B
P
A X
3 M (5, 4 ) 5 N(3.5, 3 )
P(3, 6 )
N
F
G
4 3
5 3
探讨： 在同一极坐标系中,有如下极坐标： 1：这些极坐标之间有何异同？
( 3,0)
( 3, )
( 3, 3 ) ( 3 ,1) (5,0)
5 (2 3 , ) 6
7 ( 2, ) 6
(5,0)
例2：已知两点 A(2, ) ， B(3, ) 3 2 求两点间的距离。 B 解： AOB A 6
用余弦定理求 AB的长即可。 o x
小结1、极坐标系的建立 Nhomakorabea表示 2、极坐标平面上的点与其极坐标对 应时应注意的几个方面 3、极坐标与直角坐标的互化公式
4, , 4, 2 , 4, 4 , 4, 2 6 6 6 6
2：这些极角有何关系？ 3：这些极坐标所表示的点有什么关系?
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) 利用三角函数、勾股定理 的知识，写出x、y 、ρ、 θ之间的关系。
§1.2.1极坐标系
Y
y
· M (x，y)
O
x
X
极坐标是用“距离”和“角度”来刻画平面上 点的位置的坐标形式。极坐标与平面直角坐 标系一样都是刻画点的位置和运动的参照物。 因此比较这两种坐标系，可以获得点与坐标 之间对应关系的整体认识。
极坐标系 课件
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及
进行求解.
tan = ( ≠ 0)
解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标
tan = ( ≠ 0).
名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.
极坐标系
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2
极坐标系 课件
将点的直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)；(3)(32π，32π)． 【思路探究】 利用公式 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但 求角 θ 时，要注意点所在的象限．
【自主解答】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝yx＝－ 3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π. ∴点的直角坐标(－2,2 3)化为极坐标为(4，23π)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝yx＝－ 33，θ∈[0,2π)， 由于点( 6，－ 2)在第四象限， ∴θ＝116π. ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为(2 2，116π)．
(3)∵ρ＝ x2＋y2＝ 32π2＋32π2＝3 22π，tan θ＝xy＝1， θ∈[0,2π)．
直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标 (限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为 B(2，－π3)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点
在第几象限． (1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－π3)；(4)(2，－2)． 【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsionsθθ ―→点
的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．
极坐标系
数学理论
5. 点与它的极坐标的对应情况 极坐标平面内的点和它的极坐标一一对应吗 极坐标平面内的点和它的极坐标一一对应吗? 极坐标一一对应 1.给定（ 1.给定（ρ,θ）,能确定唯一的一点M. 给定 能确定唯一的一点M. 2.给定一点M，却有无数个极坐标与之对应. 2.给定一点M 却有无数个极坐标与之对应. 给定一点 原因在于：极径有正有负； 原因在于：极径有正有负；极角也可以取任 意正角或负角. 意正角或负角. 如果限定ρ≥0,0≤θ＜ 如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 限定ρ≥0,0≤θ 那么平面上的点 除极点) 极坐标一一对应 一一对应了 那么平面上的点(除极点)就与极坐标一一对应了.
数学理论 1.极坐标系的定义 1.极坐标系的定义 在平面内取一个定点O 叫做极点. 在平面内取一个定点O，叫做极点. 极点 引一条射线OX，叫做极轴. 引一条射线OX，叫做极轴. OX 极轴 再确定一个长度单位和计 再确定一个长度单位和计 长度单位 角度的正方向（ 算角度的正方向（通常取 逆时针方向） 逆时针方向）. 这样就建立了一个极坐标系 极坐标系. 这样就建立了一个极坐标系.
