约束条件下的最优化问题

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约束最优化问题的最优性条件

ci ( x ) ≥ 0
i ∈ I = {l + 1, , m}
一阶必要条件
定理6: (Kuhn-Tucker一阶必要条件)
*
I * = i ci x * = 0, i ∈ I ; 设 x 为问题(3)的局部最优解, f ( x ), ci ( x ) (1 ≤ i ≤ m ) 在 x * 点可微, 对于i ∈ E ∪ I *
*
λ f (x ) ∑ λ ci (x ) = 0
m * 0 *
λ c (x ) = 0 i = 1,2, , m
* i i *
i =1
* i
*
λ ≥ 0 i = 0,1,2, , m
* i
例2: 验证是否满足Fritz-John条件:
min f ( x1 , x2 ) = x1 s.t
*
3 c1 ( x1 , x2 ) = x1 x2 ≥ 0
* 则存在一组不全为零的实数 λ1 , λ* , λ* 使得: 2 l
f x * ∑ λ*ci x * = 0 i
i =1
( )
l
( )
二阶充分条件
定理2: 对等式约束问题,若: (1) f ( x ) 与 ci ( x )(1 ≤ i ≤ l ) 是二阶连续可微函数; (3) s ∈ R n且 s ≠ 0 , 且 s T ci (x * ) = 0 , i = 1,2, l 均有 s T 2 L (x * , λ* )s > 0 xx 则 x* 是等式约束问题的严格局部极小点. (2) x * ∈ R n 与 λ* ∈ R l 使: L(x* , λ* ) = 0 ;
{ ( ) }
的ci (x * ) 线性无关, 则存在非零向量 * λ* = (λ1 , , λ* ) 使得: m

《约束优化问题》课件

借鉴物理退火过程的随机搜索算法，通过概率接受劣解探索
最优解。
03
CHAPTER
常见约束优化问题
线性规划问题
总结词
线性规划问题是最常见的约束优化问题之一，它通过线性不等式或等式约束来限制决策变量的取值范围，使得目标函数达到最优解。
详细描述
线性规划问题通常用于资源分配、生产计划、运输和分配等问题，其目标函数和约束条件都是线性函数。求解线性规划问题的方法包括单纯形法、对偶理论和分解算法等。
约束优化问题的可解释性与鲁棒性研究
总结词
为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性和鲁棒性，以提高模型的可靠性和稳定性。
详细描述
在许多领域中，模型的解释性和鲁棒性是非常重要的。为了更好地应用约束优化问题，需要研究其可解释性和鲁棒性，例如通过建立模型的可解释性框架、设计鲁棒性强的算法等，以提高模型的可靠性和稳定性。
拉格朗日乘数法
总结词
一种求解约束优化问题的数学方法
详细描述
通过引入拉格朗日乘数，将约束优化问题转化为无约束优化问题，然后利用无约束优化方法求解。在每一步迭代中，根据当前点的拉格朗日函数值更新拉格朗日乘数和迭代点
，直到满足收敛条件。
拉格朗日乘数法
要点一
适用范围
适用于具有线性约束的优化问题。
要点二
执行。
时间限制
生产计划需要在规定的时间内完成，因此时间限制也是一个重要的约束条件。通过约束优化问题，可以找到在满足时间限制下的
最优生产计划。
质量限制
在生产过程中，质量是一个重要的考量因素。通过约束优化问题，可以在保证质量的前提下，实
现生产计划的最优配置。
物流配送优化
时间限制

第四章约束问题的最优化方法

当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例：用内点法求
min
f
(x)

x2 1

x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)

x2 1

x2 2

rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和

约束问题最优化方法

* * T * * * T * (1* , 2 ,, m ) 和 * ( 1 , 2 ,, m ) 使 Kuhn-Tucker 条件 (9-6) 成立，
且对满足下述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三条件的任意非零向量 z 有 (9-10) 成立，则 x* 是问题 (9-1) 的严格局部极小点．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可以大大地简化计算，另外还要把约束条件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2

