2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析)(最新整理)

显然 x 3, x 3 依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设 D 是第一象限中由曲线 2xy 1, 4xy 1与直线 y x, y 3x 所围
成的平面区域，函数 f ( x, y) 在 D 上连续，则 f ( x, y)dxdy （ ）
D
1
（ Ａ ）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr （
Ｂ
）
4
2sin 2
1
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr
4
2sin 2
（Ｃ）
1
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr （
Ｄ
）
4
2sin 2
1
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr
4
2sin 2
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
【详解】线性微分方程的特征方程为 r 2 ar b 0 ，由特解可知 r1 2 一 定是特征方程的一个实根．如果 r2 1不是特征方程的实根，则对应于 f ( x) ce x 的特解的形式应该为 Q( x)e x ，其中 Q( x) 应该是一个零次多项
式，即常数，与条件不符，所以 r2 1也是特征方程的另外一个实根，这样
图所示，则曲线 y f ( x) 在 (, ) 的拐点个数为
（A）0
（B）1 （C）2
（D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存 在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在
的点 x 0 ．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数
都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的， 对应的点才是拐点，所以应该选（C）
2． 设 y 1 e2x ( x 1)e x 是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程
2
3
y ay by ce x 的一个特解，则
（A） a 3, b 2, c 1 （B） a 3, b 2, c 1
（C） a 3, b 2, c 1 （D） a 3, b 2, c 1
所
以
9．
lim
x0
ln(cos x2
x)
1 0 0
1 0 0 1 0 0 2
1 0 0 2
QT
AQ
0
0
1
P
T
AP
0
0
1
源自文库
0
0
1
0 1 0
0 1 0 0 1 0
1
1
0 0
0 1
1 0
【详1解】1 lxim0
ln(cos x2
x)
lim
x0
tan 2x
x
1 2
．
故选择（A）．
2xy 1 2r 2 sin cos 1 r 2 1 r 1
sin 2
sin 2
4xy 1 4r 2 sin cos 1 r 2 1 r 1
2sin 2
2sin 2
4
3
也就是 D：
1
r
2sin
1 sin
1
所以
f ( x, y)dxdy
3
d
sin 2 1
（D） a , d
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
B ( A, b) 1 2 a
d
0
1
a 1
d
1
0
1
a 1
1 4 a2 d 2 0 3 a2 1 d 2 1 0 0 (a 1)(a
方程组无穷解的充分必要条件是 r( A) r( A, b) 3 ，也就是
f (r cos , r sin )rdr ，所以应该选
D
4
2sin 2
（B）．
1 1 1 1
5．设矩阵 A 1 2
a
,
b
d
，若集合
1, 2 ，则线性方程组
1 4 a2 d 2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件是
（A） a , d
（B） a , d
（C） a , d
(a 1)(a 2) 0,(d 1)(d 2) 0 同 时 成 立 ， 当 然 应 该 选
（D）．
6．设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x Py 下的标准形为
2 y12 y22 y32 ，其 中 P e1, e2 , e3 ，若 Q e1, e3 , e2 ，则
历年考研数学一真题 1987-2017
（答案+解析） （经典珍藏版）最近三年+回顾过去
最近三年篇（2015-2017）
2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设函数 f ( x) 在 (, ) 上连续，其二阶导数 f ( x) 的图形如右
7．若 A, B 为任意两个随机事件，则（ ）
（A） P( AB) P( A)P(B)
0
0
1
，
0 1 0 0 1 0
1 0 0
QT
0
0
1 PT
0 1 0
【
详
解
】
E( X ( X Y 2)) E( X 2 ) E( XY ) 2EX DX (EX )2 EXEY 2EX
2
故应该选择（D）．
f
xT Ax
yT PAPy
yT
1
yT
1
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横 线上）
f ( x1, x2 , x3 ) 在 x Qy 下的标准形为
（A） 2 y12 y22 y32
（B） 2 y12 y22 y32
（C） 2 y12 y22 y32
（D） 2 y12 y22 y32
1 0 0 1 0 0
【
详
解
】
Q
e1, e3, e2
e1
,
e2
,
e3
0
0
1
P
【详解】注意条件级数 an 条件收敛等价于幂级数 an xn 在 x 1处条
n1
n1
件 收 敛 ， 也 就 是 这 个 幂 级 数 的 收 敛 为 1， 即 lim an1 1， 所 以 a n
n
n1
nan ( x
1)n
的收敛半径
R
lim
n
nan (n 1)an1
1 ，绝对收敛域为 (0, 2) ，
由韦达定理可得 a (2 1) 3, b 21 2 ，同时 y* xe x 是原来方程
的一个解，代入可得 c 1 应该选（A）
３．若级数 an 条件收敛，则 x 3, x 3 依次为级 n1
数 nan ( x 1)n 的 n1
散点
（Ａ）收敛点，收敛点 点
(Ｃ）发散点，收敛点
（Ｂ）收敛点，发散 （Ｄ）发散点，发