数学应用 例1：写出下图中各点的极坐标 ： 解：图中各点的 C 极坐标分别为 D B E
π A(4,0) B(2, 4 )
12
π
O 1
G F
A
x
5π C(4, ) D(5, ) 2 6 4π E(3,π ) F(5, ) 3 5π G(3, ) 3
π
数学应用
例2：在极坐标中 ：在极坐标中,
5 π , (1)已知两点 P(5, π ), Q(1 ) ,求线段 的长度 求线段PQ的长度 已知两点 求线段 的长度; 4 4 π (2)已知点 的极坐标为 (ρ, θ ),且 θ = , ρ ∈ R ,说 已知点M的极坐标为 已知点 且 说 3 明满足上述条件的点M的位置 的位置. 明满足上述条件的点 的位置
极坐标系课件
x=ρcos , y=ρsin
互化公式的三个前提条件： (限定ρ≥0,0≤θ＜2π)
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
数学运用
例1、把下列点的极坐标化 成直角坐标：
（1）M（8，2 ） （2） （6，7 ）
3
4
练习： 已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
D（0，-2）， E（-3，-3） 总结：点的直角坐标化成极坐标的步骤，极角是 如何确定的？
数学运用
例3 已知两点A(2,π/3),B(3,π/2)，求AB两
点间的距离.
B
A
o
x
A (3, )
6
B (2, ) 2
C (1, )
2
D ( 3 , ) E (2, 3 )
24
4
数学运用
例2. 把下列点的直角坐标化成极坐标：
(1)P( 6, 2) （2）Q( 6, 2);
(3)R( 2, 2) (限定ρ≥0,0≤θ＜2π)
练习2: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A（3,- 3），B（1， 3 ）, C（5，0），
极坐标系(2)
问题情境
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标 系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系 描述比较方便
问题1: 极坐标系是怎样定义的?
问题2: 极坐标系与直角坐标系有何异同?
问题3: 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3)，
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐 标系中取相同的长度单位。
极坐标系 课件
约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x y
cos sin
，或
2 tan
x2
y2， y. x
5. ① ② ③两种坐标系的单位长度相同.
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
(4,0)
2，π 4
3，π 2
(2)回答下列问题： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？
答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多 值性引起
极坐标系
1．极坐标系的建立 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．
极坐标系
极坐标系（重定向自极坐标）在数学中，极坐标系是一个二维坐标系统。
该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。
极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。
在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。
对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
历史主条目：三角函数的历史众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。
天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC ）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。
并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。
在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。
希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。
关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。
格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。
圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。
卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。
布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。
在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（Method of Fluxions ）一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。
牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。
在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum ）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。
极坐标系
1.极坐标系的概念（1）在平面内取一定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
极坐标系的要素：极点、极轴、长度单位，角度单位和它的正方向。
极坐标系的五要素缺一不可。
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离，|OM|叫做点M 的 极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 极角，记为θ.有序数对（ρ，θ）叫做点M 的极坐标，记为M （ρ，θ）．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．（2）点的极坐标点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与 (ρ，θ＋ 2kπ) (k ∈Z)表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．2.点的极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为_极点_，x 轴的正半轴作为_极轴_，并在 两种坐标系中取相同的_长度单位_，如图所示．(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝__________y ＝__________ ρ2＝________tan θ＝y x （x ≠0）在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．3.直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.（2）过垂直于极轴的直线：4. 圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，，以为直径的圆：注意：（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．（2）点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋ 2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z)．在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．（3）联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带。
极坐标系 课件
ρ
;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做
点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
名师点拨
(1)极点的极坐标:
极点的极径ρ=0,极角θ可以是任何实数.所以极点的极坐标为(0,θ)(θ∈R),也就
是说极点有无数个极坐标.
= cos,
.
= sin
做一做2
将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(
)
A.(π,0) B.(π,2π)
C.(-π,0) D.(-2π,0)
解析:x=πcos(-2π)=π,y=πsin(-2π)=0,所以极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(π,0).
答案:A
做一做3
将点的直角坐标(-2,2 3)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是(
11π
A. 2,− 6
13π
B. 2, 6
11π
C. 2, 6
23π
D. 2,− 6
)
思路分析:在极坐标系中,终边相同的角可以表示为α=2kπ+θ(k∈Z).极径相等、
极角的终边相同的点为同一个点.
π
π
11π
解析:与极坐标 2, 6 相同的点可以表示为 2, 6 + 2π (k∈Z),只有 2, 6 不
π
ቁ(k∈Z),只有B满足.