最优化理论第四章约束问题最优性条件

定理4.2
设x* s, f ( x), g i ( x), (i I )在x*可微，g i ( x), (i I )在x *连续，
如果x*是问题 2 的局部最优解，则F0 G0 =。（证明从略）
2.2 定理4.3 （Fritz，John条件）
* 设x* s，I i g i ( x* ) 0 ，f , g i (i I )在x*处可微，g （ i i I）在x 处连续，
第
四
章
约束问题的最优性条件（P206）
min f(x) 约束优化： s.t. gi (x) 0, h ( x) 0, j
x Rn i 1,..., m j 1,..., l
s x gi ( x) 0, i 1,..., m; h j ( x), j 1,..., l
iI
①K-T条件

* 进一步条件，若g（ i I ）在 x 处可微，K-T条件为： i m （ f x*） - wi gi ( x* ) 0 ② i 1 ② * m n方程组 wi gi ( x ) 0, i 1,..., m ③ ③ ④ wi 0, i 1,..., m * 给定x ，验证是否符合K-T条件用① 应用 * x 未定，求解K-T点，求解② +③
2.4
定理4.5 （约束问题最优解的一阶充分条件）
问题（2）中，f 是凸函数，g （）是凹函数，s为可行域，x* s, i i 1,..., m I i gi ( x* ) 0 , f 和gi (i I )在点x*可微，gi (i I )在点x*连续，且在x*处 K - T 条件成立，则x*为全局最优解。 x 1， 0 为全局最优解（例子）

约束优化例题

约束优化例题
一个例子是输送带上的物品分配问题。

假设有一条长度为L的
输送带，上面有L个物品需要分配给L个目标位置。

每个物品
有一个大小LL和一个价值LL，并且可以被放置在服从以下
约束条件的位置上：目标位置L的左侧距离不超过LL。

目标
位置L上已经放置的物品的大小不能超过目标位置L的承重能
力LL。

我们的目标是最大化放置在目标位置上的物品的总价值。

可以使用线性规划来进行优化，将问题建模为一个整数规划问题。

定义决策变量LLL，表示将物品L放置在目标位置L上的数量。

则目标函数可以定义为最大化总价值：
Maximize ∑L=1L∑L=1LLL·LLL
同时，需要满足以下约束条件：
∑L=1LLLL≤ 1 ，对于L=1,2,…,L
∑L=1L∑L=1LLL·LLL≤ L
∑L=1L∑L=1LLL·LLL≤ L
对于每个目标位置L，可以通过以下约束限制物品放置的位置：
∑L=1LLL·LLL≤ LL，对于L=1,2,…,L
通过解决线性规划问题，可以得到每个物品放置的位置和数量，从而最大化总价值。

约束问题的最优化方法

m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类：约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例：用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0

