极坐标系的概念及其性质(含答案)

极坐标系的概念及其性质

典题探究

例1写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>.

例2在下面的极坐标系里描出下列各点

π

(3,0)(6,2)(3,)

245(5,

(3,

(4,)

36

5(6,3A B C D E F G π

πππππ

例3 如图，用点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.

例4已知点),(θρQ ，分别按下列要求求出点P 的一个极坐标.

（1）P 是点Q 关于极点O 的对称点； （2）P 是点Q 关于极轴的对称点.

演练方阵

A 档（巩固专练）

A ．(5，?)

B ．(5，)

C ．(5，?)

D ．(?5，?)

A ．(?2，3)

B ．(?2，3)

C ．(2，?3

) D ．(2，?3)

4.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( ) A ．),(θρ B ．),(θρ-C ．),(πθρ+D ．),(θπρ-

5.如图，在平面内取一个O ，叫做；自极点O 引一条射线Ox ，叫做；在选定一个及其计

算角度的 （通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个。

6.设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的，记为。有序数对叫做点M 的，记作。 7．)6

,

4(π

A 、)65,

4(πB )67,4(πC )6,4(π-D )6

13,4(πE 表示同一个点的是.

8.写出图中各点的极坐标：

9.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点)3

5,5.3(),43,

4(),6

,2(πππ

F E D 所在的位置

.

10．中央气象台在2004年7月15日10：30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置.

B 档（提升精练） 1．已知5,

3M π??

???，下列所给出的能表示该点的坐标的是( ) A ．???

?

?-

3,5π B ．??? ??34,5π C ．??? ?

?-32,5π D ．55,3π?

?

- ???

2. 在极坐标系中，与点(－3,

6

π

)重合的点是( ) A.(3, 6π ) B. (－3, －6

π) C. (3, －56π) D. (－3, －56π

)

3.在极坐标系中,与点(－8, 6

π

)关于极点对称的点的一个坐标是( )

A.(8,6π)

B. (8, －56π)

C. (－8,56π)

D.(－8, －6

π)

4．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (4，0°), B (－4,－120°), C (23＋2, 30°)，则△ABC 为.

5．在极坐标系中，点)6

,

5(π

M 关于直线4

π

θ=

的对称点的一个极坐标是.

6．在极坐标系中，点),(θρ与),(θπρ+的位置关系是. 7．在极坐标系中，设O 是极点，A 、B 两点的极坐标分别是)3

,

4(π

、)6

5,5(π

-

，则⊿OAB 的

面积是.

8．在极坐标系中，已知)34,

8(),3,

6(π

π

B A ，则线段AB 中点的极坐标是.

9．在极坐标系中，求)3,3(πA 与)3

2,

1(π

B 两点间的距离.

10．边长为a 的正六边形OABCDE 在极坐标系中的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的极坐标.

C 档（跨越导练）

1．在极坐标中，若等边?ABC 的两个顶点是)4

,2(π

A 、)4

5,

2(π

B ，那么顶点

C 的坐标可能是（ ）

)4

3,

4.(π

A )4

3,

32(πB ),32.(πC

),3.(πD

2．在极坐标系内，点)2

,3(π

关于直线.6

π

θ=

)(R ∈ρ的对称点坐标为（ ）

A （3，0）

)2,3(π

B

)3

2,

3(π-C

)6

11,3(πD

3．若)3

,2(π

-

-P 是极坐标系中的一点，则).3

5,2()..38,2()..32,

2(πππ-M R Q

A B

)3

52,2(π

π-

k N )(Z k ∈四点中与P 重合的点有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个

4.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）

A.(23，π43

) B. (π45) C. (3，π45) D. (3，π4

3) 5．点),(θρP 关于直线2

π

θ=

的对称点的一个极坐标是.

6．在极坐标系中，已知两点)3

2,

1(),3

,3(π

π

B A -，则A ，B 两点间的距离是________. 7．已知两点的极坐标)6

,3(),2,3(π

π

B A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.

8．极坐标系中，点A 的极坐标是)6

,

3(π

，则

（1）点A 关于极轴对称的点是_______;

（2）点A 关于极点对称的点的极坐标是___; （3）点A 关于直线2

π

θ=

的对称点的极坐标是________.(规定:)

0(>ρ[)πθ2,0∈

9．在极坐标系中，描出点)3

,

2(π

M ，并写出点M 的统一极坐标。

10．在极坐标系中，已知△ABC 三个顶点的极坐标为A (2，10°)，B (－4，220°)，C (3，100°)，（1）求△ABC 的面积;（2）求△ABC 的边AB 的的长度.

极坐标系的概念及其性质参考答案

X

典题探究

例1解： ),6

5,1(),2,3(),4,

2(),0,3(π

ππ

D C B A )35,4(),34,5(),,5.2(πππG F

E . 例2解：

例3解：),3

,120(),060(),0,0(πC ，B A )43,50(),2,360(ππE D .

例4解：（1）),(θπρ+；（2）),(θρ-

演练方阵

A 档（巩固专练）

1.【答案】 C[解析]极坐标系中，同一个点，极角可以不同，一个点可由多个极坐标表示．

2.【答案】 A[解析]根据极坐标系的定义判断即可.

3.【答案】 D[解析]在极坐标系中，与点P (2 ，3

π

)关于极点对称的点的坐标是：(2 ， ?

23

π) 4.【答案】 B[解析] 在极坐标系中，与(ρ,θ)关于极轴对称的点的坐标是：与(ρ,-θ)

5.【答案】定点,极点，极轴，单位长度，正方向，极坐标系.

6.【答案】极径，ρ，极角，θ，坐标，(ρ,θ). 7．【答案】A 、E.

8．解:),6

5,5(),2,4(),4,2(),0,4(π

ππD C B A )35,3(),34,5(),,3(πππG F E . 9. 解:)3

4,5(),2,4(),0,1(π

πC B A ，

10．解:以汕尾市为极点，正东方向为极轴建立极坐标系，则台风中心的极坐标为)4

7,440(π

.

B 档（提升精练）

1.【答案】D 2．【答案】C. 3．【答案】A ． 4．【答案】等腰直角三角形. 5．【答案】)3

,

5(π

.

6．【答案】关于极点对称. 7．【答案】5[解析]56

5sin 5421=???=πS . 8．【答案】)3

4,

1(π． 9．解：73

cos 1321322=???-+=π

AB ；

10．解:O （0,0），A （a,3

π

-），B ,6

π

-

），C （2a ,0），D ,

6π），F （a ,3

π

）.

C 档（跨越导练）

1.【答案】B ．

2．【答案】D ． 3．【答案】C ． 4．【答案】A[解析] 先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 5．【答案】),(θπρ-. 6．【答案】4． 7．【答案】3,

6

5π.[解析]根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600

,即?AOB 为等边三

角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 8. 【答案】（1）11(3,

)6

π

; （2）7(3,)6π ;（3）5(3,)6π. 9．解：点)3

,

2(π

M 的统一极坐标表示式为)3

2,2(π

π+

k ，如果允许0<ρ，还可以表示为

)3

)12(,2(π

π+

+-k 。

10． 解：(1)△ABC 的AB 边上的高h=328+ S △ABC =S △OAB ＋S △OBC －S △OAC =2＋33－3=33－1, (2)|AB |=2325-.