3
答案:B
探究三极坐标与直角坐标的互化
= cos,
将极坐标化为直角坐标,只需利用公式ቊ
已知点的直角坐标求极坐标时,
= sin;
关键是确定θ的值,此时要注意点在平面直角坐标系中的位置及θ的取值范围.
极坐标系定义
极坐标系定义
极坐标系是一种用来描述平面上点的坐标系统。
它由两个数
值组成，分别是极径和极角。
在极坐标系中，每个点可以通过一个有序对(r,θ)来表示，其
中r表示点到原点的距离，即极径，θ表示点与正向极轴的夹角，即极角。
极径是一个非负数，它可以是实数或者正无穷大。
而极角是
一个弧度数，它的取值范围通常是[0,2π)或者(π,π]。
极轴是极坐标系中一个特殊的直线，通常与正x轴重合。
在极坐标系中，一个点的坐标可以有不同的表示方法，例如(r,θ)，(r,θ+2kπ)，(r,θ+360°)，其中k是整数。
这是因为极角的定义具有周期性。
极坐标系的优点是可以方便地描述环形结构和对称性。
例如，圆的方程在极坐标系中变为简单的r=constant的形式，而直
线在极坐标系中通常会变为一个斜线。
在极坐标系中，坐标变换与直角坐标系相比较复杂，因此在
实际应用中，一般会选择最方便的坐标系来描述问题。
但对于
一些特殊的情况，如天文学中描述星体的运动轨迹、电力工程
中描述电场分布等，极坐标系仍然是一种重要的工具。
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示
极坐标系认识极坐标系和极坐标的表示极坐标系是一种在数学和物理中常用的坐标系，它可以用来描述平面上的点的位置。
本文将介绍极坐标系的概念、极坐标的表示以及极坐标系的应用。
一、极坐标系的概念极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系。
极轴是指从原点到点的有向线段，通常用正方向表示。
而极角是指极轴与固定参考线之间的夹角，通常用弧度表示。
极坐标系的标准位置通常以极轴平行于x轴的正方向并通过原点的直线来表示。
二、极坐标的表示在极坐标系中，点的位置可以用极径和极角来表示。
极径是指从原点到点的距离，而极角则是指从极轴到线段所经过的角度。
通常，极径用大写字母r表示，极角用希腊字母θ表示。
因此，一个点可以用（r，θ）来表示。
三、极坐标系的转换在直角坐标系和极坐标系之间可以进行转换。
如果已知一个点在直角坐标系中的坐标（x，y），那么可以通过以下公式将其转换为极坐标系中的坐标：r = √（x² + y²）θ = arctan（y / x）反之，如果已知点在极坐标系中的坐标（r，θ），则可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的坐标：x = r * cosθy = r * sinθ四、极坐标系的应用极坐标系在许多应用中起着重要的作用。
例如，极坐标系常用于描述极坐标图，这些图形在科学研究、工程设计和技术绘图中广泛应用。
此外，极坐标系还可以用于描述极坐标方程的图形，如极坐标方程r =a +b * cosθ和r = a + b * sinθ等。
在物理学中，极坐标系也被用来描述旋转和循环运动。
总结：通过本文的介绍，我们对极坐标系和极坐标的表示有了更深入的了解。
极坐标系通过极轴和极角描述平面上的点的位置，其转换关系可以方便地将点在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。
极坐标系在科学研究、工程设计和技术绘图中具有广泛的应用。
通过掌握极坐标系的概念和表示方法，我们能更好地理解和应用相关的数学和物理知识。
极坐标系的概念和应用
极坐标系的概念和应用极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r 代表该点到原点的距离，θ代表该点与参考线的夹角。
极坐标系能够简洁地描述圆形、对称图形以及其他一些具有旋转特性的图形，因此在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系统，它与直角坐标系密切相关。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为(x,y)的形式，其中x为该点与x轴的水平距离，y为该点与y轴的垂直距离。
而在极坐标系中，每一个点都可以表示为(r,θ)的形式，其中r为该点到原点的距离，θ为该点与参考线的夹角。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间存在着一种转换关系，通过这种关系可以实现坐标系的相互转换。