约束最优化方法

约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。

以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。

2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。

3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。

4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。

5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。

6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。

7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。

8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。

这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。

约束条件下的最优化问题

约束条件下的最优化问题约束条件下的最优化问题是数学和工程领域中的常见问题之一。

在这类问题中，我们需要找到一个满足一系列给定约束条件的最优解。

这类问题可以在多个领域中找到应用，包括经济学、物理学、工程学和计算机科学。

在解决约束条件下的最优化问题时，我们需要首先定义目标函数。

目标函数可以是一个需要最小化或最大化的数值指标。

我们需要确定约束条件，这些约束条件可能是等式或不等式。

约束条件反映了问题的实际限制，我们需要在满足这些限制的情况下找到最优解。

在解决这类问题时，一个常用的方法是使用拉格朗日乘子法。

这种方法基于拉格朗日函数的最优性条件，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。

通过对拉格朗日函数进行求导，并解方程组可以找到满足约束条件的最优解。

在实践中，约束条件下的最优化问题可能会面临多个挑战。

问题的约束条件可能会很复杂，涉及多个变量和多个限制。

解决这些问题需要使用不同的数学工具和技巧。

问题的目标函数可能是非线性的，这使得求解过程更加复杂。

有时候问题可能会存在多个局部最优解，而不是一个全局最优解。

这就需要使用适当的算法来寻找全局最优解。

解决约束条件下的最优化问题有着重要的理论和实际价值。

在理论上，它为我们提供了了解优化问题的深入洞察和数学分析的机会。

在应用上，它可以帮助我们在现实世界中优化资源分配、最大化利润、降低成本等。

在工程领域中，我们可以使用最优化方法来设计高效的电路、最小化材料使用或最大化系统性能。

在总结上述讨论时，约束条件下的最优化问题是在特定约束条件下寻找最优解的问题。

通过使用拉格朗日乘子法和其他数学工具，我们可以解决这些问题并找到最优解。

尽管这类问题可能会面临一些挑战，但解决这些问题具有重要的理论和实际应用。

通过深入研究和理解约束条件下的最优化问题，我们可以在不同领域中做出更优化的决策，实现更有效的资源利用和更优秀的结果。

参考文献：1. Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical optimization. Springer Science & Business Media.2. Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.3. Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., & Shetty, C. M. (2013). Nonlinear programming: theory and algorithms. John Wiley & Sons.个人观点和理解：约束条件下的最优化问题在现实生活中起着重要的作用。

约束优化问题的最优性条件

{
}
连续，若 x 是(NLP1)的局部最优解，则存在不全为零的非负数 w0 , wi (i ∈ i ) ，使得
w0∇f ( x) − ∑ wi ∇gi ( x) = 0
i∈I
证明：参见陈宝林书 page 239
注：运用Fritz John 条件时，可能出现 w0 = 0 的情形。这时Fritz John 条件中实际上不包含目标函数的任何数据，只是把起作用约束的梯度组合成零向量。这样的条件，对于问题的解的描述，没有多大价值。我们感兴趣的是
w0 ≠ 0 的情形，所以为了保证 w0 ≠ 0 ，还需
要对约束施加某种限制。这种限制条件通常称为约束规格。在定理7.3中，如果增加起作用约束的梯度线性无关的约束规格，则给出不等式约束问题的著名的K-T条件。
定理7.8 (K-T 必要条件) 考虑约束问题(NLP) , x 为可行点，I = i gi ( x) = 0 ， f (x) 和 gi (x) (i ∈ I ) 在 x 处可微, gi (x) (i ∉ I ) 在 x 处连续, hj (j=1,…,l) 在 x 处连续可微。向量集
∂f = d T ∇f ( x ) ≥ 0 ∂d
(d
= 1)
即在极小点处的可行方向一定不是下降方向
n R 定理7.1 考虑约束极值问题 (NLP) , 设 S 是中的非空集合，x ∈ S ， f (x) 在 x 处可微。如果 x
是局部最优解，则
F0 ∩ D = ∅
证明：参见陈宝林书 page236
定理7.5 设在问题（NLP1）中, f 是凸函数, gi(x)(i=1,2,…,m) 是凹函数，S为可行域，x ∈ S
I = i gi ( x) = 0 ， f (x) 和 gi (x) (i ∈ I )在 x 处可微,

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。

线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。

二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。

2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。

3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。

4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。

5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。

三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。

2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。

3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。

四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。

2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。

3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。

4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。

五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。

2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。

3. 资源分配：确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率或者满足需求。

4. 投资组合：确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。

5. 作业调度：确定最优的作业调度方案，以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。

六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，不适合于非线性问题。

运筹学-约束最优化方法

若AT的各个行向量线性无关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得

解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即

35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能同时不为0.

28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向量(-pi).

借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.

最优化方法(约束优化问题的最优性条件)

s.t. c1 ( x ) = x 1 + x 2 + x 3 − 3 = 0 , c 2 ( x ) = − x 1 + x 2 ≥ 0
c 3 ( x ) = x1 ≥ 0 , c 4 ( x ) = x 2 ≥ 0 , c 5 ( x ) = x 3 ≥ 0
带入约束条件可知满足约束条件将 x = (1,1,1) 带入约束条件可知满足约束条件
验证KT点的步骤小结
• • • • • • 1 化为标准形式 2 验证约束成立并且求得有效约束 3 约束规范 ∇f ( x * ) − λ1 ∇c1 ( x * ) − λ 2 ∇c 2 ( x * ) = 0 4 一阶条件方程例如 5 验证不等式约束互补条件、乘子的非负性验证不等式约束互补条件、 6结论结论
* T
并且有效约束集合为并且有效约束集合为 I = {1,2}
*
∇f ( x ) = ( −3,−1,−2) T ， ∇c1 ( x ) = ( 2,2,2) T ， ∇c 2 ( x ) = ( −1,1,0) T T T 线性无关。且 ∇c 1 ( x ) = ( 2,2,2) 与 ∇c 2 ( x ) = ( −1,1,0) 线性无关。
向量 d ，如果对任意的 i ∈ I ( x) 有 ∇ci ( x)T d > 0 , 则 d 是点 x 的可行方向。
令证明： x ' = x + t d , t > 0。则对任意的 i ∈ I ( x ) , 有
ci ( x' ) = ci ( x) + t ∇ci ( x)T d + o( || td ||2 )
= t ∇ci ( x)T d + o( || td ||2 )

