高二数学导数大题练习详细答案

1．已知函数d x

b a

c bx

ax

x f )23()(2

3

的图象如图所

示．

（I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113y

x

，求函

数)(x f 的解析式；

（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y

与m x

x f y

5)(3

1的

图象有三个不同的交点，求

m 的取值范围．

2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ．

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）函数)(x f 的图象的在4x 处切线的斜率为,2

3若函数

]2

)

('[3

1)

(2

3

m x f x x

x g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．

3．已知函数c bx ax x x f 2

3

)(的图象经过坐标原点，且在

1x

处取得极大值．

（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若方程

9

)

32()

(2

a

x f 恰好有两个不同的根，求

)

(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意

R

、

，求证：81|)sin

2()

sin

2(|f f ．

4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x e

x f x

)

(，x a x

x g ln )

(2

．

（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a

；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(a

e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值；

（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；

6．已知2x 是函数2

()(23)x

f x x

ax a

e 的一个极值点（718

.2e ）．

（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2

3[x

的最大值和最小值．

7．已知函数)

0,(,ln )2(4)(2

a R a x a x x

x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；

（II ）求函数)(x f 在区间],[2

e e 上的最小值．

8．已知函数()(6)

ln f x x x a x 在(2,

)x 上不具有．．．

单调性．（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若

()f x 是()f x 的导函数，设

2

2()()6

g x f x x

，试证明：对任意两个不相

等正数

12x x 、，不等式121

238|()

()|

||27g x g x x x 恒成立．

9．已知函数.

1,ln )1(2

1)

(2

a x a ax x

x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.

1)()(,),,

0(,,52

1

2121

2

1x x x f x f x x x x a 有

则对任意10．已知函数2

1()

ln ,()(1),12

f x x

a x g x a x a

．

（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求

实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ，设()()()F x f x g x ，求证：当1

2

,[1,]x x a 时，不

等式12|()()|1F x F x 成立．

11．设曲线C ：()ln f x x ex （ 2.71828e ），()f x 表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；

（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ，求证：存在唯一的

0x 12(,)x x ，使直线AB 的斜率等于0()f x ．

12．定义),0(,,)1(),(y x x y x F y

，

（I ）令函数2

2

()(3,log (24))f x F x x ，写出函数()f x 的定义域；

（II ）令函数3

2

2

()(1,log (1))g x F x ax bx 的图象为曲线C ，若存在实数b 使得

曲线C 在)14(0

0x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当

,*x y

N 且x y 时，求证(,)(,)F x y F y x ．

答案

1．解：函数)(x f 的导函数为b a

c bx ax x f 2323)(2

'…………（2分）（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且

)

1('

f 得

03023233c d

b a c

b

a

d …………（4分）

（II ）依题意

3

)2('

f 且

5

)

2(f 5

34648323412b

a

b

a

b a b a 解得6

,1b a 所以396)

(2

3

x x x x f …………（8分）

（III ）9123)(2x x x f ．可转化为：m x x x x x x 534396223有三个

不等实根，即：m x x x x g 872

3与x 轴有三个交点；

4

238

1432

x

x x x

x

g ，

x

3

2

,3

24

32，4

，

4x g + 0 - 0 + x

g 增

极大值

减

极小值

增

m g m g 164,27

683

2．…………（10分）

当且仅当016

4

027

6832m

g m

g 且时，有三个交点，

故而，

27

6816

m

为所求．

…………（12分）

2．解：（I ）)

0()1

()

('x

x

x a x f （2分）

当,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为

时x f a

当;1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数

（5分）

（II ）32ln 2)(,22343)

4('x x

x f a

a f 得2)4()

(',2)22

(31)

(2

2

3

x

m x

x g x x

m

x

x g （6

分）

2

)

0(',)3,1()(g x g 且上不是单调函数在区间.

0)

3(',0)1('g g （8分）

,3

19,

3m

m （10分）)3,3

19(m （12分）

3．解：（I ）

,23)(,00

)

0(2

b ax x

x f c f 3

20

)1(a

b

f ),323)(1()32(23)

(2

a

x

x a ax x

x f 由

33

210

)(a x

x

x f 或，因为当1x

时取得极大值，