具体而言，对于给定的极坐标(r,θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，对于给定的直角坐标(x,y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r,θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这种转换关系使得在不同的应用场景中能够灵活地使用极坐标系和直角坐标系。
三、极坐标系的应用1. 圆的极坐标方程在极坐标系中，圆可以用简洁的形式进行表示。
对于圆心在原点，半径为a的圆，其极坐标方程为：r = a通过这个方程，我们可以方便地描述和计算圆的性质。
2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，某些曲线的方程可以用极坐标表示。
例如，对于给定的极坐标方程r = f(θ)，其中f(θ)是一个与θ有关的函数，我们可以通过描绘不同θ值对应的r值来绘制出相应的曲线。
3. 极坐标系在物理学中的应用极坐标系在物理学中有着重要的应用。
例如，极坐标系可以用来描述某些旋转对称的物理问题，比如自转的刚体、天体运动等。
通过使用极坐标系，可以更加简洁地描述物体在旋转过程中的运动规律。
极坐标系的定义及其转换公式
极坐标系的定义及其转换公式极坐标系是一种非常常用的坐标系，它常用于描述圆心对称或轴对称的曲线以及天文学上的星座等。
在这篇文章里，我们将会学习极坐标系的定义及其转换公式。
一、极坐标系的定义极坐标系是一种由极径和极角两个量组成的坐标系，它表示平面上一点的位置。
极径指该点到极点的距离，极角则是从极轴正方向（通常取x轴正方向）到点P对应线段与极轴之间形成的夹角。
极坐标系的极点是一个固定点，通常取为坐标系原点。
极坐标系的坐标表示为(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。
而极径和极角都是由数值表示的。
在极坐标系中，曲线的方程通常表示为：f(r,θ)=0其中，r表示曲线上的点到极点的距离，θ表示曲线上的点与极轴正方向的夹角。
二、极坐标系的转换公式在实际应用中，我们经常面临需要将极坐标系转换为直角坐标系的问题。
而这就需要我们熟掌握极坐标系与直角坐标系之间的转换公式。
1. 极坐标系转换为直角坐标系假设点P在极坐标系中的坐标为(r,θ)，它也可以表示为(x,y)。
我们可以通过以下两个公式将极坐标系转换为直角坐标系：x=r*cosθy=r*sinθ即点P的坐标(x,y)与(r,θ)的关系为：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
其中，cos和sin分别是三角函数中计算角度的函数，可以通过计算器查询其值。
2. 直角坐标系转换为极坐标系同样地，我们也需要将直角坐标系转换为极坐标系，以便更好地描述曲线的形状。
对于在直角坐标系中的点P(x,y)，它的极坐标形式可以表示为(r,θ)。
我们可以通过以下公式将直角坐标系转换为极坐标系：r=sqrt(x^2+y^2)θ=arctan(y/x)即点P的坐标(r,θ)与(x,y)的关系为：r=sqrt(x^2+y^2)，θ=arctan(y/x)。
其中，arctan是反三角函数中的函数，用于计算斜率的夹角。
三、总结极坐标系的定义及其转换公式，在解决曲线描述问题时非常有用。
我们需要学习和掌握极坐标系的定义，以及将其转换为直角坐标系和反之的方法。
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A(3, 0)
B(6, 2 )
C(3, )
2
4
D(5, )
5
E(3, ) 3
5
6
E
F
2
C A
O
4
B X
D
G
4
5
3
3
四、负极径
1.负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。（？）
对于点M（，）负极径时的规定： P
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也
就是说它们是终边相同的角。
点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
坐标系：就是一个参照系，它是 实现几何和代数形式互相转化的 基础。
实数x
数轴的点
有序实数（x,y)
平面直角坐标系的点
有序实数对(x,y,z) 空间直角坐标系的点
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
请问：去连州汽车站 怎么走？
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
精神病！
以人民路为X轴 以番禺路为Y轴...