资源约束条件下的优化模型及其应用

资源约束条件下的优化模型及其应用在如今严峻的资源约束条件下，如何寻求最优解是许多企业和组织所关注的问题。

因此，建立相应的优化模型及其应用显得尤为重要。

在本文中，我们将探讨资源约束条件下的优化模型及其应用。

一、什么是资源约束条件资源约束条件是指人力、物力、财力等资源的稀缺性以及资源之间的互相影响所带来的限制条件。

当资源不足时，我们需要考虑如何合理使用有限的资源，以尽可能地满足需求。

因此，我们需要建立相应的优化模型来解决这一问题。

二、资源约束条件下的优化模型在资源约束条件下，建立优化模型需要考虑以下几个因素：1.目标函数目标函数是优化模型中的核心部分，它描述了需要优化的目标。

在资源约束条件下，目标函数需要体现尽可能充分利用有限资源以最大化效益的思想。

2.约束条件约束条件是指在资源条件下，需要满足的限制条件。

在实际应用中，约束条件往往是多个资源之间相互制约的结果，需要充分考虑资源之间的关系。

3.决策变量决策变量是指需要进行优化的变量。

在资源约束条件下，决策变量需要考虑充分利用有限资源的条件下，如何最大化效益。

通过以上三个因素的组合，我们就可以实现资源约束条件下的优化模型。

三、资源约束条件下优化模型的应用资源约束条件下的优化模型在实际应用中具有广泛的应用，比如：1.生产调度在生产调度中，通过优化模型可以实现最佳的生产计划，并考虑生产资源的利用效率、产品质量要求和生产周期等多个方面，从而提高生产效率和降低成本。

2.物流配送在物流配送中，通过优化模型可以实现最佳的配送方案，并考虑交通拥堵、货物配送需求、运输成本等因素，为企业提供更快捷、安全、经济的物流配送服务。

3.人力资源管理在人力资源管理中，通过优化模型可以实现最佳的员工招聘、培养和解聘方案，并考虑员工的素质、工作经验、工作需求、效益等因素，提高企业的人力资源管理效率。

总之，资源约束条件下的优化模型已经成为现代企业和组织中不可缺少的重要工具。

建立科学合理的优化模型，发挥资源的充分作用，提高企业和组织的效率和效益，是实现可持续发展的关键。

最优化方法及应用_郭科_约束问题的最优性条件

§2.7 约束问题的最优性条件所谓最优性条件就是最优化问题的目标函数与约束函数在最优点处满足的充要条件．这种条件对于最优化算法的终止判定和最优化理论推证都是至关重要的．最优性必要条件是指在最优点处满足哪些条件；充分条件是指满足哪些条件的点是最优点．本节仅讲述最基本的结论．一、约束最优解对约束优化问题的求解，其目的是在由约束条件所规定的可行域D 内，寻求一个目标函数值最小的点*X 及其函数值)(*X f ．这样的解))(,(**X f X 称为约束最优解．约束最优点除了可能落在可行域D 内的情况外，更常常是在约束边界上或等式约束曲面上，因此它的定义及它的一阶必要条件与无约束优化问题不同．（一）约束优化问题的类型约束优化问题根据约束条件类型的不同分为三种，其数学模型如下：（1）不等式约束优化问题（IP 型）min (),..()012i f X s t g X i l ≥=，，，，．（2.16）（2）等式约束优化问题（EP 型）min ()..()012j f X s t h X j m ==，，，，，．（3）一般约束优化问题（GP 型） min ()()012..()012i j f X g X i l s t h X j m ≥=⎧⎪⎨==⎪⎩，，，，，，，，，，．（二）约束优化问题的局部解与全局解按一般约束优化问题，其可行域为 }210)(210)(|{m j X h l i X g X D j i ，，，，；，，，， ===≥=．若对某可行点*X 存在0>ε，当*X 与它邻域的点X 之距离ε<-||||*X X 时，总有)()(*X f X f <则称*X 为该约束优化问题的一个局部最优解．下面以一个简单例子说明．设有⎩⎨⎧=---=≥+=+-=．，，09)2()(02)(..)1()(min 222122221x x X h x X g t s x x X f该问题的几何图形如图2.8所示．从图上的目标函数等值线和不等式约束与等式约束的函数曲线可写出它的两个局部最优解T T X X ]05[]01[*2*1，，，=-=．这是因为在*1X 点邻域的任一满足约束的点X ，都有)()(*1X f X f >；同理，*2X 亦然．１图2.8 对某些约束优化问题，局部解可能有多个．在所有的局部最优解中，目标函数值最小的那个解称为全局最优解．在上例中，由于16)(4)(*2*1==X f X f ，，所以全局最优解为))((*1*1X f X ，．由此可知，约束优化问题全局解一定是局部解，而局部解不一定是全局解．这与无约束优化问题是相同的．二、约束优化问题局部解的一阶必要条件对于约束，现在进一步阐明起作用约束与不起作用约束的概念．一般的约束优化问题，其约束包含不等式约束l i X g i ，，，， 210)(=≥和等式约束m j X h j ，，，， 210)(==．在可行点k X 处，如果有0)(=k i X g ，则该约束)(X g i 称可行点k X 的起作用约束；而如果有0)(>k i X g ，则该约束)(X g i 称可行点k X 的不起作用约束．对于等式约束0)(=X h j ，显然在任意可行点处的等式约束都是起作用约束．在某个可行点k X 处，起作用约束在k X 的邻域内起到限制可行域范围的作用，而不起作用约束在k X 处的邻域内就不产生影响．因此，应把注意力集中在起作用约束上．（一）IP 型约束问题的一阶必要条件图2.9所示为具有三个不等式约束的二维最优化问题．图2.9图2.9（a ）是最优点*X 在可行域内部的一种情况．在此种情形下，*X 点的全部约束函数值)(*X g i 均大于零)321(，，=i ，所以这组约束条件对其最优点*X 都不起作用．换句话说，如果除掉全部约束，其最优点也仍是同一个*X 点．因此这种约束优化问题与无约束优化问题是等价的．图2.9（b ）所示的约束最优点*X 在)(1X g 的边界曲线与目标函数等值线的切点处．此时，0)(0)(0)(*3*2*1>>=X g X g X g ，，，所以)(1X g 是起作用约束，而其余的两个是不起作用约束．既然约束最优点*X 是目标函数等值线与)(1X g 边界的切点，则在*X 点处目标函数的梯度)(*X f ∇与约束函数梯度矢量)(*1X g ∇必共线，而且方向一致．若取非负乘子0*1≥λ，则在*X 处存在如下关系0)()(*1*1*=∇-∇X g X f λ．另一种情况如图2.9（c ）所示．当前迭代点k X 在两约束交点上，该点目标函数的梯度矢量)(k X f ∇夹于两约束函数的梯度矢量)()(21k k X g X g ∇∇，之间．显然，在k X 点邻近的可行域内部不存在目标函数值比)(k X f 更小的可行点．因此，点k X 就是约束最优点，记作*X ．由图可知，此时k X 点目标函数的梯度)(k X f ∇可表达为约束函数梯度)(1k X g ∇和)(2k X g ∇的线性组合．若用*X 代替k X 即有)()()(*2*2*1*1*X g X g X f ∇+∇=∇λλ成立，且式中的乘子*1λ和*2λ必为非负．总结以上各种情况，最优解的一阶必要条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=∇-∇∑=．，，，，210)(00)()(**21**1*i X g X g X f i i i i λλ 对于（2.16）IP 型约束问题的一阶必要条件讨论如下：设最优点*X 位于j 个约束边界的汇交处，则这j 个约束条件组成一个起作用的约束集．按上面的分析，对于*X 点必有下式成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=∇-∇∑=．，，，，，，j i X g X g X f i i j i i i 210)(00)()(**1***λλ （2.17）但是在实际求解过程中，并不能预先知道最优点*X 位于哪一个或哪几个约束边界的汇交处．为此，把l 个约束全部考虑进去，并取不起作用约束的相应乘子为零，则最优解的一阶必要条件应把式（2.17）修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥≥=∇-∇∑=．，，，，，，，l i X g X g X g X f i i iil i i i 210)(0)(00)()(****1***λλλ （2.18）式（2.18）为IP 型问题约束最优解的一阶必要条件，它与式（2.17）等价．因为在*X 下，对于起作用约束，必有l i X g i ，，，， 210)(*==使式（2.18）中的第四式成立；对于不起作用约束，虽然0)(*>X g i 而必有0*=i λ，可见式（2.18）与式（2.17）等价．