4
题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3,
)重合
的点是(C )
A.(3, C. (3,
6
－
)
5
6
)
6
B. (－3, － 6 )
5
D. (－3, － 6 )
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称
的点是( D )
A.(－ρ,θ)
B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
60m A教学楼
B体育馆
从这里向南走 2000米就到了
请问：去西华三 高怎么走？
好心人
问路人
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向南走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
M
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用
表示线段OM的长度，用
表示从OX到OM 的角度，
M
叫做点M的极径， 叫做
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
思考？
平面内一点P的直角坐标是( 3,1)，其极
坐标如何表示?点Q的极坐标为(5, 2 )，
其直角坐标如何表示？
3
答案：P(2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
22
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
2
的对称点。
极轴呢？
(1)(－ρ,θ) (2) (－ρ,－θ)或(ρ, π-θ) （3） (ρ,－θ)
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极径有正有负；极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
精神病！
从这向南 2000米。
请问：去连州汽车站 怎么走？
QQ:261772045 E-mail：ygenglu@
右图为某校园的平面示意图。 D实验楼
C图书馆
假设某同学在教学楼处，
请回答下列问题：
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
（2）如果有人打听体育馆办公楼E 45°
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
6
6
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
, 关于极轴所在直线对称的点为 ,
,
关于极点对称的点为 ,
2、已知极坐标系中两点
P(3,
)
Q(2, ), 如何求线段|PQ|的长？ 6
2
,
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 )
的距离公式：| PQ | 12 22 212 cos(1 2 )
四、拓展：
1、在极坐标系中,O是极
点，设点A(4,
)， B(5, 5
)，
3
6
则△OAB的面积是___5___，
A
|AB|= 41 20。3
O
x
B
（2）在极坐标系中，与点 (3, ) 关
3
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
3. 在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的
6
点 的一个坐标是（ A )
A.(8, 6 ) C. (－8, 5 4.已知点Q（,6
B. (8, －
5
6
)
) D.(－8, － 6 )
),分别按下列条件求出点P的极坐标。
(1)P是点Q关于极点O的对称点；
(2)P是点Q关于直线＝
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
[2]在OP的反向延长
M
线上取一点M，使OM=
2.负极径的实例
在极坐标系中画出点
M
(3, )
4
的位置.
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3
P
= /4
O
X
M (3, )
说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：
x
极化直：x cos , y sin
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) 极坐标 (4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0) (3, )
直角坐标 (3, 3 ) ( 3,1) (5,0)
极坐标 (2 3, 5 ) (2, 7 ) (5,0)
3,
3
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的
两个顶点A(2, ), B(2, 5 ) ，则顶点C的
坐标是＿＿＿＿4 ＿＿。4
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?
2、已知极坐标系中两点 P(3, )，Q(2, ),
如何求线段|PQ|的长？ 6
2
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 ) 的距离公式：| PQ | 12 22 212 cos(1 2 )
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
五、极坐标系下点的极坐标
P
探索点M（3，/4）的
M
所有极坐标
O
X
[1]极径是正的时候： 3，2k
4
[2]极径是负的时候：（ 3，2k )
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。
P M
而反向延长也可以看成 O
是旋转 ，因此，所谓“负
极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，
用“负”表示“反向 ”。
O
M
X P
X
练习：写出点（6，6 ）的负极径的极坐标
答：（－6， +π） 或（－6，－ 11 +π）
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
3、关于负极径的思考
？？？
“负极径”真是“负”的？
根据极径定义，极径是距离，当然是正 的。现在所说的“负极径”中的“负”到底 是什么意思？
把负极径时点的确定过程，与正极径时 点的确定过程相比较，看看有什么相同，有 什么不同？
4、正、负极径时，点的确定过程比较
有。（ρ，2kπ+θ）
四、课堂练习
1.已知极坐标 M(5, 4 ),下列所给出的 不能表示点M的坐3标的是( C )
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为 A(2, ),B(
3
2, ),
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
点M的极角，有序数对（，
）就叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标