（二）EP 型约束问题的一阶必要条件图2.10所示为具有一个等式约束条件的二维化问题，其数学模型为．，0)(..)(min =X h t s X f在该问题中，等式约束曲线0)(=X h 是它的可行域，而且目标函数等值线C X f =)(与约束曲线0)(=X h 的切点*X 是该约束问题的最优解．图2.10在*X 点处，目标函数的梯度)(*X f ∇与约束函数的梯度)(*X h ∇共线．因此，在最优点*X 处一定存在一个乘子*u ，使得 0)()(***=∇-∇X h u X f成立．对于一般的n 维等式约束优化问题，其数学模型为min ()..()012j f X s t h X j m ==，，，，，．则*X 为其解的一阶必要条件为***1*()()0()012m j j j j f X u h X h X j m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑，，，，，．（三）GP 型约束问题解的一阶必要条件由上述不等式约束优化与等式约束优化问题的一阶必要条件，可以推出一般约束优化问题的条件．设n 维一般约束优化问题的数学模型为⎩⎨⎧===≥，，，，，，，，，，，m j X h l i X g t s X f j i 210)(210)(..)(min （2.19）则*X 为其解的一阶必要条件应为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====≥≥=∇-∇-∇∑∑==．，，，，，，，，，，，，m j X h l i X g X g X h u X g X f j i i i i l i m j j j i i 210)(210)(0)(00)()()(*****11*****λλλ （2.20）函数∑∑==--=l i m j j j i i X h u X g X f u X L 11)()()()(λλ，，称为关于问题（2.19）的广义拉格朗日函数，式中T l ][21λλλλ，，， =，T m u u u u ][21，，， =为拉格朗日乘子．由于引入拉格朗日函数，条件（2.20）中的第一式可写为0)(***=∇u X L X ，，λ．（四）Kuhn —T ｕcker 条件（简称K —T 条件）在优化实用计算中，常常需要判断某可行迭代点k X 是否可作为约束最优点*X 输出而结束迭代，或者对此输出的可行结果进行检查，观察它是否已满足约束最优解的必要条件，这种判断或检验通常借助于T K -条件进行的．对于IP 型问题，T K -条件可叙述如下：如果*X 是一个局部极小点，且各梯度矢量)(*X g i ∇组成线性无关的矢量系，那么必存在一组非负乘子*i λ，使得⎪⎩⎪⎨⎧===∇-∇∑=l i X g X g X f ii l i i i ，，，，，210)(0)()(**1***λλ 成立．必须指出，在一般情形下，T K -条件是判别约束极小点的一阶必要条件，但并非充分条件．只是对于凸规划问题，即对于目标函数)(X f 为凸函数，可行域为凸集的最优化问题，T K -条件才是约束最优化问题的充分条件．而且，在这种情况下的局部最优解也必为全局最优解．应用T K -条件检验某迭代点k X 是否为约束最优点的具体作法可按下述步骤进行：（1）检验k X 是否为可行点．为此需要计算k X 处的诸约束函数值)(k i X g ，若是可行点，则l i X g k i ，，，， 210)(=≥．（2）选出可行点k X 处的起作用约束．前面已求得l 个)(k i X g 值，其中等于零或相当接近零的约束就是起作用约束．把这些起作用约束重新编排成序列I i X g i ，，，， 21)(=．（3）计算k X 点目标函数的梯度)(k X f ∇和I 个起作用约束函数的梯度)(k i X g ∇．（4）按T K -条件，k X 点应满足∑==≥=∇-∇Ii i k i i k I i X g X f 1)21(00)()(，，，， λλ. (2.21）将式（2.21）中的各梯度矢量用其分量表示，则可得到i λ为变量的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂．，，0)()()()(0)()()()(0)()()()(22112222211211221111n k I I n k n k n k k I I k k k k I I k k k x X g x X g x X g x X f x X g x X g x X g x X f x X g x X g x X g x X f λλλλλλλλλ 由于矢量系I i X g k i ，，，， 21)(=∇是线性无关的，所以该方程组存在唯一解．通过解此线性方程组，求得一组乘子I λλλ，，，21，若所有乘子均为非负，即I i i ，，，， 210=≥λ，则k X 即为约束最优解．否则，k X 点就不是约束最优点．例2.9 设约束优化问题⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥=≥--=+-=．，，，0)(0)(01)(..)2()(min 132222112221x X g x X g x x X g t s x x X f 它的当前迭代点为T k X ]01[，=，试用T K -条件判别它是否为约束最优点．解：（1）计算k X 点的诸约束函数值，，，1)(0)(011)(2221===-=k k k X g X g X gk X 是可行点．（2）k X 点起作用约束是222211)(1)(x X g x x X g =--=，．（3）求k X 点梯度．，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇1010)(1212)(022)2(2)()0,1(2)0,1(11)0,1(21k k k X g x X g x x X f（4）求拉格朗日乘子按T K -条件应有．，01012020)()()(212211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇-∇-∇λλλλk k k X g X g X f写成线性方程组 ⎩⎨⎧=-=+-．，0022211λλλ 解得010121>=>=λλ，．乘子均为非负，故T k X ]0,1[=满足约束最优解的一阶必要条件．如图2.11所示，k X 点确为该约束优化问题的局部最优解，由于可行域是凸集，所以点k X 也是该问题的全局最优解．图2.11GP 型的约束最优化问题的T K -条件类似于IP 型约束最优化问题的T K -条件：如果*X 是一个局部极小点，且各梯度矢量)(*X g i ∇和)(*X h j ∇组成线性无关的矢量系，那么必存在两组乘子*i λ和*j u ，使得。

第五章约束问题的最优化方法

g1 ( x ) x1 x2 4,
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束不等式约束一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法内点法乘子法
1
一、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给定点x Q , 记点 x 的积极约束指标集为 I ( x )。给定向量 d ，如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是点 x 的可行方向。
则向量d 是点 x 处的可行下降方向。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，

3不等式约束最优化问题的最优性条件

不等式约束最优化问题的最优性条件
定闭包：设S Rn , S的闭包定义为：义 Closure clS { x | S N ( x) , 0}.
可行方向：设S Rn , x clS, d Rn , d 0, 若存在〉0，使得
x d S, (0, ),
则称d为集合S在点x处的可行方向( feasible direction).
则
F0 G0 ,
其中G0 d Rn ci x* T d 0 , i I *
不等式约束最优化问题的最优性条件
几何最优性条件—一阶必要条件
例1：确定： min f x x1 62 x2 22
s.t x1 2 x2 4 0
3 x1 2 x2 12 0
x1 , x2 0
F0 D .
不等式约束最优化问题的最优性条件
几何最优性条件—一阶必要条件
仅考虑在某点起作用的约束
定理3.3.2: 在问题(3.3.1)中，假设：
(1) x*为局部最优解且I * i ci x* 0,1 i m ；
(2) f x与ci xi I * 在 x* 点可微；
(3) ci x i I \ I * 在 x* 点连续；
在点 x 2,3T处的可行下降方向.
解：x 2,3T， Ix 1,2.
c1
x
1 2
,
c2
x
3 2
.
不等式约束最优化问题的最优性条件
几何最优性条件—一阶必要条件
f
x
2 x1 12 2x2 4
,
f
x
8 2
.
设 d d1 , d2 T , 则d T c1 x 0, d1 2d2 0;
即该问题在x*处Fritz-John条件成立.

约束问题的最优化方法

3. 优化方法：选用内点惩罚法，惩罚函数形式为： 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时； x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0

§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
①
x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想：外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外，随着惩罚因子 r(k) 的不断递增，生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标函数的约束最优点 x* 。例：求下述约束优化问题的最优点。新目标函数：

使用Python求解带约束的最优化问题详解

使⽤Python求解带约束的最优化问题详解题⽬：1. 利⽤拉格朗⽇乘⼦法#导⼊sympy包，⽤于求导，⽅程组求解等等from sympy import *#设置变量x1 = symbols("x1")x2 = symbols("x2")alpha = symbols("alpha")beta = symbols("beta")#构造拉格朗⽇等式L = 10 - x1*x1 - x2*x2 + alpha * (x1*x1 - x2) + beta * (x1 + x2)#求导，构造KKT条件difyL_x1 = diff(L, x1) #对变量x1求导difyL_x2 = diff(L, x2) #对变量x2求导difyL_beta = diff(L, beta) #对乘⼦beta求导dualCpt = alpha * (x1 * x1 - x2) #对偶互补条件#求解KKT等式aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, difyL_beta, dualCpt], [x1, x2, alpha, beta])#打印结果，还需验证alpha>=0和不等式约束<=0for i in aa:if i[2] >= 0:if (i[0]**2 - i[1]) <= 0:print(i)结果：(-1, 1, 4, 6)(0, 0, 0, 0)2. scipy包⾥⾯的minimize函数求解from scipy.optimize import minimizeimport numpy as npfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import pyplot as plt#⽬标函数：def func(args):fun = lambda x: 10 - x[0]**2 - x[1]**2return fun#约束条件，包括等式约束和不等式约束def con(args):cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1]-x[0]**2},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0]+x[1]})return cons#画三维模式图def draw3D():fig = plt.figure()ax = Axes3D(fig)x_arange = np.arange(-5.0, 5.0)y_arange = np.arange(-5.0, 5.0)X, Y = np.meshgrid(x_arange, y_arange)Z1 = 10 - X**2 - Y**2Z2 = Y - X**2Z3 = X + Yplt.xlabel('x')plt.ylabel('y')ax.plot_surface(X, Y, Z1, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')ax.plot_surface(X, Y, Z2, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')ax.plot_surface(X, Y, Z3, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')plt.show()#画等⾼线图def drawContour():x_arange = np.linspace(-3.0, 4.0, 256)y_arange = np.linspace(-3.0, 4.0, 256)X, Y = np.meshgrid(x_arange, y_arange)Z1 = 10 - X**2 - Y**2Z2 = Y - X**2Z3 = X + Yplt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.contourf(X, Y, Z1, 8, alpha=0.75, cmap='rainbow')plt.contourf(X, Y, Z2, 8, alpha=0.75, cmap='rainbow')plt.contourf(X, Y, Z3, 8, alpha=0.75, cmap='rainbow')C1 = plt.contour(X, Y, Z1, 8, colors='black')C2 = plt.contour(X, Y, Z2, 8, colors='blue')C3 = plt.contour(X, Y, Z3, 8, colors='red')plt.clabel(C1, inline=1, fontsize=10)plt.clabel(C2, inline=1, fontsize=10)plt.clabel(C3, inline=1, fontsize=10)plt.show()if __name__ == "__main__":args = ()args1 = ()cons = con(args1)x0 = np.array((1.0, 2.0)) #设置初始值，初始值的设置很重要，很容易收敛到另外的极值点中，建议多试⼏个值#求解#res = minimize(func(args), x0, method='SLSQP', constraints=cons)#####print(res.fun)print(res.success)print(res.x)# draw3D()drawContour()结果：7.99999990708696True[-1.00000002 1.00000002]以上这篇使⽤Python求解带约束的最优化问题详解就是⼩编分享给⼤家的全部内容了，希望能给⼤家⼀个参考，也希望⼤家多多⽀持。